bài tập lớn - Công nghê nano - đề tài - cơ sở lý thuyết của phương trình Maxwell trong cấu trúc điện môi ba chiều cũng như cơ sở để có thể mô phỏng tính toán vùng cấm quang của tinh thể quang tử ba chiều

Qua quá trình học môn Công nghệ nano trên giảng đường trường Đại Học BáchKhoa Hà Nội đã giúp chúng em phần nào hiểu được về tinh thể quang tử, các dạng cấutrúc của tinh thể quang tử, cơ

TRUYỀN DẪN ÁNH SÁNG TRONG CÁC CẤU TRÚC ĐIỆN MÔI 3 CHIỀU

Hệ phương trình Maxwell

Ánh sáng bản chất là sóng, do đó lý thuyết về sóng có thể sử dụng giải quyết các vấn đề liên quan đến sóng ánh sáng, chẳng hạn sự lan truyền của sóng ánh sáng Để giải quyết các vấn đề này hệ phương trình Maxwell nắm vai trò chủ đạo và nó đủ để giải quyết các hiện tượng quang học cổ điển.

Hệ phương trình Maxwell (dạng vi phân):

 ⃗ E là vector cường độ điện trường.

 ⃗ H là vector cường độ từ trường [A/m].

 ⃗ B là vector cảm ứng từ

 ρ là mật độ điện tích [C/m 3 ].

 ⃗ J là vector mật độ dòng điện mặt.

 ∇ là toán tử Nabla Trong hệ tọa độ Đề Các ∇= ( ∂ x ∂ ; ∂ y ∂ ; ∂ z ∂ ).

 ⃗ P là véc tơ phân cực điện môi, là số momen lưỡng cực điện trên một đơn vi thể tích

 ⃗ M là véc tơ phân cực từ, là số momen lưỡng cực từ trên một đơn vị thể tích.

 ε0 là hằng số điện môi chân không ε0 = 8.859×10 -12 [F/m]

 μ0 = 4π × 10 -7 [H/m] là độ từ thẩm trong chân không.

Khảo sát hệ phương trình Maxwell khi truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi

a) Hiện tượng phân cực điện môi.

Hiện tượng phân cực điện môi là hiện tượng xuất hiện các điện tích trên thanh điện môi khi nó đặt trong điện trường ngoài

Do sự dịch chuyển của các điện tích trong phạm vi giới hạn cấu tạo nên nguyên tử, phân tử hoặc ion của môi trường Ở phạm vi vĩ mô các lưỡng cực điện nguyên tố được mô hình hóa bằng sự phân cực của môi trường với vectơ momen lưỡng cực điện ứng với một đơn vị thể tích P Sự không đồng nhất của phân cực gây ra sự xuấthiện các điện tích phân cực cục bộ , sự biến thiên theo thời gian của phân cực tạo thành dòng điện phân cực

⃗J pol = δPP δPt và mật độ điện tích phân cực ρpol = - div ⃗ P. b) Hiện tượng từ hóa

Hiện tượng từ hóa: Các mômen từ nguyên tố được biểu diễn ở mức vĩ mô bằng mômen từ ứng với một đơn vị thể tích M.

Liên kết chặt chẽ với sự dịch chuyển của các điện tích trong phạm vi rất nhỏ, được gọi là điện tích liên kết và dòng điện liên kết Trong trường hợp này, điện môi được xem là tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng, có nghĩa là tính chất điện của vật liệu là như nhau theo mọi hướng.

Trong nhiều trường hợp tính chất từ của môi trường không đáng kể Khi đó ⃗ M≈ 0;

⃗B ≈ μ0× ⃗ H- Trong vật liệu điện môi thì J= 0 và ρ =0 Biểu diễn phương trình Maxwell trong cấu trúc điện môi ba chiều thông qua hệ tọa độ Đề Các:

∂ y d) Nghiệm của hệ phương trình Maxwell khi truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi.

