Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán: Dạy học một số dạng toán về tính chia hết theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh giỏi lớp 6

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG LÊ THỊ HẢI DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN H

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

LÊ THỊ HẢI

DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 6

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HẢI PHÒNG – 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

LÊ THỊ HẢI

DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT

THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY

VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 6

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn “Dạy học một số dạng toán về tính chia hết theo hướng phát triển năng lực TDLLTH cho học sinh giỏi lớp 6” là công trình nghiên

cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS

TS Nguyễn Anh Tuấn

Các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Hải Phòng, ngày 08 tháng 06 năm 2023

Tác giả luận văn

Lê Thị Hải

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy giáo, cô giáo trường Đại học Hải Phòng đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa học

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Anh Tuấn, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn sự nhiệt tình giúp đỡ từ Ban giám hiệu, thầy cô giáo Trường THCS Bạch Đằng, Quận Hồng Bàng, Thành phố Hải Phòng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi có được những thông tin bổ ích phục vụ quá trình nghiên cứu và thực nghiệm sư phạm

Đề tài “Dạy học một số dạng toán về tính chia hết theo hướng phát triển năng lực TDLLTH cho học sinh giỏi lớp 6” đã hoàn thành đúng kế hoạch, được

nghiên cứu một cách công phu và cẩn trọng Mặc dù tôi đã cố gắng nghiên cứu và hoàn thành luận văn, nhưng do điều kiện thời gian và năng lực cá nhân nên không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Kính mong các thầy cô, các chuyên gia và đồng nghiệp tiếp tục đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hải Phòng, ngày 08 tháng 06 năm 2023

Tác giả luận văn

Lê Thị Hải

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

QUY ƯỚC VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN v

DANH MỤC BẢNG, SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ vi

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 13

1.1 Một số vấn đề về tư duy và tư duy toán học 13

1.1.1 Tư duy 13

1.1.2 Tư duy và lập luận toán học 14

1.2 Một số vấn đề về năng lực và năng lực toán học 20

1.2.1 Năng lực 20

1.2.2 Năng lực toán học 21

1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học 22

1.3.1 Quan niệm và thành phần 22

1.3.2 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học ở học sinh giỏi khi giải bài toán về tính chia hết 26

1.3.3 Quy trình dạy học giải bài tập toán theo hướng phát triển NL TDLLTH 28

1.3.4 Mối quan hệ năng lực TDLLTH với một số năng lực được hình thành và phát triển ở học sinh 31

1.4 Dạy học toán theo hướng phát triển năng lực toán học cho học sinh 32

1.4.1 Đặc điểm của môn Toán và yêu cầu phát triển NL toán học trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) 32

1.4.2 Định hướng dạy học Toán phát triển NL toán học cho HS 32

1.5 Tình hình dạy và học giải bài toán về tính chia hết trong môn Toán ở trường THCS 33

1.5.1 Bài toán về tính chia hết trong môn Toán ở trường THCS 33

1.5.2 Các dạng bài toán về tính chia hết dành cho học sinh giỏi lớp 6 40

1.5.3 Đặc điểm của học sinh giỏi lớp 6 và vai trò của DH “Giải bài toán về tính chia hết” đối với việc phát triển NL TDLLTH 41

1.5.4 Tình hình dạy và học giải bài toán về tính chia hết ở trường THCS 43

Tiểu kết chương 1 51

CHƯƠNG 2 BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

GIỎI 52

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp 52

2.2 Một số biện pháp giải bài toán về tính chia hết nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh giỏi lớp 6 52

2.2.1 Biện pháp 1 - Thiết kế, tổ chức những HĐ luyện tập cho HS sử dụng các thao tác tư duy toán học trong quá trình giải bài toán về tính chia hết 52

2.2.2 Biện pháp 2 - Thiết kế, tổ chức những HĐ luyện tập cho HS sử dụng các phương pháp, quy tắc suy luận toán học trong quá trình giải bài toán về tính chia hết 59

2.2.3 Biện pháp 3 - Thiết kế, tổ chức những HĐ luyện tập cho HS sử dụng các thao tác tư duy và suy luận hợp lôgic để trình bày và nghiên cứu sâu lời giải bài toán về tính chia hết 67

2.3 Ví dụ minh họa sử dụng các biện pháp vào dạy học một số dạng toán về tính chia hết cho học sinh giỏi lớp 6 73

2.3.1 Dạng bài toán 1 - Chứng minh tính chia hết của phép chia 74

2.3.2 Dạng bài toán 2 - Xét điều kiện chia hết, chia dư của phép chia 81

2.3.3 Dạng bài toán 3 - Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên 83

2.3.4 Dạng bài toán 4 - Sử dụng tính chia hết để giải bài toán về số nguyên tố, hợp số 92

2.3.5 Dạng bài toán 5 - Sử dụng tính chia hết để giải bài toán về số chính phương 94

Tiểu kết chương 2 97

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 99

3.1 Mục đích, kế hoạch thực nghiệm 99

3.2 Nội dung thực nghiệm 100

3.3 Kết quả thực nghiệm 101

3.3.1 Kết quả định tính 101

3.3.2 Kết quả định lượng 103

Tiểu kết chương 3 105

KẾT LUẬN 106

Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận văn 108

TÀI LIỆU THAM KHẢO 109

QUY ƯỚC VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

ĐHSP Đại học Sư phạm GQVĐ Giải quyết vấn đề

TDLLTH Tư duy và lập luận toán học TDST Tư duy sáng tạo

THCS Trung học cơ sở

DANH MỤC BẢNG, SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ

Bảng 1.1 Thành phần, biểu hiện của NL TDLLTH ở HS trong

Bảng 1.2 Mối liên hệ giữa số nguyên và đa thức 39

Bảng 1.3 Đánh giá của giáo viên Toán về hoạt động TDLLTH 44

Bảng 1.4 Đánh giá của giáo viên Toán về 3 thành phần NL

Bảng 3.2 Bảng tần số (ghép lớp) kết quả điểm kiểm tra 60 phút 103

Bảng 3.3 Bảng tần suất (ghép lớp) kết quả điểm kiểm tra 60 phút 103

Sơ đồ 1.1 Mô hình quá trình tư duy trong giải bài tập toán 24

Sơ đồ 1.2 Cấu tạo của “tam giác Pascal” 35

Sơ đồ 1.3 Cơ sở toán học của chủ đề đa thức ở THCS 38 Biểu đồ 3.1 Biểu đồ cột phân bố tần suất (ghép lớp) điểm bài kiểm

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trước xu thế hội nhập thế giới và khu vực, ngành giáo dục Việt Nam

đang tiến hành đổi mới toàn diện giáo dục - theo hướng phát triển NL người học Trong đó yêu cầu đổi mới giáo dục toán học ở trường phổ thông tập trung vào phát triển năng lực toán học cho HS qua môn Toán được thể hiện trong

chương trình môn Toán 2018 [2]

Đối với HS phổ thông, NL toán học của các em thể hiện trong quá trình

giải quyết những vấn đề ở môn Toán, vận dụng môn Toán vào môn học khác

và GQVĐ thực tiễn Để GQVĐ bằng công cụ toán học, trước hết người học cần huy động khả năng tư duy và lập luận của mình để tìm ra cách thức giải quyết

đồng thời cũng để trình bày, nghiên cứu sâu lời giải

Ngay từ những thập niên 70-80 của thế kỷ trước, Phạm Văn Hoàn và cộng sự (1981) đã chú trọng nghiên cứu vấn đề phát triển tư duy và NL GQVĐ toán học, giúp cho HS vận dụng trong học Toán, học môn học khác và GQVĐ thực tiễn [11]

Với đặc thù của HĐ giải bài tập toán (Nguyễn Bá Kim, 2017), dạy học

giải toán chứa đựng cơ hội tốt để người học trải nghiệm, tập luyện các HĐ thực

hành vận dụng kiến thức, PP toán học vào giải quyết những vấn đề trong và ngoài môn Toán Do vậy đây là môi trường rất tốt để phát triển những NL cần

thiết cho người học; đặc biệt là NL tư duy và ngôn ngữ

Vì thế, có thể hiểu NL TDLLTH đã được coi trọng, sắp xếp ở vị trí đầu

tiên trong 5 thành phần của NL toán học trong chương trình môn Toán 2018 [2]

