Sử dụng máy tính casio giúp học sinh thpt giải nhanh các bài toán trắc nghiệm thường gặp về lượng giác theo ct gdpt 2018

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIÚP HỌC SINH THPT GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM THƯỜNG GẶP VỀ LƯỢNG GIÁC THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018 .... Là sinh viên sư phạm sắp ra trường với m

Mục tiêu nghiên cứu

Bài viết này phân loại các bài tập trắc nghiệm về lượng giác và xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với từng mức độ Đồng thời, nó nghiên cứu cách giải nhanh bằng máy tính Casio, nhằm giúp học sinh phát triển năng lực giải toán hiệu quả hơn.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận làm rõ các vấn đề sau:

- Hệ thống các kiến thức cơ bản về lượng giác

- Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm lượng giác và cách giải bằng máy tính Casio nhằm phát triển năng lực cho học sinh.

Bố cục của khóa luận: Gồm 2 chương

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

1.1 Khái niệm lượng giác của một cung

1.2 Các công thức lượng giác

1.3 Các dạng phương trình lượng giác và cách giải

Khi học các chủ đề về lượng giác, học sinh cần đạt được những yêu cầu nhất định để nắm vững kiến thức Chương 2 sẽ hướng dẫn cách sử dụng máy tính Casio, giúp học sinh THPT giải nhanh các bài toán trắc nghiệm thường gặp về lượng giác theo chương trình giáo dục phổ thông 2018 Việc thành thạo kỹ năng này không chỉ giúp tiết kiệm thời gian mà còn nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh.

2.1 Bài tập giải bằng máy tính Casio

2.2 Bài tập sử dụng kết hợp phương pháp truyền thống và máy tính Casio

2.3 Một số bài tập tự luyện

- Khóa luận nghiên cứu về các dạng bài tập lượng giác thường gặp ở chương trình GD PT 2018

- Các dạng bài tập về lượng giác trong CT GDPT 2018 đặt biệt là ở các lớp

7 Đóng góp của khóa luận

- Về mặt lí luận: tổng hợp các kiến thức lượng giác trong chương trình THPT

- Về mặt thực tiễn: khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành

Sư phạm Toán sắp ra trường và các bạn đọc quan tâm

Các giá trị sin , cos , tan , cot     được gọi là các giá trị lượng giác của cung 𝛼

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

• sin  và cos  xác định với mọi  Hơn nữa, ta có:

• Với m  mà −1 ≤ 𝑚 ≤ 1 đều tồn tại 𝛼 và 𝛽 sao cho sin  = m và cos  = m

1.1.3 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

1 √3 Không xác định 𝑐𝑜𝑡𝛼 Không xác định

1.2.1 Công thức lượng giác cơ bản

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt bao gồm các trường hợp sau: Đối với cung đối nhau 𝛼 và −𝛼, ta có cos(−𝛼) = cos𝛼, sin(−𝛼) = −sin𝛼, tan(−𝛼) = −tan𝛼, và cot(−𝛼) = −cot𝛼 Với cung bù nhau 𝛼 và (𝜋 − 𝛼), giá trị lượng giác được xác định như sau: sin(𝜋 − 𝛼) = sin𝛼, cos(𝜋 − 𝛼) = −cos𝛼, tan(𝜋 − 𝛼) = −tan𝛼, và cot(𝜋 − 𝛼) = −cot𝛼 Đối với cung hơn kém 𝜋 𝛼 và (𝛼 + 𝜋), ta có sin(𝛼 + 𝜋) = −sin𝛼, cos(𝛼 + 𝜋) = −cos𝛼, tan(𝛼 + 𝜋) = tan𝛼, và cot(𝛼 + 𝜋) = cot𝛼 Cuối cùng, cung phụ nhau 𝛼 và (𝜋/2 - 𝛼) cũng có giá trị lượng giác đặc biệt quan trọng trong các ứng dụng toán học và vật lý.

1.2.3 Công thức cộng cos(𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 cos(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 sin(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 sin(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 tan(𝑎 − 𝑏) = 𝑡𝑎𝑛𝑎−𝑡𝑎𝑛𝑏

1.2.6 Công thức biến đổi tích thành tổng

1.2.7 Công thức biến đổi tổng thành tích

1.3.1 Phương trình lượng giác cơ bản a) Phương trình 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎:

• Trường hợp |𝑎| > 1: Phương trình vô nghiệm

• Trường hợp |𝑎| ≤ 1: Phương trình có nghiệm:

✓ Phương trình sin x = sin  o có các nghiệm là

✓ Các trường hợp đặc biệt b) Phương trình 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎

• Trường hợp |𝑎| ≤ 1: Phương trình có nghiệm

✓ Phương trình cos x = cos  o có các nghiệm là

✓ Các trường hợp đặc biệt cos 1 2 , cos 1 2 , cos 0 ,

=  = +  c) Phương trình 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑎 (Điều kiện , x   2 + k  k  ) Phương trình có nghiệm arctan , x = a + k  k 

Phương trình có nghiệm cot , x = arc a+k k 

1.3.2 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác a) Khái niệm

Là phương trình có dạng 𝑎𝑡 + 𝑏 = 0, trong đó 𝑎, 𝑏 là các hằng số (𝑎 ≠

0) và 𝑡 là một trong các hàm số lượng giác b) Cách giải

Chuyển vế và chia cả hai vế của phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác cho 𝑎, sau đó ta sẽ đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

1.3.3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác a) Khái niệm

Phương trình có dạng 𝑎𝑡² + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0, với 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các hằng số (𝑎 ≠ 0) và 𝑡 là hàm số lượng giác Để giải phương trình, ta đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ, xác định điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) và giải phương trình theo ẩn phụ này Cuối cùng, quá trình sẽ dẫn đến việc giải một phương trình lượng giác cơ bản.

1.3.4 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx a) Khái niệm

Là phương trình có dạng: 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐 sin(  ( a 2 + b 2  0) b) Cách giải

• Nếu √𝑎 2 + 𝑏 2 < 𝑐 thì phương trình vô nghiệm

✓ Chia cả hai vế phương trình cho √𝑎 2 + 𝑏 2

✓ Áp dụng công thức cộng để đưa về phương trình lượng giác cơ bản

✓ Giải phương trình lượng giác vừa lập được

Khi học về lượng giác, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như góc lượng giác, số đo của góc lượng giác, và đường tròn lượng giác Họ cũng cần hiểu rõ giá trị lượng giác của góc và các mối quan hệ giữa các giá trị này Ngoài ra, việc áp dụng các phép biến đổi lượng giác như công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, và công thức biến đổi tích thành tổng là rất quan trọng để phát triển kỹ năng giải quyết bài toán trong lĩnh vực này.

