Nghiên Cứu Bài Toán Sóng Dẫn Trong Cấu Trúc Đa Lớp Vật Liệu Bằng Phương Pháp Giải Tích Và Tính Toán Số.pdf

Luận văn này tập trung nghiên cứu bài toán lan truyền của sóng siêu âm dẫn trong cấu trúc đa lớp vật liệu, hướng đến việc phát triển những ứng dụng thực tế trong xác định đặc tính vật li

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Phan Hải Đăng

Hà Nội – 2021

1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

DANH MỤC HÌNH ẢNH 3

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 4

CHƯƠNG 2 SÓNG DẪN TRONG CẤU TRÚC ĐA LỚP VẬT LIỆU 10

2.1 Giới thiệu 10

2.2 Xây dựng phương trình tán sắc sử dụng phương pháp ma trận chuyển 11

2.3 Biểu thức dạng hiện của sóng dẫn trong cấu trúc đa lớp 14

2.4 Tính toán biên độ của chuyển động sóng sinh ra bởi lực điều hoà bằng định lý thuận nghịch 16

2.4.1 Công thức định lý thuận nghịch 16

2.4.2 Tính toán biên độ chuyển động sóng trong cấu trúc đa lớp sinh ra bởi một nguồn phát điều hoà 17

CHƯƠNG 3 MÔ PHỎNG TRUYỀN SÓNG SIÊU ÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 22

3.1 Giới thiệu 22

3.2 Rời rạc hoá miền không gian tính toán 22

3.3 Rời rạc hoá miền thời gian tính toán 24

3.4 Xây dựng mô hình 26

CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 28

4.1 Giới thiệu 28

4.2 Biểu đồ tán sắc 29

4.3 So sánh kết quả giải tích và tính toán số 33

4.4 Sóng dẫn trong các cấu trúc xương 36

4.5 Bài toán ngược 40

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

2

MỞ ĐẦU

Cấu trúc vật liệu đa lớp đặc biệt là vật liệu composite đang ngày càng được sử

dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật và đời sống Đi kèm với sự phát

triển đó chính là các yêu cầu khắt khe về kiểm tra, đánh giá các cấu trúc kỹ thuật sử

dụng vật liệu đa lớp nhằm đảm bảo an toàn cũng như hiệu suất vận hành Một trong

những phương pháp tiên tiến và hiệu quả để đánh giá không phá hủy các cấu trúc kỹ

thuật là phương pháp kiểm tra siêu âm Để có thể phát triển các phương pháp đánh

giá này, hiểu biết về sóng siêu âm truyền trong cấu trúc đa lớp vật liệu đóng vai trò

thiết yếu Thực tế thì những hiểu biết này hiện bị hạn chế nhiều bởi tính dị hướng

mạnh và không đồng nhất cao, đặc trưng quan trọng của cấu trúc vật liệu này Luận

văn này tập trung nghiên cứu bài toán lan truyền của sóng siêu âm dẫn trong cấu trúc

đa lớp vật liệu, hướng đến việc phát triển những ứng dụng thực tế trong xác định đặc

tính vật liệu và đánh giá không phá huỷ các cấu trúc kỹ thuật

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại

học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý

giá cho em trong suốt hai năm học vừa qua Đặc biệt, luận văn tốt nghiệp này đã được

Tuấn Thông qua luận văn, em mong muốn có thể hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức

đã học cũng như học hỏi thêm các kiến thức về việc giải quyết một bài toán khoa học,

thứ rất cần thiết đối với người làm nghiên cứu Do khả năng và thời gian hạn chế,

luận văn này không thể tránh khỏi những sai sót Rất mong nhận được sự chỉ dạy,

góp ý của các thầy cô cũng như của các anh chị, các bạn để luận văn có thể được hoàn

thiện hơn

Hà Nội, ngày 01 tháng 11 năm 2021 Học viên thực hiện

Lê Đức Thọ

3

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Phát hiện khuyết tật trong dầm với sóng khối (a) và sóng dẫn (b) [21] 4

Hình 1.2 Mô hình kiểm tra sóng dẫn 5

Hình 2.1 Cấu trúc hình học và hệ toạ độ của tấm đa lớp [29] 12

Hình 2.2 Tấm 𝑁𝑁 lớp chịu tác dụng của lực điều hoà tại 𝑥𝑥0, 𝑧𝑧0 [29] 18

Hình 3.1 Mô hình sóng dẫn trong cấu trúc mối nối kết dính [29] 26

Hình 3.2 Tín hiệu kích hoạt của nguồn phát sóng 27

Hình 4.1 Biểu đồ tán sắc chứa phổ biên độ của chuyển vị ngang [29] 31

Hình 4.2 Biểu đồ tán sắc chứa phổ biên độ của chuyển vị dọc [29] 32

Hình 4.3 So sánh giữa biên độ giải tích (đường xanh: Mode 2, đường đỏ: Mode 1) và kết quả số (chấm đen: Mode 2, tam giác đen: Mode 1) [29] 35

Hình 4.4 Cấu trúc của xương đòn (The Altanta Equine Clinic, 2013) 36

Hình 4.5 Mô hình kiểm tra sử dụng sóng dẫn cho xương đòn [21] 37

Hình 4.6 Mô hình xương 2 lớp 37

Hình 4.7 Biểu đồ tán xạ của cấu trúc 2 lớp rắn-lỏng 38

Hình 4.8 Mô hình xương 3 lớp 39

Hình 4.9 Biểu đồ tán xạ của cấu trúc 3 lớp lỏng-rắn-lỏng 40

Hình 4.10 Biên độ dọc tương đối của Mode 2 thu được từ bài toán ngược 43

Hình 4.11 So sánh tốc độ và độ chính xác giữa các trường hợp tính toán 44

4

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

Sóng siêu âm là âm thanh có tần số cao hơn ngưỡng nghe của con người, thường nằm trong khoảng từ 20 kHz đến vài MHz Sóng siêu âm được sử dụng nhiều trong khoa học, kỹ thuật và đời sống Có thể kể ra như sử dụng siêu âm để chuẩn đoán hình ảnh trong y học (ultrasonography), đánh giá không phá huỷ (nondestructive evaluation - NDE) trong kỹ thuật, phát hiện khuyết tật (defect detection), giám sát sức khoẻ cấu trúc (structural health monitoring - SHM), thăm dò các mỏ dầu, khí dưới đáy đại dương (oil, gas exploration) hay được các loài vật trong tự nhiên như cá heo

và dơi sử dụng để giao tiếp Sóng siêu âm trong môi trường đàn hồi có thể được chia thành sóng khối và sóng dẫn, xem Hình 1.1 [21] Sóng khối đâm xuyên qua bề dày vật liệu và thường suy yếu hẳn sau khoảng 2-3 lần bước sóng trong khi sóng dẫn lan truyền trên biên của vật liệu và có thể truyền đi xa nguồn phát với rất ít hoặc không mất mát năng lượng [1]

