TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP docx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA LÝ TS. ĐỖ XUÂN HỘI TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI B O 2003 L Ờ I NÓ I Đ Ầ U Cuon sách nà y được viết xuất phát từ gi áo trình v ậ t lý thống k ê đã gi a ng ch o các lớp sinh vie n năm t h ứ tư kh oa Vật lý, trường ĐHS P TP . H CM từ m ộ t vài na m qua. Tu y được s o a n th eo ti nh thần cu a chươ ng trình h i e n h a nh t a i khoa V a t l y , trườ n g Đ H SP TP . HCM , nhưng no i dung sa ch cũng đã được mơ rộ n g thêm , nh ằ m cung cấ p tư li ệ u cho sinh viên. Sa c h được trình bày với nỗ lực l ơ n v e mặ t sư phạm : Ngoài ph ần ba i t a p k e m theo mỗi ch ương đ e củng cố cũng nh ư đ ể đào sâu the m những ki ến th ức đã được p h ân t í ch trong phần lý th uy ết, mộ t số đ ề t à i lớn hơn được so ạ n dưới dạ n g các “vấn đề” để sinh viên t ậ p là m quen với vi e c nghie n cứu từng đề tài khoa h ọ c tro n vẹn v à sinh vi ê n thấ y đượ c các l ĩ nh vực áp dụng củ a v a t lý th ống kê, ví dụ như trong vật lý th iên văn. Ph ần nà y cũ ng có thể dùng để gợi ý ch o ca c sinh vi ên l à m seminar tron g năm học, luận văn tốt ng hiệp, hoặc có thể nâng cao th ê m để chuẩ n bị cho c á c l u ận v ă n Th ạ c sĩ v ậ t l ý . Nha n thức đ ư ợc r ằ ng vi e c nắm vững í t nhất l a một ng o ạ i ng ữ đ ể được tự nâ n g ca o trong q u a trình đào tạo là điề u nh ấ t thi ế t phả i có đối với mỗi sinh viên ne n trong phần phụ l ụ c có k è m t h eo một d a nh mục các t ư ngữ đối chi ế u Vi ệt-Anh - Pha p th ươ n g được sử d u ng trong m o n v a t ly th ống kê. Hy vọn g rằng p h a n nà y sẽ gi u p ích c h o ca c sinh viên k h i sử dụng ngo ạ i ngữ trong khi h ọ c tậ p . Cũng cầ n nhấ n m a n h rằng theo ý kiế n của một so nhà v a t lý có uy tín trên thế g i ới thì pha n nhi e t đ o ng lực h ọ c p h a i đ ư ơ c xem nh ư l a hệ quả củ a môn cơ h o c t h ống k e , đượ c trình b a y nh ư mo t mo n vật lý lý th uyế t thự c sư , có n g hĩ a l à ph át xuất t ừ các tiên đ ề , cũng tương tự n h ư môn cơ học lượng t ư chẳ ng h a n . Phầ n kh a c, t a cũ ng nên nhớ ra n g m ô n cơ học thống kê, cùng với cơ ho c lượng tử v à lý thuy ết tương đối, h i ện đang tạo nên mo t trong cá c trụ cộ t của v a t l y hi ệ n đ a i . Cuố n sa c h này đ ư ợc xây dựng tre n tinh tha n đó. M ộ t ca c h tóm t a t thì v a t lý thống k e có thể đ ư ợc hi ểu như l a m o n h o c khảo sát ca c tí nh chất vĩ mô cu a mo t h ệ v ậ t lý xu a t p h át từ các đ ặ c tính vi m ô cu a như ng h ạ t ca u t ạ o nên hệ. N h ưng ca c đặc tí nh vi mô na y ch ỉ có th e được mô tả chính xác bởi cơ h o c l ư ợ ng tử. Vì v a y , để hiểu đ ư ợc cơ sở củ a va t lý th ống kê, điề u tự nhi ê n l à p h ải nắm vữ n g các tính chất l ư ơ ng tử cu a các hạt vi mô. Tuy nhiên, tron g cu ốn sách n a y, những ki ế n thức ve cơ học lượng tử đ ư ợc ye u cầu ở mứ c to i thiểu. N h ững đ i ều gì cầ n thi ế t sẽ được nhắc lại trong suốt gi áo trìn h. Cũng nên no i thêm ra n g rất đ a ng ti ếc là m o t số p h ầ n q u a n trọng cu a v ậ t l ý thống k ê như khảo sát từ tí nh củ a v a t ch ất, h i ện tượ ng chu y e n ph a , hiện tư ợng v a n ch uy ể n,. kh ông đ ư ợc đ e cập đ e n t r ong cuố n s a c h này. Ta c gi ả hy vọng ra n g trong lần tá i b ả n sau sẽ có đ i ều kiện trình ba y ca c va n đề trên. Do ki nh nghiệm co n ít, thời g i an l ạ i rấ t ha n hẹp nê n chắ c chắ n cuốn sách nà y còn nh i e u thiếu sót, mo ng ca c bạn đọc vui lòng lượng thứ và chỉ dẫn để sách được hoà n th iện trong l a n tá i bả n sa u. Tá c g i a x i n trâ n tro n g n g ỏ l ờ i ca m tạ đe n thầ y Hoà n g La n , ng u y ê n Trư ở ng khoa , va tha y Ly Vĩ n h B e , Trưởng khoa Vật lý , trường Đ H SP T P . HCM đ ã t ạ o t ấ t cả các đi e u kiện th ua n l ợ i để nội dung cu a cuốn sách na y đ ư ợc truyề n đạt đế n ca c s i nh vie n tron g v a i n a m vừ a qu a . Đồng th ơ i , tác gi ả cũng xin b a y tỏ lòng biết ơn đế n PGS-T S Ngu y e n Kh ắc Nh a p và thầy Đ ặ n g Q uan g P h úc đ ã vui lòng để ra thì g i ờ quí báu đọc ba n th a o sách và góp ý ch o tác giả. N g o à i r a , tác giả cũ n g ghi l a i ở đâ y lời cá m ơn đến GV Nguy ễn Lâ m Duy và SV Nguy e n T r ọng Kho a đ ã nỗ l ư c đ a nh m a y vi tính bả n thảo với lòng nh iệt tình và ta n tụy nh ất. Cuối cùng , t a c gi ả b à y tỏ l ò ng cám ơ n đ e n P h òng Ấ n ba n trườ n g Đ HSP TP . H CM đa la m vi e c tíc h cư c để cuốn sa c h na y mau cho ng đ ư ợ c in và đế n tay b a n đ ọ c. TÁ C GIA Chươ n g I MÔ TẢ THỐNG KÊ HỆ VĨ MÔ IA Như ng tra ng thái vi mô khả dĩ IB Phương phá p thốn g kê cho hệ vĩ m o IC Tập hợ p thống ke . Ng uyê n lý ergod i c ID E n t r opi thống kê tro ng lý t h uye t tho ng ti n Va t l y t h ố ng kê có đối tượng nghi ên cứu là nhưng hệ vĩ mo , l a nh ữ n g h e ch ư a m o t s o r a t l ơ n nh ư ng hạ t (như ele c tron, photo n, nguyê n tử, phân t ư ,…); nhữ ng hệ na y co thể tồn ta i d ưới như ng t r ạ ng tha i vậ t lý khá c nhau : kh í, lỏng, ra n, plasma và bức xa điệ n từ. V e phươn g diện đo lư ờng, kí ch thước và na ng lượ ng của mo t hệ vĩ mô được xá c định bởi mét (và các bo i so và ươ c so củ a mét) và Jou l e. Tron g khi đó, hệ vi mô là hệ có kích thươ c so sánh đượ c vơ i kích thước cu a nguyê n t ư , ph ân tử, … tư c l a đươ c đo lường bơ i ( = 10 -10 m ), và năng l ươ ng của hệ vi mô sẽ đươ c đo bằ ng đơn vị eV ( ≈ 1,6.10 -19 J o ule ). Mo t ca ch đơn giả n nh ất để thiết l a p mối quan hệ giữa mo t hệ vĩ mô và một hệ vi m ô l a thông qua ha ng số Avogadro N A ≈6,023.10 23 hạt.mol -1 . Độ lớn của hằng số N A n a y cho chú ng ta tha y mư c đo ph ức hợp rấ t lớn của một hệ vĩ mô . Chính vì va y mà để kh a o sa t c a c hệ vĩ mô, ta c a n phải dù ng phương ph áp th o ng ke , để có được nhữ ng đại lượng vĩ mô phá t xu ất từ ca c t í nh cha t cu a ca c h e vi mo . Tr ong chương t h ứ nha t này, ta se g ặ p như ng kh a i niệm cơ bản nh ất đượ c sử dụ ng trong va t l y thốn g ke . Đi e u đầ u ti e n là s ự pha n biệt giư a trạng tha i vĩ mo va ca c tr ạng tha i vi mo kha dĩ đạt đư ơ c ( ac cessible microstate s ) c u a mo t hệ vĩ mo , t a se t h ấy ro sự kh ác biệt giữa hai khái nie m na y q u a thí dụ minh h o a củ a một hệ chỉ có hai hạt. Vơ i th í du này, t a cũn g sẽ đưa vào kh ái nie m các hạt pha n b i e t đượ c và các hạt kho ng phân biệt đ ược; hai kh ái nie m cơ bả n cần pha i nắ m vữ ng trong việc kh ả o sát hệ nhiều hạt . S a u đó, ph ương phá p thống kê se được giới thi e u để đưa ra đị nh nghĩ a củ a h à m pha n bo thố ng ke . Tr ong cá c ph a n tiếp t h eo, nguyên l ý ergo dic được t r ình bày và kh a i niệm entropi thống kê đượ c đư a ra dự a trê n lý t h uyế t t h o ng tin t r ong t r ươ ng hợ p t o ng qua t nhất. I .A Nh ững tr ạ n g thái vi mô kh ả dĩ I .A. 1 T r ạ n g t h á i v ĩ m ô c u a m o t h ệ v a t ly Tr ạng thá i cu a mộ t hệ v a t l y mà ta c o the mô t a bơ i ca c đại l ươ ng vĩ m o , ca m nh a n trực ti ế p bơ i con người được go i là tra ng tha i vĩ mô của he . V í du như n ế u ta x e t mo t khối khí thì cá c đạ i lươ ng vĩ m ô n a y c o t h ể l a t h e t í ch, nh i ệ t độ , … c u a kh o i khí . Như v ậ y, một trạng thá i vĩ mô của hệ đượ c x á c định bơ i các điều kie n mà hệ phụ thuộc. Chẳn g hạn đối với mộ t h ệ kh ô ng tương ta c với môi trường be n ngoa i (hệ cô l ậ p), t h ì nă ng lượng và số hạ t t ạ o tha nh h e luo n có giá t r ị xa c đị nh. I.A . 2 Trạng th a i vi mô l ư ợng tử củ a một h e vật lý Th e o quan điể m củ a cơ học lượng tử, tra ng thá i va t lý của một hạt tạ i một thời đ i e m t được biểu diễ n bởi một vectơ t r on g không g i an t r a ng tha i, đó là vectơ tra ng thái ket y( t) . Sự ti ến ho a theo thơ i gian cu a một trạng t h ái vi mô được mô t a bơi phương trì nh Schrư dinger d ih dt y(t) = H ˆ y(t) , (I.1) trong đó H ˆ là toa n tử H a milton, t o a n tử liên kết vớ i na ng lượng, bằng tổng của t o a n tử động n a ng T ˆ và toa n tử thế năng t ư ơng ta c U ˆ : H ˆ = T ˆ + U ˆ . (I.2) Ne u go i r là vectơ riêng tương ứng vơ i vị trí r của h a t, tí ch vô hướn g r y(t) = y( r r , t) (I.3) cho ta ha m so ng, đặ c t r ưng đầ y đủ ch o t r a ng th á i vật lý của hệ. Tron g trườn g hợ p hệ bảo t o a n ( H ˆ độ c lập đố i với t h ờ i gian t ), nă ng luơ ng E l c u a he ở t r ạ ng t h a i l đươ c x á c định bở i phư ơ ng t r ình trị r i êng: H ˆ i E i j l = l j l vơ i i = 1, 2, …, g l cho bie t sự suy bi ến của hệ . To ng quát hơn, khi đối tượn g nghiên cứu là một hệ nh i ề u hạ t thì ha m sóng Y( q 1 , q 2 , …, q f ) t h eo cá c bi e n so là tọa độ q i sẽ đ ặ c trưng đầy đu cho hệ ha t. Ở đ â y , f là so lượ ng t ử cu a hệ. Chú ý ra ng khi t a n o i đến tra ng thái vi mô của mo t hệ vĩ m o th ì ta nga m hiểu ra ng đó ch ính là tra ng thái vi mô lươ ng tử. Co n nếu ta nha n m a nh đế n t r a ng tha i vi mô cổ điển thì có n ghĩ a là tí nh cha t của hệ đượ c khảo sa t thô ng qua cơ h o c cổ đi e n New ton nh ư ta sẽ t h ấy. Dĩ nhiên rằng khi na y , kết quả của chu ng ta thu đươ c chỉ là gần đú ng mà t h ô i. Th ông thường t h ì một hệ vĩ mô luôn được đặt d ươ i mộ t số điề u ki e n (v ĩ m o ) nà o đó gọi là hạn chế ( con s t r aint ), chẳng hạ n như đố i vơ i một khối khí cô la p, kh ông tương t á c với m o i trường bê n ng oài thì na ng lươ ng và số hạt của hệ xem như là những điều ki ệ n d o mo i t r ườ ng be n ngoà i a p đặ t cho he , và dĩ nh i e n là hai đạ i l ươ ng nà y là khôn g đổi. Kh i đó se tồn t a i một số nh ững trạ ng thái v i mô khác nhau của hệ tươn g ứng vớ i cùng mộ t trạng tha i vĩ mô na y . S o trạng thái vi mô na y thường đươ c kí hie u là Ω , đóng v a i trò t r ọ ng yếu t r on g vi e c nghiên cứu vật lý tho ng kê. Ví du : Để dễ hiểu va n đề, ta sẽ xét m o t hệ nhie u ha t