Nhằm giúp các em học sinh bước đầu làm quen với các bài toán có nội dung thực tế và hình thành tư duy vận dụng lí thuyết vào thực hành một cách hiệu quả, chúng tôi đã cố gắng tìm tòi, hệ
Trang 1MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 2
PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI 4
BÀI TOÁN 1 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ 4 TẬP HỢP 4
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG SƠ ĐỒ VEN 4
B CÁC DẠNG BÀI TẬP 4
BÀI TOÁN 2 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ 9
HÀM SỐ BẬC HAI 9
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 9
B CÁC DẠNG BÀI TẬP 9
BÀI TOÁN 3 SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI HOẶC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 16
Định hướng giải 18
BÀI TOÁN 5 ỨNG DỤNG HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TÌM PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU 31
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 31
B CÁC DẠNG BÀI TẬP 31
BÀI TOÁN 6 ÁP DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀO VIỆC ĐO ĐẠC 42
A KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 42
BÀI TOÁN 7 SỬ DỤNG KIẾN THỨC VỀ CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 47
A KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 48
B CÁC DẠNG BÀI TẬP 48
PHẦN IV: KẾT LUẬN 57
1 Kết quả sau khi thực hiện đề tài 57
2 Hướng mở của đề tài 57
3 Giải pháp đề nghị 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59
Trang 2PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ
Chúng ta đều biết toán học ra đời từ nhu cầu thực tiễn, và cùng với sự phát triển của mình toán học quay trở lại phục vụ một các đắc lực cho thực tiễn cuộc sống của con người Hiện nay mọi lĩnh vực cuộc sống đều cần đến toán học, hầu hết các ngành khoa học đều sử dụng toán học như một công cụ không thể thiếu Thế nhưng trước đây trong dạy học môn toán chúng ta chưa quan tâm đến việc liên hệ thực tế Khi dạy kiến thức toán cho học sinh còn quá chú trọng về lý thuyết, mang nặng tính hàn lâm Trong nghị quyết Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu mục tiêu đối với giáo dục phổ thông: Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống đạo đức, lối sống, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thực vào thực tiễn Tinh thần đó đã được cụ thể hóa bằng việc đổi mới phương pháp dạy học từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm đến việc học sinh vận dụng được gì qua việc học
Trong chương trình toán lớp 10 THPT, có khá nhiều nội dung có thể vận dụng thực tế từ đơn giản đến phức tạp Nhằm giúp các em học sinh bước đầu làm quen với các bài toán có nội dung thực tế và hình thành tư duy vận dụng lí thuyết vào thực hành một cách hiệu quả, chúng tôi đã cố gắng tìm tòi, hệ thống, biên soạn và sáng tạo một số bài toán có nội dung thực tế vào việc giảng dạy Việc này cũng tăng thêm tính hấp dẫn cho các bài giảng đồng thời tạo tiền đề cho các em giải quyết tốt các bài toán thực tế ở lớp 11, 12 và trong các đề thi Qua đó giúp học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia sắp tới Đó là lí do chúng tôi chọn
đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 10 tiếp cận các bài toán có nội dung thực tế” Dựa vào các bài toán thực tế trong các đề thi minh họa chúng tôi đã phân loại và phát triển thành bảy bài toán:
Bài toán 1 Sử dụng sơ đồ Ven để giải các bài toán về tập hợp
Trang 3Bài toán 2 Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai
Bài toán 3 Sử dụng bảng biến thiên của hàm số bậc hai hoặc bất đẳng thức
để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài toán 4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Bài toán 5 Sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để tìm phương án tối
ưu
Bài toán 6 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vào việc đo đạc
Bài toán 7 Sử dụng kiến thức cung và góc lượng giác
Chúng tôi rất hi vọng đề tài của mình sẽ giúp ích cho các em học sinh có một tư duy giải toán mới, biết vận dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề thực tiễn cũng như nhìn nhận các vấn đề thực tiễn qua lăng kính toán học
Xu hướng “gắn lí thuyết với các vấn đề thực tiễn” đã có từ lâu ở các nền giáo dục tiên tiến và đã có ảnh hưởng lớn trong những lần đổi mới giáo dục gần đây của nước ta Chúng tôi nghĩ rằng đó là một hướng đi đúng đắn, giúp hoàn thiện kĩ năng sống và đảm bảo vốn kiến thức thực tế cho một con người bắt đầu bước sang giai đoạn trưởng thành Vì vậy chúng ta cần làm cho học sinh thấy được không chỉ học để đi thi, mà còn để vận dụng vào đời sống hàng ngày, từ đó các em có thêm động lực và lòng ham mê học tập
Vì thời gian và điều kiện còn hạn chế, đề tài không thể tránh được những khiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận được sự quan tâm và góp ý chân thành của các cấp lãnh đạo cũng như các bạn đồng nghiệp Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Trang 4
PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI BÀI TOÁN 1 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG SƠ ĐỒ VEN
Gồm 3 bước:
Bước 1 Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp
Bước 2 Sử dụng sơ đồ Ven để minh họa các tập hợp
Bước 3 Dựa vào sơ đồ Ven ta thiết lập được đẳng thức hoặc phương trình, hệ phương trình, từ đó tìm được kết quả bài toán
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1 Lớp 10 A có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn Hỏi số em chỉ thích một môn trong ba môn trên?
