Báo cáo báo cáo phuong phap tinh

Đây gái là ph°¢ng pháp chia đôi the bisection method... Đß tìm nghiệm gần đúng cho bài toán Cauchy trên, ta chia đo¿n [a,b] thành n đo¿n nhß bằng nhau vãi b°ãc chia ℎ = Ā2ÿă... t¿p h¢n n

Đ¾ I HàC QUàC GIA THÀNH PH H CHÍ MINH à â

B¾NG PHÂN CÔNG NHIỆM V VÀ Ā

THEO DÕI TI¾N ĐÞ LÀM VI C NHÓM Ệ

Bài 1 + thuy t trình ¿bài 1+ slide bài 1 + thuy¿t trình bài 1+

tổng hợp

PHÚC

5 2014538 Nguyán Đức ThÃng Bài 2 + thuy t trình bài 2+ slide bài 2 + ¿

thuy¿t trình bài 2

THÂNG

MĀC LĀC

PROBLEM 1 1

1.1 Lý thuy¿t 1

1.1.1 Phương trình phi tuyến 1

1.1.2 Phương trình vi phân 3

1.2 Nßi dung và k¿t qu¿ có đ°ÿc 4

1.2.1 Nội dung 4

1.2.2 Kết quả 5

1.3 Bài toán mở rßng 11

1.3.1 Nội dung 11

1.3.2 Kết quả 11

1.4 K¿t luận 14

PROBLEM 2 15

2.1 Lý thuy¿t 15

2.2 Nßi dung và k¿t qu¿ có đ°ÿc 18

2.2.1 Nội dung 18

2.2.2 Kết quả 19

2.3 K¿t luận 21

PROBLEM 3 22

3.1 Lý thuy¿t 22

3.1.1 Phương pháp Euler cải tiến cho hệ phương trình vi phân 22

3.1.2 Spline bậc ba tự nhiên 22

3.2 Nßi dung và k¿t qu¿ có đ°ÿc 23

3.2.1 Nội dung 23

3.2.2 Kế t qu 24 ả 3.3 K¿t luận 33

1

PROBLEM 1

1.1 Lý thuy t ¿

Cho ÿ(ý) là hàm s liên tá ÿc trên đo¿n [a,b] th a mãn ß ÿ(ÿ)ÿ(Ā) < 0 Khi đó,tãn

t¿i mát giá trß �㕝 n m gi a a và b sao cho ằ ữ ÿ(�㕝) = 0 Gi s giá trÁ ử ß �㕝 là duy nh t ta goi ấ[a,b] là kho ng cách ly nghi m cÁ ệ āa ph°¢ng trình ÿ(ý) = 0

Gái là nghi m gý∗ ệ ần đúng cāa nghiệm đúng p trên [ a, b ] thì ta có công th c ứ

đánh giá sai sá tổng quát:

ý∗2 �㕝 f ÿ′(ý∗)

ÿ ÿ = miný ∈[ÿ,Ā] ÿ′(ý) > 0 1.1.1 Ph°¢ng trình phi tuy¿n

1.1.1.1 Phương pháp chia đôi

N i dung: á

Kißm tra giá tr c a hàm tß ā ¿i đißm gi a kho ng thì ữ Á ā =ÿ+Ā2 N u ¿ ÿ(ā)ÿ(ÿ) < 0 thì ch c Ã

chÃn r ng nghi m cằ ệ āa ph°¢ng trình sẽ ằ n m trong [a, c] có đá dài b ng m t n a ằ á ử đo¿n

[a, b] ban đầu Ng°ợc l¿i, n¿u ÿ(ā)ÿ(Ā) < 0 thìta có điÁu t°¢ng tự đái v i ã đo¿n [c, b]

Lặp l¿i các b°ãc này s ẽ giúp đßnh v ß ngày càng chính xác h¢n vß trí nghi m cệ āa ph°¢ng

trình Đây gái là ph°¢ng pháp chia đôi (the bisection method)

Công thức đánh giá sai sá:

