Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Nghiên cứu ổn định dầm xốp vi mô trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyết độ dốc biến dạng hiệu chỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGÀNH KỸ THUẬT XÂY DỰNG BÙI VĂN TÀI NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH DẦM XỐP VI MÔ TRÊN NỀN ĐÀN HỒI SỬ DỤNG LÝ THUYẾT ĐỘ DỐC

TỔ NG QUAN

Đặ t v ấn đề

Vật liệu xốp kim loại có nhiều ưu điểm như trọng lượng nhẹ, độ bền, độ cứng cao và khả năng hấp thụnăng lượng tốt Chúng được sử dụng phổ biến trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật như ô tô, hàng không vũ trụ, xây dựng, cơ khí và y sinh (Hình 1-1, Hình 1-2) Các vật liệu xốp kim loại có thể giảm trọng lượng, tăng hiệu quả sử dụng, cải thiện tính năng an toàn và bảo vệmôi trường [1] Với sự phát triển của công nghệ sản xuất vật liệu, các lỗ rỗng trong vật liệu có thểđiều chỉnh độ lớn và mật độ phân bốđể đáp ứng các yêu cầu chịu lực cụ thể Các lỗ rỗng này ảnh hưởng đến các tính chất cơ học và ứng xử của vật liệu như khảnăng chịu lực, chống rung, duy trì hình dạng và dao động [2] Do đó, nghiên cứu về kết cấu vật liệu xốp là một vấn đề quan trọng trong tính toán thiết kế kết cấu vật liệu Trong các hệ kết cấu, dầm là cấu kiện được sử dụng phổ biến và thu hút nhiều sự quan tâm của nhiều nhà khoa học Hiện nay, các loại dầm có kích thước vi mô (Hình 1-3, Hình 1-4, Hình 1-5, Hình 1-6) cũng được sử dụng nhiều trong lĩnh vực cơ điện tử, công nghệ thông tin, vật liệu y học Vì thế nghiên cứu và phát triển dầm xốp vi mô là hướng nghiên cứu thú vị [3-5]

Hình 1-1: Ứng dụng của vật liệu xốp (Porous material) nano trong lĩnh vực y sinh [6]

Hình 1-2: Ứng dụng của vật liệu xốp ở các bộ phận bảo vệ trong lĩnh vực cơ khí [6]

Hình 1-3: Kim loại xốp hình bọt biển [www.sunric.com]

Hình 1-4: Vật liệu được chế tạo từ Aluminum foam [www.researchgate.net]

Hình 1-5: Vật liệu (AlSi7 foam) được chế tạo với kích thước micro

Hình 1-6: Bảng xốp nhôm tế bào kín [https://porter36.en.made-in-china.com]

FGP (Functionally graded porous) là một loại vật liệu xốp hay vật liệu rỗng, đặc trưng cho cấu trúc lỗ rỗng và thành phần hóa học theo các phân lớp của vật liệu Với khảnăng này FGP này giúp tăng cường khảnăng chịu lực, hấp thụ năng lượng cao, khả năng cách âm, cách nhiệt, ổn định, biến dạng và giảm trọng lượng của vật liệu

[7] Trong đề án này, tác giả sử dụng phương pháp Ritz kết hợp lý thuyết dầm bậc cao để giải quyết bài toán: “Nghiên cứu ổn định dầm xốp vi mô trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyết độ dốc biến dạng hiệu chỉnh’ Đối tượng nghiên cứu của đề án này là dầm xốp có kích thước nano/micro xét đến ảnh hưởng của hiệu ứng nền đàn hồi Nghiên cứu này sử dụng lý thuyết MSGT (modified stress gradient theory) để phân tích ổn định của dầm xốp Đề án cũng so sánh kết quả của phương pháp Ritz với các phương pháp khác trong các nghiên cứu trước đây đểđánh giá tính chính xác và hiệu quả của lời giải Ritz cùng với lý thuyết dầm bậc cao Đồng thời đưa ra những kết luận quan trọng về ảnh hưởng của hiệu ứng nền đàn hồi và lý thuyết MSGT cho vật liệu có kích thước nano/micro đến ứng xửcơ học của dầm xốp vi mô.

Tình hình nghiên c ứu trong và ngoài nướ c

Một số nhà nghiên cứu trong và ngoài nước đã nghiên cứu về dầm xốp có liên quan đến đề án này được liệt kê sau đây:

1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Hiện nay, một số lý thuyết được sử dụng dùng để phân tích dầm xốp vi mô có thể được chia thành ba nhóm như sau: lý thuyết dầm cổ điển (CBT), lý thuyết dầm bậc nhất (FBT), lý thuyết dầm bậc cao (HBT) Mahmoud Askari và cộng sự [8] nghiên cứu ứng xử uốn của dầm xốp (FGP) với lý thuyết cổđiển (CBT) Robinns và Reddy [9] đã sử dụng lý thuyết (CBT) để phân tích chuyển vị của dầm piezoelectric

Với lý thuyết cổđiển (CBT) bỏ qua biến dạng cắt, do đó lý thuyết này không phù hợp với các dầm có kích thước mỏng Để xem xét ảnh hưởng của dầm có kích thước vừa và cao, lý thuyết dầm bậc nhất (FBT) được đề xuất Van Vinh Pham và cộng sự [10] đã phân tíchứng xử của dầm xốp (FGM) bằng lý thuyết (FBT) Trung Kien Nguyen và cộng sự [11] phát triển lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc nhất (FOBT) và nghiên

14 cứu dao động trên dầm (FG) Nghiên cứu ổn định và dao động tự do của dầm (FGP) dựa trên lý thuyết dầm (FBT) đã được Bekhadda và cộng sự [12] phân tích Chen và cộng sự [13-16] đã sử dụng (FBT) để phân tích ứng xử uốn, ổn định và dao động của dầm (FGP) Tuy nhiên, lý thuyết dầm bậc nhất (FBT) yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt trong đó khó xác định được giá trị chính xác Để khắc phục nhược điểm này, lý thuyết dầm bậc cao (HBT) đã được phát triển Priyanka và cộng sự [17] nghiên cứu tính ổn định và ứng xửđộng của dầm (FGP) gia cường bằng sợi graphene Jankowski và cộng sự [18] phân tích lực ổn định tới hạn và dao động của dầm xốp có kích thước nhỏở phạm vi nanomet Bridjesh và cộng sự [19] đã nghiên cứu sựổn định của dầm có lỗ rỗng phân bố hai chiều sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

CCT (classical continuum theory) [20-22] là một lý thuyết cơ học liên tục cổ điển, lý thuyết này cho phép mô tảđược hầu hết các hiện tượng cơ học trong các cấu trúc có kích thước lớn Các đại lượng thường được xem xét như biến dạng, ứng suất, nhiệt độ, … MCST (modified couple stress theory) [23-25] là lý thuyết cơ học liên tục cấp cao được phát triển dựa trên lý thuyết cơ học liên tục cổđiển (CCT) Lý thuyết (MCST) được nâng cao hơn trong mô phỏng hóa hiệu ứng kích thước với khảnăng dự đoán chính xác các hiện tượng như uốn và xoắn Tuy nhiên, lý thuyết MCST không thể mô tảđược hiệu ứng độ dốc biến dạng, mà chỉ có thể mô tảđược hiệu ứng góc xoay Điều này có nghĩa là lý thuyết MCST không thể phân biệt được giữa các cấu trúc có cùng kích thước nhưng có độ dốc biến dạng khác nhau Khắc phục được các nhược điểm này, lý thuyết MSGT (modified strain gradient theory) có thể mô tả chính xác hơn hiệu ứng kích thước trong các cấu trúc có độ dốc bậc cao, như các cấu trúc cong, xoắn,…Đặc biệt MSGT (có ba tham số chiều dài đặc trưng) có thể áp dụng trong các cấu trúc có độ dày nhỏhơn so với MCST (một tham số chiều dài đặc trưng) Nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng lý thuyết MSGT trong các nghiên cứu mới gần đây [26-28]

Việc kể đến hiệu ứng nền đàn hồi trong cấu trúc vật liệu là một chủ đề quan trọng và được nhiều nhà nghiên cứu trong lĩnh vực kỹ thuật chú ý Hiệu ứng này có ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng cơ học của kết cấu và do đó, nó được xem xét kỹ