đơn giản go m chỉ hai hạt phâ n biệt đươ c, tức l à c o t h e đ á nh d a u đượ c l à h a t A va h ạ t B. H a i hạt na y đượ c ph ân b ố trê n ba mức năng lượng các h đề u nh au là 0 = 0 , 1 = , và 2 = 2. Giả sử n ă n g l ươ ng t o àn ph ần củ a hệ đượ c ấn định ba ng: E = 2. Ta h ã y xé t những tra ng tha i v i mô khả dĩ của h e tương ư ng vơ i tra ng tha i vĩ mô này. e 2 = 2e B A e e 1 = e A B e e 0 = 0 A B (1) (2) (3) H.I.1 Ta có thể đế m số trạn g tha i vi mô bằ ng cách d u ng sơ đồ nh ư hình t r e n: các h a t A và B được sắp xe p trê n các m ứ c na ng lượng sao cho tổng năn g lượng củ a ha i hạt b a n g 2. Va y , c ó t a t c a l a 3 t r a ng tha i vi mô khả dĩ: (1), (2), và (3); Ω = 3. Vì hai ha t A và B phân biệ t được nê n ha i trạ ng t h a i v i mô (1) và (2) ph ải đươ c xem là khác nhau. Nế u t a gi ả sử hai hạ t t ạ o tha nh he là khô ng ph ân biệt được thì t a sẽ co sơ đồ s a u: e 2 = 2e · e e 1 = e ·· e e 0 = 0 · (1’) (2’) V ậ y kh i n à y t a c o Ω = 2, nhỏ hơn so với trường h ơ p hệ ca c h a t pha n bie t được. H.I. Bây gi ờ ta giả sử rằ ng mức năng l ươ ng 1 suy biến bậc 2 (tứ c l à ở mức nă ng lượng 1 , sẽ có ha i trạ ng t h ái l ượ ng t ử kha c nhau). Kh i hai hạ t là ph a n biệt được, ta có Ω = 6 như được b i ể u die n trong sơ đồ s a u: e 2 = 2e A B e e 1 = e A B B A AB AB e e 0 = 0 B A (1) (2) (3) (4) (5) (6) H.I . 3 ( Ở đ a y , t a g i a t h i ế t r ằ n g h a i h a t c o t h e cùng ở một trạn g t h ái lượng tư ). Cò n khi ha i hạ t là kho ng phân bie t đượ c, t a se có Ω =4. e 2 = 2e · e e 1 = e · · · · ·· e e 0 = 0 · (1’) (2’) (3’) (4’) H.I . 4 I.A.3 Trạng th a i vi mô co điển Ở mộ t mư c độ gần đú ng na o đo , tra ng t h ái vi mô c ủ a mộ t hệ vĩ mô c ó thể đượ c mô tả bở i c ơ ho c cổ điển. T a sẽ xé t trườn g hợp đơn giả n nhất là trường hợ p một ha t chuyển độ ng một chiều và sẽ m ở rộ ng cho trường hơ p tổn g q u át hơn. a) Mo t hạ t chuyển động mộ t ch iều Vơ i khái n i ệ m bậc tự do là số tọa độ cần thiết để xa c định vị trí của h a t thì trường hợp đơn giản nà y là he có một ba c tự do. T a biết rằ ng t r ong cơ học co đ i e n, trạng thái cơ ho c cu a mo t ha t đượ c m ô tả bởi tọa độ suy rộng q v a độ ng lượng suy rộn g p, l à nghie m củ a hệ ph ương trì nh Hamil ton: ⎧ ⎪ q & ⎪ ⎨ = ¶H ¶p (I.5a) ⎪ p & = - ¶H ⎪ ⎩ ¶q (I.5b) vơ i H là hàm H a milton của hệ. Như va y , ta co t h ể nó i rằng trạng thá i cơ họ c (cổ điển) cu a hạt t ạ i mo i thời đ i ể m t đươ c biểu diễn b ằ ng m ộ t đ i e m c o t ọ a đo (q, p) g o i l a điể m pha trong khô ng gian ta o bởi hai trục tọa độ Oq va Op go i là không g i an pha ì, l à kho ng gian hai chiều. Vì cá c đại lượng q và p biế n thi e n theo t h ơ i g i a n nên điể m pha (q, p) vạch t h a nh mo t đường trong không gian pha; đó là quĩ đạ o pha . Ví du : Xe t một dao đo ng tử đi ề u ho a tuye n t í nh có đo ng n ă ng T = p và t h ế n ă n g U = 1 mw 2 q 2 , 2m 2 vơ i m và l à khối l ượ ng và ta n so go c c ủ a dao đo ng tử. T a có h à m Hamil ton: H = T + U = p 2 + 1 mw 2 q 2 , 2m 2 ¶H p q & = = , ¶p m ¶H 2 p & = - = -mw q , ¶q q & & = p & = -w 2 q . m Ta có phươn g trình vi ph a n theo q: q && + w 2 q = 0 . Þ q = q 0 sin(w t + j) , v ơ i q 0 , ư là hai hằ ng số phụ thuộc điề u ki ệ n đầu. Þ p = mq & = p 0 cos(t + j), p 0 = mwq 0 . Để tìm quĩ đa o ph a , t a t h ie t lậ p hệ t h ư c gi ữ a q v à p độc l a p vớ i t: q + p = 1 . 