Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 mt1005 biên soạn bài báo cáo này Để củng cố lại kiến thức bài học

Chính vì vậy, để làm tốt đề tài được giao của môn học Giải tích 2, nhóm đã biên soạnbài báo cáo này để củng cố lại kiến thức bài học.. Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn cô Huỳnh Thị Vu

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2 MT1005 LỚP L16 - NHÓM 6 - ĐỀ TÀI 6

GVHD: Huỳnh Thị Vu

SV thực hiện: Huỳnh Nguyễn Đức Huy – 2111292

Huỳnh Nhật Huy – 2113476

Lê Đình Huy – 2113481Nguyễn Chí Minh Huy – 2113498Nguyễn Quốc Minh Huy – 2111336

Tp Hồ Chí Minh, Tháng 04/2022

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng dụng

Mục lục

4.1 Nhắc lại về các mặt bật hai được sử dụng 3

4.1.1 Trụ Parabolic 3

4.1.2 Trụ tròn 3

4.2 Giới thiệu phần mềm matlab 4

4.3 Tích phân kép 5

4.3.1 Nhắc lại về tích phân kép 5

4.3.2 Cách tính 7

4.3.3 Tính thể tích vật thể 7

4.4 Tích phân bội ba 8

4.4.1 Giới thiệu về tích phân bội ba 8

4.4.2 Định nghĩa 9

4.4.3 Cách tính 9

4.4.4 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ 9

4.4.5 Đổi biến trong tích phân bội ba 11

4.5 Tích phân đường loại I 11

4.5.1 Giới thiệu về tích phân đường loại I 11

4.5.2 Định nghĩa 12

4.5.3 Cách tính 12

4.5.4 Tính diện tích khối trụ song song Oz 12

5 BÀI TẬP THỰC HÀNH 13 5.1 Bài tập trên các mô hình 13

5.1.1 Mô hình 1 13

5.1.2 Mô hình 2 14

5.1.3 Mô hình 3 16

5.1.4 Mô hình 4 18

5.2 Tự vẽ lại và tính thể tích hình bên dưới bằng bất kỳ phần mềm đã biết 20

5.2.1 Vẽ hình 20

5.2.2 Tính thể tích của hình 21

1 DANH SÁCH NHÓM

2111292 Huỳnh Nguyễn Đức Huy huy.huynhla62@hcmut.edu.vn

2113476 Huỳnh Nhật Huy huy.huynhnhat11@hcmut.edu.vn

2113481 Lê Đình Huy huy.ledinh@hcmut.edu.vn

2113498 Nguyễn Chí Minh Huy huy.nguyen145k21@hcmut.edu.vn

2111336 Nguyễn Quốc Minh Huy huy.nguyennqmhuy2610@hcmut.edu.vn

Giải tích hàm nhiều biến là môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học tự nhiên và

kỹ thuật Chính vì vậy, để làm tốt đề tài được giao của môn học Giải tích 2, nhóm đã biên soạnbài báo cáo này để củng cố lại kiến thức bài học

Bài báo cáo gồm có các phần đã được nêu cụ thể ở phần mục lục bao gồm nền tảng, cơ

sở lý thuyết liên quan đến đề tài của nhóm, các bài tập thực hành

Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn cô Huỳnh Thị Vu vì thời gian vừa qua cô đã tậntâm giảng dạy và mang lại cho chúng em những kiến thức bổ ích trong môn học, từ đó chúng em

đã tiếp thu được những nền tảng căn bản của bộ môn Giải tích 2 Chúng em cũng cảm ơn vì đãtận tình hướng dẫn cách giải bài tập rất chi tiết, dễ hiểu và đồng thời thầy cũng giảng lại phần líthuyết thông qua những bài tập làm cho kiến thức chúng em thêm phần củng cố

Trong quá trình soạn và làm bài không thể tránh khỏi những sai sót nên chúng em rấtmong nhận được những ý kiến đóng góp của cô và các bạn để có thể hoàn thiện hơn nữa