Hình 1.1 Phát hiện khuyết tật trong dầm với sóng khối (a) và sóng dẫn (b) [21]

Vì đặc tính có thể truyền đi xa nguồn phát nên sóng dẫn thường được dùng trong kỹ thuật đánh giá không phá huỷ các cấu trúc bị chôn vùi, nằm dưới đáy đại dương hay

ở các vị trí khó tiếp cận đối với con người Sóng dẫn đặc biệt hiệu quả trong việc phát hiện và đánh giá các khuyết tật trên bề mặt cấu trúc hay ẩn bên trong cấu trúc như vết

ăn mòn, vết nứt hay các vết tách lớp Hơn nữa sóng dẫn còn được dùng cho các ứng

5

dụng khác như đánh giá tính chất vật liệu (material characterization) hay định lượng các thông số của vật thể Mô hình kiểm tra cấu trúc tấm sử dụng sóng dẫn có thể được

mô tả như ở Hình 4.11

Hình 1.2 Mô hình kiểm tra sóng dẫn

a) Phương pháp pitch-catch; b) Phương pháp pulse-echo

Phương pháp pitch-catch sử dụng một transmitter để phát sóng và một sensor để thu sóng ở một vị cách xa Trong khi phương pháp pulse-echo sử dụng một sensor đảm nhận cả hai vai trò thu và phát sóng Một số các nghiên về lý thuyết cũng như ứng dụng của sóng dẫn trong kỹ thuật kiểm tra siêu âm đã được đưa ra ở các tài liệu [6,

20, 51, 54]

Ngoài ra trong vài thập kỉ trở lại đây một ứng dụng khác của sóng siêu âm dẫn trong lĩnh vực y học được phát triển nghiên cứu rộng rãi chính là siêu âm định lượng xương (bone quantitative ultrasound - QUS) Đây là một kỹ thuật không xâm lấn được phát triển khá mạnh bởi nhiều nhà khoa học và bác sĩ y khoa Phương pháp cho thấy nhiều ưu điểm so với các phương pháp truyền thống (X quang, cộng hưởng từ) như là an toàn cho các em bé sơ sinh cũng như phụ nữ có thai và sử dụng được với bệnh nhân có kim loại trong người Siêu âm định lượng xương sử dụng sóng dẫn có thể giúp ta biết được các thông số về cấu trúc của xương như mật độ xương cũng như

độ dày của lớp xương đặc, từ đó giúp ta xác định được tình trạng loãng xương Tuy

6

nhiên, việc nghiên cứu sự truyền sóng trực tiếp trên các cơ thể sống (in vivo) hay là trên các mẫu xương được lấy từ cơ thể sống (ex vivo) đều gặp nhiều khó khăn trong việc thu nhận tín hiệu cũng như phân tích tín hiệu Điều này chính là một động lực để phát triển các nghiên cứu về truyền sóng trong các môi trường phức tạp này Một số các nghiên cứu tiêu biểu về lĩnh vực này có thể được tìm thấy ở các tài liệu [31, 34,

36, 41, 42, 48]

Các cấu trúc đa lớp như cấu trúc phủ, sơn, kết dính hay vật liệu composite đang ngày càng được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực kỹ thuật do những đặc tính vượt trội của nó so với cấu trúc đơn vật liệu Đơn cử như với dòng máy bay đời mới của hãng Boeing là 787 Dreamliner thì tỷ lệ sử dụng vật liệu composite là 80% về thể tích và 50% về khối lượng, tỷ lệ này thậm chí còn nhỉnh hơn nếu xem xét dòng máy bay A350 XWB của hãng Airbus [20] Đi kèm với sự phát triển đó chính là các yêu cầu về kiểm tra sức khoẻ cấu trúc nhằm đảm bảo tuổi thọ cũng như độ an toàn kết cấu Đối với ngành công nghiệp hàng không vũ trụ các yêu cầu về an toàn cấu trúc còn đặc biệt nghiêm ngặt hơn Đánh giá không phá huỷ cũng như giám sát sức khoẻ cấu trúc sử dụng sóng siêu âm đã được sử dụng rộng rãi và cho thấy tính hiệu quả cao Các nghiên cứu về truyền sóng ứng dụng cho các kỹ thuật kiểm tra siêu âm trong ngành công nghiệp hàng không vũ trụ được phát triển mạnh trong thời gian gần đây Một số nghiên cứu điển hình có thể chỉ ra như phát hiện lớp băng trên cánh máy bay bằng sóng siêu âm cắt (shear horizontal waves) [19], kiểm tra các cấu trúc vá titan trên lớp vỏ máy bay [49] hay đánh giá sự kết dính của cấu trúc lap joint ở thân máy bay bằng sóng dẫn [10, 33]

Sự lan truyền của sóng siêu âm trong các vật liệu đa lớp đã được nghiên cứu chuyên sâu vài thập kỉ trở lại đây Trong đó các kiến thức cơ bản về vấn đề này có thể tìm được ở các cuốn sách kinh điển như [38, 51] Một số lượng lớn các nghiên cứu cũng được công bố để làm sáng rõ hơn về bài toán truyền sóng trong cấu trúc đa lớp Cụ thể như nghiên cứu đặc tính tán xạ của sóng siêu âm dẫn trong các cấu trúc chất rắn phân tầng [23, 55], trong cấu trúc bán không gian phủ lớp mỏng [3, 56], hay trong cấu trúc hai lớp rắn-lỏng [60] Kỹ thuật ma trận được sử dụng để mô phỏng giải

