Đồ thị Một đồ thị G = V,E là một tập được cấu thành bởi một tập con gồm các đỉnh liên kết với nhau qua một tập con khác là các đoạn thẳng có hướng hoặc vô hướng được gọi là các cạnh.. L
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
-BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp
LỚP:
NHÓM 7
Trang 2DANH SÁCH THÀNH VIÊN
1
2
3
4
5
6
PHÂN CÔNG VÀ MỨC ĐỘ HOÀN THÀNH CÔNG VIỆC
ST
Mức độ hoàn thành
Trang 3MỤC LỤC
1 Khái niệm cơ bản trong lý thuyết đồ thị 4
1.1 Đồ thị 4
1.2 Các thuật ngữ cơ bản 6
2 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông, ma trận kề 8
2.1 Đường đi, chu trình 8
2.2 Đồ thị liên thông 8
2.3 Ma trận kề 10
3 Chu trình Euler và Hamilton 10
3.1 Chu trình Euler 10
3.2 Chu trình Hamilton 10
4 Ứng dụng và bài tập (coding) 11
5 Kết luận 11
NGUỒN TÀI LIỆU THAM KHẢO 12
Trang 4LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
(Chu trình Euler và chu trình Hamilton)
1 Khái niệm cơ bản trong lý thuyết đồ thị
1.1 Đồ thị
Một đồ thị G = (V,E) là một tập được cấu thành bởi một tập con gồm các đỉnh liên
kết với nhau qua một tập con khác là các đoạn thẳng ( có hướng hoặc vô hướng) được gọi
là các cạnh Trong đó, V là tập các đỉnh, E là tập các cạnh Bằng cách viết : (u,v) E, ta∈ nói rằng: “đỉnh u kề với đỉnh v”
Hình ảnh minh họa bên dưới là một đồ thị vô hướng cơ bản gồm tập đỉnh là V={a,b} và tập cạnh là E là một đường thẳng duy nhất Do đồ thị này là một đồ thị vô hướng nên ta có thể nói (1,2) E hay (2,1) E đều được.∈ ∈
Đồ thị gồm 2 loại là đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng được định nghĩa cụ thể thông qua bảng 1.1 dưới đây:
Trang 5Loại đồ thị Tên đồ
thị
Định nghĩa
Đồ thị vô hướng
(Undirected graph)
Đơn đồ thị
Đơn đồ thị vô hướng G =<V,E> gồm V là tập các đỉnh, E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh
Đa đồ thị
Đa đồ thị vô hướng G =<V,E> gồm V là tập các đỉnh, E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh Hai cạnh e1, e2 được gọi là cạnh bội nếu chúng cùng tương ứng với 1 cặp đỉnh
Giả đồ thị
Giả đồ thị vô hướng G =<V,E> gồm V là tập các đỉnh, E là họ các cặp không có thứ tự của V gọi là các cạnh Cạnh e = (u,u) được gọi là khuyên
Đồ thị có hướng
(Directed graph)
Đơn đồ thị
Đơn đồ thị có hướng G =<V,E> gồm V là tập các đỉnh, E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần từ V gọi là các cung
Đa đồ thị
Đa đồ thị có hướng G =<V,E> gồm V là tập các đỉnh, E là họ các cặp có thứ tự gồm hai phần tử V gọi là các cung Hai cung e1, e2 tương ứng với cùng 1 cặp đỉnh gọi là cung lặp
Bảng 1.1 Định nghĩa các loại đồ thị
Hình 1.2 Minh họa các loại đồ thị
Trang 61.2 Các thuật ngữ cơ bản
a) Bậc của đỉnh:
Bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là tổng số cạnh liên thuộc với nó Ký hiệu: deg(v) hay hoặc d(v).Ví dụ minh họa dưới đây là một đồ thị vô hướng có đỉnh là tập V={1, 2, 3, 4, 5, 6} và tập cạnh là E gồm cạnh Từ đó dễ dàng tìm ra bậc của từng đỉnh: deg(1)= 3, deg(2)= 2, deg(3)= 3, deg(4)= 3, deg(5)= 1, deg(6)= 0
Hình 1.3 Minh họa
Đỉnh treo là đỉnh chỉ có duy nhất một cạnh liên thuộc với nó Đỉnh 5.
Đỉnh cô lập là đỉnh không có cạnh nào liên thuộc với nó Đỉnh 6.
Định lý: Đồ thị vô hướng có m cạnh, khi đó tổng bậc của các đỉnh trên đồ thị bằng
2 lần số cạnh Tổng bậc của các đỉnh trên đồ thị là: 12.