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

• Trong phương trình mặt trụ parabolic, không có biến z Điều này có nghĩa là mọi mặt phẳng z =

k (song song với mặt phẳng xOy) sẽ cắt mặt trụ parabolic theo đường thẳng paraboly2 =2px.Mặt trụ này được gọi là mặt trụ parabolic vì nó được tạo bởi rất nhiều đường parabol giốngnhau

Hình 1: Đồ thị của mặt trụ parabolic có phương trìnhy2= 2x (p = 1)

• Mặt trụ này được gọi là mặt trụ ellipse vì nó được tạo bởi rất nhiều đường ellipse giống nhau

• Khia = b = Rta có phương trình chính tắc của mặt trụ tròn:

x2+y2=R2

, z ∈ R

Hình 2: Đồ thị của mặt trụ tròn có phương trìnhx2+ y2= 1

4.2 Giới thiệu phần mềm matlab

• Matlab (viết tắt của Matrix laboratory), được phát triển bởi MathWorks là một ngôn ngữ lậptrình bậc cao bốn thế hệ, môi trường tính toán số học, trực quan và lập trình

• Matlab cho phép người dùng tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin,thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tínhviết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác

• Có rất nhiều lệnh và hàm toán học nhằm hỗ trợ đắc lực trong việc tính toán, vẽ hình, biểu đồthông dụng và thực hiện các phương pháp tính toán

Hình 3: Ảnh nền phần mềm Matlab

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng dụng

Hình 4: Màn hình chính phần mềm Matlab

4.3 Tích phân kép

4.3.1 Nhắc lại về tích phân kép

• Choz = f (x, y)là hàm số xác định trên miền đóng:R =(x, y) ∈ R2: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

• Ωlà vật thể giới hạn bởi: Ω =(x, y, z) ∈ R3: 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ R

Hình 5: Thể tích vật thểΩ

• Tính thể tích V của vật thểΩ:

– Đầu tiên, ta chia miền R thành những hình chữ nhật nhỏ Ta chia đoạn [a, b] thành

m đoạn nhỏ [xi−1, xi] với độ dài ∆xi = b−am , và chia đoạn [c, d] thành n đoạn nhỏ[yj−1, yj] với độ dài ∆yj = d−cn Bằng cách vẽ những đường thẳng song song với các trụctọa độ và đi qua các điểm chia ta thu được hình chữ nhật nhỏ với diện tích ∆xi · ∆yj

Rij =(x, y) ∈ R2: xi−1≤ x ≤ xi, yj−1≤ y ≤ yj

Hình 6: Chia miền R thành những hình chữ nhật nhỏRij

– Nếu ta chọn một điểm tùy ý x∗

ij ∗y∗ ij

∈ Rij thì ta có thể xấp xỉ được thể tích V cầntìm, bằng cách tính tồng các thề tích hình hộp chữ nhật nhỏ với đáy là Rij có diện tích

∆Aij = ∆xi · ∆yj và chiều cao là f x∗ij′yij∗

Thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ này bằng

f x∗ij, yij∗
· ∆Aij = f x∗ij′yij∗
· ∆xi· ∆yj– Như vậy, khi cộng tất cả những thể tích của những hình hộp chữ nhật nhỏ, ta sẽ xấp xỉđược thể tích V cần tìm

V ≈Pm i=1

Pn j=1f x∗ij, yij∗
· ∆Aij=Pm

i=1

Pn j=1f x∗ij, y∗ij
· ∆xi· ∆yj

– Khi chom, n → ∞ta sẽ thu được

V = limm,n→∞Pmi=1Pnj=1f x∗ij, yij∗
· ∆xi· ∆yj

Hình 7: Thể tích của hình hộp chữ nhật nhỏ

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

ij, y∗

ij
· ∆xi· ∆yj

nếu giới hạn này tồn tại Lúc nàyf (x, y)được gọi là hàm khả tích trên R

Chú ý: Thể tích của vật thểΩnói trên chính là tích phân kép của hàm sốf (x, y)trên miền R

Rb a

V =RR

Df (x, y)dxdy

Hình 9: Thể tích vật thể

• Thể tích của vật thể được giới hạn trên bởi mặt congz = f2(x, y), giới hạn dưới bởi mặt cong

z = f1(x, y), giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song trục Oz, tựa trên biên củamiền D được tính theo công thức:

V =RR

D[f2(x, y) − f1(x, y)] dxdy

Hình 10: Thể tích vật thể

4.4 Tích phân bội ba

4.4.1 Giới thiệu về tích phân bội ba

• Khối lượng của vật thể: Cho vật thể trong không gian có phân bố khối lượng không đồng đềutheo thể tích của nó Sự phân bố này trong hệ trục tọa độ Oxyz được mô tả bởi hàm mật độ

f (x, y, z)(hay còn gọi là khối lượng riêng (kg/m3)) Hãy tính khối lượng M của vật thể, biết vậtthểΩlà hình hộp chữ nhật:

Ω =(x, y, z) ∈ R3: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s

Hình 11: Khối kim loại không đồng chất

• Đầu tiên, chúng ta chia miềnΩthành những hình hộp chữ nhật nhỏ Ta chia đoạn [a, b] thành

mđoạn nhỏ [xi−1, xi] với độ dài∆x = b−am , chia đoạn [c, d] thànhn đoạn nhỏ[yj−1, yj]với độdài∆y = d−cn , và chia đoạn[r, s] thành pđoạn nhỏ [zk−1, zk]với độ dài ∆z = s−rp Bằng cách

vẽ những đường thẳng song song với các trục tọa độ và đi qua các điểm chia, chúng ta thu đượchình hộp chữ nhật nhỏ với thề tích∆V = ∆x · ∆y · ∆z

Ωijk =(x, y, z) ∈ R3: xi−1≤ x ≤ xi, yj−1≤ y ≤ yj, zk−1≤ z ≤ zk

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng dụng

Hình 12: Miền hình hộp chữ nhậtΩ

• Nếu ta chọn một điểm tùyy˙x∗

ijk, y∗ ijk ′z∗ ijk

Pp k=1fx∗

ijk ′, y∗ ijk, z∗ ijk



∆x · ∆y · ∆z

4.4.2 Định nghĩa

Tương tự như tích phân kép chúng ta sẽ định nghĩa tích phân bội ba như sau:

Tích phân bội ba của hàm sốf (x, y, z)trên miềnΩlà:

Hình chiếu củaΩlênOxylàD (tham khảo hình 10)

Khi đó, ta sẽ đưa tích phân bội ba về tích phân kép để tính tiếp

4.4.4 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ

• Trong hệ tọa độ trụ, cho miềnΩđược xác định như sau:

Ω = {(r, φ, z) : α ≤ φ ≤ β, r1(φ) ≤ r ≤ r2(φ), z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}

Hình 13: Vật thểΩtrong hệ tọa độ trụ

Khi tính tích phân bội ba ta chia miềnΩthành những miền nhỏ (mảnh trụ nhỏ trong hệ tọa độtrụ) Vì khi chia nhỏ thì ta sẽ xem mảnh trụ nhỏ này gần bằng với hình hộp với các chiều dài,rộng, cao lần lượt là∆r, r∆φ(cung của đường tròn có bán kínhr, có góc ở tâm là∆φ) và ∆z

Do đó thể tích của mảnh trụ nhỏ này là

∆V = ∆r · r∆φ · ∆z

Sử dụng tính gần đúng của giới hạn khi tính tích phân đối vớirvàφ, ta có thể viết lại

dV = dr · rdφ · dz

Hình 14: Thể tich của mảnh tru nhỏdV = dr · rdφ · dz

Cho miềnΩ = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}, trong đóDlà hình chiếu của miền

Ωxuống mặt phẳngOxyvàD xác định trong hệ tọa độ cực

=

Z β α

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

V =RRRΩf (x, y, z)dxdydz =RRRΩ′g(u, v, w)|J |dudvdw

4.5 Tích phân đường loại I

4.5.1 Giới thiệu về tích phân đường loại I

Cho hàm sốz = f (x, y) ≥ 0 và đường cong C trong mặt phẳn tọa độ Oxy Hãy tính diện tíchcủa “hàng rào” dọc theo đường cong C và có chiều cao tại mỗi điểm(x, y)làf (x, y)