Được xem như cầu nối giữa bậc Tiểu học và bậc học Trung học phổ thông, môn Toán ở trường THCS giữ vị trí quan trọng Nếu như ở bậc Tiểu học, HS học Toán thông qua con đường nhận thức một cách trực quan, chưa đặt ra yêu cầu suy luận chứng minh; thì ở THCS có thể coi là sự khởi đầu của

việc tiếp cận và trình bày toán học như một khoa học suy diễn

Mặt khác, bắt đầu từ môn Toán THCS, một số mạch kiến thức toán học được đưa vào dưới dạng một “phân môn chính thức” như Hình học, Đại số, Xác suất - Thống kê, khởi tạo nền móng để học tiếp những mạch kiến thức này

ở môn Toán Trung học phổ thông và bậc học đại học

Vì vậy, Số học cũng là môn học đầu tiên về toán học được đưa vào

chương trình giáo dục toán học ở trường phổ thông, bắt đầu từ bậc Tiểu học Nội dung Số học ở tiểu học chủ yếu giới thiệu cho HS tiếp cận, làm quen với toán học dưới những hình thức và ngôn ngữ khá “tự nhiên”, gần gũi với khả năng nhận thức ở lứa tuổi thiếu niên

Các kết quả nghiên cứu về dạy và học Số học - trong đó có vấn đề “phát triển tư duy và lập luận” thể hiện ở những công trình của Trần Đình Châu (1996, [3]), Hoàng Chúng (1997, [8]), Phạm Văn Hoàn (1981, [10]), Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003, [12]), G Polya (2010, [27]), Trần Kiều (2014, [15]),

Đỗ Đức Thái (2021, [29]) đã cho thấy tầm quan trọng và sự cần thiết của việc phát triển NL TDLLTH qua môn Toán

Trong Số học, bài toán về tính chia hết rất đa dạng và phong phú, liên

quan đến nhiều kiến thức toán học về số tự nhiên (phép chia hết, chia dư, chữ

số tận cùng, số nguyên tố, số chính phương, đồng dư, ) Vì vậy, dạng toán

này có vai trò quan trọng trong việc phát triển NL tư duy - nói riêng là tư duy

số học, tư duy sáng tạo cho HS Nội dung và bài toán liên quan đến tính chia hết được đưa vào chương trình môn Toán ngay từ bậc Tiểu học Đến bậc học

THCS, ngay từ lớp 6, HS đã được học hệ thống số tự nhiên với hầu như đầy đủ

những kiến thức cần thiết về tập hợp N, mở rộng sang tập số nguyên Z, làm cơ

sở cho việc giải bài toán số học - nói riêng là bài toán về tính chia hết

Việc dạy và học chủ đề giải toán về tính chia hết có liên quan chặt chẽ

với nhiều kiến thức Số học và Đại số, có ứng dụng khá phong phú trong toán học và thực tiễn (môn học khác, cuộc sống)

Trong đó “giải bài toán về tính chia hết” trực tiếp ảnh hưởng đến NL

toán học của HSG Các em cần phải nắm vững và vận dụng nhiều kiến thức đã

học vào việc giải những bài toán (nội bộ môn Toán, môn học khác và thực tiễn

đời sống) liên quan đến phép chia số tự nhiên Đây chính là cơ hội để phát triển

các thành phần của NL toán học, bao gồm: NL TDLLTH; NL mô hình hoá toán học; NL GQVĐ toán học; NL giao tiếp toán học; NL sử dụng công cụ, phương

tiện học toán cho HS trong dạy học nội dung này

Trong khi đó, thực trạng bồi dưỡng HS giỏi trong dạy học “giải bài toán

về tính chia hết” ở lớp 6 trường THCS hiện nay cho thấy: Tuy GV và HS đã

đạt được nhiều kết quả tốt, nhưng vẫn còn có những khó khăn, hạn chế nhất định trước yêu cầu phát triển NL TDLLTH, thực hiện chương trình SGK mới

Từ đó có thể thấy: Dạy học Toán nói chung, trong đó có DH giải bài toán về tính chia hết ở lớp 6 trường THCS là môi trường tốt, tạo điều kiện thuận lợi để GV phát triển NL TDLLTH cho đối tượng HSG Tuy nhiên hiện nay chưa

có công trình nghiên cứu trực tiếp về vấn đề này Do vậy cần thiết và có thể nghiên cứu tìm kiếm giải pháp DH “Giải bài toán về tính chia hết” cho đối tượng HSG nhằm phát triển NL TDLLTH

Từ những lý do trên đây, chúng tôi lựa chọn vấn đề “Dạy học một số dạng toán về tính chia hết theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh giỏi lớp 6” làm đề tài nghiên cứu trong luận văn này

2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

a) Về khoa học Số học

Theo nghĩa từ điển: Số học là “Ngành toán học nghiên cứu tính chất các

số tự nhiên, các số nguyên, các số hữu tỷ và các phép toán trên các số đó Nhằm đáp ứng những nhu cầu của thực tiễn, trước hết Số học nghiên cứu các số tự nhiên và các phép toán trên các số tự nhiên Sau đó nội dung của Số học được

mở rộng, nhằm nghiên cứu các số hữu tỷ và các phép toán trên các số hữu tỷ

Số học càng trở nên có hiệu quả hơn, khi phép tính bằng chữ được đưa vào, dọn đường cho việc nghiên cứu các phương trình đại số” [25]

Trong lịch sử hình thành phát triển của Toán học, “Số học” là một trong

những ngành cổ xưa nhất của toán học Thời kỳ phát sinh toán học, Số học

nghiên cứu về số và các phép tính sơ cấp với số; theo thời gian, Số học được

phát triển mở rộng phạm vi ứng dụng sang nhiều lĩnh vực của toán học (Số học cao cấp - Lý thuyết số; Đại số số học) và đời sống (Tin học, mật mã, ) [33]

Như vậy, có thể thấy: Số học và các phép tính số học được hình thành trước khi phát triển đại số và phép toán đại số Đồng thời tư duy số học cũng

là khởi đầu của tư duy toán học, làm cơ sở để phát triển tư duy đại số, tư duy

toán học

b) Vấn đề dạy học giải toán và phát triển năng lực học sinh

Với vị trí và vai trò quan trọng của bài tập toán trong DH Toán, trên thế

giới và ở Việt Nam đã có nhiều công trình nghiên cứu về DH giải toán từ những mục đích khác nhau, có thể thấy kể đến một số kết quả nghiên cứu như sau:

Nhà sư phạm lỗi lạc G.Polya với bộ ba tác phẩm “Giải một bài toán như thế nào?” [26], “Toán học và những suy luận có lý” [27] và “Sáng tạo toán học” [28] đã có những kết quả nghiên cứu sâu sắc về DH giải toán Đặc biệt là

ở cuốn sách “Giải một bài toán như thế nào?”, G.Polya đã tiếp cận câu hỏi này

từ góc độ dạy và học giải toán, chỉ ra những vấn đề quan trọng nhất trong quá

trình giải bài tập toán, đặc biệt là phương pháp chung để giải một bài toán gồm

có 4 bước:

“Bước 1 - Tìm hiểu bài toán

Bước 2 - Tìm đường lối giải bài toán

Bước 3 - Trình bày lời giải bài toán

Bước 4 - Nghiên cứu, đánh giá quá trình giải, phát triển bài toán” [26]

Ở từng bước, G.Polya đã đưa ra những gợi ý rất hữu ích đối với GV và

HS như sau:

Bước 1 - Tìm hiểu bài toán

HS tìm cách diễn đạt đề bài theo những cách, dạng khác nhau để làm rõ dạng và từng phần của bài toán: Cái gì đã cho? Cái gì phải tìm? Điều gì phải chứng minh?