7

tích sự truyền sóng dẫn trong cấu trúc đa lớp ở tài liệu [32] Kỹ thuật ma trận cũng được dùng để mô phỏng sóng trong cấu trúc đa lớp với các mặt tiếp xúc không hoàn hảo (imperfect interface) ở tài liệu [35] Các nghiên cứu này chủ yếu tập trung vào việc tìm ra biểu đồ tán sắc cũng như các biểu thức cơ bản của sóng dẫn tự do (free guided waves) trong cấu trúc

Với bài toán sóng dẫn sinh ra bởi nguồn phát (forced guided waves), việc có được lời giải cho chuyển động sóng trở nên phức tạp hơn Một số kỹ thuật giải tích

đã được đưa ra để có lời giải cho biên độ của chuyển động sóng như integral transform, residue theorem hay normal mode expansion [1, 5] Tuy nhiên các phương pháp này thường sử dụng các bước biến đổi khá rườm ra cũng như không thu được biên độ sóng dưới dạng một công thức đóng Hơn nữa với các môi trường phức tạp như nhiều lớp vật liệu việc áp dụng các kỹ thuật này là rất khó khăn Định lý thuận nghịch (tương hỗ) từ đó được áp dụng vào việc giải các bài toán động lực học mà cụ thể là các bài toán truyền sóng một cách hiệu quả [2] Ưu điểm của phương pháp này

là sự đơn giản trong việc thiết lập công thức, cho nghiệm ở dạng biểu thức đóng cũng như áp dụng được với nhiều môi trường truyền sóng phức tạp Dựa trên các ưu điểm của phương pháp này nhiều nhà khoa học đã ứng dụng nó cho các vấn đề về truyền sóng một các hiệu quả Một vài nghiên cứu có thể kể ra như tính toán biên độ sóng tán xạ bởi khuyết tật trong bán không gian đàn hồi [11, 44, 58], trong tấm mỏng [15] Định lý này cũng được áp dụng thành công với các môi trường đa lớp như hai bán không gian gắn chặt [43], bán không gian phủ một lớp mỏng [46] hay các cấu trúc tấm đa lớp [39, 40]

Kiểm tra siêu âm đã và đang phát triển mạnh cho các lĩnh vực công nghiệp cũng như y học Tuy nhiên những hiểu biết về sóng trong cấu trúc đa lớp vẫn còn nhiều thứ cần hoàn thiện Đặc tính tán xạ mạnh của sóng dẫn, cấu trúc đa lớp cũng như là bản chất dị hướng của vật liệu khiến cho việc áp dụng kiểm tra siêu âm trong thực tế gặp nhiều khó khăn Chính vì thế luận văn này hướng đến việc nghiên cứu bài toán lan truyền của sóng dẫn trong cấu trúc đa lớp vật liệu Mục tiêu của luận văn này chính là thiết lập mô hình giải tích nhằm làm sáng rõ các ứng xử của sóng dẫn (wave

8

behavior) trong cấu trúc đa lớp vật liệu, cụ thể chính là đặc tính tán xạ cũng như biên

độ chuyển động của sóng Qua đó giới thiệu biểu đồ tán sắc có tích hợp phổ biên độ nhằm giúp cho quá trình lựa chọn thiết bị và quá trình xử lý tín hiệu trong các thí nghiệm cũng như kỹ thuật kiểm tra siêu âm trong thực tế công nghiệp trở nên đơn giản và thuận tiện Điều này sẽ giúp giảm thiểu thời gian thiết lập mô hình kiểm tra cũng như gia tăng hiệu suất thu nhận tín hiệu, qua đó tối ưu hoá toàn bộ quy trình và đem lại ý nghĩa lớn không chỉ về mặt kỹ thuật mà còn về mặt kinh tế trong thực tế công nghiệp

Các nội dung chính của luận văn có thể được tóm tắt qua một số ý chính như sau: Đầu tiên các biểu thức dạng hiện của sóng dẫn tự do trong cấu trúc đa lớp vật liệu được tìm ra dưới dạng ngắn gọn với chỉ một hằng số chưa biết đại diện cho biên

độ sóng Bên cạnh đó phương trình tán sắc của sóng dẫn được tìm ra nhờ phương pháp ma trận chuyển Từ các biểu thức đã tìm ra ở trên tác giả đưa ra phương pháp tìm nghiệm của chuyển động sóng trong cấu trúc đa lớp bằng cách sử dụng định lý thuận nghịch (tương hỗ) Bằng cách sử dụng phương pháp này ta có thể tìm nghiệm dưới dạng công thức đóng kín và cho hiệu quả tính toán ưu việt hơn các công cụ giải tích khác, đặc biệt đối với những môi trường truyền sóng phức tạp Biên độ sóng tìm được sẽ được so sánh với kết quả mô phỏng số để xác minh tính chính xác cũng như

độ tin cậy Các biên độ sóng tìm được sau đó sẽ được đưa vào biểu đồ tán sắc dưới dạng phổ nhằm giúp thuận tiện cho việc lựa chọn mode sóng cũng như tần số kích hoạt phù hợp và tối ưu Nội dung cũng như các vấn đề giải quyết ở từng chương được tóm gọn lại như sau:

- Chương 2 trong luận văn này đề cập vấn đề lan truyền của sóng siêu âm dẫn tự do và sóng dẫn sinh ra bởi một nguồn phát điều hoà trong cấu trúc

đa lớp vật liệu Các biểu thức dạng hiện của chuyển vị và ứng suất được đưa ra nhờ áp dụng kỹ thuật ma trận chuyển Từ đó tác giả thiết lập được phương trình tán sắc của sóng dẫn trong cấu trúc đa lớp Các biểu thức của nghiệm sóng thu được có dạng đơn giản và ngắn gọn, chỉ chứa một ẩn số duy nhất là biên độ tương đối Dựa trên các nghiệm của bài toán sóng dẫn

9

tự do, tác giả đưa ra lời giải cho bài toán sóng dẫn sinh ra bởi một nguồn phát điều hoà bằng việc áp dụng định lý thuận nghịch Các nghiệm thu được của biên độ chuyển động đều ở dạng công thức đóng kín (closed-form solutions) và đây có thể coi chính là đóng góp chính của luận văn

