ĐỀ THI HSG TOÁN 2009

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO HUYỆN BUÔN ĐÔN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 64 1 1 1 1 1 1 ≥       +       +       + cba Câu 2 (3 điểm): Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn phương trình: x + y + z + 4 = 2 2 − x + 4 3 − y + 6 5 − z Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:          = + = + = + 2 1 1 5 1 1 2 zx xyz zy xyz yx xyz Câu 4 (2 điểm): Cho 112 1 112 1 2 ++ − −+ = x Tính giá trị của biểu thức: A = (x 4 – x 3 – x 2 + 2x – 1) 2003 Câu 5 (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 120 0 , tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15 0 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh: 222 3 411 ABANAM =+ Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông tại D, lấy C là điểm thuộc cạnh AB. Kẻ CH vuông góc với AD (H ∈ AD). Đường phân giác của góc BAD cắt đường tròn đường kính AB tại E, cắt CH tại F; DF cắt đường tròn trên tại K. a) Chứng minh rằng tứ giác AFCK nội tiếp. b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng. c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (I ∈ DK). Chứng minh CI = CB và DF là đường trung tuyến của tam giác ADC. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: TOÁN Câu 1 (3 điểm): Ta có a 1 1 + = a a 1 + = a cbaa +++ (0,5 điểm) Do a, b, c > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a 1 1 + = a cbaa +++ ≥ a bca 22 2 + ≥ a bca .2.2 2 = a bca 4 2 4 Vậy: a 1 1 + ≥ a bca 4 2 4 (0,5 điểm) Tương tự: b 1 1 + ≥ b acb 4 2 4 (0,5 điểm) c 1 1 + ≥ c abc 4 2 4 (0,5 điểm) Từ đó, suy ra: abc cba cba 4 444 .64 1 1 1 1 1 1 ≥       +       +       + = 64 (đpcm) (1 điểm) Câu 2 (3 điểm): ĐK: x ≥ 2 ; y ≥ 3 ; z ≥ 5 Ta có: x + y + z + 4 = 2 2x − + 4 3y − + 6 5z − ⇔ (x - 2 - 2 2x − + 1) + (y - 3 - 2.2 3y − + 4) + (z-5 - 2.3 5z − + 9) = 0 (0,5 điểm) ⇔ ( 2x − -1) 2 + ( 3y − - 2) 2 + ( 5z − - 3) 2 = 0 (0,5 điểm) ⇔ 2 1 0 3 2 0 5 3 0 x y z  − − =   − − =   − − =   (0,5 điểm) ⇔ 2 1 3 2 5 3 x y z  − =   − =   − =   (0,5 điểm) ⇔ 2 1 3 4 5 9 x y z − =   − =   − =  (0,5 điểm) ⇔ 3 7 14 x y z =   =   =  (0,5 điểm) Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình:          = + = + = + 2 1 1 5 1 1 2 zx xyz zy xyz yx xyz ⇔          = + = + = + 3 2 6 5 2 1 xyz zx xyz zy xyz yx ⇔          =+ =+ =+ (3) 3 211 (2) 6 511 )1( 2 111 xyyz xyxz xzyz (1 điểm) (1) + (2) + (3): (4) 1 111 =++ yzxyxz (0,5 điểm) Lấy (4) – (1): 2 11 = xy (0,5 điểm) (4) – (2): 6 11 = yz (0,5 điểm) (4) – (3): 3 11 = xz (0,5 điểm) Vậy xy = 2, yz = 6, xz = 3 Ta có: (xyz) 2 = 36 ⇒ xyz = 6 hay xyz = -6 Trường hợp 1: xyz = 6. Ta có: x = 1, y = 2, z = 3 (0,5 điểm) Trường hợp 2: xyz = -6. Ta có: x = -1, y = -2, z = -3 (0,5 điểm) Câu 4 (2 điểm): Ta có 112 1 112 1 2 ++ − −+ = x = 112 112112 2 −+ ++−++ (0,5 điểm) = 2 2 2 2 = (0,5 điểm) Ta lại có: A = (x 4 – x 3 – x 2 + 2x – 1) 2003 = ( ) ( ) [ ] 2003 3 11 +−− xxx (0,5 điểm) Thay x = 2 vào A, ta được: A = ( )( ) [ ] 2003 122212 +−− = ( )( ) [ ] 2003 1212 +− = 1 2003 = 1 (0,5 điểm) Câu 5 (4 điểm): Vẽ hình; viết GT, KL đúng (0,75 điểm) Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho góc DAE bằng 15 0 , suy ra ∧ NAE = 90 0 (0,5 điểm) BAMDAE Λ=Λ⇒ (g.c.g) (0,5 điểm) ⇒ AE =AM (0,25 điểm) Xét tam giác EAN vuông tại A, đường cao AH, ta có: 222 111 AHANAE =+ (0,5 điểm) suy ra: 222 111 AHANAM =+ (1) (0,5 điểm) Xét tam giác đều ADC, đường cao AH ta có: AH 2 = 22 4 3 4 3 ABAD = (2) (0,5 điểm) Từ (1), (2) suy ra 222 3 411 ABANAM =+ (Đpcm) (0,5 điểm) Câu 6 (4 điểm): Vẽ hình và viết giả thiết kết luận đúng và đầy đủ (0,5 điểm) D I C E K BA H F a) Ta có CH ⊥ AD và BD ⊥ AD (gt) ⇒ ∧∧ = DBAHCA ( hai góc đồng vị) mà 2 1 == ∧∧ DBADKA Sđ DA (0,5 điểm) ⇒ ∧∧ = DKAHCA Mà ∧∧ DKAHCA, cùng chắn FA nên tứ giác AFCK nội tiếp. (0,5 điểm) b) Ta có 2 1 == ∧∧ DAEDKE Sđ DE 2 1 == ∧∧ DKCFAC SđFC do tứ giác AFCK nội tiếp. (0,5 điểm) Mà ∧∧ = DAEFAC (gt) ⇒ ∧∧ = DKCDKE vậy hai tia KC và KE trùng nhau Vậy K, C, E thẳng hàng (0,5 điểm) c) Ta có AD//IC (gt) suy ra ∧∧ = ICADAB (đồng vị) Mà 2 1 == ∧∧ DKBDAB Sđ DEB ⇒ ∧∧ = ICADKB (0,25 điểm) ⇒ 0 180 =+=+ ∧∧∧∧ DKBICBICAICB nên tứ giác KBCI nội tiếp ⇒ 2 1 == ∧∧ CIBEKB Sđ BC và 2 1 == ∧∧ IBADKE Sđ IC (0,25 điểm) Mặt khác ∧∧ = DKEEKB ( vì cùng chắn hai cung EB, ED bằng nhau) ⇒ ∧∧ = CIBIBA vậy tam giác BIC cân tại C nên BC = IC (0,5 điểm) * Ta có AD = BC và AD//IC (gt) ⇒ IC = AD và AD//IC nên tứ giác ADCI là hình bình hành ⇒ DF đi qua trung điểm của AC (tính chất đường chéo hình bình hành ) Vậy DF là đường trung tuyến của tam giác ADC. (0,5 điểm) Ghi chú: Thí sinh có thể giải nhiều cách khác nhau nếu đúng, chặt chẽ, vẫn được điểm tối đa. . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009- 2010 Môn: TOÁN Câu 1 (3. HUYỆN BUÔN ĐÔN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009- 2010 Môn: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (3