Luận án tiến sĩ Toán học: Một số phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên

CAC UNG DỤNG/KHẢ NĂNG UNG DỤNG TRONG THỰC TIÊN HAY NHUNG VẤN DE CON BO NGO CAN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU: Trong tương lai, chúng tôi có thé mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau ¢ Hướng 1: Khả

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH

UNIVERSITY OF SCIENCE

TRAN NGOC THACH

SOME DIFFUSION EQUATIONS

WITH STOCHASTIC NOISE

Doctoral Thesis

Ho Chi Minh City - 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRAN NGỌC THACH

MOT SO PHUONG TRINH KHUECH TAN

CO YEU TO NGAU NHIEN

Ngành: Toán giải tích

Mã số Ngành: 9460102

Phản biện 1: PGS TS Mai Đức Thành

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Dinh Huy

Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Bích Huy

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn

2 TS Nguyễn Minh Quân

TP Hồ Chí Minh - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích, với dé tài "Một số phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên" là công trình khoa học do Tôi thực

hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Huy Tuần và TS Nguyễn Minh Quân.

Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và

không trùng lắp với các công trình đã công bồ trong và ngoài nước.

Tập thể cán bộ hướng dẫn Nghiên cứu sinh

PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn Trần Ngọc Thạch

TS Nguyễn Minh Quân

kiến thức và giúp đỡ tôi rất nhiều Xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, Ban

chủ nhiệm Khoa và quý phòng ban đã luôn ủng hộ, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập.

Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Trường Đại học Tôn Đức Thắng, đặc biệt là quý

thầy cô Khoa Toán - Thống kê đã luôn khuyến khích, động viên và tạo điều

kiện tốt để tôi có thể an tâm trong việc học tập và hoàn thành luận án.

Đồng thời, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn trong nhóm nghiên cứu, các bạn

nghiên cứu sinh ngành Toán Giải tích Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại

học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh đã luôn đồng hành, giúp đỡ, hỗ trợ tôi.

Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình tôi, nơi đã luôn ủng

hộ, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận án.

Mục lục

Lời cảm ơn|

[Trang thông tin luận án tiếng Việt

Trang thông tin luận án tiếng Anh

[Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tatDanh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

1 _ MỞ ĐÃ

1 Ly dochon dé tai]

2 Mục đích nghiên cứu|

43 Đối tượng nghiên cứu|

4 Pham vinghiên cứu|

.5 Phương pháp nghiên cứu

.6_ Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài

2_ TỔNG QUAN

2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giớ|

2.2_ Tình hình nghiên cứu trong nước|

ii

vii

xii

xvii

Ê-3_ Mục tiêu nghiên cứu của luận án| 8

2.4_ Nội dung nghiên cứu của luận án| 8

PH PHÁP NGHIÊN CÚ 16 Bi Phương pháp nghiên cứu| 6

3.1.1 Các phương pháp nghiên cứu| 6

B12 Tiếpcânnghincứu| 6

3.2 Cơsởlýthuyết eee 7 3.2.1 Day trị riêng, vector riêng, không gian Hilbert scale, [ toán tử cấp không nguyên| ¬— eee 7 3.22 Ham MitagLefflerl 8

3.2.3 Quá trình Wiener, chuyển động Brown phân thứ, tích phan Wiener| 9

3.2.4 Các không gianhàm| 21

3.2.5 Bài toán không chính| 22

ls KẾT QUA NGHIÊN CỨU VÀ PHAN TÍCH, DANH GIÁ, THẢO LUẬN 23 4.1 CHÍNH HÓA BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG | TRÌNH NHIỆT VỚI NHIÊU TRẮNG| 23

4.11 Cong thức nghiệm nhẹ| 26

4.1.2 Tinh không chỉnh của bài toán| 27

4.1.3 Kết quả chỉnh hóa cho bài toán| 29

414 KếtluậnMụcH.I] - 34

42 _ BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG TRINH

| BI-PARABOLIC VỚI NHIÊU TRẮNG VÀ NHIÊU BROWN

4.2.1 Công thức nghiệm nhẹ và tính chat của các toán tử nghiệm| 38

Tính ton tại nghiệm của mỗi bài toán| 41 4.2.3 Tính không chỉnh của mỗi bài toán trên L^(O,H®)| 52

4.2.4 Kết quả chỉnh hóa cho mỗi bài toán| 56

4.2.5 KếtluậnMuc|l42| - 66

4.3 BAI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG TRÌNH

4.3.2 Tính chỉnh của từng bài toán trong trường hợp ổ € (0,1Ì| 71

4.3.3 Tính không chỉnh của từng bài toán trong trường hợp

TA Na 88

4.3.4 Kết quả chỉnh hóa cho Bài toán và Bài toán

với h € (3,1) khi 8 > l1| ccẶ 91

43.5 KếtluậnMục|43] 97

44 BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG TRINH

| KHUECH TAN PHAN UNG PHI TUYEN VỚI DAO HAM

CAP KHONG NGUYEN VA NHIEU NGAU NHIEN) 97

4.4.1 Công thức nghiệm nhẹ của từng baitoan| 100

4.4.2 Tính ton tại, duy nhất và chính quy hóa với dữ liệu đủ

4.4.3 Tính không chỉnh và kết quả chỉinhhóa|

4.4.4 Kết luận Mục|4.4

[5 KẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ

TÀI LIEU THAM KHẢO

[DANH MỤC CAC CÔNG TRINH CUA NCS|

149

152

173

TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN

Tên dé tài luận án: Một số phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên

Ngành: Toán giải tích

Mã số Ngành: 9460102

Họ tên nghiên cứu sinh: TRẦN NGỌC THẠCH

Khóa đào tạo: 2020

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN HUY TUẦN, TS NGUYỄN

MINH QUAN

Cơ sở dao tạo: Trường Dai học Khoa học Tự nhiên, DHQG.HCM

1 TOM TAT NOI DUNG LUẬN ÁN:

Kết quả của luận án này được tổng hop từ bồn bai báo đã được công bồ trên

các tạp chí Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Asymptotic Analysis, Stochastics and Dynamics, Bulletin des Sciences Mathématiques, được chia thành bốn mục ở chương 4 như sau.

e Mục {4.1} Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt với

nhiễu trắng

u;(t) + v(t)Au(t) = f(t) +o(t)W(t), trong D x [0,T),

u(t) = 0, trên 9D x [0,T),

u(T) =¢, trong D,

trong đó, D C R“ (d > 1) là miền bi chặn với biên đủ trơn, H := L?(D),

w:|0,T] > R* thỏa mãn 0 < 1~ < v(t) < vt < œ¿A = =A: Hj(D)n H?(D) C H — H là toán tử Laplacian âm, W(t) là quá trình Wiener (hay còn

gọi là chuyển động Brown thông thường) nhận giá trị trên H, W(t) := 2W(t)

được gọi là nhiễu trắng, các hàm Z, f, ơ thỏa mãn một số giả thiết cho trước Kết quả chính của mục này bao gồm: chỉ ra tính không ổn định của nghiệm, dẫn đến tính không chỉnh của bài toán; xây dựng nghiệm chỉnh hóa và đánh

giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.

° Mục|4.2} Bài toán ngược thời gian cho phương trình bi-parabolic với nhiễu

trắng và nhiễu Brown phân thứ

o Bài toán với nhiễu trắng

2

(3 +A) u(t) = f(t) +ơ(W(), trong D x (0,7),

u(t) = Au(t) =0, trên aD x [0,T),

§u(p|_ =O (7) = 6

o Bài toán với nhiễu Brown phân thứ

2

(3 +4) u(t) = f0) +ơ()W“(),- trong D x (0,7),

u(t) = Au(t) = 0, trên aD x [0,T),

3| =O 8(T) =ẽ,

với W"(t),h € (4, 1), là chuyển động Brown phân thứ nhận giá trị trên

Swit) được gọi là nhiễu Brown phân thứ.

Trong đó, (2 + A)“uŒ) = Su(t) +2A3}0(1) + A?u(f), các hàm ế, ƒ, ơ thỏa

mãn một số giả thiết cho trước.

Kết quả chính của mục này bao gồm: thiết lập tính tổn tại nghiệm cho từng

bài toán với dữ liệu đủ trơn; chỉ ra tính không chỉnh của mỗi bài toán; xây

dựng nghiệm chỉnh hóa và chứng minh nghiệm chỉnh hóa hội tụ về nghiệm chính xác.

° Mục[4.3} Bài toán ngược thời gian cho phương trình giả parabolic với nhiễu

trắng và nhiễu Brown phân thứ

o Bài toán với nhiễu trắng

up(t) + wAu,(E) + APu(t) = f(t) +o(t)W(t), te [0,T),

u(Đlạp =0, „(T) = ễ,

o Bài toán với nhiễu Brown phân thứ

up(t) +aAup(t) + APu(t) = f(t) +ơ()WP!(, te|0,T),

(Đạp =O u(T) = 6,

Trong đó, a, B > 0, các hàm , f, ơ thỏa mãn một số giả thiết cho trước Khác

với Mục [13] bên cạnh trường hợp h € (4, 1), mục nay còn xét thêm trường

hợp h € (0,3) Day là trường hợp khó xử lý hơn do sự phức tạp của công thức

nghiệm và sự xuất hiện của nhiều nhân kỳ dị.

Kết quả chính của mục này bao gồm: khảo sát tính chỉnh của các bài toán

trong trường hợp 8 € (0,1]; chỉ ra tính không chỉnh và đưa ra kết quả chỉnh hóa cho từng bài toán trong trường hợp 8 > 1.

: j4 Bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán phản ứng

phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên và nhiễu ngẫu nhiên

o Bài toán với nhiễu trắng

ayu(t) + ð†-*Au() = f(t,u(t)) +ơ()WU), te |0,T),

(Đạp =0, u(T) =ẽ.

o Bài toán với nhiễu Brown phân thứ

9;w(£) + a-*Au(t) = f(t,u(t)) +ơ()WÑ*Œ), te [0,T),

U(Đ|ạp = 0, u(T) = 6,

với h € (4,5) U (3,1).

Trong đó, toán tử ar’, với € (0,1), là đạo ham Riemann-Liouville, các hàm

é, ƒ, ơ thỏa mãn một số giả thiết cho trước.

Kết quả chính của mục này bao gồm: thiết lập tính tồn tại, duy nhất, và

chính quy hóa của nghiệm cho các bài toán với dữ liệu đủ trơn; chỉ ra tính

không chỉnh và đưa ra kết quả chỉnh hóa cho từng bài toán.

2 NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN:

Luận án này chứa nhiều kết quả mới, được công bố trên các tạp chí khoa học uy tín Cụ thể, các kết quả mới gồm có

* Khảo sát các bài toán ngược thời gian cho các phương trình khuếch tán

ở dạng ngẫu nhiên (thay vì tất định) Như đã biết, trong các thập kỷ gần đây, các bài toán ngược thời gian cho các phương trình khuếch tán ở dang tat định được quan tâm nghiên cứu nhiều đáng kể Tuy nhiên, đối với trường hợp ngẫu nhiên, các kết quả vẫn còn hạn ché.

s Bên cạnh việc chỉ ra tính không chỉnh và chỉnh hóa các bài toán ngược

thời gian, tính tồn tại, duy nhất, và chính quy hóa của nghiệm cũng được

thiết lập với các điều kiện đủ trơn cho dữ liệu.

¢ Bên cạnh trường hợp nhiễu ngẫu nhiên ở dạng Brown thông thường, luận

án còn khảo sát trường hợp nhiễu ở dạng tổng quát (nhiễu Brown phân

thứ) Theo chúng tôi được biết, các kết quả về loại nhiễu này, đặc biệt là

trường hợp € (0,4), vẫn còn rất ít.

3 CAC UNG DỤNG/KHẢ NĂNG UNG DỤNG TRONG THỰC TIÊN HAY

NHUNG VẤN DE CON BO NGO CAN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU:

Trong tương lai, chúng tôi có thé mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau

¢ Hướng 1: Khảo sát tính chỉnh / không chỉnh của các bài toán cho các

phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên với điều kiện phi địa phương

thay vì điều kiện đầu hay điều kiện cuối.

Hướng 2: Khảo sát tính tồn tại, duy nhất, tính chính quy hóa nghiệm

của các bài toán cho các phương trình ngẫu nhiên ở dang delay, trong đó

nghiệm của bài toán không chỉ phụ thuộc vào giá trị của nó tại thời điểm đầu (t = 0) ma còn phụ thuộc vào các giá trị tại các thời điểm trong quá khứ (t < 0).

Hướng 3: Khảo sát các tính chất của nghiệm cho các phương trình đạo

hàm riêng với nhiễu ngẫu nhiên ở dạng colored noise hay các loại nhiễu ngẫu nhiên khác.

Hướng 4: Mở rộng kết quả lên trường hợp miền không gian là miền nhiều

chiều không bị chặn.

THESIS INFORMATION

Thesis title: Some diffusion equations with stochastic noise

Speciality: Mathematical Analysis

Results of this thesis have been combined from four papers published on

Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Asymptotic Analysis, Stochastics

and Dynamics, Bulletin des Sciences Mathématiques, including four sections (in Chapter 4) as follows.

e Section Regularization of the backward problem for heat equations

driven by white noise

ur(t) + v(t) Au(t) = f(t) +o(t)W(t), in D x [0,T),

u(t) =0, on 9D x [0,T),

u(T) =é, in D,

where D C R4 (đ > 1) isa bounded domain with sufficiently smooth

bound-ary, H := L?(D), v : [0,T] > Rt satisfies 0 < v- < u(t) < vt < œ,

A = -A: HẠ(D)n H2(D) C H — H is the negative Laplacian operator,

W(t) is a Wiener process (or called standard Brownian motion) taken value

on H, W(t) := 2wit) is called white noise, the functions ¢, f, 7 satisfy some

given assumptions.

The main results here are: showing the instability of the solution, leading

to the ill-posedness of the problem; constructing the regularized solution and estimate the error between the regularized solution and the exact one.

e Section The backward problem for bi-parabolic equations driven by

white noise and fractional Brownian noise

o Problem with white noise

2 (+4) ult) = f0) +ø()WŒ), inD x (0,7),

fu(t)| =O, u(T) = 8,

where W! (t),he Gb, 1), is a fractional Brownian motion taken value on

H, W"(t) := owt) is called fractional Brownian noise.

Here, (2 + A)u(t) = Fu(t) + 2A2u(t) + A?u(t), the functions ễ, f, 7

sat-isfy some given assumptions.

The main results here are: constructing the existence for the solution of each problem under sufficiently smooth conditions of the data; showing the ill-posedness of each problem; establishing regularized solutions and describ-

ing the convergence results.

° Section |4.3† The backward problem for pseudo parabolic equations driven

by white noise and fractional Brownian noise

© Problem with white noise

up(t) + wAu(t) + APu(t) = f(t) +ơ()W(), te [0,T),

(Đạp = 0, u(T) = §,

© Problem with fractional Brownian noise

up(t) +aAu(t) + APu(t) = f(t) +o(t)W(t), te|0,T),

u(t)|5p =0, u(T) =.

Here, x,6 > 0, the functions ¢, f, 7 satisfy some given assumptions

Com-pared with Section|4.3} beside the case h € (4,1), the additional case h € (0,3)

is considered, which is more difficult to deal with due to the complexity of the solution and the appearance of singular kernels.

The main results here are: investigating the well-posedness of the two

prob-lems when f € (0, 1]; showing the ill-posedness and giving the regularization

results for the two problems when f > 1.

° Section [4.4} The backward problem for nonlinear fractional diffusion

equa-tions driven by white noise and fractional Brownian noise

o Problem with white noise

d,u(t) +d!" Au(t) = f(t, u(t)) +o(t)W(t), te|0,T),

u(t)|sy =0, u(T) =ẽ.

o Problem with fractional Brownian noise

ô,u(f) +d!" Au(t) = f(t, u(t)) +ơ()W*?(), te [0,T),

M(Đ|ạp =0, u(T) = 6,

where h € (4,5) U (3,1).

Here, the operator ar’, with a € (0,1), is the Riemann-Liouville derivative,

the functions ¢, f, 7 satisfy some given assumptions.

The main results here are: constructing the existence, uniqueness, and ularity of the solution under sufficiently smooth assumptions for the data; showing the ill-posedness and giving the regularization results for the two

is still limited.

¢ Beside showing the ill-posedness and constructing regularization results, the existence, uniqueness, and regularity of the solution are investigated under sufficiently smooth assumptions for the data.

¢ Beside the standard Brownian motion, the noise in the form of fractional

Brownian motion is considered As we known, the results on this noise,

especially when h € (0, 3), are limited.

3 APPLICATIONS/APPLICABILITY/PERSPECTIVE:

In the future, we could expand our research direction as follows

® Topic 1: Investigating the well-posedness / ill-posedness for distinct

prob-lems of partial differential equations with non-local conditions instead of

the initial (or final) condition.

® Topic 2: Investigating the existence, uniqueness, regularity for problems

of delay equations, where the solutions depend not only on the initial

status (f = 0) but also the previous behaviors (tf < 0).

® Topic 3: Investigating behaviors of the solutions to partial differential

equations with the stochastic noise in the form of colored noise or

dif-ferent types.

¢ Topic 4: Expanding the results into the case when the space domain is multi-dimensional and unbounded.

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DCR?d>1 : Miền bị chặn với biên đủ trơn.

H=L*(D) : Không gian các hàm g thỏa ||? khả tích trên D.

(y+) : Tich vô hướng trên H.

==A : Toán tử Laplacian âm.

{Aj} : Day các trị riêng của toán tử A.

{ej} : Day các vector riêng của toán tử A.

HE,s>0 : Không gian Hilbert scale gồm các hàm g € H thỏa mãn

1

co 2Igllz = (E#+A?@s)IP)ˆ <0.

L(H,K) : Không gian các toán tử tuyến tinh bị chan đi từ không gian

Hilbert H vào không gian Hilbert K.

L/(O,H),r>2_ : Không gian các biến ngẫu nhiên Y : O > H thỏa mãn

⁄

#llzto = (EIll)*”<

LP(0,T;B),p > 1: Không gian các ham w : [0, T] + thỏa mãn

1

mo): (Jo lle(Đ)JR4Ð)” < œ

LTM(0,T; B) : Không gian các hàm w : [0,T] > B thỏa mãn

{U

w| L®(0,T;B) *= ©88SUP;¢ (0,7) llo()|l„ < s.

C((0, TÌ; B) : Không gian các hàm liên tục w : [0,T] > thỏa mãn

1U C((0,7);8) := SWP¿ejoị ll0Œ)|Ìg < %.

asb : << Cb, với C là hằng số dương

aq>b : a> Cb, với C là hằng số dương

® Bài báo [A1] khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt với

nhiễu trắng Kết quả chính của bài báo này bao gồm: chỉ ra tính không

ổn định của nghiệm, dẫn đến tính không chỉnh của bài toán; xây dựng

nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.

® Bài báo [A2] khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình

bi-parabolic với nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ (với h € (4,1)) Kết

quả chính của bài báo này bao gồm: thiết lập tính tồn tại nghiệm cho

từng bài toán với dữ liệu đủ trơn; chỉ ra tính không chỉnh của mỗi bài

toán; xây dựng nghiệm chỉnh hóa và chứng minh nghiệm chỉnh hóa hội

tụ về nghiệm chính xác.

® Bài báo [A3] khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình giả

parabolic với nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ (với h € (0,4) U (4,1)) Kết quả chính của bài báo này bao gồm: khảo sát tính chỉnh của

các bài toán trong trường hợp 8 € (0,1], chỉ ra tính không chỉnh và đưa

ra kết quả chỉnh hóa cho từng bài toán trong trường hợp ổ > 1.

* Bài báo [A4] khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch

tán phản ứng phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên và nhiễu ngẫu

nhiên (ở dạng nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ) Kết quả chính của

bài báo này bao gồm: thiết lập tính tồn tại, duy nhất, và chính quy hóa

của nghiệm cho các bài toán với dữ liệu đủ trơn; chỉ ra tính không chỉnh

và đưa ra kết quả chỉnh hóa cho từng bài toán.

Luận án này chứa nhiều kết quả mới, được công bố trên các tạp chí khoa

học uy tín Luận án khảo sát các phương trình khuếch tán có sự xuất hiện của

các yêu tố ngẫu nhiên bao gồm nhiễu ở dạng Brown thông thường và nhiễu ở

dang Brown phân thứ Đối với loại nhiễu thứ hai (đặc biệt trong trường hợp

h € (0, 3)), theo chúng tôi được biết, các kết quả còn hạn chế do sự khó khăn

trong quá trình xử lý nghiệm, xuất phát từ độ phức tạp của công thức nghiệm

và sự xuất hiện của nhiều nhân kỳ dị trong quá trình đánh giá nghiệm.

Một phần các kết quả này đã được báo cáo tại các hội nghị:

¢ Hội nghị Toán học Miễn Trung - Tây Nguyên lần thứ 4, Trường Dai học

Su Phạm, Đại học Huế, Thành phố Huế, tỉnh Thừa Thiên Huế, tháng 8

năm 2022.

¢ Hội nghị Khoa học lần thứ 12, Trường Dai học Khoa học Tự nhién,

DHQG-HCM, Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2020.

¢ Hội nghị Toán học Miễn Trung - Tây Nguyên lần thứ 3, Trường Dai học

Tây Nguyên, Thành phố Buôn Ma Thuột, tháng 8 năm 2019.

¢ Hội nghị Khoa học lần thứ 11, Trường Đại học Khoa học Tự nhién,

DHQG-HCM, Thành phó Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2018.

1.1 Lý do chọn dé tài

Đề tài luận án thuộc lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên Đây là

hướng nghiên cứu mới mẻ, được quan tâm nghiên cứu nhiều trong các thập

ky gan đây, và có tiém năng để phát triển trong tương lai.

Lý do tôi chọn đề tài "Một số phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên" chủ yếu xuất phát từ định hướng của Thầy hướng dẫn Nguyễn Huy Tuấn, Thầy Nguyễn Minh Quân và các kết quả khả quan ban đầu về hướng

nghiên cứu này.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài hướng đến việc nghiên cứu một số bài toán cho các phương trình

khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên Mục tiêu của luận án bao gồm hai hướng

chính Thứ nhất, thiết lập tính tồn tại, duy nhất và chính quy hóa nghiệm cho

bài toán với dữ liệu đủ trơn Thứ hai, chỉ ra tính không chỉnh và xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho từng bài toán.

13 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài xem xét các bài toán ngược thời gian cho các phương trình sau:

Phương trình nhiệt với nhiễu trắng.

Phương trình bi-parabolic với nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ (với

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Luận án có sử dụng các kiến thức về giải tích hàm, giải tích ngẫu nhiên,

giải tích không nguyên, dùng các phương pháp chỉnh hóa như phương pháp

lọc, phương pháp chặt cụt để chỉnh hóa các bài toán.

1.6 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của dé tài

Kết quả nghiên cứu của dé tài góp phan giải quyết các bài toán cho các

phương trình khuếch tán Đây là các mô hình có ứng dụng quan trọng trong

các lĩnh vực khác nhau như vật lý, khoa học công nghệ, thủy văn, xử lý ảnh,

động lực học,

Đề tài góp phần nâng cao phong trào nghiên cứu, thứ hạng và uy tín khoa học của trường, có thể xem như tài liệu tham khảo để sử dụng trong giảng dạy, học tập, nghiên cứu Đồng thời, các kết quả đạt được sẽ được thảo luận trong nhóm cũng như các hội thảo, hội nghị, từ đó mở rộng hơn để thu được

nhiều kết quả mới trong tương lai.

Chương 2

TỔNG QUAN

Đề tài luận án thuộc lĩnh vực bài toán ngược và phương trình dao hàm riêng

ngẫu nhiên Đây là lĩnh vực có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc mô

phỏng các hiện tượng khuếch tán, quá trình truyền nhiệt, xử lý ảnh, khoa học

vật liệu, động lực học, thủy văn,

Từ những năm 60 của thé kỷ trước, các bài todn ngugc cho các phương trình đạo hàm riêng được quan tâm nghiên cứu nhiều bởi các nhà toán học trong

và ngoài nước, trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của

Toán học nói chung và Giải tích Toán học nói riêng Một số kết quả đầu tiên về

lĩnh vực này là các nghiên cứu về bài toán ngược cho phương trình khuếch tán

cổ điển thuần nhất của các tác giả Lavrentiev |, Lattes và Lions Bì, Miller 6|,

Payne 4, Showalter BI, Alekseeva và Yurchuk [6], Huang và Zheng (7, we

Trong các hiện tượng vat lý, ta có thể gặp phải các ngoại lực phát sinh từ

các nguồn khác nhau Trong trường hợp ngoại lực phát sinh từ các nguồn

kiểm soát được, việc mô hình hóa các hiện tượng này dẫn đến các phương

trình đạo hàm riêng ở dạng tắt định Đối với trường hợp có thêm sự xuất hiện của ngoại lực phát sinh từ các nguồn không kiểm soát được, việc thêm vào phương trình các nhiễu ngẫu nhiên là cần thiết Do đó, trong những thập kỷ gần đây, phương trình ngẫu nhiên phát triển mạnh mẽ với số lượng công bồ tăng

lên đáng kể, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học, ví dụ

như Chen [8], Kovacs, Larsson va Saedpanah (9) Du, Toniazzi va Zhou [20],

Jin và Zhou {1Ì „ Foondun, Liu và Nane [12/13], Lit va Zhang (14H16], Nualart,

Binotto, Nourdin, Tindel, Duncan va Saussereau fl 7H22], Garrido-Atienza, Lu

và Schmalfuss [23125], Tomas Caraballo, Boudaoui va Ouahab [26}28],

Mặc dù lượng công bồ về các bài toán ngược cho các phương trình khuếch tán ở dạng tat định là rất nhiều, theo chúng tôi được biết, các kết quả về trường

hợp ngẫu nhiên vẫn còn rất hạn ché Chính vì lý do đó, ở luận án này, chúng

tôi khảo sát một số bài toán ngược thời gian cho các phương trình khuếch tán với sự xuất hiện của các yếu tố ngẫu nhiên.

2.1 Tình hình nghiên cứu trên thé giới

Trong những năm kể từ thập niên 60 của thé kỷ trước trở lại đây, các bài toán

ngược cho các phương trình khuếch tán đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu

của nhiều nhà toán học trên thé giới Trong đó có thể kể đến các công bố đầu

tiên về việc chỉnh hóa các bài toán ngược cho phương trình nhiệt thuần nhất là

các kết quả của các nhà toán học Lavrentiev (i Lattes va Lions J2], Miller 6|,

Payne 4Ì, Showalter [5], Alekseeva và Yurchuk [6], Huang và Zheng lý trong

việc xấp xi bài toán bằng phương pháp Q-R (quasi-reversibility method) Tiếp

theo đó, các tác giả Showalter [29], Clark và Oppenheimer [30], Denche và

Bessila (31), Melnikova đã chỉnh hóa bài toán thuần nhất bằng phương

pháp tựa biên Ngoài ra, có thể kể đến các kết quả trong trường hợp không thuần nhất của Hapuarachchi và Xu [33], Klibanov va Yagola [34] Bén canh

đó, các bài toán ngược cho các phương trình khuếch tán phi cổ điển cũng thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm khảo sát, ví dụ như các

nghiên cứu về bài toán ngược cho phương trình bi-parabolic của Lakhdari 65], Besma 36] va Zhang [37], hay các kết quả của các tác giả Hossein Jafari, Zakia Hammouch về bài toán ngược cho phương trình giả parabolic (38).

Trong các thập ky gan đây, phương trình nsẫu nhiên ngày càng thu hút sự

quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới Trong đó, có thể

kể đến các kết quả vẻ xấp xỉ nghiệm của Kovacs, Larsson và Saedpanah 9|,

kết quả về phương pháp số của Jin và Zhou (11), hay các kết quả về các tính

chất của nghiệm (tính tổn tại, duy nhất, liên tục, chính quy hóa, ) của các tác

giả Chen (8), Foondun, Liu va Nane |, Du, Toniazzi va Zhou [10], Lit va

Zhang [14}{16 , Nualart, Binotto, Nourdin, Tindel, Duncan va Saussereau

Z2I, Garrido-Atienza, Lu và Schmalfuss 23:25], Tomas Caraballo, Boudaoui

và Ouahab [26128],

Về bài toán ngược cho phương trình dao ham riêng ngẫu nhiên, theo chúng tôi

được biết, các kết quả vẫn còn rất hạn chế Trong đó, có thể kể đến các kết quả

gần đây của Bao, Chow và Zhou B9], Ibragimov và Khas minskii [40], Li và Zhang (4J16|41], Yuan (42) Tuy nhiên, ở các kết quả này, tính không chỉnh của nghiệm và kết quả chỉnh hóa vẫn chưa được khảo sát.

2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Những năm gần đây, bài toán ngược cho các phương trình đạo hàm riêng cũng được các nhà toán học trong nước quan tâm khảo sát Trong đó, có thể

kể đến các kết quả tiếp nối về bài toán ngược thời gian cho phương trình

nhiệt trong trường hợp thuần nhất của các tác giả Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức 2|44] Với trường hợp tuyến tính không thuần nhất, theo chúng tôi

được biết, có thể kể đến các kết quả của nhóm tác giả Đặng Đức Trọng, Phạm

Hoàng Quân và Nguyễn Huy Tuấn (45]49] Năm 2018, các tác giả Nguyễn

Dang Minh, Tô Đức Khánh, Nguyễn Huy Tuan và Dang Đức Trọng đã khảo sát bài toán tuyến tính hai chiều với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc.

Đối với trường hợp phi tuyến, có thể đến các kết quả của nhóm tác giả Nguyễn

Thành Long và Alain Pham Ngoc Dinh E1], Dang Đức Trọng, Phạm Hoàng

Quân, Nguyễn Huy Tuần và Trần Vũ Khanh [52157], Dinh Nho Hào, Nguyễn

Văn Đức và Nguyễn Văn Thắng [58] Bên cạnh đó, một số bài toán ngược cho

các phương trình khuếch tán phi cổ điển cũng được quan tâm nghiên cứu, ví

dụ như các kết quả của nhóm tác giả Nguyễn Huy Tuan (59), Nguyễn Đức

Phương về phương trình bi-parabolic tuyến tính và phi tuyến, hay các kết

quả về phương trình giả parabolic phi tuyến của nhóm tác giả Nguyễn Huy

Tuan [61] và Võ Văn Âu [38].

2.3 Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Đề tài hướng đến việc nghiên cứu một số bài toán cho các phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên Mục tiêu của luận án bao gồm hai hướng chính Thứ nhất, thiết lập tính tổn tại, duy nhất và chính quy hóa nghiệm cho

bài toán với dữ liệu đủ trơn Thứ hai, chỉ ra tính không chỉnh và xây dựng

nghiệm chỉnh hóa cho từng bài toán.

2.4 Nội dung nghiên cứu của luận án

Từ những định hướng nghiên cứu như trên, trong luận án này chúng tôi tập trung nghiên cứu các bài toán sau:

Bài toán 1 Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt với

nhiễu trắng

u() + v(t)Au(t) = f(t) + o(t)W(t), trong D x [0,T),

u(t) = 0, trên aD x [0,T), (2.1)

u(T) =6, trong D,

trong đó, D C R4 (d > 1) là miễn bị chặn với biên đủ trơn, H := L?(D),

v: |0,T] > R* thỏa mãn 0 < ~ < v(t) < vt < œ¿A = —-A: HẠ(D)n H?(D) C H > H là toán tử Laplacian âm, W(t) là quá trình Wiener (hay còn

gọi là chuyển động Brown thông thường) nhận giá trị trên H, W(t) := 2W(t)

được gọi là nhiễu trắng, các hàm Z, f, 7 thỏa mãn một số giả thiết cho trước.

Trong trường hợp không có sự xuất hiện của nhiễu ngẫu nhiên, bài toán trên trở thành bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt tat định

Số lượng các công,

u;,(t) +v(t)Au(t) = f(t).

trình nghiên cứu về trường hợp này là nhiều đáng kể:

* Trường hợp thuần nhất (tức ƒ = 0), có thể kể đến các nghiên cứu với các

phương pháp chỉnh hóa khác nhau như: phương pháp Q-R ở Lavrentiev

{1 Lattes và Lions (21, Miller (SL, Payne (AL, Showalter 5, Alekseeva va

Yurchuk (61, Huang va Zheng [7]; phương pháp tựa biên ở Showalter [29],

Clark va Oppenheimer [30], Denche va Bessila 31], Melnikova 32] ; và các

phương pháp

Dinh Nho Hào, Nguyễn Văn Đức, Daniel Lesnic và Hichem Sahli [431/44].

khác ở các công bó của Cheng va Liu [62] và nhóm tác giả

* Trường hợp tuyến tính không thuần nhất (ƒ # 0) được quan tâm khảo sát

nhiều bởi nhóm tác giả Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân và Nguyễn

Huy Tuấn (45H50] Trong đó, ở [50], các tác giả đã khảo sát bài toán với

các dữ liệu được cho ở dạng rời rạc ngẫu nhiên.

s Trường hop p hi tuyến cũng có nhiều kết quả được công bồ trong các năm gần đây, ví dụ như ở các kết quả của nhóm tác giả Nguyễn Thành Long

và Alain Pham Ngoc Dinh il; Dang Duc Trong, Pham Hoang Quan,

Nguyén Huy Tuan va Tran Va Khanh [52] 57]; Dinh Nho Hào, Nguyễn Văn Đức và Nguyễn Văn Thắng si ; hay các công bó của các tác giả nước

ngoài như Hapuarachchi và Xu (33) , Klibanov va Yagola [34].

Mặc dù các công bế vẻ bài toán ngược cho phương trình nhiệt ở dang tat định là rất nhiều, theo chúng tôi được biết, có rất ít kết quả về trường hợp

phương trình được xét ở dạng ngẫu nhiên

u;(t) + v(t)Au(t) = f(t) + “nhiễu ngẫu nhiên”,

Việc khảo sát các phương trình có thêm sự xuất hiện của nhiễu ngẫu nhiên

như trên là cần thiết, bởi vì trong thực tế, bên cạnh các ngoại lực kiểm soát được (tức f), đôi khi quá trình khuếch tán còn chịu tác động của các nhiễu ngẫu nhiên ở dang không kiểm soát được Một vài kết quả gần đây vẻ bài toán ngược cho phương trình nhiệt ngẫu nhiên có thể được kể đến như sau.