GiÁ s sau n lử ần chia đôi, ta tìm đ°ợc đo¿n [ÿ , Āă ă]có đá dài Ā2ÿ2Ā Ch n nghi m g n á ệ ầ

đúng là đißm giữa khoÁng ýă=ÿĀ +ĀĀ

2 vì nó g n v i giá tr nghi m chính xác nh t, khi ầ ã ß ệ ấ

đó ta có công thức đánh giá sai sá:

ý 2 �㕝 <ă Ā 2 ÿ

2ă+1

1.1.1.2 Phương pháp cát tuy n ế

à ph°¢ng pháp Newton (Newton’s method hay Newton-Raphson method), từ

đißm có hoành đá ýă21 trên đã th cß āa đ°ßng cong þ = ÿ(ý) ta k ti p tuy n v i ẻ ¿ ¿ ã đ°ßng

cong Hoành đá giao đißm c a ti p tuy n v i tr c hoành s là ā ¿ ¿ ã ÿ ẽ ýăTa d dàng viá ¿t ph°¢ng

trình ti p tuy n: ¿ ¿

þ = ÿ′(ýă21)(ý 2 ýă21) + ÿ ý( ă21)

Đây là mát trong nh ng công th c n i tiữ ứ ổ ¿ng và đ°ợc s d ng r ng rãi nh t trong ử ÿ á ấ

việc gi i quy t vÁ ¿ ấn đÁ tìm nghi m Tuy nhiên, nó có mệ át đißm y¿u, đó là phÁi bi t ¿ đ°ợc

giá tr ß đ¿o hàm c a ā ÿ á m i l n x p xß ầ ấ ỉ Đôi khi, việc tìm ÿ′(ý) s rẽ ất khó khăn và không

thuÁn ti n do c n nhi u k thu t tính toán V i nhệ ầ Á ỹ Á ã ững tr°ßng h p này, ta có th tính g n ợ ß ầ

đúng đ¿o hàm bằng công thức:

ÿ′(ýă) =ÿ(ýă) 2 ÿ(ýă21)

ý 2 ýă ă21khi đó, ph°¢ng trình (1.3) có thß đ°ợc vi t l i thành công th¿ ¿ ức lặp nh° sau:

ý = ýă ă212ÿ(ýă21)(ýă212 ýă22)

ÿ(ýă21) 2 ÿ ý( ă22) , Ā = 2,3,4, &

Kỹ thuÁt này đ°ợc gái là ph°¢ng pháp cát tuy¿n (the secant method) (xem Hình

1.1) Xu t phát t hai giá tr gấ ừ ß ần đúng ban đầ �㕝u 0,�㕝1 , giá trß �㕝2 là giao đißm cāa trÿc x vãi đ°ßng thẳng đi qua hai đißm (�㕝0,ÿ �㕝( 0)) và (�㕝1, ÿ(�㕝1)) Giá tr c a ß ā �㕝3 là giao đcāa tr c x vÿ ãi đ°ßng thẳng đi qua hai đißm (�㕝1, ÿ �㕝( 1)) và (�㕝2,ÿ �㕝( 2)) t°¢ng tự v i cácãgiá tr x p x ti p theo ß ấ ỉ ¿

Hình 1.1 Minh háa đ° ng cát tuy n ß ¿

Đß tìm nghiệm gần đúng cho bài toán Cauchy trên, ta chia đo¿n [a,b] thành n đo¿n nhß bằng nhau vãi b°ãc chia ℎ = Ā2ÿă Khi đó, các đißm chia s là ẻ ý0= ÿ; ýĀ= ý0+

�㕘ℎ; �㕘 = 0,1,2,3, &, Ā; ýă= Ā

1.1.2.1 Phương pháp Euler cải tiến

GiÁ s ửþ(ý) là nghi m duy nh t c a bài Cauchy trênmệ ấ ā có đ¿o hàm c p hai ấliên t c trên [a,b] Ta xây dÿ ựng đ°ợc công thức Euler (Euler’s method) nh° sau:þ(ýĀ+1) j þĀ+1= þĀ+ ℎÿ ý( ĀþĀ), �㕘 = 0,1,2, & , Ā 2 1 (1.6)

