Bài Tập Quá Trình Đại Số Tuyến Tính Cho Công Nghệ Thông Tin.pdf

12 Câu 8: Mỗi phương trình tuyến tính sau biểu diễn một mặt phẳng trong không gian xyz:.... = nghiém tong quat: c_ Viết hệ phương trình tuyến tính gồm 2 phương trình tuyến tính khác 0 sa

TONG LIEN DOAN LAO DONG VIET NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC TỒN ĐỨC THẮNG KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG TAA PWS TLEARIE SIKIVEDCTEY

VUONG QUOC AN - 52300089

BAI TAP QUA TRINH

DAI SO TUYEN TINH CHO CONG

NGHE THONG TIN

THANH PHO HO CHI MINH, NAM 2024

TONG LIEN DOAN LAO DONG VIET NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC TỒN ĐỨC THẮNG KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG

TON DUC THANG UNIVERSITY

VUONG QUOC AN - 52300089

BAI TAP QUA TRINH

DAI SO TUYEN TINH CHO CONG

NGHE THONG TIN

Người hướng dan ThS Phạm Duy Khánh

THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH, NĂM 2024

LOI CAM ON

Em xin chân thành cảm ơn thầy (cô) đã tận tình giảng dạy trong suốt quá trình học và hướng dẫn em hoàn thành bài báo cáo này Nếu không có những nỗ

lục hoàn thiện bài giảng cũng như chỉ dẫn đầy tâm huyết của thay thi bài báo

cáo này khó lòng hoàn thiện được

Có những từ chuyên ngành hoặc những từ em chưa tìm được phiên bản tiếng Việt tương ứng nên em để nguyên mẫu, mong thây thông cảm và bỏ qua

TP Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 2 năm 2024

Tác giả (Kỹ tên và ghi rõ họ tên)

An Vương Quốc An

CONG TRINH DUOC HOAN THANH

TAI TRUONG DAI HOC TON ĐỨC THẮNG

Tôi xm cam đoan đây là công trình nghiên cửu của riêng tôi và được sự hướng dẫn khoa học của ThS Phạm Duy Khánh Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa công bồ dưới bất kỳ hình thức nào trước đây Những số

liệu trong các bảng biểu phục vụ cho việc phân tích, nhận xét, đánh giá được chính

tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có ghi rõ trong phần tài liệu tham khảo

Ngoài ra, trong Dự án còn sử dụng một số nhận xét, đánh giá cũng như số liệu

của các tác gia khác, cơ quan tô chức khác đều có trích dân và chú thích nguôn gôc Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung Dự án của mình Trường Đại học Tôn Đức Thắng không liên quan đến những vi phạm tác quyền, bản quyền do tôi gây ra trong quá trình thực hiện (nếu có)

TP Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 2 năm 2024

Tác giả (Ký tên và ghi rõ họ tên)

An Vương Quốc Án

Contents

00009009 hố .ũỘ i

Câu 1: Trong số các phương trình sau, đầu là phương trình tuyến tính theo x1,x2, x3 ? Trong các câu từ (0) — (1), m là một hãng sỐ S1 n1 9111111111111 01 111111 H1 11101111 HH kg 4 Câu 2: Viết nghiệm tổng quát của mỗi phương trình tuyến tính sau: 2- s2 E222 2222552 7 0) e ee etn nent cteeeeeiensenenseeneetsisisesiensutieneetsnessisstienesensesieensnenes 8 CBU 8

Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính: 2s 922152522515551211111112112111112121121221 0 xu 10 Câu 7: Mỗi phương trình tuyến tính sau biêu diễn một đường thẳng trong mặt phẳng xy: 12 Câu 8: Mỗi phương trình tuyến tính sau biểu diễn một mặt phẳng trong không gian xyz: 2

0, `6 1 13 Câu 10: Chứng minh rằng các ma trận sau đây tương đương với nhau: 2 sczs25cc¿ 15 Câu 11: Thực hiện các phép toán để đưa ma trận A về ma trận B: 22-22222222 xe 15

Câu 12: Đối với mỗi ma trận tăng cường sau đây, () xác định xem ma trận có ở dạng bậc ;

thang, bậc thang rút gọn, cả hai, hoặc cả hai đều không: và (1) tìm một hệ phương trình tuyên tính tương ứng với ma trận tăng cường và sau đó giải hệ đó (nếu có thẻ) Bạn có thể giả định

Cau 13: Xác định xem các ma trận sau đây có tương đương với nhau hay không? 18 Câu 14: Dưới đây la ma trận bậc thang của một hệ phương trình tuyến tính: s¿ 19 Câu 15: Xét ma trận liên kết sau: - 22 1 SE 9112211221121 1102122222222 ng 19 Câu 16: Giải các hệ phương trình sau bằng Gaussian Elimination or Gauss-Jordan Elimi-

TATION eee ccc ccc ect ceeeeeeceeceeeteeceeceeteeeeceeetecseeseeseecsassseteesessesseeesassessiesesiestisscittststiiesenesees 20

Câu 17: Giải hệ phương trình phi tuyến tinh saute ccececssesseseseseesstesstesessrenretitiens 25 Câu 18: Gái hệ phương trình phi tuyến tuyến sau với: <2, 0<b<27r 26 Câu 19: Trong một thị trường có ba hàng hóa, cung và cầu của mỗi hàng hóa phụ thuộc vào giá của các hàng hóa đó Hãy ký hiệu cầu của sản phẩm 1, 2 và 3 lần lượt la D,, D, va Ds, cung tương ứng là S;, S, va S;, và giá tương ứng là P;, P; và P; cho các hàng hóa Giả sử thị trường có thể được mô tả bằng các phương trình tuyến tính: 2: ©222222 2222.222222 2cxe 27

Câu 20: Ở phân trung tâm của một thành phố nhất định, hai bộ đường một chiều giao nhau

như được thê hiện trong hình sau: -2- 2222125 2E112E18E19171211122121121122112112111 12121212 xe 28 Câu 21: Xét hai hệ phương trình tuyến tính: - 22 2 2 EE212211221121222211 212221222 kg 30

Cau 22: Cho cac hé phuong trinh tuyén tính sau, tim a dé hé vé nghiệm, có 1 nghiém, cd vd E901015(ibHr3iadadađdđaaiẳiẳẳiẦẳẲẳẳẳẳẳẳiẳâẳẳâaâẳaẳaaaiaẳỶẢỶ:r+1, 31

Câu 25: Không tính toán, xác định xem các hệ nào sau đây có nghiệm không tam thường 34

Câu 26: Khi khí C3 H8 chảy trong O2 tạo ra CO2 và H 2O theo phương trình phản ứng sau: c111 115111111 TH HH TH TH HH 1x1 HH HH TH HH HH HH HH TH HH HT TH HH H11 HH nh nàn Ho Hà Hà 34

Câu 27: Xét hệ phương trình thuần nhất: 2 52 22252519521 81181112111211221211212221812 re 36

Câu 28: Cho hệ phương trình thuần nhất: - 2 2 9 9252225125121212111111111121121121 E121 xe 37 Câu 30: Khăng dịnh nào sau đâu là đúng Biện minh cho câu trá lời của bạn 38

Câu 1: Trong số các phương trình sau, đâu là phương trình tuyến tính theo x¡,x;,x; ? Trong các câu từ (¡) - (, m là một hằng số

f (Ax, AX, Ax, |= Ax, Ax, +2 AX, + AX,

a) Tìm phương trình tuyến tính với các biến x, y có nghiệm tổng quát

x=1+2t, y =t Trong đó t là tham số tùy ý

Thế y =t vào x= 1 + 2tta được:

= nghiém tong quat:

c)_ Viết hệ phương trình tuyến tính gồm 2 phương trình tuyến tính khác 0 sao cho hệ

có nghiệm tổng quát tương tự câu a)

- _ Phương trình này định nghĩa một mặt phẳng trong không gian 3 chiều

- _ Mỗi điểm |x,y,z thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện

b) Đưa ra cách giải thích hình hoc cho phương trình x — y = Ö trong không gian xy

vả trong không gian xyz

- Trong Mặt Phẳng XY:

+ Phương trình x-y=0 trong mặt phẳng xy có thê được hiểu như việc định nghĩa một đường thăng trong mặt phang xy

11

+ Nếu ta giữ cô định z là một giá trị có định (ví dụ,z=0), phương trình trở thành

x—y=0, và từ đó, chúng ta có thê việt lại là y=x

+ Điều này biêu diễn một đường thăng có góc nghiêng 45 độ qua mặt phăng xy

va di qua gốc tọa độ (0, 0)

- Trong Khéng Gian XYZ:

+ Trong không gian xyz, phương trình x—y=0 cũng có thê được hiệu là một mặt phăng

+ Khi ta giữ cô định giá trị của z (ví dụ,z=0), phương trình trở thành x-y=0,

và từ đó, chúng ta có thê viết lại là y=x

+ Mặt phẳng này nằm trong không gian xyz và đi qua đường thăng y=x trên mặt phăng xy

