Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Giải phương trình Schrodinger dừng bằng phương pháp thời gian ảo

Danh mục các bảng số liệuBảng 1: Các mức năng lượng E, theo chi số trạng thái n bằng phương pháp thời gianảo trong trường hợp @=Í VÀ OA sisssssassssciscsssasssasseasssasssasionsscacssacs

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

BANG PHUONG PHAP THOI GIAN AO

GVHD: TS Nguyễn Ngọc Ty

SVTH: Lê Thi Thanh Thủy

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

Lời cảm ơn

Đề hoàn thành luận văn này cũng như khóa học, tôi đã nhận được sự quan tâm động viên, giúp đỡ từ gia đình, thay cô, bạn bè và mọi người xung quanh Thông qua luận văn này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả mọi người.

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS Nguyễn Ngọc Ty Thây đã

nhiệt tình hướng dẫn động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận

văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thây cô anh chị trong tô Vật lý lý thuyết đã giúp đỡ và

tạo điều kiện đề tôi hoàn thành tốt luận văn.

Tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện cho tôi trong những năm thánghọc đại học.

Tôi xin cảm ơn thầy cô trong khoa Vật lý trường Dai học Sư phạm thành phố Hỗ ChíMinh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức và kỹ năng quý báu dé tôi vững tin trong nghề

nghiệp của mình.

Xin cảm ơn !

TP Hé Chí Minh, ngày OL tháng 04 năm 2013

Lê Thị Thanh Thủy

TAY | GMI OTN ¿š35360550058579554495589355515616354135903135860950005674378E4323038885506E56030853128336 2

NÊN HN 201056001060010101161111756120001120011003791001275512010199031959919753525593995513053127056355702555 3Danh mục các hình vẽ, đề thal ssssscesscssscsscsscssssscsesssssoessacascoscsssssesseesacsssesseese'@

Dariliinige các bảng số HỆ ascsscssccssscssssisscsssssvssessessesssssssssnenssnsssssssssossessseass 5

Lời mổ ÑẦN sossoiosssosoeis55026221016916561253665553565319363559363953563559363553963556865253565555383853 1

Chương I: Giới thiệu về phương trình Schrédinger - 3

1.1 Phương trình Schrédinger phụ thuộc thời gian - Sex eeeeexee 3 1.2 Phương trình Schrödinger dừng -occcccSoSScoeeescsocsee 5

Chương II: Giới thiệu phương pháp thời gian ảO «.ss«555<<< 7

Zell, Prarie A CO DÂN hgpssistnitsistsigi5031115111015113110153120313031015081638751984938535)5980335851805083588588 7

2:2 8 Cem ARAN RACH MRECD 2iis2ii:2tsi2i22212021221222022202120502127295520575552395ã8314030ã335425ãã258835422028284 9

Chương III: Kết qua nghiệm số phương trình Schrödinger bang

phương pháp thời gian ảo trong một số trường hợp ST 1V.

8\I.If)s0:10nPitTrflib0IROiB:sss:iassss:2i562i20211121142261631192110211023196410931212130213022215331805189515127 12

3.2 Hạt chuyên động dưới tác dụng của thế Morse -.-¿-s¿scsevrsecrsee 15

3.3 Dao động tử phi điều hòa bậc ban eecessecsescescessesseessessessesssessesseeseeseeeees 20

3.4 Dao động tử phi điều hòa bậc bốn - 252 ©s2Szz se Stzrxrxzkerrerrerrscsee 24

K6t IAM 0 28

Tài liệu tham khảo š206633863356456335585 šÊ3631366456634638395855 šE8i0435565558 31

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình |: Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961) là nhà vật lý người

Hình 2: Khảo sát sự hội tụ của năng lượng khi r > ứng với các ham ban đầu khác nhau Đường liền nét ứng với hàm sinx, đường đứt nét màu đỏ ứng với hàm hang số và

đường đứt nét màu den ứng với hằm e” 5Á Ăn SH xe, l6

Hình 3: Năng lượng của đao động tử điều hòa trong hai trường hợp (a) @=1 và (b)

œ=2 Đường liền nét là kết quả nghiệm chính xác va cham tròn là nghiệm giải bằng

phương:pháp tiời:giAD:ÃO: cioscecocoosooeoosiianistiissiiatiiAS101131123611635886155558855855553588855558358635 18