Khi ta thực hiện biến đổi các phương trình Maxwell:

 Nếu môi trường là đồng nhất: ε không phụ thuộc vào các tọa độ không gian:

 Nếu lan truyền sóng trong các vật liệu điện môi có cấu trúc tuần hoàn:

Nghiệm riêng của phương trình trên là:

Với w là tần số riêng Nghiệm tổng quát là tổ hợp của các nghiệm riêng.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI SÓNG PHẲNG (PWEM)

Lý thuyết Bloch của điện từ học

Trong một môi trường điện môi tuần hoàn, nghĩa là ε(r +a) = ε(r) thì nghiệm H(r) của phương trình Master là:

) ∇ × H(r) =( ω c ¿ 2 H(r) phải thỏa mãn hệ thức sau:

H(r) = e i(k-r) uk(r) với uk(r) là một hàm tuần hoàn

Hình 1 : Những hàm sóng bloch[1]

 Chứng minh lý thuyết Bloch

Trong trường hợp mạng 1 chiều: Xét N điểm mạng giống nhau trên một vòng dài Na

Hình 2 : Vòng tuần hoàn Na Hàm điện môi tuần hoàn theo a, với ε(x)=ε(x+sa), ở đây s là số nguyên Đối xứng tịnh tiến  Nghiệm mong đợi của phương trình sóng là:

H(x+a) = C H(x) Mỗi khi đi một vòng: H(x+Na) = H(x) = C N H(x)

C là căn bậc N của 1 : C = exp(i2πs/N); s = 0, 1, 2, …, N-1

Các phương pháp mô hình hóa sợi quang tử (modeling)

Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp dùng để mô hình hóa sợi quang Các phương pháp này sẽ đưa ra cơ sở lý thuyết nhằm tạo cơ sở cho quá trình mô phỏng tính toán sợi quang tử Thực tế cho thấy, các phương pháp phức tạp sẽ mang lại kết quả tính toán với độ chính xác rất cao Thông thường các phương pháp mô hình hóa cho sợi quang thường rất khó áp dụng đối với sợi tinh thể quang tử (PCFs) Những sợi này có hệ số phản xạ cao và có cấu trúc tuần hoàn với hằng số mạng cỡ bước sóng ánh sáng Bởi vậy những phương pháp modeling trong tinh thể quang tử tương tự trong sóng điện từ Một số phương pháp mô hình hóa sợi PCFs phổ biến:

 Phương pháp chiết suất hiệu dụng (Effective Index Approach Method – EIM): Phương pháp này dựa vào cấu trúc sắp xếp của các lỗ khí ở lớp vỏ, sau đó dựa vào các đặc tính dẫn sóng của nó để đưa ra một giá trị chiết suất hiệu dụng cho toàn bộ thành phần vỏ của sợi.

 Phương pháp định vị hàm cơ bản (Localized Basis Funtions Method – LBF): Phương pháp này ban đầu được sử đụng để mô hình hóa PCFs (Photonic Crystal Fibers) cấu trúc dạng tổ ong, nhưng sau đó được các nhà nghiên cứu phát triển và ứng dụng vào PCFs với những cấu trúc khác.

Phương pháp FDTD có ưu điểm linh hoạt, suy luận đơn giản nhưng lại tốn nhiều thời gian và có nhiều thuật toán, chỉ mô tả được những khoảng ngắn của sợi khi PCFs có cấu trúc ba chiều với chiết suất phân bố theo hai chiều Điểm mạnh của phương pháp này là có thể dễ dàng thực hiện các thuật toán song song.

 Phương pháp triển khai sóng phẳng (Plane Wave Expansion Method): Phương pháp này sẽ được xét ở phần 3 của chương này.

Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp triển khai sóng phẳng (PWEM)

 Phương pháp triển khai sóng phẳng PWEM (mở rộng sóng bề mặt) cho phép ta tiếp cận một cách hiệu quả và gần với mô hình của PCFs Phương pháp này được áp dụng đối với các PCFs có cấu trúc mang tính lặp lại, tức là các PCFs hoạt động theo nguyên lý dải cấm Phương pháp cho phép phân tích chính xác tinh thể quang và có thể ápdụng trong tất cả các phương pháp khác Phương pháp cung cấp một công cụ phân tích nhanh trong miền tần số đối với các tinh thể quang có cấu trúc lặp.

