1 Sở giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Hòa bình Môn: Toán ***** Thời gian: 150 phút Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không? 5 13 5 13 5 y = + + + + + Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức: 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có: 1 1 1 1 n n n n n n a b c a b c + + = + + Bài 3: Giải hệ phơng trình: 2 2 1 9 1 1 x y x y + = + = Bài 4: Cho hệ phơng trình hai ẩn x, y sau: 2 ( 1) 2 1 2 m x my m mx y m + + = = Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất Bài 5: Tìm m để phơng trình (x 2 -1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 , x 4 thoả mãn điều kiện 1 2 3 4 1 1 1 1 1 x x x x + + + = Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số 2 1 2 y x= a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ Bài 7: Giải phơng trình nghiệm nguyên: x 3 y 3 2y 2 3y 1 = 0 Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tơng ứng thuộc các tia Ox và Oy sao cho OA = OB. Một đờng thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O và B. Từ B hạ đờng vuông góc với AM tại H và cắt đờng thẳng OA tại I 1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp đợc 2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB. Bài 9: Cho tam giác ABC có à 0 90A , M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và E lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất. Bài 1 (2 điểm) Dễ thấy y> 5 Bình phơng 2 vế ta có: 2 5 13 5 13 5 y = + + + + + 2 2 2 ( 5) 13 5 13 5 y = + + + + 2 2 ( 5) 13y y = + 4 2 10 12 0y y y + = 3 2 ( 3)( 3 4) 0y y y y + = [ ] ( 3) ( 3)( 1)( 1) 1 0y y y y + + = (*) Vì y > 5 nên ( 3)( 1)( 1) 1y y y+ + >0 (*) 3 0 3y y = = 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 2 (2 điểm) Giả thiết bài toán tơng đơng với: 1 1 1 1 a b a b c c + = + + ( ) a b a b ab c a b c + + = + + (a+b)(ac+bc+c 2 ) = - (a+b)ab (a+b) ( ac+ bc + c 2 +ab ) = 0 (a+b)(b+c)(c+a) = 0 Vế trái bằng 0 khi có ít nhất 1 trong 3 thừa số bằng 0 tức là trong 3 số a, b, c có 2 số đối nhau. Vì vậy nếu n lẻ thì: 1 1 1 1 n n n n n n a b c a b c + + = + + 1,0 1,0 Bài 3 (2 điểm) Từ phơng trình 1 1 1 1x y y x+ = = Thế vào phơng trình (1) ta đợc 2 2 11x x = + Nếu x 2 ta đợc (2) 2 2 11 13x x x = + = (loại) Nếu x< 2 ta có (2) 2 2 11 3x x x = + = Thay x = -3 vào pt 1 1y x = ta đợc 1 2y = 1 3 y y = = Vậy hệ pt đã cho có nghiệm (x; y) là: (-3; 3); (-3; -1) 0,5 0,5 1,0 Bài 4 (2 điểm) Hệ luôn có nghiệm duy nhất Vì từ (2) 2 2y m mx = + + Thay vào (1) ta đợc: (m+1)x + m(- m 2 +mx + 2) = 2m -1 (m 2 + m + 1)x = m 3 1 Mà m 2 + m + 1 = 2 1 3 ( ) 0 2 4 m m+ + > Hệ có nghiệm duy nhất là: 1 2 x m y m = = + Ta có P = xy = (m -1)(2- m) = - m 2 + 2m + m 2 = 2 9 1 ( 3 ) 4 4 m m + + 0,5 0,5 0,5 3 = 2 3 1 1 ( ) 2 4 4 m + Dấu = xảy ra 3 3 0 2 2 m m = = Vậy giá trị lớn nhất của P là MaxP = 1 3 4 2 m = 0,5 Bài 5 (2 điểm) (x 2 -1)(x+3)(x+5) = m (1) ( 1)( 3)( 1)( 5)x x x x m + + + = 2 2 ( 4 3)( 4 5)x x x x m + + + = (2) Đặt y = 2 2 4 4 ( 2) 0x x x+ + = + . Khi đó (2) có dạng: (y - 1)(y - 9) = m 2 10 (9 ) 0y y m + = (3) Phơng trình (1) có 4 nghiệm pt(3) có 2 nghiệm dơng phân biệt y 1 , y 2 1 2 1 2 ' 16 0 10 0 16 9 . 