Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 - THCS Thanh Hoá Năm học 2004 - 2005 Môn t h i : Toán học - Bảng A Đề chính thức ( Thời gian : 150 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (3,5 điểm) Chứng minh rằng, nếu y x 3 + x 2 + x + 1 (1) thì ta có : x 2 + y 2 1 (2). Tìm tất cả các cặp số (x, y) thoả mãn điều kiện (1) để (2) xảy ra dấu bằng. Bài 2 : (4 điểm ) Cho A = 2 4 1 4 1 2 2 1 8 16 x x x x x x + + + a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng, với mọi giá trị nguyên của x, biểu thức A không thể nhận giá trị nguyên . Bài 3 : (4 điểm ) Giải hệ phơng trình : 2 2 2 2 3 3 3 0 y x x y x y x y + = + + = + Bài 4 : (6 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi H và M lần lợt là chân các đờng cao và đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh B xuống cạnh AC. Gọi K là chân đờng vuông góc hạ từ H xuống AB. Đờng thẳng KH cắt đ- ờng kính BD của đờng tròn (O) tại E. Chứng minh rằng : 1) CE vuông góc với BD. 2) Các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABH và MEH tiếp xúc với nhau tại H. Bài 5 : (2,5 điểm ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x 2 - 1 = y + y 2 + y 3 + y 4 . Họ tên : Số báo danh : . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 - THCS Thanh Hoá Năm học 2004 - 2005 Môn t h i : Toán học - Bảng A Đề chính thức ( Thời gian : 150 phút - không