Hình 4: So sánh kết qua năng lượng của hat dao động trong thé Morse Đường lién nét

là kết quả nghiệm chính xác, 6 vuông là kết quả công trình [7], cham tron là kết quả của tácgiá băng phương pháp thời gian ảO 2 0c 0 2t 2 n1 se 23

Hình 5: Kết qua năng lượng của dao động tử phi điều hòa bậc ba ứng với (a) 2 = 0.001,

(b) 2 =0.002, (c) 2 =0.01 và (đ)2 =0.02 Dau cham tròn là kết quả giải bằng phương pháp

thời gian ảo và đường liền nét là kết quả giải bằng phương pháp nhiễu

Hình 6: Kết quả năng lượng của dao động tử phi điều hòa bậc 4 ứng với (a) 2=0.01, (b) 2=0.02 va(c) A=0.05 Đường liên nét là kết quả của phương pháp toán tử, đường đứt nét là kết quả của phương pháp nhiễu loạn, cham tròn là kết quả của phương pháp thời gian

Danh mục các bảng số liệuBảng 1: Các mức năng lượng E, theo chi số trạng thái n bằng phương pháp thời gian

ảo trong trường hợp @=Í VÀ OA sisssssassssciscsssasssasseasssasssasionsscacssacseosssacssanseosssacseasie 17

Bảng 2: Kết qua các mức năng lượng theo chỉ số lượng tử n bằng nghiệm chính xác,

phương pháp thời gian ảo của tác giả và công trình [7] -<<c<<cee<xeeeee-xe 22

Bảng 3: Các mức năng lượng E, theo n bằng phương pháp thời gian ảo và nhiễu loạn

ứng với 4 =0.001 và 4 =0.01 cho dao động tử phi điều hòa bậc ba 28

Bang 4: Kết quả mức năng lượng E, tính bằng các phương pháp thời gian ảo toán tử

Lời mở đầu

Phương trình Schrödinger là phương trình động lực học cơ bản quan trọng trong cơ

học lượng tử phi tương đối tính Phương trình này có vai trò tương tự như phương trình định

luật II Newton trong cơ học cô điển Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc một theo thời gian và bậc hai theo tọa độ giúp chúng ta khảo sát sự biến đôi trạng thái của hệ theo thời gian Trong trường hợp hệ không tương tác với trường ngoài biến thiên theo thời

gian, ta có phương trình Schrödinger dừng có nghiệm là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ

đang xét và trị riêng của phương trình là năng lượng của hệ đang xét Từ ham sóng va năng

lượng sau khi giải phương trình Schrödinger, cho phép tính toán các đặc tính mong muốn từ

đó có thé tìm ra những tính chất mới và hình dung một cách tông quan hơn ve phổ năng lượng của bài toán Chính vì vậy, việc giải phương trình Schrédinger là van đề cơ bản trong

cơ học lượng tu Hơn nữa, trong các bài toán tương tác giữa hệ va trường ngoài phụ thuộc

thời gian, việc giải phương trình Schrédinger dừng khi hệ chưa chịu tác dụng của trường thé

cũng rất quan trọng Nó được xem như điều kiện đầu, có vai trò quyết định dé xem xét hệ ở

những thời điểm trong quá trình tương tác Do đó, việc giải chính xác phương trình

Schrödinger dừng có ý nghĩa vật lý quan trọng.

Tuy nhiên, việc giải nghiệm giải tích một cách chính xác phương trình Schrödinger

đừng chỉ thực hiện được trong một số it trường hợp như hạt chuyền động trong hồ thế sâu

vô han, dao động tử điều hòa, nguyên tử hydro Chính vì vay, dé nghiên cứu các bài toán phức tạp hơn chúng ta phải sử dụng các phương pháp gan đúng Các phương pháp kinh điện

hay được sử dụng lả phương pháp nhiễu loạn va phương pháp biến phân Nhưng điều đángnói ở đây, phương pháp nhiễu loạn chỉ giải quyết tốt khi phần thế năng nhiễu loạn là rất nhỏ

so với năng lượng của hệ khi chưa có nhiễu loạn Khi phan thé năng nhiễu loạn không còn nhỏ nữa thì nghiệm tìm được không còn hội tụ nữa Con đối với phương pháp biến phân việc đoán hàm sóng ban đầu không phải dé đàng và khó áp dụng cho các trạng thái kích thích Với tốc độ phát triển công nghệ máy tính hiện nay, việc xây dựng những phương pháp giải số nghiệm của phương trình Schrédinger dừng rất được quan tâm và phát triển.