9 0 m S y y m P y y m = + > = + = > < < = = > (4) Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình: x 2 + 4x +4 y 1 = 0 (5) x 3 , x 4 là nghiệm của phơng trình: x 2 + 4x +4 y 2 = 0 (6) Theo ĐL Viet và từ (3), (5) và (6) ta có: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 1 1 1 4 4 . . 4 4 x x x x x x x x x x x x y y + + + + + = + = = 1 2 1 2 1 2 4( ) 32 40 32 8 1 16 4( ) . 16 40 9 15 y y y y y y m m + = = = + + + Suy ra m = -7 thoả mãn điều kiện (4). Đáp số m = -7 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 6 (2 điểm) a) Thay x = -2; y = m vào 2 1 2 y x= ta đợc: 2 1 ( 2) 2 2 m m= = b) Tâp hợp các điểm cách đều hai trục toạ độ là các đờng thẳng y = x và y = -x Gọi điểm A(x; y) thuộc đồ thị và cách đều hai trục toạ độ x, y là nghiệm của hệ: 2 1 ( ) 2 y x I y x = = hoặc 2 1 ( ) 2 y x II y x = = Giải hệ (I) đợc x 1 = 0; x 2 = 2 có 2 điểm A 1 (0; 0); A 2 (2; 2) Giải hệ (II) đợc x 3 = 0; x 4 = -2 có thêm điểm A 3 (-2; 2) Trả lời: Có 3 điểm : A 1 (0; 0); A 2 (2; 2); A 3 (-2; 2) 0,5 0,5 0,5 0,5 4 Bài 7 (2 điểm) Phơng trình đã cho tơng đơng với : x 3 = y 3 + 2y 2 + 3y +1 = 0 (1) Nhận xét rằng: 2 3 3 2 2 3 0 2 3 1 ( 1)y x y y y y y + + + + = + (2) 2 3 3 2 2 3 5 2 0 2 3 1 (5 2) ( 1)y x y y y y y+ > > + + + + = (3) Từ (2) và (3) suy ra: 3 ( 1)y < x 3 3 ( 1)y + , Vì y Z 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 1 ( 1) 2 3 1 ( 1) x y y y y y x y y y y y = + + + = = + + + + = + 2 2 2 3 1 0 1 ( ) 1 0 0 0 y y y vi y y y y y + + = = = = = = Z Với y = -1 x= -1 Với y = 0 x= 1 Vậy phơng trình có 2 cặp nghiệm nguyên là (-1; -1) và (1; 0) 1,0 1,0 5 Bài 8 (2 điểm) y x M K B A O I H 1. AOM = BOI OM = OI ã ã 0 180MOI MHI+ = tứ giác OMHI nội tiếp 2. OM = OI ẳ ằ OM OI= ã ã OHM OHI= mà ã 0 90IHA = ã ã 0 45OHM OHI= = OKH vuông cân OK = KH Ta có OB cố định mà ã 0 90OKB = K thuộc đờng tròn đờng kính OB Giới hạn: Khi M O thì K O Khi M B thì K P là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đ- ờng kính OB trong nửa mặt phẳng không chứa A 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 9 (4 điểm) 6 A B C M E D H I K a) Xét tr ờng hợp à 0 90A < . Vẽ ,AH BC H BC Ta có ã ã 0 90ADM AEM= = Tứ giác AEMD nội tiếp đờng tròn đờng kính AM( Tâm I ) , ã DAE nhọn nên ã ã 1 2 DAE DIE= Vẽ ,AK DE K DE , do đó ã ã DIK DAE= , DE = 2 DK Ta có AH BC AM AH Vậy DE = 2DK = ã ã ã 2 sin sin sinDI DIK AM BAC AH BAC= (không đổi) dấu = xảy ra M H b) Xét tr ờng hợp à 0 90A > . Tơng tự (a) , ta có : Tứ giác AEMD nội tiếp đờng tròn đờng kính AM( Tâm I) ã DAE là góc tù nên ã ã 0 180DME DAE= nhọn Nh vậy ta cũng có: DE ã ã 0 0 sin(180 ) sin(180 )AM BAC AH BAC= (không đổi) dấu = xảy ra M H 1,0 1,0 1,0 1,0 . ã ã 1 2 DAE DIE= Vẽ ,AK DE K DE , do đó ã ã DIK DAE= , DE = 2 DK Ta có AH BC AM AH Vậy DE = 2DK = ã ã ã 2 sin sin sinDI DIK AM BAC AH BAC= (không đổi) d u = xảy ra M H b) Xét. A B C M E D H I K a) Xét tr ờng hợp à 0 90A < . Vẽ ,AH BC H BC Ta có ã ã 0 90ADM AEM= = Tứ giác AEMD nội tiếp đờng tròn đờng kính AM( Tâm I ) , ã DAE nhọn nên ã ã 1 2 DAE DIE= Vẽ ,AK DE. : Tứ giác AEMD nội tiếp đờng tròn đờng kính AM( Tâm I) ã DAE là góc tù nên ã ã 0 180DME DAE= nhọn Nh vậy ta cũng có: DE ã ã 0 0 sin(180 ) sin(180 )AM BAC AH BAC= (không đổi) d u = xảy