Phương pháp này cho phép giải phương trình véc tơ sóng đầy đủ cho trường từ Trong mô hình này, trường tuần hoàn và vị trí phụ thuộc vào hằng số điện môi sử dụng khai triển Fourier của hàm tuần hoàn được xác định bởi véc tơ mạng tương hỗ.

Từ phương trình sóng đầy đủ đối với trường từ:

Trong đó: k là véc tơ sóng εr là hằng số điện môi trong cấu trúc Hắng số điện môi ε(r) được triển khai theo

Vg Exp (iG.r) với Vg = Au 1 ∫ ε (r) 1 exp(-iG.r)dr và Au là diện tích ô đơn vị (2)

Một mô hình cấu trúc PCFs được mô tả giống như một mạng tuần hoàn chứa cấu trúc tinh thể và những lỗ khuyết Do tính tuần hoàn đó mà ta có thể biểu diễn Hk là tổng của nhiều sóng phẳng cơ sở theo lý thuyết Bloch.

G là véc tơ mạng không gian đối xứng Thế (2) và (3) vào phương trình (1) ta có bài toán trị riêng (Eigenvalue problem) Khi ta giải bài toán này có thể tìm được tất cả các tần số có thể của mode.

Phương pháp PWEM giúp xác định được độ tán sắc tương đối và giải vùng cấm của quang tử trong các cấu trúc điên môi tuần hoàn Nó có thể áp dụng cho mọi loại cấu trúc tinh thể, bao gồm cả tinh thể bất thường Điều này cho phép xác định cấu trúc dải quang tử trong cơ chế dẫn sóng PBG và các mode trong chiết suất của cơ chế dẫn sóng Mặc dù là phương pháp nhanh và chính xác, PWEM có nhược điểm là không thể sử dụng để tính toán cấu trúc của những vật liệu có tính chất hoạt hóa và không cung cấp thông tin về tổn thất do tán xạ, truyền tải và phản xạ của ánh sáng trong PCFs.

Hình 3 : Hình mô tả phương pháp PWEM.[4] Ở hình 3a cho ta thấy cấu trúc PCFs được mở rộng như mạng tuần hoàn chứa cấu trúc tinh thể và những lỗ khuyết, còn ở hình 3b ví dụ kết quả mô phỏng với PWEM(Phân bố cường độ trong mạng tuần hoàn (periodic supercells )).

KHÁI NIỆM VÙNG BRILLOUIN RÚT GỌN, MẠNG ĐẢO, CÁC “ĐƯỜNG

Khái niệm vùng Brillouin rút gọn

 Vùng Brillouin là một cách phân chia ở trong mạng đảo, nó cũng tương tự với cách phân chia tế bào Wigner-Seitz trong mạng tinh thể Vùng Brillouin được tạo ra để tăng khả năng tính toán trong mạng đảo Nó được tạo bởi tập hợp các mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với véc tơ nối từ nút mạng gốc tới nút mạng xung quanh nó.

Hình 4: Vùng brillouin trong mạng đảo

 Vùng Brillouin thứ nhất được định nghĩa là một vùng của không gian đảo hình thành bởi các điểm gần gốc khảo sát hơn bất cứ đỉnh nào khác của mạng đảo.

Hình 5: Vùng brillouin thứ nhất

 Vùng brillouin rút gọn là vùng được vẽ bởi các đường trung trực (đối với trường hợp 1 chiều, và trường hợp 2 chiều) hoặc các mặt phẳng phân giác (đối với trường hợp 3 chiều) của mỗi vector mạng nối gốc tọa độ khảo sát đến các đỉnh gần nhất của mạng đảo mỗi đường phân giác hay mặt phân giác chia không gian đảo thành hai nửa không gian, gốc tọa độ được nằm trong một nửa không gian đó vùng brillouin thứ nhất là vùng giao nhau của tất cả các nửa không gian chứa gốc tọa độ

Hình 6:Tinh thể quang tử 1D và vùng Brillouin tương ứng [2]

Hình 7: Tinh thể quang tử 2D và vùng Brillouin tương ứng [2]

Hình 8: Tinh thể quang tử 3D và vùng Brillouin tương ứng [2]

Mạng đảo và các đường véc tơ k

Mạng thuận (Bravais): dùng để mô tả dạng hình học của mạng tinh thể quang tử, là tập hợp tất cả các điểm có bán kính R được xác định:

⃗R =n1⃗a1 + n2⃗a2 + n3⃗a3. Với a1; a2;a3 là 3 véc tơ cơ sở được chọn trên 3 hướng thích hợp n1; n2; n3 là các số nguyên.

Hình 9: Mạng Bravais b) Khái niệm và ý nghĩa của mạng đảo.

Mạng đảo là khái niệm hết sức quan trọng của vật lý chất rắn, do Josiah Willlard Gibbs đề xuất Sự xuất hiện của mạng đảo là hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng thuận.

Mạng không gian được xây dựng từ 3 vecto cơ sở là a1, a2, a3 các vecto cơ sở của mạng đảo:

Với v a 1 a a 2  3là tích ô cơ sở của mạng thuận.

Các vecto b1, b2, b3 là véc tơ cơ sở của mạng đảo Vị trí các nút mạng đảo được xác định vởi vecto mạng đảo có dạng: G=m1.b1 +m2.b2 +m3.b3.

Ví dụ về mạng đảo của tinh thể quang tử 3D như trên hình là mạng lập phương có tâm và cấu trúc vùng Brillouin thứ nhất là một hình khối 12 mặt Vùng Brillouin tối giản là một đa điện có 4 mặt, các đỉnh trên hình được ký hiệu bởi Г, L, U, X, W và K. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo:

 Mạng đảo là khung của không gian chuyển động

 Mạng đảo thể hiện tính chất: Tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũng tuần hoàn

Trong nhiễu xạ tia X, hình ảnh thu được trên phim hoặc màn hình chỉ là ảnh của chùm tia nhiễu xạ, không phải ảnh chụp cách sắp xếp của các nguyên tử trong tinh thể Hình ảnh này được gọi là mạng đảo của tinh thể, và từ đó có thể suy ra được mạng thuận Các đường véc tơ k là véc tơ chỉ phương của các mặt trong mạng thuận, còn véc tơ h là các véc tơ chỉ phương của các mặt trong mạng đảo.

Vector sóng (hay wavevector) là vector mô tả sự thay đổi của sóng phẳng trong hệ tọa độ ba trục trực giao (x, y, z) Độ lớn của wavevector là wavenumber Đối với một phương truyền sóng trong một hướng được mô tả bởi các tọa độ cầu, wavevector k được biểu diễn dưới dạng:

(k ,k ,k ) x y z 2 sin cos ,sin sin ,cos k 

Thành phần x của wavevector kx, xác định tốc độ thay đổi của một sóng phẳng truyền theo hướng x Các định nghĩa tương tự áp dụng cho các y- và z-hướng.Tần số pha của sóng phẳng là: 2 λ π Do đó, độ lớn của vector sóng sẽ bằng :

CÁC MODE PHÂN CỰC HỖN HỢP (HYBRID POLARIZATION MODES)

Tìm hiểu về mode phân cực hỗn hợp (Hybrid polarization modes)

Trong sợi quang đơn mode vẫn tồn tại vài mode phân cực (Polirization mode, PM) và hoàn toàn có thể nghiên cứu các mode phân cực này tương tự như đối với các mode lan truyền trong sợi đa mode Mode bậc thấp nhất là mode cơ bản HE11(còn gọi là phân cực tuyến tính LP01) có trường điện truyền lan theo hướng trục x của sợi thì phân cực trực giao là mode độc lập được mô tả trên hình

Hình 10: Hai thành phần vector phân cực trường điện của mode HE11 trong sợi quang