2 2 0 0 V ậ y q u ĩ đ ạ o ph a l à m o t e lli p c o c á c b a n t r ụ c l à q 0 và p 0 = mwq 0 . qu ĩ đạ o pha p p · p 0 · (q,p): điể m pha dp -q 0 q 0 q s = 2ph -p 0 O dq q Để đe m số tra ng t h ái vi mô khả dĩ cu a hạt khi trạng thá i cơ ho c của h a t đươ c biểu diễn t r ong kh ông gian pha , t a chia đều cá c t r u c Oq và Op tha nh nh ững lượn g nhỏ q va p. Như vậy, khô ng gian pha trong trường hợ p này là ma t ph ẳ ng đươ c pha n thành nhữ ng ô ch ữ nh ật nhỏ, mỗi ô có d i ện tích bằ ng s = dqdp . Mộ t tra ng t h á i cơ ho c cu a hạt tương ứng vơ i một điể m pha nằ m trong ô na y . Cá ch mô tả càng chính xác khi ĩ ca ng nho : trong cơ học cổ điể n, ĩ đượ c ch o n nhỏ t uy y , tứ c là một ô se trở thà nh một điểm chính là điểm ph a. Chú y rằng t h eo cơ học lượng tử , n guyê n ly bất định Heis enberg ch o ta hệ thức: q.p ³ 2ðh , vớ i = h h 2 ð (h là hằng s o P l anck ). Tức là kho ng tồn ta i m o t t r ạng tha i cơ học với các đạ i l ươ ng q và p cù ng đươ c xác đị nh với độ ch ính xá c tùy ý. Vậy mo i trạ ng t h ái vi m o của h ạ t pha i đượ c b i e u di ễ n bở i một ô có di e n tí ch bằ ng s 0 = dqdp = 2ph , chứ kh ô ng pha i b ơ i một điểm pha nh ư t r ong cơ ho c c o điển. 2 2 2 q p H . I . H.I.5 b) Tr ường hợp hệ có f bậ c tự do T ứ c là khi n a y, hệ đượ c mô ta bở i f tọa đo suy rộng (q 1 , q 2 , …, q f ) và f đo ng l ươ ng suy rộ ng ( p 1 , p 2 , …, p f ). Ví du : - He go m mộ t hạt chuye n đo ng trong không gian ba chiều có vị t r í xa c định bởi ba tọa độ ( q 1 ≡ x , q 2 ≡ y , q 3 ≡ z ), vậy hệ na y có ba bậc t ự do: f = 3. Kh ông gian ph a tư ơng ứ ng sẽ là không gian pha 6 chiều: ( q 1 , q 2 , q 3 , p 1 , p 2 , p 3 ). Mỗi ô đặc trưng ch o mộ t tra ng thá i vi mô có t h ể tí ch ( dqdp ) 3 . - H e có N hạ t: vì mỗi h a t có ba bậ c tự do nên he c o số b a c t ư d o l a : f = 3N. Hệ nà y tương ứng vơ i kh ông gian ph a 6N chiều. V ậ y t ậ p hợ p c a c đ a i l ươ ng (q 1 , q 2 , …, q f , p 1 , p 2 , …, p f ) tương ứn g với một điểm pha t r ong khôn g gian pha 2f chiều, gọ i là khong gian K , để phân biệt vơ i kh ô ng gian ph a ì c o h a i ch i e u . T ương tự tr ên, mỗi trạng t h a i cơ học cu a he có f ba c tự do đượ c biểu diễn bởi mo t “ô” co thể tích thỏ a điều ki ện: q 1 q 2 q f .p 1 p 2 p f = ĩ f vớ i ĩ nhỏ t uy ý theo cơ học cổ đie n. Nhưng t h eo cơ học lượng tử, m o i trạn g thái v i m o củ a he trên đư ợc biểu di e n bơi một “ô” có thể tích t h ỏ a điều kiện: q 1 q 2 q f .p 1 p 2 p f ³ (2ðh) f tua n theo nguyên lý ba t đị nh Heisenberg . V ậ y , đố i với hệ N h ạ t chẳng ha n, t h ì m o i tra ng th á i tương ư ng với mo t ô trong kh ông gian ph a có thể tích ( 2ðh ) 3N = h 3N . I . A.4 Mậ t độ tr ạ n g tha i Xe t t r ườ ng hợ p na ng lượng E của hệ vĩ m o có ph ổ liên tụ c. Ta chi a năng lượng E ra từng ph ần nh ỏ dE sao cho dE va n chứa m o t số lớn nh ững tra ng tha i vi mô khả dĩ. G ọ i Ω (E) là số t r ạng thá i vi mô kh ả dĩ có năng lươ ng ở trong kh oảng E và E + d E . Kh i d E đủ nhỏ mà Ω (E) có thể đươ c viết: Ω (E) = r(E).dE , (I.6) (với d E đủ nhỏ, ta chỉ giữ la i số ha ng