15 lưỡng khi thiết kếcác công trình như cầu đường, đường bộ, đường sắt, vỉa hè và nền nhà Sự hiểu biết sâu sắc về hiệu ứng nền đàn hồi không chỉ giúp tối ưu hóa thiết kế mà còn góp phần vào việc tăng cường độ bền và tuổi thọ của các công trình kỹ thuật [29-32] Naidu và Rao [33] nghiên cứu sựổn định của các cột đồng nhất trên một lớp nền đàn hồi có hai tham số nền sử dụng (CBT) Fahsi và cộng sự [34] đã đánh giá ảnh hưởng của các tham số nền và biến dạng pháp tuyến qua ứng xửdao động, uốn và ổn định của các dầm xốp tựa đơnđược hỗ trợ bằng phương pháp HBT và Navier Atmane và cộng sự [35] đề xuất mô hình dầm trên nền đàn hồi để phân tích ổn định, dao động và uốn của dầm (FGM) Zhang và cộng sự [36] đã trình bày một phương pháp tính toán mới để phân tích dao động tự do của các dầm xốp được gia cường bằng sợi graphene (FG) nằm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động Pajand và Kamali [37] đã phân tích sự mất ổn định của dầm microbeam trước và sau khi được đặt trên nền đàn hồi Ngoài ra, các tấm xốp đặt trên nền đàn hồi cũng được một số nhà nghiên cứu tìm hiểu [38, 39]

Trong những năm gần đây, các hàm đa thức Chebyshev kết hợp với phương pháp Ritz được các nhà nghiên cứu phát triển rộng rãi trong phân tích ổn định và dao động cho các cấu trúc nano [40-42] , đặc biệt là những cấu trúc có tính chất vật liệu thay đổi (FGM) Guo và cộng sự [43] đã sử dụng phương pháp Chebyshev-Ritz để phân tích ổn định của dầm nanocomposite được gia cường bằng sợi graphene dưới tải trọng uốn Jena và cộng sự [44] xác định tải trọng uốn tới hạn của dầm nanobeams trong trường điện từtheo phương pháp Rayleigh-Ritz kết hợp đa thức Chebyshev A Ahmed và cộng sự [45] đã nghiên cứu về sự ổn định phi tuyến của dầm xốp ở cấu trúc nano thông qua phương pháp Chebyshev-Ritz

Một sốlượng lớn các phương pháp được phát triển để giải quyết các vấn đề về dầm xốp và có thểđược phân thành hai nhóm: phương pháp sốvà phương pháp giải tích Phương pháp sốngày càng được sử dụng phổ biến [46-49] Tuy nhiên, phương pháp giải tích đã thu hút được sự quan tâm của một sốlượng đáng kể các nhà nghiên cứu, trong đó phương pháp Ritz là tổng quát nhất vì có thể sử dụng cho các điều kiện biên tùy ý [14, 15] [50-55]

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Van Long Nguyen và cộng sự [56] đã phân tích kết dầm vật liệu xốp chịu nén dọc trục với các điều kiện biên khác nhau, sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko và quan hệ biến dạng căng phi tuyến Von-Karman

Thanh Binh Chu và cộng sự [57] phân tích động lực học dầm Timoshenko bằng vật liệu xốp (FGP) chịu tác dụng của tải trọng di động theo tiếp cận giải tích Quy Truong Huong và cộng sự [58] phân tích dao động riêng dầm sandwich (FGM) xốp với điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz

Thanh Binh Chu và cộng sự [59] đã nghiên cứu nghiệm giải tích của dầm Timoshenko (FGM) xốp chịu uốn có xét đến ảnh hưởng của các liên kết đàn hồi Van Ke Tran và cộng sự [60] đã phân tích dao động riêng của dầm nano cong (FG) trên nền đàn hồi với phương pháp Rayleigh-ritz

Van Vu Tham và cộng sự [61] phân tích tĩnh dầm cong (FGM) xốp đặt trên nền đàn hồi

Thi Ha Le [62] nghiên cứu dao động tự do của dầm xốp có cơ tính biến thiên hai chiều với các điều kiện biên khác nhau.

M ụ c tiêu và nhi ệ m v ụ nghiên c ứ u

Nghiên cứu vềđặc tính ổn định của dầm xốp vi mô là một lĩnh vực quan trọng, được ứng dụng trong nhiều ngành công nghiệp từhàng không vũ trụ, cơ khí, điện tử đến xây dựng Việc sử dụng kết hợp lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và lý thuyết MSGT giúp tăng độ chính xác khi phân tích các dầm có kích thước nano và micro Chebyshev-Ritz là phương pháp xấp xỉ hàm số, giúp đơn giản hóa quá trình giải các phương trình vi phân phức tạp Kết quả từ nghiên cứu này cung cấp thêm tài liệu và phương pháp mới cho dầm xốp vi mô Bên cạnh đó, đề án còn góp phần vào việc phát triển các mô hình toán học tiên tiến hơn trong tương lai.

Phương pháp nghiên cứ u

Sử dụng lý thuyết dầm xốp vi mô (FGP) biến dạng cắt bậc cao kết hợp với lý thuyết độ dốc biến dạng hiệu chỉnh (MSGT)

17 Áp dụng phương trình Lagrange

Mô hình nền Winkler Pasternak cho dầm xốp trên nền đàn hồi

Sử dụng lời giải tích với trường chuyển vịđược xấp xỉ dưới dạng đa thức bậc cao Ritz – Chebyshev

Tham khảo các tài liệu nghiên cứu về kết cấu dầm xốp vi mô Học viên sẽ sử dụng phần mềm matlab để giải quyết các bài toán liên quan đến ứng xử của kết cấu dầm xốp vi mô Đềtài này có ý nghĩa thực tiễn và khoa học cao.

Tính m ớ i c ủa đề tài

Theo các nghiên cứu mới gần đây, bài toán phân tích ứng xử của dầm được phân biệt theo các yếu tố sau:

- Đối tượng nghiên cứu (vật liệu): vật liệu đồng nhất, vật liệu composite, vật liệu có lỗ rỗng hoặc các vật liệu FGM

- Tải trọng tác dụng: tải trọng cơ học (tĩnh, động), tải trọng nhiệt, tải trọng điều hòa,…

- Lý thuyết áp dụng: lý thuyết cổđiển (Euler – Bernoulli) , lý thuyết biến dạng cắt bậc I (Timoshenko), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Reddy), lý thuyết Quasi - 3D…

- Tác dụng nền: nền đàn hồi nhớt, đàn hồi, đàn nhớt,

- Phương pháp: giải tích, phương pháp số, bán giải tích

Một số nội dung liên quan đến việc phân tích ứng xử của dầm được liệt kê, so sánh trong Bảng 1-1 như sau:

Bảng 1-1: So sánh sự khác biệt của đề án với các bài báo nghiên cứu liên quan gần đây

Tác giả Dầm Phân tích Tải trọng Nền Phương pháp Karamali và cộng sự

- Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

Chuyển vị, dao động tự

- Lý thuyết biến dạng độ dốc hiệu chỉnh (MSGT) do và ổn định

- Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

Chuyển vị, dao động tự do và ổn định

Tĩnh và động Đàn hồi Phương trình Lagrange và giải tích (Ritz- Legendre) Wang và cộng sự

- Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

- Lý thuyết biến dạng độ dốc hiệu chỉnh (MSGT)

Chuyển vị và dao động tự do

- Phương pháp giải tích (Navier) Đề án - Dầm FGP

- Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

- Lý thuyết biến dạng độ dốc hiệu chỉnh (MSGT) Ổn định Tĩnh Đàn hồi Phương trình Lagrange và giải tích (Ritz- Chebyshev) Đề án này trình bày một lý thuyết mới, lý thuyết độ dốc biến dạng hiệu chỉnh (MSGT) kết hợp với phương pháp Chebyshev-Ritz để nghiên cứu sự mất ổn định của dầm FGP trên nền đàn hồi Đối tượng nghiên cứu dầm FGP có độ xốp phân bố theo ba trường hợp: đều, đối xứng và bất đối xứng Phương pháp này sử dụng lý thuyết dầm bậc cao (HOBT) để mô hình hóa dầm một cách chính xác Phương trình vi phân của dầm được xây dựng dựa trên phương trìnhLagrange và được giải bằng các hàm dạng Chebyshev Các hàm này có thể thích ứng với nhiều điều kiện biên khác nhau

19 Đềtài cũng khảo sát ảnh hưởng của các yếu tố như sự phân bố lỗ rỗng, độ xốp, tỷ lệ chiều dài và cao, điều kiện biên và thông số nền đến tải trọng cực hạn không thứ nguyên của dầm

CƠ SỞ LÝ THUY Ế T

Gi ớ i thi ệ u mô hình d ầ m b ằ ng v ậ t li ệ u FGP

Trong nghiên cứu này, xét dầm bằng vật liệu FGP xốp (Hình 2-1) có chiều dài , chiều rộng , chiều cao trong hệ tọa độ x z 0 Vật liễu rỗng đặc trưng bởi quy luật phân bố trong không gian vật liệu, có ba dạng chính của quy luật phân bố: đều, đối xứng và bất đối xứng

Hình 2-1: Kích thước hình học của dầm xốp đặt trên nền đàn hồi

Hình 2-4: Phân bố bất đối xứng (P3) Các dạng phân bố lỗ rỗng của dầm FGP với mô đun đàn hồi E(z) và mật độ khối lượng p(z)được trình bày như sau:

- Dạng 2: Phân bốđối xứng (Hình 2-3) (P2)

- Dạng 3: Phân bố bất đối xứng (Hình 2-4) (P3)

Trong đó: E1và 1 lần lượt là giá trị mô đun Young và mật độ khối lượng lớn nhất khi vật liệu có độ rỗng bằng 0; e 0 và e m   1 1  e 0 lần lượt là hệ số rỗng và hệ số mật độ khối lượng tương ứng của vật liệu.