- Chương 3 đưa ra mô hình mô phỏng số của sóng dẫn trong cấu trúc đa lớp

sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Các lý thuyết về rời rạc miền không gian cũng như miền thời gian tính toán được cung cấp chi tiết ở chương này Các cách thiết lập mô hình và các yêu cầu để bài toán đạt kết quả chính xác được đưa ra như là khoảng cách cần thiết giữa nguồn phát và điểm đo

để thu được sóng dẫn, độ mịn của lưới tính toán nhằm đảm bảo sóng có thể truyền qua từng phần tử, hay là các bước thời gian (time increments) để đảm bảo thoả mãn điều kiện CFL [7],…

- Chương 4 đưa ra biểu đồ tán sắc có tích hợp phổ biên độ của sóng dẫn trong cấu trúc đa lớp, kết quả rất quan trọng của luận văn Biểu đồ này giúp người đọc có thể lập tức xác định được mode sóng cũng như tần số kích hoạt tối ưu cho quá trình kiểm tra siêu âm cấu trúc đa lớp Các kết quả biên

độ thu được từ phương pháp giải tích được đưa ra so sánh với kết quả số nhằm xác minh sự chính xác cũng như độ tin cậy Một số mô hình xương

đa lớp đơn giản sử dụng kết quả của luận văn cũng được giới thiệu ở chương này Một tiềm năng ứng dụng khác từ kết quả của luận văn trong lĩnh vực đánh giá tính chất vật liệu được đưa ra thông qua một mô hình bài toán ngược Bài toán ngược được đưa ra nhằm xác định các thông số vận tốc của từng lớp vật liệu Các kết quả cho thấy tiềm năng ứng dụng của lời giải giải tích trong lĩnh vực này, các lời giải đó sẽ đặc biệt có ý nghĩa đối với cấu trúc có chứa khuyết tật (khi không thể dùng các thông số về vận tốc hay wave structure)

- Ở chương cuối cùng tác giả tổng kết một số ý chính của luận văn, nêu ra các công trình đã công bố cũng như đề xuất hướng nghiên cứu tương lai

đa lớp dị hướng Phương pháp TMM tuy đem lại hiệu quả về mặt thời gian tính toán nhưng lại kém ổn định khi tần số cũng như chiều dày của cấu trúc tăng lên [16] Để khắc phục các yếu tố kém ổn định của phương pháp ma trận chuyển Knopoff [26] đưa ra một phương pháp khác mà sử dụng tất cả các điều kiện biên tại các mặt tự do cũng như các mặt phân các để thiết lập một ma trận duy nhất được gọi là phương pháp ma trận toàn cục (global matrix method - GMM) Phương pháp GMM là một công cụ mạnh mẽ, phù hợp với nhiều cấu trúc đa lớp và cho kết quả ổn định ở mọi tần số cũng như độ dày khác nhau Tuy nhiên thời gian tính toán của phương pháp này lại là một hạn chế, đặc biệt khi cấu trúc chứa nhiều lớp vật liệu khác nhau thì kích

cỡ của ma trận cũng rất lớn từ đó dẫn đến việc giải hệ phương trình tốn rất nhiều tài nguyên máy tính và thời gian tính toán Sau đó Rokhlin và cộng sự [50, 59] đề xuất cách sắp xếp mới cho ma trận thể hiện mối liên hệ giữa các lớp, phương pháp này được gọi là ma trận độ cứng (stiffness matrix method - SMM) Phương pháp SMM vẫn giữ được hiệu quả về mặt thời gian tính toán như phương pháp TMM mặt khác vẫn đảm bảo độ ổn định khi độ dày cũng như tần số tăng cao như phương pháp GMM

Từ các nghiên cứu trên tác giả cũng đã thiết lập các chương trình tính toán áp dụng cả ba phương pháp ma trận nhằm kiểm chứng tốc độ cũng như sự ổn định Thêm vào đó tác giả sử dụng kỹ thuật nội suy để tạo ra một chương trình số nhằm vẽ các biểu đồ tán xạ cho nhiều cấu trúc khác nhau (tấm mỏng, bán không gian, bán không

11

gian phủ một lớp mỏng, hai bán không gian, tấm nhiều lớp, cấu trúc hình trụ,…), chương trình này cũng được sử dụng để thu được các kết quả trong luận văn

Mô hình toán học của sóng dẫn tự do trong cấu trúc đa lớp vật liệu được đưa

ra ở chương này với các biểu thức dạng hiện của chuyển vị và ứng suất Phương trình tán sắc của sóng dẫn trong cấu trúc đa lớp bất kì được đưa ra bằng cách sử dụng phương pháp ma trận chuyển (phương pháp này được sử dụng do có thể thu được biểu thức của sóng dẫn tự do dưới công thức đơn giản và dễ dàng thiết lập chu trình hồi quy cho các lớp khác của cấu trúc) Từ đó, các biểu thức của sóng được đưa về dạng ngắn gọn và tổng quát cho cấu trúc đa lớp bất kì bằng cách biến đổi phương pháp ma trận chuyển

Đối với sóng dẫn sinh ra bởi một nguồn phát điều hoà, định lý thuận nghịch

đã được sử dụng để tính toán chuyển động của sóng Định lý này đã được áp dụng nhiều vào các bài toán động lực học mà cụ thể là các bài toán truyền sóng một cách hiệu quả, xem [15, 44, 45, 58] Phương pháp này cho nghiệm của sóng ở công thức dạng hiện và đóng kín Hơn nữa việc áp dụng định lý thuận nghịch để tìm nghiệm của sóng là đơn giản hơn nhiều so với các công cụ giải tích khác như là integral transform hay normal mode expansion, xem [5] Các bước áp dụng định lý này cho những cấu trúc như bán không gian đồng nhất hay tấm mỏng đồng nhất khá đơn giản

và dễ dàng Tuy nhiên ở trong nội dung luận văn này tác giả sẽ trình bày cách thức

áp dụng định lý thuận nghịch cho cấu trúc đa lớp vật liệu

Các hình ảnh cũng như kết quả của chương này đã được sử dụng để viết thành bản thảo và đã được nộp lên ban biên tập của tạp chí khoa học Applied Mathematical Modelling Hiện bài báo này đang trong quá trình bình duyệt [29]