Năm 2007, Johansson khảo sát bài toán ngược cho phương trình nhiệt với

các hệ số ngẫu nhiên và dữ liệu ngẫu nhiên Năm 2012, Lit xây dựng các

ước lượng Carleman cho các bài toán ngược thời gian và bài toán ngược xác định hàm nguồn cho phương trình nhiệt ngẫu nhiên Tiếp nói kết quả [14],

ở đây, ta chỉ ra tính không chỉnh của bài toán và sau đó đưa ra kết quả

chỉnh hóa cho bài toán.

Trong những năm gần đây, các nghiên cứu về phương trình vi phân - đạo

hàm riêng ở dạng ngẫu nhiên ngày càng tăng lên đáng kể, bao gồm các công

bó về phương pháp số ở Kovacs, Larsson và Saedpanah [9], Jin va Zhou [11],

và tính chất nghiệm ở Chen (sl, Foondun, Liu va Nane

va Zhou {20}, Lit va Zhang [14116], Nualart, Binotto, Nourdin, Tindel,

Dun-can va Saussereau 17:22], Garrido-Atienza, Lu và Schmalfuss [23:25], Tomas

, Du, Toniazzi

Caraballo, Boudaoui và Ouahab [26 28], Tuy nhiên, phan lớn các kết quả về

các phương trình ngẫu nhiên là các nghiên cứu về bài toán thuận; trong khi

đó, các kết quả về bài toán ngược cho các phương trình ngẫu nhiên vẫn còn rất hạn chế.

Bài toán 2 Bài toán ngược thời gian cho phương trình bi-parabolic với

nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ

o Bài toán với nhiễu trắng

2

(2 +4) u(t) = f(t) +ơ()WU), trong D x (0,7),

u(t) = Au(t) = 0, trên 9D x [0,T), (2.2)

au(t)| =0, u(T)=é

PT —

o Bài toán với nhiễu Brown phân thứ

2

(3 + A) u(t) = f(t) +ơ(t)Ñ*(1), trong D x [0,T),

u(t) = Au(t) =0, trên aD x [0,T), (2.3)

3600| „=0, 8T) =ẽ,

với W"(t), h € (3,1), là chuyển động Brown phân thứ nhận giá trị trên

H,W*(t):= M0) được gọi là nhiễu Brown phân thứ.

Trong đó, (2 + A)“u() = Su(t) +2A3;u(1) + A2(t), các hàm ế, ƒ, 0 thỏa mãn một số giả thiết cho trước.

Chú ý rằng trong trường hợp (2 + A) được thay bởi 2 + A thi các phương

trình ở trên trở thành phương trình parabolic cổ điển (hay phương trình nhiệt,

xem bài toán 1) Đối với phương trình bi-parabolic, mô hình này giúp mô phỏng tốt một số hiện tượng vật lý, bao gồm các hiện tượng dẫn nhiệt

và động lực học (ví dụ như dynamics filter merge) 3/74].

Những năm gần đây, bài toán ngược cho phương trình bi-parabolic ở dạng tất định (tức không có sự xuất hiện của các nhiễu ngẫu nhiên) được các nhà

toán học quan tâm nghiên cứu nhiều Trong trường hợp thuần nhất (ƒ = 0),

Lakhdari [35] và Besma [36] đã chỉ ra rằng bài toán là không chỉnh và sau đó

xây dựng nghiệm xấp xỉ cho bài toán, Zhang [37] xây dựng các điều kiện ổn định ở dạng Hölder và sau đó áp dụng để chỉnh hóa bài toán Trong trường

hợp không thuần nhất, theo chúng tôi được biết, một vài kết quả gần đây của Nguyễn Huy Tuần, Mokhtar Kirane, Danh Hứa Quốc Nam và Võ Văn Âu (591,

Nguyễn Đức Phương, Nguyễn Hoàng Lực và Lê Đình Long đã khảo sát bài toán ở dạng tat định và chỉnh hóa bài toán trong cả hai trường hợp hàm

nguồn tuyến tính va phi tuyến.

Mặc dù trường hợp tat định được quan tâm nghiên cứu nhiều, theo chúng

tôi được biết, trường hợp ngẫu nhiên vẫn chưa được khảo sát Chính vì lý

do đó, ở đây, ta lần lượt xét hai bài toán ngược ngẫu nhiên và cho phương trình bi-parabolic, trong đó bên cạnh nhiễu ngẫu nhiên ở dạng Brown thông thường, ta còn xét thêm trường hợp nhiễu ngẫu nhiên ở dạng Brown

phân thứ Day là các bài toán thuộc chủ dé phương trình đạo hàm riêng ngẫu

nhiên, được quan tâm nghiên cứu nhiều trong các thập kỷ gần đây Một số kết

quả gần đây về chủ đề này có thể xem ở 41sj4 J42||z5:80], trong đó nhiễu

ngẫu nhiên được xét ở dạng Brown thông thường và Brown phân thứ.

Bài toán 3 Bài toán ngược thời gian cho phương trình giả parabolic với

nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ

o Bài toán với nhiễu trắng

u(t) + &Am() + ABu(t) = f(t) +ơ(WŒ), te|0,T),

(24)

uữ)Jạp =0, u(T) =ễ,

o Bài toán với nhiễu Brown phân thứ

„(£) + #Au¿(t) + APu(t) = ƒŒ) +ơ()WP!(, te|0,T),

(2.5)

(Đạp =0, u(T) =ễ,

Trong đó, «, 6 > 0, các ham ¢, f, 7 thỏa mãn một SỐ giả thiết cho trước.

Với « = 0, các phương trình ở trên trở thành phương trình parabolic cổ

điển (hay phương trình nhiệt, xem bài toán 1) Trong trường hợp « > 0, các

phương trình trên được gọi là phương trình giả parabolic, được dùng để mô phỏng nhiều hiện tượng vật lý khác nhau, ví dụ như sự thẩm thầu của chất

lỏng qua một vật thể bị nứt [81/86], hiện tượng dẫn nhiệt (871, hiờn tuong

song dai va phan tan

hớnh nay cún cụ những ứng dụng trong sinh học hay cõc nghiởn cứu về chất bõn dan [90193].

