Một tam giác vuông có chu vi là 24 cm.Biết rằng độ dài của cạnh huyền của tam giác nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 4 cm.Tính độ dài các cạnh của tam giác đó.. Bài IV 4 đ Cho
Trang 1Số 1 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 17/07/1998
Bài I :(2đ)
cho a = 1
2 − 3 b =
1
2 + 3
1, tính a b. và a+ b
2 , hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là 1
1
a x b
= + 2
1
b x a
= +
Bài II :(2đ)
Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số
x2 - 3mx + 3m - 4 = 0 (1)
1) Chứng minh rằngvới mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2, tìm m để phơng trình (1) có một nghiệm là x1= 4+ 3 khi đó hãy tìm nghiệm còn lại x2 của phơng trình đó
Bài III :(2đ)
Hai đội công nhân I và II đợc giao sửa một đoạn đờng Nếu cả hai đội cùng làm trung thì sau 4 giờ là hoàn thành công việc Neỏu đội I làm một mình trong 2 giờ, sau đó đội II tiếp tục làm một mình trong 3 giờ thì họ đã hoàn thành đợc 7/12 công việc.Hỏi mỗi đội làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu?
Bài IV (4đ)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm, AD = 5cm.Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho
BE = BC.Tia phân giác của góc CBE cắt cạnh CD ở F Đờng thẳng EF cắt đờng thẳng
AB ở M Còn CM cắt BD ở N
1)chứng minh hai ∆BCF và ∆ BEF bằng nhau
2)chứnh minh BE2 = BA.BM Từ đó hãy tính độ dài BM
3)chứng minh tứ giác MENB là tứ giác nội tiếp
4)tính S∆ADN
hết
-Số 2 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 18/07/1998
Bài I :(2đ)
Cho biểu thức A = x2 + xy - y ( y ≥ 0 )
1 ) phân tích A thành nhân tử
2 ) tính số trị của biểu thức A khi x = 2 1
2
+ ; y = 18
Bài II :(2đ)
Trang 2Cho hệ phơng trình 5
2
mx ny
x y n
+ =
( m,n là tham số )
1 ) giải hệ phơng trình khi m = n = 1
2 ) tìm m, n để hệ đã cho có nghiệm là 3
4 2 3
x y
= −
3
4 2 3
x y
= −
Bài III :(2đ)
Môt ô tô dự định đi quãng đờng từ A đến B cách nhau 20 km,với một vận tốc không đổi
và thời gian xác định Nhng sau khi khởi hành đợc 1 giờ thì xe hỏng nên phải dừng lai
20 phút để sửa chữa Vì vậy,để đến B đúng thời gian đã định ô tô phải đi nốt quãng đờng còn lại với vận tốc lớn hơn vận tốc cũ là 8km/h Tìm thời gian ôtô dự định đi quãng đ-ờng AB
Bài IV (4đ)
Cho tam giác ABC ; àA = 60 0, AC < AB , AH là đờng cao kẻ từ A xuống cạnh BC Các tiếp tuyến tại A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp ∆ABC cắt nhau tại M Đoạn MO cắt cạnh AB tại E , MC cắt đờng cao AH tại F Kéo dài CA cắt BM ở D Đờng thẳng BF cắt AM ở N
1) Chứng minh rằng : OM // CD M là trung điểm của BD
2) Chứng minh rằng : EF // BC
3) Chứng minh rằng : HA là tia phân giác của ãMHN
4) Cho biết DM = BC = 4cm.tính diện tích ∆MEF
-hết -Số 3 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 13/07/1999
Bài I ( 2đ ) Cho biểu thức:
−
( với a > 0 , b > 0 , a ≠ b )
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính trị số của biểu thức P khi biết a và b là hai nghiệm của phơng trình :
x2 – 8x + 4 = 0
Bài II ( 2đ ) cho phơng trình bậc hai ẩn x ( m là tham số )