- Nhận biết được các khái niệm cơ bản về góc lượng giác : khái niệm góc lượng giác; số đo của góc lượng giác; đường tròn lượng giác

- Nhận biết được khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bảng giá trị lượng giác của các góc lượng giác thường gặp cung cấp thông tin quan trọng về các giá trị sin, cos, và tan Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa chúng, giúp dễ dàng tính toán và áp dụng trong các bài toán Ngoài ra, quan hệ giữa các góc lượng giác đặc biệt như góc bù nhau, góc phụ nhau, góc đối nhau và góc hơn kém nhau cũng đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu và vận dụng các công thức lượng giác trong thực tiễn.

- Sử dụng được máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi biết số đo góc đó

- Mô tả được các phép toán biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng; nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng

- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giáccuar góc lượng giác và các phép biến đổi lượng giác

Chủ đề 2 Hàm số lượng giác và đồ thị

- Nhận biết được các khái niệm về hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

- Nhận biết được các định nghĩa các hàm lượng giác y = sin x; y = cos x; y = tan x; y = cot x thông qua đường tròn lượng giác

- Mô tả được bảng giá trị của bốn hàm số lượng giác đó trên một chu kì

- Vẽ được đồ thị của các hàm số

Tập xác định của hàm số là tập hợp các giá trị đầu vào mà hàm có thể nhận Tập giá trị là tập hợp các giá trị đầu ra tương ứng Tính chất chẵn và lẻ của hàm số giúp xác định tính đối xứng của đồ thị qua trục tung hoặc trục hoành Tính tuần hoàn chỉ ra rằng hàm số lặp lại giá trị của mình sau một khoảng thời gian nhất định, được gọi là chu kỳ Khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số phản ánh các khoảng mà hàm số tăng hoặc giảm, điều này có thể được phân tích thông qua đồ thị của hàm.

- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số lượng giác

Chủ đề 3 Phương trình lượng giác cơ bản

- Nhận biết được công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: sinx = m; cos x = m; tan x = m; cot x = m bằng cách vận dụng đồ thị hàm số lượng giác tương ứng

- Tính được nghiệm gần đúng của phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay

- Giải được phương trình lượng giác ở dạng vận dụng trực tiếp phương trình lượng giác cơ bản

- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với phương trình lượng giác

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIÚP HỌC SINH THPT GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM THƯỜNG GẶP VỀ LƯỢNG GIÁC THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018

2.1.1 Dạng 1: Bài toán góc và cung lượng giác

- Muốn đổi từ đơn vị độ sang đơn vị rađian ta chuyển máy tính về Mode rađian bằng cách

+ Nhập số cần đổi vào máy rồi nhấn SHIFT Ans 1

Muốn đổi từ đơn vị rađian sang đơn vị độ ta chuyển máy tính về Mode độ bằng cách

+ Nhập số cần đổi vào máy rồi nhấn SHIFT Ans 2 = o ’’’

Ví dụ 1: Đổi 𝛼 = 32 𝑜 sang rađian

Giải bằng tự luận Đổi 𝛼 = 32 𝑜 sang rađian: 𝛼 = 32 𝜋

- Nhập số 32 vào máy rồi nhấn: SHIFT Ans 1

- Nhấn: Màn hình xuất hiện:

Sử dụng máy tính Casio giúp giải bài toán nhanh chóng và chính xác hơn so với việc giải tự luận, vì không cần phải nhớ công thức chuyển đổi giữa độ và radian.

16 vào máy rồi nhấn: SHIFT Ans 2 = o ’’’

Ta thấy giải bằng Casio ta có được kết quả nhanh hơn và chính xác hơn giúp chọn đáp án dễ hơn so với giải tự luận

2.1.2 Dạng 2: Kiểm tra một giá trị là nghiệm của phương trình

Ví dụ 3: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3 = 0 trong khoảng ( 3𝜋

- Nhập biểu thức 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3 Màn hình xuất hiện:

- Ta nhận xét: chỉ có 3 đáp án B, C, D là thỏa điều kiện trong ( 3𝜋

- Trong các đáp án còn lại, ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án Cụ thể:

+ Nhấn: CALC 11𝜋 ÷ 6 ta được kết quả bằng 0

+ Nhấn: CALC 5𝜋 ÷ 2 ta được kết quả khác 0

2.1.3 Dạng 3: Kiểm tra một họ là nghiệm của phương trình

*Phương pháp: Kiểm tra một họ là nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0

- Nếu 𝑓(𝑥) nhận một giá trị khác 0 thì 𝑥 = 𝛼 không là nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 Do đó đáp án được thế chắc chắn là đáp án sai

- Nếu 𝑓(𝑥) nhận một giá trị bằng 0 thì 𝑥 = 𝛼 là nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 Do đó đáp án được thế có thể là đáp án đúng

- Lưu ý: Kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

Ví dụ 4: Phương trình −𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 có một họ nghiệm là:

- Nhấn: CALC −𝜋 ÷ 2 được kết quả 0

- Nhấn: CALC −𝜋 ÷ 3 được kết quả √3

- Ta kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước:

4 Ta được kết quả khác 0

Ví dụ 5: Giải phương trình: 𝑐𝑜𝑠𝑥−√3𝑠𝑖𝑛𝑥

- Nhấn: CALC 𝜋 ÷ 6 ta được kết quả khác 0

 Loại đáp án A và B, còn lại C và D

- Ta kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Kiểm tra đáp án D

6 + 𝜋 ta được kết quả khác 0

Ví dụ 6: Giải phương trình √3𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝜋

18 xuất hiện ở cả 4 đáp án nên không cần kiểm tra giá trị này,nó là nghiệm của phương trình

Nhấn: CALC 5𝜋 ÷ 6 CALC 7𝜋 ÷ 6 CALC 𝜋 ÷ 18 ta được kết quả chỉ có 7𝜋

6 là nghiệm của phương trình

 Loại A và D, đáp án đúng nằm ở B hoặc C

- Trong các đáp án còn lại, ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

Ta kiểm tra đáp án C:

6 + 𝜋 Ta được một số khác 0

2.1.4 Dạng 4: Kiểm tra một tập là TXĐ của hàm số lượng giác

*Cơ sở lý thuyết: Tập xác định của một hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của biến số làm cho hàm số có nghĩa

*Phương pháp: TXĐ của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) là

- Nếu 𝑓(𝑥) nhận một giá trị nào đó thì 𝑥 = 𝛼 thuộc TXĐ của hàm số

Do đó đáp án được thế chắc chắn là đáp án sai

- Nếu 𝑓(𝑥) được máy tính báo lỗi Math ERROR thì 𝑥 = 𝛼 không thuộc TXĐ của hàm số Do đó đáp án được thế có thể là đáp án đúng

- Lưu ý: Kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

Ví dụ 7: Tập xác định của hàm số 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥

- Nhập biểu thức: sin cos 2

- Nhấn: CALC 𝜋 ÷ 6 Màn hình xuất hiện: Điều này chứng tỏ 𝜋

6 thuộc TXĐ của hàm số

3 không thuộc TXĐ của hàm số

 Do đó đáp án đúng là C hoặc D

- Trong các đáp án còn lại, ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước.Ta kiểm tra đáp án D

- Nhấn: CALC 𝜋 ÷ 3 + 𝜋 Màn hình xuất hiện: Điều này chứng tỏ 𝜋

3 + 𝜋 thuộc TXĐ của hàm số

Ví dụ 8: Tập xác định của hàm số 𝑦 = 1

- Nhấn: CALC 𝜋 và CALC 0 Màn hình đều báo lỗi, điều này chứng tỏ 𝜋 và 0 không thuộc TXĐ của hàm số Do đó chưa loại được đáp án nào

- Trong các đáp án còn lại, kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

- Ta kiểm tra đáp án B Nhấn: CALC 1 𝜋

4 màn hình xuất hiện: Điều này chứng tỏ 𝜋

- Ta kiểm tra đáp án C.Nhấn: CALC 1 𝜋

2 (đủ một chu kì 2𝜋) Màn hình đều xuất hiện:

Trong dạng 5, 6 và 7, chúng ta sẽ áp dụng chức năng TABLE của máy tính Casio để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác Chức năng TABLE là công cụ hữu ích giúp người dùng dễ dàng xác định các giá trị cực trị của hàm số một cách nhanh chóng và hiệu quả.

- Chức năng: Tính giá trị hàm số tại một vài điểm Ta có thể sử dụng chức năng tính giá trị của hai hàm số 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥)

+ Để tính giá trị của một hàm số 𝑓(𝑥) tại một số điểm Cài đặt bằng cách bấm: SHIFT MODE (SET UP)

Để tiếp tục, hãy bấm vào Replay và chọn 5 (TABLE) Khi máy hỏi Select Type, bạn chọn 1 nếu chỉ cần tính giá trị của hàm số tại một điểm Nếu bạn muốn tính giá trị của hai hàm số đồng thời tại một điểm, hãy chọn 2.

- Sau khi cài đặt xong, bạn vào chế độ màn hình bằng cách bấm:

+ Bước 1: MODE 7 , nhập hàm số 𝑓(𝑥) cần tính

+ Bước 2: Start: Nhập mốc 𝑥 bắt đầu từ đâu

+ Bước 3: End: Nhập mốc 𝑥 kết thúc tại đâu

+ Bước 4: Step: Bước nhảy là khoảng cách giữa các điểm đầu mút Bấm = ta được bảng giá trị mong muốn

- Tối đa: Chúng ta chỉ có thể tính tối đa được 30 giá trị cho một hàm số

*Phương pháp tìm GTLN và GTNN của một hàm số y = f(x) trên [a;b]

- Bước 2: Nhập biểu thức 𝑓(𝑥) vào máy

- Bước 3: Nhấn = sau đó nhập Start = 𝑎, End = 𝑏, Step = 𝑏−𝑎

20 (Có thể lấy từ 29 trở xuống)

(Chia 20 để có được 20 bước nhảy và bảng TABLE có 21 giá trị, như thế là đủ)

Sau đó, ta dựa vào bảng TABLE để tìm GTLN và GTNN

Ví dụ 9: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦 = 3 − 2𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 lần lượt là:

- Chuyển máy tính về mode độ: SHIFT MODE 3

Trong thực tế, để mô hình hóa rađian, chúng ta có thể tính được giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) Tuy nhiên, trong mô hình độ, việc nhận diện giá trị tại đó hàm số đạt GTLN và GTNN trở nên dễ dàng hơn.

- Nhấn:MODE 7 (TABLE) Nhập biểu thức 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑠𝑖𝑛 2 𝑥, màn hình hiển thị:

- Nhấn = một số máy tính sẽ hiển thị 𝑔(𝑥)

- Để xóa hàm này ta nhấn SHIFT MODE 5 1

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN là 1 tại hàng thứ 6 và 16, GTLN là 3 tại hàng thứ 11 và 21

Ví dụ 10: Tập giá trị của hàm số 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4 với 𝑥 ∈ [− 𝜋

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN là 3,8751 ở hàng thứ 3, GTLN là 7 ở hàng thứ 17

Ví dụ 11: Gọi M là GTLN và m là GTNN của hàm số 𝑦 = 1+𝑠𝑖𝑛𝑥

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN 𝑚 = 0 tại hàng thứ 16 và GTLN 𝑚 = 1,333172048 tại hàng thứ 9

Mỗi ngày, mực nước trong kênh thay đổi theo thủy triều Độ sâu ℎ (mét) của nước tại thời điểm 𝑡 (giờ) được tính bằng công thức ℎ = 3𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑡).

4) + 12 Mực nước của kênh cao nhất khi:

- Mực nước của con kênh cao nhất khi ℎ lớn nhất

4 = 𝑘2𝜋 với 0 < 𝑡 ≤ 24 và k  Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn

2.1.6 Dạng 6: Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

- Hàm số 𝑦 = sin (𝑎𝑥 + 𝑏) và 𝑦 = cos (𝑎𝑥 + 𝑏) tuần hoàn với chu kì

- Hàm số 𝑦 = tan (𝑎𝑥 + 𝑏) và 𝑦 = cot (𝑎𝑥 + 𝑏) tuần hoàn với chu kì

Hàm số 𝑦 = 𝑓 1 (𝑥) có chu kỳ 𝑇 1 và hàm số 𝑦 = 𝑓 2 (𝑥) có chu kỳ 𝑇 2 sẽ tạo ra hàm số 𝑦 = 𝑘 𝑓 1 (𝑥) ± ℎ 𝑓 2 (𝑥) (với 𝑘, ℎ là hằng số) có chu kỳ 𝑇 0, là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 𝑇 1 và 𝑇 2.

Ví dụ 13: Tìm chu kì T của hàm số 𝑦 = sin ( 𝑥

- Start: một giá trị 𝑥 0 bất kì thuộc TXĐ Nếu chu kì thuộc TXĐ thì nhập luôn chu kì

- End: 𝑥 0 + 10𝑇, Step: đáp án đang kiểm tra

- Nếu các giá trị 𝑓(𝑥) đều bằng nhau thì đáp án đó là chu kì

- Nếu không phải ta ấn AC rồi kiểm tra đáp án tiếp

- Ta phải thử đáp án chu kì nhỏ nhất trước

- Cụ thể, ta thực hiện như sau:

+ Chuyển máy tính về mode rad: SHIFT MODE 4

4) + Ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Ta kiểm tra đáp án B: Nhấn = , Start = 𝜋 , End = 10𝜋,Step = 𝜋

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột 𝑓(𝑥) có các giá trị không bằng nhau

+ Ta kiểm tra đáp án D:

Nhấn: AC = , Start = 2𝜋, End = 10.2𝜋, Step = 2𝜋

+ Thực hiện tương tự ta loại đáp án C

+ Thử kiểm tra đáp án A:

Nhấn: AC = , Star = 4𝜋, End = 10.4𝜋, Step = 4𝜋

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột 𝑓(𝑥) có các giá trị bằng nhau

Ví dụ 14: Tìm chu kì 𝑇 của hàm số 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 2 (3𝑥 + 𝜋

Trước tiên, ta kiểm tra đáp án có chu kỳ nhỏ nhất, bắt đầu với đáp án C Cụ thể, nhấn vào: =, Start = 2𝜋 ÷ 3, End = 10.2𝜋 ÷ 3, Step = 2𝜋 ÷ 3 Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy rằng cột 𝑓(𝑥) có giá trị không bằng nhau.

- Ta kiểm tra đáp án D:

+ Nhấn: AC = , Start = 2𝜋, End = 10.2𝜋, Step = 2𝜋

+ Dựa vào bảng TABLE, ta thấy cột 𝑓(𝑥) có giá trị bằng nhau

2.1.7 Dạng 7:Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lượng giác

Sử dụng chức năng TABLE để đánh giá tính đơn điệu của hàm số lượng giác có thể không tối ưu, nhưng việc làm quen với phương pháp này sẽ rất hữu ích cho việc giải quyết các bài toán trong chương trình lớp 12 Việc giải tự luận không quá khó khăn, nhưng nắm vững cách sử dụng TABLE sẽ giúp cải thiện khả năng phân tích và đánh giá tính chất của hàm số.

4 ), mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.Hàm số 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 nghịch biến B Hàm số 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 đồng biến

C Hàm số 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 nghịch biến D Hàm số 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 nghịch biến

- Ta kiểm tra tính đơn điệu bằng cách quan sát giá trị 𝑓(𝑥)

+ Nếu cột 𝑓(𝑥) luôn tăng ta kết luận hàm số đồng biến trên khoảng đã xét

+ Nếu cột 𝑓(𝑥) luôn giảm ta kết luận hàm số nghịch biến trên khoảng đã xét

- Ta kiểm tra đáp án A:

+ Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột 𝑓(𝑥) có lúc tăng lúc giảm

- Tương tự, ta nhận thấy biểu thức 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 luôn tăng trên khoảng đã cho

2.1.8 Dạng 8: Tìm nghiệm và số nghiệm của phương trình lượng giác trong một khoảng cho trước

*Lưu ý: Giá trị của hàm số 𝑓(𝑥) đổi dấu khi đi qua 𝑥 = 𝑥 1 và 𝑥 = 𝑥 2 thì phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm trong khoảng (𝑥 1 ; 𝑥 2 )

- Dựa vào bảng TABLE ta nhận thấy:

+ Ở hàng thứ 4 và hàng thứ 5, 𝑓(𝑥) đổi dấu

Suy ra 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc (−0,392; 0)

Suy ra 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc 0; 0,3926)

Suy ra 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc (5,8904; 6,2831)

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên [ 𝜋

+ Phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc (2,7488; 2,9845) + Phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc (4,6894; 5,105)

+ Phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc (5,105; 5,3407)

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên ( 𝜋

2; 2𝜋), tổng 𝑇 các nghiệm của phương trình

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy:

6 − 2𝑥) − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + Nhấn: = ALPHA CALC 0 Màn hình hiển thị:

+ Nhấn: SHIFT CALC 2,4788 = Màn hình hiển thị:

+ Nhấn RCL ) , ta nhận được kết quả 𝑥 = 8𝜋

+ Tương tự với 2 nghiệm còn lại

Nhấn SHIFT CALC 4,8694 = RCL ) Ta nhận được kết quả

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên ( 𝜋

Ví dụ 19: Giải phương trình √3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − √3𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 1 có hai họ nghiệm có dạng 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋 và 𝑥 = 𝛽 + 𝑘𝜋 ( k  ) với − 𝜋

+ Phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc (−0,314; −0,157) + Phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm 𝑥 = 0,7853

+ Nhấn = ALPHA CALC 0 Màn hình hiển thị:

+ Nhấn: SHIFT CALC -0,314 = RCL ) Màn hình hiển thị kết quả 𝑥 = − 𝜋

+ Nhấn SHIFT CALC 0,7853 = RCL ) Màn hình hiển thị kết quả 𝑥 = 𝜋

2.2.1 Dạng 1 Cho một tỉ số lượng giác của một góc, tính các tỉ số lượng giác còn lại của góc đó

*Cơ sở lý thuyết: Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản sau:

Ví dụ 20: Cho tan x = − 4 Khi đó

Tự luận Máy tính casio thử lại kết quả của cách giải tự luận

Bước 1: tìm x Đầu tiên đổi sang RADIAN

2 2 2 cos sin 2 cos 3cos cos sin cos 4 cos 2cos cos x x x x x x x x x x

Màn hình hiển thị kết quả ra số lẻ nên ta tiếp tục gán x cho

+ Nhấn STO (-) Bước 2: Nhập biểu thức cần tính vào máy tính sau đó bấm CALC ALPHA A 𝑥

CƠ SỞ LÝ LUẬN

Yêu cầu cần đạt đối với học sinh khi học các chủ đề về lượng giác

2.3 Một số bài tập tự luyện

1.2.2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a) Cung đối nhau: 𝛼 và −𝛼 cos(−𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 sin(−𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼 tan(−𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼 cot(−𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝛼 b) Cung bù nhau: 𝛼 và (𝜋 − 𝛼) sin(𝜋 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛼 cos(𝜋 − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼 tan(𝜋 − 𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼 cot(𝜋 − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝛼 c) Cung hơn kém 𝜋: 𝛼 và (𝛼 + 𝜋) sin(𝛼 + 𝜋) = −𝑠𝑖𝑛𝛼 cos(𝛼 + 𝜋) = −𝑐𝑜𝑠𝛼 tan(𝛼 + 𝜋) = 𝑡𝑎𝑛𝛼 cot(𝛼 + 𝜋) = 𝑐𝑜𝑡𝛼 d) Cung phụ nhau: 𝛼 và ( 𝜋

Để giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác cho 𝑎, ta cần chuyển vế và chia cả hai vế của phương trình Sau đó, phương trình sẽ được đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình bậc hai có dạng 𝑎𝑡² + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0, với 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các hằng số (𝑎 ≠ 0) và 𝑡 là hàm số lượng giác Để giải phương trình, ta cần đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ, đồng thời xác định điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) Sau đó, tiến hành giải phương trình theo ẩn phụ này và cuối cùng chuyển đổi về việc giải phương trình lượng giác cơ bản.

1.4 Yêu cầu cần đạt đối với học sinh khi học các chủ đề về lượng giác Chủ đề 1 Góc lượng giác Số đo của góc lượng giác Đường tròn lượng giác Giá trị lượng giác của góc lượng giác, quan hệ giữa các giá trị lượng giác Các phép biến đổi lượng giác (công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích ; công thức biến đổi tích thành tổng)

Bảng giá trị lượng giác của các góc thường gặp cung cấp thông tin quan trọng về các giá trị sin, cos, và tan Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác cho phép chúng ta tính toán dễ dàng hơn trong các bài toán hình học Ngoài ra, mối quan hệ giữa các góc lượng giác đặc biệt như góc bù nhau, góc phụ nhau, góc đối nhau và góc hơn kém nhau cũng rất cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp trong lượng giác.

Bài viết này giải thích các khái niệm quan trọng trong toán học như tập xác định và tập giá trị của hàm số, đồng thời phân tích tính chất chẵn lẻ và tính tuần hoàn của chúng Ngoài ra, nó cũng đề cập đến chu kỳ, khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số dựa trên đồ thị, giúp người đọc hiểu rõ hơn về hành vi và đặc điểm của các hàm số trong toán học.

Một số bài tập tự luyện

1.2.2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a) Cung đối nhau: 𝛼 và −𝛼 cos(−𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 sin(−𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼 tan(−𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼 cot(−𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝛼 b) Cung bù nhau: 𝛼 và (𝜋 − 𝛼) sin(𝜋 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛼 cos(𝜋 − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼 tan(𝜋 − 𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼 cot(𝜋 − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝛼 c) Cung hơn kém 𝜋: 𝛼 và (𝛼 + 𝜋) sin(𝛼 + 𝜋) = −𝑠𝑖𝑛𝛼 cos(𝛼 + 𝜋) = −𝑐𝑜𝑠𝛼 tan(𝛼 + 𝜋) = 𝑡𝑎𝑛𝛼 cot(𝛼 + 𝜋) = 𝑐𝑜𝑡𝛼 d) Cung phụ nhau: 𝛼 và ( 𝜋

Chuyển vế và chia cả hai vế của phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác cho 𝑎, sau đó biến đổi phương trình thành phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình có dạng 𝑎𝑡² + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0, với 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các hằng số (𝑎 ≠ 0) và 𝑡 là hàm số lượng giác Để giải phương trình, cần đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và xác định điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) Sau đó, tiến hành giải phương trình theo ẩn phụ này, cuối cùng chuyển về việc giải phương trình lượng giác cơ bản.

1.4 Yêu cầu cần đạt đối với học sinh khi học các chủ đề về lượng giác Chủ đề 1 Góc lượng giác Số đo của góc lượng giác Đường tròn lượng giác Giá trị lượng giác của góc lượng giác, quan hệ giữa các giá trị lượng giác Các phép biến đổi lượng giác (công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích ; công thức biến đổi tích thành tổng)

Bảng giá trị lượng giác của các góc lượng giác thường gặp cung cấp thông tin quan trọng về các giá trị sin, cos, và tan Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các hàm số này Ngoài ra, quan hệ giữa các góc lượng giác đặc biệt như góc bù nhau, góc phụ nhau, góc đối nhau và góc hơn kém nhau cũng rất cần thiết để giải quyết các bài toán lượng giác một cách hiệu quả.

Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị đầu vào mà hàm có thể nhận Tập giá trị là tập hợp các giá trị đầu ra tương ứng với các giá trị đầu vào đó Tính chất chẵn và lẻ của hàm số liên quan đến sự đối xứng của đồ thị qua trục tung hoặc trục hoành Tính tuần hoàn thể hiện sự lặp lại của giá trị hàm theo một khoảng nhất định, gọi là chu kỳ Khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số được xác định dựa trên sự thay đổi của giá trị hàm khi giá trị đầu vào tăng lên, có thể phân tích qua đồ thị để hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số.