Các nhà khoa học đã cho ra đời nhiều phương pháp giải số hiệu qua và đáng tin cậy.

Chang hạn như phương pháp Runge - Kutta, phương pháp Crank — Nicolson Trong đó,

phương pháp thời gian áo cũng là một trong những phương pháp giải số hiệu quả cao Mẫu

chốt của phương pháp nảy là thay đại lượng bằng đại lượng z (thời gian ao) Việc giải

số phương trình vi phân bậc nhất theo thời gian được chúng tôi tiền hành lập trình kết hợpvới phương pháp tách toán tử [6] Trong luận văn, tác giá sử dụng chương trình được xây

dựng trên ngôn ngữ lập trình Fotran 90 do TS Nguyễn Ngọc Ty thuộc nhóm trường Đại học

Sư phạm thành phố Hỗ Chí Minh viết.

Bố cục luận văn bao gồm 3 chương chính Chương I, sơ lược về phương trình

Schrédinger phụ thuộc thời gian và phương trình Schrödinger đừng dé có cái nhìn tổng quan

hơn Sau đó, chương II trực tiếp liên quan đến dé tài luận văn là phương pháp thời gian ảogiải số phương trình Schrödinger dừng Trong phan nay, tác giả sẽ đi từ việc tìm hàm sóng ở

trạng thái cơ bản, sau đó tìm hàm sóng ở các trạng thái cao hơn bằng cách loại bỏ hàm sóng

ở trạng thái thấp hơn nó dé tạo nên không gian Hilbert mới mà trạng thái cần tìm là trạng

thái cơ bản Từ đó có thê đi tìm lần lượt hàm sóng của các trạng thái kích thích cao hơn Kết

quá đạt được của luận văn là nghiệm số chính xác trong một số trường hợp: dao động tử

điều hòa, hạt chuyên động dưới tác dụng của thé Morse, dao động tử phi điều hòa bậc ba và

bậc bón Kết quả được trình bày cụ thé trong chương LI Dem so sánh kết quả thu được vớicác kết quả của các phương pháp khác tin cậy như nghiệm chính xác phương pháp nhiễuloạn, phương pháp toán tử Từ đó thấy được tính đúng đắn và hiệu quả của phương pháp

này Ngoài ra, tác giá còn so sánh kết qua thu được với kết quả của công trình [7] dé khang

định thêm sự hiệu quả của phương pháp này.

Các kết qua thu được bang phương pháp thời gian ao trong bài toán dao động tử điều hòa và phi điều hòa được công bố trên tạp chí khoa học trường Đại học Sư phạm thành phố H6 Chí Minh [3].

tv

Chương I: Giới thiệu về phương trình Schrödinger

Trong chương nay, tác gia sẽ trình bày tông quan về phương trình Schrédinger phụ

thuộc thời gian và tính chất chung về nghiệm của nó Đây là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử phi tương đối tính, có vai trò tương tự như phương trình của định luật II Newton trong cơ học cô điền Sau đó, tác giả xét trường hop hạt chuyên động trong trường thế không phụ thuộc vào thời gian Trong trường hợp này, hamiltonian bằng tông động năng và

thế năng không phụ thuộc vào thời gian nên năng lượng của hạt được bảo toàn

1.1 Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrodinger (1887-1961)

là nhà vật lý người Ao Năm 1933, ông được nhận giải

thưởng Nobel nhờ phát minh ra phương trình Schrödinger.

Năm 1926, E Schrödinger đưa ra phương trình cơ bản

của cơ học lượng tử phi tương đối tính: phương trình

Schrödinger Cũng giống như những phương trình cơ bản

của vật lý, phương trình Schrödinger được đưa ra như một

tiên đề:

Sự biên đôi trạng thái của hệ lượng tứ theo

thời gian được mô tả bởi phương trình

Hình |: Erwin Rudolf Josef Alexander Schrodinger (1 887- 1961)

—— là nhà vat lý người Ao.

