Báo cáo bài tập lớn Đề tài 31 phương pháp gradient liên hợp Để giải hệ phương trình Đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC QUOC GIA THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BAO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐÈ TÀI 31 PHƯƠNG PHÁP GRADIENT LIÊN HỢP ĐẺ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SÓ T

ĐẠI HỌC QUOC GIA THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC

BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BAO CÁO BÀI TẬP LỚN

ĐÈ TÀI 31

PHƯƠNG PHÁP GRADIENT LIÊN HỢP ĐẺ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠI SÓ TUYẾN TÍNH

LỚP L03-NHÓM 18

1 Trần Đỗ Báo Ngoc

2 Bùi Minh Quân

3 Phan Văn Khối

4 Nguyễn Khánh

5 Nguyễn Thái Tuấn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2022

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHi MINH TRUONG DAI HOC

BACH KHOA KHOA KHOA HOC UNG DUNG

DAI

NHOM 18:

BuPfinh Quan Phan Van Khoi Nguyen Khanh

Nguyễn Thái Tuấn GVHD: Nguyễn Thị Hoài Thương

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2022

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

1 Tran D6 Bao Ngoc 2212275

2 Bùi Minh Quân 2212769

3 Phan Văn Khởi 2211705

MỤC LỤC PHẦN 1: LỜI MỞ ĐẦU 222222222002 022 0n ng nh nh re seeel

PHÂN 3: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN 6 PHAN 4: CAC HAM MATLAB CO BAN DUOC SỬ DỤNG TRONG BÀI TOÁN ,CODE HOAN CHINH VÀ ỨNG DỤNG 2222220 2 22 sec 8

TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 22222222212 C12 c2 nh nhe sex L2

LỜI MỞ ĐẦU

Hệ phương trình đại số tuyến tính xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực như trong kinh tế, thông kê, hệ thống điện, xử lý ảnh, tối ưu hóa, giải số các phương trình vi phân với kích thước của bài toán n có thê là 2 hoặc đến hàng chục triệu Do đó một yêu cầu cần thiết là cần

có các phương pháp hiệu quả đề giải hệ đại số tuyến tính nói trên Các nhà Toán học đã nghiên cứu các phương pháp giải hệ ĐSTTT và phân loại thành 2 nhóm phương pháp giải: phương pháp trực tiếp (phương pháp cho ta nghiệm đúng của hệ sau một số hữu hạn các phép tính) và

phương pháp lặp (phương pháp xây dựng một dãy vô hạn các xấp xỉ mà giới hạn của nó lả

nghiệm đúng của hệ)

Khi đối mặt với các bài toán tuyến tính kích thước lớn khiến việc giải quyết bằng phương pháp trực tiếp cực kỳ rắc rỗi và phức tạp thì người ta sẽ tiếp cận bài toán bằng phương pháp lặp Trong đó, phương pháp Gradient liên hợp tỏ ra vô cùng khi ma trận hệ số là ma trận đối xứng, xác định dương

Với mục đích tìm hiểu về phương pháp Gradient liên hợp ,chúng em đã viết một báo cáo ngắn về ứng dụng của phương pháp Gradient liên hợp trong việc giải phương trình tuyến tính cũng như ứng dụng của nó vào bải toán thực tế

Bài báo cáo gồm 3 chương trọng tâm trình bảy những kiến thức về phương pháp Conjugate Gradient, img dung cua phuong phap vao cac bai toán thực tế, chương trình Matlab m6 phong viéc giai bai toan tuyén tinh bang phuong phap Conjugate Gradient

Quá trình biên tập không thê tránh khỏi thiếu sót và nhằm lẫn, mong quý thầy, cô đóng gop y kiên và nhận xét về cho nhóm

Chân thành cảm ơn Quý thầy ,cô Nhóm 18-L03

PHAN 2: CO SO LY THUYET

1 Lịch sử

Phương pháp Gradient liên hợp được Hestenses và Stiefel nêu ra đầu tiên vào những năm

1950 đề giải hệ phương trình đại số tuyến tính Vì việc giải một hệ phương trình tuyến tính tương

đương với việc tỉm cực tiểu của một hàm toản phương xác định dương nên năm 19600 Fletcher- Reeves đã cải biên và phát triển nó thành phương pháp Gradient liên hợp cho cực tiểu không ràng buộc Phương pháp Gradient liên hợp (CG) chỉ cần tới đạo hàm bậc nhất nhưng làm tăng hiệu quả

và độ tin cậy của thuật toán

2 Lý thuyết

Đối với hệ phương trinh đại sỐ tuyến tính Ax=b, trong đó A là ma trận vuông cấp n,x vab

la vecto n chiéu:

Phương pháp Gradient liên hợp là phương pháp tìm cực tiểu hóa dạng của dạng toàn phương

x*= x

(1)

Trong đó A là ma trận đối xứng xác định dương và b là vecto cho trước Ta có:

Từ (2) ta thay rằng x* cũng chính là nghiệm của phương trình tuyến tinh Ax=b

Từ định lý Taylor cho ptcy~+tz thu được ta có:

®y +tz= ®y+ z' Az (3)

PHẢN 3: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

Phương pháp tìm kiếm theo hướng:

Cho 1 xấp xỉ x; của phương án tôi ưu x* và 1 vecto hướng p;¡, phương pháp CG sé dua ra một xấp xỉ tiếp theo qua 2 bước:

- Tìm œ¡= aremino x¡ +a¡p;

- Dat Xj = Xj + ap;

Giả sử xọ là xấp xỉ ban đầu, áp dụng k bước lặp sẽ tra kết quả là một dãy lặp

Dinh nghia 1: Tap huong là tập hướng liên hợp nếu

Ap.pi=Ap70 ứj

Siêu phẳng:

U= xo+ Wi= z R® | Z=x0+ Wi, We We

Uc= Xo

Bồ đề 1: Cho p, liên hợp, x;:¡=x¡ + a¡p; Cho r=Axị - b, xo cho trước

P.=-n +

Kết luận: Ap„,p;=0, 0<m<jk

Bồ đề 3: Giả sử được xây dựng theo bồ đề 2

Khi d6 Wi= span ro,Fị, ,fi-i

Ttn= 9,

T,Pk = - Tek,

P thỏa mãn

P.= -n-Tf|‹-iPk-,i-t=

Đề xây dựng thuật toán Gradient liên hợp ta phải:

+ Xây dựng công thức truy toán sinh các hướng liên hợp pi

+ Rút sọn một số công thức tính toán

+ Sử dụng các hướng liên hợp tính toán các x;

Đánh giá sai số của phương pháp Gradient liên hợp:

Với K=K(A)=_ là số điều kiện của A.

PHAN 4: CÁC HÀM MATLAB CƠ BẢN ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG BAI

TOÁN VÀ CODE HOÀN CHỈNH

function x = conjgrad(A, b, x)

r=b-A* x;

pt,

rsold = r' * x;

for i = li:length(b)

Ap =A * pj

x = x + alpha * p;

rsnew = r' * x;

break

end

rsold = rsnew;

end

Ví dụ

Xét hệ phương trình tuyến tính cho bởi

SU HOI TU CUA PHUONG PHAP

Xác định một tập hợp con của đa thức là

: p(0)=1}, ở đầu

Đề cho là xấp xi lap đi lặp lại của giải pháp chính xác và xác định các lỗi là Bây giờ ,tốc

độ hội tụ có thê được xấp xi la

|

Ở đây biểu thị phổ ,và biểu thị số điều kiện

Lưu ý ,gidi han quan trong khi có xu hướng có xu hướng

Giới hạn này cho thấy tốc độ hội tụ nhanh hơn so với các phương pháp lặp của Jacobi hoặc Gauss-Seidel có tỷ lệ như

Không có sai số làm tròn nào được giả định trong định ly hội tụ ,nhưng giới hạn hội tụ thường có giá trị trone thực tế như được giải thích về mặt lý thuyết bởi Anne Greenbaum

PHẢN 5: KÉT LUẬN

Trong báo cáo này đã nêu rõ ứng dụng của phương pháp lặp Conjugate Gradient đê giải

hệ phương trình tuyến tính cũng như là ứng dụng của nó trong bài toán thực tế, đồng thời đã

mô phỏng thuật toán Conjupate Gradient bằng Matlab đề thấy được sự hiệu quả của phương

pháp nảy trong các điêu kiện của ma trận hệ sô A.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 A van der Sluis and H A van derVorst (1986), The Rate of Convergence of

Conjugate Gradients, Numerische Mathematik 48, no 5, 543-560

2 Magnus R Hestenes and Eduard Stiefel (1952), Methods of Conjugate Gradients for

Solving Linear Systems, Journal of Research of the National Bureau of Standards 49, 409-436

3 R Fletcher and M J D Powell (1963), A Rapidly Convergent Descent Method for

Minimization, Computer Journal 6,163—168

4 Đặng Quang Á (2009), Giáo trình Phương pháp số, Nxb Đại học Thái Nguyên