Trong đường tròn a Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.. Khi đường thẳng a là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm..
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài viết này trình bày về các hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao AH Ký hiệu a, b, c, b', c' và h lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB, CH, BH và AH Bài viết sẽ giới thiệu và chứng minh các công thức liên quan đến các yếu tố này.
5 1 b 2 + 1 c 2 = 1 h 2 Các công thức trên đều có thể được chứng minh bằng tam giác đồng dạng.
Lượng giác
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi làsin của gócα, kí hiệu là sinα.
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi làcoscủa góc α, kí hiệu làcosα.
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của gócα, kí hiệu làtanα.
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của gócα, kí hiệu làcotα.
Như hình trên, ta có sinα= AC
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Ta có các tính chất sau
0 1 DA 1
2 Gọi M là trung điểmAC Chứng minhDH vuông góc BM.
Bài toán 24 (HSG TPHCM 2013) Cho tứ giácABCD nội tiếp đường trònO Các tiaAB, DC cắt nhau tại
E, các tiaAD, BC cắt nhau tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giácBCE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF tại M Chứng minh rằng
1 Ba điểmE, M, F thẳng hàng và bốn điểmA, D, M, E nằm trên một đường tròn.
2 OM vuông góc với EF.
3 Ba đường thẳng OM, AC, BDđồng quy tại một điểmI.
Bài toán 25 (Hải Dương 2008) Cho tam giác nhọnABC(AB < AC) có các đường caoBD, CE cắt nhau tại
H GọiIlà trung điểm củaBC, đường tròn ngoại tiếp tam giácBEIcắt đường tròn ngoại tiếp tam giácCDI tạiK khácI Đường thẳng DEcắtBC tạiM Chứng minh rằng ba điểmM, H, K thẳng hàng.
Điểm Miquel - Định lý Miquel
a) Điểm Miquel của tứ giác: Định lý phát biểu: Cho tứ giácABCDcó cạnhAB, CDcắt nhau tạiM, cạnhAD, BC cắt nhau tạiN Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABN, BCM, M AD, N CD cùng đi qua một điểm E (Gọi là điểm Miquel của tứ giácABCD).
Chứng minh Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giácM AD, N CDcắt nhau tại giao điểm thứ hai làE (khácD) Ta chứng minhE thuộc đường tròn ngoại tiếp các tam giácM BC, N AB.
Tức là chứng minh các tứ giácM BCE, N BAE nội tiếp Thật vậy tứ giácDCN Enội tiếp nên:M DE=\\ CN E.
Tứ giác ADEM nội tiếp nên M AE\ =M DE\ kéo theo M AE\ =CN E\ suy ra ABN E nội tiếp Mặt khác ta cũng có:ECN\ \ vàEDN\ =AM E\ Từ đóAM E\ \ suy raBM EC nội tiếp Như vậy các đường tròn ngoại tiếp các tam giácABN, BCM, M AD, N CD cùng đi qua một điểmE Bài toán được chứng minh. b) Định lý Miquel đối với tam giác: Định lý phát biểu: Định lý Miquel đối với tam giác: Trên các cạnhAB, BC, CAlần lượt lấy các điểmF, D, E.Khi đó ba đường tròn ngoại tiếp các tam giácAF E, BDF, CEDcắt nhau tại một điểmM (Gọi là điểm Miquel trong tam giácABC).
Giả sử đường tròn ngoại tiếp các tam giácAEF vàBDF cắt nhau tạiM Ta có:
EM D\ = 360 ◦ −EM F\ −DM F\ = 180 ◦ −F AE[ + 180 ◦ −EM F\ +Bb= 180 ◦ −Cb
VậyEM DC là tứ giác nội tiếp Suy ra ba đường tròn ngoại tiếp các tam giácAF E,BDF,CEDcắt nhau tại một điểmM Bài toán được chứng minh.
Một số bài toán ứng dụng của định lý Miquel
Bài toán 26 Cho tứ giácABCD cóE là giao điểm củaAB vàCD,F là giao điểm củaADvàBC GọiM là điểm Miquel vàO 1 , O 2 , O 3 , O 4 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giácEBC, CDF, EAD, ABF. Chứng minh rằng 5 điểmM, O1, O2, O3, O4 cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt (O) tại A, D Giả sử BD cắt AC tại F, CD cắt AB tại E, (ABF) cắt (ACE) tại P (P khác A) Xét đường tròn (S1) đi qua C tiếp xúc với AB tại A và đường tròn (S2) đi qua B tiếp xúc với AC tại A, (S1) cắt (S2) tại Q (Q khác A) Ta cần chứng minh tam giác OPQ vuông.
Định lý con bướm
Định lý phát biểu: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), E là giao điểm của AC và BD Đường thẳng qua E cắt AD, BC tại M, N Khi đó, E là trung điểm của MN khi và chỉ khi MN vuông góc với OE.
Chứng minh Gọi M1 vàM2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đoạn thẳngAE vàDE Tương tự gọiN1 và
N2 lần lượt là hình chiếu củaN trên đoạn thẳngBE vàCE Kéo dàiM N cắt đường tròn tâm (O) tại 2 điểm
P, Q DoM N ⊥OE, màP, Qthuộc đường thẳngM N nên OE⊥P Qsuy ra E là trung điểmP Q Do
Từ các đẳng thức trên, ta có:
=(P E−M E).(EQ+M E) (P E+EN).(QE−EN) =P E 2 −EM 2
P E 2 −EN 2 (theo phương tích vàE là trung điểmP Q) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
P E 2 = 1 Suy raEM =EN nênE là trung điểmM N Bài toán được chứng minh.
Một số bài toán ứng dụng định lý con bướm
Bài toán 28 (Moldova TST 2010) Cho tam giác nhọnABC cóH là trực tâm và M là trung điểmBC Kẻ đường thẳng quaH vuông góc với HM và cắtAB, AC lần lượt tạiP vàQ Chứng minh rằngM P =M Q.
Bài toán 29 Cho đường tròn (O)và dâyAB LấyI là một điểm bất kì thuộc dâyAB, vẽ hai dây CD, EF cùng đi quaI(CvàE nằm về cùng một phía vớiAB) Gọi giao điểm củaCF, DEvớiABlần lượt làM vàN.
Bài toán 30 Cho tam giác nhọnABC cóADlà đường cao,O vàH lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC Kẻ đường thẳng qua D và vuông góc với OD , cắtAB ở K Chứng minh rằng DHK\ +AHC\= 180 ◦
Bài toán 31 (Singapore 2011) Cho tam giácABC nhọn, không cân,O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giácABC,AB > AC.Qlà điểm trênAC, kéo dàiHQcắtBCởP sao choDP vớiD là chân đường vuông góc hạ từAxuốngBC Chứng minh rằngODQ\= 90 ◦
Bài toán 32 là một ví dụ điển hình về Định lý con bướm mở rộng, trong đó cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn tâm O và P là giao điểm của AC và BD Một đường thẳng d bất kỳ đi qua P sao cho P là hình chiếu vuông góc của O lên d Gọi X là giao điểm của d và AB, Z là giao điểm của d và CD Bài toán yêu cầu chứng minh P là trung điểm của XZ.
Bài toán 33 (Mông Cổ TST 2008) Cho tam giác nhọnABC cóCDlà đường cao,H là trực tâm vàOlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC Một đường thẳng đi qua điểmD, vuông góc vớiOD và cắt BC tại E. Chứng minh rằngDHE\ =\ABC.
Bài toán 34 (MOP 1998) Cho hai đường tròn(C)và(C ′ )có cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểmA, B Gọi
O là trung điểmAB Dây cung CD của đường tròn(C)qua điểmO LấyP là giao điểm của đoạn thẳngCD với(C ′ ).EF là dây cung (C ′ )quaO và đoạn thẳngEF cắt(C ′ )tại Q Chứng minh rằngAB, CQ, EP đồng quy.
Định lý về đường thẳng Simson
Định lý Simson khẳng định rằng hình chiếu vuông góc của một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác lên ba cạnh của tam giác đó sẽ nằm trên cùng một đường thẳng Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Simson của điểm đó đối với tam giác.
Ta có: CB\ ′ S\ ′ S = 90 ◦ , suy ra tứ giácA ′ B ′ CS nội tiếp, suy raB\ ′ A ′ C=\B ′ SC Mặt khác vìABSC nội tiếp nên
Nhưng vìA ′ BC ′ S là tứ giác nội tiếp (BA\ ′ S \ ′ S ◦ ) nênBSC\ ′ \ ′ C ′ suy ra B\ ′ A ′ C \ ′ C ′ VậyA ′ , B ′ , C ′ cùng thuộc một đường thẳng Bài toán được chứng minh.
Định lý về đường thẳng Steiner
Định lý phát biểu: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm S bất kì thuộc đường tròn sao cho S không trùng với các đỉnh của tam giác Gọi A', B', C' lần lượt là điểm đối xứng với S qua các đường thẳng BC, CA, AB Khi đó ba điểm A', B', C' và trực tâm H của tam giác ABC cùng nằm trên một đường thẳng Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Steiner của điểm S đối với tam giác ABC.
Ta có: AC\ ′ B +AHB\ = ASB[ + (180 ◦ −\ACB) mà ASB[ = \ACB nên AC\ ′ B +AHB\ = 180 ◦ , suy ra AHBC ′ là tứ giác nội tiếp Từ đó AHC\ ′ C\ ′ S[ Hoàn toàn tương tự, tứ giác AHCB ′ nội tiếp nên AHB\ ′ B\ ′ S[ Lại cóACS[ +ABS[ = 180 ◦ (tứ giác ABSC nội tiếp) Do đóAHB\ ′ +AHC\ ′ = 180 ◦ , suy raH, B ′ , C ′ thẳng hàng VậyA ′ , B ′ , C ′ , H cùng thuộc một đường thẳng Bài toán được chứng minh. Một số bài toán ứng dụng đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner
Bài toán 35 Cho tam giácABCnhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâmO ĐiểmM thuộc cung nhỏBC.
VẽM E, M F lần lượt vuông gócAC, AB tạiE, F.Gọi H là trực tâm của tam giácABC, đường thẳngEF cắt
HM tạiI Chứng minhI là trung điểmHM.
Cho đường tròn (O) và ba dây cung AB, AC, AD bất kỳ Các đường tròn đường kính AB, AC, AD đôi một cắt nhau lần thứ hai tại M, N, P Bài toán yêu cầu chứng minh rằng ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài toán 37 Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF Từ E kẻ EH, EK lần lượt vuông góc với
CF, BC Chứng minh rằngHK đi qua trung điểmEF.
Bài toán 38 Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O) P là một điểm bất kì nằm trên cung nhỏ BCcủa (O) Kẻ đường thẳng qua P vuông góc vớiBC, cắt(O)tại điểm thứ haiK Chứng minh rằngAK song song với đường thẳng Simson củaP ứng với tam giácABC.
Bài toán 39 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu của D trên
BC, CA, AB GọiM, N lần lượt là trung điểmAB, XY Chứng minh rằngM N D\ = 90 ◦
Điểm Humpty - Điểm Dumpty
Điểm Humpty là một điểm đặc biệt nằm trong tam giác ABC, được xác định bởi tỉ lệ diện tích: PAB/PABC = PAAC/PABC Điểm Humpty có thể được tìm thấy như giao điểm của hai đường tròn: một đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc BC tại B, và một đường tròn đi qua A, C và tiếp xúc với BC tại C.
B - Humpty vàC - Humpty được định nghĩa tương tự.
Tính chất 1: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Khi đó, giao điểm thứ hai của đường tròn (AH) và đường tròn(BHC)là điểmA - Humpty.
Chứng minh Gọi CH∩AB={E},(AH)∩(BHC) ={P A } Khi đó, P\ A BC=P\ A HC =P\ A AB Tương tự, ta cóP\ A CBP\AAC nên PA là điểmA- Humpty của tam giácABC.
Tính chất 2: P A thuộc đường trung tuyếnAM của tam giácABC.
Kẻ đường kínhHA ′ của đường tròn(BHC) Dễ thấy tứ giácABA ′ Clà hình bình hành vàM là trung điểm củaBCnênM là trung điểm củaAA ′ hay ba điểmA, M, A ′ thẳng hàng Theotính chất 2, ta cóAP\AH = 90 ◦
DoPA∈(BHC)nênHPAA ′ = 90 ◦ Từ đây, ta sẽ có được ba điểmA, PA, M thẳng hàng.
Tính chất 3: GọiBF, CE là hai đường cao của tam giác ABC, trực tâm H,M là trung điểm củaBC. Khi đó(M BE)∩(M CF) ={PA}.
Theotính chất 3, ta cóHP\AM = 90 ◦ Kẻ đường caoADcủa tam giácABC Suy ra tứ giácHPAM D nội tiếp Do đó, theo phương tích, ta cóAPA.AM =AH.AD.AB Vậy nên tứ giácEPAM B nội tiếp Tương tự, ta cũng có tứ giácF P A M C nội tiếp.
Tính chất 4: Tia phân giác của\BAC cắt tia phân giác củaBP\ A Ctại một điểm trên BC.
Gọi AK là tia phân giác của \BAC, K ∈BC Điều phải chứng minh tương đương với AB
P A C Dựa vàotính chất 3, ta biết tứ giácABA ′ Clà hình bình hành nên AB
A ′ B Mặt khác, vì tứ giácBP A CA ′ nội tiếp nên ta có A ′ C
PAC Do đó, ta có điều phải chứng minh. Điểm Dumpty Định nghĩa: Cho tam giácABC ĐiểmQA thoả mãnQ\AAB=Q\ACA,Q\ABA=Q\AAC được gọi là điểmA
Trong trường hợp này, điểm Q là giao điểm thứ hai của đường tròn đi qua A, C và tiếp xúc AB tại A với đường tròn đi qua A, B tiếp xúc với AC tại A Các điểm B-Dumpty và C-Dumpty được định nghĩa tương tự.
Tính chất 1: Cho tam giác ABC với điểmQA là điểm A- Dumpty Gọi M là trung điểm củaBC Khi đó,BAQ\ A \.
Xét các tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác AQAB, AQAC và ABC lần lượt là C1, C2, O Kẻ đường thẳng song song với BC qua A cắt (C1), (C2) tại E, F, giao điểm của EB và FC là P Áp dụng định lý Miquel cho tam giác EPF, ta chứng minh được tứ giác QABPC nội tiếp Do đó, ta có biến đổi góc dẫn đến ba điểm A, QA, P thẳng hàng Ngoài ra, ta chứng minh được P là tiếp điểm của đường tròn (O) với PB và PC Giao điểm của AP và (O) là L, theo mô hình tiếp tuyến, ta có ABL = AMC Kết hợp với góc ALB và M, ta thu được BAQ = A.
Theo định nghĩa của điểmA- Dumpty, ta được△QAAB∼ △QAAC(g-g) Do đóQAB
AC 2 Tính chất 3: GọiQlà giao điểm củaAQAvà đường tròn(ABC) Khi đó,QAlà trung điểm của AQ.
Kẻ PB và PC là tiếp tuyến của đường tròn (ABC) Theo tính chất 1, tứ giác BQAO nội tiếp và bốn điểm A, Q, A, P thẳng hàng Do đó, OQ vuông góc AP Vậy nên Q là trung điểm của AQ.