Trong sợi quang lý tưởng, vector trường điện từ truyền lan dọc theo trục z được biểu thị bằng tổ hợp tuyến tính của hai phân cực trong mặt phẳng ngang (xy) trực giao với trục z như trong biểu thức sau:

 A x (z)=E x e j β x z là hệ số phức biểu diễn biên độ Ex và pha βx của mode phân cực dọc theo x khi lan truyền dọc theo z

 A y (z)=E y e j β y z là hệ số phức biểu diễn biên độ Ex và pha βy của mode phân cực dọc theo y khi lan truyền dọc theo z

 ⃗ E x (x , y) và ⃗ E y ¿) là các vector trường điện của mode phân cực PM dọc theo trục x và dọc theo trục y.

 β x =k n x và β y =k n y là hằng số truyền lan của sợi phân cực dọc theo hướng x (có chỉ số khúc xạ nx, phụ thuộc 𝜔 thông qua β x) và hằng số truyền lan của sợi phân cực dọc theo hướng y (có chỉ số khúc xạ ny, phụ thuộc 𝜔 thông qua β y).

Số sóng truyền lan (k) là một đại lượng quan trọng liên hệ với bước sóng (λ), tần số (v), tần số góc (ω) và vận tốc ánh sáng trong chân không (c) Công thức tính số sóng truyền lan là: k = 2πv/c = 2π/λ = ω/c Số sóng truyền lan giúp đặc trưng cho mức độ dao động của sóng điện từ, đồng thời được sử dụng để phân tích các hiện tượng nhiễu xạ, giao thoa và phản xạ của sóng.

 Tỷ lệ phức Ax(z)/Ay(z) biểu thị trạng thái phân cực (State of Polarization SOP) của sóng xác định trên mặt phẳng xy khi lan truyền theo z.

 Đối với sợi quang lý tưởng có đối xứng tâm tuyệt đối thì 𝛽x = 𝛽y, khi đó hai phân cực theo trục x và y kết hợp lại sau khi lan truyền, và hệ quả là bất kỳ một sóng nào với trạng thái đó trong suốt quá trình lan truyền đến tận đầu ra của sợi Tuy nhiên, trên thực tế do sự không hoàn hảo trong quá trình sản xuất hay lắp đặt đã làm phá vỡ tính đối xứng của sợi Trong trường hợp này: 𝛽x ≠ 𝛽y, tức kéo theo lệch về chiết suất (nx ≠ny) và như vậy tạo ra sự chênh lệch về vận tốc pha Dv giữa chúng Lúc này, việc kết hợp lại của hai phân cực sẽ bị trượt đi, và trạng thái phân cực đầu ra thay đổi trong quá trình truyền lan từ đầu vào đến đầu ra dọc theo z (do một mode truyền lan nhanh và mode truyền lan chậm) trong sợi

 Độ lệch 𝛽x và 𝛽y được ký hiệu là △𝛽, và được gọi là lưỡng chiết pha (đơn giản là lưỡng chiết) có đơn vị là nghịch đảo của đơn vị chiều dài Lưỡng chiết có thể biểu diễn thông qua độ chênh lệch chiết suất △ n Độ lệch này đối với sợi đơn mode thông dụng thường vào khoảng 10 −7 đến 10 −5 Quan hệ giữa △𝛽 và △n được xác định:

MÔ PHỎNG TÍNH TOÁN VÙNG CẤM QUANG CỦA CÁC TINH THỂ

Thiết kế layout cho mô hình tinh thể quang tử 3 chiều có cấu trúc mạng kim cương

Để thiết kế layout cho mạng tinh thể đầu tiên ta phải tạo 1 vật liệu mới có tên eps

13 với chỉ số khúc xạ là ~ 3.6055 như hình

Hình 11: Bảng thông số vật liệu eps13Tiếp theo ta thiết lập thông số của layout trong hộp thoại wafer properties

Hình 12: Thông số của layout trong hộp thoại wafer properties

Sau khi tạo được lưới này ta dùng công cụ DrawPBG Crystal Structure Click đúp vào mô hình lưới và thiết lập thông số như hình dưới đây