+ Mặt phẳng này có góc nghiêng 45 độ với trục x và trục y và ổi qua gốc tọa

Nghiệm Hình Học Của Hệ Phương Trình:

- _ Nghiệm của hệ phương trình là điểm mà thỏa mãn cả hai điều kiện: nằm trên mặt phẳng x†y+z= Ì và trên đường thang x — y=0

- _ Dễ thấy rằng điểm nằm trên cả mặt phẳng và đường thẳng là điểm có tọa độ (0.5, 0.5, 0), với x=y =0.5

- - Vi vậy, nghiệm hình học của hệ phương trình là một điểm duy nhất trong không gian 3 chiều, nằm đồng thời trên mặt phẳng và đường thăng được xác định bởi các phương trình

Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính:

3x+4y-5z=-8 x—=2y+z=2

ta được:

N II ~

b) Viét 2 nghiém cu thé cia hé phuong trinh tuyén tinh

Trong đó đ;,đ;,đ;,b,,b;,b.,€;,C;,€; là các hằng số, Với mỗi ¡ = 1,2,3 thì đ,,b;

không đồng thời bằng 0 Thảo luận về vị trí tương đôi của 3 đường thăng khi:

a) Hệ không có nghiệm:

- _ Cả 3 đường thăng cùng song song với nhau

- _ Có 2 đường thăng cắt nhau, đường thăng thứ 3 song với với l trong 2 đường thẳng còn lại

b) Hệ có duy nhất nghiệm:

- _ Cả 3 đường thăng cùng giao nhau tại I điểm duy nhất

c) Hệ có vô sô nghiệm:

- _ Cả 3 đường thăng trùng nhau

- Cả 3 mặt phăng song song với nhau hoặc không cùng giao nhau tại một đường thăng, một điểm

b) Hệ có duy nhất nghiệm:

- 3 duong thăng giao nhau tại 1 diém

c) Hệ có vô sô nghiệm:

- _ 3 đường thắng giao nhau tại l đường thẳng

Hệ này có 2 phương trình nhưng có 2 ân, và rõ ràng nó không có nghiệm nào thỏa mãn cả

Giải hệ này, ta sẽ tìm được nghiệm duy nhất (x, y) = (0.5, 0.5)

(c) Một hệ phương trình tuyến tính chỉ có một nghiệm duy nhất, nhưng nhiều ấn hơn phương trình, có ton tai không?

Không, không tồn tại Một hệ phương trình tuyến tính phải có cùng số phương trình và

ân đề có một nghiệm duy nhật Nêu có nhiều ân hơn phương trình, hệ phương trình sẽ trở thành hệ thiêu tương thích (có vô sô nghiệm) hoặc không tương thích (không có nghiệm nào)

(d) Một hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm, nhưng nhiều phương trình hơn

ân, có ton tai không?

Có, tồn tại Trong trường hợp này, số lượng ân ít hơn số lượng phương trình, dẫn đến các ân có thê nhận nhiều giá trị khác nhau miễn là chúng thỏa mãn các phương trình có sẵn

Cứ mỗi số thực t ta lại được các nghiệm

Câu 10: Chứng minh rằng các ma trận sau đây tương đương với nhau: _/1 3 2% pil 3 2) 7-75 15 1 _0 0 0

17

Cau 12: Đối vdi mdi ma tran tang cudng sau day, (i) xác định xem ma trận có ở dạng bậc thang, bậc thang rút gọn, cả hai, hoặc cả hai đều không: và (ii) tìm một hệ phương trình tuyến tính tương ứng với ma trận tăng cường và sau đó giải hệ đó (nếu có thể) Bạn có thể giả định rằng các biến là xi, Xz, Xã, V.V

Ma trận ở dạng bậc thang rút gon và vô nghiệm

3 ma trận A, B, C không tương đương với nhau

Câu 14: Dưới đây la ma trận bậc thang của một hệ phương trình tuyến tính:

a 0 0 d

0 b 0 e

0 0 c ƒ Với a, b, c, d, e, flà các hang số Ghi lại các điều kiện cần thiết về a, b, c, d, e, f để tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tạo thành một mặt phẳng trong không gian ba chiều và không chứa gốc tọa độ

Điều kiện cần để tập nghiệm của hệ để tạo thành một mặt phẳng trong không gian

ba chiêu và không chứa gôc tọa độ là:

é

a # 0 (dé dam bao hang đầu tiên không phải là hàng của không)

b#0 (đề đảm bảo hàng thứ hai không phải là hàng của không)

c # 0 (đề đảm bảo hàng thứ ba không phải là hàng của không)

Các giá trị d, e, f không đồng thời là 0 để mặt phăng không chứa gốc tọa độ

Voia, b, c,d, e, f, g, hla cac hang số

c) Cac ma tran bậc thang rut gon nao trong câu a) tương đương với nhau?

