Tìm hiểu về tọa Độ cực, polar system, trong phần 9 4, 9 5, soo t tan single variable – calculus early transcendentals y

Câu 2: Mỗi liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes Toạ độ cực và toạ độ Descartes được dùng để xác định vị trí của một điểm trong không gian.. Toa độ cực được sử dụng trong hệ tọa độ

Thành phố Hỗ Chí Minh, ngày 19 tháng 12 năm 2023

1

Giáo viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

Danh sách nhóm 3:

Cau 1: Cách xác định I điểm trong tọa độ cực

Câu 2: Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes

Câu 3: Cách tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực Yêu cầu:

* Xây dựng lại công thức tính tích phân từ tông Riemann

* Vận dụng được công thức để tính diện tích miền phẳng.

Nhận xét của giáo viên hướng dẫn:

Mục lục:

Nội dung đề S2 12t ng T12112111111112111111212111111121 12112121111 Nội dung bài báo cáo HH HH KH KH KH KĐT 5 Phan chung: Vé lai hinh mau

Phan riéng:

Caw bane ene cee nh nhe nhe KH He ke ky kh kh kg TH ng tr erred 9 eet eer eet tte terres tee tintin reese ees ce 8 8) Tổng kết 2 0202 n2 n2 nh nh nh TT ĐH Đế ĐH nh TH nà nà nà nà nà nà nàn nà Tài liệu tham khảo 2 cọ cọ nnn nHn nh» nh nh kh nàn HH» He KH ke kh kh ki kh

PHAN CHUNG: VE LAI HINH MAU

Tự vẽ lại hình bên đưới bằng bất kỳ phần mềm nào đã biết

Giải:

Hình được vẽ bằng ứng dụng Geogebra với hàm số:

f=Surface((k+a sin(v)) sin(u),(k+a sin(v)) cos(u),ut+a cos(v),u,0,6 2,v,0,2 2)

Câu 1: Các xác định I điểm trong tọa độ cực

Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều, trong đó một điểm M bắt kỳ được biểu diễn bằng trục

Ox va góc quay theta (6)

Hệ tọa độ cực gồm:

e Trục cực: tia Ox

e Gốc cực: Điểm Q

Tọa độ cực của điểm M(r, @)

với r : bán kính cực và 6 : góc giữa r va truc cwc Ox

« + >0, ta chọn điểm M sao cho OM=r sau đó quay cạnh OM I góc 6

®© << 0,†a xác định điểm M'(, 8) sau đó lấy đối xứng M(-r, 8) voi M’ qua O

« Ø >0 :quét theo chiều ngược kim đồng hỗ

« Ø > 0:quét theo chiều kim đồng hồ

D(-3, - =)

Luu ¥: =0 , 0 tiy ý thì điểm đó vẫn nằm ở gốc tọa độ O

Ví dụ 2: Chuyên tọa độ cực Ce) thanh diém

X =T cos 8 =2 cos 2 = V2

y=r sin 0 = 2 sin? = V2

Tọa độ (V2,V2) là tọa độ hình vuông

Ứng dụng tọa độ cực

Ta độ cực hai chiều đóng một vai trò quan trọng trong việc điều hướng trên biển hoặc trên không, góp phân không nhỏ trong sự phát triền của xã hội

Câu 2: Mỗi liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes

Toạ độ cực và toạ độ Descartes được dùng để xác định vị trí của một điểm trong không gian Toa độ cực được sử dụng trong hệ tọa độ cực, các điểm được xác định bằng bán kính (r) và góc (8) mà vector từ gốc tọa độ đến điểm đó tạo với trục x đương trong một mặt phăng

Tọa độ Descartes được sử dụng trong hệ tọa độ Descartes, các điểm được xác định bằng cách chi ra khoảng cách từ điểm đó đến hai trục x và y

Mới quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Descartes có thê được thẻ hiện thông qua các phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ này

4

10

Điểm được biếu diễn bằng toạ độ cực có thể được chuyền sang toa dé Descartes bang các công

thức dưới đây:

x=rcos0 y=rsin9

Ngược lại, điểm được biêu diễn bang toa dé Descartes cé thé duoc chuyén sang toạ độ cực bằng

các công thức sau:

r=vx2+y?