HS dùng ngôn ngữ ký hiệu toán học (công thức, kí hiệu, hình vẽ, ) để tóm tắt nội dung và cấu trúc bài toán, viết giả thiết và kết luận

Bước 2 - Tìm đường lối giải bài toán

HS căn cứ vào giả thiết và kết luận của bài toán để huy động hiểu biết kinh nghiệm đã có để tìm đoán: biến đổi, cụ thể hóa giả thiết và kết luận để tìm cách liên hệ giữa chúng

Trong quá trình này, HS cần đến việc nhận diện bài toán bằng cách so sánh, liên tưởng với những bài toán tương tự đã biết, phát hiện mối liên hệ để lợi dụng phương pháp, kết quả cũ (có thể là một trường hợp riêng, hoặc một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan gần gũi, )

Bằng cách huy động và liên kết; thông qua các thao tác tư duy phân tích,

so sánh, xét tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, HS phát hiện được những

“con đường, hướng đi, chiến lược” để giải bài toán; lựa chọn hướng giải quyết Bước 3 - Trình bày lời giải bài toán

HS dựa vào hướng giải đã phát hiện và lựa chọn, tiến hành sắp xếp các việc phải làm và thực hiện các bước giải bài toán theo một trình tự thích hợp, chặt chẽ

Bước 4 - Nghiên cứu, đánh giá quá trình giải, phát triển bài toán

HS kiểm tra lại từng bước giải bài toán, phát hiện sai sót và điều chỉnh cần thiết; Tìm kiếm cách giải khác và so sánh các con đường Đánh giá toàn diện bài toán để đào sâu, mở rộng: sử dụng kết quả hay PP đó cho một bài toán tương tự, phát biểu và tìm PP giải chung cho một bài toán tổng quát hơn Sử dụng phương pháp, hướng giải quyết bài toán cho một dạng bài toán khác

DH giải toán đã được nhiều tác giả nghiên cứu từ những mục đích khác nhau:

 Với mục tiêu phát triển tư duy:

Có thể thấy, DH giải toán là môi trường tốt để phát triển tư duy toán học,

vì thế đã có nhiều công trình nghiên cứu về DH giải toán ở một số chủ đề nội dung và cấp học khác nhau, nhằm phát triển một số loại hình tư duy có thế

mạnh trong môn Toán như: Tư duy sáng tạo, tư duy thuật toán, tư duy phản biện, Có thể kể đến một số luận văn Thạc sỹ như sau:

- Nguyễn Thị Lan Hương (2001), Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho HS khá và giỏi Toán ở các lớp cuối cấp THCS thông qua hệ thống bài tập hình học phẳng, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP - Đại học Thái

Nguyên

- Phạm Thị Phương Mai (2011), Xây dựng hệ thống bài tập về PP tọa độ trong mặt phẳng (Hình học 10 Trung học phổ thông) nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho HS, Luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP Hà Nội

- Doãn Thị Kim Huế (2013), Phát triển tư duy thuật toán cho HS lớp 10 Trung học phổ thông trong DH giải bài tập về PP tọa độ trong mặt phẳng, luận văn

Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP Hà Nội

- Nguyễn Thị Hằng (2013), Phát triển tư duy sáng tạo cho HS lớp 12 Trung học phổ thông trong DH các bài toán về phương trình mặt phẳng, luận văn

Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP Hà Nội

- Lê Bá Việt Hùng (2014), Phát triển tư duy sáng tạo cho HS khá, giỏi trong

DH giải phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường Trung học phổ thông

- Lê Thành Trung (2014), Phát triển tư duy sáng tạo cho HS chuyên Toán trong DH phương trình vô tỉ, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP

Hà Nội

 Với mục tiêu rèn luyện kỹ năng:

Mặt khác, quá trình giải bài toán tạo điều kiện rất thuận lợi cho việc rèn luyện những KN toán học cần thiết, từ đó phát triển NL toán học cho HS Do

đó cũng có nhiều công trình nghiên cứu về rèn luyện những KN cụ thể cho HS trong DH giải toán, chẳng hạn như:

- Lê Bình Dương (2019), DH xác suất thống kê ở các trường đại học trong quân đội theo hướng tăng cường rèn luyện KN siêu nhận thức cho học viên,

luận án Tiến sỹ Khoa học Giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam

- Phí Văn Thủy (2021), Rèn luyện KN siêu nhận thức cho HS trong DH Giải tích ở trường Trung học phổ thông, luận án Tiến sỹ Khoa học Giáo dục, Trường ĐHSP - Đại học Thái Nguyên

Ở các luận án tiến sỹ nói trên, các tác giả đã tiếp cận nghiên cứu rèn luyện KN siêu nhận thức cho các đối tượng người học là học viên, HS qua môn Toán

- Nguyễn Minh Giang (2021), Rèn luyện KN tìm tòi lời giải bài toán cho sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học thông qua học phần Thực hành giải toán tiểu học theo tư tưởng của G.Polya, đề tài nghiên cứu khoa học cấp Trường,

Trường Đại học Hải Phòng

Ở đề tài nghiên cứu khoa học này, tác giả đã tiếp cận nghiên cứu rèn luyện KN tìm tòi lời giải bài toán cho đối tượng SV sư phạm tiểu học qua học

phần “Thực hành giải toán”, trong đó bám sát 4 bước giải bài toán của G.Polya

Ngoài ra, ở các luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, nhiều tác giả đã lựa chọn những chủ đề nội dung khác nhau (phương trình, nguyên hàm tích phân, bài

toán cực trị hình học, giải toán bằng PP véc tơ, ) để rèn luyện những loại hình

KN như KN giải toán, KN sử dụng hàm số, KN tự học, KN vẽ hình, cho HS phổ thông ở nhiều cấp học khác nhau

- Vũ Cao Thượng (2019), DH chủ đề “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” nhằm rèn luyện KN tự học cho HS THCS, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP

Với đặc thù của HĐ giải toán, bản thân tình huống DH giải toán đã chứa

đựng sẵn cơ hội để người học trải nghiệm, tập luyện các HĐ thực hành vận

dụng kiến thức, PP toán học vào giải quyết những vấn đề trong và ngoài môn Toán Do vậy đây là môi trường rất tốt để phát triển những NL cần thiết cho

người học Theo hướng phát triển một số loại NL cho người học qua môn Toán,

có một số công trình và kết quả như sau:

Ngay trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể [1] và chương

trình môn Toán [2] (ban hành năm 2018), yêu cầu phát triển NL HS đã được nhấn mạnh và cụ thể hóa là:

Hướng đến phát triển 3 NL cốt lõi cho HS: NL tự chủ và tự học; NL giao tiếp và hợp tác; NL giải quyết vấn đề và sáng tạo Trong đó môn Toán có nhiều

cơ hội góp phần hình thành và phát triển NL tính toán, NL ngôn ngữ và các NL

đặc thù khác; được cụ thể hóa thành 5 thành phần ở môn Toán như sau: “NL TDLLTH; NL mô hình hoá toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán” [2]

Đối với bậc học THCS, 5 NL thành phần này đã được các tác giả mô tả chi tiết biểu hiện ở HS trong học Toán [30]

Tuy nhiên, do NL toán học đối với HS chính là khả năng thực hành vận dụng môn Toán vào thực tiễn ở nhà trường và trong cuộc sống lao động sau

này, cho nên để GQVĐ bằng công cụ toán học, trước hết người học cần huy động khả năng tư duy và lập luận của mình để tìm ra cách thức giải quyết đồng

thời cũng để trình bày lời giải Vì thế, có thể hiểu NL TDLLTH được coi trọng,

sắp xếp ở vị trí đầu tiên trong 5 thành phần của NL toán học; có vai trò, tác dụng rất quan trọng để học Toán, GQVĐ toán học và thực tiễn

Trước 2018, ở Việt Nam đã có nhiều công trình nghiên cứu DH Toán theo hướng phát triển một số NL cho HS qua những nội dung cụ thể, có thể kể đến:

- Nguyễn Anh Tuấn (2003), Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn

đề cho học sinh THCS trong DH khái niệm toán học (Thể hiện qua một số

khái niệm mở đầu đại số ở THCS), Luận án Tiến sỹ Giáo dục, Viện Khoa học

Giáo dục Việt Nam

- Hoàng Thị Thanh (2019), Phát triển năng lực GQVĐ và sáng tạo cho HS miền núi thông qua DH giải bài tập hình học lớp 8 THCS, luận án Tiến sỹ Khoa học

Giáo dục, Trường ĐHSP Hà Nội

Từ khi Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành chương trình giáo dục phổ

thông môn Toán (ban hành năm 2018), hướng nghiên cứu về phát triển NL TDLLTH trong DH Toán có một số công trình như sau:

- Lê Thị Cẩm Nhung (2020), “DH yếu tố hình học ở tiểu học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học cho học sinh”, Tạp chí Khoa học

giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam [23]

- Nguyễn Đức Thành Tâm (2020), DH xác suất theo hướng phát triển năng lực TDLLTH cho học sinh lớp 11, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường Đại

học Hải Phòng

- Nguyễn Thị Kim Chi (2022), Phát triển năng lực TDLLTH cho học sinh lớp

8 trong DH Đại số, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường Đại học Hải Phòng

- Bùi Thị Xuân (2022), Khai thác, phát triển một số dạng toán nhằm góp phần hình thành và phát triển năng lực TDLLTH cho học sinh Tiểu học, luận văn

Thạc sỹ Giáo dục tiểu học, Trường Đại học Hải Phòng

Như vậy, có thể thấy: Theo định hướng phát triển NL toán học của

chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (ban hành năm 2018), đã có một

số công trình nghiên cứu trực tiếp về việc phát triển NL TDLLTH cho HS các cấp học qua môn Toán

b) Vấn đề DH Số học với những nội dung liên quan đến tính chia hết và ứng dụng đã có một số công trình nghiên cứu với kết quả như sau:

Những cuốn sách và giáo trình viết về DH Số học như của các tác giả Phạm Văn Hoàn (1981, [10]); Hoàng Kỳ (2014, [18]); Hoàng Chúng (1991, [7]

và 1997, [8]), Các nghiên cứu trong luận án Tiến sỹ như Trần Đình Châu (1996, [3]), Bùi Huy Ngọc (2003, [22]); trong một số luận văn Thạc sỹ như:

- Vũ Việt Bắc (2014), Phát triển năng lực giải toán số học cho học sinh trường Trung học cơ sở, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP - Đại học

Thái Nguyên

- Hoàng Hoa Hạnh Dung, (2020), Vận dụng lịch sử toán học vào DH số học

và đại số ở trường trung học cơ sở, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường

ĐHSP Hà Nội

- Đặng Thị Duyên (2018), Khắc phục một số khó khăn, sai lầm của HS THCS khi chuyển từ học Số học sang học Đại số, Luận văn Thạc sỹ PPDH Toán,

Đại học Hải Phòng

- Nguyễn Thị Hiền (2019), Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học

Cơ sở trong DH giải toán số học, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường

ĐHSP - Đại học Thái Nguyên

- Nguyễn Sỹ Hiệp (2019), Biện pháp giúp giáo viên DH phân hóa thông qua chủ đề nguyên lý Dirichlet trong số học của môn Toán trung học cơ sở, luận

văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP - Đại học Thái Nguyên

- Phạm Văn Quân (2020), Phát triển năng lực TDLLTH cho HSG trung học

cơ sở thông qua DH chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”, luận văn Thạc

sỹ PPDH Toán, Trường Đại học Hải Phòng

3 Mục tiêu nghiên cứu

+ Xác định thành phần, biểu hiện của năng lực TDLLTH ở HSG lớp 6

THCS khi học “Giải bài toán về tính chia hết”

+ Xây dựng biện pháp DH “Giải bài toán về tính chia hết” ở lớp 6 THCS

theo hướng phát triển năng lực TDLLTH cho HSG

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Biện pháp dạy học “Giải bài toán về tính chia hết” ở lớp 6 trường THCS theo hướng phát triển năng lực TDLLTH cho HSG

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Quá trình dạy và học “Giải bài toán về tính chia hết” cho đối tượng HSG lớp 6 trường THCS theo bộ SGK Kết nối tri thức với cuộc sống

5 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định và cụ thể hóa thành phần, biểu hiện của NL TDLLTH và

xây dựng những BP DH phù hợp đối với nội dung “Giải bài toán về tính chia hết” thì có thể phát triển NL này cho HSG lớp 6

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Đọc những tài liệu, bài báo khoa học, công trình nghiên cứu khoa học

có liên quan đến DH Toán phát triển năng lực TDLLTH cho HSG; DH các tình huống điển hình trong môn Toán - đặc biệt là DH giải bài toán số học ở THCS;

6.2 Phương pháp điều tra quan sát

Dùng tìm hiểu tình hình thực tế DH chủ đề “Giải bài toán về tính chia hết” trong Số học 6 ở trường THCS

6.3 Phương pháp phỏng vấn, xin ý kiến chuyên gia

Dùng để tìm hiểu những vấn đề về phương pháp luận và đánh giá thực tiễn liên quan đến DH Số học 6 - trong đó có “Giải bài toán về tính chia hết”

cho đối tượng HSG trường THCS

6.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Dùng để kiểm tra tính khả thi của giải pháp DH “Giải bài toán về tính chia hết” đã đề xuất (có thể thực hiện được trong thực tiễn hay không?) và tính

hiệu quả của giải pháp (có tốt hay không? tốt như thế nào?)

6.5 Phương pháp thống kê toán học

Dùng vào việc thu thập, xử lý và đánh giá số liệu khi điều tra thực trạng

vấn đề và trong quá trình thực nghiệm sư phạm

7 Kết cấu của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 - Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 - Xây dựng biện pháp dạy học “Giải bài toán về tính chia hết” nhằm phát triển năng lực TDLLTH cho học sinh giỏi lớp 6 THCS

Chương 3 - Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề về tư duy và tư duy toán học

1.1.1 Tư duy

1.1.1.1 Quan niệm

Theo Phạm Minh Hạc (2002), có thể xem “Tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh được các đối tượng và các hiện tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, con người vạch ra được những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng, hiện tượng và giữa chúng với nhau”

[9]

Có thể thấy, với quan niệm này, “tư duy” chỉ có ở con người và tư duy

chỉ xuất hiện khi con người phản ánh và nhận thức thế giới hiện thực

1.1.1.2 Đặc trưng và biểu hiện

- Tư duy (xem như là nội dung) và ngôn ngữ (xem như là hình thức bên ngoài của tư duy) có liên hệ mật thiết (giữa nội dung và hình thức) Ngôn ngữ toán học có 3 ưu điểm là tính gọn gàng, chính xác và khái quát; gồm có 2 mặt ngữ

nghĩa (nghĩa của ngôn ngữ) và cú pháp (hình thức của ngôn ngữ)

- TD và nhiệm vụ nhận thức: Tư duy chỉ nảy sinh khi có vấn đề, có nhiệm vụ nhận thức

- TD và HĐ: TD được tiến hành qua HĐ, với 6 giai đoạn là Tạo ra môi trường

 HS hoạt động  nảy sinh tình huống  có cách giải quyết  tìm ra bản chất  tri thức

- TD và kiến thức: Trên cơ sở kiến thức phù hợp (theo lý thuyết về vùng lân cận - phát triển gần nhất của Vưgôtxki [35]) Theo đó: Kiến thức (đã biết) là

cơ sở để tư duy và ngược lại nhờ tư duy mà con người có thêm những kiến thức mới

- TD và những đặc điểm nhân cách: Nhu cầu, hứng thú, động cơ, tập trung cao

độ sẽ tạo điều kiện cho quá trình TD đạt hiệu quả cao (chẳng hạn như Acsimet tìm ra quy luật vật lý ) theo Piagiê [24]

1.1.2 Tư duy và lập luận toán học

1.1.2.1 Tư duy toán học

Theo Nguyễn Bá Kim (2017), toán học có đối tượng là “những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” [17] Do đó

từ quan niệm của Phạm Minh Hạc về tư duy trong [9], chúng ta thấy: Tư duy

toán học phản ánh “hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực”

Theo Nguyễn Anh Tuấn (2012), tư duy toán học thể hiện qua hình thức

là những khái niệm, phán đoán (trong đó có tiên đề, định lý) và suy luận [33] Trong đó:

+ “Khái niệm là một hình thức tư duy của loài người, giúp người ta hiểu được những đặc trưng chung, chủ yếu của các sự vật và hiện tượng của hiện thực khách quan” (Ro-den-tan M., I-u-din P., Từ điển Triết học, dẫn

