Tự chọn nâng cao toán 6

Chủ đề tự chọn Môn toán lớp 6 chuyên đề nâng cao Chủ đề 1: Dãy số tự nhiên viết theo quy luật A. Kiến thức cơ bản. - Nắm đợc khái niệm thế nào là dãy số viết theo quy luật ( các phần tử của dãy có mối liên hệ nào đó với nhau ) - Biết nhận dạng dãy số viết theo quy luật và phân tích để tìm ra quy luật đó B. dãy số viết theo quy luật thờng gặp I/ Dãy cộng. 1. Định nghĩa: Dãy cộng là dãy mà mỗi phần tử kể từ phần tử thứ 2 đều lớn hơn phần tử liền trớc đó cùng một số đơn vị. TQ: Dãy a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a n-1 , a n l.à dãy cộng 2. Ví dụ: Dãy số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4 Dãy các số chia 7 có cùng số d là 3 : 3, 10, 17, 24, 31 3. Các loại bài tập về dãy cộng: VD: Xét dãy cộng: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a n-1 , a n a) Tìm phần tử thứ n trong dãy: a n = a 1 + (n - 1) d b) Tính tổng của dãy S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ++ a n-1 + a n = 1 ( ) 2 n a a n+ c) Số các số hạng của dãy: n = 1n a a d - +1 (Trong đó d là khoảng cách giữa hai phần tử liên tiếp) Bài tập áp dụng: Cho dãy: 1, 4, 7, 10, 13, (1) a./ Tìm phần tử thứ 102 của dãy? b./ Nếu viết dãy trên liên tiếp thành một số thì chữ số thứ 302 của số tạo thành là số mấy? Giải: a./ Phần tử thứ 102 của dãy là a 102 = 1 + (102 - 1). 3 = 304 1 a 2 a 1 = a 3 a 2 = a 4 - a 3 == a n - a n - 1 b./ Phân tích: Dãy số trên khi viết liền thành 1 số đợc chia thành các dãy sau - Dãy các số có 1 chữ số chia 3 d 1 là: 1, 4, 7 gồm 3 chữ số - Dãy các số có 2 chữ số chia 3 d 1 là 10, 13, , 97 gồm 97 10 1 30 3 - + = số nên có 30 . 2 = 60 chữ số - Để viết tiếp dãy trên đến chữ số thứ 102 ta phải dùng các số có 3 chữ số kể từ 100 đảm bảo chia 3 d 1. Vậy cần 302 - (3 + 60) = 239 chữ số nữa hay 79 số có 3 chữ số kể từ 100 và 2 chữ số nữa của số thứ 80 (là 2 chữ số đầu trong trong số thứ 80 của dãy 100, 103, 106, ). Mà số thứ 80 của dãy là: 100 + (80 - 1).3 = 337 Vậy chữ số thứ 302 của số tạo bởi dãy (1) là 3 ( hàng chục trong số 337) 147101317334337340 Chữ số thứ 302 Chú ý: Trong phần b./ khi chữ số thứ n phải tìm là số quá lớn ta tiếp tục phân tích thành dãy các số có 3, có 4 chữ số và tiếp tục làm tơng tự II/ Mở rộng 1. VD: Cho các dãy sau: 1, 3, 6, 10, 15 (1) 2, 5, 10, 17, 26 (2) Tìm phần tử thứ 108 của các dãy trên? Giải: - Dãy (1) cha là dãy cộng nhng có thể viết lại thành dãy sau: 1.2 2.3 3.4 4.5 , , , 2 2 2 2 Xét dãy các thừa số thứ nhất trong các tử số: 1, 2, 3, 4, (1) đây là dãy cộng, dễ thấy phần tử thứ 108 của dãy (1) là 108. Từ đó suy ra phần tử thứ 108 của dãy (1) là 108.109 5886 2 = - Dãy (2) viết thành dãy : 1 2 + 1, 2 2 +1, 3 2 + 1, 4 2 + 1, 5 2 +1 Tơng tự ta tính đợc phần tử thứ 108 của dãy (2) là 108 2 + 1 = 11665 2. Dãy Fibonaci: 2 Dãy số Fibonaci là dãy bắt đầu bằng hai phần tử là 1, 1 và kể từ phần tử thứ 3 của dãy mỗi phần tử là tổng của hai phần tử liền trớc phần tử đó 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 Dãy số Fibonaci có nhiều tính chất thú vị ta sẽ nghiên cứu trong