0 = arctan( = )

Mới quan hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Decartes cho phép chuyên đôi giữa hai hệ tọa độ và tìm kiếm mái liên hệ giữa chúng thông qua các phép biến đôi và biểu diễn của cùng một điểm

Ví dụ: Điểm P có tọa độ Descartes là (6, 8)

Điều này có nghĩa là điểm P cách gốc tọa độ O một khoảng 6 đơn vị theo chiều dương của trục

x và một khoảng 8 đơn vị theo chiều đương của trục y

Câu 3:

1 Các khái niệm về tích phân:

Bài toán tính diện tích miễn phẳng:

ya

Giả sử cho miền phăng có điện tích S như trên được giới hạn bởi y=f(x), y=0,x=a,x=b va yéu

cầu tính diện tích S

> Tổng Reiman trong tính diện tích miền phẳng:

-_ Khi đó để tính được diện tích S của miên phẳng trên nhà toán học người Đức, Bernhard Riemann (1828-1866), đã đề suất việc phân hoạch miền trên thành vô só miền nhỏ hơn khi thức hiện việc chia đoạn [a,b] thành vô số khoảng con Ax, từ đó diện tích S sẽ được xấp xi bằng tông diện tích của vô số hình chữ nhật với chiều rộng là Ax ([x; — +;_¡ ]) và chiều dài tương ứng lš @#rong

đó +? là một điểm mẫu trên mỗi đoạn [x;-1, x;] tương ứng) Và để cho phép tính thêm phản chính xác khi đây là một phép tính xấp xi tông diện tích của các hình chữ nhật trên sẽ được đưa vào

bài toán tính giới hạn, khi đó:

S=limÐ" ƒGj) ax = }/œ)dx

(miên S càng được chia nhỏ thành càng nhiều hình chữ nhật thì kết quả càng thêm phân chính xác)

12

-_ Tuy nhiên với cách làm như vậy sẽ thường xuyên xảy ra sai số khi ta chiều đài tương ứng của

các hình chữ nhật là cạnh trái hay cạnh phải, từ đó cho ra kết quá tương ứng là Tông Reiman trái

và Tông Reiman phải, trong đó giá trị thực của S sẽ luôn nằm giữa hai giá trị này và gần nhất với giá trị của Tông Reiman trung tâm khi ta lấy chiêu dài của các hình chữ nhật là các đường nằm trên trục đối xứng của chúng

> Téng Reimann trong tính diện tích trong tọa độ cực:

-_ Tính diện tích trong miền phăng hoặc trong tọa độ cực nhìn có vẻ khác nhau thế nhưng chúng lại

có một điểm chung là đều phan chia phan diện tích cân

tính ra những mánh nhỏ hơn Sau đó tính tổng những

phần diện tích nhỏ, ta được tông Reimamn Từ đó, ta ir Kp)

giới hạn của tông Reimamn để được tích phân xác định T

Điểm khác biệt lớn nhất giữa tông Reimann trong tọa độ sector

cực và miện phăng chính là hình dạng các mảnh chúng ~

ta chia nhỏ, trong tọa độ cực, những mảnh nhỏ diện tích circle angle = 27m

Bang các phép tính tỉ lệ ta sẽ có được công thức :

Điện tích của 1 phần góc (S oƒ sector angle) _ 0

Diện tích của cả hình tròn (S hình tron)

Giá sử ta cần tính diện tích của phần tơ đậm màu vàng như hình bên đưới trong hệ tọa độ cực Ta sẽ phải phân chia miền ø thành n gĩc nhỏ hơn À Khi đĩ điện tích tơng của phân

MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN SỬ DỤNG TRONG MATLAB:

Sử dụng các hệ số của một của một đa thức

dé tinh toán ra nghiệm Hàm này trả về các

gia tri cua bién déc lap ma khi dat vao da

Str dung dé lap lại một khối mã nhiều lần

Được sử dụng để tạo và điền màu vào các hình da giác hoặc vùng được xác định bởi

các điểm trong không gian 2D và 3D

Sử dụng để hiện thị thông tin hoặc giá trị

của biên lên màn hình

Hàm tạo tên cho đồ thị

Ví dụ tính diện tích bằng cách Reimann trong miền phẳng:

Vi du 1: Tinh diện tích giới hạn bởi đường cong y = 5x2 — 9 với trục hoảnh, a < x < b (với

a,b là nghiệm của y=0), bằng tổng Reimamn trái khi đùng 20 hình chữ nhật dé xấp xỉ diện tích

x_rect = [a + (¡ - 1) Ýh, a+iYh,a+i*Yh, a+ (i- 1) Yh];

y rect = [Ø, 0, f(a+ (i - 1) *h), f(a + (¡ - 1) *h)];

fi1l(x rect, y rect, [0.5 0.5 9.5], ‘EdgeColor’, [0.5 0.5 0.5], 'FaceAlpha', 0.5);

Diện tích giữa [-1.3416, 1.3416] sử dụng Riemann trái: -16.0594

-2.5 -2 -1.5 +1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

So sánh với phương pháp sử dụng tích phân:

Phương trình hoành độ giao điểm của y và trục hoành là:

5x2 -9 = 0=>x = 458

3v5

S= ƒjj„Œx? — 9)dx = —16 09969

—5_

Vậy dựa vào kết quả trên khi tính điện tích S bằng tổng Reimamn trai thi ta thay két quả xấp xỉ

gần đúng khi tính diện tích S bằng phương pháp tích phân đã được nêu ở trên

17

tong Reimann trung tâm với 10 đoạn phân hoạch trên mỗi khoảng nghiệm

% Vẽ đa giác nén cho khoang [a, b]

#ill([a, x midpoints ab, b], [@, y_midpoints_ab, 0], [0.5 @.5 0.5], 'EdgeColon', ‘none’, ‘FaceAlpha’, 6.3);

% Vẽ đa giếc nền cho khoảng [b, c]

fiII({b, x midpoints_bc, c], [Ø, y midpoints_bc, 0], [Ø.5 0.5 0.5], 'EdgeColon', 'none', 'FaceAlpha', 0.3);

% Vẽ các hình chữ nhật biểu thị đoạn phân hoạch

for i = 1:n_subintervals

x_rect_ab = [a + (i - 1) * hab, a + i * hab, a+ i * hab, a + (i - 1) * hab];

y_rect_ab = [@, @, #(x_midpoints_ab({i)), f(x midpoints_ab(1))];

fill(x_rect_ab, y_rect_ab, [0.5 @.5 @.5], ‘EdgeColor’, [@.5 @.5 @.5], ‘FaceAlpha’, 0.5);

x_rect_be = [b + (i - 1) * h_bc, b+ i * hbe, b+ i * h_bc, b+ (i - 1) * bbe];

y_rect_bc - [0, 0, f(x midpoints_bc(1)), f(x midpoints_bc(1))];

fill(x_rect_be, y_rect_bc, [@.5 @.5 9.5], 'EdgeColor', [Ø@.5 0.5 0.5], 'FaceAlpha', 0.5);

end

disp(['Diện tích (Riemann) giữa [a, b]: ', num2str(area ab)]);

disp(['Diện tích (Riemann) giữa [b, c]: ', num2str(area_bc)]);

disp(['Tổng diện tích: ', num2str(total_area) ]);

Dién tich (Riemann) gitta [a, b]: 5.344

Diện tích (Riemann) giữa [b, c]: -21.2436

So sánh với phương pháp sử dụng tích phân:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong y và trục hoành:

x3— 6x? + 5x +3 =0=>x = 48385 vx = 1.5592 vx = —0.3977

S=[ pj 3q77 (x2 — 6x? + Sx +3) dx + fio (x3 — 6x? + 5x + 3)dx =-15.8205

Vậy dựa vào kết quả trên khi tinh diện tích S bằng tông Reimamn trung tâm thì ta thấy kết qua

xap xi gan dung khi tính diện tích Š băng phương pháp tích phân đã được nêu ở trên

20

Vi dụ tính diện tích bằng công thức đã chứng mỉnh được trong tọa độ cực:

Ví dụ I: Tính diện tích giới hạn bởi đường cong r =3 + 2cos(Ø) và trục hoành, lẫy phần diện tích trên trục hoành

% Xác định giới hạn của theta

a = 0; % Giới hạn dưới của theta

b = pi; % Giới hạn trên của theta

% Tính diện tích bằng công thức tích phân

Syựms theta sym; % Khai bảo biến ký hiệu theta

area_sym = 0.5 * int(r(theta sym)^2, theta_sym, a, b); % Tính diện tích bằng công thức tích phân

% Chuyến đối kết quả từ biếu thức ký hiệu sang số

area = double(area_sym);