2.1.1 Dạng 1: Bài toán góc và cung lượng giác

- Muốn đổi từ đơn vị độ sang đơn vị rađian ta chuyển máy tính về Mode rađian bằng cách

+ Nhập số cần đổi vào máy rồi nhấn SHIFT Ans 1

Muốn đổi từ đơn vị rađian sang đơn vị độ ta chuyển máy tính về Mode độ bằng cách

+ Nhập số cần đổi vào máy rồi nhấn SHIFT Ans 2 = o ’’’

Ví dụ 1: Đổi 𝛼 = 32 𝑜 sang rađian

Giải bằng tự luận Đổi 𝛼 = 32 𝑜 sang rađian: 𝛼 = 32 𝜋

- Nhập số 32 vào máy rồi nhấn: SHIFT Ans 1

- Nhấn: Màn hình xuất hiện:

Giải bài toán bằng máy tính Casio mang lại kết quả nhanh chóng và chính xác hơn so với phương pháp tự luận, vì không cần phải nhớ chính xác công thức chuyển đổi giữa độ và radian.

16 vào máy rồi nhấn: SHIFT Ans 2 = o ’’’

Ta thấy giải bằng Casio ta có được kết quả nhanh hơn và chính xác hơn giúp chọn đáp án dễ hơn so với giải tự luận

2.1.2 Dạng 2: Kiểm tra một giá trị là nghiệm của phương trình

Ví dụ 3: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3 = 0 trong khoảng ( 3𝜋

- Nhập biểu thức 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3 Màn hình xuất hiện:

- Ta nhận xét: chỉ có 3 đáp án B, C, D là thỏa điều kiện trong ( 3𝜋

- Trong các đáp án còn lại, ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án Cụ thể:

+ Nhấn: CALC 5𝜋 ÷ 2 ta được kết quả khác 0

2.1.3 Dạng 3: Kiểm tra một họ là nghiệm của phương trình

*Phương pháp: Kiểm tra một họ là nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0

- Nếu 𝑓(𝑥) nhận một giá trị khác 0 thì 𝑥 = 𝛼 không là nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 Do đó đáp án được thế chắc chắn là đáp án sai

- Nếu 𝑓(𝑥) nhận một giá trị bằng 0 thì 𝑥 = 𝛼 là nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 Do đó đáp án được thế có thể là đáp án đúng

- Lưu ý: Kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

Ví dụ 4: Phương trình −𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 có một họ nghiệm là:

- Nhấn: CALC −𝜋 ÷ 2 được kết quả 0

- Nhấn: CALC −𝜋 ÷ 3 được kết quả √3

- Ta kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước:

Ví dụ 5: Giải phương trình: 𝑐𝑜𝑠𝑥−√3𝑠𝑖𝑛𝑥

- Nhấn: CALC 𝜋 ÷ 6 ta được kết quả khác 0

 Loại đáp án A và B, còn lại C và D

- Ta kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Kiểm tra đáp án D

6 + 𝜋 ta được kết quả khác 0

Ví dụ 6: Giải phương trình √3𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝜋

18 xuất hiện ở cả 4 đáp án nên không cần kiểm tra giá trị này,nó là nghiệm của phương trình

Nhấn: CALC 5𝜋 ÷ 6 CALC 7𝜋 ÷ 6 CALC 𝜋 ÷ 18 ta được kết quả chỉ có 7𝜋

6 là nghiệm của phương trình

 Loại A và D, đáp án đúng nằm ở B hoặc C

- Trong các đáp án còn lại, ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

Ta kiểm tra đáp án C:

6 + 𝜋 Ta được một số khác 0

2.1.4 Dạng 4: Kiểm tra một tập là TXĐ của hàm số lượng giác

*Cơ sở lý thuyết: Tập xác định của một hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của biến số làm cho hàm số có nghĩa

*Phương pháp: TXĐ của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) là

- Nếu 𝑓(𝑥) nhận một giá trị nào đó thì 𝑥 = 𝛼 thuộc TXĐ của hàm số

Do đó đáp án được thế chắc chắn là đáp án sai

- Nếu 𝑓(𝑥) được máy tính báo lỗi Math ERROR thì 𝑥 = 𝛼 không thuộc TXĐ của hàm số Do đó đáp án được thế có thể là đáp án đúng

- Lưu ý: Kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

Ví dụ 7: Tập xác định của hàm số 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥

- Nhập biểu thức: sin cos 2

3 không thuộc TXĐ của hàm số

 Do đó đáp án đúng là C hoặc D

- Trong các đáp án còn lại, ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước.Ta kiểm tra đáp án D

- Nhấn: CALC 𝜋 ÷ 3 + 𝜋 Màn hình xuất hiện: Điều này chứng tỏ 𝜋

3 + 𝜋 thuộc TXĐ của hàm số

Ví dụ 8: Tập xác định của hàm số 𝑦 = 1

- Nhấn: CALC 𝜋 và CALC 0 Màn hình đều báo lỗi, điều này chứng tỏ 𝜋 và 0 không thuộc TXĐ của hàm số Do đó chưa loại được đáp án nào

- Trong các đáp án còn lại, kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

- Ta kiểm tra đáp án B Nhấn: CALC 1 𝜋

4 màn hình xuất hiện: Điều này chứng tỏ 𝜋

- Ta kiểm tra đáp án C.Nhấn: CALC 1 𝜋

2 (đủ một chu kì 2𝜋) Màn hình đều xuất hiện:

2.1.5 Dạng 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác Ở dạng 5, 6 và 7, chúng ta sẽ sử dụng chức năng TABLE của máy tính Casio để giải Đôi nét về chức năng TABLE:

- Chức năng: Tính giá trị hàm số tại một vài điểm Ta có thể sử dụng chức năng tính giá trị của hai hàm số 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥)

+ Để tính giá trị của một hàm số 𝑓(𝑥) tại một số điểm Cài đặt bằng cách bấm: SHIFT MODE (SET UP)

Để tiếp tục, bạn nhấn vào Replay và chọn 5 (TABLE) Khi máy hỏi Select Type, hãy chọn 1 nếu bạn chỉ muốn tính giá trị của hàm số tại một điểm Nếu bạn cần tính giá trị của hai hàm số đồng thời tại một điểm, hãy chọn 2.