x2 – 2x + m = 0 ( 1 ) a) Tìm m để phơng trình ( 1 ) có nghiệm
b) Chứng minh rằngvới mọi giá trị của m phơng trình ( 1 ) không thể có hai nghiệm cùng là số âm
c ) Tìm m để phơng trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn : x1 – 2x2 = 5
Bài III ( 2 đ )
Trang 3Một tam giác vuông có chu vi là 24 cm.Biết rằng độ dài của cạnh huyền của tam giác nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 4 cm.Tính độ dài các cạnh của tam giác đó
Bài IV ( 4 đ )
Cho hình vuông ABCD có độ dài các cạnh là 4 cm.Tia phân giác của góc ACB cắt cạnh
AB tại M Vẽ đờng tròn đờng kính CM, đờng tròn này cắt đờng chéo AC tại E ( E khác
C ) Tia ME cắt cạnh AD tại điểm N; tia CN cắt đờng tròn đờng kính CM tại điểm I ( I khác C )
a ) Chứng minh: ∆CBM = ∆CEM và ∆CEN = ∆CDN, từ đó suy ra CN là tia phân giác của ãACD
b ) Chứng minh hệ thức : AM 2 + AN 2 = ( BM + DN )2
c ) Chứng minh rằng 3 điểm B, I, D thẳng hàng
d ) tính diện tích của ∆ANM
Số 4 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 14/07/1999
Bài I ( 2đ ) Cho biểu thức:
S =
:
( với x ≠0, y ≠0, x ≠ y, x ≠-y )
a) Rút gọn biểu thức S
b) Tìm x và y biết rằng: S 2
2x 3y 11
=
Bài II ( 2đ ) Cho hai phơng trình bậc hai ẩn x ( a là tham số ):
x2 - 3x – a - 2 = 0 (1)
x2 + ax + 1 = 0 (2) a) Giải các phơng trình (1) và (2) trong trờng hợp a = -1
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai phơng trình luôn có ít nhất một
ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài III ( 2đ ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy ta xét parabol ( P ) và đờng thẳng ( d ) lần lợt
có phơng trình ( P ) : y = 2x2
( D ) : y = a x + 2 – a
a) vẽ parabol ( P )
b) Chứng minh rằngvới mọi giá trị của a thì parabol ( P ) và đờng thẳng ( d ) luôn
có một điểm trung cố định, tìm toạ độ điểm trung đó
Bài IV ( 4đ ) Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 4cm.Gọi O là trung điểm
của cạnh BC Lấy O làm tâm vẽ một đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB và AC tại D và
E tơng ứng M là một điểm trên cung nhỏ DE của đờng tròn tâm O nói trên ( M khác D
Trang 4và E ), tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại M cắt các đoạn AD và AE tại các điểm P và Q
t-ơng ứng Gọi I và K theo thứ tự là giao điểm của các đờng thẳng OP và OQ với đờng thẳng DE
a) Chứng minh: DE//BC
b) Chứng minh rằng: ã 1ã 0
2
c) Chứng minh tứ giác DOKP nội tiếp đợc trong một đờng tròn, từ đó suy ra các đ-ờng thẳng OM, PK và QI cắt nhau tại một điểm
d) Tính chu vi ∆APQ
Số 5 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 22/06/2000
Bài I ( 2đ ) Cho các biểu thức:
+ + + ( a ≥ 0 )
B = ( )2
b 1
− ( b ≥ 0 , b ≠ 1 )
a) Rút gon A ; B
b) Tính số trị của hiệu A − B khi a = 6 2 5− ; b = 6 2 5+
Bài II ( 2đ ) Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m,n là tham số )
x − m n x+ − m +n =0 ( 1 )
a) Giải phơng trình ( 1 ) khi m = n = 1
b) Chứng minh rằngvới nọi m , n phơng trình ( 1 ) luôn có nghiệm
c) Tìm m , n để pt ( 1 ) tơng đơng với pt x2 − − =x 5 0
Bài III ( 2đ ) Trong một kỳ thi ,hai trờng A và B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết
quả hai trờng đó có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển Tính ra trờng A có 97% và tr-ờng B có 96% số học sinh dự thi trúng tuyển Hỏi mỗi trtr-ờng có bao nhiêu học sinh dự thi
Bài IV ( 4đ ) Cho ∆ABC có ãBAC 90= 0 ; ãACB 30= 0 nội tiếp trong đờng tròn tâm (O)
bán kính R = 2cm.Trên đờng tròn tâm (O) lấy một điểm D sao cho A và D nằm về hai phía so với đờng thẳng BC và DB > DC Gọi E và F theo thứ tự là chân các đờng vuông góc hạ từ B và C tới AD ;còn I và K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc hạ từ A và D tới BC
a, Chứng minh các tứ giác ABIE, CDFK, EKFI là những tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh EK // AC và AE = DF
c, Khi AD là đờng kính của đờng tròn tâm (O) hãy tính chu vi đờng tròn ngoại tiếp tứ giác EKFI
Trang 5Số 6 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 23/06/2000
Bài I ( 2đ ) Cho các biểu thức:
A = x 2x 1 x 2x
+ − (x ≥ 0 ,x ≠1 )
B = 2 2 3 2
3 1
+
a) Rút gọn A và B
b) tính số trị của biểu thức A khi x = B
Bài II ( 2đ ) Cho các hệ phơng trình :
3x 4y 10
4x y 9
− =
mx y 8 5n
+ = −
( II ) ( với m,n là các tham số)
a) Giải hệ phơng trình ( I )
b) Tìm m và n để hệ phơng trnhf ( I ) tơng đơng với hệ phơng trình ( II )
Bài III ( 2đ ) Hai khu đất hình chữ nhật,khu thứ nhất có chiều rộng bằng 3
4 chiều dài.Khu thứ hai có chiều rộng lớn hơn chiều rộng của khu thứ nhất là 2 m, chiều dài nhỏ hơn chiều dài của khu đất thứ nhất là 4 m và có diện tích bằng 24
25 diện tích của khu đất thứ nhất Tính diện tích của từng khu đất đó
Bài IV ( 4đ ) Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O bán kính R =
2cm.Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại các điểm A và B cắt nhau tại M Đờng thẳng MD cắt đờng tròn (O) tại điểm E ( E ≠D ) và cắt cạnh AB tại điểm F Gọi I và K theo thứ tự
là trung điểm các đoạn thẳng AB và DE Tia OK cắt đờng thẳng AB tại điểm P; tia AK cắt đờng tròn tâm (O) tại điểm N ( N ≠A )
a) chứng minh 4 điểm A, M, B, K cùng nằm trên một đờng tròn và tính bán kính của đờng tròn đó
b) Chứng minh PKF∆ : ∆PIO và PA.PB = PF.PI
c) tính diện tích của ∆MND
Trang 6Số 7 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 13/07/2001
Bài I ( 1,5đ )
Cho M =
4
x
a) Rút gọn M
b) Tìm x để m đạt giá trị nhỏ nhất
Bài II ( 1,5đ ) Cho phơng trình :
2
x −2 m 1 x 2m 5 0+ + + =
a) Giải phơng trình khi m = 5
2 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm
Bài III ( 2,5đ )
a) Giải hệ phơng trình:
2 2
2 2
b) Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B Vận tốc của họ hơn kém nhau 3km/h nên dến B sớm muộn hơn nhau 30 phút Tính vận tóc của mõi ngời biết quãng đờng AB dài 30 km
Bài IV ( 3đ ) Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp một đờng tròn tâm O, một
điểm D trên cung nhỏ AB trên các tia đối của các tia BD,CD lần lợt lấy các điểm M<N sao cho CN = BM Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng AM, AN với đờng tròn tâm O theo thứ tự là P và Q
a) ∆AMN là tam giác gì ? vì sao ?