các phần tiếp theo C. Các bài tập Bài 1: Cho các dãy sau: 1, 3, 5, 7, 9 (1) 1, 10, 19, 28, 37, . (2) 1, 3, 6, 10, 15,. (3) 1, 7, 17, 31, 49, . (4) 1, 5, 11, 19, 29, . (5) a) Tìm phần tử thứ 123 của các dãy trên: b) Giả sử dãy (1 ) có 500 phần tử, dãy (2) có 200 phần tử. Tìm dãy các phần tử giống nhau của hai dãy? Bài 2: Cho dãy : 2, 22, 222, 2222, , 22222 Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 6, chia hết cho 13 trong dãy? Bài 3: Cho các số a 1 , a 2 , a 3 , ., a 2008 . Biết rằng: ( ) 2 3 2 3 3 1 k k k a k k + + = + Với mọi k = 1, 2, 3, ., 2008 Tính tổng a 1 + a 2 + a 3 + . + a 2008 . Bài 4: Cho S 1 = 1+2 S 2 = 3 + 4 + 5 S 3 = 6 + 7 + 8 + 9 S 4 = 10 + 11 + 12 + 13 +14 . Tính S 100 Bài 5: Chia dãy số tự nhiên kể từ 1 thành từng nhóm (các số cùng nhóm đợc đặt trong ngoặc) (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), . a) Tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 100 b) Tính tổng các số thuộc nhóm thứ 100 Bài 6: Cho A = 1 + 7 + 7 2 + 7 3 + .+ 7 200 và B = 7 201 3 2008 số 2 Chứng minh rằng: A < 6 B D. Hớng dẫn giải Bài 2: Nhận xét: Ta có 222 M 6 vì vậy các số trong dãy muốn chia hết cho 6 thì số các chữ số 2 của nó phải chia hết cho 3. Vậy ta lập dãy 3, 6, 9, 2007(là dãy thể hiện số các chữ số 2 trong dãy trên). Dãy này có số phần tử là 2007 3 1 669 3 - + = Do đó trong dãy 2, 22, 222, 2222, , 22222 có 669 số chia hết cho 6 Bài 3: Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 . 1 k k k k k a k k k k + + + - = = - + + Do đó: 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2008 2009 1 8108486728 1 2009 8108486729 ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = - + - + + - ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ = - = E. tài liệu tham khảo 1. Vũ Hữu Bình_Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1_NXB Giáo dục năm 2002 2. Tạp chí Toán Tuổi Thơ 1 _ NXB Giáo dục 4 2008 số 2 a 1 + a 2 + a 3 + . + a 2008 Chủ đề tự chọn Môn toán lớp 6 chuyên đề nâng cao Chủ đề 2: chữ số tận cùng của một luỹ thừa đồng d _ So sánh hai luỹ thừa A. Kiến thức cơ bản. - Nắm đợc cách tìm số tận cùng của một luỹ thừa với cơ số là số tự nhiên bất kỳ - Hiểu thế nào là đồng d, vận dụng tốt kiến thức của đồng d thức vào làm các bài tập về tìm chữ số tận cùng hoặc chứng minh chia hết - Nắm đợc các phơng pháp cơ bản dùng để so sánh hai luỹ thừa với số mũ tự nhiên. Vận dụng tốt kiến thức để làm bài tập B. Phơng pháp tìm số tận cùng của một luỹ thừa 1. Chú ý: a./ Các số có tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) thì đều có tận cùng là 0, 1, 5, 6 b./ Các số có tận cùng 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 6 c./ Các số có tận cùng 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 1 d./ Số a và a 4n+1 có chữ số tận cùng giống nhau ( , , 0n a N a ) CM: d./ Dùng phơng pháp quy nạp: Xét bài toán: CMR a 4n+1 a M 10 ( , *n a N ) - Với n = 1 ta dễ dàng chứng minh a 5 a M 10 - Giả sử bài toán đúng với n = k (a 4k+1 a M 10 ( , *k a N )) - Ta CM bài toán đúng với n = k + 1 a 4(k+1) +1 - a M 10 - Ta có: a 4(k+1) +1 a = a 4 . a 4k+1 a a 4 . a 4k+1 a 5 (Vì a 5 và a có cùng chữ số tận cùng). - Mà a 4 . a 4k+1 a 5 = a 4 (a 4k+1 a) M 10 ị a 4(k+1) +1 a M 10 Đpcm. 2./ Phơng pháp 5 Để giải bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa ta tìm cách đa cơ số của luỹ thừa về dạng đặc biệt hoặc đa số mũ về dạng đặc biệt đã biết cách tính theo phần chú ý trên VD1: Tìm chữ số tận cùng của 6 195 ; 51 51 ; 2 1000 ; 108 99 99 Giải: - Tận cùng của 6 195 là 6 - Tận cùng của 51 51 là 1 - Ta có 2 1000 = 2 3 . 2 4 . 249 +1 mà 2 3 có tận cùng là 8 và 2 4 . 249 +1 có tận cùng là 2 ( Hoặc ( ) 250 1000 4 250 2 2 16= = ) nên 2 1000 có tận cùng là 6 - Ta có : 99 99 = ( ) 49 2 99. 99 = 99. (.1) 49 có tận cùng là 9 nên 108 99 99 = ( 9) 108 = [( 9) 2 ] 54 có tận cùng là 1 3./ Mở rộng 3.1/ Đồng d: a/ Khái niệm: Trong chú ý d./ ở phần 1 ta có thể nói a đồng d với a 4n+1 theo modun 10 (là hai số có cùng số d khi chia cho 10) Tổng quát : Số tự nhiên a đồng d với số tự nhiên b theo modun m (m 0) nếu a và b chia cho m có cùng một số d. Ký hiệu ( mod )a b m với a, b, m N và m 0 (1) Khi đó nếu a M m ta có thể viết a 0 (mod m ) Hệ thức (1 ) đợc gọi là một đồng d thức b/ Một số tính chất cơ bản của đồng d thức Nếu (mod )a b m và (mod )c d m thì: 1. (mod )a c b d m+ + và (mod )a c b d m- - 2. . . (mod )a c b d m 3. (mod ) n n a b m Các tính chất này có thể đợc áp dụng cho nhiều đồng d thức cùng modun c/ Ví dụ: VD1. Tìm số d của 3 100 cho 13. 6 Tìm số d trong phép chia trên nghĩa là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 13 và đồng d với 3 100 theo modun 13 Ta có ( ) 33 100 99 3 3 3.3 3. 3= = Vì 3 3 = 27 = 13. 2 +1, nên 3 3 1(mod 13) do đó (3 3 ) 33 1 33 (mod 13) hay 3 99 1(mod 13) và 3 3 (mod 13) nên 3 100 3 (mod 13). Vậy 3 100 chia cho 13 có số d là 3 VD 2 .Chứng minh rằng 2 2008 8 chia hết cho 31 Để chứng minh 2 2008 8 chia hết cho 31 ta chứng minh 2 2008 8 0 (mod 31) Ta có : 2 2008 = 2 3 . 2 2005 = 2 3 . (2 5 ) 401 mà 2 5 =32 1 (mod 31) nên ta có (2 5 ) 401 1 401 (mod 31) ị 2 3 . 2 2005 2 3 . 1(mod 31) 2 2008 8(mod 31) Mặt khác 8 8(mod 31) Nên 2 2008 - 8 0 (mod 31). Vậy 2 2008 8 chia hết cho 31 Đpcm. VD 3: CM rng vi mi s t nhiờn n thỡ s 12 2n+1 + 11 n+2 chia ht cho 133 Ta cú: 12 2n+1 =12.12 2n = 12 .144 n Vỡ 144 11(mod133) nờn 144 n 11 n (mod 133) suy ra 12 .144 n 12 .11 n (mod 133) (1) Mt khỏc: 11 n+2 = 121. 11 n M 121 - 12 (mod 133) nờn 121. 11 n - 12 . 11 n (mod 133) (2) Cng v (1) v (2) ta c 12 2n+1 + 11 n+2 0 (mod 133) Vy 12 2n+1 + 11 n+2 chia ht cho 133 pcm VD 4: CM 2008 8 5 23 24+ M Ta cú 5 8 = 25 4 m 25 1(mod 24) nờn 25 4 1(mod 24) 2008 4 25 1(mod 24)ị cũn 23 23(mod 24) Suy ra 2008 8 5 23 (mod 24)+ Vy 2008 8 5 23 24+ M pcm 3.2/ So sánh hai luỹ thừa a/ Phơng pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta dùng các tính chất sau: 7 3. 3 99 3 . 1 (mod 13) 2 2008 - 8 8 - 8 (mod 31) - Trong hai luỹ thừa cùng cơ số luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn - Trong hai luỹ thừa cùng số mũ luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn - Dùng luỹ thừa trung gian b/ Ví dụ: So sánh 1. 