N¿u th y ấ ÿ(ý ,þĀ Ā) trong công thức (1.6) bái ÿ(ý , þĀ Ā) + ÿ(ý , þĀ+1 Ā+1) ta đ°ợc công thức Euler cÁi ti¿n (modified Euler’s method):

Trong tr°ßng h p ợ ÿ = Ā = 4 , ta có công th c Runge-Kutta b c b n (Fourth ứ Á á

c) Using the result of a) and the bisection method, the secant method to determine the drag coefficient for a jumper with the weight of 95 (kg) and the velocity v = 46 (m/s) after 10 seconds of fall until the relative error is less than 5%

(Guess the isolated interval containing root)

T¿m dßch:

Mát vÁn đáng viên bungee nh y t m t ng n núi v i v n t c v thÁ ừ á á ã Á á ẳng đứng h°ãng

từ lúc rßi ng n núi vá ãi b°ãc chia h =1(s) bằng ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n và ph°¢ngpháp Runge-Kutta So sánh k t qu v i giá tr¿ Á ã ß chính xác tìm đ°ợ ừ câu a) c t

c) S d ng k t quử ÿ ¿ Á câu a) cùng các ph°¢ng pháp chia đôi, ph°¢ng pháp cát tuy¿ đßn tìm h s cệ á Án đá ã Án đái v i v ng viên có kh i á l°ợng 95 (kg), v n t c v = 46 (m/s) sau 10 Á ágiây k t lúc bß ừ Ãt đầu r¢i đ¿n khi sai sá t°¢ng đái nhß h¢n 5% (dự đoán kho ng cách Á

ly nghi m) ệ

1.2.2 K t qu ¿ Á

a) Nhân hai v¿ cāa ph°¢ng trình (1.10) vãi Ă

ā �㕑, ta đ°ợc ÿ

āĂ

Ăă

Ăā = Āÿ āĂ 2 ă2.

Đặt ÿ = :ąĂā�㕑, ph°¢ng trình trá thành

7

|ăĂ.�㔸Ăāăÿ22 ăăýÿāā2| j 0.1257200

Thao tác t°¢ng tự đá ãi v i các giá tr t ti¿p theo, ta thu đ°ợc k¿t quÁ á cát 3 và c t 5 c a ß á āBÁng 1.1 Trong đó, ăĂ.�㔸Ăāăÿ10j 49.2271057 |ă, Ă�㔸Ăāăÿ102 ă| j 0.1647634 Vãi ph°¢ng pháp Runge-Kutta bÁc b n (RK4), áp d ng công th c (1.9): á ÿ ứ

t¿p h¢n nh°ng cho giá trß xấp xỉ tát h¢n nhiÁu so vãi ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n BÁng 1.1 So sánh giá trß v n tÁ ác đ°ợc tính theo ph°¢ng pháp Euler cÁ ¿n và ph°¢ng i tipháp Runge-Kutta b c b n v i giá tr chính xác Á á ã ß

ā ăăýÿāā ăĂ.�㔸Ăāăÿ ă� 㕅�㔾4 |ăĂ.�㔸Ăāăÿ2 ă| |ăÿĀ42 ă|

āĂ 0=0.3 + 0.52 = 0.4 ÿ(0,4 j 0.) 6123466 > 0 => ÿ = ā1 Ă 0= 0.4;