Hình 15: Diện tích "hàng rào" dọc theo C

Cho đường cong trơnC = ABˆ xác định trong mặt phẳng Oxy Ta sẽ chia cung thành nhữngcung nhỏAi−1Ai bởi những điểmA0= A, A1, , An = B Độ dài của những cung nhỏAi−1Aiđược ký hiệu là ∆ℓi và λ = maxi∆ℓi Ta chọn điểm bất kỳ tương ứng Mi(xi, yi) trên cung

Ai−1Ai

Hình 16: Chia cung lớn thành những cung nhỏAi−1Ai

Diện tích của “hàng rào” cần tìm là:

S ≈Pn i=1f (xi, yi) · ∆ℓi

Đây là tổng Riemann và khi lấy giới hạn tổng này vớiλ → 0 ta được tích phân đường loại I

*Chú ý: Theo định nghĩa, tích phân đường loại I không phụ thuộc hướng của đường congC vìviệc chọn hướng củaC không ảnh hưởng đến tổng Riemann

R

Cf (x, y)dℓ =Rabf (x, y(x))

q

1 + [y′(x)]2dxTrường họp 3: (C) trong hệ tọa độ cựcr = r(φ), α ≤ φ ≤ β

4.5.4 Tính diện tích khối trụ song song Oz

Từ công thức tính diện tích của "hàng rào" được nêu ở mục 4.5.1, ta có thể suy ra công thứctổng quát để tính diện tích

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

x 2 dyR02dz = 2R−11 2 −√

2 − x2− x2
dx ≈ 1, 53 (đvtt)(b) Diện tích các mặt tạo nên vật thể:

r

1 +√x2−x 2

2

dx ≈ 4, 44 (đvdt)

- Mặt bên thuộc trụ tròn:

S =R−11 dxR02p1 + (2x)2dz = 2R−11 p1 + (2x)2dx ≈ 5, 92 (đvdt)

5.1.3 Mô hình 3

Mô hình được giới hạn bởi: trụ parabolicy = x42, trụ trònx2+ y2= 5, hai mặt phẳng z = 1vàz = 0Trên thực tế, mô hình tương đồng với khối vật thể trên là: các cây roi bằng tre được vót theokiểu vậy,

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

dyR1

0 dz =R2

−2dxR

√ 5−x 2 x2 4dy

Hình 27: Vật thể dưới mặt phẳng tọa độ Oxy

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

dyR2

0 dz =R−2

2 dxR

√ 8−x 2 x2 22dy

5.2 Tự vẽ lại và tính thể tích hình bên dưới bằng bất kỳ phần mềm đã biết

Hình 29: Hình vẽ được bằng phần mềm Matlab

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

V = int ( int ( int ( J , w ,0 ,1) ,v ,0 ,2 * pi ) ,u ,0 ,1) ;

Tính tích phân bội ba

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng dụng

Qua bài tập lớn này, nhóm đã củng cố được những kiến thức cần thiết về mặt bậc hai, các loạitích phân và ứng dụng của nó trong việc tính diện tích, thể tích vật thể trong không gian nhằmchuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi cuối học kỳ sắp tới

Bên cạnh đó, nhóm cũng được thực hành sử dụng các phần mềm như Geogebra vàMATLAB để vẽ mô hình vật thể trong không gian Việc sử dụng các phần mềm hỗ trợ như trênmang đến những ưu điểm vượt trội là tiết kiệm được thời gian và đưa ra kết quả vô cùng chínhxác Không chỉ vậy, việc sử dụng rất dễ hiểu và phù hợp với mọi người nhưng đòi hỏi người dùngphải có những kiến thức cơ bản về những phần mềm đó

Cuối cùng, việc làm bài như vậy củng cố được khả năng làm việc nhóm của từng thànhviên và nâng cao hiệu quả công việc, giúp chúng em tích lũy thêm nhiều điều mới mẻ

[1] Nguyễn Đình Huy và các cộng sự (2016), Giáo trình Giải tích 2, NXB Đại học Quốc gia TPHCM

[2] James Stewart (2008), Calculus Early Transcendentals Sixth Edition, Thomson Brooks/Cole.[3] Tăng Lâm Tường Vinh (2021), <https://youtu.be/cERVa23itQc>