- Sau khi cài đặt xong, bạn vào chế độ màn hình bằng cách bấm:

+ Bước 1: MODE 7 , nhập hàm số 𝑓(𝑥) cần tính

+ Bước 2: Start: Nhập mốc 𝑥 bắt đầu từ đâu

+ Bước 3: End: Nhập mốc 𝑥 kết thúc tại đâu

+ Bước 4: Step: Bước nhảy là khoảng cách giữa các điểm đầu mút Bấm = ta được bảng giá trị mong muốn

- Tối đa: Chúng ta chỉ có thể tính tối đa được 30 giá trị cho một hàm số

*Phương pháp tìm GTLN và GTNN của một hàm số y = f(x) trên [a;b]

- Bước 2: Nhập biểu thức 𝑓(𝑥) vào máy

- Bước 3: Nhấn = sau đó nhập Start = 𝑎, End = 𝑏, Step = 𝑏−𝑎

20 (Có thể lấy từ 29 trở xuống)

(Chia 20 để có được 20 bước nhảy và bảng TABLE có 21 giá trị, như thế là đủ)

Sau đó, ta dựa vào bảng TABLE để tìm GTLN và GTNN

Ví dụ 9: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦 = 3 − 2𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 lần lượt là:

- Chuyển máy tính về mode độ: SHIFT MODE 3

Trong thực tế, việc mô phỏng rađian có thể tính toán được giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) Tuy nhiên, trong mô hình độ, chúng ta dễ dàng nhận diện giá trị tại đó hàm số đạt GTLN và GTNN.

- Nhấn:MODE 7 (TABLE) Nhập biểu thức 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑠𝑖𝑛 2 𝑥, màn hình hiển thị:

- Nhấn = một số máy tính sẽ hiển thị 𝑔(𝑥)

- Để xóa hàm này ta nhấn SHIFT MODE 5 1

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN là 1 tại hàng thứ 6 và 16, GTLN là 3 tại hàng thứ 11 và 21

Ví dụ 10: Tập giá trị của hàm số 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4 với 𝑥 ∈ [− 𝜋

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN là 3,8751 ở hàng thứ 3, GTLN là 7 ở hàng thứ 17

Ví dụ 11: Gọi M là GTLN và m là GTNN của hàm số 𝑦 = 1+𝑠𝑖𝑛𝑥

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN 𝑚 = 0 tại hàng thứ 16 và GTLN 𝑚 = 1,333172048 tại hàng thứ 9

Mỗi ngày, mực nước trong con kênh thay đổi theo thủy triều Độ sâu ℎ (mét) của mực nước tại thời điểm 𝑡 (giờ) được xác định bằng công thức ℎ = 3𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑡).

4) + 12 Mực nước của kênh cao nhất khi:

- Mực nước của con kênh cao nhất khi ℎ lớn nhất

4 = 𝑘2𝜋 với 0 < 𝑡 ≤ 24 và k  Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn

2.1.6 Dạng 6: Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

- Hàm số 𝑦 = sin (𝑎𝑥 + 𝑏) và 𝑦 = cos (𝑎𝑥 + 𝑏) tuần hoàn với chu kì

- Hàm số 𝑦 = tan (𝑎𝑥 + 𝑏) và 𝑦 = cot (𝑎𝑥 + 𝑏) tuần hoàn với chu kì

Hàm số 𝑦 = 𝑓 1 (𝑥) và 𝑦 = 𝑓 2 (𝑥) là các hàm tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là 𝑇 1 và 𝑇 2 Khi kết hợp chúng theo dạng 𝑦 = 𝑘.𝑓 1 (𝑥) ± ℎ.𝑓 2 (𝑥), với 𝑘 và ℎ là các hằng số, hàm số mới sẽ có chu kỳ 𝑇 0, là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 𝑇 1 và 𝑇 2.

Ví dụ 13: Tìm chu kì T của hàm số 𝑦 = sin ( 𝑥

- Start: một giá trị 𝑥 0 bất kì thuộc TXĐ Nếu chu kì thuộc TXĐ thì nhập luôn chu kì

- End: 𝑥 0 + 10𝑇, Step: đáp án đang kiểm tra

- Nếu các giá trị 𝑓(𝑥) đều bằng nhau thì đáp án đó là chu kì

- Nếu không phải ta ấn AC rồi kiểm tra đáp án tiếp

- Ta phải thử đáp án chu kì nhỏ nhất trước

- Cụ thể, ta thực hiện như sau:

+ Chuyển máy tính về mode rad: SHIFT MODE 4

4) + Ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Ta kiểm tra đáp án B: Nhấn = , Start = 𝜋 , End = 10𝜋,Step = 𝜋

+ Ta kiểm tra đáp án D:

Nhấn: AC = , Start = 2𝜋, End = 10.2𝜋, Step = 2𝜋

+ Thực hiện tương tự ta loại đáp án C

+ Thử kiểm tra đáp án A:

Nhấn: AC = , Star = 4𝜋, End = 10.4𝜋, Step = 4𝜋

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột 𝑓(𝑥) có các giá trị bằng nhau

Ví dụ 14: Tìm chu kì 𝑇 của hàm số 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 2 (3𝑥 + 𝜋

Trước tiên, ta kiểm tra đáp án có chu kỳ nhỏ nhất, bắt đầu với đáp án C Để thực hiện điều này, ta nhấn: = , Start = 2𝜋 ÷ 3, End = 10.2𝜋 ÷ 3, Step = 2𝜋 ÷ 3 Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy rằng các giá trị trong cột 𝑓(𝑥) không bằng nhau.

- Ta kiểm tra đáp án D:

+ Nhấn: AC = , Start = 2𝜋, End = 10.2𝜋, Step = 2𝜋

+ Dựa vào bảng TABLE, ta thấy cột 𝑓(𝑥) có giá trị bằng nhau

2.1.7 Dạng 7:Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lượng giác

Sử dụng chức năng TABLE để phân tích tính đơn điệu của hàm số lượng giác là một phương pháp hữu ích, mặc dù có thể không tối ưu cho việc giải tự luận Tuy nhiên, việc làm quen với cách giải này sẽ giúp ích cho việc xét tính đơn điệu của hàm số trong chương trình lớp 12.