+ Suy luận được hiểu là “Suy luận là hình thức của tư duy, để rút ra một

phán đoán mới từ một hay nhiều phán đoán đã có Các phán đoán đã có gọi là

tiền đề, phán đoán mới được rút ra gọi là kết luận của suy luận” [33]

Theo A.Ia Khin xin, tư duy toán học có 5 đặc trưng:

“- Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến đích

- Phân chia rành mạch các bước suy luận

- Sử dụng chính xác các kí hiệu

- Lập luận có căn cứ đầy đủ” (dẫn theo [11])

Phân tích, nhận xét:

- Nhờ tư duy, con người rút ra khái niệm về đối tượng, sự vật; đưa ra những phán đoán về dấu hiệu, mối quan hệ giữa những sự vật, hiện tượng; sau đó suy luận để chứng minh hoặc bác bỏ phán đoán Trong quá trình tư duy toán học, các qui luật suy luận (hợp) lôgic được coi là công cụ, phương tiện để tư duy

- Phán đoán là một hình thức của tư duy toán học nên có mối liên quan chặt chẽ

với NL TDLLTH trong giải bài tập toán Ban đầu HS cần đến phán đoán để dự

kiến kết quả và lựa chọn hướng giải bài toán, tiếp theo các em tức là lập luận

để tiến hành giải tìm đến được kết quả hoặc hủy bỏ con đường không hợp lý,

tiếp tục tìm hướng giải quyết khác

Như vậy, sản phẩm của tư duy toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá

thế giới hiện thực, chuyển về đối tượng “số và hình cùng với các mối quan hệ

giữa chúng”

Theo Nguyễn Bá Kim (2017), HĐ trí tuệ trong học Toán thể hiện qua

những thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa, [17]

Trong toán học, có thể kể đến những loại hình tư duy như sau: Tư duy lôgic, tư duy sáng tạo, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy số học, tư duy đại

số, tư duy hình học, tư duy thống kê

1.1.2.2 Một số loại hình tư duy trong toán học

a) Tư duy lôgic

Tư duy logic là loại hình tư duy dựa trên cách giải quyết vấn đề bằng cách áp dụng các quy tắc suy luận hợp lôgic để rút ra một kết luận [33]

Phân tích, nhận xét:

Như vậy, quá trình tư duy lôgic đã thực hiện các thao tác tư duy với điều

kiện đảm bảo đó là những suy luận hợp lôgic - trong toán học thường gọi là lập

luận toán học (suy luận diễn dịch) Chú ý rằng:

Trong toán học, lập luận toán học chỉ được chấp nhận khi đảm bảo chỉ dùng những suy luận hợp lôgic và chỉ sử dụng những tiền đề (căn cứ) đúng đắn

Khi đó người ta có một phép chứng minh Tức là kết luận rút ra được chắc chắn đúng

Tuy nhiên, ở một số trường hợp (chẳng hạn như: khi tìm tòi hướng giải bài toán), người ta có thể dùng những suy luận (lập luận) ở dạng quy nạp (chứ không phải suy luận diễn dịch), tức là những suy luận mà kết quả có thể đúng hay sai (mặc dù các căn cứ dựa vào đều đúng đắn) Chẳng hạn:

Căn cứ vào 33 chia hết cho 3; 63 chia hết cho 3; 93 chia hết cho 3; HS

c) Tư duy sáng tạo

Theo Đoàn Quang Mạnh, Nguyễn Minh Giang (2022), tư duy sáng tạo

là “là loại tư duy có khuynh hướng phát hiện và giải thích bản chất sự vật theo lối mới, hoặc tạo ra ý tưởng mới, cách giải quyết mới không theo tiền lệ đã có”

[21]

Tham khảo những công trình đã có về tư duy sáng tạo, có thể thấy những

thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo như sau:

1 Tính mềm dẻo (Flesibility): Chuyển từ HĐ trí tuệ này sang khác

2 Tính nhuần nhuyễn (Fluency): Tìm được nhiều giải pháp, xét nhiều phương diện

3 Tính độc đáo (Originality): Tìm kiếm và quyết định phương thức mới

4 Tính hoàn thiện (Elaboration): Lập kế hoạch , phối hợp các HĐ

5 Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibility): Nhanh chóng phát hiện vấn đề, liên tưởng tốt

d) Tư duy hàm

Có thể hiểu tư duy hàm là “các HĐ trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của các tập hợp đó, trong sự vận động của chúng” [31]

Tư duy hàm thể hiện qua những HĐ: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng; Nghiên cứu những sự tương ứng; Ứng dụng kết quả từ nghiên cứu

sự tương ứng [17]

Phân tích, nhận xét:

Như vậy, tư duy hàm dựa trên việc giải quyết vấn đề bằng cách phát hiện, nghiên cứu, lợi dụng mối quan hệ tương ứng (tương quan hàm) giữa một vấn đề, hiện tượng này và một vấn đề hiện tượng khác

Trong giải toán, HS có thể vận dụng tư duy hàm để tìm cách giải bài toán bằng “phương pháp hàm”

e) Tư duy phản biện và phê phán

Theo Phan Thị Luyến (2008), có thể hiểu “tư duy phản biện là một quá trình tích cực chủ động mà người suy nghĩ hiệu quả về suy nghĩ của chính mình, liên tục đánh giá suy nghĩ và tự sửa chữa Tư duy phê phán là một quá trình thụ động mà trong đó người suy nghĩ hành động theo mong muốn, suy nghĩ định kiến hoặc cảm xúc mà không có bất kỳ tiêu chí đánh giá nào” [20]

Trong toán học, cần đến tư duy phản biện và phê phán để phán đoán, chứng minh hoặc bác bỏ Đặc biệt là khi giải toán, ở bước 4 của G.Polya, HS

dùng tư duy phê phán để đánh giá toàn bộ quá trình tư duy và lập luận để GQVĐ

[26]

g) Tư duy số học và tư duy đại số trong tư duy toán học

Theo nghĩa từ điển, danh từ “Đại số - đại số học” được hiểu là “Ngành toán học khái quát số học, trong đó dùng các chữ thay các số”; “Ngành toán học nghiên cứu các phép toán dưới dạng trừu tượng” ([25])

Trong cuốn Từ điển Toán học thông dụng, “Đại số bắt nguồn từ phép tính thực hành trên các số Đại số học (đại số) được hình thành trên cơ sở thay

thế các số bằng các chữ và chuyển từ phép tính các công thức sang phép giải các phương trình, và dần dần tách ra khỏi cội nguồn của nó để trở thành một ngành toán học độc lập” [19]

Như vậy, giữa Số học và Đại số có mối liên quan chặt chẽ, gắn bó; trong

đó Số học được xem là cội nguồn để phát triển Đại số và Toán học Từ đó, tư

duy số học giữ vị trí nền tảng, tạo cơ sở cho việc học Đại số, học môn Toán và

phát triển tư duy toán học, NL toán học - nói riêng là NL TDLLTH

Tư duy số học là loại tư duy dựa trên những số và phép tính cụ thể; còn

tư duy đại số dựa trên những chữ và phép toán với chữ (đại diện cho các số)

h) Tư duy thống kê

Theo Nguyễn Anh Tuấn - Trần Đức Chiển, tư duy thống kê là loại hình

tư duy dùng để nhận thức, phản ánh và vận dụng các quy luật thống kê (biểu thị mối liên hệ giữa tất yếu và ngẫu nhiên, giữa chất và lượng của đám đông các hiện tượng ngẫu nhiên) [32]

1.1.2.3 Lập luận toán học

Theo nghĩa từ điển, lập luận được định nghĩa theo những cách hiểu khác

nhau tùy theo ngữ cảnh của hiểu biết về lý tính như là một hình thức của tri

thức Theo đó, lập luận được xem là “hành động sử dụng lý tính để rút ra một kết luận từ các tiền đề nhất định bằng cách sử dụng một phương pháp luận cho trước” [25]

Như vậy, trong quá trình nhận thức và tìm kiếm chân lý của con người,

suy luận và lập luận luôn đi liền với nhau

Theo Nguyễn Anh Tuấn (2012), suy luận toán học là loại suy luận được

sử dụng trong những tình huống lập luận toán học Theo đó trong quá trình suy

luận toán học, “ , cách thức rút ra kết luận từ tiền đề gọi là lập luận” [33]