Tính chất 4: QA là giao điểm thứ hai của đường tròn (BOC) và đường tròn đường kính AO(với O là tâm đường tròn ngoại tiếpABC).
Chứng minh Tính chất này hiển nhiên theotính chất 3vàtính chất 1.
Một số bài tập ứng dụng điểm Humpty - điểm Dumpty
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A, B Tiếp tuyến chung của (O) và (O') (nằm gần về phía B) tiếp xúc với (O) và (O') lần lượt tại P và Q Gọi C là điểm đối xứng với B qua PQ Chứng minh rằng góc CAP bằng góc BAQ.
Bài toán 41 (Olympic Toán học trẻ Thổ Nhĩ Kỳ 2015) Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn (O), D là trung điểm củaBC Gọi(ω1)là đường tròn đi quaDvà tiếp xúc vớiABtạiB,(ω2)là đường tròn đi quaDvà tiếp xúc vớiAC tại C Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai làM LấyM ′ đối xứng vớiM quaBC. Chứng minh rằng ba điểmA, M ′ , Dthẳng hàng.
Bài toán 42 (Brazil 2017) Cho tam giác nhọn ABC, hai đường caoBD, CE cắt nhau tạiH Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn(ABC)và(ADE)làF Chứng minh rằng các đường phân giác trong của\F BC,BHC\ vàBCđồng quy tại một điểm.
Bài toán 43 (Bắc Macedonia 2017) yêu cầu chứng minh đường phân giác trong của góc PAM đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, trong đó tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, M là trung điểm của BC, BO và CO lần lượt cắt AD tại E, F, P là giao điểm thứ hai của đường tròn (ABE) và (ACF).
Bài toán 44 (Mĩ TST 2008) Cho tam giácABC.P là điểm di động trên cạnhBC.Q, Rlần lượt thuộc AC vàABsao choP Q ∥AB, P R∥AC Chứng minh rằng đường tròn(AQR)luôn đi qua một điểm cố định khiP thay đổi.
Bài tập tự luyện
Bài toán 45 Cho tam giácABC nội tiếp(O) Một đường tròn (J)tiếp xúc vớiAC, AB lần lượt tạiE, F và tiếp xúc trong với(O)tại T.
1 Chứng minh rằngT F đi qua điểmM chính giữa cung nhỏAB.
2 M C cắtEF tạiI Chứng minh rằng tứ giácT IEC nội tiếp.
3 Chứng minh rằngI là tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC.
4 Chứng minh rằngT I đi qua điểm chính giữa cungBAC.
Bài toán 46 (HSG TP Hà Nội 2023) xét tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại S Trên tia đối của tia CA lấy điểm M (M ≠ C) Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với OM, cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt E và F (E nằm giữa S và F).
1 Chứng minh rằngM E là tiếp tuyến của đường tròn(O).
2 Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từM xuống đường thẳngBC Chứng minhEC là tia phân giác của
3 Gọi P, Qlần lượt là giao điểm củaM D với hai đường thẳngBE vàBF GọiK là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BP Q Chứng minh rằngSDK\= 90 ◦
Bài toán 47 Cho tam giácABC, cóAB < BC < CA Gọi Ilà tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC Các điểmE, F lần lượt thuộc tiaCA, AB sao choBF KẻBE cắtCF tạiG.
1 Chứng minh bốn điểm C, I, E, Gcùng thuộc một đường tròn.
2 Gọi KthuộcAC sao choCK Chứng minh tam giácGIE đồng dạng với tam giácGCK.
3 Trên nửa mặt phẳng bờBGkhông chứaC, kẻGH song song với AC vàGH Chứng minh
Bài toán 48 (CSP V2 2023) Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnhBC, CA, ABtại các điểmD, E, G Hai đường thẳngDE, DGlần lượt cắt đường phân giác ngoài của góc BAC tạiM, N Hai đường thẳngM G, N E cắt nhau tạiP Chứng minh
Bài toán 49 (CSP V2 2015) Cho hình vuôngABCD với tâm O GọiM là trung điểm AB, các điểmN,P thuộcBC,CDsao choM N song song vớiAP Chứng minh rằng
1 Tam giác BN Ođồng dạng với tam giácDOP vàN OP\ = 45 o
2 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácN OP thuộcOC.
3 Ba đường thẳng BD, AN, P M đồng quy.
Bài toán 50 (Vĩnh Phúc 2024) Cho tam giácABC nhọn, không cân nội tiếp đương tròn(O)và\BAC = 60◦. Các đường thẳng qua hai điểmCvàB song song với đường thẳngAOcắt đường tròn(O)lần lượt tạiE vàF (E̸=C, F ̸=B) GọiH là trực tâm tam giácABC Đường thẳngBH cắt đường tròn(O)tại điểm thứ hai là
X (X ̸=B); đường thẳngCH cắt đường tròn (O)tại điểm thứ hai làY (Y ̸=C).
1 Chứng minh rằng tam giácAEF đồng dạng với tam giácHBC.
2 Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng XF vàAC; N là giao điểm của hai đường thẳng Y E vàAB. Chứng minh rằng đường thẳngM N song song với đường thẳngBC.
3 Chứng minh rằng ba đường thẳng M N, XY vàF E đồng quy.
Cho tam giác ABC với AB < AC < BC Tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC lần lượt là I và ω Xét điểm X trên BC sao cho đường thẳng qua X song song với AC là tiếp tuyến của (ω) Tương tự, Y là điểm trên BC sao cho đường thẳng qua Y song song với AB là tiếp tuyến của (ω) Gọi giao điểm thứ hai của AI và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là P (khác A) Trung điểm của AC, AB lần lượt là K, L Chứng minh rằng góc KIL + góc YPX = 180 độ.
Bài toán 52 yêu cầu chứng minh rằng AT và AK đối xứng nhau qua I, với I là giao điểm của BE và CD, khi một đường tròn tâm O thay đổi đi qua B, C và cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D, E.
Bài toán 1 Cho tam giácABC nhọn, trực tâmH Trên đoạnBH lấy điểmM và trên đoạnCH lấy điểmN sao choAM C\ =AN B\= 90 ◦ Chứng minh rằngAM =AN.
Để giải bài toán, ta hạ đường cao từ B và C xuống AC và AB, gọi chúng là E và F tương ứng Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có AM2 = AC.AE và AN2 = AB.AF Ngoài ra, hai tam giác AFC và ANB đồng dạng (g-g) nên ta có AF/AC = AN/AB.
AB Suy raAE.AC AB, hayAM 2 =AN 2 VậyAM=AN.
Bài toán 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên
AB, AC Chứng minh rằng√ 3
BC. Tương tự, ta cũng có 3 rCE 2
BC Do đó, ta có
Bài toán 3 Cho hình thang cânABCD, đáy lớn CD= 10,AH là đường cao, AH, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
Gọi độ dài đường cao làAH=x Suy ra
Mặt khác, tam giácDAC vuông tạiA nên
Bài toán 4 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường caoAH KẻHE, HF lần lượt vuông góc vớiAB, AC. Chứng minh rằng
1 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào các tam giácAHB vàAHC, ta đượcBH 2 BA vàCH 2 CA Do đó,
AC (1) Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giácABC vuông tạiA, ta cóAB 2 =BH.BC vàAC 2 =CH.BC
Từ (1) và (2), ta suy ra điều phải chứng minh.
2 Ta có △ABC∼ △EBH (g-g) nên BE
BC MàBH.BC 2 nênBE = AB 3
Tương tự, ta cũng cóCF = AC 3
BC 2 Mà AH.BC.AC⇒AH= AB.AC
BC 2 BCAB.AC BC
Bài toán 5 Cho hình chữ nhậtABCD và một điểmOnằm trong hình chữ nhật Chứng minh rằng
Gọi khoảng cách từ O tới các cạnhAC, AB, BD, CD lần lượt làa, b, c, d như hình trên Theo Pythagoras, ta cóOA 2 +OC 2 = (a 2 +b 2 ) + (c 2 +d 2 ) = (b 2 +c 2 ) + (a 2 +d 2 ) =OB 2 +OD 2
Bài toán 6 Cho hình vuôngABCDvà điểmI thay đổi nằm giữaAvàB TiaDI cắtBCtạiE Đường thẳng kẻ quaDvuông góc vớiDEcắtBC tạiF Chứng minh rằng tổng 1
DE 2 không phụ thuộc vào vị trí của điểmI.
Ta có△DIA=△DF C (g-c-g) nênDI Lại có DC ⊥EF nên 1
DC 2 (không đổi) Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 7 Cho tam giác ABC, các đường cao ứng với các cạnh a, b, c lần lượt là h a , h b , h c (trong đó
BC=a, CA=b, AB=c) Chứng minh rằng nếu 1 h 2 a = 1 h 2 b + 1 h 2 c khi và chỉ khi tam giácABC vuông tạiA.
Lời giải GọiS là diện tích của tam giác ABC, ta có
Tương tự, ta cũng cób 2 =4S 2 h 2 b , c 2 = 4S 2 h 2 c Suy ra b 2 +c 2 = 4S 2
Do đó, điều này chỉ xảy ra khi tam giácABC vuông tạiA.
Bài toán 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường caoAH KẻHE⊥AB, HF ⊥AC GọiO là giao điểm củaAH vàEF Chứng minh rằngHB.HC= 4OE.OF.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có HB.HC=AH 2 (1) Mặt khác, dễ thấy tứ giác AEHF là hình chữ nhật nênOA=OH =OE=OF (2) Kết hợp (1) và (2), ta đượcHB.HC= 2OE.2OF = 4OE.OF. Bài toán 9 Cho hình vuôngABCD có cạnh bằnga.
1 M là một điểm trên cạnhADsao choABM\ = 30 ◦ TínhAM, BM theoa.
2 Qua Akẻ đường thẳng vuông góc vớiBM tạiF, đường thẳng này cắtCD tại N Tính độ dài các đoạn thẳng AF, M F, BF theoa.
1 Ta có tam giácABM vuông tạiAcóABM\ = 30 ◦ nênBM= 2AM Do đó
2 Ta cóM AF\ =\ABF = 30 ◦ (cùng phụ với\F AB) Từ đó ta có
Bài toán 10 chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng một nửa tích của hai cạnh với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh đó.
Kẻ BH⊥AC, gọi αlà góc nhọn tạo bởi hai đường thẳngAB, AC Ta có
Do đó, ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 11 Cho tam giácABC nhọn, đặtBC=a, CA=b, AB=C Đặtp= a+b+c
Từ định lý Cosin (Ví dụ 5 - Phần 1), ta có cosCb= a 2 +b 2 −c 2
Từ đó, ta có sinCb=p
Từ bài toán 10, ta có công thức tính diện tích tam giácABC như sau
(sinα+ cosα) 2 = sin 2 α+ cos 2 α+ 2 sinα.cosα= 1 + 2.12
5 −cosα Từ đó, ta có cosα.
Bài toán 13 Cho tam giácABC nhọn, đặtBC=a, CA=b, AB=c Gọiha, hb, hclần lượt là các đường cao ứng với các cạnha, b, c Chứng minh các hệ thức sau ha= 2p p(p−a)(p−b)(p−c) a h b =2p p(p−a)(p−b)(p−c) b h c =2p p(p−a)(p−b)(p−c) c
2ha.a Do đó,ha =2SABC a = 2p p(p−a)(p−b)(p−c) a Các hệ thức còn lại cũng tương tự.
Bài toán 14 Cho tam giác ABC không phải tam giác tù Gọi AM là đường trung tuyến ứng với cạnhBC của tam giácABC GọiBC=a, AC =b, AB=c, AM=m a Chứng minh rằngm 2 a + 2 + 2c 2 −a 2
Nếu tam giácABC vuông tạiAthì đẳng thức trên hiển nhiên đúng.