10 200 và 99 100 2. 64 8 và 16 12 3. 6 100 và 3 170 Giải: Xét VD 3: Ta có: 6 100 = 2 100 .3 100 và 3 170 = 3 70 .3 100 Để so sánh 6 100 và 3 170 ta chỉ cần so sánh 2 100 và 3 70 . Vì 2 3 < 3 2 nên (2 3 ) 34 < (3 2 ) 34 hay 2 102 < 3 68 mà 2 100 < 2 102 < 3 68 < 3 70 2 100 < 3 70 Vậy 6 100 < 3 170 C. Các bài tập Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: a) 7 14n 1 chia hết cho 5 b) 12 4n + 1 + 3 4n +1 chia hết cho 5 c) 9 2001n + 1 chia hết cho 10 d) n 2 +n + 12 M 5 Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của a) 2008 2009 b)192 16 c) (1234 12 ) 34 d) (19 5 ) 1979 e) 7 9 9 1 1997 f) (33 33 ) 33 g) 357 735 h) (14 4 ) 68 Bài 3: Cho A = 2 1 + 2 2 + 2 3 + . + 2 20 B = 3 1 + 3 2 + 3 3 + . + 3 300 a) Tìm chữ số tận cùng của A b) Chứng minh rằng B chia hết cho 2 b) Chứng minh rằng B A chia hết cho 5 Bài 4: Tìm số d trong các phép chia sau: a) 3 100 : 7 b) 9! : 11 c) (2 100 + 3 105 ) : 15 d) (1532 5 1) : 9 Bài 5: Chứng minh rằng: a) 3012 93 1 M 9 b) 2093 n 803 n 464 n 261 n M 271 c) 6 2n + 3 n+2 3 n M 11 d) 5 2n+1 .2 n+2 + 3 n+2 .2 2n+1 M 19 (với " n ẻ N) 8 Bài 6: Ngày 1 tháng 1 năm 2010 bạn Nam sẽ kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 của mình. Biết rằng ngày 1 tháng 1 năm 2008 là ngày thứ 3 a) Hãy tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày mấy b) Bạn Nam sẽ tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy? Bi 7: Chng minh rng nu a 2 + b 2 + c 2 M 9 thỡ ớt nht mt trong cỏc hiu a 2 b 2 hoc a 2 c 2 hoc b 2 c 2 chia ht cho 9 Bài 8: So sánh các số sau: a) 32 81 và 31 90 b) 1102 2009 1102 2008 và 1102 2008 - 1102 2007 c) A = (2008 2007 + 2007 2007 ) 2008 và B = (2008 2008 + 2007 2008 ) 2007 D. Hớng dẫn giải Bi 7: Nhn xột: Khi chia s nguyờn tu ý n cho 9 thỡ s d nhn c s l mt trong cỏc s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Bi vy Nu n 0 (mod 9) thỡ n 2 0 (mod 9) Nu n 1 (mod 9) thỡ n 2 1 (mod 9) Nu n 2 (mod 9) thỡ n 2 4 (mod 9) Nu n 3 (mod 9) thỡ n 2 0 (mod 9) Nu n 4 (mod 9) thỡ n 2 7 (mod 9) Nu n 5 (mod 9) thỡ n 2 7 (mod 9) Nu n 6 (mod 9) thỡ n 2 0 (mod 9) Nu n 7 (mod 9) thỡ n 2 4 (mod 9) Nu n 8 (mod 9) thỡ n 2 1 (mod 9) Vy dự vi s nguyờn n no i chng na thỡ s n 2 chia cho 9 cng cú s d l mt trong cỏc s 0, 1, 4, 7. Gi s d khi chia a 2 , b 2 , c 2 cho 9 ln lt l r 1 , r 2 , r 3 Ta cú: a 2 + b 2 + c 2 r 1 + r 2 + r 3 0 (mod 9) ( Vỡ a 2 + b 2 + c 2 chia ht cho 9) 9 Nh vy r 1 , r 2 , r 3 ch cú th nhn cỏc giỏ tr 0, 1, 4, 7 nờn r 1 + r 2 + r 3 ch cú th chia ht cho 9 trong cỏc trng hp sau 1) r 1 = r 2 = r 3 = 0 2) Mt trong cỏc s r 1 , r 2 , r 3 bng 1 hai s cũn li u bng 4 3) Mt trong cỏc s r 1 , r 2 , r 3 bng 4 hai s cũn li u bng 7 4) Mt trong cỏc s r 1 , r 2 , r 3 bng 7 hai s cũn li u bng 1. Vy trong mi trng hp u cú ớt nht hai trong cỏc s r 1 , r 2 , r 3 bng nhau. iu ny cú ngha ớt nht hai trong cỏc s a 2 , b 2 , c 2 cú cựng s d khi chia cho 9. Vy cú ớt nht mt trong cỏc hiu a 2 b 2 hoc a 2 c 2 hoc b 2 c 2 chia ht cho 9 pcm. Bài 8: Ta có c) A = (2008 2007 + 2007 2007 ) 2008 = (2008 2007 + 2007 2007 ) 1 .