āĂ0=0.4 + 0.52 = 0.45 ÿ(0,45) j 1.7218725 < 0 => Ā2= āĂ1= 0 .45

Sai sá t°¢ng đá āi c a āĂ 1 là �㗿1= |ā�㕑1 �㕑0 2ā

ā � 㕑1 | ∗ 100% = |0.4520.40.45| j 11 11111%.Quá trình tính toán ti p di n v¿ á ãi các b°ãc t°¢ng tự đ°ợc thß ệ hi n trong B ng 1.2 ÁBÁng 1.2 H s cệ á Án tính theo ph°¢ng pháp chia đôi

pháp cát tuy n s là s thay th hoàn h¿ ẽ ự ¿ Áo cho ph°¢ng pháp Newton

11

Ph°¢ng pháp cát tuy¿n cho sai sá gần nh° bằng 0% sau 6 lần lặp ( n = 7 ), còn ph°¢ng

pháp chia đôi thì đ¿ ần chia đôi thứn l 10, sai sá v¿n lãn h¢n 0.02%

1.3 Bài toán m r ng ở ß

1.3.1 Nái dung

When factors such as food shortages, pollution, and lack of space inhibit growth,

the population growth rate can be formulated as

Ăÿý)

this growth rate formulation, the rate of change of population can be modeled as

Ăą

Ăā= �㕘ąĂ(1 2ą ą

ÿ�㕎�㕥) �㕝 (1.13) This is referred to as the logistic model The analytical solution to this model is

�㕝 = �㕝ą0+(ąÿ�㕎�㕥0 2ą0ą)ăÿ�㕎�㕥−�㕘�㕔ÿ�㕡 (1.14) Simulate the world’s population from 1950 to 2000 using

a) the analytical solution,

b) the modified Euler’s method, the fourth-order Runge-Kutta method with a step size

of 5 years Employ the following initial conditions and parameter values for your

million people

Have the function generate output corresponding to the dates for the following

measured population data (in million) Establish the table to compare your result along

with these data

Year 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

1.3.2 K¿t qu Á

a) Ph°¢ng trình (1.14) đ°ợc vi¿t l¿i thành

Mặc dù ph°¢ng pháp chia đôi trông có v d dàng thẻ á ực hiện nh°ng thực t¿, ta phÁi th c hi n nhiự ệ Áu b°ã tính toán mà ph°¢ng pháp này l¿c i có tác đá á ÿ h i t nghi m ệrất ch m so vÁ ãi ph°¢ng pháp cát tuy¿n

Qua đó, ta thấy b t kỳ ph°¢ng pháp tính toán nào cho k¿t qu ấ Ácó đá chính xác cao h¢n đÁu có quá trình tính toán phức t¿p h¢n Tuy nhiên việc tính toán giß đây đÁu đ°ợc thực hiện trên máy tính, thÁm chí là siêu máy tính v i khÁ năng thực hiện lên đ¿n ã

10 tri u t phép tính trên giây thì quá trình tính toán có phệ ỷ ức t¿p đ¿n mấy cũng không còn quan tráng, đặc biệt là trong lĩnh vực kỹ thu t v i yêu c u vÁ ã ầ Á đá chính xác cao

hiện tốt nhất dáng điệu của của tập điểm { Mk ( xk , y ) } k nk=1 và

pháp như vậy là phương pháp bình phương cực tiểu (Least Squares) Nội dụng phương pháp:

2 1

Dạng c a hàm củ ần xác định f(x) ph thu c vào nhi u y u t Tuy nhiên, các ụ ộ ề ế ố

Bài toán quy v vi c tìm c c ti u c a hàm 2 bi n g(A,B) Tề ệ ự ể ủ ế ọa độ điểm d ng ừ

Bài toán quy v vi c tìm c c ti u c a hàm 2 bi n g(A,B) Tề ệ ự ể ủ ế ọa độ điểm d ng ừ

2m 2

s

v S v

=+trong đó, v là tốc độ phản ứng ban đầu, v là tm ốc độ phản ứng ban đầu cực

đại, S là nồng độ cơ chất, ks là h ng s bán bão hòa ằ ố

a) M i liên h giố ệ ữa S và v được th hi n trong b ng s li u sau: ể ệ ả ố ệ

đưa phương trình trên về dạng tuyến tính

cực ti u ể

giá tr x p x tị ấ ỉ ốt hơn không?