đầu) trong đó r(E) độc la p vơ i độ l ơ n d E , thì r(E) được gọi là mật độ tr ang thái , vì t h ực ch ất thì the o công thư c tre n, r(E) là số trạng tha i vi m o có đươ c trong mộ t đơn vị na ng lượn g. I . A.5 Sự phu t h u o c c u a s ố tr ạ ng tha i v i mo kh a d ĩ the o nă n g lượ ng Xe t t r ườ ng h ơ p mộ t kh ối khí gồm N phân t ư g i ố ng nhau chứa t r ong một bình có t h ể t í ch V. N a ng lươ ng toa n pha n củ a kh ối khí là E = K + U + E int , trong đó , K l a độ ng năn g của chuye n động tịnh ti ến của các pha n tử khí đượ c tính theo động lư ơ ng p i của kho i tâm m o i pha n t ư ; K chỉ phụ thuộc ca c động lượn g này: r r r 1 N r K = K(p 1 , p 2 , , p N ) = p i 2 . 2m i =1 r r r Đạ i lươ ng U = U( r 1 , r 2 , , r N ) biể u thị thế nă ng tương tác giữa cá c phâ n tử, phụ th uộc khoa ng cách tương đố i g i ữ a các ph ân tử , t ứ c l à ch ỉ phụ thuo c va o vị trí kh ối tâm của c á c pha n tử. Cuối cùng nếu các ph â n tử khô ng phải là đơ n nguyên tử , các nguye n t ư củ a mỗ i phân t ử có the qua y hoặc d a o độ ng đố i vớ i kho i tâm , các chuy ển độ ng no i tại n à y đươ c đa c trưng bơ i ca c to a độ n ộ i ta i Q 1 , Q 2 , …, Q M và độ ng l ư ợ ng no i ta i P 1 , P 2 , …, P M . Nh ư vậy, E int l a n ă ng lượng của các chuyen độ ng no i ta i này và chỉ phụ t h uộc v a o Q i và P i (ne u l à phân tử đơn nguyên tử thì E int = 0). Trươ ng hợp đặ c biệt đơn g i a n l à U @ 0 : tương tá c giữa cá c ph a n t ử rấ t nh ỏ so vớ i c a c so ha ng kh ác, có t h ể bỏ qua. Khi đó, ta có h e khí l ý t ư ởng. Tr ườ ng hợp n à y x a y ra khi mật độ pha n t ư N/V ra t nh ỏ là m cho khoả ng ca ch t r ung bì nh gi ư a ca c phân tử t r ở nê n ra t lớn. Giả sử rằng t a xét khố i khí l y tưởng ở giới ha n cổ điển. Khi này, số tra ng tha i vi mô kh ả dĩ Ω (E) có n ă ng l ượng trong khoảng ( E , E + dE ) sẽ bằn g số điểm pha trong kho ng gi a n ph a gi ơ i h ạ n bở i E và E + dE : E + d E ị ị r r r r Ω ( E) µ E dr 1 dr 2 dr N .dp r 1 dp r 2 dp r N .dQ 1 dQ 2 dQ M .dP 1 dP 2 dP M , trong đó : dr i = dx i dy i dz i và dp r i = dp ix dp iy dp iz . Vì ị d r r = V nên: Ω (E) µ V N Ω 1 (E) , (I .7a) vớ i: Ω i ( E) µ E + dE ị ị dp r 1 dp r 2 dp r N .dQ 1 dQ 2 dQ M .dP 1 dP 2 dP M . E độ c l a p đo i với V. Hơn nữ a , trong trường hợp khí đơn nguyê n tử: E int = 0, và 1 2 E = p i a , 2m i =1 a=1 go m 3N = f số h a ng toàn ph ươn g. Va y trong kh ông gi a n f-chiều cu a độ ng lượn g, phương t r ình E = const b i e u diễn m o t ma t c a u bán kính R(E) = (2mE) 1 / 2 . Số tra ng t h ái như vậ y b ằ ng số điểm pha nằm gi ư a h a i mặt ca u có b a n kính R(E) và R(E+E). M a s o tra ng thái Ư chứa trong khố i cầ u bán kí nh R(E ) đượ c t í nh: ne n Ư(E) µ R f = (2mE) f / 2 , Vậ y : Ω (E) = Ư(E + dE) - Ư(E) = ¶Ư dE . ¶E Ω ( E) µ E f 2-1 = E 3N 2-1 @ E 3N 2 . Pho i hơ p kết q u ả trên v ớ i (I.7 a ), t a có : Ω (E) = AV N E 3N 2 , (I.7b) vớ i N có độ lớn khoảng b ằ ng hằng số Avogadro. Tư c là Ω (E) t a ng ra t nhanh theo N. To ng qua t h ơ n trường h ơ p đặc b i e t t r e n, ta có thể chư ng minh ra ng: . (I.7c) Ω (E) µ E f Tứ c là số tra ng t ĩ là hàm ta ng rất nha nh theo nă ng lượng, đó là tính cha t ra t q u an tro ng của cơ họ c tho ng k e của hệ vĩ m o . Chú ý rằng trong cô ng thức (I.7c) ơ trên, điều ta cần chú ý l a độ lớn chứ không phả i giá trị chí nh xá c của Ω (E) , do đó , t a khôn g quan tâm đế n số mũ của E là f h a y l a m ộ t s ố h a ng c u n g đo l ớ n v ớ i f. i N 3 ha i vi mô khả I . B Phươn g ph a p t h ố ng k ê c h o hệ vĩ mô I.B.1 Hàm pha n bố th ố ng kê Trươ c khi đưa vào định nghĩa h à m pha n bố thốn g kê, t a nh ắc lại nga n gọ n v à i khái n i e m cơ bản trong lý t h uyế t xác su ất: Mo t bie n c o đượ c gọ i là ngẫu nh iên khi t a không có đủ t h ô ng tin để bie t trước kết quả . Kết quả của một biến cố như v a y được gọ i là bi ế n ngẫu nhiên. Ví du : Ke t qua của vie c ném một con xu c sa c, hoặc: V a n t o c c u a m o t ph a n t ư kh í s a u m ộ t la n v a ch a m vơ i một phân tư kha c l à các biế n nga u nhiên. G ọ i t ậ p h ợ p c a c biến cố na y là {e m ; m = 1, 2, …}, và go i N m l a so la n biến co e m xuất h i ệ n s a u N phép thử đo ng nha t (tứ c là các phé p thử được thực hiệ n trong cu ng các điều kiệ n giống nha u ). Xa c sua t của biến cố e m đượ c đị nh n ghĩa là: N m P m = lim , N ®¥ N N m gọi là số bi ế n co thua n lơ i. Vì N m , N ≥ 0 v à N m ≤ N, ta có ngay tính cha t của P m : 0 ≤ P m ≤ 1. Tr ong đó, P m = 1 cho ta biến co cha c chắ n và P m = 0 khi b i ến cố là bất kh ả (kho ng thể xả y ra). Trươ ng hợp biế n ng ẫu nh iên có giá trị t h ư c, liên tục trong khoảng (x 1 , x 2 ) v ơ i x l a m ộ t g i a t r ị t r o ng khoảng na y : x Ỵ (x 1 ,x 2 ), và x là gia số tại x, ta go i N(x) là số l a n biến cố cho ta kết quả ở t r ong kh oảng (x, x+x), xác suấ t để điều na y x a y ra là : P(x) = lim N ®¥ N(x) N , (I.8) Khi đó, nế u tồn tạ i m o t hàm so thư c r(x) sao cho: r(x) = lim x®0 P(x) x , (I.9) thì ha m r(x) đươ c go i là mậ t độ xá c sua t , ha y hàm phân bo thống kê t í nh ta i x. P(x) x x+x + + + + + O x 1 x x 2 H . I . 7 T a có thể vie t bie u t h ư c của xa c su a t nguyên tố l à : dP(x) = r(x).dx . (I.10) (T a co thể h i e u rằng t a đã khai t r iể n T a yl or cu a dP(x) t h eo dx và chi giữ lạ i số hạn g đa u). Tron g trườn g hợ p ta có ba bi ế n ngẫu nhiên liên t u c, độc lập nha u ( x, y, z ), ta sẽ có ha m phân bố tho ng kê là hà m theo (x, y, z): r(x, y, z). Xác suất nguyên t o để x, y, z ở trong khoảng (x, x+dx), (y, y+dy), (z, z+dz) đượ c v i ết: dP(x, y, z) = r(x, y, z).dxdydz . (I.11a ) Ta có thể viế t ngắn go n hơn: dP( r ) = r( r ).dr , (I.11b) , [...]... 2/ Xột tp hp thong ke ca nhiu dao ng t iu hũa tuyn tớnh cú cựng tan s gúc w v cú cung nng lng ton phan Gia s rng cỏc giỏ tr cua pha au j u ng xỏc sut trong khong 0 v 2p (gia thiet vi chớnh tac) Tr trung bỡnh trờn tp hp cua mt i lng f c tớnh: 1 2p f f (j)dj , = 2 0 2 Hóy tớnh x v x Suy ra rng h cỏc dao ng t ny l tp hp ergodic 3/ Ta cú th suy ra rng h gm nhiu dao ong t iu hoa tuyen tớnh la tp hp ergodic... din bi mot im pha trong khụng gian pha G Xột tp hp thong kờ cua he co lp ny So h cua tap hp cú v trớ va ng lng nam trong thetớch pha nguyờn t (dq 1 , dq 2 , , dq f , dp1 , dp 2 , , dp f ) c tớnh bi: r(q 1 , q 2 , , q f ,p1 ,p 2 , ,p f )dq 1dq 2 dq f dp1 dp 2 dp f , (II.2) vi r(q 1 , q 2 , , q f ,p1 ,p 2 , ,p f la mt s h trong khụng gian pha ) Moi h ca tp hp thng kờ chuyn ng theo thi gian, qui nh bi... P1 , P2 , , Pi , Pi+1 , , PM ) = S( P1 , P2 , , Pi+1 , Pi , , PM ) ã S cú giỏ tr cc tiu: Smin = 0 khi mt trong cỏc bien c l chc chn Pi = 1 (tc l khi ú Pj = 0 , jại ) Vay, khi ta cú y thụng tin v mot tp cac bin c, entropi thng kờ cú giỏ tr cc tiu bng khụng ã S co gia tr cc i Smax khi tat c M bien c l ng xỏc sut: S = k ln M (I.30) 1 P1 = = = PM = ị max M P2 Nhng khi cac bin c l ng xỏc suat tc l ta... entropi thng kờ c xem nh l o ca s thiu thong tin liờn quan n nhng trng thai vi mụ ca h v mụ Noi cỏch khỏc, entropi thng ke l o ca tớnh ngu nhien (hay tớnh hn loan) liờn h n c tớnh vi mụ ca mt h v mụ BI TP BT I.1 Xột ba electron cú nng lng ton phn l E = 2e, c phan b trờn ba mc nng lng cỏch u nhau: e0 = 0, e1 = e, e2=2e Bac suy bin ca cac mc ln lt la: g0 = 3, g1 = 2, g2=2 1/ V s phan bo cac electron trờn... cha cú cung kớch thc, cho vao cựng mt loi khớ, t di cựng nhng iu kien nh ỏp sut, nhit , Khi s he nay l rat ln, ta cú tap hp thng ke (hay tap hp Gibbs) Ti mt thi iem nht nh no o, ta xột tt c cac he cua tp hp thng kờ ny: cac h nay u trong cựng trng thỏi v mụ, nhng cú th trong cỏc trng thai vi mo khac nhau Vy, nhng h ny ch ging nhau mc v mụ, nhng s tin hoa theo thi gian ca chỳng li khỏc nhau mc o... h trang thai (l) cú mc nang lng El: , E Ê E l Ê E + dE C = const Pl = (II.1) , E l (E, E + dE) 0 Khi nay, ta núi rng h S trng thai phan b vi chớnh tc Tap hp thng kờ gom nhng h tng t vi h S c goi la tp hp vi chớnh tac Tien c bn trờn ó c i chng vi lý thuyt v thc nghim V qu tht la cho n nay, cac tớnh toỏn da tren tiờn ny u cho nhng kt qu phự hp vi thc te quan sỏt c II.B.2 nh lý Liouville Trong c hoc... mot i lng vt lý ca mt h tai mot thi im nao ú trựng vi giỏ tr trung bỡnh ca i lng ny tớnh theo thi gian ca mt h duy nht Núi khỏc i, ta cú s tng ng gia tr trung bỡnh theo thi gian v tr trung bỡnh trờn tp hp: f = f Trong vat lý thng kờ, thay vỡ tớnh giỏ tr trung bỡnh cua mot i lung theo thi gian, ta se luụn luon s dng tr trung bỡnh trờn tap hp, cú ngha rng ta luụn xột mt tap hp thng kờ ca h m ta kho... gian pha ) Moi h ca tp hp thng kờ chuyn ng theo thi gian, qui nh bi cỏc phng trỡnh: (II.3) ảH p ảH q = , & =, ảq i & ảp i i i vi H = H(q 1 , q 2 , , q f ,p1 ,p 2 , ,p f ) l hm Hamilton ca he Vỡ s h trong tp hp thong kờ c bo toan nờn s im pha ra khoi mt th tớch V bt k no ú trong mt n v thi gian phi bng tc gim ca s im pha trong th tớch V ú Vi vr = (q& , q& , , q& ,p& l tc chuyen ng ca mt im pha va n l... chớnh tac, q trang thỏi cõn bng tng ng vi cỏc i phỏt biu: r = const vi E0 < E < E0+dE, v T r = 0 ti cỏc vựng cú a nng lng khong tha hai bt ng thc kep trờn Tom lai, nh lý n Liouville cho ta h bit rang tp hp thong kờ tng ng n vi trng thỏi cõn g bng l h tap hp co r = const trong khụng gian pha, a tc l cac trng thỏi kh d l ng xỏc suat ieu ny d hon toan phự hp vi tiờn c bn ca c hc thng u n ke g II.B.3 . TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA LÝ TS. ĐỖ XUÂN HỘI TÀI LIỆU LƯU HÀNH . k ê đã gi a ng ch o các lớp sinh vie n năm t h ứ tư kh oa Vật lý, trường ĐHS P TP . H CM từ m ộ t vài na m qua. Tu y được s o a n th eo ti nh thần . li ệ u cho sinh viên. Sa c h được trình bày với nỗ lực l ơ n v e mặ t sư phạm : Ngoài ph ần ba i t a p k e m theo mỗi ch ương đ e củng cố cũng