2.2 Xây dựng phương trình tán sắc sử dụng phương pháp ma trận chuyển

Xét một cấu trúc đa lớp bao gồm 𝑁𝑁 lớp vật liệu khác nhau như ở Hình 2.1 Độ dày của lớp 𝑛𝑛 được kí hiệu bởi ℎ𝑛𝑛 (𝑛𝑛 = 1,2, … , 𝑁𝑁) Nếu ta định nghĩa 𝐻𝐻𝑛𝑛 = ∑𝑛𝑛 ℎ𝑗𝑗

𝑗𝑗=1thì độ dày của tấm chính là 𝐻𝐻𝑁𝑁 Ở đây ta định nghĩa 𝐻𝐻0 = 0 Hệ toạ độ (𝑥𝑥, 𝑧𝑧) mô tả

hệ toạ độ toàn cục còn hệ toạ độ (𝑥𝑥𝑛𝑛, 𝑧𝑧𝑛𝑛) chính là hệ toạ độ cục bộ của lớp 𝑛𝑛

12

Hình 2.1 Cấu trúc hình học và hệ toạ độ của tấm đa lớp [29]

Với sóng dẫn lan truyền trong cấu trúc tấm theo hướng dương của trục 𝑥𝑥, các biểu thức chuyển vị (𝑢𝑢) và ứng suất (𝜎𝜎) ở lớp 𝑛𝑛 được đưa ra như sau, xem [51],

𝛄𝛄(𝑛𝑛) = �𝑢𝑢𝑥𝑥(𝑛𝑛) 𝑢𝑢𝑧𝑧(𝑛𝑛) 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑧𝑧(𝑛𝑛) 𝜎𝜎𝑧𝑧𝑧𝑧(𝑛𝑛)�𝑇𝑇 = 𝚪𝚪(𝑛𝑛)𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑘𝑘𝑥𝑥−𝜔𝜔𝜔𝜔) (2.1) trong đó 𝑘𝑘 chính là số sóng, 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 là tần số góc với 𝜋𝜋 là tần số và 𝑘𝑘 chính

là vận tốc pha, chỉ số số trên 𝑇𝑇 nghĩa là chuyển vị, và

hằng số vật liệu của lớp 𝑛𝑛 có dạng như sau

trong đó 𝛼𝛼𝑛𝑛 = �−1 + 𝑘𝑘2⁄(𝑘𝑘𝑛𝑛𝑇𝑇)2, 𝛽𝛽𝑛𝑛 = �−1 + 𝑘𝑘2⁄(𝑘𝑘𝑛𝑛𝐿𝐿)2 với 𝑘𝑘𝑛𝑛𝐿𝐿 = �(𝜆𝜆𝑛𝑛+ 2𝜇𝜇𝑛𝑛)/𝜌𝜌𝑛𝑛

và 𝑘𝑘𝑛𝑛𝑇𝑇 = �𝜇𝜇𝑛𝑛/𝜌𝜌𝑛𝑛 tướng ứng chính là vận tốc sóng dọc và sóng ngang Hằng số Lame

𝜆𝜆𝑛𝑛, modul cắt 𝜇𝜇𝑛𝑛 và mật độ khối lượng 𝜌𝜌𝑛𝑛 chính là các hằng số vật liệu của lớp 𝑛𝑛 Trong khi đó 𝐖𝐖(𝑛𝑛) = diag�𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘𝛼𝛼 𝑛𝑛 𝑧𝑧 𝑛𝑛, 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘𝛽𝛽 𝑛𝑛 𝑧𝑧 𝑛𝑛, 𝑒𝑒−𝑖𝑖𝑘𝑘𝛼𝛼 𝑛𝑛 𝑧𝑧 𝑛𝑛, 𝑒𝑒−𝑖𝑖𝑘𝑘𝛽𝛽 𝑛𝑛 𝑧𝑧 𝑛𝑛� chính là ma trận

13

�𝐴𝐴1(𝑛𝑛) 𝐴𝐴2(𝑛𝑛) 𝐴𝐴(𝑛𝑛)3 𝐴𝐴4(𝑛𝑛)�𝑇𝑇 biểu thị trường biên độ

Tại mặt dưới của lớp 𝑛𝑛 (𝑧𝑧𝑛𝑛 = 0), ta có 𝐖𝐖0(𝑛𝑛) = 𝐈𝐈 trong đó 𝐈𝐈 chính là ma trận

đơn vị Giá trị của 𝐖𝐖(𝑛𝑛) ở mặt trên của lớp 𝑛𝑛 (𝑧𝑧𝑛𝑛 = ℎ𝑛𝑛) được biểu thị bởi 𝐖𝐖ℎ(𝑛𝑛) Mối liên hệ của trường nghiệm của sóng giữa mặt dưới và mặt trên của lớp 𝑛𝑛 có thể được viết như sau

trong đó

trận này biểu thị mối liên hệ giữa trường nghiệm của một lớp với lớp kế cận Do các

14

�00� = �𝛹𝛹𝛹𝛹3141 𝛹𝛹𝛹𝛹3242� �𝑢𝑢𝑥𝑥(1)

nghiệm tầm thường thì định thức của ma trận cỡ 2 × 2 phải bằng không, tức là

�𝛹𝛹𝛹𝛹31 𝛹𝛹32

Phương trình (2.10) được gọi là phương trình tán sắc của sóng dẫn trong cấu trúc đa lớp Phương trình này biểu thị mối liên hệ giữa vận tốc và tần số Một chương trình

số đã được phát triển để giải phương trình này và vẽ các biểu đồ tán sắc Các kết quả

về biểu đồ tán sắc được trình bày ở Chương 4

2.3 Biểu thức dạng hiện của sóng dẫn trong cấu trúc đa lớp

Từ Pt (2.8), (2.9) ta có thể viết được hệ phương trình thuần nhất như sau

Do định thức của ma trận cỡ 4 × 4 ở Pt (2.11) bằng không nên hệ này chỉ có ba phương trình độc lập tuyến tính với bốn ẩn chưa biết Suy ra hệ này có vô số nghiệm, với nghiệm tổng quát có thể được viết dưới dạng

−2𝛼𝛼1𝛽𝛽1𝛹𝛹31+ (𝛼𝛼12− 1)𝛽𝛽1𝛹𝛹32(𝛼𝛼12− 1)𝛹𝛹31+ 2𝛽𝛽1𝛹𝛹32 ⎦⎥

⎥

⎥

⎤

(2.13) với 𝐴𝐴 là một biên độ ngẫu nhiên Trường biên độ của các lớp khác có thể biểu diễn được dưới dạng

sóng dẫn lúc này chỉ còn lại một ẩn duy nhất cần tìm chính là biên độ 𝐴𝐴 như ở Pt (2.16) và (2.17) thay vì 4𝑁𝑁 ẩn như ở Pt (2.2) Các biểu thức dạng hiện của sóng là kết quả quan trọng để áp dụng định lý thuận nghịch một cách đơn giản và rõ ràng

Để thiết lập được công thức định lý thuận nghịch trước tiên ta xét hai trạng thái động lực học 𝒜𝒜 và ℬ có phương trình truyền sóng như sau

�𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗,𝑗𝑗𝒜𝒜 𝑢𝑢𝑗𝑗ℬ− 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗,𝑗𝑗ℬ 𝑢𝑢𝑗𝑗𝒜𝒜� = �𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜𝑢𝑢𝑗𝑗ℬ− 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ𝑢𝑢𝑗𝑗𝒜𝒜�,𝑖𝑖− �𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜𝑢𝑢𝑗𝑗,𝑖𝑖ℬ − 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ𝑢𝑢𝑗𝑗,𝑖𝑖𝒜𝒜� (2.25)

Sử dụng các mối liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng ta có thể thu gọn cặp số hạng thứ hai ở vế phải của Pt (2.25) trở thành

𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜𝑢𝑢𝑗𝑗,𝑖𝑖ℬ − 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ𝑢𝑢𝑗𝑗,𝑖𝑖𝒜𝒜 = 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜�𝜀𝜀𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ − 𝜔𝜔𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ� − 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ�𝜀𝜀𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜− 𝜔𝜔𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜� (2.26) trong đó 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑗𝑗 =12�𝑢𝑢𝑖𝑖,𝑗𝑗 + 𝑢𝑢𝑗𝑗,𝑖𝑖� là các thành phần của tensor biến dạng và 𝜔𝜔𝑖𝑖𝑗𝑗 =1

2�𝑢𝑢𝑖𝑖,𝑗𝑗 − 𝑢𝑢𝑗𝑗,𝑖𝑖� là các thành phần của tensor quay

Sử dụng tính chất đối xứng của tensor ứng suất cũng như phản đối xứng của tensor quay, ta có thể viết

17

𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜𝜔𝜔𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ = 𝜏𝜏𝑗𝑗𝑖𝑖𝒜𝒜𝜔𝜔𝑗𝑗𝑖𝑖ℬ = 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜�−𝜔𝜔𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ� (2.27) suy ra 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜𝜔𝜔𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ = 0 và tương tự 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ𝜔𝜔𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜 = 0

Mặt khác, bằng việc áp dụng định luật Hooke ta có thể viết

𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜𝜀𝜀𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ − 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ𝜀𝜀𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜 = 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑗𝑗𝑘𝑘𝑖𝑖𝜀𝜀𝑘𝑘𝑖𝑖𝒜𝒜𝜀𝜀𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ − 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑗𝑗𝑘𝑘𝑖𝑖𝜀𝜀𝑘𝑘𝑖𝑖ℬ𝜀𝜀𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜 = 0 (2.28)

Từ các Pt (2.25)-(2.28) ta có thể thu gọn Pt (2.24) trở thành

�𝜋𝜋𝑗𝑗𝒜𝒜 − 𝜌𝜌𝑢𝑢̈𝑗𝑗𝒜𝒜�𝑢𝑢𝑗𝑗ℬ− �𝜋𝜋𝑗𝑗ℬ − 𝜌𝜌𝑢𝑢̈𝑗𝑗ℬ�𝑢𝑢𝑗𝑗𝒜𝒜 = �𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗𝒜𝒜𝑢𝑢𝑗𝑗ℬ− 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗ℬ𝑢𝑢𝑗𝑗𝒜𝒜�,𝑖𝑖 (2.29) Phương trình (2.29) chính là biểu thức định lý thuận nghịch cục bộ Để có được định

lý thuận nghịch toàn cục ta lấy tích phân Pt (2.29) trên miền 𝑉𝑉 được bao bởi biên 𝑆𝑆 Tích phân khối ở vế phải được đưa về tích phân mặt bằng công thức Gauss, kết quả

𝑆𝑆 Các thành phần tích phân ở đây đều phụ thuộc vào vị trí (𝒙𝒙) và thời gian (𝑡𝑡) Với trường hợp dao động điều hoà ta có thể viết như sau

2.4.2 Tính toán biên độ chuyển động sóng trong cấu trúc đa lớp sinh ra bởi một nguồn phát điều hoà

Với các ứng dụng trong cấu trúc nhiều vật liệu, công thức định lý thuận nghịch phù hợp đã được đưa ra ở [46, 47] dựa trên Pt (2.32), có thể được viết lại như sau

(2.33)

trong đó 𝑆𝑆𝑛𝑛 (𝑛𝑛 = 1,2, … , 𝑁𝑁) là đường biên bao quanh miền tính toán 𝑉𝑉𝑛𝑛 (không bao hàm những mặt phân cách giữa các lớp vật liệu) Ở đây các chỉ số trên 𝒜𝒜 và ℬ biểu thị hai trạng thái động lực học, 𝑢𝑢𝑗𝑗 and 𝜏𝜏𝑖𝑖𝑗𝑗 mô tả các thành phần chuyển vị và ứng suất tương ứng, trong khi 𝜋𝜋𝑗𝑗 đại diện cho lực khối và 𝑡𝑡𝑖𝑖 là các vector pháp tuyến đơn vị

Để đơn giản trong việc biểu diễn công thức, chỉ số lớp 𝑛𝑛 được bỏ qua trong các biểu thức sóng

Hình 2.2 Tấm 𝑁𝑁 lớp chịu tác dụng của lực điều hoà tại (𝑥𝑥0, 𝑧𝑧0) [29]

Giả sử rằng trạng thái 𝒜𝒜 chính là trạng thái thực: sóng dẫn được kích động bằng một lực dọc điều hoà có biên độ 𝐹𝐹𝑧𝑧 tác dụng tại (𝑥𝑥0, 𝑧𝑧0) Trong hệ toạ độ toàn cục, biểu thức của lực được đưa ra dưới dạng hàm Dirac delta như sau