6M(r.t) +

in = HY(r.t),

Or

(1.1)

trong đó # là hamiltonian của hệ, W{,/) là hàm sóng mô tả trang thái của hạt,

Trong trường hợp tông quát, khi trường lực tác dụng vào hệ phụ thuộc vào thời gian nhưng không phụ thuộc vào vận tốc hạt thì hamiltonian có dạng

+

a

H =— 4 _A+Vớ,0, (1.2)

2m

fh là hằng số Planck thu gọn

m : khối lượng của hạt

V(F,t) : thé năng tương tác của hạt

Sau đây là lập luận dé dan đến phương trình Schrédinger :

Ta xét một hạt chuyền động tự do Theo giả thuyết sóng của de Broglie, chuyên động

này liên kết với một sóng phẳng với tan số ø và vectơ sóng £_ bởi hàm số phức

Đối với hạt chuyên động trong thế nang V(r) không phụ thuộc vào van tốc của hạt thì

năng lượng của nó gồm động năng và thé năng Nên công thức trên được viết lại tổng quát

AVG.) =i,

or (1.5)

vol =- Axvữứ.o (1.6)

2m

Nghiệm của phương trình (1.1) có một số tính chất chung quan trọng:

- Phương trình (1.1) là phương trình tuyến tính nên nghiệm của nó thỏa mãn

nguyên lý chông chất trạng thái

= Phương trình (1.1) là phương trình vi phân bậc nhất theo thời gian và bậc hai

theo tọa độ có thừa số ảo ở bên trái nên nghiệm của nó tuân hoàn theo thời gian

- Vi phương trình Schrodinger là phương trình vi phân bậc nhất theo thời gian

nên nếu biết hàm sóng tại thời điểm ¿ = 0 thi cũng có thé tìm được hàm sóng của hạt

tại mọi điểm sau đó Như vậy phương trình Schrödinger phản ánh nguyên lý nhân

quả.

1.2 Phương trình Schrödinger dừng

Nếu hạt chuyên động trong trường lực không thay đôi theo thời gian thì hamiltoniancủa hệ cũng không phụ thuộc vào thời gian Lúc này ta có thể tách biến phương trìnhSchrödinger ở (1.1), hàm sóng được viết dưới dạng

HO =wŒ).ƒ0), (1.7)

với hàm y(7) chỉ phụ thuộc vào toa độ không gian còn f(r) chi phụ thuộc vào thời gian.

Khi đó, (1.1) được viết lại

¡n_°Vữ)-0) _ dựŒ).ƒ(),

Cr

ep ih Of) _ Hy)FO a at) = hang s6=E (1.8)

Từ đó thu được hai phương trình

Phuong trình (1.9) là phương trình trị riêng của toán tử # Với E, và yw, là trị riêng

và hàm riêng của phương trình (1.10) (giả sử năng lượng của hạt là gián đoạn) thì phương

trình (1.1) có nghiệm viết đưới dạng

W.Œ.Ð0=w,c (1.11)

(1.10) gọi là phương trình Schrödinger dừng và các trạng thái ở (1.12) là các trạng thái

dừng.

Vậy, khi hạt chuyên động trong trường lực không thay đồi theo thời gian thì việc giải

phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian quy về giải phương trình Schrödinger dừng Nghiệm của phương trình phụ thuộc vào dang cụ thé của thé năng V(r) nhưng chúng có

một số điểm chung là hàm riêng „ hữu hạn, đơn trị và liên tục

Nghiệm tông quát của (1.1) lúc nảy được viết dưới dạng

Es

WŒ,)=SC,V,ứ,0=SC e9”, (1.12)

trong đó C, là những hệ số không phụ thuộc vào thời gian

Như đã nói, khi trường lực tác dụng lên hệ không thay đôi theo thời gian thì giải

phương trình (1.1) trở thành giải phương trình (1.10) Việc giải phương trình này là một

trong những bài toán cơ bản của cơ học lượng tử Bằng cách giải chính xác, ta chỉ giải được

trong một số trường hợp đơn giản như hạt chuyển động trong hồ thế, rào thế, dao động tử

điều hòa Có nhiều phương pháp giải gần đúng phương trình (1.10), trong đó phương

pháp nhiễu loạn được xem là một phương pháp kinh điện Tuy nhiên, phương pháp nay cho

nghiệm hội tụ tốt khi phần nhiễu loạn VŒ,:) được xem là nhỏ Vậy nên, khi V(r) khôngnhỏ nữa thì phương pháp này không còn hiệu quả Một phương pháp gần đúng khác làphương pháp biến phân, tuy nhiên cũng gặp khó khăn với việc chọn hàm sóng thử ban đầu

Với yêu cầu cần phải giải chính xác nghiệm phương trình Schrödinger dừng, ngàynay, người ta quan tâm đến việc giải nghiệm bang số chính xác của phương trình (1.10)

Các nhà khoa học đã phát triển nhiều phương pháp giải số như phương pháp Runge — Kutta,

phương pháp Crank — Nicolson Phương pháp thời gian ảo cũng là một trong những

phương pháp giải số nghiệm của phương trình Schridinger dừng (1.10) và sẽ được tác giả

trình bày cụ thẻ hơn trong chương sau.