Đưa phương trình về dạng tuyến tính: Y = A + BX

Bảng số liệu được thay thế:

b) S d ng b ng s li u tử ụ ả ố ệ ừ đề bài và áp dụng phương pháp bình phương cực

hiện tốt nhất giáng điệu của tập hợp các điểm Chính vì vậy, c n xây dầ ựng hàm đơn giản ấy sao cho thích hợp nhất với sai số nhỏ nhất

" Giá trß gần đúng cāa x(t), y(t) t¿i tk lần l°ợt là xk ≈ x(tk), yk ≈ y(tk),

Công thư뀁c Euler c i ti n ¿ ¿

�㕘 = 0,1, & , Ā 2 13.1.2 Spline b c ba t nhiên ậ ự

Định nghĩa: Cho hàm y=f(x) xác đßnh trên đo¿n [a,b] và bÁng sá

Mát spline bÁc 3 nái suy hàm f(x) là hàm g(x) thßa các điÁu ki n sau : ệ

i) g(x) có đ¿o hàm đ¿n cấp 2 liên tÿc trên [a,b]

ii) Ā(ý) = ĀĀ(ý)là 1 đa thức bÁc 3 trên [ýĀ , ýĀ+1], k=0,1, ,n-1

Spline t nhiên là spline vự ãi điÁu kiện: g ”(a) = g”(b) = 0

GiÁi thuÁt xác đßnh spline t nhiên: ự

ĐiÁu kiện g”(a)=g”(b) = 0 suy ra āĄ = ā = 0ă

B1 Tính ℎĀ= ýĀ+12 ý ,�㕘 = 0,1, & , Ā 2 1; ÿ = þĀ Ā Ā ,�㕘 = 0,& , Ā B2 Gi i h Ac = b tìm Á ệ ā = (āĄ ,ā1 ,& , āă )�㕇

24

Ăý

Ăā = ÿý 2 ĀýþĂþ

where , are the number of preys and predators, respectively, x y a = the prey growth rate, c = the predator death rate, and b d = the rates characterizing the effect of the predator prey interactions on the prey death and the predator growth, respectively is t

time measured in month

a) Given the following data ÿ = 1.2, Ā = 0.6, ā = 0.8, Ă = 0.3 with initial

conditions of ý = 2 and I þ = 1 Find the number of prey and predators after 10 months with modified Euler’s method with step size ℎ = 0.625

b) With the found data, construct the natural cubic spline for and Plot in x y

one figure the graphs of ý(ā), þ(ā)

a) Cho ÿ = 1.2, Ā = 0.6, ā = 0.8, Ă = 0.3 ãi điÁ v u kiện ban đầu là ý = 2 và

þ = 1 Tìm s ng c a loài b á l°ợ ā ß săn và loài đi săn sau 10 tháng bằng ph°¢ng pháp Euler cÁi ti n v¿ ãi b°ãc chia ℎ = 0.625

b) V i các d liã ữ ệu tìm đ°ợc, xây dựng spline b c ba t nhiên cho và V Á ự x y ẽ đãthß cāa ý(ā), þ(ā) trong cùng m t h tá ệ áa đá

3.2.2 K t qu ¿ Á

a) Ta c : ó ā = 0;ýĄ Ą= 2; þĄ= 1; ℎ = 0.625; ÿ = 1.2; Ā = 0.6;ā = 0.8;Ă =0.3;

Ā =10ℎ =0.625 = 1610Ăý

ý3(ā) = 5.6371+ 1.1811(ā 2 1.8750)2 2.4090(ā 2 1.8750)2

2 0.96(ā 2 1.8750)3ā�㔖[1.8750; 2.5000]

ý7(ā) = 1.02302 0.302(ā 2 4.3750 )+ 0.4861(ā 2 4.3750)2

2 0.1275(ā 2 4.3750)3

29

ā�㔖[4.3750; 5.0000]

ý8(ā) = 0.9930+ 0.1562(ā 2 5.0000)+ 0.2471(ā 2 5.0000)2

+ 0.0337(ā 2 5.0000)3ā�㔖[5.0000; 5.6250]

ý11(ā) = 2.4404+ 1.6214 ā 2 6.8750( )+ 1.6214(ā 2 6.8750)2

2 0.0632(ā 2 6.8750)3ā�㔖[6.8750; 7.5000]