b) Kề trong đồ thị có hướng
Giả sử u và v là hai đỉnh của đồ thị có hướng G và e=(u, v) là một cung của đồ thị, có nghĩa là u là đỉnh đầu, v là đỉnh cuối của cạnh e, và u và v kề nhau, cung e đi ra khỏi u
và đi vào v
Trang 7Hình 1.4 hình minh họa c) Bán bậc vào và bán bậc ra của đỉnh trên đồ thị có hướng
Giả sử G là một đồ thị có hướng, ta định nghĩa :
Bán bậc ra của đỉnh u, kí hiệu deg (u) + là số lượng cạnh xuất phát từ điểm u
Bán bậc vào của đỉnh u, kí hiệu deg (u) - là số lượng cạnh kết thúc từ điểm u Trong đồ thị có hướng, tổng bán bậc vào của tất cả các đỉnh luôn bằng tổng bán bậc ra của tất cả các đỉnh ( mỗi cạnh chỉ có một đỉnh bắt đầu và một đỉnh kết thúc)
-Deg-(3)= 1
Trang 82 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông, ma trận kề
2.1 Đường đi, chu trình
Đường đi là một dãy liên tiếp các đỉnh sao cho mỗi cặp đỉnh liên tiếp trong dãy
này được nối bởi một cạnh Đường đi còn có thể biểu diễn theo dãy các cặp cạnh Biểu diễn theo đỉnh: {a,d,b,c}
Hình 2.1 Hình minh họa
Chu trình là một đường đi mà đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối và có ít nhất một cạnh
Đường đi hay chu trình được gọi là đơn nếu không có cạnh nào lặp lại trên đường đi, được gọi là sơ cấp nếu không có đỉnh nào lặp lại trên đường đi
2.2 Đồ thị liên thông
a) Liên thông của đồ thị vô hướng
Đồ thị vô hướng G = (V,E) được gọi là liên thông nếu luôn tìm được đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ của nó Vd: đường đi 1, 3, 2, 4, 5 được gọi là liên thông
Trang 9Hình 2.2 Hình minh họa
b) Liên thông của đồ thị có hướng
Đồ thị có hướng G=(V,E) được gọi là liên thông mạnh nếu giữa hai đỉnh bất kì u,
v luôn tìm được đường đi từ u tới v và từ v tới u với mọi cặp đỉnh u và v của đồ thị
Đồ thị có hướng G=(V,E) được gọi là liên thông yếu nếu có đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ của đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị đã cho Tức là đồ thị vô hướng tương ứng của nó liên thông,
Trang 102.3 Ma trận kề
Là một cách biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận vuông kích thước n x n, với n là số đỉnh trong đồ thị Ma trận kề lưu trữ thông tin về các cạnh của đồ thị:
o Đối với đồ thị vô hướng:
o Nếu có cạnh nối giữa đỉnh i và đỉnh j, thì A[i][j]=1 nếu không có cạnh, A[i] [j]=0
o Ma trận đối xứng qua đường chéo chính, vì cạnh vô hướng không có hướng đi
cụ thể
o Đối với đồ thị có hướng:
o A[i][j]=1 nếu có cạnh từ đỉnh i đến đỉnh j; nếu không có cạnh, A[i][j]=0
o Ma trận này có thể không đối xứng
3 Chu trình Euler và Hamilton
3.1 Chu trình Euler
a) Định nghĩa:
Một chu trình Euler của G: qua tất cả các cạnh của G, mỗi cạnh qua đúng một lần, đỉnh bắt đầu trùng đỉnh kết thúc
Một đường đi Euler của G: qua tất cả các cạnh của G, mỗi cạnh qua đúng một lần, đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc
b) Điều kiện
Định lý 1: Đối với đồ thị vô hướng, phải thỏa các điều kiện sau:
o Các đỉnh của đồ thị phải liên thông (không có đỉnh nằm riêng lẻ)
o Các đỉnh của đồ thị phải có bậc chẵn
Định lý 2: Đối với đồ thị có hướng, phải thỏa các điều kiện sau:
o Các đỉnh của đồ thị cùng thuộc thành phần liên thông
o Mọi đỉnh của đồ thị đều có bán bậc ra bằng bán bậc vào: deg + (x) = deg - (x), với mọi đỉnh x thuộc đồ thị
3.2 Chu trình Hamilton
a) Định nghĩa:
Một đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị ( mỗi đỉnh chỉ đi qua một lần ) và quay
về đỉnh xuất phát được gọi là chu trình Hamilton
Trang 11 Định lý 1:
Xét với đồ thị vô hướng G, trong đó tồn tại k đỉnh sao cho nếu xóa đi k đỉnh này cùng với những cạnh liên thuô yc của chúng thì đồ thị nhâ yn được sz có nhiều hơn k thành phần liên thông Khi đó, khẳng định G không phải là đồ thị Hamilton
Định lý Dirak, 1952:
Xét đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) có n đỉnh (n ≥ 3) Nếu mọi đỉnh đều có bâ yc không nhỏ hơn n/2 thì G là đồ thị Hamilton
Định lý Ore, 1960
Xét đơn đồ thị vô hướng G=(V,E) có n đỉnh (n ≥ 3) Xét mọi că yp đỉnh không kề nhau (u,v) mà deg(u) + deg(v) ≥ n, thì G là đồ thị Hamilton
Định lý Bondy - Chvátal, 1972
Xét đồ thị vô hướng G=(V,E) có n đỉnh, với mỗi că yp đỉnh không kề nhau (u,v) mà deg(u) + deg(v) ≥ n, ta thêm mô yt cạnh nối u và v Cứ làm như vâ yy tới khi không thêm được cạnh nào nữa, thì ta thu được mô yt bao đóng của đồ thị G, kí hiê yu cl(G) Khi đó, G là
đồ thị Hamilton nếu và chỉ nếu cl(G) là đồ thị Hamilton
Đối với đồ thị có hướng, phải thỏa các định lý sau:
Định lý Ghouila - Houiri, 1960
Xét đơn đồ thị có hướng liên thông mạnh G=(V,E) có n đỉnh Nếu trên phiên bản vô hướng của G, mọi đỉnh đều có bâ yc không nhỏ hơn n thì G là đồ thị Hamilton
Định lý Meynie, 1973
Xét đơn đồ thị có hướng liên thông mạnh G=(V,E) có n đỉnh Nếu trên phiên bản vô hướng của G, mọi că yp đỉnh không kề nhau (u,v) mà deg(u) + deg(v) ≥ 2n-1, thì G là đồ thị Hamilton
4 Ứng dụng và bài tập (coding)
5 Kết luận
Trang 12NGUỒN TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]