4 ), mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.Hàm số 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 nghịch biến B Hàm số 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 đồng biến

C Hàm số 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 nghịch biến D Hàm số 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 nghịch biến

- Ta kiểm tra tính đơn điệu bằng cách quan sát giá trị 𝑓(𝑥)

+ Nếu cột 𝑓(𝑥) luôn tăng ta kết luận hàm số đồng biến trên khoảng đã xét

+ Nếu cột 𝑓(𝑥) luôn giảm ta kết luận hàm số nghịch biến trên khoảng đã xét

- Ta kiểm tra đáp án A:

+ Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột 𝑓(𝑥) có lúc tăng lúc giảm

- Tương tự, ta nhận thấy biểu thức 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 luôn tăng trên khoảng đã cho

2.1.8 Dạng 8: Tìm nghiệm và số nghiệm của phương trình lượng giác trong một khoảng cho trước

*Lưu ý: Giá trị của hàm số 𝑓(𝑥) đổi dấu khi đi qua 𝑥 = 𝑥 1 và 𝑥 = 𝑥 2 thì phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm trong khoảng (𝑥 1 ; 𝑥 2 )

Suy ra 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc (−0,392; 0)

Suy ra 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc 0; 0,3926)

Suy ra 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc (5,8904; 6,2831)

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên [ 𝜋

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên ( 𝜋

2; 2𝜋), tổng 𝑇 các nghiệm của phương trình

6 − 2𝑥) − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + Nhấn: = ALPHA CALC 0 Màn hình hiển thị:

+ Nhấn: SHIFT CALC 2,4788 = Màn hình hiển thị:

+ Nhấn RCL ) , ta nhận được kết quả 𝑥 = 8𝜋

+ Tương tự với 2 nghiệm còn lại

Nhấn SHIFT CALC 4,8694 = RCL ) Ta nhận được kết quả

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên ( 𝜋

Ví dụ 19: Giải phương trình √3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − √3𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 1 có hai họ nghiệm có dạng 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋 và 𝑥 = 𝛽 + 𝑘𝜋 ( k  ) với − 𝜋

+ Phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm thuộc (−0,314; −0,157) + Phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có một nghiệm 𝑥 = 0,7853

+ Nhấn = ALPHA CALC 0 Màn hình hiển thị:

+ Nhấn: SHIFT CALC -0,314 = RCL ) Màn hình hiển thị kết quả 𝑥 = − 𝜋

+ Nhấn SHIFT CALC 0,7853 = RCL ) Màn hình hiển thị kết quả 𝑥 = 𝜋

2.2.1 Dạng 1 Cho một tỉ số lượng giác của một góc, tính các tỉ số lượng giác còn lại của góc đó

*Cơ sở lý thuyết: Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản sau:

Ví dụ 20: Cho tan x = − 4 Khi đó

Bước 1: tìm x Đầu tiên đổi sang RADIAN

2 2 2 cos sin 2 cos 3cos cos sin cos 4 cos 2cos cos x x x x x x x x x x

Màn hình hiển thị kết quả ra số lẻ nên ta tiếp tục gán x cho

+ Nhấn STO (-) Bước 2: Nhập biểu thức cần tính vào máy tính sau đó bấm CALC ALPHA A 𝑥

Khi giải bài tập tự luận, người học cần nắm vững các giá trị lượng giác và kỹ năng biến đổi chúng Việc sử dụng máy tính Casio giúp đơn giản hóa quá trình này, không yêu cầu phải nhớ công thức, chỉ cần ghi nhớ các thao tác để kiểm tra và nhận kết quả nhanh chóng.

2.2.2 Dạng 2 Tính giá trị của biểu thức phụ thuộc vào tham số

4 Đầu tiền đổi sang chế độ ĐỘ

𝑏 CALC cho a và b chạy từ 1 đến 10 ta nhận ngay

2.2.3 Dạng 3 Rút gọn biểu thức lượng giác

Ví dụ 22 : Rút gọn biểu thức A= cos( x ) 2sin 2 x

A A= cosx B A= -cosx-2sinx C A= 3cosx D A= -3cosx

Tự luận Máy tính casio thử lại kết quả của cách giải tự luận cos( ) 2 sin

Nhập cos ( 𝜋 +𝜋) ta có kết quả 1 là -cos(𝜋) = -cos (x)

2 + 𝜋) kết quả -1 chính là cos (𝜋)= cos(x) Bước 2: sau khi sử dụng máy tính để kiểm tra ta thấy được cos(𝜋 + 𝑥) cos 𝑥 ; 𝑠𝑖𝑛 ( 𝜋

2 + 𝜋) = cos 𝑥 Thay vào biểu thức ta có ngay đáp án D Vậy các làm tự luận đúng

2.2.4 Dạng 4 Giải phương trình lượng giác

Ví dụ 23 Giải phương trình lượng giác sau sin 3𝑥 − cos 2𝑥 = 0

Tự luận Máy tính casio thử lại kết quả của cách giải tự luận sin 3𝑥 − cos 2𝑥 = 0 sin 3𝑥 = cos 2𝑥 sin 3𝑥 = sin (𝜋

Dùng máy kiểm tra lại nghiệm giải đúng chưa

-Chuyển sang đơn vị RADIAN SIN 3 X - COS 2 X Máy tính hiển thị

10 tương ứng k=0 Đáp án ra 0 đúng

5 tương ứng k=1 Đáp án ra 0 đúng

Họ nghiệm còn lại tương tự cũng đúng

2.2.5 Dạng 5 Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

- Nếu D là tập đối xứng (tức là    −  x D x D ) thì ta thực hiện tiếp bước 2

- Nếu D không phải tập đối xứng (tức là   x D mà −  x D ) thì ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ

- Nếu f ( − x ) = f x ( ),  x D thì ta kết luận hàm số là hàm số chẵn

- Nếu f ( − x )  f x ( ),   x Dthì ta kết luận hàm số là hàm số lẻ

- Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số là hàm số không chẵn không lẻ

*Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:

- Hàm số y = sin x là hàm số lẻ trên D =

- Hàm số y = cos x là hàm số chẵn trên D =

- Hàm số y = tan x là hàm số lẻ trên \ |

- Hàm số y = cot x là hàm số lẻ trên D = \  k  | k  

Ví dụ 24 : Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A

Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x và − x

Xét A: Do tập xác định là D = nên    −  x x

Vậy hàm số y = − 2 cos x là hàm số chẵn

Tiêu đề	Sử Dụng Máy Tính Casio Giúp Học Sinh Thpt Giải Nhanh Các Bài Toán Trắc Nghiệm Thường Gặp Về Lượng Giác Theo Ct Gdpt 2018
Tác giả	Võ Văn Tiến
Người hướng dẫn	Th.S Nguyễn Thị Sinh
Trường học	Đại học Đà Nẵng
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2024
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	54
Dung lượng	1,25 MB