H ệ th ức và phương trình chủ đạ o

2.2.1 Lý thuyết biến dạng độ dốc hiệu chỉnh (MSGT)

Sử dụng lý thuyết độ dốc biến dạng hiệu chỉnh MSGT [66] (Modified strain gradient theory) là một lý thuyết cơ học liên tục bậc cao được phát triển để mô hình các vật liệu có cấu trúc nano/micro Khi kích thước của vật liệu đạt gần đến với kích thước vi mô, hiệu ứng kích thước có ảnh hưởng đến ứng xửcơ học của vật liệu Năng lượng biến dạng biến dạng cho vật liệu đàn hồi tuyến tính được viết như sau: ij ij ij ij

Với ij là ma trận ứng suất, ij là ma trận biến dạng , p i , ijk , m ij là ma trận ứng suất bậc cao, n ijk là ma trận độ dốc biến dạng lệch tâm và ij là ma trận độ dốc góc xoay đối xứng

Với các trường chuyển vị u u u 1 , , 2 3 lần lượt theo các phương ( , , ) x y z , các thành phần biến dạng cổđiển và biến dạng hiệu chỉnh được tính như sau: ij

2 mm mk mm mi k m i m jk ki ij ijk i j k mm mj ki j m x x x x x x x x x

Trong đó ij, lần lượt là các hệ số Kronecker delta và permutation symbol

Mối liên hệ giữa ma trận ứng suất và hệ số Poisson cho vật liệu dầm có lỗ rỗng đàn hồi tuyến tính

Với l l 0 , 1 và (MLSP) [67] là các tham số chiều dài vật liệu liên quan đến độ dốc của biến dạng, độ dốc của biến dạng phân tán và độ dốc của góc xoay tương ứng Các tham số là hệ sốđàn hồi biến dạng cắt, E là mô đun Young, llà tham số tỉ lệđộ dài

Trong đó, nếu các tham số l0 l1 0và chỉ còn một tham số tỉ lệđộ dài trở thành lý thuyết ứng suất cặp đôi hiệu chỉnh (MCST) Với trường hợp l 0   l 1 l 2 0 trở thành lý thuyết liên tục cổđiển (CCT)

2.2.2 Trường chuyển vị và lý thuyết dầm bậc cao (HOBT)

Hình 2-5: Các lý thuyết biến dạng cắt trong dầm [68] a) Lý thuyết cổ điển_Euler-Bernoulli Beam Theory (EBT) b) Lý thuyết biến dạng cắt bậc I _Timoshenko Beam Theory (TBT) c) Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao_ Reddy-Bickford Beam Theory (RBT)

Theo Hình 2-5, có rất nhiều mô hình lý thuyết khác nhau được xây dựng và phát triển với mục đích dự đoán chính xác và đơn giản ứng xử của dầm Sự khác nhau giữa các lý thuyết dầm được xem xét thông qua ứng suất cắt dựa vào phương trình vi phân

Trong đó lý thuyết dầm Euler-Bernoulli (Hình 2-5a) còn gọi là lý thuyết dầm cổ điển (CBT) đơn giản, dễ hiểu và được sử dụng phổ biến nhất Với hiệu ứng biến

26 cắt ngang trên dầm được bỏ qua không kểđến ảnh hưởng do hình dạng uốn cong của dầm Trường chuyển vịđược viết như sau:

Tuy nhiên có thể thấy rằng, lý thuyết dầm Euler-Bernoulli chỉ phù hợp với dầm mỏng và biến dạng uốn cong nhỏ, không đáng kểđối so với các ứng suất khác Bên cạnh đó dầm có ửng xử ‘cứng hơn” so với các mô hình dầm kể đến hiệu ứng biến dạng cắt ngang Từ đó lý thuyết Timoshenko (Hình 2-5b) hay còn gọi là lý thuyết dầm bậc nhất (FBT) được phát triển để giải quyết các bài toán dầm với điều kiện tải trọng phức tạp và chịu ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang Trường chuyển vịđược viết dưới dạng:

Tuy nhiên, việc xác định hệ số hiệu chỉnh cắt cho dầm là một vấn đề phức tạp phụ thuộc vào nhiều yếu tố bao gồm: tính chất vật liệu, hình học của dầm, tải trọng và điều kiện biên Lý thuyết dầm bậc nhất không thể mô tả chính xác các hiện tượng cắt trong dầm đặc biệt vật liệu tính cơ biến thiên hoặc hình học phức tạp Vì vậy lý thuyết dầm bậc cao (HBT) (Hình 2-5c) được nghiên cứu để giải quyết những hạn chế này Với lý thuyết này cho phép giả thuyết các chuyển vị dọc trục thay đổi bậc cao theo chiều dày dầm Trường chuyển vị của dầm trong đề án này được biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau:

- w x,t b và w x,t s lần lượt là chuyển vịđứng tại vị trí trục trung hòa của dầm theo phương z do thành phần uốn và cắt

- f (z) và g (z)là hàm được đề xuất

2.2.3 Nền đàn hồi Winkler và Pasternak

Hiệu ứng nền đần hồi được phát triển dựa trên giả định rằng phản lực tại mọi điểm trên đất nền tỉ lệ thuận với chuyển vị của dầm ngay tại điểm đó Đặc tính biến dạng thẳng đứng của nền được xác định bằng các lò xo đàn hồi tuyến tính, rời rạc, đặt gần và giống nhau Hằng số tỷ lệ của các lò xo này được gọi là mô dun phản lực của nền k w (hệ sốđộ cứng uốn) Mô hình tương đương (Winkler) đã được nhiều tác giả nghiên cứu và trình bày [69]

Mô hình Pasternak được phát triển với các phần tử lò xo liên kết với các lớp phần tử dọc không chịu nén chỉ biến dạng trong mặt cắt ngang Khi đó biến dạng và lực được duy trì ở trạng thái cân bằng Hệ sốnày được thể hiện bởi k G (hệ sốđộ cứng cắt) [70]

Theo đó tải trọng phân bố p x y ( , ) được trình bày như sau [71]:

Trong đó: k W , k G là các hệ số biến dạng uốn và cắt của nền đàn hồi u 3 chuyển vịtheo phương z của trục tọa độ

2.2.4 Trường biến dạng và ứng suất

Trường biến dạng được xác định từ quan hệ giữa chuyển vị - biến dạng theo lý thuyết đàn hồi được viết dưới dạng như sau: w w

Các thành phần biến dạng:

0 xx yy zz xz y zzy zyz yzz yyy xyz yzx zxy zyx yxz n n n n n n n n n

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của bài toán dầm phẳng như sau

Với Q ij là các thành phần ma trận độ cứng vật liệu

1 ( ) xxx xxx zzz zzz xyy xyy xzz xzz zxx zxx zyy zyy n n

Bi ể u th ức năng lượ ng toàn ph ầ n c ủ a d ầ m

Biểu thức năng lượng toàn phần cho bài toán phân tích tần số dao động riêng của dầm được xác định theo biểu thức:

Thếnăng biến dạng của hệđược xác định như sau:

2 x x xz xz x x z z xxx xxx zzz zzz xyy xyy

E xzz xzz zxx zxx zyy zyy xy xy yz yz

E xxx zzz xyy xzz zxx zyy

Trong đó A B B D D H , , s , , s , là các độ cứng dầm:

Công tải trọng ngoài xác định bởi công thức:

Hiệu ứng của nền được xác định như sau:

Phương pháp Ritz - Chebyshev

Theo phương pháp Ritz, các thành phần chuyển vị u x t, , w b x t, , w s x t, được xấp xỉnhư sau:

Ngoài ra, các hàm xấp xỉcho các điều kiện biên được tổng hợp trong Bảng 2-1

Bảng 2-1: Hàm xấp xỉvà điều kiện biên của dầm Điều kiện biên j ( )x x0 x L

Trong đó hàm C * j [72] được định nghĩa như sau:

Với C j là đa thức Chebyshev (loại I) được đưa ra như sau:

Thay vào phương trình và sử dụng phương trình Lagrange:

Với p j là được thể hiện qua các giá trị uj , w , w bj sj

Phương trình cân bằng đối với

Trong đó:   K kl   là ma trận độ cứng 3 3m  m ;  K F kl  là ma trận độ cứng nền đàn hồi 3 3m  m ;   K G kl   là ma trận độ cứng hình học 3 3m  m

Trong đó các thành phần ma trận độ cứng K, ma trận độ cứng nền đàn hồi KF và ma trận độ cúng hình học KGđược xác định như sau:

Giải bài toán tìm trị riêng của phương trình (2.59) ta nhận được giá trị lực ổn định tới hạn của dầm bằng vật liệu xốp đặt trên nền đàn hồi

BÀI TOÁN SỐ

Gi ớ i thi ệ u

Trong chương này, các ví dụ số sẽđược thực hiện đểđánh giá phương pháp và sơ sở lý thuyết đã trình bày ở chương 2 Mặt khác, nhầm khảo sát các quy luật ứng xửổn định của dầm xốp Sựảnh hưởng của tỉ lệ chiều dài và chiều cao dầm, thông số lỗ rỗng, điều kiện biên và quy luật phân bố lỗ rỗng được khảo sát Các thông số của dầm FGP được giả thuyết như sau: Emax200 GPa, v0.3, 7850 kg/m 3 ,

17.6 μm h  , b= 2×h Để thuận tiện và tiết kiệm thời gian trong so sánh, các kết quả tính toán sẽđược trực giao với kết quả không thứ nguyên Đối với bài toán phân tích ổn định của dầm xốp vi mô trên nền đàn hồi, dưới tác dụng của tải trọng phân bốđều được trực giao theo công thức sau:

Hệ số trực giao tham số nền:

Các bài toán s ố

Với các kết quả thu được từ các ví dụ số nhằm đưa ra các số liệu so sánh với các nghiên cứu trước đã áp dụng trong mô hình tính toán Mỗi ví dụ số sẽđưa ra các bài toán khác nhau, bao gồm:

Bài toán 1: Khảo sát sự hội tụ của dầm FGP đối với tải ổn định tới hạn

Khảo sát phân tích sự hội tụtrên đối tượng dầm FGP với ba loại phân bố lỗ rỗng khác nhau P1, P2 và P3 Giá trị tải trọng ổn định tới hạn không thứ nguyên của dầm

36 trong Bảng 3-1 được khảo sát hội tụ với tỉ lệ L h /  20, h l /  1 , hệ số rỗng e 0 0.4 và giá trị hệ số nền k W 1; k G 1 Từ kết quảthu được, ta nhận thấy rằng giá trị hội tụ tại m10 với mọi điều kiện biên (BC) khác nhau Vì vậy, giá trị m này được sử dụng cho các bài toán số trong đề án này

Bảng 3-1: Đánh giá sự hội tụ của tải ổn định tới hạn không thứ nguyên  10  4 của dầm FGP L h /  20; / h l  1; e 0  0.4; k W  1; k G  1

Bài toán 2: So sánh, kiểm chứng kết quả của tải ổn định tới hạn của dầm FGP giữa đề án với các bài báo của Agkov và cộng sự [73]

Giá trị tải ổn định tới hạn của dầm isotropic được trình bày trong Bảng 3-2 với các thông số bài toán E1.44 GPa, v0.38, 1220 kG / m , 3 l11.01μm, hệ số nền

W 60; k  và điều kiện biên tựa đơn – tựa đơn (SS) được khảo sát và so sánh Kết quả bài báo đã công bố với lý thuyết (MSGT) trước đó và nghiên cứu của đề án chỉ ra rằng có sự nhất quán cao trong dữ liệu Độ sai lệch thấp đã phản ánh mức độ chính xác và độ tin cậy trong phương pháp nghiên cứu của đề án

Bảng 3-2: Bảng so sánh giá trị tải ổn định tới hạn không thứ nguyên của dầm isotropic với bài báo của Agkov và cộng sự [73] h (m) 15 60 120 180

Trong đó: Rluan van: Kết quảđề án bai bao

R : Kết quả bài báo đã được công bố

Bài toán 3: So sánh, kiểm chứng kết quả của tải ổn định tới hạn của dầm FGP giữa đề án với các bài báo của Ngoc Duong Nguyen và cộng sự [74] với điều kiện biên khác nhau Để minh chứng tính chính xác và tin cậy của giá trị nghiên cứu, việc sử dụng các ví dụ sốđược trình bày ở Bảng 3-3; Bảng 3-4 và Bảng 3-5 mang ý nghĩa hết sức quan trọng Giá trị tải ổn định tới hạn không thứnguyên được kiểm chứng thông qua lý thuyết MCST (Modified Couple Stress Theory) với các giá trị tham số chiều dài vật liệu l 0  l 1 0, l 2 17.6μm được xét trên các điều kiện biên khác nhau (SS; CF; CC); tỉ lệ L h /  20; h l/  4;2 ; hệ số rỗng e 0 0.8; hệ số nền k W  0;1;100 , / 2 0;1; 2.5 kG  và ba loại phân bố lỗ rỗng Từđó cung cấp cơ sở so sánh chắc chắn

38 với các kết quảđược nghiên cứu trong bài báo trước đó của Ngoc Duong Nguyen và cộng sự [74] Việc kiểm chứng các số liệu này giúp xác thực được phương pháp nghiên cứu và lý thuyết (MSGT) mang tính chính xác cao, góp phần mở rộng thêm hiểu biết vềứng xử của vật liệu dưới tác dụng của tải trọng

Bảng 3-3: Bảng giá trị tải ổn định tới hạn không thứ nguyên của dầm FGP (điều kiện biên SS) được so sánh với bài báo của Ngoc Duong Nguyen và cộng sự [74]

Loại phân bố lỗ rỗng P1 P2 P3

/ h l kW k G / 2 Đề án Ref [74] Đề án Ref [74] Đề án Ref [74]

Bảng 3-4: Bảng giá trị tải ổn định tới hạn không thứ nguyên của dầm FGP (điều kiện biên CF) được so sánh với bài báo của Ngoc Duong Nguyen và cộng sự [74]

Loại phân bố lỗ rỗng P1 P2 P3

Bảng 3-5: Bảng giá trị tải ổn định tới hạn không thứ nguyên của dầm FGP (điều kiện biên CC) được so sánh với bài báo của Ngoc Duong Nguyen và cộng sự [74]

Loại phân bố lỗ rỗng P1 P2 P3

Bài toán 4: Khảo sát sự ảnh hưởng của hệ số nền đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP

Sựảnh hưởng của hệ số nền là yếu tố quan trọng được khảo sát với tải trọng ổn định không thứ nguyên Qua phân tích các Hình 3-1; Hình 3-2 và Hình 3-3 với bốn trường hợp hệ số nền khác nhau k k W , G cho loại phân bố vật liệu P2, có thể thấy rằng khi giá trị hệ số nền không được kểđến k W k G 0 kết quả tải trọng ổn định là thấp nhất Ngược lại, khi xét giá trị của hệ số nền được tăng lên kW k G 15 kết quảthu được là cao nhất Điều này cho thấy sựảnh hưởng đáng kể của hệ số nền đến kết quả nghiên cứu Ngoài ra, khi so sánh hai trường hợp còn lại k W k G và các kết quả từ Hình 3-4; Hình 3-5; Hình 3-6 giá trị biến dạng cắt k G có ảnh hưởng lớn hơn so với giá trị biến dạng uốn k W Kết quả tại các Bảng 3-6; Bảng 3-7 và Bảng 3-8 chứng minh quy luật này không phụ thuộc vào điều kiện biên, tỉ lệ L h h l e/ , / , 0 và sự phân bố lỗ rỗng của vật liệu

Với kết quả phân tích cho thấy sự phù hợp của kết quả nghiên cứu với các kết luận đã được công bố trước đó [69, 75, 76] Phát hiện này cho thấy được tính chính xác của mô hình phân tích và góp phần nghiên cứu sâu hơn.

Bảng 3-6: Sựảnh hưởng của hiệu ứng nền và tỉ lệkích thước h l/ đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP với các điều kiện biên khác nhau

L h  e  BCs Loại phân bố lỗ rỗng P1 kW k G h l/ 8 4 1

Bảng 3-7: Sựảnh hưởng của hiệu ứng nền và tỉ lệ tham sốđộ rỗng e 0 đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP với các điều kiện biên, tỉ lệ L h /  20, / h l  1, P2

BC Loại phân bố lỗ rỗng P2 kW k G e 0 0.1 0.3 0.5

Bảng 3-8: Sựảnh hưởng của hiệu ứng nền và tỉ lệkích thước L h/ đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP với các điều kiện biên khác nhau:

BC Loại phân bố lỗ rỗng P3 kW k G L h/ 5 10 20

Hình 3-1: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên với các trường hợp hệ số nền khác nhau dưới sựảnh hưởng của tỉ lệ h l / P2, /L h20, e0 0.1, SS

Hình 3-2: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên với các trường hợp hệ số nền khác nhau dưới sựảnh hưởng của tỉ lệ e0 P2, /L h20, /h l1, SS

Hình 3-3: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên với các trường hợp hệ số nền khác nhau dưới sựảnh hưởng của tỉ lệ L h / P2, /h l1, e0 0.1, SS

Hình 3-4: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên của ba hệ số rỗng e 0 dưới sựảnh hưởng do hiệu ứng nền biến dạng uốn k W P2, /L h20, /h l1, kG 0, SS

Hình 3-5: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên của ba hệ số rỗng e 0 dưới sựảnh hưởng do hiệu ứng nền biến dạng cắt k G P2, /L h20, /h l1, k W 0, SS

Hình 3-6: Tải ổn định tới hạn không thứnguyên dưới sựảnh hưởng do hiệu ứng nền biến dạng uốn k W và biến dạng cắt k G P2, /L h20, /h l1, e 0 0.4, CF

Bài toán 5: Khảo sát sự ảnh hưởng của lý thuyết độ dốc hiệu chỉnh (MSGT) đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP

Khi xét với vật liệu P2, điều kiện biên tựa đơn – tựa đơn (SS), hệ số nền

W G 10 k k  cùng với 3 loại lý thuyết CCMT, MCST và MSGT với tỉ lệ h l / Hình 3-8 Khi tỉ lệ h l /  5 giá trị tải ổn định tới hạn không thứ nguyên của lý thuyết MCST và MSGT giảm nhanh chóng trong khi đó giá trị theo lý thuyết CCT không thay đổi đáng kể Với kết quả này, chứng minh được rằng lý thuyết MSGT đã mô tả chính xác ứng xử của dầm dưới tải ổn định Lý thuyết MSGT cho giá trị tải ổn định lớn nhất, tiếp theo là MSCT và cuối cùng là CCMT Vì vậy giá trị lý thuyết MSGT cho giá trị dựđoán khảnăng chịu tải của vật liệu Ngược lại, khi tỉ lệ h l /  5 tải ổn định của cả hai lý thuyết MSGT và MCST giảm ít hơn và dần hội tụ về giá trị lý thuyết CCMT Cùng với đó, khi xét hệ số rỗng Hình 3-7 giá trị tải ổn định có xu hướng hội tụ khi e 0 tiến về vô cùng Hình 3-9, khi xét dầm với kích thước theo tỉ lệ L h /  10 tải ổn định cực hạn có xu hướng tăng mạnh (kích thước dầm mảnh, vi mô) Ngược lại với tỉ lệ / 10

L h giá trị tải ổn định chỉtăng rất nhẹở cả ba loại lý thuyết CCT, MCST và MSGT

Ta nhận thấy rằng lý thuyết MSGT phù hợp và ổn định trong mô hình phân tích ứng xử của vật liệu dầm ở kích thước mảnh và vi mô

Hình 3-7: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên với các trường hợp lý thuyết khác nhau dưới sựảnh hưởng của tỉ lệ e0 P2, /L h20, /h l1, k W k G 10, SS

Hình 3-8: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên với các trường hợp lý thuyết khác nhau dưới sựảnh hưởng của tỉ lệ h l /

Hình 3-9: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên với các trường hợp lý thuyết khác nhau dưới sựảnh hưởng của tỉ lệ L h / P h l2, / 1, e00.2, k W k G 10, SS

Bài toán 6: Khảo sát sựảnh hưởng tỉ lệ L h / , h l/ , hệ số rỗng e 0 và sự phân bố lỗ rỗng trong vật liệu đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP với các điều kiện biên khác nhau

Phân tích tải ổn định tới hạn dựa trên ba điều kiện biên khác nhau là yếu tố quan trọng đểđánh giá cấu trúc của vật liệu Hình 3-10 biểu đồ thể hiện xu hướng tải trọng ổn định giảm nhanh với tỉ lệ h l /  5, điều này thể hiện cấu trúc kém ổn định hơn khi tăng chiều cao của dầm Ngược lại, tỉ lệ h l /  5 giá trị tải ổn định giảm chậm, cho thấy sựổn định tốt hơn khi tăng chiều cao dầm lên nhiều lần Bên cạnh đó, cùng với kết quả từ Bảng 3-9; Bảng 3-10; Bảng 3-13; Bảng 3-14 và Hình 3-11; Hình 3-9 được xem xét với hệ số rỗng e 0 và tỉ lệ L h / cho thấy điều kiện biên ngàm – ngàm (CC) thường cho giá trị tải trọng ổn định cao nhất bởi hai đầu dầm được liên kết cố định Tiếp theo là điều kiện biên tựa đơn – tựa đơn (SS) liên kết dầm được di chuyển theo phương ngang Cuối cùng là điều kiện ngàm –đầu tự do (CF) với giá trị tải trọng ổn định thấp nhất bởi một đầu của liên kết dầm là tự do nên dễ thấy cấu trúc bị mất ổn định

Trong Hình 3-13 và Bảng 3-7; Bảng 3-11; Bảng 3-12 xem sét ảnh hưởng hệ số rỗng e 0 với các điều kiện L h/ 20, /h l 2, k W 0, k G0, CC , sự phân bố của vật liệu P2 có tải trọng ổn định lớn nhất, tiếp theo là vật liệu P3 và cuối cùng P1 Kết quả cho thấy sựảnh hưởng của hệ số rỗng đến khảnăng chịu tải ổn định với sự phân bố lỗ rỗng khác nhau Khi hệ số rỗng tăng lên, giá trị tải trọng có sự suy giảm do ảnh hưởng của sự gia tăng kích thước lỗ rỗng Vì vậy việc kiểm soát kích thước lỗ rỗng của vật liệu là quan trọng đểđảm bảo các yếu tốcơ học của vật liệu

Bảng 3-9: Sựảnh hưởng của hiệu ứng nền và tỉ lệkích thước h l/ đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP với các điều kiện biên khác nhau

L h  e  BCs Loại phân bố lỗ rỗng P2 kW k G h l/ 8 4 1

Bảng 3-10: Sựảnh hưởng của hiệu ứng nền và tỉ lệkích thước h l/ đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP với các điều kiện biên khác nhau

L h  e  BCs Loại phân bố lỗ rỗng P3 kW k G h l/ 8 4 1

Bảng 3-11: Sựảnh hưởng của hiệu ứng nền và tỉ lệkích thước h l/ đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP với các điều kiện biên khác nhau

BC Loại phân bố lỗ rỗng P1 kW k G e 0 0.1 0.3 0.5

Bảng 3-12: Sựảnh hưởng của hiệu ứng nền và tỉ lệkích thước h l/ đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP với các điều kiện biên khác nhau

BC Loại phân bố lỗ rỗng P3 kW k G e 0 0.1 0.3 0.5

Bảng 3-13: Sựảnh hưởng của hiệu ứng nền và tỉ lệkích thước L h/ đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP với các điều kiện biên khác nhau:

BC Loại phân bố lỗ rỗng P1 kW k G L h/ 5 10 20

Bảng 3-14: Sựảnh hưởng của hiệu ứng nền và tỉ lệkích thước L h/ đến tải ổn định tới hạn của dầm FGP với các điều kiện biên khác nhau:

BC Loại phân bố lỗ rỗng P2 kW k G L h/ 5 10 20

Hình 3-10: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên với các điều kiện biên khác nhau (BC) dưới sựảnh hưởng của tỉ lệ h l / P2, /L h20, e0 0.5, kW 0, kG 0

Hình 3-11: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên với các điều kiện biên khác nhau (BC) dưới sựảnh hưởng của hệ số rỗng e 0 P3, /L h20, /h l1, kW 0, kG 0

Hình 3-12: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên với các điều kiện biên khác nhau (BC) dưới sựảnh hưởng của tỉ lệ L h / P1, /h l1,e0 0.3, kW 0, kG 0

Hình 3-13: Tải ổn định tới hạn không thứ nguyên với các quy luật phân bố dầm khác nhau dưới sựảnh hưởng của hệ số rỗng e 0

KẾ T LU Ậ N VÀ KI Ế N NGH Ị

K ế t lu ậ n

Trong đề án này, nghiên cứu ổn định dầm xốp vi mô trên nền đàn hồi dựa trên lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc cao kết hợp với lý thuyết biến dạng độ dốc hiệu chỉnh (MSGT) Bên cạnh đó, mô hình toán học được phát triển thông qua phương trình vi phân hàm Lagrange’s sử dụng cùng với phương pháp đa thức Chebyshev-Ritz Việc phân tích sựổn định của dầm xốp vi mô với ba loại phân bố lỗ rỗng của dầm FGP được đề xuất bao gồm phân bốđều, đối xứng và bất đối xứng Các số liệu thu được bằng tải ổn định cực hạn không thứ nguyên trong đề án này được thể hiện bằng bảng và biểu đồ Kết quả phân tích ổn định của dầm xốp sau khi được khảo sát dưới ảnh hưởng của tỉ lệ L h h l / , / , hệ số rỗng e 0 , hệ số nền k , k W G , điều kiện biên và quy luật phân bố lỗ rỗng có thểđược tóm tắt như sau:

- Nghiên cứu vềảnh hưởng của hệ số nền Winkler-Pasternak đến tải ổn định tới hạn không thứ nguyên của dầm xốp vi mô cho thấy rằng, hệ số nền có vai trò quan trọng trong cải thiện và tăng tải ổn định tới hạn của dầm xốp vi mô Trong đó, ảnh hưởng của hệ số biến dạng cắt k G là rõ ràng, lớn nhất khi kểđến độ cứng và tải trọng tới hạn của dầm so với hệ số biến dạng uốn k W

- Phân tích cơ học kết cấu, điều kiện biên đóng vai trò quan trọng trong xác định khả năng chịu lực và ổn định của cấu kiện như dầm Điều kiện biên CC (ngàm – ngàm) và biên CF (ngàm – tự do) có ảnh hưởng đáng kểđến tải ổn định tới hạn của dầm xốp vi mô Trong đó, biên CF dễ gây mất ổn định và ngược lại biên CC cho tải ổn định tới hạn của dầm xốp vi mô là lớn nhất

- Sự phân bố các lỗ rỗng trong vật liệu có tác động đến tải trọng tới hạn của cấu kiện như dầm Các số liệu nghiên cứu trong đề án cho thấy ảnh hưởng của dầm loại P2 cho tải ổn định tới hạn là lớn nhất Trong khi đó, dầm loại P1 cho tải ổn định tới hạn thấp hơn nhiều

- Bên cạnh đó, lý thuyết MSGT với ba tham sốkích thước chiều dài được đánh giá cao so với lý thuyết MCST (hai tham sốkích thước chiều dài) và lý thuyết CCMT (không kể đến tham số kích thước chiều dài) MSGT cho thấy khả năng phân tích

60 hiệu quả và chính xác đối với dầm xốp vi mô ở kích thước nano/micro Tuy nhiên, để giảm chi phí, khối lượng và thời gian tính toán các nhà khoa học có thể đề xuất sử dụng lý thuyết MCST và CCMT đối với dầm ở dạng kích thước tiêu chuẩn

Từ các bài toán khảo sát phân tích tĩnh và tải ổn định tới hạn của dầm xốp vi mô trên nền đàn hồi có thể thấy rằng các yếu tốảnh hưởng đến tải ổn định tới hạn của dầm xốp như sau:

+ Quy luật phân bố lỗ rỗng trong dầm

+ Hệ sốảnh hưởng của nền đàn hồi

Ki ế n ngh ị

Đề án được phát triển dựa trên lời giải Ritz cho phân tích ứng xử và tải ổn định tới hạn không thứ nguyên của dầm xốp vi mô trên nền đàn hồi Từ những kết quả tốt thu được, đề án có thểđưa ra thêm các vấn đề mới cần phát triển như sau:

- Phát triển hàm xấp xỉ mới với đa thức nhằm tăng tốc độ hội tụ, giảm thời gian và tài nguyên tính toán bài toán số

- Áp dụng hàm sấp xỉ của đề án với các nghiên cứu khác: phân tích dao động và chuyển vị với lý thuyết MSGT đối với phần tử dầm cong hoặc phần tử tấm

1 Patel P, Bhingole PP, Makwana D Manufacturing, characterization and applications of lightweight metallic foams for structural applications Materials Today: Proceedings 2018;5(9):20391-402

2 Akbarzadeh Khorshidi M Effect of nano-porosity on postbuckling of non- uniform microbeams SN Applied Sciences 2019;1(7):677

3 Civalek ệ, Ersoy H, Uzun B, Yaylı Mệ Dynamics of a FG porous microbeam with metal foam under deformable boundaries Acta Mechanica 2023;234(11):5385-404

4 Phung-Van P, Nguyen LB, Hung PT, Nguyen-Xuan H, Thai CH Nonlocal nonlinear analysis of functionally graded piezoelectric porous nanoplates International Journal of Mechanics and Materials in Design 2024:1-11

5 Shafiei N, Kazemi M Nonlinear buckling of functionally graded nano-/micro- scaled porous beams Composite Structures 2017;178:483-92

6 Lefebvre LP, Banhart J, Dunand DC Porous metals and metallic foams: current status and recent developments Advanced engineering materials 2008;10(9):775-87

7 Wu H, Yang J, Kitipornchai S Mechanical analysis of functionally graded porous structures: A review International Journal of Structural Stability and Dynamics 2020;20(13):2041015

8 Askari M, Brusa E, Delprete C On the vibration analysis of coupled transverse and shear piezoelectric functionally graded porous beams with higher-order theories The Journal of Strain Analysis for Engineering Design 2021;56(1):29-49

9 Robbins DH, Reddy JN Analysis of piezoelectrically actuated beams using a layer-wise displacement theory Computers & structures 1991;41(2):265-79

10 Van Vinh Pham, Quang Duoc Nguyen, Dinh Phuong Nguyen A new enhanced first-order beam element based on neutral surface position for

62 bending analysis of functionally graded porous beams Iranian Journal of Science and Technology, Transactions of Mechanical Engineering 2022;46(4):1141-56

11 Nguyen T-K, Vo TP, Thai H-T Static and free vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory Composites Part B: Engineering 2013;55:147-57

12 Bekhadda A, Cheikh A, Bensaid I, Hadjoui A, Daikh AA A novel first order refined shear-deformation beam theory for vibration and buckling analysis of continuously graded beams Adv Aircraft Spacecraft Sci 2019;6(3):189-206

13 Chen D, Kitipornchai S, Yang J Nonlinear free vibration of shear deformable sandwich beam with a functionally graded porous core Thin-Walled Structures 2016;107:39-48

14 Chen D, Yang J, Kitipornchai S Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam Composite Structures 2015;133:54-61

15 Chen D, Yang J, Kitipornchai S Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams International journal of mechanical sciences 2016;108:14-22

16 Kitipornchai S, Chen D, Yang J Free vibration and elastic buckling of functionally graded porous beams reinforced by graphene platelets Materials

17 Priyanka R, Twinkle CM, Pitchaimani J Stability and dynamic behavior of porous FGM beam: influence of graded porosity, graphene platelets, and axially varying loads Engineering with Computers 2022;38(Suppl 5):4347-

18 Jankowski P, Żur KK, Kim J, Reddy JN On the bifurcation buckling and vibration of porous nanobeams Composite Structures 2020;250:112632

19 Bridjesh P, Geetha NK, Yelamasetti B Numerical investigation on buckling of two-directional porous functionally graded beam using higher order shear

63 deformation theory International Journal on Interactive Design and Manufacturing (IJIDeM) 2023:1-14

20 Drew DA, Passman SL, Drew DA, Passman SL Classical Continuum Theory

21 Haupt P, Haupt P Classical Theories of Continuum Mechanics Continuum

Mechanics and Theory of Materials 2002:177-250

22 Zamani Kouhpanji MR, Behzadirad M, Busani T Classical continuum theory limits to determine the size-dependency of mechanical properties of GaN NWs Journal of Applied Physics 2017;122(22)

23 Asghari M, Kahrobaiyan MH, Ahmadian MT A nonlinear Timoshenko beam formulation based on the modified couple stress theory International Journal of Engineering Science 2010;48(12):1749-61

24 Ma HM, Gao XL, Reddy JN A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory Journal of the Mechanics and Physics of Solids 2008;56(12):3379-91

25 Park SK, Gao XL Bernoulli–Euler beam model based on a modified couple stress theory Journal of Micromechanics and Microengineering 2006;16(11):2355

26 Hajilak ZE, Pourghader J, Hashemabadi D, Bagh FS, Habibi M, Safarpour H

Multilayer GPLRC composite cylindrical nanoshell using modified strain gradient theory Mechanics Based Design of Structures and Machines 2019;47:521-545

27 Li YS, Feng WJ, Cai ZY Bending and free vibration of functionally graded piezoelectric beam based on modified strain gradient theory Composite Structures 2014;115:41-50

28 Thai CH, Ferreira AJM, Phung-Van P Size dependent free vibration analysis of multilayer functionally graded GPLRC microplates based on modified strain gradient theory Composites Part B: Engineering 2019;169:174-88

29 Yang Y-B, Yau J, Yao Z, Wu Y Vehicle-bridge interaction dynamics: with applications to high-speed railways: World Scientific; 2004

30 Wang Y, Tham L, Cheung Y Beams and plates on elastic foundations: a review Progress in Structural Engineering and Materials 2005;7(4):174-82

31 Lamprea-Pineda AC, Connolly DP, Hussein MF Beams on elastic foundations–A review of railway applications and solutions Transportation Geotechnics 2022;33:100696

32 Beskou ND, Theodorakopoulos DD Dynamic effects of moving loads on road pavements: a review Soil Dynamics and Earthquake Engineering 2011;31(4):547-67

33 Naidu NR, Rao GV Stability behaviour of uniform columns on a class of two parameter elastic foundation Computers & structures 1995;57(3):551-3

34 Fahsi B, Bouiadjra RB, Mahmoudi A, Benyoucef S, Tounsi A Assessing the effects of porosity on the bending, buckling, and vibrations of functionally graded beams resting on an elastic foundation by using a new refined quasi- 3D theory Mechanics of Composite Materials 2019;55(2):219-30

35 Ait Atmane H, Tounsi A, Bernard F Effect of thickness stretching and porosity on mechanical response of a functionally graded beams resting on elastic foundations International Journal of Mechanics and Materials in Design 2017;13:71-84

36 Zhang LH, Lai SK, Wang C, Yang J DSC regularized Dirac-delta method for dynamic analysis of FG graphene platelet-reinforced porous beams on elastic foundation under a moving load Composite Structures 2021;255:112865

37 Rezaiee-Pajand M, Kamali F Exact solution for thermal–mechanical post- buckling of functionally graded micro-beams CEAS Aeronautical Journal 2021;12:85-100

38 Kamali F, Shahabian F Analytical solutions for surface stress effects on buckling and post-buckling behavior of thin symmetric porous nano-plates

65 resting on elastic foundation Archive of applied mechanics 2021;91:2853-

39 Kamali F, Shahabian F, Aftabi-Sani A Free vibration analysis of saturated porous circular micro-plates integrated with piezoelectric layers; differential transform method Acta Mechanica 2023;234(2):649-69

40 Bargozini F, Mohammadimehr M The theoretical and experimental buckling analysis of a nanocomposite beams reinforced by nanorods made of recycled materials Polymer Composites 2024;45(4):3327-42

41 Ebrahimi F, Barati MR, Civalek ệ Application of Chebyshev–Ritz method for static stability and vibration analysis of nonlocal microstructure-dependent nanostructures Engineering with Computers 2020;36:953-64

42 Mustafa A Buckling Analysis of Intermediately Supported Nanobeams via

Strain Gradient Elasticity Theory International Journal of Engineering and Applied Sciences 2022;12(4):163-72

43 Guo M, Arvin H Nonlinear thermal buckling instability analysis of a rotating nanocomposite beam reinforced with graphene platelet via the Chebyshev– Ritz scheme Engineering Analysis with Boundary Elements 2023;146:241-

44 Jena SK, Chakraverty S, Tornabene F Buckling behavior of nanobeams placed in electromagnetic field using shifted Chebyshev polynomials-based Rayleigh-Ritz method Nanomaterials 2019;9(9):1326

45 Ahmed RA, Mustafa NM, Faleh NM, Fenjan RM Nonlocal nonlinear stability of higher-order porous beams via Chebyshev-Ritz method Struct Eng Mech 2020;76(3):413-20

46 Akbaş ŞD Thermal effects on the vibration of functionally graded deep beams with porosity International Journal of Applied Mechanics 2017;9(05):1750076

47 Chinh TH, Tu TM, Duc DM, Hung TQ Static flexural analysis of sandwich beam with functionally graded face sheets and porous core via point

66 interpolation meshfree method based on polynomial basic function Archive of Applied Mechanics 2021;91:933-47

48 Quang Hung Tran, Minh Duc Do, Minh Tu Tran Static bending mesh-free analysis of smart piezoelectric porous beam reinforced with graphene platelets Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science 2023;237(7):1595-612

49 Rezaiee-Pajand M, Rajabzadeh-Safaei N, Masoodi AR, editors An efficient curved beam element for thermo-mechanical nonlinear analysis of functionally graded porous beams2020: Elsevier 2020;28:1035-1049

50 Fazzolari FA Quasi-3D beam models for the computation of eigenfrequencies of functionally graded beams with arbitrary boundary conditions Composite Structures 2016;154:239-55

51 Pradhan KK, Chakraverty S Free vibration of Euler and Timoshenko functionally graded beams by Rayleigh–Ritz method Composites Part B: Engineering 2013;51:175-84

52 Pradhan KK, Chakraverty S Generalized power-law exponent based shear deformation theory for free vibration of functionally graded beams Applied Mathematics and Computation 2015;268:1240-58

53 Şimşek M Static analysis of a functionally graded beam under a uniformly distributed load by Ritz method International Journal of Engineering and Applied Sciences 2009;1(3):1-11

54 Şimşek M Buckling of Timoshenko beams composed of two-dimensional functionally graded material (2D-FGM) having different boundary conditions Composite Structures 2016;149:304-14

55 Wattanasakulpong N, Prusty BG, Kelly DW Thermal buckling and elastic vibration of third-order shear deformable functionally graded beams International Journal of Mechanical Sciences 2011;53(9):734-43

56 Van Long Nguyen,Thi Huong Nguyen Phân tích ổn định kết cấu dầm vật liệu xốp chịu nén dọc trục với các điều kiện biên khác nhau Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (TCKHCNXD)-ĐHXDHN 2020;14(2V):97-106

57 Thanh Binh Chu, Van Long Nguyen, Minh Tu Tran, Tuan Anh Nguyen Phân tích động lực học dầm Timoshenko bằng vật liệu xốp (FGP) chịu tác dụng của tải trọng di động theo tiếp cận giải tích Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (TCKHCNXD)-ĐHXDHN 2022;16(5V):74-86

58 Quy Truong Huong, Xuan Hung Do, Minh Tu Tran Phân tích dao động riêng dầm sandwich FGM xốp với điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (TCKHCNXD)-ĐHXDHN 2021;15(5V):15-27

59 Thanh Binh Chu, Van Long Nguyen, Minh Tu Tran Nghiệm giải tích của dầm

Timoshenko FGM xốp chịu uốn có xét đến ảnh hưởng của các liên kết đàn hồi Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (TCKHCNXD)-ĐHXDHN 2022;16(3V):86-99

60 Van Ke Tran, Thi Hong Nguyen Phân tích dao động riêng của dầm Nano cong

FG nằm trên nền đàn hồi sử dụng phương pháp Rayleigh-Ritz= Free vibration analysis of fg curved nanobeam resting on elastic foundation using rayleigh- ritz method 2022

61 Van Vu Tham, Minh Ngoc Vu, Trong Khoi Pham Phân tích tĩnh dầm cong sandwich FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (TCKHCNXD)-ĐHXDHN 2024.