Hình 13: Crystal Lattice PropertiesCác thông số trong 2 hộp True 3D Sphere Waveguide

Sau khi thiết lập xong các thông số ta sẽ được mô hình layout hoàn chỉnh:

Thực hiện mô phỏng và kết quả

a) 2D Simulation Để thực hiện vào tab Simulation trên thanh công cụ chọn 2D Simulation Parameters thiết lập các thông số sau đó chạy mô phỏng và kết quả:

Hình 17: 2D Refr_Idx- Re(y) Điện trường:

Hình 18: Thành phần điện trường 2D

Hình 19: Thành phần từ trường 2D b) 3D Simulation Để thực hiện vào tab Simulation trên thanh công cụ chọn 3D SimulationParameters thiết lập các thông số sau đó chạy mô phỏng và kết quả:

Hình 20: 3D Refr_Idx- Re(y) Điện trường:

Hình 21: Thành phần điện trường 3D

Hình 22: Thành phần từ trường 3D c) Mô phỏng tính toán vùng cấm quang. Để thực hiện bước này ta vào tab Simulation trên thanh công cụ và chọn PWE band Solver Parameters Ta thiết lập thông số như hình dưới đây

Từ kết quả mô phỏng, chúng ta có thể quan sát được cấu trúc kim cương của tinh thể quang tử ba chiều với vectơ k Vùng màu xanh thể hiện rõ ràng vùng cấm băng gap của tinh thể quang tử.

PHỤ LỤC I: PHÂN CHIA CÔNG VIỆC TRONG NHÓM

Thành viên Công việc thực hiện

Trần Hải Vinh Nhóm trưởng: Phân chia công việc trong nhóm, tham gia mô phỏng hệ thống, viết báo cáo.

Trần Đức Hải Tìm hiểu về truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi 3 chiều Trần Hải Vinh

Tìm hiểu mô phỏng hệ thống qua phần mềm FDTD

Nguyễn Trường Linh Đỗ Duy Vinh

Tìm hiểu về các mode phân cực hốn hợp

Tìm hiểu về Khái niệm vùng Brillouin rút gọn, mạng đảo, các “đường vectơ k”

Ngô Duy Bách Tìm hiểu về phương pháp triển khai sóng phẳng PWEM Đỗ Duy Vinh

Tổng hợp, chỉnh sửa báo cáo

PHỤ LỤC 2: CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT TRONG BÁO CÁO

Chữ viết tắt Nội dung đầy đủ

PCFs Photonic Crystal Fibers: Sợi tinh thể quang tử

PWEM Plane Wave Expansion Method: Phương pháp triển khai (mở rộng) sóng phẳng

FDTD Finite Difference Time Domain: Phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian

PBG Photonic Bangap: Vùng cấm quang tử

EIM Effective Index Approach Method:

Phương pháp chiết suất hiệu dụng

LBF Localized Basis Funtion Method:

Phương pháp định vị hàm cơ bản

PHỤ LỤC 3: CÁC HÌNH ẢNH SỬ DỤNG TRONG BÁO CÁO

Hình 1: Những hàm sóng bloch 7

Hình 2: Vòng tuần hoàn Na 8

Hình 3: Hình mô tả phương pháp PWEM 11

Hình 4: Vùng brillouin trong mạng đảo 12

Hình 5: Vùng brillouin thứ nhất 12

Hình 6: Tinh thể quang tử 1D và vùng Brillouin tương ứng 13

Hình 7: Tinh thể quang tử 2D và vùng Brillouin tương ứng 13

Hình 8: Tinh thể quang tử 3D và vùng Brillouin tương ứng 13

Hình 10: Hai thành phần vector phân cực trường điện của mode HE11 trong sợi quang 16

Hình 11: Bảng thông số vật liệu eps13 18

Hình 12: Thông số layout trong hộp thoại wafer properties 19

Hình 18: Thành phần điện trường 2D 23

Hình 19: Thành phần từ trường 2D 24

Hình 21: Thành phần điện trường 3D 25

Hình 22: Thành phần từ trường 3D 26