b) Chứng minh tứ giác ADMN nội tiếp đợc Suyy ra ba đờng thẳng MN, PC, BQ song song với nhau
Bài V ( 1,5đ ) Tìm tất cả các số nguyên a để phơng trình :
2
x − +3 2a x 40 a 0+ − = có nghiệm nguyên
Số 8 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 14/07/2001
Bài I ( 1,5đ )
a) Chứng minh hằng đẳng thức :
Trang 7A = a 2 a 2 a 1 2
b) Tìm a để A < 0
Bài II (1,5đ ) Cho phơng trình bậc hai : x2 −2 m 1 x m( + ) + 2+3m 2 0+ =
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m thoả mãn 2 2
x +x =12.( trong đó x1, x2 là hai nghiệm của
ph-ơng trình trên
Bài III ( 2,5đ )
a) Giải hệ phơng trình : ( ) ( ) ( ) ( )
x 5 y 2 x 2 y 1
x 4 y 7 x 3 y 4
b) Một hình chữ nhật có cạnh này bằng 2
3 cạnh kia Nếu bớt đi mỗi cạnh 5m thì diện tích hình chữ nhật đó giảm đi 16% tính các kích thớc của hình chữ nhật lúc
đầu
Bài IV ( 3đ ) Cho tam giác ABC có àA 45= 0 Các góc à àB,C đều nhọn vẽ đờng tròn tâm
O đờng kính BC , đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại D và E
a) Chứng minh ãABF 45= 0 , suy ra AE = EB.
b) Gọi H là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằngđờng trung trực của đoạn
DH đi qua trung điểm của đoạn AH
c) Chứng minh rằngOE là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp ∆ADE
Bài V ( 1,5đ ) Tìm tất cả các số tự nhiên a để phơng trình :
2 2
x −a x a 1 0+ + = có nghiệm nguyên
Số 9 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 23/07/2002
Bài I ( 2,5đ )
1) Hệ thức a a
b = b chỉ đúng với điều kiện nào của a, b Vận dụng tính 18
8 2) Phân tíc thành nhân tử : x 5 x 6− + với x ≥ 0
Trang 83) Rút gọn biểu thức:
Bài II ( 2đ )
Cho hai phơng trình : x2 −3x 2m 6 0+ + = (1) và x2 + −x 2m 10 0− = (2)
1) giải phơng trình trên với m = -3
2) Tìm giá trị của m để hai phơng trình có nghiệm chung
3) Chứng minh rằngvới mọi giá trị của m , ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Bài III( 1,5đ )
Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi 20 cm Nếu giảm chiều rông đi 2 cm và tăng chiều dài 3 cm thì diện tích giảm 6 cm2 Tìm kích thức của miếng bìa đã cho
Bài IV ( 3đ ) cho đờng tròn (O) bán kính 2 cm và đờng tròn (O’) bán kính 8 cm tiếp
xúc ngoài nhau tại A Một tiếp tuyến trung ngoài của hai đờng tròn cắt OO’ tại E và tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B, tiếp xúc với đờng tròn(O’) tại C
1) Tứ giác OBCO’ là hình gì ? Tại sao ? Tính diện tích tứ giác OBCO’
2) Xác định hình dạng ∆ABC
3) Tính độ dài EB
Bài I ( 1,đ ) tìm ba số nguyên dơng sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.
Số 10 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 24/07/2002
Bài I ( 2,5đ )
1) Hệ thức a b= a b2 chỉ đúng với điều kiện nào của a và b.
Vận dụng so sánh 2 3 và 3 2
2) Phân tíc thành nhân tử : x 3 x 2− + với x ≥ 0
3) Rút gọn biểu thức
Q = x 2 2 3 :2 4 x x 3 x 1
Bài II ( 2đ )
Cho hệ phơng trình : 2x 3y m 1
x 2y 2m 8
+ = −
1) Giải hệ phơng trình trên khi m = 6
2) Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x= 3y
3) Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x.y > 0
Trang 9Bài III ( 1,5đ )
Tìm các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết độ dài cạnh huyền là 5 cm và độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 1 cm
Bài IV ( 3đ )
Cho đơng tròn (O) và dây AB không đi qua tâm O một điểm C nằm trên tia AB kéo dài.
