TÓM TẮT LUẬN VĂN TÊN ĐỀ TÀI : PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM SÀN BÊTÔNG CỐT THÉP THEO TIÊU CHUẨN NIELSEN Phương pháp phân tích tải trọng giới hạn tấm sàn bê tông cốt thép BTCT theo tiêu chuẩn
Tình hình nghiên cứu ngoài nước
Hầu hết các bài báo về phân tích giới hạn cận trên cho tấm sàn bê tông cốt thép trên thế giới hiện nay đều dùng tiểu chuẩn dẻo đơn giản nhất (square or linearized yield criterion), đặc biệt là lý thuyết phân tích đường dẻo (yield line) Tiêu chuẩn dẻo Nielsen (tiêu chuẩn 2 hình nón đối xứng) cũng được sử dụng để tính toán cận dưới của tải giới hạn cho tấm sàn bê tông cốt thép Tên các bài báo và sách nước ngoài mà đề tài tham khảo
[1] Chan HSY The collapse load of reinforced concrete plates International
Journal for Numerical Methods in Engineering 1972; 5:57–64
Tính toán số của tải trọng phá hủy của tấm bêtông được xem xét.Tấm được giả thuyết tuân theo tiêu chuẩn chảy dẻo hình vuông tác giả trình bày cách giải quyết vấn đề tốt theo phương pháp cận dưới thu được các kết quả cơ bản một cách hệ thống.Giải quyết vấn đề theo phương pháp cận trên được xấp xỉ kết quả lý thuyết đường chảy dẻo Ví dụ về Tấm HCN chịu tải phân bố đều
[2] Fox EN Limit analysis for plates: the exact solution for a clamped square plate of isotropic homogeneous material obeying the square yield criterion and loaded by uniform pressure Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A 1974; 277:121–155
Fox 1972 phân tích giới hạn cho tấm cứng- dẻo tuyệt đối, tác giả đã đưa ra kết quả chính xác tải tập trung giữa trên tấm hình chữ nhật biên tựa cuả vật liệu đồng nhất đẳng hướng với chảy dẻo uốn theo tiêu chuẩn chảy dẻo hình vuông Trong bài báo này, kết quả chính xác cho trường hợp tải trọng phân bố đều tấm hình vuông biên ngàm cuả vật liệu đồng nhất đẳng hướng với chảy dẻo uốn theo tiêu chuẩn chảy dẻo hình vuông
Phân tích này được mở rộng cho trường hợp tấm biên ngàm đa giác đều chịu tải trọng phân bố đều Tải trọng giới hạn được so sánh với các giá trị cận trên đã biết, giúp xác định khả năng chịu tải của tấm chính xác hơn.
[3] Krenk S, Damkilde L, Hoyer O Limit analysis and optimal design of plates with equilibrium elements Journal of Engineering Mechanics 1994; 120:1237–1254
Công thức phần tử hữu hạn được phát triển cho phân tích giới hạn tấm dẻo lí tưởng mà sử dụng phần tử cân bằng tam giác và chương trình tuyến tính Phần tử cân bằng được xác định theo ba moment tại các góc Mặt chảy dẻo được tuyến tính hóa , định lí đối ngẫu của chương trình tuyến tính hóa dẫn đến giải quyết vấn đề đối ngẫu của trường động học và tĩnh học
[4] Krabbenhoft K, Damkilde L Lower bound limit analysis of slabs with nonlinear yield criteria Computers and Structures 2002; 80:2043–2057
Công thức phần tử hữu hạn của tấm theo phân tích giới hạn của tấm dẻo lý tưởng được trình bày Phần tử với trường mô men tuyến tính cho phương trình cân bằng thỏa mãn chính xác được sử dụng kết hợp với thuật toán tối ưu để giải quyết hoàn toàn bài toán chảy dẻo phi tuyến tiêu chuẩn Bài toán tối ưu hóa ứng suất và vật liệu được giải quyết bằng phương pháp lý thuyết đối ngẫu, trong đó chương trình tuyến tính chuyển vị được tách từ các biến đối ngẫu Các ví dụ số minh họa khả năng của phương pháp này.
[5] A Makrodimopoulos Remarks on some properties of conic yield restrictions in limit analysis, International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 26, 2010, pp 1449-1461
Bài báo cung cấp tiêu chuẩn chảy dẻo được thể hiện như một sự giao thoa của các nón, và việc khai triển năng lượng tiêu tán cho nón đối ngẫu là có thể Điều này luôn có thể cho trường hợp nón tự đối ngẫu và một vài trường hợp khác, bao gồm các tiêu chuẩn đã biết Phương pháp đã được chứng minh khi được khai triển năng lượng tiêu tán dẻo cho những tiêu chuẩn dẻo khác nhau Một nhấn mạnh được đưa ra cho bài toán phân tích giới hạn cận trên sử dụng phần tử hữu hạn
[6] Le Van Canh, H Nguyen-Xuan, H Nguyen-Dang Upper and lower bound limit analysis of plates using FEM and second-order cone programming Computers and Structures, 88, pp 65 - 73, 2010
[7] Le Van Canh, M Gilbert, H Askes Limit analysis of plates and slabs using a meshless equilibrium formulation International Journal for Numerical Methods in Engineering, 83, pp 1739-1758, 2010
[8] M.P Nielsen, L.C Hoang, "Limit Analysis and Concrete Plasticity, Third
Tình hình nghiên cứu trong nước
Nghiên cứu trong nước về đề tài này vẫn chưa được thực hiện nhiều
[9] Nguyen Dang Hung, Yan Ai-Min, Bui Cong Thanh and Jospin R.J., “On the
Limit and Shakedown Analysis of Plastified and Cracked Structures”,
Proceedings of The First Vietnam-Japan Symposium in Advances in Applied Electromagnetics and Mechanics HoChiMinh City, Vietnam, January 19-
[10] Nguyen An Danh, Bui Cong Thanh, Nguyen Dang Hung, “A recursive approach for limit analysis of frame”, Proceedings of the Sixth National Conference on Solid Mechanics, Hanoi, 11/1999
[11] Le Van Canh, Nguyen Xuan Hung, Nguyen Dang Hung Dual limit analysis of plate bending Collection of papers from Prof Nguyen-Dang Hung’s former students, Vietnam National University, Ho Chi Minh City Publishing house, 476
Le Van Canh, Nguyen Xuan Hung, and Nguyen Dang Hung conducted a dual limit analysis of plate bending Their findings were published in a collection of papers from Prof Nguyen-Dang Hung's former students at Vietnam National University The publication was released by Ho Chi Minh City Publishing house, with a total of 476 pages.
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn
Trong phạm vi luận văn này, chúng ta sẽ phân tích giới hạn tấm sàn bêtông cốt thép theo tiêu chuẩn chảy dẻo Nielsen theo cận trên với sự hỗ trợ của phương pháp phần tử HCT (Hsieh–Clough–Tocher) bao gồm các giai đoạn ỉ Thiết lập cụng thức tớnh tiờu tỏn chảy dẻo tương ứng với tiờu chuẩn dẻo Nielsen Sau đó thành lập bài toán tối ưu toán học cho việc phân tích giới hạn cận trên ỉ Chuyển đổi cỏc cụng thức tỡm được ở trờn về dạng của bài toỏn tối ưu hỡnh nón bậc hai thông qua kỹ thuật đối ngẫu điểm nội ỉ Thiết lập cụng thức xấp xỉ số dựng phương phỏp phõn tử hữu hạn HCT (Hsieh – Clough – Tocher) ỉ Lập trỡnh và thực hiện tớnh toỏn số cho cỏc bài toỏn tấm sàn đó được khảo sát trong các bài báo đã được xuất bản ỉ Phõn tớch và so sỏnh kết quả thu được với kết quả số khỏc.
LÝ THUYẾT CƠ SỞ
Mô hình vật liệu
Hình 3.1 : Mối liên hệ s e- trong mô hình cứng-dẻo lý tưởng
Mẫu cứng-dẻo lý tưởng được von Mises (1913) đề xuất Mẫu này giả thiết rằng biến dạng đàn hồi không đáng kể so với biến dạng dẻo, nên có thể bỏ qua Do đó, mô đun đàn hồi E trong mô hình này tiến tới vô cùng.
3.1.2.Mô hình đàn- dẻo lý tưởng
Hình 3.2 : Mối liên hệ s e- trong mô hình đàn-dẻo lý tưởng
Mô hình đàn-dẻo lý tưởng được đưa ra bởi Prandtl (1928) Mô hình bỏ qua hiện tượng tái bền và hiện tượng chảy dẻo xảy ra khi ứng suất đạt đến trị số tỷ lệ hay ứng suất chảy dẻo s P Quan hệ ứng suất- biến dạng có thể biểu diễn
Biến dạng vi phân tổng quát bao gồm biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo ij ij ij (*) e = e e + e p Û e& ij =e& ij e +e& ij p d d d (3.3)
Trong đó, biến dạng đàn hồi tuân theo định luật Hooke ij e ij ij e ij kl kl kl kl de =H s Û e =H s (3.4)
Tồn tại một mặt đặt tải trong không gian các ứng suất, độc lập với thời gian f ( s ij , k )0 : vùng không thể đạt đến được (3.7)
Trong đó s là ứng suất, i, j là các chỉ số biểu diễn thành phần ứng suất k là thông số nội tại được xác định bằng thực nghiệm, xét đến ảnh hưởng của các hiện tượng không thuận nghịch như tái bền, hiện tượng Bauschinger.
( s ij , ) = 0 f k là phương trình mặt chảy dẻo trong không gian ứng suất
Nếu k=0 ta có phương trình mặt chảy dẻo lý tưởng
Mô hình vật liệu phải tuân theo hai tiêu chuẩn chảy dẻo quan trọng đó là định đề Drucker và Luật chảy dẻo
3.1.4.Định đề Drucker- giả thiết về tính ổn định của vật liệu
Hình 3.3 : Ứng xử ổn định và không ổn định theo Drucker
Vật liệu được xem là ổn định theo Drucker suốt chu trình tăng tải và dỡ tải:
“Công thực hiện với một chu trình khép kín của tải trọng thì không âm” Martin (1975)
Trong đó: s ij là trường ứng suất hiện tại, s 0 ij là trường ứng suất ban đầu Định đề Drucker được thể hiện
Công thức (3.9) còn được gọi là bất đẳng thức Drucker Công thức này có thể áp dụng cho vật liệu dẻo lý tưởng và vật liệu tái bền
Hình 3.4 : Hình học của luật chảy dẻo kết hợp
Luật chảy dẻo được phát biểu: “Vectơ gia số biến dạng dẻo ( hay vận tốc biến dạng dẻo) vuông góc với mặt đặt tải và hướng ra ngoài mặt này” p p d f hay f ij ij ij ij d với d 0 với 0 e = l ả l ³ ảs e = l ả l ³
& (3.10) Để áp dụng định luật này vào bài toán cận trên thông qua việc tính toán năng lượng tiêu tán dẻo, chúng ta cần điều kiện hàm chảy dẻo f ( ) s ij là hàm lồi nghiêm ngặt
(nghĩa là không có phần phẳng và điểm góc) Điều này sẽ gây khó khăn cho chúng ta khi xem xét tiêu chuẩn Nielsen có dạng giao thoa của hai hình nón bậc hai.
Tiêu chuẩn chảy dẻo tấm sàn bêtông cốt thép
Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng tiêu chuẩn Nielsen để mô phỏng ứng xử của bê tông cốt thép khi chịu tải trọng Tiêu chuẩn này đã được Nielsen đưa ra vào năm
1964 Quá trình xây dựng tiêu chuẩn thông qua các thí nghiệm tại trường Technical University of Denmark ( DTU) Vào những thập niên 60, các nhà khoa học đã thực hiện tính toán phân tích giới hạn với tiêu chuẩn này nhưng gặp nhiều khó khăn trong giải thuật ràng buộc phi tuyến Trong thời gian gần đây với sự phát triển một số công cụ tối ưu hóa như MOSEK và thuật toán nội đối ngẫu tạo điều kiện thuận lợi cho việc hoàn thành nghiên cứu này
3.2.1.Giả thuyết cho điều kiện chảy dẻo tấm
Tấm sàn bêtông được giả thuyết được bố trí cốt thép 2 lớp (lớp thép ở trên và lớp thép ở dưới)
Trong nghiên cứu này, sự khác biệt giữa chiều cao hiệu quả d giữa bố trí thép theo hai phương được bỏ qua
Bêtông được ứng xử bởi điều kiện chảy dẻo ứng suất phẳng
Tấm làm việc theo mô hình Kirchoff
3.2.2.Tấm sàn chịu uốn thuần túy
Diện tích cốt thép trên một đơn vị chiều dài lớp dưới được kí hiệu là As
Diện tích cốt thép trên một đơn vị chiều dài lớp trên được kí hiệu là A’s Đối với trường hợp đơn giản nhất A’sx=A’sy=Asy=0 và Asx=As
Hình 3.5 : Tấm sàn bêtông chịu uốn thuần túy
Khối ứng suất bêtông chịu nén được qui đổi về dạng hình chữ nhật theo Whitney-type Với a là khoảng cách từ mép ngoài bêtông đến hết vùng chịu nén của bêtông Áp dụng cân bằng lực theo phương x: A s ´ f Y =a ´ 0 85 f’ c ´b
Moment chảy dẻo của tiết diện một đơn vị chiều dài
2 2 2 p s Y s Y c m = A f ổỗốd- aử ổữ ỗứ ố= - fửữứA f d =ổỗố - f fửữứ d f (3.12) Đối với trường hợp có kể đến cốt thép chịu kéo và cốt thép chịu nén As=Asx là diện tích của cốt thép chịu kéo
Asc=A’sx là diện tích của cốt thép chịu nén
Trong công thức, chúng ta giả thuyết chúng có cùng khoảng cách, hc, là khoảng cách từ bề mặt bêtông đến lớp thép gần nhất
Moment chảy dẻo trên một đơn vị chiều dài
3.2.3.Tiêu chuẩn chảy dẻo Nielsen
Phát biểu của Nielsen về tiêu chuẩn chảy dẻo của tấm sàn bê tông cốt thép
Hình 3.6 : Mặt chảy dẻo theo tiêu chuẩn Nielsen
- - - + £ ùù- + + + Ê ợ px x px py py px x py y px x py y
Trong đó mpx: là giá trị số của moment chảy dẻo dương trong cấu kiện chịu moment uốn trong mặt phẳng x (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục x) m’px: là giá trị số của moment chảy dẻo âm trong cấu kiện chịu moment uốn trong mặt phẳng x (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục x) mpy: là giá trị số của moment chảy dẻo dương trong cấu kiện chịu moment uốn trong mặt phẳng y (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục y) m’py: là giá trị số của moment chảy dẻo âm trong cấu kiện chịu moment uốn trong mặt phẳng y (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục y)
Phương pháp phân tích giới hạn
3.3.1.Các giả thuyết cơ sở của phương pháp phân tích giới hạn
Một vật thể rắn-dẻo với điều kiện biên độ thuần nhất (u₁ = 0 trên Γu) được tải bởi tải trọng bên ngoài (f, t) tăng theo hệ số tải trọng λ, được biểu diễn là (λf, λt) Ở giá trị λ nhỏ, vật thể phản ứng đàn hồi và không xảy ra chuyển vị dẻo Khi λ tăng đến giá trị đáng kể, vùng dẻo phát triển tại một số vị trí nhưng chưa gây sụp đổ Khi λ tiếp tục tăng, vùng dẻo lan rộng cho đến khi hình thành cơ chế phá hủy dẫn đến sụp đổ Tải trọng tại thời điểm này được gọi là tải trọng giới hạn tương ứng với hệ số tải trọng giới hạn λ.
Tải trọng giới hạn tìm được bằng lý thuyết phân tích trực tiếp tải trạng thái giới hạn sẽ khác với tải trọng phá hoại dẻo thực sự xảy ra trong kết cấu Ở đây chúng ta chỉ tính toán tải trọng giới hạn trên một kết cấu lý tưởng, mà trên đó biến dạng có thể tăng lên mãi trong khi tải trọng giữ nguyên không đổi Do vậy việc tính toán bằng lý thuyết phân tích trực tiếp giới hạn được dựa trên các giả thiết sau: v Vật liệu được xem như dẻo lý tưởng nghĩa là bỏ qua sự tái bền và mềm hóa v Biến dạng của kết cấu được xem là bé
Bài toán phân tích ứng suất và chuyển vị có thể giải quyết bằng hai phương pháp: phương pháp cận trên (Upper Bound) để xây dựng trường ứng suất và phương pháp cận dưới (Lower Bound) để xây dựng trường chuyển vị.
Hình 3.7 Nghiệm của lời giải cận trên và cận dưới cho bài toán phân tích giới hạn
Trường ứng suất khả dĩ tĩnh là trường ứng suất thỏa điều kiện cân bằng bên trong vật thể và điều kiện cân bằng trên biên tĩnh học ả + ả j f i x s ij
Trường ứng suất hợp lệ là trường ứng suất khả dĩ tĩnh và không nơi nào bên trong vi phạm tiêu chuẩn dẻo
Trường vận tốc biến dạng, chuyển vị khả dĩ động là trường chuyển vị mà chúng thỏa điều kiện tương thích bên trong V và điều kiện trên biên động học trên biên động học G u
Trường chuyển vị, biến dạng e ij pk , u ij pk hợp lệ nếu chúng vừa khả dĩ động và thực hiện công suất ngoại dương
3.3.2.Các định lý cơ bản của phân tích giới hạn Định lý 1:
“Khi tải trọng đạt trạng thái tới hạn và biến dạng xảy ra dưới tải trọng không đổi, tất cả ứng suất luôn là hằng số; chỉ có gia số biến dạng dẻo xảy ra (không phải biến dạng đàn hồi) ” Định lý này đã đưa ra “các đặc trưng đàn hồi không tham gia vào trạng thái phá hủy ở trạng thái giới hạn” Do vậy việc sử dụng các quan hệ vận tốc ứng suất – biến dạng trong trường hợp vật liệu đàn dẻo lý tưởng cũng giống như sử dụng các quan hệ trên trong trường hợp vật liệu xem là cứng dẻo lý tưởng Định lý cận dưới :
“Nếu một trường ứng suất cân bằng s ij s có thể tìm thấy cân bằng về các lực thể tích f i trong V và các lực mặt t i trên G m , và nơi nào cũng không vi phạm tiêu chuẩn dẻo, nghĩa là f ( ) s ij s < 0, khi đó vật thể dưới tác dụng của các tải trọng dưới tác dụng của các tải trọng f i và t i sẽ không bị phá hủy”
Hay “hệ số tải trọng giới hạn chính xác là cực đại trong số các số tải trọng l - tương ứng với tập hợp các ứng suất hợp lệ s ij s ” Định lý cận trên :
Nếu cơ cấu biến dạng dẻo tương thích, ứng suất e_{ij}^{pk}, u_{ij}^{pk} có thể giả định trước sao cho thỏa mãn điều kiện biên đồng nhất u_{ij}^{pk} = 0 trên G_u Khi đó, tải trọng f_i và t_i sẽ được xác định khi cân bằng công suất ngoại.
W S (3.23) với công suất tiêu tán dẻo :
I V D e ij dV V s e ij ij dV
W (3.24) sẽ lớn hơn hoặc bằng tải trọng giới hạn ( s ij * là trường ứng suất phối hợp với tốc độ biến dạng dẻo e ij pk ) ”
Hay “hệ số tải trọng giới hạn l là số nhỏ nhất trong các hệ số tải trọng l + tương ứng với các trường chuyển vị u ij pk khả dĩ động ” Định lý tổ hợp :
“Với mọi trường chuyển vị, biến dạng hợp lệ, ta được l + và nếu trường ứng suất phối hợp cũng hợp lệ ta được l - Khi đó: l + = =l l -
Nếu trường ứng suất hợp lệ (khả dĩ tĩnh và thỏa tiêu chuẩn dẻo), ta được l - , và nếu trường vận tốc biến dạng liên hiệp bởi luật chảy dẻo (khả dĩ động và gây công dương) thì ta suy ra l + = =l l - ”
3.3.3.Phân tích tải trọng giới hạn dưới dạng qui hoạch toán học
Việc áp dụng các định lý cận trên và định lý cận dưới cho phép chúng ta xây dựng các bài toán tương ứng với hai hướng tiếp cận dưới dạng qui hoạch toán học
Trong bài toán cận dưới chúng ta sẽ xây dựng và rời rạc hóa phần tử theo trường ứng suất Trong bài toán cận trên chúng ta sẽ xây dựng và rời rạc hóa phần tử theo trường chuyển vị
Bài toán tĩnh học sử dụng cận dưới
ên ij ij i j j ij t f s t f trong V x n g tr l l s s l s l
Bài toán động học sử dụng cận trên
Tuy nhiên, để thuận tiện trong tính toán, các nhà toán học đã chứng minh rằng nghiệm của bài toán vẫn không đổi khi chúng ta trực giao hóa công suất ngoại min.
Công thức cho tấm
Bài toán tấm sàn thực tế được xem xét như tấm mỏng (thin plate) hay thường được gọi là classic plate (CPT)
Xem xét một tấm sàn cứng-dẻo tuyệt đối có chiều dày phân bố đều t với điều kiện biên cong khép kín diện tích phẳng W bao gồm biên động học Gu và biên tĩnh học Gt đồng thời chịu tải trọng phân bố q Ứng xử dẻo của tấm mỏng (CPT) có thể được phân tích dưới giả thuyết của Kirchoff rằng trước và sau khi biến dạng mặt cắt vẫn vuông góc với mặt trung bình của tấm và chiều dài không thay đổi
Mối quan hệ về chuyển vị và biến dạng của tấm có thể biểu diễn như sau e& = zk& (3.28)
Với vectơ biến dạng e và độ cong k được định nghĩa x y xy ée ù ê ú e êe ú êg ú ở ỷ
Chúng ta dùng m để kí hiệu một vectơ bao gồm cả momnet uốn vào moment xoắn trên một đơn vị chiều rộng của tấm, được định nghĩa như sau t/2 t/2
Qui ước dấu của ứng suất trong tấm được thể hiện như sau s x t xz t xy t yx s y t yz y x
Hình 3.9 : Qui ước dấu ứng suất trong tấm Năng lượng tiêu tán dẻo hay công nội năng trên một đơn vị diện tích int x x xy xy
Bài toán tối ưu hình nón bậc hai
3.5.1.Định nghĩa K được gọi là một nún nếu " xẻK and l³0 thỡ lx ẻK
Nón đối ngẫu K * được định nghĩa
T * x y³ " ẻ0 x K Û ẻ y K (3.35) Nếu K = K * thì ta gọi K là hình nón tự đối ngẫu
Hình nón bậc hai (quadratic or second order cone) được định nghĩa
Hình nón bậc hai xoay trục (rotated quadratic cone) được định nghĩa
Bài toán tối ưu hình nón bậc hai
Với ci ,xi ẻ R di ; cf ,xf ẻ R di ; Ai ẻ R m x di ; b ẻ R m Biến tham gia vào điều kiện ràng buộc hình nón được gọi là biến tự do (free variables) và được kí hiệu xf
Thực hiện phép đối ngẫu điểm nội của hình nón công thức (3.38) được bài toán đối ngẫu với dạng qui hoạch toán học như sau
3.5.2.Khai triển biểu thức hàm tiêu tán năng lượng
Trong trường hợp tấm kirchoff, phân tích ứng suất và biến dạng tấm chịu uốn m T = [mx my mxy] và biến dạng độ cong k T =[kx ky 2kxy ] với kij = -ả 2 w/ảxiảxj
Tiêu chuẩn Nielsen được phát biểu
( )( ) px x py y px x py y px x px py py ì - - ³ ù + + ³ ùùớ
Hai ràng buộc trên là sự giao nhau của hai hình nón bậc hai xoay
=ê - ú =ê - ú ê ú ê ú ê ú ê ú ở ỷ ở ỷ px x px x py y py y xy xy m m m m k m m k m m m m l l l l l l với l 1 ,l 2 ³ 0 (3.42)
Biểu thức năng lượng tiêu tán được viết lại dưới dạng
= + + + ùớù = - ù = - + ợ r x x x p px x py y px x py x y y y xy xy xy
Từ biểu thức (3.39) và biểu thức (3.44) ta có thể phát biểu bài toán tối ưu
= + + + ỡ ẻ ù = - ùớ = - ùù = - + ợ ò p ò px x py y px x py x r x x x y y y xy xy xy d m m m m
Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm chịu uốn
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày tóm gọn phương pháp tương thích sử dụng phần tử tam giác Chúng ta sử dụng phần tử tương thích C 1 sử dụng hàm xấp xỉ bậc ba trong tọa độ địa phương là phần tử Hsieh-Clough-Tocher (HCT) Phần tử HCT sẽ được dùng để rời rạc trường vận tốc cho bài toán phân tích cận trên Điểm nổi bật chúng ta sử dụng phần tử HCT là độ chính xác mà 1 phần tử HCT đem lại như chúng ta sử dụng 3 phần tử FEM thông thường Ba bậc tự do tại điểm trọng tâm phần tử được khử nhờ sự liên tục của ba cạnh bên trong giúp chúng ta giảm khối lượng tính toán
3.6.2.Phần tử Hsieh-Clough-Tocher (HCT)
Hình 3.10 : Phần tử tam giác và sự phân chia tam giác con
Trường hợp rời rạc của trường chuyển vị tương thích bậc ba, với đa thức hàm suy rộng của hàm chuyển vị đã giả thiết, trường độ võng w tại bất kỳ điểm nào được xác định bởi các biến nút nên các bậc tự do khác có thể được tính toán từ độ võng w.
Hàm độ võng được xác định bởi các bậc tự do nút và hàm dạng w Nq= (3.46) ỉ N là hàm dạng Hermitian ỉ q là cỏc bậc tự do tại cỏc nỳt
Xác định của hàm dạng từ trường tương thích bao gồm phần tử tam giác tương thích, bằng việc sử dụng chỉ một sự mở rộng bậc ba, tam giác được chia làm ba tam giác bên trong như hình 3.10 Điểm O là trọng tâm của tam giác ban đầu, và ba tam giác con được đánh số tương ứng với con số góc đối diện Số của tam giác con được định nghĩa trong biểu thức đại số
Phần tử có 12 bậc tự do, trong đó gồm các tọa độ nút W_i (i = 1, 2, 3) Mỗi nút có hai góc xoay là q_{xi} = \frac{\partial W_i / \partial x}{|\partial W_i / \partial x|} và q_{yi} = \frac{\partial W_i / \partial x}{|\partial W_i / \partial x|}, i = 1, 2, 3 Ngoài ra, còn có góc xoay tại ba điểm giữa các nút q_i = \frac{\partial W_i / \partial n}{|\partial W_i / \partial n|}, i = 4, 5, 6.
Chuyển vị w(x,y) được giả thuyết trên mỗi phần tử tam giác con
Vectơ q=[q (1) q (2) q (3) ] T tất cả chuyển vị nút của toàn bộ phần tử
1 1 1 2 2 2 3 3 3 | q = w w T ộở q q x y q q x y w q q x y | w o q q xo yo ự =ỷ ởộq q T R T E ựỷ (3.48)
Vì rời rạc hóa bằng hàm chuyển vị đứng nên góc xoay trên các cạnh phải có dạng
B q w = ộở B ự ờ ỳỷộ ựở ỷq , k=1,2,3 ; l= 7,8,9 (3.49) Từ điều kiện liên tục ,wn , tại các nút 7,8,9
Chúng ta thành lập phương trình cân bằng từ điều kiện tương thích
Nên ta có mối quan hệ
Công thức (3.49) được viết lại thành
Chuyển vị w (k) được biểu diễn dưới hệ tọa độ tự nhiên z =(z1, z2 ,z3) cho mỗi phần tử tam giác con
Với Ne (k)(z), No (k)(z) lần lượt là hàm nội suy với các biến được xây dựng bởi các biến chuyển vị tại các nút bên ngoài q e và chuyển vị tại nút bên trong; C là ma trận biểu diễn mối quan hệ chuyển vị tại nút bên trong và chuyển vị tại các nút bên ngoài
Ma trận C được sử dụng để khử các chuyển vị nút bên trong thông qua sự liên tục của 3 phần tử con trên biên 7,8,9 theo hình 3.10.
Rời rạc hóa phần tử
Nhằm tạo sự thuận tiện trong các phép tích phân sự xấp xỉ hóa các tích phân được thực hiện thông qua những điểm Gauss, ng=3, của tam giác bên trong
Khi áp dụng nguyên lý cận trên, công suất tiêu tán dẻo được xác định Wint và được biểu diễn thành hàm với các biến thuộc trường vận tốc chuyển vị
Hàm mục tiêu của bài toán tối ưu sau khi chuyển đổi sang dạng đối ngẫu
=ồ Ng i + i + i + i p i px x py y px x py y i
Với Ng là tổng số điểm Gauss trong miền bài toán
Tương tự, tổng công ngoại có thể được khai triển thành
Bài toán phân tích giới hạn cận trên cho tấm sàn bêtông cốt thép sử dụng tiêu chuẩn Nielsen bây giờ có thể được viết thành
Ng i i i i j px x py y px x py y i ng k j j j u i i i x y xy r i i i x y xy r i i i x x x i i i y y y i i i xy xy xy m m m m p
4.MÔ PHỎNG SỐ BẰNG MATLAB
Qui trình tính toán
Bài toán ví dụ được lập trình trên ngôn ngữ Matlab R2009a với công cụ Mosek 5.0 Quá trình thực hiện diễn ra trên máy tính có cấu hình core 2 Duo CPU T6400 2.0GHz, sử dụng hệ điều hành Win Vista sp2.
Bài toán tối ưu hóa hình nón bậc hai trong MOSEK
(4.1) hay min [f]X Ràng buộc : [A X eq ] =b
T n nno nno n g ng ng ng ng ng x y x y x y xy x y xy x y xy x y xy
- Số biến bậc tự do của hệ là 3x node (node: tổng số nút trong miền hình học của bài toán phân tích)
- Số biến đặt thêm k + và k - là 3x Ng (Ng: tổng số điểm Gauss ta sử dụng để xấp xỉ bài toán phân tích)
[f] là ma trận tham số của hàm mục tiêu của bài toán
1 1 1 1 f [0 0 0 0 0 0= xm px xm py 0 x Ng m px x Ng m py 0xm' px xm' 0 py x Ng m' px x Ng m' 0] py
Ba bậc tự do tại mỗi nút
Biến đối ngẫu của nón K + tại các điểm Gauss
Biến đối ngẫu của nón K - tại các điểm Gauss
[A ]eq là ma trận được thiết lập từ các điều kiện sau - Tổng công ngoại bằng một
- Điều kiện trên biên động học
- Mối liên hệ giữa chuyển vị thực của tấm và các biến đối ngẫu
[b] là ma trận (1+bcdof+3Ng )x1
Bài toán được khai báo các nón xoay K + và K - tại các điểm Gauss
Qui trình tính toán được thực hiện theo các bước như sau +Bước 1 : Nhập thông số đầu vào
_Bố trí lớp thép theo hai phương
+Bước 2 : Mesh lưới, đánh số nút và đánh số phần tử
+Bước 3 : Tính toán và thành lập các ma trận đầu vào Mosek 5.0
+Bước 4 : Sử dụng công cụ Mosek để giải bài toán tối ưu hình nón bậc hai
+Bước 5 : Kết quả hệ số tải trọng giới hạn và trường chuyển vị tương ứng
SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TỪ LỜI GIẢI CẬN TRÊN ĐƯỢC TIẾN HÀNH TRONG LUẬN VĂN
Hình 4.1 : Sơ đồ phân tích tải trọng giới hạn
Tấm bêtông cốt thép hình vuông
Bài toán tấm bêtông cốt thép hình vuông đã được thực hiện các mô phỏng số bằng các phương pháp khác nhau và các tiêu chuẩn khác nhau Tiêu chuẩn Von Mises đã được thực hiện mô phỏng số bởi Hodge và Belytschko (1968), Canh et al (2010)
Tiêu chuẩn Tresca được xem xét bởi Koopman and Lance (1965) Tiêu chuẩn square yield được xem xét bởi Mansfield (1957), Chen (1972) Tiêu chuẩn Nielsen được tuyến tính hóa được xem xét bởi Krenk et al (1994) Đồng thời phần tử không lưới cũng đã được xem xét như EFG trong Canh et al (2009) và C 1 NEM trong Zhou et al (2012)
Nhưng mô phỏng số mà sử dụng tiêu chuẩn Nielsen vẫn chưa được thực hiện cho bài toán cận trên
Trong các ví dụ số được thực hiện trong đề tài này, các lưới thép được bố trí đều theo cả lớp trên và lớp dưới hay theo phương x và phương y Điều này giúp ta đưa ra một tính chất tương đối là tấm sàn làm việc như vật liệu đẳng hướng Khi đó, chúng ta sẽ có thể tham khảo các nghiệm giải tích được đưa như Fox (1974) cho tấm hình vuông 4 biên ngàm và Prager (1952) cho tấm hình vuông 4 biên tựa
4.2.1.Thông số đầu vào tấm hình vuông
Hình 4.2 Mô hình bài toán tấm hình vuông bốn biên ngàm Tấm sàn bêtông cốt thép hình vuông cạnh L= 5m chiều dày 100 mm chịu tải trọng phân bố đều được xem xét với hai trường hợp bốn biên ngàm và bốn biên tựa
Thép fY(0 Mpa được bố trí D12@100
Bêtông f’c(Mpa và lớp bêtông bảo vệ 20mm
Do tính chất đối xứng của điều kiện biên và phân bố tải trọng cũng như hình dạng của kết cấu nờn chỳng ta xem xột bài toỏn với ẳ tấm với hai trục đối xứng
Hình 4.3 Hệ mesh lưới bài toán tấm hình vuông 4 biên tựa
Nghiệm giải tích bốn biên ngàm theo Fox (1974) là 42 851 m p 2 qL Đây là nghiệm giải tích xem xét tấm hình vuông bốn biên ngàm chịu tải trọng phân bố đều với tiêu chuẩn chảy dẻo hình vuông
Nghiệm chính xác bốn biên tựa theo Prager (1952) là 24 m p 2 qL
4.2.2.Kết quả bài toán bốn biên tựa
Ta tăng dần lưới lần lượt là 8, 32,128, 512 để khảo sát độ hội tụ của kết quả ví dụ số Giá trị đạt được là hệ số tải trọng giới hạn của tấm sàn bêtông cốt thép được khảo sát
Bảng 4.1 Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình vuông bốn biên tựa
Bốn biên tựa l é ê 2 ù ú ở ỷ m P qL Sai số[%] Time [s]
Chúng ta có thể quan sát độ hội tụ của bài toán cận trên trong bảng trên, sai số của nghiệm bài toán có xu hướng giảm dần khi chúng ta tăng dần số phần tử HCT
Nghiệm của bài toán hội tụ dần về kết quả nghiệm giải tích của Prager (1952) Với lưới mesh 16x16 ta đã đạt được nghiệm với sai số 0,27% so với nghiệm Prager (1952) Thời gian tính toán kết quả đã thể hiện điểm mạnh của phương pháp với đơn vị tính là giây
Với cùng bài toán nhưng sử dụng phần tử EFG trong Canh et al (2009) với lưới 14x14 thì phải tốn 42s
Bảng 4.2 So sánh hệ số tải trọng trong bài toán tấm vuông bốn biên tựa
Tác giả Tiêu chuẩn Phương pháp Kết quả
Nghiên cứu này Nielsen HCT 24,06 -
Canh et al (2009) von Misses EFG 25,01 24,98
Canh et al (2010) von Misses HCT và FEM 25,08 24,76
Hodge và Belytschko von Misses 26,54 24,86
Andersen et al (1998) Mixed element 25,00
Hình 4.4 So sánh nghiệm bài toán bốn biên tựa với các bài báo đã công bố Khi xem xét bài toán cận trên, nghiên cứu hiện nay cung cấp kết quả thấp nhất so với các kết quả tham khảo mà vẫn lớn hơn so với nghiệm giải tích Phương pháp này cung cấp nghiệm hội tụ nhanh và bám sát với giá trị giải tích
Kết quả trường hợp chuyển vị tại trạng thái giới hạn bài toán tấm hình vuông 4 biên tựa được mô tả như trong hình 4.6 Cơ cấu phá hoại được thực hiện bằng chương trình DLO Thực nghiệm trên tấm hình vuông 4 biên tựa kích thước (2x2 m) với 16 điểm gia tải đã cung cấp thông tin một phần về cơ cấu phá hoại của tấm Độ võng tập trung tại giao điểm của hai đường chéo Góc xoay theo hai phương x và y có xu hướng phân biệt và đặc biệt tại đường chéo của hình vuông.
4.2.3.Kết quả bài toán tấm hình vuông bốn biên ngàm
Chúng ta sử dụng cùng hệ mesh của bài toán bốn biên tựa để quan sát độ hội tụ của phương pháp Giá trị mà chúng ta đạt được là hệ số tải trọng giới hạn của tấm sàn
Bảng 4.3 Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình vuông bốn biên ngàm
Tấm hình vuông bốn biên ngàm l[ m P 2 qL ] Sai số[%] Time [s]
Chúng ta quan sát được độ hội tụ của phương pháp thông qua Bảng 4.3 Sai số của phương pháp hiện tại và nghiệm chính xác giảm dần khi chúng ta tăng dần số phần tử
Sai số của trường hợp bốn biên ngàm 8,49 % với lưới 512 phần tử lớn hơn so với trường hợp bốn biên tựa 0,27 % với lưới 512 phần tử Điều này có thể được giải thích bởi trường hợp bốn biên ngàm có năng lượng tiêu tán dẻo dọc biên ngàm Khi giải quyết bài toán cận trên thì hàm mục tiêu của bài toán sau khi thực hiện trực giao hóa là năng lượng tiêu tán dẻo Năng lượng tiêu tán dẻo của bài toán biên ngàm bao gồm cả năng lượng tiêu tán dẻo dọc theo biên ngàm nên dẫn đến sai số cộng dồn Nếu ta muốn đạt được độ chính xác hơn chúng ta cần phải thực hiện lưới chia lớn hơn
Trong nghiên cứu này, tốc độ xử lý bài toán số của trường hợp bốn biên ngàm khá nhanh Khi thực hiện lưới chia 2x2, 4x4, 8x8 kết quả được đưa ra chỉ sau 1s
Nghiệm trong nghiên cứu này thực hiện với lưới 16x16 phải mất 70s Thời gian để tính toán bài toán biên ngàm lâu hơn với trường hợp bốn biên tựa
Bảng 4.4 So sánh hệ số tải trọng của tấm vuông bốn biên ngàm
Tác giả Tiêu chuẩn Phương pháp Kết quả
Nghiên cứu này Nielsen HCT 46,49 -
Canh et al (2010) von Misses HCT và EM 46,71 42,27
Hodge và Belytschko von Misses 49,25 42,86
Andersen et al (1998) Mixed element 44,13
Tấm bêtông cốt thép hình chữ nhật
Bài toán tấm hình chữ nhật là một trong những bài toán phổ biến trong thiết kế kỹ thuật, thường được sử dụng để xác định hình dạng và kích thước tối ưu của các tấm hình chữ nhật khi chịu tải trọng nhất định Một trong những mô phỏng số về vấn đề này được thực hiện bởi Canh et al (2009), trong đó các tác giả đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán ứng suất và độ võng của các tấm hình chữ nhật chịu lực nén dọc trục.
Zhou et al (2012) đã áp dụng phương pháp không lưới để khảo sát kết quả và giải quyết theo tiêu chuẩn von Mises Các mô phỏng số đã được thực hiện để kiểm chứng kết quả khi xem xét bài toán với tiêu chuẩn Nielsen và so sánh với nghiệm chính xác do Ingerlev (1921) cung cấp trong bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên tựa chịu tải trọng phân bố đều.
4.3.1.Thông số đầu vào tấm hình chữ nhật
Hình 3.10 Mô hình bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm Tấm sàn bêtông cốt thép hình vuông cạnh L1= 2,5m; L2=5m có chiều dày 100mm chịu tải trọng phân bố đều được xem xét với hai trường hợp bốn biên ngàm và bốn biên tựa
Thép fY(0 Mpa được bố trí D12@100
Bêtông f’c(Mpa và lớp bêtông bảo vệ 20mm
Do tính chất đối xứng của điều kiện biên và phân bố tải trọng cũng như hình dạng của kết cấu nờn chỳng ta xem xột bài toỏn với ẳ tấm với hai trục đối xứng
Nghiệm chính xác tải trọng giới hạn của bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên tựa chịu tải trọng phân bố đều được đề xuất bởi Ingerslev (1921) như sau: Hệ lưới dạng lưới ô chữ nhật.