Chương II: Giới thiệu phương pháp thời gian ao

Chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một phương pháp giải số nghiệm chính xác

phương trình Schrödinger dừng: phương pháp thời gian ao Phương pháp nay được hai nhà

khoa học Israel R Kosloff và H Tal-Ezer phát triển từ năm 1986 để giải phương trình Schrödinger dừng Đây là một trong những phương pháp giải nghiệm số chính xác phương

trình Schrödinger đừng vả được sử đụng một cách rộng rãi [2], [3], [7].

Phan đầu của chương là lý thuyết dé tim hàm sóng ở trạng thái cơ bản và sau đó la

cách tìm hàm sóng ở trạng thái kích thích có mức năng lượng cao hơn.

Chúng ta sẽ giải phương trình (2.1) với điểm xuất phát là (1.1) Phương trình Schrödinger

phụ thuộc thời gian (1.1), khí chuyển sang hệ đơn vị nguyên tử, (các kết quả của chương sau

cũng được giải trong hệ đơn vị nguyên tử), được viết lại thành

WŒ,r)=e“tŒ,0) (2.4)

7

Vì hệ hàm riêng w,(7) là hệ day đủ nên ta khai triển W(7,0)theo tổ hợp tuyến tính của hệ

này

V(F,0) =} Cw, (F), (2.5)

trong đó yw, (7) là hàm sóng ứng với các trang thái dừng của hệ.

Thay (2.5) vào (2.4), ta được

WŒ,r)=e "9C v,@= SG ey, = VC ®*ự,Œ) (2.6)

Nếu r thực và khi r—> 2 thi ¥(7,r) tiễn đến giá trị y,(7) Thật vay, ta có

W(F,r) = cữ cv, (Œ)= vce yw.) = Ce ey, (7) (2.7)

Lúc này ta cần chuẩn hóa lại hàm sóng (2.7) bang cách đưa vào (2.7) một hằng số C Theođiều kiện chuẩnhóa <W(7,r)IW(,r)>=1 ta có:

với E, là năng lượng của hệ ở trạng thái cơ bản Z„ là năng lượng nhỏ nhất mà hệ có thé có

đo đó E, < Eị < E; < E< hay E, >E, nên khi roo thie" ~y0 hay WŒ,r)—>y.

Như vậy thay vì giải phương trình Schrédinger dừng (2.1), chúng ta sẽ giải phương

trình phụ thuộc thời gian r ảo (2.4) ( lúc nay không còn là phương trình Schrödinger) với

hàm sóng ban đầu W(7,0) bat kỳ và khi r—> thì hàm sóng thu được sẽ là hàm sóng ứng

với trạng thái cơ bản của (2.1).

Tuy nhiên, trong thực tế của quá trình tính toán thì ta không thể cho r > © được màchỉ cho r tiến đến một giá trị nảo đó đủ lớn Điều kiện r đủ lớn được thê hiện khi nănglượng chênh lệch giữa hai bước nhảy thời gian đủ nhỏ với mức độ sai số cho trước £ Điều

kiện này thê hiện qua biểu thức (2.11)

E(r+dr)- E(r)<e, (2.11)

với dr là bước nhảy thời gian giữa hai lần tính năng lượng.

Tiếp theo, ta cần đi tìm hàm sóng của những trạng thái ở mức kích thích

2.2 Trạng thái kích thích

Hàm sóng ở trạng thái kích thích đầu tiên (z = 1) được tim bang cách loại bỏ trạng thái

ở mức cơ bản trong không gian Hilbert cũ Ta có thê xem trạng thái kích thích thứ nhất này

là trạng thái cơ bản trong không gian Hilbert mới này Sau đó việc tìm hàm sóng ở trạng

thái cơ bản trong không gian Hilbert mới được thực hiện tương tự như trong phần trên Vì

vậy chúng ta có thể xây dựng một chương trình dé giải số phương trình này thuận tiện hơn.