(2008 2007 + 2007 2007 ) 2007 > 2008 2007 . (2008 2007 + 2007 2007 ) 2007 = (2008.2008 2007 + 2008.2007 2007 ) 2007 > (2008.2008 2007 + 2007.2007 2007 ) 2007 = (2008 2008 + 2007 2008 ) 2007 = B Vậy A > B Mở rộng: Ta có thể chng minh bi toỏn tng quỏt : (a n + b n ) n + 1 > (a n + 1 + b n + 1 ) n vi a, b, n l cỏc s nguyờn dng. Tht vy, khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a b. Ta co (a n + b n ) n + 1 = (a n + b n ) n .(a n + b n ) > (a n + b n ) n .a n = [(a n + b n )a] n = (a n .a + b n .a) n (a n .a + b n .b) n = (a n + 1 + b n + 1 ) n . Trong ví dụ trên vi a = 2008, b = n = 2007, ta cú A > B. E. tài liệu tham khảo 1. Vũ Hữu Bình_Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1_NXB Giáo dục năm 2002 2. Tạp chí Toán Tuổi Thơ 1 _ NXB Giáo dục 3. Toán nâng cao và các chuyên đề số học 6 _ NXB Giáo dục năm 1997 4. Mt s vn s hc chn lc_ Nguyn Vn Mu _ NXB Giỏo dc nm 2008 10 [...]... dng a, b bit ab = 2 16 v (a, b) = 6 Li gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1 ; m n Vỡ vy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 2 16 tng ng mn = 6 tng ng m = 1, n = 6 hoc m = 2, n = 3 tng ng vi a = 6, b = 36 hocc l a = 12, b = 18 Bi toỏn 3 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 180, [a, b] = 60 Li gii : T (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180 /60 = 3 Tỡm c (a, b)... một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 3 có số d là 1. f tài liệu tham khảo 1 Vũ Hữu Bình _Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1_NXB Giáo dục năm 2002 2 Tạp chí Toán Tuổi Thơ 1 _ NXB Giáo dục 3 Võ Đại Mau _ Toán nâng cao và phát triển bồi dỡng học sinh giỏi lớp 6 _ NXB Trẻ năm 20 06 CH T CHN MễN TON LP 6 17 CHUYấN NNG CAO Chủ đề 4 : SO SNH HAI PHN S A KIN THC C BN - Nm c cỏc phng phỏp c bn so sỏnh hai phõn...Chủ đề tự chọn Môn toán lớp 6 chuyên đề nâng cao Chủ đề 3 : các vấn đề nâng cao về tính chia hết, ớc và bội A Kiến thức cơ bản - Nắm đợc các dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết của một tổng - Hiểu về mối quan hệ giữa ớc và bội với tính chia hết B Một số bài toán chứng minh về tính chia hết I Chú ý : Nhắc lại về ớc và bội - Nếu a M... Do đó a 12 36 b 15 5 b 180 60 d Các dạng bài tập 16 Bi tp t gii : Bi 1 : a) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16 b) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit ab = 2 16 v (a, b) = 6 c) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit ab = 180, [a, b] = 60 d) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit a/b = 2 ,6 v (a, b) = 5 e) Tỡm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140 HD: t (a, b) = d Vỡ , a/b = 4/5 , mt khỏc (4, 5) = 1 nờn a = 4d, b = 5d... (a, b) = 16 Li gii : Do vai trũ ca a, b l nh nhau, khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a b T (*), do (a, b) = 16 nờn a = 16m ; b = 16n (m n do a b) vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1 Theo nh ngha BCNN : [a, b] = mnd = mn. 16 = 240 => mn = 15 => m = 1 , n = 15 hoc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoc a = 48, b = 80 Chỳ ý : Ta cú th ỏp dng cụng thc (**) gii bi toỏn ny : ab = (a, b).