Hoặc nghiệm xấp xỉ được đề xuất bởi Johansen (1972) với bố trí thép đều cho cả hai lớp trên và dưới
Với bài toán khảo sát 1
L L = ta có hệ số tải trọng gần đúng 14 14 2
3.3.2.Kết quả bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên tựa
Kết quả bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên tựa được khảo sát với số lưới phần tử tăng dần 8, 32, 128, 512
Bảng 4.5 Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ nhật bốn biên tựa
Tấm hình chữ nhật bốn biên tựa l[ 1 2 m P qL ] Sai số[%] Time [s]
Nghiệm thu được từ bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm hội tụ tốt Theo quan san sát từ bảng trên, sai số của nghiệm giảm dần khi chúng ta tăng dần số phần tử và đồng thời hội tụ về giá trị nghiệm Ingerslve (1921) Với 512 phần tử phương pháp đã đem lại giá trị có thể chấp nhận được chỉ với sai số 1,48%
Tốc độ tính toán vẫn được xem xét là ưu điểm của phương pháp với khả năng đem lại kết quả hợp lý trong thời gian được tính bằng đơn vị giây Trong ba trường hợp tính toán đầu tiên chỉ tốn từ 1-2s
Hình 4.12 Trường chuyển vị (w,qx, qy) bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên tựa
Bảng 4.6 So sánh hệ số tải trọng của tấm hình chữ nhật bốn biên tựa
Tác giả Tiêu chuẩn Phương pháp Kết quả
Nghiên cứu này Nielsen HCT 14,35 -
Canh et al (2009) von Misses EFG 14,94* -
Zhou et al (2012) von Misses NEM 14,45* -
* Giá trị được qui đổi với đơn vị tính trong bài báo
Qua bảng 4.6 chúng ta quan sát được nghiệm được đưa ra trong nghiên cứu này thấp hơn và gần nghiệm chính xác hơn so với hai kết quả Canh et al (2009) và Zhou et al (2012) Tuy trong các bài báo so sánh nghiệm được xem xét với phần tử khác với phương pháp này nhưng góp phần vào với các bài toán được xem xét trước về nhận định “ bài toán được tính toán với tiêu chuẩn Nielsen có nghiệm cận trên thấp hơn khi tính toán với tiêu chuẩn von Mises”
Trường chuyển vị (w, q_x, q_y) tại trạng thái giới hạn của tấm hình chữ nhật bốn biên tựa chịu tải trọng phân bố đều được thể hiện trong hình 4.12 Độ võng lớn nhất được phân bố một phần đường trung bình song song với cạnh dài Góc xoay theo hai phương x và phương y được phân bố thành bốn vùng riêng biệt, cơ cấu hình thành bởi các đường chéo đi từ các góc tấm Với bố trí thép đều theo cả hai phương và cả theo hai lớp thì góc chia có thể xấp xỉ góc 45° (hệ số tải trọng giới hạn q_2).
3.3.3.Kết quả bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm
Kết quả bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm được khảo sát với số lưới phần tử tăng dần 8, 32, 128, 512
Bảng 4.7 Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm
Tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm l[ 2
Qua bảng 4.7, chúng ta quan sát được độ hội tụ của phương pháp trong bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm chịu tải trọng phân bố đều Sai số, trong bảng 4.7 là sai số giữa hai lưới mesh, có xu hướng giảm dần Khi xem xét bài toán biên ngàm, năng lượng chảy dẻo xuất hiện trên dọc biên làm bài toán lâu hội tụ hơn Để tìm được kết quả tốt hơn chúng ta cần phải sử dụng hệ lưới mịn hơn
Thời gian tính toán vẫn thể hiện là ưu điểm của phương pháp Trong ba lưới mesh 8, 32, 128 thì bài toán được giải quyết 1-2s Với bài toán với 512 phần tử, thời gian tính toán lâu hơn so với bài toán tựa Số ràng buộc trong bài toán tối ưu tăng lên do số ràng buộc trên biên động học tăng lên Điều này đã làm gia tăng thời gian tính toán trong bài toán biên ngàm
Bảng 4.8 So sánh hệ số tải trọng của tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm
Tác giả Tiêu chuẩn Phương pháp Kết quả
Nghiên cứu này Nielsen HCT 27,82 -
Canh et al (2009) von Misses EFG 27,31* -
Zhou et al (2012) von Misses NEM 27,55* -
* Giá trị được qui đổi với đơn vị tính trong bài báo
Qua bảng 4.8, hệ số tải trọng giới hạn của phương pháp này cao hơn so với Canh et al (2009) và Zhou et al (2012) Tuy chúng ta không thể hoàn toàn so sánh trên một bình diện vì phương pháp này xem xét tiêu chuẩn Nielsen và FEM còn trong các bài báo tham khảo xem xét tiêu chuẩn von Mises và phần tử không lưới Kết quả đạt được của phương pháp chênh lệch nhỏ khoảng 1,9% so với Canh et al (2009)
Hình 4.13 Trường chuyển vị (w,qx,qy) bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm
Trường chuyển vị ( w , , q q x y ) tại trạng thái giới hạn của tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm chịu tải trọng phân bố đều được thể hiện trong hình 4.13 Độ võng lớn nhất được phân bố một phần đường trung bình song song với cạnh dài Góc xoay theo phương x và phương y có xu hướng tạo thành các hình rẽ quạt tại bốn góc tấm Góc xoay xuất hiện dọc theo biên ngàm là điều hợp lý với bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm chịu tải trọng phân bố đều.
Tấm bê tông cốt thép hình tròn
Bài toán tấm hình tròn biên ngàm theo chu vi là một trong những bài toán điển hình đã được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm Đây cũng là một ví dụ mà nghiên cứu này quan tâm đến Trường chuyển vị được rời rạc hóa và thực hiện bài toán tối ưu nội đối ngẫu để tìm được hệ số tải trọng và trường chuyển vị tương ứng Kết quả mô phỏng số được so sánh với kết quả của Hodge và Belytschko (1968), Andersen et al (1998), Canh L.V et al (2010) Kết quả giải tích được đề xuất bởi Johansen (1962) cho tiêu chuẩn square yield và một kết quả giải tích khác của Hopkin & Wang (1954) cho tiêu chuẩn von Mises
Trong mô phỏng số, để giả định tấm sàn bê tông cốt thép ứng xử như vật liệu đẳng hướng, lưới thép được bố trí đều đặn theo hai phương Mặc dù giả định này không hoàn toàn phù hợp với thực tế, nhưng nó cho phép kiểm chứng kết quả với các giá trị tham chiếu khác.
4.4.1.Thông số đầu vào tấm hình tròn
Hình 4.14 Bài toán tấm tròn bốn biên ngàm chịu tải trọng phân bố đều
Xem xét tấm bêtông cốt thép hình tròn bán kính R=6m chiều dày 100 mm chịu tải trọng phân bố đều được xem xét trường hợp biên ngàm trên chu vi
Thép fY(0 Mpa được bố trí D12@100
Bêtông f’c(Mpa và lớp bêtông bảo vệ 20mm
Bài toán có tính chất đối xứng về hình học, điều kiện biên và tải trọng nên ta có thể tỏch ra xem xột ẳ tấm trũn với hai trục đối xứng
Hình 4.15 Mô hình bài toán tấm hình tròn biên ngàm theo chu vi
Nghiệm chính xác của tải trọng giới hạn tấm tròn biên ngàm chịu tải trọng phân bố đều sử dụng tiêu chuẩn Square yield là 2 '
6 m p m p qR ổ + ử ỗ ữ ố ứ được cung cấp bởi Johansen (1962)
4.4.2.Kết quả bài toán tấm hình tròn
Bài toán được thực hiện mô phỏng khi sử dụng phần tử tương thích HCT với số phần tử tăng dần 8, 32, 128, 512
Bảng 4.9 Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình tròn biên ngàm theo chu vi
Tấm hình tròn biên ngàm chu vi l[ m P 2 qR ] Sai số[%] Time [s]
Qua bảng 4.9, phương pháp thể hiện độ hội tụ khá tốt đối với bài toán tấm tròn biên ngàm Sai số của nghiệm bài toán giảm dần và tiến về gần với nghiệm chính xác của Johansen (1962) Nghiệm giải tích của Hopkin và Wang (1955) sử dụng tiêu chuẩn von Mises được xem như giá trị tham khảo Giá trị tải trọng giới hạn sử dụng tiêu chuẩn Nielsen có giá trị thấp hơn giá trị đạt được khi sử dụng tiêu chuẩn von Mises Điều này có thể do không gian ứng suất của tiêu chuẩn Nielsen nhỏ hơn không gian ứng suất tiêu chuẩn von Misses
Bài toán tấm tròn biên tựa hội tụ chậm hơn bài toán tấm hình hình chữ nhật bốn biên tựa bởi vì sự phức tạp hình học Thời gian tính toán với của phương pháp trong trường hợp bài toán tấm tròn biên ngàm tăng dần khi ta tăng độ mịn của lưới Điểm đáng chú ý của phương pháp là tốc độ tính toán Chỉ với 512 phần tử ta cũng chỉ mất số thời gian được tính bằng đơn vị giây (19s)
Bảng 4.10 So sánh hệ số tải trọng của bài toán tấm tròn biên ngàm chu vi
Tác giả Tiêu chuẩn Phương pháp Kết quả
Nghiên cứu này Nielsen HCT 12,85 -
Canh et al (2009) Nielsen EFG - 11.89
Zhou et al (2012) von Mises NEM 12,48 -
Canh et al (2010) von Mises HCT và EM 13,28 12,42 Hopkin & Wang(1955) von Mises Giải tích 12,5
Hình 4.16 So sánh bài toán tấm tròn biên ngàm với các bài báo đã được công bố
Khi so sánh với kết quả sử dụng phần tử tương thích HCT nhưng xem xét hai tiêu chu nghiên cứu này, tiêu chuẩn Nielsen đư phần tử lên thì giá trị của nghi chuẩn von Misses 3,26 % Khi so sánh v Zhou et al (2012) phải sử dụng 801 nút trong khi chênh l này thực hiện với 512 phần tử.