Nếu dat 7, =|y,)(y,,| thì hàm sóng ở trạng thái kích thích thứ nhất sẽ là

#,)=(I— P,)e '“W(0), (2.12)

với ham sóng W{0) là một hàm sóng ban đầu mà ta có thé chọn tùy ý.

9

Thật vậy, từ (2.6) ta có thẻ viết lại (2.12) như sau

Một cách tương tự, đề tìm trạng thái kích thích thứ hai ta trừ hàm sóng của trạng thái ở

mức thấp hơn ( trạng thái thứ 0 và trang thái thứ 1)

W;()=(I—R,—BR)e”“W(0) (2.16)

Cứ tiếp tục các bước tương tự như trên dé tìm được trạng thái ở các mức năng lượng

cao hơn Một cách tông quát, hàm sóng ở trạng thái kích thích thứ n được tinh bằng

Như vậy, theo lý thuyết ta có thể tìm được hàm sóng và năng lượng ở một trạng thái

bat kỳ nao đó Đề kiêm chứng tính tính tin cậy của phương pháp nay, chúng tôi sẽ khảo sát

một số trường hợp cụ thé và so sánh kết quả thu được với một số phương pháp khác, kết

qua sẽ được trình bày cụ thé ở chương IIL

Chương III: Kết quả nghiệm số phương trình Schrödinger bằng

phương pháp thời gian ảo trong một số trường hợp

Chương nay, tac giả áp dụng phương pháp thời gian ao đã giới thiệu ở chương II trong

các trường hợp đao động tử điều hòa, hat chuyển động đưới tác dụng của thé Morse, dao

động tử phi điều hòa bậc ba và bậc bốn trong không gian một chiều Kết quả của phương

pháp này được so sánh với các kết quả giải bằng các phương pháp đáng tin cậy khác là

phương pháp nhiều loạn và phương pháp toán tử Từ đó có thê thấy được sự hiệu quả chính

xác của phương pháp thời gian ảo trong việc tìm nghiệm của phương trình Schrédinger

dừng Kết quả được giải trong hệ đơn vị nguyên tử m, =h=e=1

3.1 Dao động tử điều hòa

Trong phân này, tác giả sẽ khảo sát sự hội tụ của năng lượng cơ bản Eụ theo thời gian

bằng những hàm ban đầu khác nhau Sau đó, so sánh kết quả năng lượng giải bằng phương

pháp thời gian ao với nghiệm chính xác Trong phan này chúng tôi xét hạt có m=!

với H,(x) là đa thức Hermite, 4, Í 1) _1

mz} vj2"m là hệ sô chuân hóa.

3.1.2 Nghiệm số với phương pháp thời gian áo

WŒ,0) ở (2.5), W(0) ở (2.12), (2.16) và (2.17) là những ham tùy ý cho trước gọi là

hàm ban đầu.Trước hết, khảo sát mức năng lượng cơ ban E¿ hội tụ theo thời gian bằng các

hàm ban đầu (7,0) là hàm hằng số, hàm e* , hàm sinx

Trong phan này, tác giả chạy với các thông số khối lượng dao động tử m = 1 (a.u), số bước nhảy My, = 1024, trạng thái thứ ø lớn nhất Nya = 30, X„„› = -20(4.0); X„„„ = 20/a.u); bước nhảy thời gian dr =0.0l(au) ; độ sai số năng lượng ¢ =10"" (au) Kết quả

thê hiện như hình 2 cho trường hợp dao động tử điều hòa

Ning luting (a.u)

Hình 2: Khao sát sự hội tụ của năng lượng khi z—>> ứng với các hàm ban đầu khác

nhau Đường liền nét ứng với hàm sinx, đường đứt nét màu đỏ ứng với hàm hang số và

đường đứt nét màu đen ứng với hàm e“.

Như hình trên, ham hang cho kết quả hội tụ năng lượng E theo thời gian z nhanh hơn

so với hai hàm còn lại Hàm e“ có tốc độ hội tụ chậm hơn Tuy nhiên sau một khoảng thời

gian thì chúng đều cho các mức năng lượng hội tụ tại một giá trị E xác định Kết quả thu

13