62 Thi Ha Le Dao động tự do của dầm xốp có cơ tính biến thiên hai chiều với các điều kiện biên khác nhau Tuyển Tập Công Trình Hội nghị Khoa học toàn quốc 2021;33;303-311

63 Karamanli A, Vo TP, Civalek O Finite element formulation of metal foam microbeams via modified strain gradient theory Engineering with Computers 2023;39(1):751-72

64 Ngoc Duong Nguyen, Thien Nhan Nguyen, Trung Kien Nguyen, Pham Thuc

Vo, editors A Legendre-Ritz solution for bending, buckling and free vibration behaviours of porous beams resting on the elastic foundation2023: Elsevier 2023;50:1934-1950

65 Wang YQ, Zhao HL, Ye C, Zu JW A porous microbeam model for bending and vibration analysis based on the sinusoidal beam theory and modified strain gradient theory International Journal of Applied Mechanics 2018;10(05):1850059

66 Lam DC, Yang F, Chong A, Wang J, Tong P Experiments and theory in strain gradient elasticity Journal of the Mechanics and Physics of Solids 2003;51(8):1477-508

67 Kandaz M, Dal H A comparative study of modified strain gradient theory and modified couple stress theory for gold microbeams Archive of Applied Mechanics 2018;88:2051-70

68 Wang CM, Reddy JN, Lee KH Shear deformable beams and plates:

Relationships with classical solutions: Elsevier; 2000

69 Teodoru I-B Beams on elastic foundation the simplified continuum approach

Buletinul Institutului Politehnic din lasi Sectia Constructii, Arhitectura 2009;55(4):37

70 Pasternak PL On a new method of analysis of an elastic foundation by means of two foundation constants Gos Izd Lit po Strait i Arkh 1954

71 Kerr AD A study of a new foundation model Acta Mechanica

72 Ngoc Duong Nguyen, Thien Nhan Nguyen, Trung Kien Nguyen, Pham Thuc

Vo A Chebyshev–Ritz solution for size-dependent analysis of the porous microbeams with various boundary conditions International Journal of Mechanics and Materials in Design 2023;19(4):861-81

73 Akgửz B, Civalek ệ A novel microstructure-dependent shear deformable beam model International Journal of Mechanical Sciences 2015;99:10-20

74 Ngoc Duong Nguyen, Thien Nhan Nguyen, Luan Trinh, Trung Kien Nguyen

A Higher-Order Shear Deformation Theory and Modified Couple Stress Theory for Size-Dependent Analysis of Porous Microbeams Resting on a Foundation International Journal of Structural Stability and Dynamics 2023:2450182

75 Eisenberger M, Clastornik J Vibrations and buckling of a beam on a variable

Winkler elastic foundation Journal of sound and vibration 1987;115(2):233-

76 Taati E On buckling and post-buckling behavior of functionally graded micro- beams in thermal environment International Journal of Engineering Science 2018;128:63-78

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BẢN CAM KẾT VÀ XÁC NHẬN KẾT QUẢ KIỂM TRA ĐẠO VĂN

(DÀNH CHO BÁO CÁO NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN, KHÓA

LUẬN,ĐỀ ÁN, LUẬNVĂN,LUẬN ÁN)

1 Tên sản phẩm học thuật: Nghiên cứu ổn định dầm xốp vi mô trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyết độ dốc biến dạng hiệu chỉnh

2 Loại hình sản phẩmhọcthuật:Đề ánthạc sĩ

2 Mã số sản phẩmhọc thuật (nếu có):

3 Thông tin tác giả (ghi tất cả tác giả của sản phẩm)

Stt Họ và tên MSSV/MSHV

Vai trò (Chủ nhiệm/thành viên/tác giả chính/đồng tác giả…)

1 Bùi Văn Tài 2230806 Tác giả chính

Họ và tên: Nguyễn Ngọc Dương MSCB: 4576

II Kết quả kiểm tra đạo văn

Ngày nộp sảnphẩm Ngày kiểm tra đạo văn % trùng lặp toàn nội dung

% trùng lặp cao nhất từ 1 nguồn

Lưu ý: % trùng lặp nêu ởbảng trên không tính % trùng lặp củadanh mụctài liệu tham khảo.

Nhóm tác giả sản phẩm học thuật và giảng viên hướng dẫn cam kết rằng:

1 Nội dung trong sảnphẩmhọcthuật nêu trên không vi phạmđạođức và liêm chính khoa học.

2 Kết quả % trùng lặp nêutại mục II là hoàn toàn chính xác và trung thực.

3 Bằngviệc ký xác nhận vào mẫu này, nhóm tác giả và giảng viên hướngdẫn cam kếtchịu hoàn toàn trách nhiệm có liên quan đến sản phẩm học thuật nói trên

Xác nhận của đại diện nhóm tác giả Xác nhận của giảng viên hướng dẫn

(ký ghi rõ họ và tên) (ký ghi rõ họ và tên)

NGUỒN INTERNET 18 % ẤN PHẨM XUẤT BẢN 7 %

NGUỒN CHÍNH sdh.hcmute.edu.vn

Nguồn Internet text.123docz.net

Nguồn Internet www.slideshare.net

Nguồn Internet stce.huce.edu.vn

Submitted to Ho Chi Minh University of

Bài của Học sinh www.researchgate.net

Nguồn Internet lib.uah.edu.vn

Nguồn Internet thuvienso.hcmute.edu.vn

Submitted to University of Northumbria at

Xuất bản www.ctu.edu.vn

Nguồn Internet text.xemtailieu.net

Nguồn Internet www.zbook.vn

Submitted to University of Economics & Law

Submitted to Ho Chi Minh City Open

Ngoc-Duong Nguyen, Van-Tai Bui, Trung-Kien

Nguyen "A modified strain gradient theory for buckling, bending and free vibration behaviors of metal foam microbeams",

Submitted to Vietnam Maritime University

2352-0124/© 2024 Institution of Structural Engineers Published by Elsevier Ltd All rights reserved.

A modified strain gradient theory for buckling, bending and free vibration behaviors of metal foam microbeams

Ngoc-Duong Nguyen a * , Van-Tai Bui a , Trung-Kien Nguyen b a Faculty of Civil Engineering, Ho Chi Minh City University of Technology and Education, 1 Vo Van Ngan Street, Thu Duc City, Ho Chi Minh City, Viet Nam b CIRTech Institute, HUTECH University, 475A Dien Bien Phu Street, Binh Thanh District, Ho Chi Minh City, Viet Nam

This paper presents a modified strain gradient theory (MSGT) based on third-order shear deformation theory and the Ritz method to explore the bending, buckling, and free vibration analyses in metal foam microbeams for the first time The model captures the micro-structural and shear deformation effects without needing shear correction factors The MSGT is employed, incorporating three material length scale parameters (MLSPs) to account for the size effect The study investigates three different types of porosity, including uniform porosity distribution, symmetric porosity distribution, and asymmetric porosity distribution The governing equation is derived from Lagrange’s equation, while the Ritz method employing Chebyshev polynomials is implemented to solve the problems Unlike the MSGT combined Navier method, which applies to beams with simply-supported boundary conditions, the present model and Ritz method can be applied to metal foam microbeams with arbi- trary boundary conditions The study comprehensively examines the influence of small size, shear deformation, slenderness, porosity ratio, and boundary conditions on the mechanical behavior of metal foam microbeams The findings indicate that the size effect manifests notably in metal foam beams at the micro-scale (h/l ≤ 5), and the influence of shear deformation is paramount for stubby beams (L/h ≤ 15) Notably, this research presents new results for the MSGT model, serving as a benchmark for future studies In addition, the present approach is a potential solution for analyzing the bending, vibration, and buckling behaviors of advanced material beams, plates, and shells It is also helpful in designing micro-structured devices

The engineering problems faced by various sectors such as defense, aerospace, nuclear energy, medical, and automotive industries have become increasingly severe As a result, researchers are actively seeking alternative materials to meet the unique requirements and challenges posed by these industries Due to their advantageous properties, func- tionally graded porous materials (FGPMs) have gained significant attention among emerging materials These materials exhibit high strength, are lightweight, have excellent energy absorption character- istics, and have low thermal conductivity Besides FGPMs, sandwich composite materials exhibit remarkable mechanical properties, leading to extensive utilization across various engineering disciplines

Numerous experimental analyses have been undertaken to investigate these materials’ mechanical attributes and devise innovative strategies to enhance structural performance [1–3] Furthermore, researchers have directed their efforts toward modeling, optimizing, and analyzing these structures to refine further their functionality and applicability in en- gineering contexts [4–9]

The advancement of technology has resulted in a noticeable trend where the size of structural elements progressively decreases These smaller-scale components have applications in various fields, such as micro/nano electro-mechanical systems, thin films, and atomic force microscopes [10,11] It is worth highlighting that classical continuum mechanics theories (CCMTs) are unsuitable for analyzing the mechani- cal behavior of porous structures at small scales This inadequacy ne- cessitates material length scale parameters (MLSP) to compute the mechanical behaviors of microstructures Empirical evidence has vali- dated the indispensability of higher-order continuum mechanics the- ories (HCMTs) in conjunction with the inclusion of the MLSP for comprehensively analyzing the size-dependent behavior of these porous structures [12,13] A wealth of literature ([14–16]) showcases the introduction of numerous HCMTs in recent studies, which aim to examine the mechanical responses of small-scale structures

E-mail address: duongnn@hcmute.edu.vn (N.-D Nguyen)

Contents lists available at ScienceDirect

Structures journal homepage: www.elsevier.com/locate/structures https://doi.org/10.1016/j.istruc.2024.106533

Received 24 February 2024; Received in revised form 12 April 2024; Accepted 2 May 2024