, hay dón số của một quan thể [89] Ngoỏi ra, mừ

Đối với trường hợp tất định cho phương trớnh giả parabolic, trong những năm gần đóy, cụ rất nhiều nhỏ Toõn học quan tóm nghiởn cứu vỏ đạt được nhiều kết quả trởn cõc tạp chợ uy tợn Trong trường hợp bỏi toõn thuận cho

phương trớnh nỏy, số lượng cõc cừng trớnh khoa học lỏ nhiều đõng kể, cụ thể

kể đến như [83|85)93

bố cún hạn chờ, cụ thể kể đến cõc kết quả về trường hợp hỏm nguồn phi tuyến

101] Đối với trường hợp bỏi toõn ngược, số lượng cừng

của nhụm tõc giả Nguyễn Huy Tuan, Tomas Caraballo vỏ nhụm tõc giả

Vử Văn ằu, Hossein Jafari, Zakia Hammouch, Nguyờn Huy Tuấn trong

cỳng năm 2021.

Theo chỷng từi được biết, đến thời điểm hiện tại, chưa cụ bắt kớ kết quả nỏo

về bỏi toõn ngược thời gian cho phương trớnh giả parabolic trong trường hợp ngẫu nhiởn Do đụ, ở đóy, ta lần lượt xờt hai bỏi toõn ngược ngẫu nhiởn

vỏ cho phương trớnh bi-parabolic Khõc với Bỏi toõn 2, bởn cạnh trường

hợp tham số Hurst h € (3, 1), ta cún xờt thởm trường hop ft € (0,3) Day lỏ

trường hợp khụ xử lý hơn do tợnh phức tạp của nghiệm vỏ sự xuất hiện nhiều

nhón kỳ dị trong quõ trớnh tợnh toõn Một số rat ợt kết quả về phương trớnh ngẫu nhiởn trong trường hợp nỏy cụ thể được tớm thấy ở (021104).

Bỏi toõn 4 Bỏi toõn ngược thời gian cho phương trớnh khuếch tõn phản

ứng phi tuyến với đạo hỏm cấp khừng nguyởn vỏ nhiễu ngẫu nhiởn

o Bỏi toõn với nhiễu trắng

dyu(t) + d1-*Au(t) = f(t,u(t)) +ơ()W(), te [0,T),

u(t) [ap =0, u(T)=đờ.

(2.6)

o Bài toán với nhiễu Brown phân thứ

ðm(t) +!-*Au(t) = f(t,u(t)) +ơ()ÑW*(), te |0,T),

w(lpp =0, u(T) =‡,

„3)U (4,1).

(2.7)

với h € (mm

Trong đó, toán tir}, với € (0,1), là đạo hàm Riemann-Liouville, các hàm

é, ƒ, ơ thỏa mãn một số giả thiết cho trước.

Trong trường hợp a = 1, các phương trình ở trên trở thành phương trình parabolic cổ điển (hay phương trình nhiệt, xem bài toán 1) Trong trường hợp

€ (0,1), các phương trình ở trên được gọi là phương trình khuếch tán phan ứng với đạo hàm cấp không nguyên, được dùng để mô phỏng một số hiện tượng khuếch tán (gọi là subdiffusion) trong các môi trường không đồng nhất

như vật liệu xốp, vật liệu sinh học, phương tiện truyền thông fractal và chất

rắn disordered [105H112].

Vào những thập kỷ gần đây, các nghiên cứu về phương trình khuếch tán

với đạo hàm cấp không nguyên ở dạng tat định ngày càng tăng lên đáng kể.

Trong đó, theo sự hiểu biết của chúng tôi, có thể kể đến các kết quả sau về cả

trường hợp bài toán thuận [1131130] và trường hợp bài toán ngược [13111139],

với hàm nguồn được xét trong hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến.

Tiếp nối các kết quả về phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp không nguyên trong trường hợp tat định, các nghiên cứu về trường hợp ngẫu nhiên

cũng tăng lên đáng kể Lượng công bồ về trường hợp bài toán thuận cho mô

hình này là rất lớn [8|113||140/1151] Ở is , Chen xét các tính chat của nghiệm

(bao gồm tính liên tục) cho bài toán phi tuyến cho phương trình khuếch tán

ngẫu nhiên một chiều với đạo hàm cấp không nguyên Kovács, Larsson và Saedpanah (9) thiết lập nghiệm xap xi bằng phương pháp số cho một họ các phương trình tích phân Volterra ngẫu nhiên với đạo hàm cấp không nguyên.

Du, Toniazzi và Zhou [10] đưa ra biểu diễn nghiệm cho phương trình tiền hóa

ngẫu nhiên với toán tử phi địa phương Ở (11, Jin va Zhou dua ra phuong

pháp số cho phương trình khuếch tán với dao hàm cấp không nguyên với

nhiễu trắng Foondun và Nane khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm

cho phương trình nhiệt ngẫu nhiên với đạo hàm cấp không nguyên theo

biến thời gian Tiếp theo đó, Foondun, Liu và Nane [12] khảo sát tính tồn

tại nghiệm cho phương trình nhiệt với đạo hàm cấp không nguyên với các

nhiễu màu trong không gian nhiều chiều.

Mặc dù các kết quả vé bài toán thuận cho phương trình khuếch tán ngẫu

nhiên với đạo hàm cấp không nguyên là rất nhiều, theo chúng tôi được biết,

cho đến thời điểm hiện tại, chưa có bat kỳ công bố nào về bài toán ngược

thời gian cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp không nguyên và

nhiễu ngẫu nhiên Do đó, ở đây, ta lần lượt xét các bài toán ngược thời gian

nhiễu ngẫu nhiên ở cả hai dạng Brown thông thường và Brown phân thứ.

cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp không nguyên và

Các kết quả về bài toán ngược cho phương trình khuếch tán ngẫu nhiên với

đạo hàm cấp nguyên có thể được tìm thấy ở các nghiên cứu của nhóm tác

giả Lu, Zhang (4116 Tuy nhiên, ở các kết quả này, tính không chỉnh của

nghiệm và kết quả chỉnh hóa vẫn chưa được khảo sát Về bài toán thuận cho

phương trình ngẫu nhiên với nhiễu ở dạng Brown phân thứ, có thể tham

khảo các kết quả của nhóm tác giả Nualart, Binotto, Nourdin, Tindel, Duncan,

Saussereau {17:221, nhóm tác giả Garrido-Atienza, Lu, Schmalfuss [2325],

nhóm tác gia Tomas Caraballo, Boudaoui, Ouahab [26/128].

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Chương này trình bày các phương pháp nghiên cứu và cách tiếp cận nghiên

cứu các nội dụng trong luận án Tiếp theo đó, các cơ sở lý thuyết được trình

bày một cách chỉ tiết.

3.1 Phương pháp nghiên cứu

3.1.1 Các phương pháp nghiên cứu

Trong luận án này, ta có sử dụng đến các phương pháp chỉnh hóa sau:

s Phương pháp chặt cụt: loại bỏ các số hạng với chỉ số cao trong biểu diễn

của nghiệm ở dạng chuỗi Fourier.

s Phương pháp lọc: thay thé các toán tử không bị chặn trong công thức

nghiệm bởi các toán tử xấp xỉ bị chặn.