Định hướng giải
Bước 1 Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp
Gọi T, V, S lần lượt là số học sinh chỉ thích học một môn Toán, Văn, Sử; x, y, z lần lượt là số học sinh thích học đúng hai môn Toán + Văn, Văn + Sử và Sử + Toán
Bước 2 Sử dụng sơ đồ Ven để minh họa các tập hợp
Theo bài ra ta có biểu đồ Ven
Trang 5Bước 3 Dựa vào sơ đồ Ven ta thiết lập được đẳng thức hoặc phương trình,
hệ phương trình, từ đó tìm được kết quả bài toán
Từ biểu đồ Ven ta có hệ phương trình:
Vì có 6 em không thích môn nào nên có tất cả 39 em thích ít nhất một trong ba môn Toán, Văn, Sử Ta có phương trình:
5 39
T V S x y z
34(2)
T V S x y z
Cộng theo vế 3 phương trình của hệ (1) ta có:
T V S x y z
Từ (2) và (3) suy ra T V S 20
Vậy số học sinh chỉ giỏi đúng 1 môn là 20 em
Bài 2 Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý,
8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn Hóa Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa, biết rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong 3 môn Toán, Lý, Hóa?
Định hướng giải
Gọi T, L, H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa Khi đó tương
tự Ví dụ 13 ta có công thức:
Trang 645 25 20 11 8 9
5
T L H T L H T L L H H T T L H
T L H
T L H
Vậy có 5 học sinh giỏi cả 3 môn
Bài 3 Một lớp học có 25 học sinh giỏi môn Toán, 23 học sinh giỏi môn Lý, 14 học sinh giỏi cả môn Toán và Lý và có 6 học sinh không giỏi môn nào cả Hỏi lớp
đó có bao nhiêu học sinh?
Định hướng giải
Gọi T, L lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lý
Ta cóT : là số học sinh giỏi Toán L : là số học sinh giỏi Lý
T L : là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lý
Khi đó số học sinh của lớp là: T L 6
Mà T L T L T L 25 23 14 34 Vậy số học sinh của lớp là
34 6 40
Bài 4 Lớp 10A có 18 học sinh tham gia câu lạc bộ Âm nhạc, 20 học sinh tham gia câu lạc bộ Thể thao, 17 học sinh tham gia câu lạc bộ Hội họa Trong đó có 6 học sinh tham gia đúng hai câu lạc bộ là Âm nhạc và Thể Thao, có 5 học sinh tham gia đúng hai câu lạc bộ là Hội Họa và Thể Thao, có 4 học sinh tham gia đúng hai câu lạc bộ là Âm Nhạc và Hội Họa, có 3 học sinh tham gia cả ba câu lạc
bộ Âm Nhạc, Thể Thao, Hội Họa Tổng số học sinh tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ trên của lớp 10A là bao nhiêu?
Định hướng giải Theo bài ra ta có biểu đồ Ven:
Từ biểu đồ Ven suy ra có tất cả 34 học sinh tham
gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ
Bài 5 Lớp 10B1 có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hóa,
3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả
Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa Tính số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10B1 ?
Trang 7Định hướng giải
Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn là:
1 2 1 3 1 1 1 10
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Bài 1 Một lớp học có 16 học sinh học giỏi môn Toán; 12 học sinh học giỏi môn Văn; 8 học sinh vừa học giỏi môn Toán và Văn; 19 học sinh không học giỏi cả hai môn Toán và Văn Hỏi lớp học có bao nhiêu học sinh?
A.39 B 54 C 31 D 47 Hướng dẫn giải
Chọn A
Đáp án AĐúng vì (16 12 19) 8 39
Đáp án BHS tính sai (16 12) 8 19 54
Đáp án CHS tính sai (16 8) (12 8) 19 31
Đáp án DHS tính sai 16 12 19 47
Bài 2 Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn xếp học lực giỏi, 20 bạn xếp hạnh kiểm tốt, trong đó 10 bạn vừa học lực giỏi vừa hạnh kiểm tốt Hỏi lớp 10A
có bao nhiêu bạn chưa được xếp học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt?
A 20 B 25 C 15 D 10 Hướng dẫn giải
Chọn A
Giỏi Lý + Hóa
Giỏi Toán + Hóa
Giỏi Toán + Lý
1
1 1
Hóa
Lý Toán
1 3
2 1
Trang 8Giả sử A “HS xếp học lực giỏi”
B “HS hạnh kiểm tốt ”
A B “HSxếp học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt” A B “HS vừa học lực giỏi vừa hạnh kiểm tốt” Số phần tử của A B là:
Số học sinh có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt: 25
Số học sinh chưa có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt: 45 25 20
Câu B, C, D do HS tính sai đọc và hiểu chưa kỹ đề bài
Bài 3 Mỗi học sinh lớp 10B đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn Hỏi lớp 10B có bao nhiêu học sinh?
A 35 B 30 C 25 D.20 Hướng dẫn giải
Chọn A
Giả sử A “HS chơi bóng đá”
B “HS chơi bóng chuyền”
A B “HS chơi bóng đá hoặc bóng chuyền” A B “HS chơi cả hai
môn”
Số phần tử của A B là: 25 20 10 35
Số HS chơi bóng đá hoặc bóng chuyền là số HS của lớp: 35
Bài 4 Một lớp học có 25 học sinh chơi bóng đá, 23 học sinh chơi bóng bàn, 14 học sinh chơi cả bóng đá và bóng bàn và 6 học sinh không chơi môn nào Số học sinh chỉ chơi 1 môn thể thao là?
Hướng dẫn giải Đáp án B
Gọi A là tập hợp các học sinh chơi bóng đá
B là tập hợp các học sinh chơi bóng bàn
C là tập hợp các học sinh không chơi môn nào
Khi đó số học sinh chỉ chơi bóng đá là
24 23 2.14 20
Bài 5 Lớp 10C có 7 Hs giỏi Toán, 5 Hs giỏi Lý, 6 Hs giỏi Hoá, 3 Hs giỏi cả Toán và Lý, 4 Hs giỏi cả Toán và Hoá, 2 Hs giỏi cả Lý và Hoá, 1 Hs giỏi cả 3
Trang 9môn Toán , Lý, Hoá Hỏi số HS giỏi ít nhất một môn ( Toán , Lý , Hoá ) của lớp 10C là?