Như vậy, nhận thức bằng con đường suy luận là kiểu nhận thức gián tiếp Chẳng hạn như: Khi nhận thức một định lý toán học, một định luật khoa học, giải một bài toán, người ta thực hiện các suy luận (lập luận) xuất phát từ những khái niệm và phán đoán

Tham khảo Phạm Văn Hoàn [11], Nguyễn Bá Kim [16], [17], Nguyễn

Anh Tuấn [33], có thể kể đến những loại suy luận, lập luận toán học như phán đoán, suy luận diễn dịch, suy luận quy nạp, chứng minh toán học, Trong đó:

Theo Nguyễn Anh Tuấn (2012), khi giải bài toán, HS cần sử dụng một

số phương pháp, quy tắc suy luận sau:

- Suy luận diễn dịch (còn gọi là suy diễn) là “suy luận theo một quy tắc thoả

mãn điều kiện: Nếu tiền đề (A) đúng thì kết luận (B) đúng” Trong đó, HS thường sử dụng quy tắc suy luận “tam đoạn luận” là “một lập luận bao gồm

2 mệnh đề được gọi là tiền đề, và một kết luận là kết quả của tiền đề”, với 4

- Suy luận quy nạp (hiểu theo nghĩa quy nạp trong khoa học) là suy luận

“không dựa trên một quy tắc lôgic nào và kết luận thường được rút ra dựa trên cơ sở xem xét những trường hợp riêng”; vì thế kết luận rút ra từ phép

suy luận quy nạp chỉ có tính “phỏng đoán”, tính đúng hoặc sai của kết quả

đó cần được khẳng định bằng một phép chứng minh Trong toán học, người

ta phân biệt giữa hai loại quy nạp:

+ Phép suy luận quy nạp không hoàn toàn là loại suy luận quy nạp khoa

học: Trong đó, “kết luận rút ra dựa trên việc xét không đầy đủ các trường hợp riêng, do vậy kết luận chỉ có tính chất dự đoán, giả thuyết”

+ Phép quy nạp hoàn toàn là loại suy luận “nhằm rút ra kết luận chung

về tất cả trường hợp cụ thể đã được xét đến Kết luận thu được từ quy nạp hoàn toàn luôn luôn đúng Do đó, thực chất quy nạp hoàn toàn là một phép chứng minh” [33]

Ví dụ 1.1:

Để nhận biết sự tương đương giữa hai phương trình f (x)0 và

g(x)0, cần lập luận bằng cách sử dụng các khái niệm, phán đoán về phương trình, hai phương trình tương đương, tập hợp nghiệm, và dùng các suy luận hợp lôgic theo một trình tự nhất định để khẳng định sự tương đương hoặc không tương đương

1.2 Một số vấn đề về năng lực và năng lực toán học

1.2.1 Năng lực

Theo Phạm Minh Hạc (2002) “Năng lực chính là một tổ hợp đặc điểm tâm

lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một

HĐ nào đấy.” [9], trang 145]

Phân tích, nhận xét

Với quan niệm này, tiếp cận từ góc độ NL (nói chung) của một con người,

Phạm Minh Hạc đã nhìn nhận NL từ tập hợp những đặc điểm tâm lý đủ để con

người hành động đạt được mục đích nhất định

Còn theo những kết quả nghiên cứu gần đây, thể hiện trong chương trình

giáo dục phổ thông tổng thể 2018, NL (xem xét ở phạm vi giáo dục phổ thông) được hiểu là “thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn

có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý

chí, thực hiện thành công một loại HĐ nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [1]

Khảo cứu theo Phạm Văn Hoàn và các tác giả, một số tác giả nước ngoài

đã nghiên cứu về NL toán học với những kết quả như sau:

- A.N Cônmôgôrôp đã xem xét NL học toán của HS trên cơ sở 3 thành tố có liên quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lôgic:

1 NL biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, NL tìm kiếm các PP xa

lạ với các quy tắc thông thường để giải phương trình

2 Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”

3 Nghệ thuật suy luận lôgic được phân nhỏ hợp lí, tuần tự

- V.A Krutetxki nhìn nhận NL toán học từ góc độ thu nhận và xử lý thông tin

và xác định 4 thành tố cơ bản của NL toán học là “Thu nhận thông tin toán học; Chế biến thông tin toán học; Lưu trữ thông tin toán học; Thành phần tổng

hợp chung là khuynh hướng toán học của trí tuệ ” [11]

UNESCO đã công bố 10 chỉ tiêu NL toán học cơ bản như sau:

“NL phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các KN

NL tính nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu NL dịch chuyển các dữ kiện thành kí hiệu NL biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng thành kí hiệu NL theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh NL xây dựng một chứng minh NL giải một bài toán đã toán học hóa NL giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa) NL phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng NL khái quát hóa.” [39]

Theo Phạm Văn Hoàn và các tác giả (1981), NL toán học là “những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm về trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của HĐ học tập toán học” nhằm “nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học” [11], trang

54-117]

Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018, NL toán học gồm

5 thành phần: “1 NL TDLLTH; 2 NL mô hình hoá toán học; 3 NL GQVĐ toán học; 4 NL giao tiếp toán học; 5 NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán” [2]

1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học

1.3.1 Quan niệm và thành phần

Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (ban hành năm 2018),

NL TDLLTH được xác định với 3 thành phần, biểu hiện như sau:

 Thành phần 1 - “Thực hiện được các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch” Biểu hiện đối với HS THCS là: “Thực hiện được các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, giải thích được sự tương đồng và khác biệt trong nhiều tình huống

và thể hiện được kết quả của việc quan sát”

 Thành phần 2 - “Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi

kết luận” Biểu hiện đối với HS THCS là: “Thực hiện được việc lập luận hợp

lí khi giải quyết vấn đề”;

 Thành phần 3 - “Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn

đề về phương diện toán học” Biểu hiện đối với HS THCS là: “Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp [2]

Tác giả Lê Thị Cẩm Nhung đã tìm hiểu về NL TDLLTH của HS tiểu học,

từ đó xây dựng BP DH yếu tố hình học theo hướng phát triển NL TDLLTH, hướng đến thực hiện chương trình giáo dục phổ thông mới [23]

Về phương diện nào đó, có thể xem dạy toán là dạy cho HS tư duy toán

học Việc DH theo hướng rèn luyện NL TDLLTH cho HS sẽ góp phần phát triển NL tư duy cho học sinh

Mặt khác, giữa tư duy toán học và lập luận toán học không phải là hai bộ phận tách rời mà gắn bó với nhau; có thể coi lập luận nằm trong tư duy - sinh

ra từ quá trình tư duy toán học Đối với cấp Trung học, khi đề cập tới NL TDLLTH người ta chú ý tới khả năng của HS thực hiện HĐ chứng minh (hoặc bác bỏ) trong học Toán (điều đó khác với yêu cầu lập luận toán học ở bậc tiểu học)

NL TDLLTH đối với HS THCS được mô tả như sau:

“KN thực hiện thao tác tư duy

toán học”

“Thực hiện được tương đối thành thạo

các thao tác tư duy ”

“KN lập luận toán học” “Sử dụng được các PP lập luận, quy nạp

(nguồn tài liệu [30])

Ở luận văn này, tác giả luận văn đặt yêu cầu phát triển NL TDLLTH cho

HSG THCS trong mối liên hệ gắn bó với những thành phần khác của NL toán

học và NL chung cần bồi dưỡng phát triển cho HS ở trường phổ thông

Toán học là một khoa học suy diễn (một cách nói tắt của suy luận diễn

dịch), cho nên NL TDLLTH thể hiện đặc trưng của Toán học một cách trực tiếp Mặt khác, NL toán học cần đến khả năng TDLLTH của HS ở những tình huống HS học Toán cần đến suy luận và chứng minh Vì thế, có thể nói: Hầu

hết những tình huống học Toán - nói riêng là học giải toán đều là môi trường trí tưởng tượng, tạo cơ hội để HS được tập luyện các HĐ TDLLTH

Đối chiếu với các kết quả nghiên cứu đã có về NL TDLLTH, đặc biệt là

căn cứ vào khung NL TDLLTH của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tác giả luận văn

vận dụng vào DH “Giải bài toán về tính chia hết” để lựa chọn, xác định những

thành phần và biểu hiện của NL này ở đối tượng HSG lớp 6

Tham khảo G.Polya [28], Phạm Văn Hoàn [11], chúng tôi phân tích quá trình giải bài toán từ góc nhìn “TDLLTH một cách sáng tạo để GQVĐ”, thể hiện ở sơ đồ 1.1

NhậnbiếtLiên kết Cách ly

Bổ sung Phân

nhóm

Tổ chức hướng giải Hướng giải

truyền thống

Hướng giải phi truyền thống

Lựa chọn hướng giải tối ưu

Phương pháp giải bài toán Trình bày lời giải

Mở rộng bài toán

Hướng Đặc biệt hoá

Hướng Tương tự hoá

Hướng Tổng quát hoá

Quan sát Phân tích

TOÁN CỦA POLYA

CÁC GIAI ĐOẠN CỦA QUÁ TRÌNH SÁNG TẠO

Trình bày lời giải

Nghiên cứu sâu

lời giải

Đúng, phù hợp Sai, không phù hợp

Giai đoạn chuẩn bị (tích luỹ)

Giai doạn bừng sáng

Giai đoạn kiểm chứng

Căn cứ vào những phân tích và kết quả nghiên cứu kể trên, trong quá trình giải bài toán, HS thực hiện các HĐ - liên quan đến NL TDLLTH theo 4 bước giải bài toán của G.Polya như sau:

1 - HĐ tìm hiểu bài toán (loại bài toán? giả thiết và kết luận?), trong đó

cần đến các HĐ TDLLTH như sau:

+ Các thao tác tư duy như phân tích, so sánh,

+ Lập luận để nhận dạng bài toán, tóm tắt đúng và đủ đề bài khi viết giả thiết, kết luận

2 - HĐ huy động các kiến thức có liên quan đến bài toán để phát hiện

mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận, từ đó tìm ra đường lối giải bài toán, trong

+ Các thao tác tư duy như tổng hợp, đặc biệt hóa,

+ Các lập luận (suy luận hợp lôgic) để trình bày các bước giải bài toán

4 - HĐ kiểm tra đánh giá quá trình giải bài toán, trong đó cần đến các

HĐ TDLLTH như sau:

+ Lập luận để kiểm tra tính đúng đắn, hợp lý của các suy luận đã sử dụng để giải bài toán

+ Các thao tác tư duy tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa,

Giải bài toán là một quá trình bao gồm nhiều HĐ toán học, đòi hỏi HS phải sử dụng tổng hợp các HĐ TDLLTH Vì vậy việc phân chia các thành phần của NL này và xác định các HĐ TDLLTH ở HS chỉ mang ý nghĩa tương đối Giữa các thành phần của NL TDLLTH có quan hệ gắn bó với nhau; để giải bài

toán, HS cần huy động và liên kết, tích hợp các HĐ tư duy trong toàn bộ quá trình giải toán

1.3.2 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học ở học sinh giỏi khi giải bài toán về tính chia hết

Để xác định, lựa chọn những thành phần, biểu hiện của NL TDLLTH,

trước hết chúng tôi so sánh, đối chiếu và đồng bộ giữa yêu cầu và thành phần trong chương trình môn Toán 2018 ([2]), hướng dẫn DH phát triển NL HS của nhóm tác giả Đỗ Đức Thái ([29][30]), quá trình tư duy trong các bước giải bài toán của G.Polya (mục 1.3.1); kết quả thể hiện ở bảng 1.1 như sau:

Bảng 1.1 Thành phần, biểu hiện của NL TDLLTH ở HS trong môn Toán Chương trình môn Toán

(2018) [2]

Đỗ Đức Thái

và các tác giả [29], [30]

Vận dụng đối với HSG lớp 6

trong giải bài toán về tính

chia hết “Thực hiện được các

thao tác tư duy như: so

sánh, phân tích, tổng

hợp, đặc biệt hoá, khái

quát hoá, tương tự; quy

nạp, diễn dịch” Biểu

hiện đối với HS THCS là:

“Thực hiện được các thao

tác tư duy, đặc biệt biết

quan sát, giải thích được

sự tương đồng và khác

biệt trong nhiều tình

huống và thể hiện được

kết quả của việc quan

sát”

“KN thực hiện thao tác tư duy toán học”

+ Huy động và kết nối những kiến thức có liên quan, từ đó tìm ra hướng giải bài toán

(bước 2)

+ Đánh giá quá trình giải và nghiên cứu sâu bài toán (bước

4)

“Chỉ ra được chứng cứ,

lí lẽ và biết lập luận hợp

lí trước khi kết luận”

Biểu hiện đối với HS

THCS là: “Thực hiện

được việc lập luận hợp lí

khi giải quyết vấn đề”;

“KN lập luận toán học”

Biểu hiện ở: “Sử dụng được các PP lập luận, quy nạp và suy diễn ”

2 - Sử dụng được các PP suy luận toán học trong quá trình giải bài toán về tính chia hết; đặc biệt là khi:

+ Huy động và kết nối những kiến thức có liên quan, từ đó tìm ra hướng giải bài toán

phương diện toán học”

Biểu hiện đối với HS

THCS là: “Nêu và trả lời

được câu hỏi khi lập

luận, giải quyết vấn đề

Chứng minh được mệnh

đề toán học không quá

phức tạp;

“KN trình bày giải thích khi giải quyết vấn đề toán học”

Biểu hiện ở: “Nêu

và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề, chứng minh .”

3 - Sử dụng các thao tác tư duy

và suy luận hợp lôgic để trình bày lời giải bài toán về tính

chia hết đảm bảo đúng đắn, ngắn gọn, có giải thích lập luận chứng minh chặt chẽ (bước 3)

Vận dụng quan niệm đã phân tích ở trên vào DH giải bài toán về tính chia hết cho đối tượng HSG lớp 6, trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào ba thành

phần với 7 hoạt động của NL TDLLTH để bồi dưỡng cho HS giỏi lớp 6, biểu hiện trong 4 bước DH giải bài toán của G.Polya như sau:

 Thành phần 1 - Thực hiện hiệu quả những thao tác tư duy toán học, thể hiện ở các HĐ:

Hoạt động 1.1 Phân tích, so sánh, xét tương tự, để tìm hiểu bài toán: nhận dạng bài toán, phân chia giả thiết và kết luận, (bước 1 của G.Polya)

Hoạt động 1.2 So sánh, xét tương tự, quy lạ về quen, để phát hiện và huy động những kiến thức, mối quan hệ có liên quan, từ đó tìm ra hướng giải

bài toán (bước 2 của G.Polya)

Hoạt động 1.3 So sánh, khái quát hóa và đặc biệt hóa, để đánh giá quá trình giải và nghiên cứu sâu bài toán (bước 4 của G.Polya)

 Thành phần 2 - Sử dụng được các PP suy luận toán học, thể hiện ở các HĐ:

Hoạt động 2.1: Suy luận logic để dự đoán, phát hiện mối liên hệ giữa kết

luận với giả thiết và ngược lại, từ đó tìm ra đường lối giải bài toán (bước 2 của G.Polya)

Hoạt động 2.2: Suy luận logic để kiểm tra tính đúng đắn, chặt chẽ các

bước giải (bước 4 của G.Polya)

 Thành phần 3 - Sử dụng các thao tác tư duy và suy luận hợp lôgic, thể hiện ở các HĐ:

Hoạt động 3.1 Trình bày lời giải bài toán về tính chia hết có giải thích lập luận rõ ràng (bước 3 của G.Polya)

Hoạt động 3.2 Sử dụng TDLLTH để nghiên cứu sâu bài toán: suy luận quy nạp để mở rộng bài toán, suy luận diễn dịch để kiểm tra tính đúng đắn, hợp

lý của bài toán mới và tính khả thi của chiến lược giải (bước 4 của G.Polya)