Để không mất đi tính tổng quát tác giả lựa chọn nguồn phát được đặt tại lớp 𝑛𝑛 Nguồn phát này tạo ra các mode sóng lan truyền theo cả hướng dương và âm của trục 𝑥𝑥 Trong khi sóng khối (bulk waves) chịu sự tắt dần ở một khoảng cách đủ lớn thì sóng dẫn có thể truyền đi xa nguồn phát (far field) với rất ít mất mát năng lượng [1] Các biểu thức chuyển vị và ứng suất của sóng dẫn lan truyền theo hướng dương của trục

𝑥𝑥 có thể được viết lại dưới dạng như sau

19

∞ 𝑚𝑚=0

= � 𝐴𝐴𝑚𝑚𝐹𝐹𝑧𝑧𝐔𝐔𝑚𝑚𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑘𝑘𝑚𝑚𝑥𝑥−𝜔𝜔𝜔𝜔)

∞ 𝑚𝑚=0

(2.35)

∞ 𝑚𝑚=0

= � 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑚𝑚𝜇𝜇𝐴𝐴𝑚𝑚𝐹𝐹𝑧𝑧𝚺𝚺𝑚𝑚𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑘𝑘𝑚𝑚𝑥𝑥−𝜔𝜔𝜔𝜔)

∞ 𝑚𝑚=0

trong đó 𝐔𝐔𝑝𝑝− = [−𝑈𝑈𝑥𝑥 𝑈𝑈𝑧𝑧]𝑇𝑇 và 𝚺𝚺𝑝𝑝− = [𝛴𝛴𝑥𝑥𝑥𝑥 −𝛴𝛴𝑥𝑥𝑧𝑧]𝑇𝑇

Ta xét định lý thuận nghịch cho miền 𝑉𝑉 = ∑𝑁𝑁𝑛𝑛=1𝑉𝑉𝑛𝑛 được bao quanh bởi biên 𝑆𝑆

từ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 tới 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 và 𝑧𝑧 = 0 tới 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻𝑁𝑁 như ở Hình 2.2 Do các điều kiên biên về tự

do ứng suất được áp dụng ở mặt trên và dưới của tấm đa lớp nên thay các biểu thức

ở Pt (2.35)-(2.38) vào công thức định lý thuận nghịch ở Pt (2.33) ta được

𝑢𝑢𝑧𝑧(𝑥𝑥0, 𝑧𝑧0)𝐹𝐹𝑧𝑧𝑒𝑒−𝑖𝑖𝜔𝜔𝜔𝜔 = � � �− � 𝐺𝐺𝐻𝐻𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑝𝑝�𝑥𝑥=𝑎𝑎𝑑𝑑𝑧𝑧

𝐻𝐻𝑛𝑛−1 + � 𝐺𝐺𝐻𝐻𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑝𝑝�𝑥𝑥=𝑏𝑏𝑑𝑑𝑧𝑧

∞ 𝑚𝑚=0

𝑁𝑁 𝑛𝑛=1

(2.39) trong đó

vị dọc của mode 𝑝𝑝 tính cho lớp có lực tác dụng trực tiếp lên Do sóng dẫn ở trạng thái

ℬ truyền theo hướng âm của trục 𝑥𝑥 nên ở biên 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 có các sóng đối nghịch nhau (counter-propagating waves) Hơn nữa, các tích phân dọc theo biên 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 và 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏

𝑁𝑁 𝑛𝑛=1

𝑁𝑁 𝑛𝑛=1

(2.42) trong đó

𝐼𝐼𝑚𝑚𝑝𝑝(𝑛𝑛) =12 𝑖𝑖𝜇𝜇𝑛𝑛�𝐻𝐻𝑛𝑛 �𝑘𝑘𝑝𝑝�𝚺𝚺𝑝𝑝−�𝑇𝑇𝐔𝐔𝑚𝑚− 𝑘𝑘𝑚𝑚(𝚺𝚺𝑚𝑚)𝑇𝑇𝐔𝐔𝑝𝑝−� 𝑑𝑑𝑧𝑧

Sử dụng tính chất trực giao của các sóng đối nghịch trong tấm nhiều lớp, xem [39],

ta có 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑝𝑝(𝑛𝑛) = 0 khi 𝑚𝑚 ≠ 𝑝𝑝 Từ đó biên độ của sóng dẫn sinh ra bởi lực dọc có công thức như sau

𝐴𝐴𝑝𝑝𝐹𝐹𝑧𝑧 =𝐹𝐹𝑧𝑧𝑈𝑈𝑧𝑧(𝑧𝑧0)𝑒𝑒−𝑖𝑖𝑘𝑘𝑝𝑝𝑥𝑥0

2 ∑𝑁𝑁 𝐼𝐼𝑝𝑝(𝑛𝑛)𝑛𝑛=1

(2.44)

này được thu gọn thành

(2.46) Tương tự với lực ngang được cho dưới dạng

(2.48)

và biên độ theo hướng âm của trục 𝑥𝑥 như sau

𝐴𝐴𝐹𝐹𝑝𝑝𝑥𝑥 = −𝐹𝐹𝑥𝑥𝑈𝑈𝑥𝑥(𝑧𝑧0)𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘𝑝𝑝𝑥𝑥0

2 ∑𝑁𝑁 𝐼𝐼𝑝𝑝(𝑛𝑛)𝑛𝑛=1

(2.49)

Các Pt (2.44), (2.46) đại diện cho biên độ mode 𝑝𝑝 của sóng dẫn sinh ra bởi một lực dọc điều hoà có biên độ 𝐹𝐹𝑧𝑧 tác dụng tại (𝑥𝑥0, 𝑧𝑧0), trong khi các Pt (2.48), (2.49) trình

Các kết quả tính toán của biên độ chuyển động sóng cho cấu trúc cụ thể được đưa ra ở CHƯƠNG 4 Bên cạnh đó các so sánh giữa kết quả giải tích với các kết quả

số cũng sẽ được mô tả ở CHƯƠNG 4

số Phương pháp này cũng là một công cụ cần thiết cho quá trình kiểm tra siêu âm trong thực tế Nó giúp người kiểm tra xác định rõ các tín hiệu thu được cũng như lựa chọn các thiết bị đo hợp lý

