1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính

12 0 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Báo Cáo Bài Tập Lớn Đại Số Tuyến Tính
Tác giả Nhóm 7
Người hướng dẫn GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp
Trường học Trường Đại Học Bách Khoa
Chuyên ngành Đại Số Tuyến Tính
Thể loại báo cáo
Thành phố Thành Phố Hồ Chí Minh
Định dạng
Số trang 12
Dung lượng 1,35 MB

Nội dung

Đồ thị Một đồ thị G = V,E là một tập được cấu thành bởi một tập con gồm các đỉnh liên kết với nhau qua một tập con khác là các đoạn thẳng có hướng hoặc vô hướng được gọi là các cạnh.. L

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp

LỚP:

NHÓM 7

Trang 2

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

1

2

3

4

5

6

PHÂN CÔNG VÀ MỨC ĐỘ HOÀN THÀNH CÔNG VIỆC

ST

Mức độ hoàn thành

Trang 3

MỤC LỤC

1 Khái niệm cơ bản trong lý thuyết đồ thị 4

1.1 Đồ thị 4

1.2 Các thuật ngữ cơ bản 6

2 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông, ma trận kề 8

2.1 Đường đi, chu trình 8

2.2 Đồ thị liên thông 8

2.3 Ma trận kề 10

3 Chu trình Euler và Hamilton 10

3.1 Chu trình Euler 10

3.2 Chu trình Hamilton 10

4 Ứng dụng và bài tập (coding) 11

5 Kết luận 11

NGUỒN TÀI LIỆU THAM KHẢO 12

Trang 4

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

(Chu trình Euler và chu trình Hamilton)

1 Khái niệm cơ bản trong lý thuyết đồ thị

1.1 Đồ thị

Một đồ thị G = (V,E) là một tập được cấu thành bởi một tập con gồm các đỉnh liên

kết với nhau qua một tập con khác là các đoạn thẳng ( có hướng hoặc vô hướng) được gọi

là các cạnh Trong đó, V là tập các đỉnh, E là tập các cạnh Bằng cách viết : (u,v) E, ta∈ nói rằng: “đỉnh u kề với đỉnh v”

Hình ảnh minh họa bên dưới là một đồ thị vô hướng cơ bản gồm tập đỉnh là V={a,b} và tập cạnh là E là một đường thẳng duy nhất Do đồ thị này là một đồ thị vô hướng nên ta có thể nói (1,2) E hay (2,1) E đều được.∈ ∈

Đồ thị gồm 2 loại là đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng được định nghĩa cụ thể thông qua bảng 1.1 dưới đây:

Trang 5

Loại đồ thị Tên đồ

thị

Định nghĩa

Đồ thị vô hướng

(Undirected graph)

Đơn đồ thị

Đơn đồ thị vô hướng G =<V,E> gồm V là tập các đỉnh, E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh

Đa đồ thị

Đa đồ thị vô hướng G =<V,E> gồm V là tập các đỉnh, E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh Hai cạnh e1, e2 được gọi là cạnh bội nếu chúng cùng tương ứng với 1 cặp đỉnh

Giả đồ thị

Giả đồ thị vô hướng G =<V,E> gồm V là tập các đỉnh, E là họ các cặp không có thứ tự của V gọi là các cạnh Cạnh e = (u,u) được gọi là khuyên

Đồ thị có hướng

(Directed graph)

Đơn đồ thị

Đơn đồ thị có hướng G =<V,E> gồm V là tập các đỉnh, E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần từ V gọi là các cung

Đa đồ thị

Đa đồ thị có hướng G =<V,E> gồm V là tập các đỉnh, E là họ các cặp có thứ tự gồm hai phần tử V gọi là các cung Hai cung e1, e2 tương ứng với cùng 1 cặp đỉnh gọi là cung lặp

Bảng 1.1 Định nghĩa các loại đồ thị

Hình 1.2 Minh họa các loại đồ thị

Trang 6

1.2 Các thuật ngữ cơ bản

a) Bậc của đỉnh:

Bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là tổng số cạnh liên thuộc với nó Ký hiệu: deg(v) hay hoặc d(v).Ví dụ minh họa dưới đây là một đồ thị vô hướng có đỉnh là tập V={1, 2, 3, 4, 5, 6} và tập cạnh là E gồm cạnh Từ đó dễ dàng tìm ra bậc của từng đỉnh: deg(1)= 3, deg(2)= 2, deg(3)= 3, deg(4)= 3, deg(5)= 1, deg(6)= 0

Hình 1.3 Minh họa

 Đỉnh treo là đỉnh chỉ có duy nhất một cạnh liên thuộc với nó Đỉnh 5.

 Đỉnh cô lập là đỉnh không có cạnh nào liên thuộc với nó Đỉnh 6.

 Định lý: Đồ thị vô hướng có m cạnh, khi đó tổng bậc của các đỉnh trên đồ thị bằng

2 lần số cạnh Tổng bậc của các đỉnh trên đồ thị là: 12.

b) Kề trong đồ thị có hướng

Giả sử u và v là hai đỉnh của đồ thị có hướng G và e=(u, v) là một cung của đồ thị, có nghĩa là u là đỉnh đầu, v là đỉnh cuối của cạnh e, và u và v kề nhau, cung e đi ra khỏi u

và đi vào v

Trang 7

Hình 1.4 hình minh họa c) Bán bậc vào và bán bậc ra của đỉnh trên đồ thị có hướng

Giả sử G là một đồ thị có hướng, ta định nghĩa :

 Bán bậc ra của đỉnh u, kí hiệu deg (u) + là số lượng cạnh xuất phát từ điểm u

 Bán bậc vào của đỉnh u, kí hiệu deg (u) - là số lượng cạnh kết thúc từ điểm u Trong đồ thị có hướng, tổng bán bậc vào của tất cả các đỉnh luôn bằng tổng bán bậc ra của tất cả các đỉnh ( mỗi cạnh chỉ có một đỉnh bắt đầu và một đỉnh kết thúc)

-Deg-(3)= 1

Trang 8

2 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông, ma trận kề

2.1 Đường đi, chu trình

Đường đi là một dãy liên tiếp các đỉnh sao cho mỗi cặp đỉnh liên tiếp trong dãy

này được nối bởi một cạnh Đường đi còn có thể biểu diễn theo dãy các cặp cạnh Biểu diễn theo đỉnh: {a,d,b,c}

Hình 2.1 Hình minh họa

Chu trình là một đường đi mà đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối và có ít nhất một cạnh

Đường đi hay chu trình được gọi là đơn nếu không có cạnh nào lặp lại trên đường đi, được gọi là sơ cấp nếu không có đỉnh nào lặp lại trên đường đi

2.2 Đồ thị liên thông

a) Liên thông của đồ thị vô hướng

Đồ thị vô hướng G = (V,E) được gọi là liên thông nếu luôn tìm được đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ của nó Vd: đường đi 1, 3, 2, 4, 5 được gọi là liên thông

Trang 9

Hình 2.2 Hình minh họa

b) Liên thông của đồ thị có hướng

Đồ thị có hướng G=(V,E) được gọi là liên thông mạnh nếu giữa hai đỉnh bất kì u,

v luôn tìm được đường đi từ u tới v và từ v tới u với mọi cặp đỉnh u và v của đồ thị

Đồ thị có hướng G=(V,E) được gọi là liên thông yếu nếu có đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ của đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị đã cho Tức là đồ thị vô hướng tương ứng của nó liên thông,

Trang 10

2.3 Ma trận kề

Là một cách biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận vuông kích thước n x n, với n là số đỉnh trong đồ thị Ma trận kề lưu trữ thông tin về các cạnh của đồ thị:

o Đối với đồ thị vô hướng:

o Nếu có cạnh nối giữa đỉnh i và đỉnh j, thì A[i][j]=1 nếu không có cạnh, A[i] [j]=0

o Ma trận đối xứng qua đường chéo chính, vì cạnh vô hướng không có hướng đi

cụ thể

o Đối với đồ thị có hướng:

o A[i][j]=1 nếu có cạnh từ đỉnh i đến đỉnh j; nếu không có cạnh, A[i][j]=0

o Ma trận này có thể không đối xứng

3 Chu trình Euler và Hamilton

3.1 Chu trình Euler

a) Định nghĩa:

Một chu trình Euler của G: qua tất cả các cạnh của G, mỗi cạnh qua đúng một lần, đỉnh bắt đầu trùng đỉnh kết thúc

Một đường đi Euler của G: qua tất cả các cạnh của G, mỗi cạnh qua đúng một lần, đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc

b) Điều kiện

 Định lý 1: Đối với đồ thị vô hướng, phải thỏa các điều kiện sau:

o Các đỉnh của đồ thị phải liên thông (không có đỉnh nằm riêng lẻ)

o Các đỉnh của đồ thị phải có bậc chẵn

 Định lý 2: Đối với đồ thị có hướng, phải thỏa các điều kiện sau:

o Các đỉnh của đồ thị cùng thuộc thành phần liên thông

o Mọi đỉnh của đồ thị đều có bán bậc ra bằng bán bậc vào: deg + (x) = deg - (x), với mọi đỉnh x thuộc đồ thị

3.2 Chu trình Hamilton

a) Định nghĩa:

Một đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị ( mỗi đỉnh chỉ đi qua một lần ) và quay

về đỉnh xuất phát được gọi là chu trình Hamilton

Trang 11

 Định lý 1:

Xét với đồ thị vô hướng G, trong đó tồn tại k đỉnh sao cho nếu xóa đi k đỉnh này cùng với những cạnh liên thuô yc của chúng thì đồ thị nhâ yn được sz có nhiều hơn k thành phần liên thông Khi đó, khẳng định G không phải là đồ thị Hamilton

 Định lý Dirak, 1952:

Xét đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) có n đỉnh (n ≥ 3) Nếu mọi đỉnh đều có bâ yc không nhỏ hơn n/2 thì G là đồ thị Hamilton

 Định lý Ore, 1960

Xét đơn đồ thị vô hướng G=(V,E) có n đỉnh (n ≥ 3) Xét mọi că yp đỉnh không kề nhau (u,v) mà deg(u) + deg(v) ≥ n, thì G là đồ thị Hamilton

 Định lý Bondy - Chvátal, 1972

Xét đồ thị vô hướng G=(V,E) có n đỉnh, với mỗi că yp đỉnh không kề nhau (u,v) mà deg(u) + deg(v) ≥ n, ta thêm mô yt cạnh nối u và v Cứ làm như vâ yy tới khi không thêm được cạnh nào nữa, thì ta thu được mô yt bao đóng của đồ thị G, kí hiê yu cl(G) Khi đó, G là

đồ thị Hamilton nếu và chỉ nếu cl(G) là đồ thị Hamilton

Đối với đồ thị có hướng, phải thỏa các định lý sau:

 Định lý Ghouila - Houiri, 1960

Xét đơn đồ thị có hướng liên thông mạnh G=(V,E) có n đỉnh Nếu trên phiên bản vô hướng của G, mọi đỉnh đều có bâ yc không nhỏ hơn n thì G là đồ thị Hamilton

 Định lý Meynie, 1973

Xét đơn đồ thị có hướng liên thông mạnh G=(V,E) có n đỉnh Nếu trên phiên bản vô hướng của G, mọi că yp đỉnh không kề nhau (u,v) mà deg(u) + deg(v) ≥ 2n-1, thì G là đồ thị Hamilton

4 Ứng dụng và bài tập (coding)

5 Kết luận

Trang 12

NGUỒN TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Ngày đăng: 19/12/2024, 15:34

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w