Trường chuyển vị ta tìm ngàm theo chu vi được thể hiện ở hình của tấm và nhỏ dần khi tiến về biên Góc xoay ả bài báo của Canh et al(2010) thì hai phương pháp cùng tương thích HCT nhưng xem xét hai tiêu chuẩn khác nhau Trong n Nielsen được sử dụng để đánh giá kết quả khi ta tăng s a nghiệm khi dùng tiêu chuẩn Nielsen thấp hơn khi dùng tiêu
Khi so sánh với các phương pháp khác như C 1 NEM trong ng 801 nút trong khi chênh lệch 2,9% so với nghiên c
ng chuyển vị ( w,q x ,q y ) bài toán tấm tròn biên ngàm m chính xác của bài toán tấm tròn biên ngàm theo Johansen ờng chuyển vị ta tìm được ở trạng thái giới hạn của bài toán tấm tròn biên ợc thể hiện ở hình 4.17 Độ võng lớn nhất của tấm tại trọng tâm ấm và nhỏ dần khi tiến về biên Góc xoay theo hai phương x và y là các đư ương pháp cùng n khác nhau Trong khi ta tăng số p hơn khi dùng tiêu
NEM trong i nghiên cứu m tròn biên ngàm m tròn biên ngàm theo Johansen (1962) ợc ở trạng thái giới hạn của bài toán tấm tròn biên ất của tấm tại trọng tâm và y là các đường hướng tâm và phân bố tròn quanh tấm Điều này đã cho thấy điểm tương đồng với trạng thái giới hạn được đề xuất bởi Johansen (1962) trong hình 4.18.
Tấm bê tông cốt thép hình chữ L
Một ví dụ số được tính toán là tấm sàn bêtông cốt thép hình chữ L Bài toán đã được xem xét bởi Canh et al (2009) và Canh et al (2010) Các giá trị tham khảo về dạng hình học này vẫn chưa được thực hiện nhiều trong các mô phỏng số nhưng đây cũng là một bài toán hình dạng phức tạp để ta kiểm chứng lại tính đúng đắn của phương pháp
4.5.1.Thông số đầu vào tấm hình chữ L
Hình 4.19 Bài toán tấm hình chữ L
Xem xét tấm bêtông cốt thép hình chữ L chiều dày 100 mm chịu tải trọng phân bố đều được xem xét trường hợp biên ngàm trên hai biên tựa đơn
Thép fY(0 Mpa được bố trí D12@100
Bêtông f’c(Mpa và lớp bêtông bảo vệ 20mm
Bài toán này sử dụng kết quả số trong bài báo Canh et al (2010) làm giá trị tham khảo Tuy bài báo Canh et al (2010) sử dụng tiêu chuẩn von Mises nhưng vẫn chưa có kết quả số sử dụng tiêu chuẩn Nielsen trong dạng hình học này nên giá trị trên vẫn có thể được sử dụng tham khảo
Bài toán được thực hiện mô phỏng số với hệ lưới hình tam giác được thể hiện với số phần tử tăng dần
Hình 4.20 Hệ mesh lưới bài toán tấm hình chữ L
4.5.2.Kết quả bài toán tấm hình chữ L
Chúng ta áp dụng phương pháp chia lưới nhỏ dần để kiểm tra tính hội tụ của phương pháp, đồng thời tìm nghiệm tối ưu có thể Nghiệm tìm được có thể so sánh với các nghiệm đã được công bố trong các bài báo trước đây.
Bảng 4.11 Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ L Số phần tử
Tấm chữ L hai biên tựa l[ m P 2 qL ] Sai số[%] Time [s]
Hình 4.21 So sánh hệ số tải trọng giới hạn bài toán tấm chữ L với các bài báo
Sự chất hội tụ của phương pháp đ đầu với số phần tử được xem xét không l Canh et al (2010), nhưng khi s kết quả thấp hơn so với Canh pháp đang xem xét với 2 tiêu chu chuẩn Nielsen nhỏ hơn không gian trọng đạt được sẽ thấp hơn so v
Bảng 4.12 So sánh h Tác giả
Nghiên cứu này Canh et al (2009) Canh et al (2010)
Hình 4.22 Trường chuy a phương pháp đã được thể hiện trong hình 4.21 Giá tr c xem xét không lớn thì nghiệm bài toán cao hơn m ), nhưng khi số lượng phần tử tăng lên thì phương pháp đem l i Canh et al (2010) Điều này có thể được giải thích do phương tiêu chuẩn dẻo khác nhau Không gian ứng su hơn không gian ứng suất của von Mises nên dẫn đến giá tr p hơn so với bài toán tương đương sử dụng tiêu chuẩn v
So sánh hệ số tải trọng trong bài toán tấm hình chữ
Tiêu chuẩn Phương pháp Kết quả
Nielsen HCT 6,10 von Mises EFG 6,298 von Mises HCT 6,289 ng chuyển vị ( w,qx, qy) bài toán tấm chữ L
Giá trị ban m bài toán cao hơn một ít so với ương pháp đem lại một i thích do phương ng suất của tiêu n giá trị hệ số tải von Mises
Hình 4.23 Cơ cấu phá hoại được dự đoán có sử dụng phần tử adaptive
Trường chuyển vị trong trường hợp giới hạn của bài toán tấm hình chữ L thể hiện độ võng tập trung theo chiều dọc tấm, song song với hai mép tỳ Độ xoay theo phương x và y cũng xuất hiện đường phân biệt như độ võng của tấm Các đặc điểm này tương đồng với cơ chế phá hoại khi sử dụng phần tử adaptif, được trình bày trong luận án tiến sĩ của Canh L.V.