Nếu tam giácABC là tam giác nhọn.
Giả sửAB < AC thìBH < BM nên
Từ đó m 2 a =AM 2 =AH 2 +M H 2 2 −BH 2 +M H 2 =c 2 − a 2 +c 2 −b 2 2a
Ta cóA= 5 sin 2 α+ 6 cos 2 α= 5 sin 2 α+ 6(1−cos 2 α) = 6−sin 2 α1
2 Ta cóB = 4 sin 2 −5 cos 2 α= 4(1−cos 2 α)−5 cos 2 α= 4−9 cos 2 α=−44
25 Bài toán 16 Tìm góc nhọnα, biếtsinα.cosα√3
Dễ dàng tính đượcsinα+ cosα√3 + 1
2 Từ đó, ta có phương trình sin 2 α−
Bài toán 17 Cho tam giácABC vuông tại A, \ACB=α CA > AB GọiD là một điểm trên cạnh
BC,E là một điểm trên cạnh AB kéo dài về phía điểmA sao choBD GọiP là một điểm trên cạnhAC sao cho bốn điểmE, B, D, P đồng viên.Qlà giao điểm thứ hai củaBP với đường tròn ngoại tiếp tam giácABC Chứng minh rằngAQ+CQ=BP.
Vì các tứ giác ABCQvà BEP D nội tiếp nênCAQ[ =\CBQ\ Do đó, dễ thấy△AQC ∼ △EP D (g-g) Do đó, ta có
ED ⇒AQ.ED.EP =EP.BD(2).
Mặt khác, áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếpBEP D, ta cóEP.BD+BE.P DBP (3).
Từ (1), (2) và (3) suy raAQ.ED+QC.EDBP Do đó,QC+AQ=BP.
Bài toán 19 (Quảng Trị 2005) xét tam giác đều ABC với cạnh bằng a (a > 0) Trên đoạn AC lấy điểm Q di động, trên tia đối của tia CB lấy điểm P di động sao cho AQ.BP = a^2 M là giao điểm của AP và BQ Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MPQ.
BQvàAP Chứng minh rằngAM+M C=BM.
Từ giả thiết AQ.BP =a 2 , ta có được AQ
BP Kết hợp với\BAQ =\P BA= 60 ◦ , ta được △AQB ∼
Từ △BAP (c-g-c), suy ra \ABQ=\BP A Do đó, kết hợp với \ABQ+M BC\ = 60 ◦ và \AP B+M AC\ =\ACB = 60 ◦, ta có M BC\ = M AC Điều này cho thấy M ∈ ABC Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABCM cùng giả thiết.
AB.M C+BC.AM =BM.AC⇒AM+M C=BM.
Bài toán 20 (Vũ Hữu Bình) Vận dụng định lý Ptolemy để giải bài toán sau: Chứng minh rằng tổng khoảng các từ tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đó.(Định lý Carnot)
Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi OD, OE, OF lần lượt là khoảng cách từ O đến
BC, AC, AB Đặt BC = a, AC = b, AB = c, OD = x, OE = y, OF = z Áp dụng định lý Ptolemy vào tứ giác nội tiếpAEOF, ta có
OA.EF OE+AE.OF ⇒R.a
Tương tự ta cóbR=az+cx, cR=ay+bx Suy ra
Gọir là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giácABC, ta có r(a+b+c) = 2S ABC =ax+by+cz (2).
Do đóR+r=x+y+z Ta kết thúc bài toán.
Bài toán 21 Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O) Đường tròn(O ′ )tiếp xúc trong với(O)tạiT thuộc cung nhỏBC Kẻ các tiếp tuyếnAA ′ , BB ′ , CC ′ tới(O ′ ) Chứng minh rằngAA ′ BC ′ AC+CC ′ AB.