ý12(ā) = 3.6852+ 2.3374 ā 2 7.5000( )+ 0.5135(ā 2 7.5000)2

2 0.3181(ā 2 7.5000)3ā�㔖[7.5000; 8.1250]

ý13(ā) = 5.2690+ 2.5730 ā 2 8.1250( ) 2 0.0830(ā 2 8.1250)2

2 3.1653(ā 2 8.1250)3ā�㔖[8.1250; 8.7500]

ý14(ā) = 6.07192 1.3746 ā 2 8.1250( )2 6.0179(ā 2 8.1250)2

+ 4.2217(ā 2 8.1250)3ā�㔖[8.7500; 9.3750]

ý15(ā) = 3.89272 3.9832 ā 2 9.3750( )+ 1.8978(ā 2 9.3750)2

2 1.0122(ā 2 9.3750)3ā�㔖[9.3750 10; 0000]

31

10.0000 0.1941 11.0000 0.1941 12.0000 0.3719 13.0000 0.6699 14.0000 2.2098 15.0000 -4.4498 16.0000 0.0000

þ3(ā) = 1.6976+ 1.6496 ā 2 1.8750( )

+ 1.5027(ā 2 1.8750)23 1.0274(ā 2 1.8750)3ā�㔖[1.8750; 2.5000]

þ7(ā) = 2.4265 1536 ā 2 4.37503 1 ( )+ 0.0851(ā 2 4.3750)2

+ 0.1207(ā 2 4.3750)3ā�㔖[4.3750; 5.0000]

þ8(ā) = 1.7682 9058 ā 2 5.00003 0 ( )

+ 0.3115(ā 2 5.0000)23 0.0555(ā 2 5.0000)3ā�㔖[5.0000; 5.6250]

þ11(ā) = 0.8954 0878 ā 2 6.87503 0 ( )+ 0.1941(ā 2 6.8750)2

+ 0.0948(ā 2 6.8750)3ā�㔖[6.8750; 7.5000]

þ12(ā) = 0.9395+ 0.2660 ā 2 7.5000( )+ 0.3719(ā 2 7.5000)2

+ 0.1589(ā 2 7.5000)3ā�㔖[7.5000; 8.1250]

þ13(ā) = 1.2898+ 0.9170 ā 2 8.1250( ) + 0.6699(ā 2 8.1250)2

+ 0.8213(ā 2 8.1250)3ā�㔖[8.1250; 8.7500]

33

þ14(ā) = 2.3251+ 2.7169 ā 2 8.7500( )

+ 2.2098(ā 2 8.7500)23 3.5518(ā 2 8.7500)3ā�㔖[8.7500; 9.3750]

þ15(ā) = 4.0192+ 1.3168 ā 2 9.3750( )34.4498(ā 2 9.3750)2

+ 2.3732(ā 2 9.3750)3ā�㔖[9.3750 10; 0000]

Từ các hàm x v y tà ìm đ°ợc ta vẽ đã ß x(t) (đ°ß th ng màu đß à y(t) (đ°ß) v ng m u àxanh)

3.3 K t lu n ¿ ậ

Việc sử ÿng ph°¢ng pháp Euler cÁ ¿n giúp ta tính đ°ợc xấ d i ti p x các n c n ỉ ẩ ầtìm c a ā chúng 1 cách chính xác h¢n Hàm Euler cÁ ¿i ti n sẽ càng sai sá ¿ n u có quá ít giá trß đß ta s d ng ử ÿ

Dựa vào các sá ệ li u có s n ta có th s d ng hàm spline t ẵ ß ử ÿ ự nhiên đß ẽ ra đã ß v th đ°ßng đi vãi các sá liệu đang có mát cách chính xác h¢n so vãi vẽ đ°ßng thẳng nái các đißm Cÿ th hóa nó bß ằng các ph°¢ng trình nái các đißm Càng nhiÁu s liá ệu vi c ệ

vẽ hình s ẽ càng chính xác h¢n