A 9 B 10 C 18 D.28 Hướng dẫn giải
Chọn A
G/s: A “HS giỏi toán” ; B “HS giỏi lý” ; C “HS giỏi hóa”
A B C “HS giỏi toán, hóa, lý” : 7 5 6 18
(A B ) ( A C ) B C ) “ số HS giỏi hai môn” 3 4 2 9
Số HS giỏi ít nhất một môn: toán, lý, hóa là:
( A B C ) \ (A B ) ( A C ) B C ) 18 9 9
Câu B, C, D do HS không hiểu các phép toán tập hợp
BÀI TOÁN 2 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Gồm 3 bước
Bước 1 Từ giả thiết của bài toán, chọn hệ trục tọa độ phù hợp
Bước 2 Lập phương trình Parabol
Bước 3 Từ phương trình Parabol suy ra đáp án
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1 Một chiếc cổng hình Parabol có chiều rộng 6 mét và chiều cao 4 mét như hình vẽ Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang rộng 3 mét đi vào vị trí chính giữa cổng Hỏi chiều cao h của xe tải không vượt quá bao nhiêu mét để xe tải đi vào không chạm vào tường cổng
Định hướng giải
Bước 1 Từ giả thiết của bài toán, chọn hệ trục tọa độ phù hợp
Trang 10
A 0 h 6 B 0 C 0h 6 h 7 D 0 h 7 Hướng dẫn giải
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Parabol có phương trình dạng y ax b 2
Vì chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao, theo hình vẽ ta có parabol đi qua các điểm (12;0) và (6;8)suy ra:
2
3
a
Suy ra parabol có phương trình 2 2 8
y x
Do chiếc xe tải có chiều ngang 6 m đi vào vị trí chính giữa cổng nên xe sẽ chạm tường tại điểm A (3;6) khi đó chiều cao của xe là 6
Vậy điều kiện để xe tải có thể đi vào cổng mà không chạm tường là 0 h 6 BÀI TOÁN 3 SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI HOẶC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Bảng biến thiên của hàm số bậc hai
Trang 11
* Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số không âm: a a a1 2 3, , , ,a ,an 1 n Ta luôn có:
n
n
n
1 2 3 an 1 a
a a a
Bất đẳng thức Cauchy cũng được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân
* Bất đẳng thứcBunhiacụpxki
Bất đẳng thức trên cũng được gọi là bất đẳng thức Schwarz, hay bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
Lưu ý: Ở loại bài toán này ta thường chuyển đổi dữ kiện thực tế qua một hàm số với một biến số Nếu là hàm số bậc hai ta có thể dùng bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Ngoài ra ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức như bất đẳng thức Cô – si, bất đẳng thức Bu – nhia – cốp – xki, bất đẳng thức ve
tơ v.v để tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1 Một người nông dân có một khu đất rộng dọc theo một con sông Người
đó muốn có một cái hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà Đối với mặt hàng rào song
Trang 12song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 80 nghìn đồng trên một mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí nguyên vật liệu là 40 nghìn đồng trên một mét dài Tính diện tích lớn nhất của phần đất mà người nông dân rào được với chi phí vật liệu 20 triệu đồng
Định hướng giải
Gọi x (m) là chiều dài khu đất song song bờ sông, y (m) là chiều dài khu đất vuông góc với bờ sông ( 0, 0) x y
Theo giả thiết ta có: .80000 3 40000 200000002 3 500 500 3
2
y
Diện tích khu vườn sau khi rào là ( ) 3 2 250 ,0 500
f x x x x
Bảng biến thiên của hàm số f x ( )
Vậy diện tích lớn nhất của phần đất người nông dân có thể rào được là
2
31250 10416,666( )3 m
Trang 13Bài 2 Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB 25 ,BC 20 km km và M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đi đến C bằng cách đi thẳng từ A đến một điểm X trên đoạn MN rồi lại đi thẳng từ X đến
C Vận tốc của ngựa khi đi trên phần ABNM bằng 15 /km h, vận tốc của ngựa khi
đi trên phần MNCD bằng 30 /km h Tìm vị trí của X để thời gian ngựa đi từ A đến C là ít nhất?
Định hướng giải Giả sử khoảng cách MX x (km),0 x 25
Khi đó XN 25 x , thời gian đi từ A đến C là T x215102 (25 ) 1030x 2 2
(Định lí Pi ta go và công thức t vs )
Ta có T 4x220 (25 ) 102 30 x 2 2
Trong mặt phẳng Oxy xét các vec tơ u(2 ;20),x v(10;25 )x ta có
u v u v
nên T (2 10) (20 25 )x 230 x 2 5x25030x2125
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 5(x 5) 2000 2 5302 3
Vậy vị trí cần tìm của điểm X là MX 5 , km NX 20 km
Bài 3 Cần phải làm cái cửa có dạng phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a (m )(a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt) Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa là lớn nhất?