[a, b] => mn. 162 = 240. 16 suy ra... M24 Đpcm 2) Các bài toán phối hợp giữa ƯCLN và BCNN Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên a, b (a Ê b)biết ƯCLN(a,b) = 12, BCNN(a,b) =180 Giải: Theo đầu bài: ƯCLN(a,b) = 12 Do đó a =12.a và b = 12.b trong đó ƯCLN(a,b) = 1 (a Ê b; a, b N) Vì ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) = a.b nên 144a.b = 2 160 suy ra a.b = 15 a 1 3 Do đó a 12 36 b 15 5 b 180 60 d Các dạng bài tập 16 Bi tp t gii : Bi 1 : a) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit [a,... ý : phõn s tng ng vi 2 ,6 phi chn l phõn s ti gin do (m, n) = 1 14 Bi toỏn 5 : Tỡm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140 Li gii : t (a, b) = d Vỡ , a/b = 4/5 , mt khỏc (4, 5) = 1 nờn a = 4d, b = 5d Lu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35 Bi toỏn 6 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a + b = 128 v (a, b) = 16 Li gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b Ta cú : a = 16m ; b = 16n vi m, n thuc Z+ ; (m,... qu : a = 3, b = 60 hoc a = 12, b = 15 Chỳ ý : Ta cú th tớnh (a, b) mt cỏch trc tip t nh ngha CLN, BCNN : Theo (*) ta cú ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3 Bi toỏn 4 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a/b = 2 ,6 v (a, b) = 5 Li gii : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1 Vỡ vy : a/b = m/n = 2 ,6 => m/n = 13/5 tng ng vi m = 13 v n = 5 hay a = 65 v b = 25 Chỳ... 23 33 + + 41 49 65 12 23 + 11 12 14 14 21 19 + 6 B = 21 19 - 7 100 2010 +1 B= 1002009 +1 B= 21 50 + 51 + 52 + + 59 30 + 31 + 32 + + 39 e/ A= 0 B= 0 5 + 51 + 52 + + 58 3 + 31 + 32 + + 38 n n +2 f / A= B= vi n ẻ N n +1 n +3 n2 - 1 n2 + 3 g / A= 2 B= 2 vi n ẻ N n +1 n +4 Bi 2: Chng minh rng: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + < a) + + + + 3 31 35 37 47 53 61 2 1 1 1 1 1 1 < b) < 2 + 2 + 2 + 6 5 6 7 100 2 4 1 1... 1 : 2 : 3 ch cú th l 1, 2, 3 hoc 2, 4, 6 hoc 3, 6, 9 nờn s phi tỡm cú cỏc l s lp nờn t mt trong ba b cỏc ch s trờn Nhng s phi tỡm chia ht cho 18 ngha l chia ht cho 9 nờn tng cỏc ch s ca nú phi chia ht cho 9 Nh vy ch cú b ba ch s 3, 6, 9 tho món iu kin ú Mt khỏc s ú chia ht cho 18 nờn phi chia ht cho 2 suy ra nú cú ch s tn cựng l s chn Vy s phi tỡm l 3 96 hc 9 36 tho món cỏc iu kin ca bi toỏn Nhn xột: . tham khảo 1. Vũ Hữu Bình _Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1_NXB Giáo dục năm 2002 2. Tạp chí Toán Tuổi Thơ 1 _ NXB Giáo dục 3. Toán nâng cao và các chuyên đề số học 6 _ NXB Giáo dục năm 1997. a ≤ b. Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z + ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 2 16 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3. Hữu Bình _Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1_NXB Giáo dục năm 2002 2. Tạp chí Toán Tuổi Thơ 1 _ NXB Giáo dục 3. Võ Đại Mau _ Toán nâng cao và phát triển bồi dỡng học sinh giỏi lớp 6 _ NXB Trẻ