Ma trận (1) và (2) tương đương với nhau

Câu 16: Giải các hệ phương trình sau bằng Gaussian Elimination or Gauss- Jordan Elimi-nation

có thế được mô tả bằng các phương trình tuyến tính:

30

P,+P,+P.=5

=) P,—P,+P.=1 P,—P,-2P,=-5

Dung lượng trung bình hàng giờ của lưu lượng giao thông đi vào và rời khỏi khu vực này

vào giờ cao điểm được hiện thị trong biêu đô

a) Chúng ta có đủ thông tin dé tìm các lưu lượng giao théng x,, x», x3, x, khong? Hay giải thích câu trả lời của bạn

Ta có: lưu lượng giao thông đi vào phải bằng lưu lượng giao thông đi ra ở từng

Ta có 4 phương trình, mỗi phương trình đều có 2 ấn

Vậy: Không đủ thông tin đề tìm các lưu lượng giao thông x¡, xạ, x3, X,

b) Cho X„= 500 Tìm x¡, x;, X¿

(Dung lượng trung bình hàng giờ của giao thông vào một giao lộ phải bằng với dung lượng của giao thông rời di.)

32

X,+X,= 1000 tak ` x¡;+x„=1060

xX,=230

X,—X,=—270

X,=560 X,=230 x:=500 x,= 500

Cau 21: Xét hai hé phuong trinh tuyén tinh:

=0

vay

x+y=0

x—|1+dÌy=1 x+1+a) y=1

x=—y

”|-2.0001y=1

33

x=0.4999750012 y=~—0.4999750012

& Jx=5000 y=5000 (2) x+y=0 - x=—y

b) So sánh kết quả khi ta thay đối a từ 0.0001 > 0.0002

- _ Đối với hệ 2: Sự thay đôi nghiệm rất nhỏ

c) Giải thích kết quả câu b) băng hình học

35

=a>0

+) Hệ có vô số nghiệm khi : ~2a=0

=a=0 (2) Khi a<0;

ax tay=1

ax tay=1

=Hệ có vô sô nghiệm

Câu 23: Xác định các giá trị của a, b sao cho hệ tuyến tính:

= Có I nghiệm tâm thường

Câu 26: Khi khí C;H; cháy trong 9, tao ra CO, va 4,0 theo phương trình

phản ứng sau:

wC,H,+x0,—> yCO,+zH,O a) Bang cach so sanh số lượng nguyên tử cacbon, hydro và oxy tương ứng trên cả hai về của phương trình hóa học, hãy viết ra hệ tuyến tính gồm

ba các phương trình theo w,x,y,z

©) Tìm nghiệm không tầm thường của w,x,y,z nhỏ nhất (với w,x,y,z là các

sô nguyên dương)

Chot=4

w=1

Ta được: x=5 y=3

N II >

Cho x=Xạ, y=Yos›Z—” là một nghiệm của hệ phương trình Với k là

hang số, chứng minh x=kxạ, y=kyạ,Z=kz¿ cũng là một nghiệm của hệ

= k|dxạ+€ yạ+ƒ zạ|=0

Mà x=%ạ; y= yạ;Z—Z¿ là một nghiệm của hệ phương trình

=dxạ,+e€ yạ+ƒz¿=0

=ki0)E0 (luôn đúng với mọi k)

Do đó: x= ky, y=yạ,z=kzy cũng là nghiệm của hệ phương trình thuần nhật, với k là hăng sô

Cho X=Xq, Y=o.Z=% va 6X, Y= ¥i,2=2Z, 1a hai nghiém của hệ phương

trinh Ching minh x=%9+X,,Y=Yot Y,,Z=Z)+Z, cting la mét nghiém cua

hệ phương trình

+ Thế X=Xạ†Xị,Y=Yạ† y¡,Z=Za*Z¡ vào phương trình (1) của hệ ta

được:

a(xo+Xx,}+b[ yor yi) + € (Zot Z;)=0

= (aXo+d yore Zo) +(axitD y, +€2Z1)=0

Mà X=xXg, y=yg;Z =Zạ và 6Xị, y= Yị,Z=Z¡ là hai nghiệm của hệ phương

trình

=0+0=0 (luôn đúng) + Thế X=Xg†X¡, Y=Yo†y¡,Z=Za¿+Z¡ vào phương trình (2) của hệ ta

được: