Báo cáo bài tập lớn Đề tài tìm hiểu về tọa Độ cực

- Được sự phân công của giảng viên bộ môn, cùng với những kiến thức tích lũy được trong quá trình học tập, chúng em xin trình bày bài báo cáo bài tập lớn với đề tài được giao.. Cách chuy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

*****

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

Môn: Giải Tích 1

Đề tài: Tìm hiểu về tọa độ cực

GVHD: Ths Trần Ngọc Diễm

Nhóm 21 – Lớp L03

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

NHÓM 21-L03

Lời cảm ơn

- Lời đầu tiên, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG TP.HCM đã đưa môn Giải Tích 1 vào chương trình giảng dạy Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên bộ môn là cô Trần Ngọc Diễm đã giảng dạy, truyền đạt cho chúng em những kiến thức quý báu trong những ngày qua Trong suốt thời gian tham gia lớp học của cô, chúng em tự thấy bản thân mình tư duy hơn, học tập càng thêm nghiêm túc và hiệu quả Đây chắc chắn là những tri thức quý báu,

là hành trang cần thiết cho chúng em sau này

- Được sự phân công của giảng viên bộ môn, cùng với những kiến thức tích lũy được trong quá trình học tập, chúng em xin trình bày bài báo cáo bài tập lớn với đề tài được giao Qua việc thực hiện bài báo cáo này, nhóm chúng em đã biết thêm rất nhiều kiến thức mới

lạ và bổ ích Do vốn kiến thức của chúng em vẫn còn hạn chế nên mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót Kính mong cô xem xét, góp ý để bài báo cáo của chúng

em được hoàn thiện hơn

Nhóm 21

Mục lục

Lời cảm ơn 3

I Cách xác định điểm trong tọa độ cực 6

1 Giới thiệu về tọa độ cực 6

2 Cách xác định điểm 6

II Mối liên hệ giữa hệ tọa độ cực và hệ tọa độ Descartes 7

1 Mối liên hệ giữa hệ tọa độ cực và hệ tọa độ Descartes 8

2 Cách chuyển đổi giữa tọa đô cực và tọa độ Descartes: 8

III Cách tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực 9

1 Xây dụng lại công thức tính tích phân từ tổng Riemann 9

I Cách xác định điểm trong tọa độ cực

1 Giới thiệu về tọa độ cực

- Hệ tọa độ cực trong mặt phẳng gồm:

 Trục cực: tia Ox;

 Gốc cực: điểm O

2 Cách xác định điểm

- Điểm M trong hệ tọa độ cực xác định bởi 2 yếu tố:

 Khoảng cách: OM = r

 Góc : quét từ tia Ox đến tia OM.Ꝋ

 Nếu quét theo chiều ngược kim đồng hồ: > 0.Ꝋ

 Nếu quét theo chiều kim đồng hồ: < 0.Ꝋ

- Ta gọi M(r|θ ) là tọa độ cực của điểm M

VD1: Biểu diễn các điểm sau trong cùng một hệ tọa độ cực: M (2; 0), 1

M 2 (2; π2), M (3; - 3 π), M (1; - 4 π

2), M (3; 5 π

4), M (0; 6 π

3) VD2: Biểu diễn các điểm sau trong cùng một hệ tọa độ cực: Av(3: π4),

B (-3; 54π), C (3; 94π), D (0; π), E (-2; π2)

II Mối liên hệ giữa hệ tọa độ cực và hệ tọa độ Descartes

- Để có thể tìm được mối liên hệ giữa hệ tọa độ cực và hệ tọa độ Descartes thì cùng ôn lại tính chất của hai hệ tọa độ này:

a) Hệ tọa độ Descartes gồm :

- Trục tọa độ: trục hoành (Ox), trục tung (Oy);

- Gốc tọa độ: điểm O(0;0);

- Xác định tọa độ của một điểm, một vecto,… dựa vào hai đại lượng: hoành độ x và tung độ y;

- Có thể mở rộng ra mặt phẳng không gian ba chiều với ba trục tọa độ

Ox, Oy, Oz cùng các vecto đơn vị i; j; kbằng nhau

b) Hệ tọa độ trục gồm :

- Trục cực: tia Ox;

- Gốc cực: điểm O(0;0)

- Xác định tọa độ của một điểm thông qua khoảng cách từ điểm đó tới một gốc gọi là bán kính và góc từ hướng gốc cho trước gọi là góc phương vị

- Có thể mở rộng sang không gian ba chiều qua các hệ tọa độ trụ và cầu

1 Mối liên hệ giữa hệ tọa độ cực và hệ tọa độ Descartes

- Đều có chung gốc tọa độ O(0;0);

- Đều trên mặt phẳng hai chiều;

- Có thể mở rộng ra mặt phẳng không gian ba chiều;

- Có thể chuyển đổi qua lại giữa hai hệ tọa độ này thông qua một vài phép toán quen thuộc

2 Cách chuyển đổi giữa tọa đô cực và tọa độ Descartes:

- Các tọa độ cực r và φ có thể được chuyển đổi sang tọa độ Descartes x

và y thông qua các hàm lượng giác sin và cosin:

x =r cos φ , y=r sin φ

- Ngược lại, các tọa độ Descartes x và ycó thể được chuyển đổi sang tọa

III Cách tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực

1 Xây dụng lại công thức tính tích phân từ tổng Riemann.

- Như ta đa biết, Tổng được tính toán bằng sự phân chia các vùng thành các dạng hình (hình chữ nhật, hình thang, parabol, hoặc hình hàm bậc ba) mà cùng nhau tạo thành những vùng giống với những vùng đã có được công thức tính toán, sau đó tính diện tích của mỗi vùng này, và cuối cùng cộng tất cả diện tích của những vùng nhỏ này với nhau

- Để tính diện tích một hình giới hạn bởi phương trình cực, ta cần sử dụng công thức tính diện tích của một cung tròn:

A=1

2r2

θ

- Từ đó ta tính giởi hạn của đường cong r =f (θ) trong hình giới hạn bởi đường θ =a vàθ =b với hàm fdương liên tục mà 0< b−a≤ 2 π

- Ta chia đoạn thành từng đoạn nhỏ từ đến có giá trị Tại từng đường θ =θ i ta lại chia đường cong thành n đoạn nhỏ với góc chính giữa ∆ θ =θ θ i− i−1 Vậy nếu ta chọn góc θ i¿ tại đoạn thứ i trong khoảng [θ i−1,θ i], thì diện tích ∆ A i của của cung thứ i được xác định xấp xỉ bởi góc ∆ θ và bán kính r =f (θ i

¿ )

∆ A i ≈1

2[ f (θ i¿

)] 2

∆ θ

- Vậy diện tích Acủa cả đường cong được xác định bằng phương trình

A ≈∑

i=1

n

1

2[ f (θ i

¿ )] 2

∆ θ

- Diện tích này càng chính xác khi n → ∞ Mà tổng này chính là tổng Riemann của phương trình g (θ )=1

2[f (θ)]2

, từ đó

lim

n → ∞∑

i=1

n

1

2[ f (θ¿i

)] 2

∆ θ=∫

a

b

1

2[f (θ)]2

dθ

- Ta có công thức tính tích phân để tính diện tích hình A trong hệ tọa độ cực là