Gọi P là điểm chính giữa của cung lớn AB và kẻ đờng kính PQ của đờng tròn (O) Gọi D
là giao điểm của PQ và AB ; I là giao điểm thứ hai của CP và đờng tròn (O); K là giao
điểm của IQ và AB
1) Chứng minh tứ giác IKDP nội tiếp
2) Chứng minh CI.CP = CK.CD
3) Cho A, B, C cố định và đờng tròn (O) thay đổi qua A , B cCh]ngs minh rằng đờng thẳng IQ luôn đi qua một điểm cố định
Bài V ( 1đ ) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn: x2 +xy y+ 2 =x y2 2
Số 11 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 15/07/2003
Bài I ( 3đ )
1) Thực hiện phép tính :
a) 5 2 6− + 5 2 6+ −(2 3 2003 ;− ) b) 1 1 2008
3 2− 3 2+
2) Cho biểu thức : A = 2 x 9 x 3 2 x 1
a) Tìm các giá trị của x để A có nghĩa Rút gọn A
b) Tìm các giá trị của x để A = 5
c) tìm các giá trị chính phơng của x để A nhận giá trị nguyên
Bài II ( 1,5đ ) Cho hệ phơng trình : 2mx y 4
2x my 2
+ =
1) Giải hệ phơng trình khi m = 2
2) Tính các giá trị của x,y theo m và từ đó tìm giá trị của m để S = x + y đạt giá trị lớn nhất
Bài III ( 2đ )
Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2
3 chiều dài Nếu bớt mỗi cạnh đi 5m thì diện tích hình chữ nhật đó giảm đi 16% Tính diện tích của hình chữ nhật lúc đầu
Bài IV ( 3đ ) Cho tam giác nhọn ABC và ba đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
1) Chứng minh các tứ giác AEHF , BCEF nội tiếp
2) Chứng minh rằngAD, BE, CF cũng là đờng phân giác của ∆DEF
3) Biết ãBAC 72 ,ABC 63= 0 ã = 0.Tính số đo các góc của tam giác DEF
Trang 104) Gọi I và K thứ tứ là trung điểm của BC và AH Chứng minh IK⊥EF.
Bài V ( 0,5đ ) Tìm số nguyên tố p biết rằng p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố.
Số 12 Đề thi vào lớp 10 THPT Bắc Ninh
ngày 16/07/2003
Bài I ( 2đ )
1) chứng minh rằngnếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là
x1 và x2 thì x1 + x2 = b
a
− và x1.x2 = c
a 2) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng bằng -5
3) tìm số nguyên a để phơng trình x2 −ax a+ − =2 7 0 có ngiệm
Bài II ( 2đ ) Cho biểu thức P = x y xy : x y x y
1) Với giá trị nào của x,y thì biểu thức P có nghĩa
2) Rút gọn P
3) Cho x = 3 5 2 7− ; y = 3 5 2 7+ Chứng minh rằngP = 2
Bài III ( 1,5đ ) Trong phòng họp có 288 ghế đợc xếp thành các dãy , mỗi dãy đều có số
ghế nh nhau Nếu ta bớt đi 2 dãy và mỗi dãy còn lại thêm 2 ghế thì vừa đuur cho 288 ngời họp (mỡi ngời ngồi một ghế).Hỏi trong phòng họp lúc đàu có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế
Bài IV ( 1,5đ ) Cho hàm số y = (m-2)x + m + 3 (d) ; (m là tham số).
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến
2) Tìm giá trị của m để đồ thị (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3
3) Tìm m để đồ thị hàm số y = - x + 2; y = 2x – 1 và (d) đồng quy
Bài V ( 3đ ) Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đờng tròn tâm O , kẻ đờng kính AD.
1) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật
2) Gọi M và n thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và C trên AD, AH là đờng cao tam giác ABC (H ∈BC) Chứng minh HM⊥AC
3) Xác định tâm đờng trìn ngoại tiếp ∆MHN
4) Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp, r là bán kính đờng tròn nội tiếp ∆ABC Chứng minh : R + r ≥ AB.AC