% In kết quả

fprintf('Diện tích giới hạn bởi đường cong r = 3 + 2*cos(theta) và trục hoành là: %.2f\n', area);

% Vẽ đồ thị của đường cong

theta = linspace(8, 2*pi, 1898); % Tạo một mang theta tir @ đến pi với 1088 điểm

r_values = r(theta); Tính giá trị của r(theta) tương ứng với mồi gid tri theta

polarplot(theta, r_values); % Vẽ đồ thị polar của đường cong

title( "Đường cong œ = 3 + 2?cos(theta)'); % Đặt tiêu đề cho đồ thị

Diện tích giếi hạn bởi đường cong r = 3 + 2*cos(theta) và trục hoành 1

Biện luận: Áp dụng công thức với r =3 + 2cos(Ø) ta được:

=i 17,28

= an “% ,

2

Ví dụ 2: Tính diện tích giới hạn bởi Í đường tròn có bán kính là 2 và 1 duong cong r=l+sin Ø

% Tỉnh điện tích giữa đường tron và đường cong

S = 0.5 * integral(@(theta) R_circle*2 - n(theta).^2, ô, 2*pi);

fprintf('Diện tích giữa đường trồn và đường cong: %.2f\n', S);

Biện luận kết quả:

Hình tròn có bán kính bằng r=2 và đường cong dạng r =Í+sin Ø

Tổng kết

Qua bài tập lớn này, nhóm chúng em xin rút ra được những két luận sau:

Nhóm em hiểu thêm được vẻ mối quan hệ giữa hệ tọa độ cực và tọa đệ Decartes trong toán học Nhóm em đã hiểu được cách tính diện tích của một đường cong bát kì, có thẻ áp dụng phương

pháp tông Reimamn đẻ tính toán diện tích ở những hình phức tạp hơn ở trong tọa độ cực

Nhóm em đã áp dụng được matlab đẻ giải một số bài toán đơn giản về tích phân, cũng như biết

cách sứ dụng Geogebra đề vẽ các điểm, hình học trong tọa đệ Decartes và tọa độ cực Nhóm đã thực sự được rèn luyện khả năng làm việc nhóm trong môi trường giảng đường đại học

khó khăn của nhóm:

Do khả năng của nhóm em còn hạn chế về các kiến thức vẽ các hình ảnh 3D cũng như việc sử

dụng các công cụ vẽ hình học trong không gian nên ở Phần chung nhóm em vẫn chưa hoàn

thành được yêu cầu đẻ bài đưa ra là vẽ lại hình theo mẫu hoàn chỉnh Nhóm chỉ tham khảo được hàm số của hình đó từ nguồn Internet đề có thẻ vẽ ra được 1 hình có hình dạng như vậy thế nhưng lại bị ngược chiều

25

Lời cảm ơn

- Trong qua trình thực hiện, nhóm chúng em đã luôn cố hết mình, hỗ trợ lẫn nhau, phân công

nhiệm vụ rõ ràng cho từng thành viên nhằm tạo nên sự hiệu quả, tối ưu năng suất để làm được

bài đúng thời hạn được giao Và qua bài báo cáo này, nhóm em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Ngọc Quỳnh Như, giảng viên đã tận tâm dạy bảo tụi em trong học kỳ 231 vừa qua và cũng là người hướng dẫn đề tài này Nhờ có sự hướng dẫn tận tình của cô mà chúng

em đã hoàn thành được đúng tiễn độ bài báo cáo và giải quyết tốt được các vấn đề gặp phải trong quá trình thực hiện

-_ Cuối cùng em xin một lần nữa gửi lời biết ơn chân thành đến các thành viên trong nhóm bai tập lớn, giảng viên hướng dẫn đã dành thời gian quý báu để chỉ dẫn cho nhóm Chính sự hỗ trợ này đã tạo nên nguồn động lực to lớn giúp nhóm em đạt được kết quả này

26

Tài liệu tham lchảo:

Polar System, trong phan 9.4, 9.5, Soo T.Tan Single variable — Calculus early transcendentals

Giáo trình Giải tích 1 - Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Nguyễn Bá Thi, Trần

Ngọc Diễm, Ngô Thu Lương, Đặng Văn Vĩnh, Nguyễn Hữu Hiệp, Hoàng Hải Hà, Phùng Trọng Thực, Đậu Thế Phiệt, Nguyễn Thị Xuân Anh

Angles in degrees and radians (n.d.) Retrieved from

27