1.3.3 Quy trình dạy học giải bài tập toán theo hướng phát triển NL TDLLTH

Tham khảo mục tiêu, yêu cầu đã nêu trong chương trình môn Toán 2018 [2], định hướng phát triển NL HS trong DH Toán THCS của nhóm tác giả Đỗ Đức Thái [29], dựa trên quy trình giải bài toán của G.Polya [26] và Nguyễn Bá Kim [17], chúng tôi xây dựng quy trình DH giải tập toán theo hướng phát triển NL TDLLTH

bằng cách lồng ghép việc tổ chức các thao tác tư duy và lập luận toán học (đã xác

định ở mục 1.3.2) vào từng bước giải bài tập toán như sau:

Bước 1 - Tìm hiểu bài toán: Loại bài toán? Giả thiết và kết luận?, trong

đó chú trọng tập luyện cho HS các HĐ TDLLTH:

HS tìm hiểu bài toán thông qua các thao tác tư duy: phân tích dữ kiện trong đề bài; xét tương tự và so sánh với vốn kiến thức, kinh nghiệm và lập luận (phán đoán, ) để nhận ra dạng - loại bài toán, phân tích để xác định những điều đã cho (giả thiết), điều cần tìm, trả lời (kết luận); tóm tắt đúng và đủ đề bài khi viết giả thiết, kết luận,

Như vậy, ở bước này, chủ yếu tập trung tập luyện HĐ 1.1 (thành phần 1 của NL TDLLTH đã xác định ở mục 1.3.2)

Bước 2 - Tìm hướng giải bài toán:

Ở bước này, HS cần huy động các kiến thức có liên quan đến bài toán

để phát hiện mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận, từ đó tìm ra đường lối giải bài toán Trong đó, GV tập luyện cho HS các HĐ TDLLTH như sau:

+ Các thao tác tư duy như phân tích, so sánh, tương tự hóa để quy lạ về quen, tổng hợp, để phát hiện và huy động những kiến thức, mối quan hệ có liên quan nhằm tìm ra hướng giải bài toán (HĐ 1.2 ở thành phần 1 của NL

TDLLTH đã xác định trong mục 1.3.2)

+ Các lập luận (suy luận trực tiếp, suy luận gián tiếp, suy luận quy nạp, suy luận diễn dịch, suy luận xuôi, suy luận ngược, ) để dự đoán, phát hiện các mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán; từ đó tìm ra “con đường” kết nối giữa giả thiết và kết luận thông qua “một chuỗi” lập luận toán học (HĐ 2.1 ở

thành phần 2 của NL TDLLTH đã xác định trong mục 1.3.2)

Như vậy, ở bước này, chủ yếu tập trung tập luyện các HĐ 1.2 (thành phần 1), HĐ 2.1 (thành phần 2) của NL TDLLTH (đã xác định ở mục 1.3.2)

Bước 3 - Trình bày lời giải bài toán: Thực hiện quá trình giải thông qua

lập luận và trình bày từng bước giải, trong đó chú trọng tập luyện cho HS các

HĐ TDLLTH:

Trên cơ sở phân tích tìm ra hướng giải bài toán ở bước 2, HS sử dụng

các thao tác tư duy như tổng hợp, đặc biệt hóa, và các lập luận (suy luận hợp lôgic) để trình bày, giải thích từng từng bước giải bài toán

Như vậy, ở bước này, chủ yếu tập trung tập luyện HĐ 3.1 (thành phần 3) của NL TDLLTH (đã xác định ở mục 1.3.2)

Bước 4 - Kiểm tra đánh giá quá trình giải bài toán:

GV tổ chức HS kiểm tra, đánh giá toàn bộ quá trình giải (tính chính xác, chặt chẽ, ngắn gọn); nghiên cứu sâu, mở rộng bài toán, trong đó chú trọng tập luyện cho HS các HĐ TDLLTH:

Thực hiện HĐ 1.3 thông qua:

 So sánh và đặc biệt hóa để kiểm tra kết quả, đáp số;

 Xét tương tự để tìm cách giải khác, xây dựng bài tập tương tự;

 Khái quát hóa để mở rộng bài toán;

Thực hiện HĐ 2.2 thông qua:

 Suy luận logic để kiểm tra tính đúng đắn, chặt chẽ các bước giải;

 Suy luận quy nạp để mở rộng bài toán,

 Suy luận diễn dịch để kiểm tra tính đúng đắn, hợp lý của bài toán mới và tính

khả thi của chiến lược giải

Thực hiện HĐ 3.2 thông qua:

Phối hợp sử dụng một cách tổng hợp các thao tác TDLLTH trong toàn

bộ quá trình kiểm tra tính đúng đắn, ngắn gọn, chặt chẽ của lời giải và nghiên cứu sâu bài toán

Như vậy, ở bước này, GV tập trung tập luyện các HĐ 1.3 (thành phần 1), HĐ 2.2 (thành phần 2), HĐ 3.2 (thành phần 3) của NL TDLLTH (đã xác

định ở mục 1.3.2)

1.3.4 Mối quan hệ năng lực TDLLTH với một số năng lực được hình thành

- Với năng lực tư duy (nói riêng là tư duy lôgic) - mà theo Trần Kiều gắn bó với những thao tác chủ yếu như: phân tích và tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, (mà thực chất là dùng để lập luận, suy diễn) [15]

- Với năng lực tư duy lôgic (thể hiện ở những tình huống lập luận, suy diễn), năng lực TDLLTH thể hiện cả suy luận quy nạp (khi học sinh phán đoán và lựa chọn) và suy luận diễn dịch (khi học sinh chứng minh)

- Với năng lực tư duy sáng tạo: Có thể thấy với HSG, mục tiêu phát triển tư duy sáng tạo là cực kỳ quan trọng, và để sáng tạo một cách hiệu quả, học sinh cần đến năng lực TDLLTH trong nhiều tình huống đòi hỏi phải dùng các thao tác trí tuệ để lập luận, phán đoán, lựa chọn, bác bỏ hoặc chứng minh

- Với NL tư duy thống kê:

Theo Nguyễn Anh Tuấn - Trần Đức Chiển, NL tư duy thống kê trong

học Toán được hiểu là “khả năng thực hiện một nhóm các HĐ trí tuệ, trong đó

có sử dụng và kết hợp ngôn ngữ mang đặc trưng thống kê, xác suất với ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, ” [32] Mặt khác, trong nội dung môn

Toán (đặc biệt là ở chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018) mạch kiến thức về xác suất, thống kê có vị trí vai trò khá quan trọng Điều đó tạo điều

kiện để bồi dưỡng cho HS NL tư duy thống kê

1.4 Dạy học toán theo hướng phát triển năng lực toán học cho học sinh

1.4.1 Đặc điểm của môn Toán và yêu cầu phát triển NL toán học trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018)

Theo chương trình môn Toán 2018, “Toán là môn học bắt buộc từ lớp 1 đến lớp 12”, “Nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát” và “Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và HĐ giáo dục khác” [2]

1.4.2 Định hướng dạy học Toán phát triển NL toán học cho HS

Theo chương trình môn Toán 2018, môn Toán giúp HS “Có kiến thức,

kĩ năng toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác”, đồng thời môn Toán “Hình thành và phát triển năng lực toán học” cho HS [2]

Để thực hiện được nhiệm vụ phát triển NL cho HS qua môn Toán, trong

DH, GV cần chú trọng “tổ chức các HĐ học tập, môn Toán góp phần cùng các môn học và HĐ giáo dục khác giúp học sinh rèn luyện tính trung thực, tình yêu lao động, tinh thần trách nhiệm, ý thức hoàn thành nhiệm vụ học tập; bồi dưỡng

sự tự tin, hứng thú học tập, thói quen đọc sách và ý thức tìm tòi, khám phá khoa học” Đặc biệt là, đối với NL toán học, GV phối hợp sử dụng các PPDH để

“vừa cung cấp kiến thức toán học, rèn luyện kĩ năng tính toán, ước lượng, vừa giúp hình thành và phát triển các thành tố của NL toán học (NL tư duy và lập luận, NL mô hình hoá, NL GQVĐ; NL giao tiếp và NL sử dụng công cụ và phương tiện học toán)”

Ở đề tài này, tác giả dựa trên định hướng phát triển và đánh giá NL

TDLLTH trong chương trình môn Toán 2018: Khai thác “sử dụng một số PP, công cụ đánh giá như các câu hỏi (nói, viết, phiếu học tập), bài tập, ” trong