Một số nghiên cứu đã cải thiện sự ổn định cũng như gia tăng hiệu suất tính toán cho các mô hình FEM của sóng dẫn, có thể kể đến như [14, 22] Ngoài ra, một

số các phương pháp số khác như phần tử biên (Boundary element method – BEM), kết hợp phần tử hữu hạn và phần tử biên (Scaled boundary finite-element method) hay phương pháp phần tử phổ (Spectral element method) được đưa ra cho bài toán truyền sóng nhằm nâng cao độ chính xác cũng như hiệu suất tính toán [4, 27, 53] Ở đây tác giả chỉ mong muốn sử dụng FEM như một công cụ để kiểm tra độ chính xác của các tính toán giải tích do đó chỉ đề cập đến mô hình FEM cơ bản

3.2 Rời rạc hoá miền không gian tính toán

Phương trình truyền sóng trong miền đàn hồi tuyến tính 𝑅𝑅 có thể được viết như sau, xem [1],

trong đó 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 chỉ các thành phần của tensor ứng suất, 𝜋𝜋𝑖𝑖 chính là lực khối, 𝑢𝑢𝑖𝑖 là thành phần chuyển vị, và 𝜌𝜌 là mật độ khối lượng

� 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑗𝑗𝑘𝑘𝑖𝑖𝜕𝜕𝑢𝑢𝑘𝑘

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖

𝜕𝜕𝑣𝑣𝑖𝑖

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑗𝑗d𝑉𝑉𝑅𝑅

− � 𝜋𝜋𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖d𝑉𝑉𝑅𝑅

+ � 𝜌𝜌𝜕𝜕𝜕𝜕𝑡𝑡2𝑢𝑢2𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖d𝑉𝑉𝑅𝑅

với mọi hàm kiểm tra 𝑣𝑣𝑖𝑖 thoả mãn 𝑣𝑣𝑖𝑖 = 0 trên 𝜕𝜕1𝑅𝑅

Để giải dạng tích phân này của phương trình chuyển động ta cần rời rạc hoá trường chuyển vị Lúc này chuyển vị được tính tại các điểm rời rạc trên miền tính toán (node) như sau

𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑥𝑥) = � 𝑁𝑁𝑎𝑎(𝑥𝑥)𝑢𝑢𝑖𝑖𝑎𝑎

𝑛𝑛 𝑎𝑎=1

; 𝑣𝑣𝑖𝑖(𝑥𝑥) = � 𝑁𝑁𝑎𝑎(𝑥𝑥)𝑣𝑣𝑖𝑖𝑎𝑎

𝑛𝑛 𝑎𝑎=1

(3.6) trong đó 𝑁𝑁 là các hàm hình dáng tại node 𝑎𝑎

Thay các chuyển vị vào Pt (3.5) ta được

24

� 𝜌𝜌𝑁𝑁𝑏𝑏𝑁𝑁𝑎𝑎𝜕𝜕2𝑢𝑢𝑖𝑖𝑏𝑏

𝜕𝜕𝑡𝑡2 𝑣𝑣𝑖𝑖ad𝑉𝑉𝑅𝑅

+ � 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑗𝑗𝑘𝑘𝑖𝑖𝜕𝜕𝑁𝑁𝑏𝑏

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖

𝜕𝜕𝑁𝑁𝑎𝑎

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑘𝑘𝑏𝑏𝑣𝑣𝑖𝑖𝑎𝑎d𝑉𝑉𝑅𝑅

− � 𝜋𝜋𝑖𝑖𝑁𝑁𝑎𝑎𝑣𝑣𝑖𝑖d𝑉𝑉𝑅𝑅

𝐾𝐾𝑎𝑎𝑖𝑖𝑏𝑏𝑘𝑘 = � 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑗𝑗𝑘𝑘𝑖𝑖𝜕𝜕𝑁𝑁𝑏𝑏(𝑥𝑥)

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖

𝜕𝜕𝑁𝑁𝑎𝑎(𝑥𝑥)

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑗𝑗 d𝑉𝑉𝑅𝑅

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑏𝑏 = � 𝜌𝜌𝑁𝑁𝑏𝑏𝑁𝑁𝑎𝑎d𝑉𝑉

𝑅𝑅

(3.10)

là ma trận khối lượng

3.3 Rời rạc hoá miền thời gian tính toán

Để tìm nghiệm của chuyển vị ta cần lấy tích phân Pt (3.8) theo thời gian Với bài toán tuyến tính ta có hai phương pháp rời rạc miền thời gian: Newmark time integration và modal method Ở đây tác giả lựa chọn phương pháp Newmark time integration vì phương pháp này có thể áp dụng cho bài toán tổng quát hơn (phi tuyến)

Ý tưởng của phương pháp Newmark time integration chính là với các giá trị

𝑢𝑢𝑖𝑖𝑎𝑎 và 𝜕𝜕𝑢𝑢𝑖𝑖𝑎𝑎/𝜕𝜕𝑡𝑡 cho trước ở một điểm thời gian nhất định 𝑡𝑡 ta có thể tính được các giá trị đó tại thời điểm 𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡 bằng cách sử dụng phương trình chuyển động Phương trình chuyển động sau khi đã rời rạc hoá được viết lại như sau

trong đó 𝑭𝑭(𝑡𝑡) và các điều kiện ban đầu 𝒖𝒖(0), 𝒖𝒖̇(0) được cho trước

25

Để xác định các giá trị chuyển vị và vấn tốc tại thời điểm 𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡 một cách xấp xỉ ta

có thể sử dụng khai triển Taylor như sau

𝒖𝒖(𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡) ≈ 𝒖𝒖(𝑡𝑡) + Δ𝑡𝑡𝒖𝒖̇(𝑡𝑡) +Δ𝑡𝑡22[(1 − 𝛽𝛽2)𝒖𝒖̈(𝑡𝑡) + 𝛽𝛽2𝒖𝒖̈(𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡)] (3.12)

với 𝛽𝛽1, 𝛽𝛽2 là hai thông số có thể thay đổi được nhằm xác định bản chất của chu trình

của nó tại thời gian 𝑡𝑡 Đây được gọi là chu trình explicit Tương tự như thế nếu ta đặt

Đây được gọi là chu trình implicit

Gia tốc tại thời điểm bắt đầu hoặc kết thúc của một bước thời gian có thể được tính thông qua phương trình chuyển động Tại thời điểm 𝑡𝑡, ta có