3.12 Tiếp cận nghiên cứu

Trên cơ sở lý thuyết được trình bày bên dưới cùng với các phương pháp

nghiên cứu vừa nêu, luận án tiếp cận nghiên cứu như sau

¢ Thứ nhất, luận án hướng đến việc thiét lập tinh tồn tại, duy nhất va tính chính quy hóa của nghiệm cho các bài toán ngược thời gian ngẫu nhiên:

Sử dụng các kiến thức về giải tích hàm như khai triển Fourier, đẳng thức Parseval, các bất đẳng thức tam giác, bat dang thức Holder, định ly ánh

xạ co, ; các kién thức về giải tích ngẫu nhiên như công thức Itô isometry, các tính chất của kỳ vọng, để đánh giá nghiệm và thiết lập tính tồn tại,

duy nhất và tính chính quy hóa của nghiệm với các điều kiện đủ trơn cho các dữ liệu.

¢ Thứ hai, luận án hướng đến việc chỉ ra tính khong chỉnh va xâu dựng kết qua chỉnh héa cho các bài toán ngược thời gian ngẫu nhiên:

Chỉ ra lý do làm cho nghiệm không ổn định, dẫn đến tính không chỉnh của bài toán Sau đó, sử dụng các phương pháp chỉnh hóa kết hợp với các công cụ của giải tích hàm và giải tích ngẫu nhiên như đã nêu ở trên để xây dựng nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và

nghiệm chính xác.

3.2 Cơ sở lý thuyết

3.2.1 Day trị riêng, vector riêng, không gian Hilbert scale, toán tử

cap không nguyên

Cho D C IR# (đ > 1) là miền bị chặn với biên đủ trơn Đặt H := L?(D).

Dat A = —A với —A : HẠ(D)n H?(D) C H > H là toán tử Laplacian âm Ta

ký hiệu {A;} là dãy các trị riêng của toán tử A thỏa mãn 0 < Aj < Ajit, với

j€ N*, lim) À¡ = 0, và {e;} là day các vector riêng tương ứng của A trong

Hậ(D)ñ H?(D), tức là Ae; = Aje;, với mọi j € IN* Day này cũng là một hệ cơ

sở trực chuẩn của không gian H (xem (152)/153)).

Ta kí hiệu H$, s > 0, là không gian Hilbert scale được định nghĩa bởi

00 1

FB := {ke H: |lsll„ := (3;2?Iœ,s;)” < =I,

1 với (-,-) là tích vô hướng trên H Do H° C H, đồng nhất không gian đối

ngẫu của H với chính nó, ta có H$ C H C (H)*, với (H)* là không gian đối

ngẫu của H° Đặt H~$ = (H$)* Khi đó, H~ là không gian Hilbert với chuẩn

Iellu-: = (oe A7 ®(,s)~s«l2) * trong đó (.,:)_„; là tích đối ngẫu giữa

HS và H® thỏa mãn (91,82)-ss = (81,22), với (21,22) € H x Hề Toán tử

cấp không nguyên A°: H3 — H~Ì (xem [154 155]) được định nghĩa bởi

Ex,g(2) := Xu Ten +B)’ a,B>0,z€C (3.1)

Ở Mục 4| khi xử lý các bài toán cho phương trình khuếch tán ngẫu nhiên

với dao hàm Riemann-Liouville, ta cũng gap phải sự xuất hiện của hàm này trong công thức nghiệm của từng bài toán Do đó, ở phần này, ta chuẩn bị một

số tính chất cần thiết cho hàm Mittag-Leffler để thuận tiện cho việc đánh giá

nghiệm sau nàỵ

Để ngắn gọn, ta ký hiệu Ey(z) := Ez1(z), ex(z) := Exz(z), với w > 0 Các tính chất thông dụng cho các hàm Mittag-Leffler được trình bày ở các bổ dé

saụ

Bổ dé 3.2.1 (xem [156]) Cho œ € (0,1), a’ > 0, A > 0 Khi đó

Ex„(—À)| < Ex(—A)| = —A)| <

IE,„.(A)| < q3 IEs(-A)| > 21g; eal -A)| < min (7S GS),

trong đó Cy, C2 là các hằng số dương.

Bổ dé 3.2.2 (xem [157]) Cho a € (0,1),A > 0, t > 0 Khi đó, ta có

TEẵÀ) = —At le, (—At*).

3.23 Qua trình Wiener, chuyển động Brown phân thứ, tích phân

Wiener

Cho (O,.Z,P) là không gian xác suất day đủ Ký hiệu £(H,K) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn đi từ không gian Hilbert H và không gian

Hilbert K Cho Q € £(H) := £(H,H) Giả sử tồn tại một dãy bị chặn các số

không âm 7; sao cho Qe; = %/#j, j = 1,2, và Tr(Q) = L721 Yj < ®.

Định nghĩa 3.2.1 (Quá trình Q-Wiener (I58|/159) Cho {B;(t)} là day các

chuyển động Brown thông thường một chiều trên không gian (O, Z,IP) Xét quá trình ngẫu nhiên W(t) nhận giá trị trên H được cho bởi

j()Q1/2s; = DẤU, ) V8:

1

Ta nói W(t) là một quá trình Q-Wiener nhận giá trị trên H.

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về chuyển động Brown phân

thứ (viết tắt là fBm, tức là fractional Brown motion) và tích phân Wiener.

Định nghĩa 3.2.2 (xem [160}) Chuyển động Brown phân thứ một chiều Ø” (£),

với tham số Hurst € (0,1), là một quá trình Gaussian quy tâm với hiệp

phương sai

|2 + |s|? _ lt _ sị

Ru(,s) = E[B"()B"(s)] = 5

Trong trường hợp h = 3, E[6"(t)p"(s)]| = FAs = min(t,s), chuyển động

Brown phân thứ một chiều Ø"@) trùng với chuyển động Brown thông thường một chiều f(t).

Nếu f(t) là một chuyển động Brown phân thứ một chiều thì nó có biểu

dién Volterra sau [160]

ph) = [ Kiit,s)4),

với B(t) là chuyển động Brown thông thường một chiều và nhân Volterra

K;,(t,s) được cho bởi

cys?! fia —s)h-3xh~3đy, he (3,0),

với B(-,-) là ham Beta Tích phân Wiener của một hàm ¢ € L?({0,T]) được

định nghĩa như sau {160

| 99048'6) = [ Ki,#(s)4B(3), te (0.7, (3)

trong đó toán tử Kj, được cho bởi

fi v(t t,s)dt, hE (3,1),

mm + ae -Ø(s))3*(x,s)dr, he (0,4).

Định nghĩa 3.2.3 (Q-fBm 161) 162]) Cho {ØƑ(f)}„h € (0,5) U (5,1), là day

các chuyển động Brown phân thứ một chiều trên không gian (O, F, P) Xét

Kỹ ;@(s) =

quá trình ngẫu nhiên W"(t) nhận giá trị trên H được cho bởi

= Lehn) = Fw V7

Ta nói W"(t) là một Q-fBm nhận giá trị trên H.

Cho £(H, H) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn đi từ H vào H°.

Ta ký hiệu L3(H, H°) là không gian các toán tử th € £(H, H°) thỏa mãn