Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích ứng xử phi tuyến hình học tấm Composite Laminate bằng phần tử tấm Mindlin 3 nút được làm trơn (CS-Min3)

--- ĐỖ CHÍ THANH PHÂN TÍCH ỨNG XỬ PHI TUYẾN HÌNH HỌC TẤM COMPOSITE LAMINATE BẰNG PHẦN TỬ TẤM MINDLIN 3 NÚT ĐƢỢC LÀM TRƠN CS-MIN3 Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công ngh

TỔNG QUAN

Giới thiệu về vật liệu composite laminate

Ngày nay, trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật nhƣ xây dựng dân dụng, công nghiệp, chế tạo máy bay, tàu vũ trụ, tàu ngầm, xe ô tô, xe tải, tàu hỏa…, yêu cầu sử dụng các loại vật liệu nhẹ, có độ cứng lớn và chịu lực tốt ngày càng tăng cao Để đáp ứng những yêu cầu trên, vật liệu composite đã đƣợc phát triển và ngày càng đƣợc sử dụng phổ biến Vật liệu composite là loại vật liệu đƣợc tổ hợp từ nhiều loại vật liệu có tính chất cơ lý khác nhau, ví dụ vật liệu composite cốt sợi bao gồm cốt gia cường (fibers) có cường độ cao được kết hợp với vật liệu nền (matrix) có cường độ thấp hơn Phương của cốt gia cường sẽ quyết định tính dị hướng của vật liệu như mô tả ở Hình 1.1 [1] Vật liệu composite sẽ có những tính năng và đặc tính vƣợt trội hơn so với các vật liệu thành phần khi xét chúng riêng rẽ

(a) Cốt một phương (b) Cốt hai phương (c) Cốt phân tán

Hình 1.1 Phương của cốt gia cường

Vật liệu composite nhiều lớp là loại vật liệu ghép nhiều lớp liên tục với nhau, có thể có các lớp sợi và phương sợi khác nhau Các lớp thành phần của composite nhiều lớp thường là các lớp mỏng gọi là lamina, được sắp xếp theo những trật tự khác nhau để đạt được các tính chất mong muốn như độ cứng cao, khả năng chống va đập cao, khả năng chịu lực cao, khả năng chống mòn tốt.

Hình 1.2 Kết cấu tấm composite nhiều lớp

Có 2 dạng kết cấu tấm composite laminate: tấm composite laminate có góc sợi chéo (cross-ply) và tấm composite laminate có góc sợi xiên (angle-ply)

Tấm composite laminate có góc sợi chéo (cross-ply) là tấm bao gồm các lớp lamina có cùng chiều dày và thuộc tính vật liệu nhƣng có các trục chính vật liệu hợp với hệ trục tọa độ tổng thể các góc 0 0 hoặc 90 0 , tức là phương góc sợi của các lớp lamina trong hệ trục tọa độ tổng thể là 0 0 hoặc 90 0 (α=0 0 , α 0 )

Tấm composite laminate có góc sợi xiên (angle-ply) có cấu tạo cũng giống nhƣ tấm composite laminate có góc sợi chéo, nhưng ở dạng này phương góc sợi của các lớp lamina trong hệ trục tọa độ tổng thể có thể dao động trong khoảng từ 0 0 đến 90 0 (0 0 < α < 90 0 )

Một đặc điểm khác trong ngành xây dựng là con người ngày càng có xu hướng sử dụng những loại vật liệu thân thiện với môi trường và giảm việc sử dụng các loại vật liệu tự nhiên nhƣ gỗ và đá Vật liệu composite laminate ra đời với khả năng mô phỏng vân gỗ, giả đá cùng những ƣu điểm kỹ thuật vừa kể trên đã phần nào thỏa mãn đƣợc nhu cầu này và vì vậy ngày càng đƣợc sử dụng rộng rãi Một số ứng dụng của vật liệu composite laminate trong đời sống đƣợc minh họa trên Hình 1.3

Hình 1.3 Ứng dụng của tấm composite laminate (a) Trần thả và vách ngăn (b)

Vòm để xe (c) Container văn phòng (d) Trần nhà (e) Bồn chứa chất lỏng

Đến nay đã có nhiều lý thuyết tấm composite được phát triển Các lý thuyết này có thể được phân chia thành hai mô hình chính: Mô hình 2 chiều dựa trên lý thuyết một lớp tương đương (ESL) và mô hình 3 chiều dựa trên lý thuyết nhiều lớp đàn hồi (LW).

Hai loại mô hình này đƣợc minh họa ngắn gọn nhƣ trong Hình 1.4

Hình 1.4 Mô hình tính kết cấu tấm composite nhiều lớp

Trong mô hình 2 chiều, có ba lý thuyết phổ biến bao gồm lý thuyết tấm laminate cổ điển (CLPT), lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất (FSDT) và lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao (HSDT) Trong đó CLPT là lý thuyết đơn giản nhất dành cho tấm laminate Nó là sự mở rộng của lý thuyết tấm cổ điển (CPT) dựa trên giả thuyết Kirchhoff Trong CLPT, ta giả thiết các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn, do đó ta không cần xét tới hiệu ứng cắt ngang Tuy nhiên, kết quả của lời giải CLPT chỉ thỏa mãn cho ví dụ tấm mỏng đẳng hướng Để tăng tính chính xác và kể vào hiệu ứng cắt ngang trong tính toán cho các loại tấm dày, lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao HSDT đã đƣợc sử dụng và có thể giải quyết tốt vấn đề trên Tuy nhiên sự phức tạp trong công thức tính và khối lƣợng tính toán lớn là một rào cản trong việc áp dụng HSDT trong thực tế tính toán

Nhiều lớp đàn hồi (LW) Một lớp tương đương (ESL)

Từ quan điểm đơn giản và hiệu quả trong tính toán, lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất FSDT là phổ biến nhất và đã đƣợc sử dụng rộng rãi Trong FSDT, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng nhƣng không còn vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn Minh họa ngắn gọn về các lý thuyết tính toán đƣợc mô tả nhƣ trong Hình 1.5

Hình 1.5 Biến dạng động học trong lý thuyết tấm composite laminate bằng các lý thuyết tấm khác nhau

Trong phân tích các kết cấu tấm chịu chuyển vị lớn, phân tích phi tuyến tính học là vô cùng quan trọng do chuyển vị của kết cấu dưới tác động của tải trọng được xem là đáng kể so với vị trí ban đầu Bằng việc sử dụng các phương pháp tính toán hiệu quả và đáng tin, nghiên cứu này tập trung vào việc phân tích chính xác ứng xử phi tuyến hình học của tấm, góp phần nâng cao độ chính xác và độ tin cậy trong quá trình thiết kế và phân tích các kết cấu loại này.

Hiện nay, cùng với sự phát triển của máy tính và ngôn ngữ lập trình, nhiều phương pháp số đã được phát triển và ứng dụng cho kết cấu tấm như: phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp không lưới (meshless), v.v…, trong đó FEM được sử dụng rộng rãi hơn cả

Trong phân tích ứng xử tấm Mindlin một vấn đề chính thường gặp phải là hiện tƣợng khóa cắt “shear locking” Hiện tƣợng khóa cắt này xảy ra khi chiều dày tấm trở nên mỏng và biến dạng cắt lại không triệt tiêu mà trở nên lớn đáng kể so với biến dạng uốn Điều này làm cho nghiệm bài toán hội tụ rất chậm Để giải quyết hiện tượng “shear locking” này, nhiều phương pháp số đã được đề xuất như: tích phân suy giảm có chọn lọc của Zienkiewicz [3] và Huge [4, 5], phân tích ổn định bởi Belytschko [6, 7], phương pháp biến dạng cắt thay thế bởi Hinton và Huang

Phương pháp ANS do Hughes và Tezduzar đưa ra khắc phục hạn chế của các phương pháp trước Phương pháp này tách biệt việc xác định biến dạng trượt khỏi quá trình xấp xỉ các biến số động học Trường biến dạng cắt của phần tử tam giác và tứ giác được nội suy độc lập bằng các hằng số biến dạng trượt, xoay dọc theo cạnh phần tử.

ANS, Tessler và Hughes [10] đã đề xuất một phần tử tấm Mindlin ba nút (MIN3), trong đó điều kiện tương thích Kirchhoff được thỏa mãn tại trung điểm ba cạnh của phần tử Phương pháp MIN3 đã giải quyết được hiện tượng “shear locking” cho phần tử tấm, tuy nhiên, độ chính xác của phần tử MIN3 vẫn chƣa tốt so với một số phần tử tấm ba nút khác [11], đặc biệt là đối với các tấm dày

Gần đây trong nỗ lực phát triển phương pháp phần tử hữu hạn, G.R Liu và Nguyen Thoi Trung [12] đã áp dụng kỹ thuật làm trơn biến dạng của phương pháp không lưới [13] vào FEM để cho ra phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn dựa trên phần tử (CS-FEM) [14] Trong CS-FEM, lưới phần tử hữu hạn được sử dụng tương tự như trong FEM, tuy nhiên dạng yếu và hệ phương trình rời rạc được thành lập dựa trên các miền trơn trong phần tử Mở rộng CS-FEM cho phân tích ứng xử tấm

Mindlin và kết hợp với phần tử tấm MIN3 [10], Nguyễn Thời Trung và cộng sự [2] gần đây đã để xuất phần tử tấm Reissner-Mindlin 3 nút trơn dựa trên phần tử (CS- MIN3) (cell-based smoothed three-node Mindlin plate element) nhằm phân tích tĩnh và dao động tự do của tấm Trong quá trình xây dựng ma trận độ cứng tổng thể của CS-MIN3, mỗi phần tử tam giác sẽ đƣợc chia thành ba tam giác nhỏ và trong mỗi tam giác nhỏ, phần tử MIN3 đƣợc sử dụng để tính toán biến dạng và tránh hiện tƣợng “shear locking” Sau đó, kỹ thuật làm trơn biến dạng trên toàn phần tử tam giác đƣợc sử dụng để làm trơn các biến dạng trên ba tam giác nhỏ Phần tử CS- MIN3 đã khắc phục đƣợc những nhƣợc điểm của phần tử MIN3 và cho nghiệm chính xác đáng kể, nhất là đối với lưới thô

1.4 Tình hình nghiên cứu 1.4.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước

Tình hình nghiên cứu

Trong nhiều năm, việc phát triển các phần tử dựa trên FSDT (lý thuyết Mindlin - Reissner) đã thu hút được sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu Nhiều phương pháp tiếp cận khác nhau có thể đƣợc tìm thấy trong các tài liệu (Bathe [15]; Xiang và cộng sự [16]; Zienkiewicz và Taylor [17]; Xiang và Reddy [18]; Xiang và Zhang [19], vv) Gần đây, một số mô hình mới cũng đã đƣợc đề xuất trong các công trình nghiên cứu của Cen và cộng sự [20], Kim và cộng sự [21], Mai-Duy và cộng sự [22], v.v Những nỗ lực này làm cho FSDT thuận tiện và hợp lý hơn trong các ứng dụng thực tế

Về phân tích phi tuyến hình học của tấm composite laminate, một số nghiên cứu thực nghiệm tiêu biểu có thể kể đến nhƣ Zaghloul và Kennedy [23], Putcha và Reddy [24]… Bên cạnh đó, cũng có những nghiên cứu mô phỏng số nhƣ: phần tử LACOT (tam giác 3 nút) của Agryris và Tenek [25], phần tử RDKQ-NL20(24) của Zhang và Kim [26], phần tử MISQ20(24) của Hieu Nguyen-Van [27] Một trong số những nghiên cứu đƣợc coi là xuất sắc trong trong suốt 20 năm qua về phi tuyến hình học là công trình đƣợc thực hiện bởi Yang và cộng sự [28] Ngoài ra, cũng có một số tài liệu tham khảo phổ biến về ứng xử phi tuyến hình học của tấm nhƣ của Gal và Levy [29], Zhang và Yang [30]

Với sự ra đời và phát triển của các phương pháp mô phỏng số, nhu cầu phân tích ứng xử phi tuyến hình học cho tấm composite laminate ngày càng phổ biến và đƣợc nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới quan tâm Tuy nhiên lĩnh vực này ở nước ta vẫn còn mới mẻ và chỉ mới được quan tâm trong những năm gần đây Tại trường Đại học Bách Khoa Tp HCM, chỉ một số ít luận văn thạc sĩ ngành Xây dựng dân dụng và Công nghiệp nghiên cứu về ứng xử của tấm composite laminate Điển hình ta có thể liệt kê các luận văn sau:

Tác giả Phan Đào Hoàng Hiệp với đề tài luận văn thạc sĩ “Phân tích tĩnh và dao động tự do kết cấu tấm Composite lớp có chứa lớp áp điện bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh” [31] Trong luận văn này tác giả áp dụng kỹ thuật làm trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) và làm nổi bật lên về tính chính xác của kết quả trong việc phân tích tĩnh và dao động tự do kết cấu tấm Composite

Tác giả Phạm Văn Trực với đề tài luận văn thạc sĩ “Phân tích độ tin cậy của tấm Composite Laminate bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên cạnh” [32]

Trong luận văn này tác giả đi sâu vào phân tích độ tin cậy của tấm

Các luận văn trên tuy nhiên chỉ xét đến ứng xử tuyến tính của tấm composite laminate chứ chƣa xét ứng xử phi tuyến hình học.

Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Nhƣ đã trình bày trong phần tình hình nghiên cứu, lĩnh vực phân tích ứng xử phi tuyến hình học cho kết cấu tấm composite laminate đã đƣợc nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới quan tâm, tuy nhiên ở trong nước thì vẫn còn khá mới mẻ Tác giả vì vậy đã chọn hướng nghiên cứu này trong luận văn Tác giả sẽ áp dụng một phần tử tam giác 3 nút mới đƣợc làm trơn (CS-MIN3) để phân tích ứng xử phi tuyến hình học cho tấm composite laminate Trong phạm vi luận văn thạc sĩ, tác giả sẽ tập trung nghiên cứu những vấn đề sau:

 Mở rộng phần tử CS-MIN3 để phân tích ứng xử phi tuyến hình học tấm composite laminate

 Tác giả sẽ khảo sát sự hội tụ của phần tử CS-MIN3 theo độ chia mịn lưới, và khảo sát ảnh hưởng của số lớp lamina, trật tự sắp xếp các lớp lamina, phương của góc sợi đến chuyển vị của tấm

 So sánh kết quả đạt đƣợc với kết quả thực nghiệm, kết quả của phần mềm thương mại ANSYS và một số kết quả tham khảo đã được công bố

 Kết luận kết quả đạt được và hướng phát triển trong tương lai.

Cấu trúc luận văn

Nội dung trong luận văn đƣợc trình bày nhƣ sau:

Chương 1 giới thiệu tổng quan về tấm composite laminate, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2 trình bày các công thức phần tử hữu hạn nhằm phân tích phi tuyến hình học của tấm composite laminate

Chương 3 trình bày các ví dụ số được mô phỏng và tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab Kết quả số từ phương pháp được đề xuất sẽ được so sánh với kết quả từ phần mềm ANSYS và các kết quả đã đƣợc công bố

Chương 4 đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: Một số đoạn mã lập trình Matlab chính để mô phỏng và tính toán các ví dụ số trong Chương 3.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Giới thiệu tấm chịu uốn [33, 34]

Tấm là vật thể lăng trụ hoặc hình trụ có chiều dày t nhỏ hơn nhiều so với kích thước của hai phương còn lại

Mặt phẳng cách đều hai mặt biên trên và biên dưới của tấm được gọi là mặt trung bình của tấm Khi tấm chịu uốn, mặt trung bình của tấm bị cong đi Giao tuyến của mặt trung bình và các mặt biên cạnh tấm đƣợc gọi là cạnh biên của tấm (hay chu vi tấm) Để tiện nghiên cứu và khảo sát, ta thường chọn hệ trục tọa độ Oxyz như Hình 1.1, trong đó mặt phẳng Oxy nằm trong mặt trung bình của tấm Vị trí gốc tọa độ O sẽ đƣợc chọn tùy thuộc vào hình dạng chu vi tấm và các đặc trƣng liên kết của điều kiện biên sao cho phù hợp với các bài toán thực tế

Theo [33] kết cấu tấm có thể đƣợc phân thành ba nhóm sau:

 Tấm mỏng có chuyển vị bé: Khi tấm có tỉ lệ giữa chiều dày t so với kích thước cạnh ngắn nhất nhỏ hơn 1/20, 1

 , và chuyển vị lớn nhất

4 w max  t (trong đó b là cạnh ngắn nhất và w max là chuyển vị lớn nhất trong tấm)

 Tấm mỏng có chuyển vị lớn: Khi tấm có tỉ lệ giữa chiều dày t so với kích thước cạnh ngắn nhất nhỏ hơn 1/20, 1

 , và chuyển vị lớn nhất

4 w max  t (trong đó b là cạnh ngắn nhất và w max là chuyển vị lớn nhất trong tấm)

 Tấm dày: Khi tấm có tỉ lệ giữa chiều dày t so với kích thước cạnh ngắn nhất lớn hơn hoặc bằng 1/20, 1

Hình 2.1 Mô hình tấm chịu uốn.

Dạng yếu của phương trình chủ đạo cho tấm Mindlin

Từ mục này trở đi, để đơn giản trong trình bày, tác giả sẽ gọi tấm Reissner – Mindlin là tấm Mindlin

Xét tấm Mindlin chịu biến dạng uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm

Hệ trục tọa độ xyz đƣợc chọn sao cho mặt phẳng tọa độ xy trùng với mặt phẳng trung bình của tấm Từ đó ta thu đƣợc một miền trung hòa cần đƣợc khảo sát Ω e  R 2 và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm dựa trên các giả thiết của tấm

Mindlin, trong đó w là độ võng tấm,  x và  y lần lƣợt là góc xoay quanh trục x và trục y tuân theo quy tắc bàn tay phải nhƣ minh họa trong Hình 2.2 z x y b t a qO

Hình 2.2 Quy ƣớc dấu của tấm Mindlin [10]

Véc tơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm Mindlin có dạng

Ta giả định rằng vật liệu là đồng nhất và đẳng hướng với mô đun đàn hồi Young

E và hệ số Possion  Biến dạng phẳng  và biến dạng trƣợt  của tấm lần lƣợt đƣợc tính bởi

0 là véc tơ biến dạng màng (bỏ qua khi xét bài toán tuyến tính)

Dạng yếu Galerkin của công thức cân bằng tĩnh học cho tấm Mindlin [35] có dạng δκ D κdΩ δγ D γdΩ δu qdΩ s s s

Tấm có độ dày 2b được tải trọng phân bố đều q tác dụng, trong đó qxy(x, y),0 là ma trận tải phân bố đều Ma trận vật liệu Db và Ds liên quan tới biến dạng uốn và cắt xác định bởi:

(2.6) trong đú t là bề dày tấm; χ =5/6 là hệ số điều chỉnh cắt và à là mụ đun đàn hồi trƣợt.

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) cho tấm Mindlin

Rời rạc miền giới hạn  thành N e những phần tử tam giác hữu hạn sao cho

   và      i j , i j Theo lý thuyết tấm dày Mindlin, trường chuyển tử hữu hạn nhƣ sau

(2.7) trong đó N n là tổng số nút; N x i   là hàm dạng tại nút i và

  d = i u i v i w i xi yi T là véc tơ chuyển vị nút thứ i của u Biến dạng uốn và cắt được viết lại dưới dạng ma trận như sau κ n B d , γ n S d

Phương trình đại số rời rạc cho tấm Mindlin chịu ứng xử tĩnh có thể được viết lại nhƣ sau

KdF (2.10) trong đó K là ma trận độ cứng tổng thể, F là véc tơ tải và lần lƣợt đƣợc tính bởi d d

    (2.12) ở đây f b là phần còn lại của F trên biên.

Phần tử tấm Mindlin 3 nút MIN3 [10]

Phần tử tấm Mindlin 3 nút MIN3 đã đƣợc Tessler và Hughes đề xuất [10] Trong phần tử này, hai góc xoay  x ,  y tại 3 đỉnh phần tử đƣợc xấp xỉ tuyến tính nhƣ sau

= = , = = (2.13) trong đó θ x = x 1  x 2  x 3  T và θ y = y 1  y 2  y 3  T chứa bậc tự do của góc xoay tại 3 nút của phần tử; N = N 1 N 2 N 3 là hàm dạng tuyến tính tại nút i. Độ võng ban đầu w đƣợc giả định là bậc 2 nhƣ sau

= = (2.14) trong đó R =   N 1  2N - 1 1  N 2  2N - 1 2  N 3  2N - 1 3  4N N 1 2 4N N 2 3 4N N 3 1   là véc tơ hàm dạng bậc 2 và w ini= w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6  T chứa bậc tự do độ võng tại 6 nút (ba nút của phần tử và ba nút tại trung điểm cạnh phần tử) nhƣ trong Bảng 2.1

Bảng 2.1 Cấu hình nút ban đầu (không chịu ràng buộc cắt) và cấu hình nút lúc sau

(đã chịu ràng buộc cắt) trong phần tử tấm MIN3

Cấu hình phần tử nút ban đầu

Cấu hình nút chịu ràng buộc w  x ,  y cắt

: nút có 3 bậc tự do (độ võng w và 2 góc xoay  x ,  y )

: nút có 1 bậc tự do (độ võng w)

Sử dụng ràng buộc Kirchhoff (biến dạng cắt = 0) nhƣ Bảng 2.1 tại 3 điểm giữa cạnh phần tử

(2.17) trong đó (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) và (x 3 , y 3 ) là tọa độ 3 nút của phần tử tam giác và đƣợc thể hiện trên Hình 2.3

Hình 2.3 Tọa độ địa phương và tọa độ tự nhiên cho phần tử tấm tam giác 3 nút

Thay công thức (2.16) vào công thức (2.14), ta thu được trường chuyển vị xấp xỉ w theo chuyển vị ba nút đỉnh của phần tử nhƣ sau

17 trong đó w= w 1 w 2 w 3  T , H H 1 H 2 H 3  , L L 1 L 2 L 3  là các véc tơ hàm dạng với H i và L i , i=1, 2, 3 đƣợc cho bởi

(2.19) với r, s là các tọa độ tự nhiên

Ma trận độ cứng phần tử K MIN3 e khi đó được viết lại dưới dạng

Theo [36], ta cần thêm hệ số ổn định vào ma trận vật liệu lực cắt để cải tiến độ chính xác cho phương pháp xấp xỉ, bằng cách thay D s bởi D s

    (2.22) trong đó h e là chiều dài cạnh dài nhất của phần tử [37] Trong luận văn này,  đƣợc chọn là hằng số dương lấy bằng 0.1 [36].

Phần tử tấm Mindlin 3 nút đƣợc làm trơn dựa trên phần tử (CS-MIN3) [2]

Trong CS-MIN3, mỗi phần tử tam giác đƣợc chia thành ba tam giác con bằng cách kết nối điểm trọng tâm của phần tử đến ba nút của phần tử đó Véc tơ chuyển vị tại điểm trọng tâm đƣợc giả định là trung bình của ba véc tơ chuyển vị đỉnh Trong mỗi cả ba tam giác con này

Xét một phần tử tam giác  e đƣợc chia thành 3 phần tử tam giác con 1, 2, 3 bằng cách nối điểm trọng tâm O với 3 đỉnh của phần tử nhƣ minh họa ở Hình 2.4

Hình 2.4 Ba tam giác con ( 1 ,  2 và  3 ) đƣợc tạo từ một phần tử tam giác trong

Trong phần tử CS-MIN3, ta giả định véc tơ chuyển vị tại trọng tâm O, d eO , là trung bình cộng của véc tơ chuyển vị d , e 1 d e 2, và d e 3 tại ba nút

Trong tam giác con  1 (tam giác O12), ta xấp xỉ trường chuyển vị tuyến tính u e  1 nhƣ sau

      u e  1 N 1  1 x d eO N 2  1 x d e1 N 3  1 x d e2 N  1 d  1 (2.24) trong đó d  1  d e 0 d e 1 d e 2  T ; N  1  N 1  1 N 2  1 N 3  1  lần lƣợt là véc tơ chuyển vị và véc tơ hàm dạng tuyến tính tại nút O, 1, 2 của tam giác con thứ nhất Độ cong  1 và biến dạng cắt  1 trong tam giác con  1 khi đó có thể đƣợc tính bởi

Tam giác con Điểm trọng tâm

Ma trận B và S của MIN3 được tính giống như trong công thức (2.21), nhưng thay tọa độ ba nút bằng tọa độ của x0, x1 và x2 Diện tích tam giác A e được thay bằng diện tích A  1 của tam giác con  1

Thế công thức (2.23) vào (2.25) và rút gọn, ta đƣợc

Tương tự, ta có độ cong và biến dạng cắt của 2 tam giác con còn lại  2,  3 là

(2.28) Áp dụng kỹ thuật trơn biến dạng trong CS-FEM (cell-based strain smoothing element) [14, 38] cho các biến dạng trong ba tam giác con  1 ,  2 và  3 , ta thu đƣợc biến dạng uốn trơn κ e và biến dạng cắt trơn γ e cho phần tử tam giác  e nhƣ sau

(2.29) trong đó  e là hàm trơn làm trơn thỏa mãn đặc tính đơn vị   x d 1 e e

 , và A  i là diện tích các tam giác con tương ứng Bằng cách sử dụng hàm làm trơn dạng Heaviside

 trong đó A e là diện tích của tam giác  e , biến dạng uốn trơn κ e và biến dạng cắt trơn γ e có thể được viết lại dưới dạng

Thay các công thức (2.26), (2.27) và (2.28), vào (2.30) ta đƣợc κ Bd γ Sd e e

Ma trận độ cứng tổng thể của CS-MIN3 khi đó có dạng

K K (2.33) trong đó K e là ma trận độ cứng phần tử và đƣợc tính bởi d d

Lý thuyết tấm Mindlin áp dụng cho tấm composite laminate [1]

2.6.1 Định luật Hooke Để thiết lập các phương trình cơ bản cho kết cấu composite nhiều lớp, ta có những giả định sau:

 Các lớp trong kết cấu tấm composite nhiều lớp phải liên tục, tức là không bị lệch hoặc có khoảng trống giữa các lớp Giả định này đƣợc áp dụng để nghiên cứu ứng xử cơ học vĩ mô của kết cấu composite

 Các lớp ứng xử nhƣ là vật liệu đàn hồi Định luật Hooke đƣợc áp dụng để nghiên cứu ứng xử cơ học vi mô của kết cấu composite

Khi đó định luật Hooke cho lớp thứ (k) được viết cho vật liệu dị hướng có dạng ij Q ij ij

   (2.35) với Q ij là ma trận hệ số vật liệu trong hệ tọa độ địa phương

Các giả định dùng để xác định các hằng số kỹ thuật của vật liệu composite gia cường cốt sợi gồm:

 Liên kết giữa cốt gia cường và vật liệu nền là liên kết bền

 Cốt gia cường phân bố song song hoặc phân bố đều trong kết cấu tấm

 Vật liệu nền đồng nhất, không có vết nứt và ở trạng thái không ứng suất ban đầu

 Cốt gia cường và vật liệu nền đều đẳng hướng và tuân theo định luật

 Tải trọng tác dụng song song hoặc vuông góc với phương của cốt gia cường

Hình 2.5 Kết cấu tấm composite gia cường sợi một phương trong hệ trục vật liệu

Các hệ trục vật liệu chính của kết cấu tấm composite gia cường sợi một phương tạo thành một tam diện thuận Phương và chiều của các trục như sau: một trục theo phương của sợi hay phương cơ bản, hai trục kia vuông góc với nhau và vuông góc với trục trên Mô-đun đàn hồi và hệ số Poisson của vật liệu composite nhiều lớp đƣợc tính toán dựa trên mô-đun đàn hồi Young, hệ số Poisson và khối lƣợng thể tích của cốt gia cường và vật liệu nền x 1 x 2 x 3

E E : mô-đun đàn hồi Young của cốt gia cường và vật liệu nền; f , m

G G : mô-đun đàn hồi trượt của cốt gia cường và vật liệu nền; f , m

  : hệ số Poisson của cốt gia cường và vật liệu nền; f , m

  : khối lượng thể tích của cốt gia cường và vật liệu nền;

E E : mô-đun đàn hồi Young theo phương dọc và phương ngang sợi gia cường;

G 12: mô-đun đàn hồi trƣợt;

2.6.3 Quan hệ ứng suất – biến dạng

Quan hệ ứng suất – biến dạng trong hệ trục tọa độ vật liệu 2.6.3.1

Tấm composite cốt gia cường một phương như chỉ trong Hình 2.5 được xem như là vật liệu trực hướng với trục vật liệu x 1 song song với phương của cốt gia cường

Trục x 2 vuông góc với trục x 1 , và trục x 3 vuông góc với mặt phẳng tấm

Trong hệ trục tọa độ vật liệu, ma trận hằng số vật liệu Q ij đƣợc rút gọn có dạng

(2.37) trong đó Q ij là các hệ số vật liệu của từng lớp Đối với lớp thứ (k) trong kết cấu tấm composite laminate, Q ij ( ) k đƣợc định nghĩa nhƣ sau

Quan hệ ứng suất – biến dạng trong hệ trục tọa độ tổng thể [39]

Cấu tạo vật liệu composite được tạo thành từ nhiều lớp liên tiếp, trong đó phương của hướng sợi hay phương cơ bản của mỗi lớp khác nhau, do đó để nghiên cứu ứng xử đàn hồi của vật liệu này ta cần quy đổi phương trình ứng xử của từng lớp trong các hệ trục tọa độ địa phương (theo lớp) về hệ trục tọa độ tổng thể

Xét 1 tấm composite laminate có n lớp trực hướng, mỗi lớp có chiều dày h và tổng bề dày là t Hệ trục tọa độ vật liệu tại mặt trung bình tấm là (x 1 , x 2 , x 3 ) và góc hướng sợi là α như được minh họa trong Hình 2.6

Hình 2.6 Kết cấu tấm composite gia cường sợi một phương trong hệ trục tổng thể và định nghĩa vị trí lớp trong tấm z=x 3 x 2 y x 1 x

Lớp-1 Lớp-2 Lớp-k Lớp-n z 2 z n zk z1 zk+1

25 Đa số trong các trường hợp, trục vật liệu (x 1 , x 2 , x 3 ) không trùng với trục hình học (x, y, z), do đó định luật Hooke đƣợc viết lại σ (k) Q ε, (k) τ (k) C γ (k) s (2.39) trong đó

   6là những hệ số điều chỉnh cắt Q (i, j = 1,2,4,5,6) ij đƣợc tính bởi

4 sin cos sin cos sin 2 2 sin cos cos

2 2 sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos

Quan hệ ứng suất-biến dạng của tấm composite laminate có dạng σ p C ε p p , T C γ s (2.43) trong đó

        ở đây N   N x N y N xy  T là vec tơ lực màng trong mặt phẳng tấm; T là vec tơ lực cắt ngang; M   M x M y M xy  T là vec tơ moment uốn Các hợp lực N, M, T trên một đơn vị chiều dài đƣợc định nghĩa nhƣ sau

, , x h x x h x h x xz y y y y y yz h h h xy xy xy xy

Thay phương trình (2.2), (2.4) và (2.3) vào phương trình (2.45), quan hệ giữa các thành phần ứng suất tổng và biến dạng của lớp laminate thu đƣợc nhƣ sau

    (2.48) hay ở dạng ký hiệu ma trận, ta có

T C γ ij ij ij ij ij

(2.49) trong đó A ij là ma trận độ cứng màng; B ij là ma trận độ cứng kết hợp; D ij là ma trận độ cứng uốn và C ij là ma trận độ cứng cắt, và lần lƣợt đƣợc định nghĩa nhƣ sau

Phân tích phi tuyến hình học cho tấm [39, 40]

Dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất (FSDT) ta có

(2.54) trong đó (u, v, w) là chuyển vị lần lượt theo phương x, y, z và được xem là hàm chuyển vị của mặt trung bình (u o , v o , w o ) và góc xoay ( x , y ) Đối với phân tích biến dạng lớn, các véc tơ biến dạng trong mặt phẳng của

Green-Lagrange tại một điểm bất kỳ trong phần tử tấm là

Thay (2.54) vào (2.55) và kết hợp với giả thuyết biến dạng lớn của von Karman [40], véc tơ biến dạng đƣợc viết lại bằng ε ε m z ε b (2.56) trong đó ,

(2.58) trong đó ε L m là véc tơ biến dạng màng tuyến tính được viết lại dưới dạng

(2.59) và ε NL m là véc tơ biến dạng màng phi tuyến được viết lại dưới dạng

Tính véc tơ biến dạng màng tuyến tính phần tử ε L me 2.7.1.1

Trong phân tích ứng xử tấm composite laminate, véc tơ chuyển vị u e của phần tử Ω e đƣợc xấp xỉ bởi năm bậc tự do tại mỗi nút nhƣ sau

Thế xấp xỉ u, v trong công thức (2.61) vào (2.59), biến dạng màng ε L me của phần tử Ω e đƣợc viết lại theo các chuyển vị tại nút nhƣ sau

L L i i me mi ei i i i xi i yi

  (2.62) trong đó B L mi là ma trận gradient biến dạng màng tuyến tính phần tử tại nút thứ i và có dạng

Nhƣ vậy để tính ma trận B L mi , ta cần viết hiện các đạo hàm N i x

 Quá trình tính toán này đƣợc thực hiện nhƣ sau Từ công thức (2.19) lấy đạo hàm của hàm dạng tại nút trong hệ tọa độ tự nhiên, ta đƣợc

Thực hiện việc đổi biến trong hệ tọa độ tổng thể và kết hợp với công thức (2.17), ta đƣợc

Ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ khi đó có dạng

=2 = (2.67) với A là diện tích phần tử tam giác đang xét

Nhƣ vậy ta đã xác định đƣợc dạng hiện của đạo hàm hàm dạng N i x

Thay thế (2.69) vào (2.63) và áp dụng lần lượt cho ba nút, ta được công thức tính ma trận gradient biến dạng màng tuyến tính phần tử BmL như sau:

Do đó từ công thức (2.62) và (2.70), véc tơ biến dạng màng tuyến tính phần tử ε me L đƣợc tính nhƣ sau ε L me B d m e L (2.71) trong đó

  y1 y2 y3 là véc tơ chuyển vị tại nút của phần tử Ω e

Tính véc tơ biến dạng màng phi tuyến phần tử ε me NL 2.7.1.2

Từ công thức (2.60), biến dạng màng phi tuyến ε m NL đƣợc viết lại nhƣ sau

Thay xấp xỉ độ võng w trong công thức (2.61) vào (2.72), biến dạng màng phi tuyến ε NL me của phần tử Ω e đƣợc viết lại theo các chuyển vị tại nút nhƣ sau

NL NL me i i ei mi ei i i i i xi yi x w

(2.73) trong đó B mi NL là ma trận gradient biến dạng màng phi tuyến phần tử tại nút thứ i và đƣợc tính bởi

B mi NL HR i (2.74) khi đó ma trận R của phần tử sau khi đƣợc thay các đạo hàm hàm dạng N i x

 trong công thức (2.69) và áp dụng lần lƣợt cho ba nút sẽ có dạng nhƣ sau

Do đó từ công thức (2.73), (2.74) và (2.75), véc tơ biến dạng màng phi tuyến phần tử ε me NL đƣợc tính nhƣ sau

1 ε me NL  2B d NL m e (2.76) trong đó B m NL là ma trận gradient biến dạng màng phi tuyến phần tử tại nút thứ i và đƣợc tính bởi

Tính véc tơ biến dạng uốn phần tử ε be 2.7.1.3

Từ công thức (2.57), biến dạng uốn ε b được viết lại dưới dạng

Thế xấp xỉ  x và  y trong công thức (2.61) vào (2.78), biến dạng uốn ε be của phần tử Ω e đƣợc viết lại theo các chuyển vị tại nút nhƣ sau

0 0 0 d B ε B d i bi i i i i i be bi ei i i xi i i yi

  (2.79) trong đó B bi là ma trận gradient biến dạng uốn phần tử tại nút thứ i và có dạng

Thay các đạo hàm hàm dạng N i x

 trong công thức (2.69) vào (2.80) và áp dụng lần lƣợt cho 3 nút ta đƣợc ma trận gradient biến dạng uốn phần tử B b có dạng

Tính véc tơ biến dạng cắt phần tử γ e 2.7.1.4

Từ các công thức (2.3) và (2.68), biến dạng cắt γ đƣợc viết lại nhƣ sau

Sử dụng H i và L i trong (2.18) và thay các xấp xỉ w,  x và  y trong công thức (2.61) vào g, ta tính đƣợc véc tơ g e của phần tử Ω e nhƣ sau

Bi ei r i r i r i r i i s i s i s i s e i Bi ei x i i i xi y e i yi w N L H u w N L H v w N

Thế (2.84) vào (2.83), ta đƣợc công thức tính biến dạng cắt γ e của phần tử Ω e đƣợc viết lại theo các chuyển vị tại nút nhƣ sau

 (2.85) trong đó B si là ma trận gradient biến dạng cắt phần tử tại nút thứ i có dạng

Do đó từ công thức (2.85) và (2.86) véc tơ biến dạng cắt γ e phần tử đƣợc tính nhƣ sau γ e B d s e (2.87) trong đó B s là ma trận gradient biến dạng cắt phần tử, đƣợc tính bởi

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của tấm composite laminate cho 2.7.1.5 ứng xử phi tuyến hình học

Từ công thức (2.49), mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của tấm laminate phát triển cho ứng xử phi tuyến hình học có dạng

(2.90) ở đây N, M, T đƣợc định nghĩa nhƣ (2.44); A là ma trận độ cứng mở rộng đƣợc tính nhƣ (2.50); B là ma trận độ cứng liên kết uốn mở rộng đƣợc tính nhƣ (2.51); D là ma trận độ cứng uốn đƣợc tính nhƣ (2.52); C s là ma trận độ cứng cắt ngang đƣợc tính nhƣ (2.53); ε b là véc tơ biến dạng uốn và đƣợc lắp ghép từ các véc tơ biến dạng uốn phần tử ε be theo công thức (2.82); γ là véc tơ biến dạng cắt và đƣợc lắp ghép từ các véc tơ biến dạng cắt phần tử γ e theo công thức (2.87) và véc tơ biến dạng màng ε m đƣợc tính bởi

1 ε m ε m L 2ε m NL (2.91) trong đó ε L m là véc tơ biến dạng màng tuyến tính và đƣợc lắp ghép từ các véc tơ biến dạng màng tuyến tính phần tử ε me L theo công thức (2.71); ε m NL là véc tơ biến dạng màng phi tuyến và đƣợc lắp ghép từ các véc tơ biến dạng màng phi tuyến phần tử ε me NL theo công thức (2.76)

2.7.2 Thuật toán giải phi tuyến hình học Để thành lập phương trình ứng xử phi tuyến hình học, có hai phương pháp phổ biến hiện nay gồm phương pháp Lagrange toàn cục (TLF) và phương pháp Lagrange cập nhật (ULF) Trong phương pháp Lagrange toàn cục (TLF), các đại lượng trong cấu với cấu hình ban đầu C 0 (cấu hình chưa biến dạng) Còn trong phương pháp Lagrange cập nhật (ULF) các đại lƣợng trong cấu hình biến dạng C j sẽ đƣợc tính toán thông qua các đại lượng tương ứng với cấu hình biến dạng trước đó C j  1 Cơ sở lý thuyết của hai phương pháp này có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo của Reddy [40]

Sau khi có phương trình ứng xử phi tuyến hình học, ta cần sử dụng một phương pháp giải lặp phù hợp để tìm nghiệm Có ba nhóm phương pháp giải lặp phổ biến hiện nay gồm: phương pháp gia tăng đơn giản, phương pháp lặp trực tiếp và phương pháp lặp gia tăng Cụ thể,

 Trong phương pháp gia tăng đơn giản, ứng xử phi tuyến được xem là một chuỗi các phân tích tuyến tính Do đó ta cần thực hiện việc chia tải trọng tác dụng thành nhiều bước tải Ngoài ra, các bước gia tăng tải phải đủ nhỏ để đảm bảo kết quả hội tụ cũng nhƣ để hạn chế sai số Chi phí tính toán của phương pháp này vì vậy khá cao và thời gian thực hiện kéo dài

 Trong phương pháp lặp trực tiếp, toàn bộ tải trọng sẽ được sử dụng một lần mà không phải chia nhỏ như phương pháp gia tăng đơn giản Tuy nhiên phương pháp này lại sử dụng ma trận độ cứng cát tuyến chứ không phải ma trận độ cứng tiếp tuyến Trong mỗi vòng lặp, toàn bộ tải trọng sẽ đƣợc sử dụng để tìm nghiệm chuyển vị Dựa trên chuyển vị đã tính toán, ta cập nhật biến dạng, nội lực,… để tính ma trận độ cứng cát tuyến mới Ở vòng lặp tiếp theo ta tiếp tục giải tìm chuyển vị mới Sự hội tụ đƣợc đánh giá thông qua các sai số cho phép của chuyển vị hoặc nội lực giữa 2 bước lặp kề nhau Điểm hạn chế của phương pháp là khả năng hội tụ không chắc chắn và tốc độ hội tụ chậm

 Trong phương pháp lặp gia tăng, ta kết hợp cả những ưu điểm của phương pháp gia tăng đơn giản và phương pháp lặp trực tiếp Phép lặp Newton-Raphson là một trong số các phép lặp khác nhau trong phương pháp lặp gia tăng

Trong phạm vi luận văn, tác giả giải quyết ví dụ phi tuyến hình học cho tấm composite laminate với giả thuyết chuyển vị lớn và biến dạng nhỏ nên tác giả chọn phương pháp Lagrange toàn cục và phép lặp Newton-Raphson để giải

2.7.3 Phương pháp Lagrange toàn cục

Công thức PTHH cho phương pháp này được thể hiện như sau

 (2.92) trong đó t F là nội lực phần tử tại thời điểm t; t  t P là ngoại lực phần tử tại thời điểm t t; d là độ tăng chuyển vị phần tử; t K T là ma trận độ cứng phần tử tiếp tuyến tại thời điểm t và đƣợc tính bởi

K T K L K NL K g (2.93) ở đâyK L là ma trận độ cứng tuyến tính; K NL là ma trận độ cứng phi tuyến; K g là ma trận độ cứng hình học

Ma trận K L đƣợc tính bởi công thức

  d (2.94) trong đó B L là gradient biến dạng tuyến tính đƣợc cho bởi

Ma trận K NL đƣợc tính bởi công thức

K NL (B D B T L NL B T NL D B L B T NL D B NL )

     (2.96) trong đó B NL là gradient biến dạng phi tuyến đƣợc cho bởi

(2.97) dạng màng phi tuyến B NL m , ma trận gradient biến dạng uốn B b và ma trận gradient biến dạng cắt B s đƣợc tính nhƣ các công thức trong mục 2.7.1

Ma trận độ cứng hình học phần tử đƣợc mô tả bởi d

   (2.98) trong đó G đƣợc tính bởi công thức (2.72) và Ncó dạng

Chú ý, sử dụng các ma trận B L và B NL trong các công thức (2.94) và (2.96), véc tơ biến dạng ε * trong công thức (2.89) có thể đƣợc viết lại nhƣ sau

2.7.4 Biến dạng phi tuyến trong phần tử CS-MIN3

Tương tự như cách tính các biến dạng tuyến tính của phần tử CS-MIN3 trong mục 2.5, trường biến dạng phi tuyến phần tử cũng được tính toán dựa trên các tam giác con ∆ i bằng phần tử MIN3 và đƣợc làm trơn trên toàn bộ phần tử bởi hàm trơn hóa

Trong dạng tổng quát, các ma trận B L và B NL sẽ có dạng

Ma trận độ cứng phần tử tiếp tuyến K T trơn của phần tử CS-MIN3 khi đó sẽ đƣợc tính bởi

Nội lực phần tử tại thời điểm t đƣợc tính bởi

 (2.105) trong đó ứng suất sau vòng lặp thứ i th có dạng

* * * σ = σ σ t t t i  i   (2.106) và ứng suất gia tăng đƣợc tính bởi

Cuối cùng phương trình phi tuyến được viết lại là

 (2.108) Để giải phương trình phi tuyến (2.108) ta dùng phép lặp Newton – Raphson được mô tả qua các bước sau

Bước 1: nhập thông số hình học, thuộc tính vật liệu và các hệ số tính toán sai số hội tụ ε = 0.001

O Số bước tải gia tăng n=1: maxinc

O Tính hệ số tải trọng =1/maxinc

 cập nhật véc tơ chuyển vị nút: u ( ) n i u ( n i  1 )  u ( ) i

VÍ DỤ SỐ

Ví dụ 1: Tấm vuông composite laminate 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] với biên ngàm 4 cạnh và biên gối SS3

Xét tấm vuông 4 lớp cross-ply có chiều dài L = 12 inch và chiều dày t = 0.096 inch

Tấm vật liệu có đặc tính đàn hồi: mô đun đàn hồi E1 = 1.82826x106 psi, E2 = 1.8315x106 psi, mô đun cắt G12 = G13 = G23 = 3.125x105 psi, hệ số Poisson ν12 = 0.23949 Tấm được chia thành lưới phần tử 10x10 và chịu tải trọng phân bố đều q0 = 2.0 psi, chia thành 100 bước gia tải Đối với bài toán biên ngàm, các nút trên biên được khống chế 5 bậc tự do gồm u0 = v0 = w0 = θx = θy = 0 Đối với bài toán biên gối SS3, các nút trên biên được khống chế 3 bậc tự do gồm u0 = v0 = w0 = 0.

Hình 3.2 Miền hình học và rời rạc lưới nút phần tử 10x10 cho kết cấu tấm vuông

Bảng 3.1 và Hình 3.3 trình bày kết quả chuyển vị tại tâm tấm (L/2, L/2, 0) đƣợc chọn từ những bước gia tăng tải P=0.4 psi bằng phần tử CS-MIN3 với các lưới chia khác nhau Kết quả cũng đƣợc so sánh với các tài liệu tham khảo gồm: kết quả ANSYS, kết quả thực nghiệm của Putcha và Reddy (1986), kết quả số từ phần tử Mixed của Putcha và Reddy (1986) [24], phần tử Q9 của Reddy [1], phần tử RDKQ-NL20(24) của Zhang và Kim (2006) [26] và kết quả từ phân tích tuyến tính

Từ kết quả ở Bảng 3.1 và Bảng 3.2, ta thấy có sự phù hợp tốt giữa kết quả của CS-MIN3 với các kết quả tham khảo, nhất là với kết quả từ phần mềm ANSYS Sai số lớn nhất trong cả hai trường hợp biên tựa và biên ngàm giữa nghiệm CS-MIN3 với nghiệm của ANSYS là dưới 1.5% Kết quả CS-MIN3 hội tụ theo độ mịn của lưới chia Đến lưới chia 12x12 thì kết quả của CS-MIN3 gần như trùng khớp với kết quả từ ANSYS Điều đó khẳng định sự đúng đắn khi dùng phần tử CS-MIN3 để phân tích ứng xử phi tuyến hình học của tấm composite laminate

200 phân tích bài toán tấm chịu biên gối nhƣ chỉ trong Hình 3.4 Với cùng giá trị tải trọng, thì chuyển vị của bài toán phi tuyến nhỏ hơn nhiều so với chuyển vị của bài toán tuyến tính Điều này là do trong kết cấu tấm khi chịu tải, có xuất hiện thêm thành phần lực màng ngăn cản sự võng xuống của kết cấu Lời giải phi tuyến vì vậy mô tả sát với ứng xử thật của kết cấu hơn là lời giải tuyến tính

Ta cũng chú ý rằng chuyển vị lớn nhất tại tâm tấm khi biên gối là lớn hơn so với biên ngàm (0.181 inch so với 0.161 inch nhƣ đƣợc thể hiện ở Hình 3.4) Điều đó phản ánh đúng thực tế ứng xử của kết cấu (biên ngàm bị ràng buộc bậc tự do nhiều hơn biên gối) Hình 3.5 mô tả ứng xử của tấm composite laminate khi chịu tải trọng lặp gia tăng, với từng khoảng tăng tải đều nhau q 0 = 0.4 thì chuyển vị võng xuống với những giá trị phù hợp với ứng xử của kết cấu

Bảng 3.1 Chuyển vị tại tâm của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] với biên ngàm khi chịu tải phân bố đều q 0

Bảng 3.2 Chuyển vị tại tâm của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] với biên gối SS3 khi chịu tải phân bố đều q 0

Hình 3.3 Quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] với biên ngàm và lưới chia 10x10

Hình 3.4 Quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] với biên gối SS3 và lưới chia 10x10

Hình 3.5 So sánh quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0

/0 0 ] chịu biên ngàm và biên gối với lưới chia 10x10

CS-MIN3 ANSYS Tuyen tinh

Tai trong q 0 (psi) Bien goi

Hình 3.6 Chuyển vị của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] với biên ngàm khi chịu tải trọng lặp gia tăng.

Ví dụ 2: Tấm vuông composite laminate 8 lớp [0 0 ] 8 với biên gối SS1

Xét tấm vuông composite 8 lớp [0 0 ] 8 có chiều dài cạnh L = 12 inch và dày t = 0.138 inch Tấm có các đặc trƣng tính vật liệu nhƣ sau: mô đun đàn hồi E 1 = 3.0 x 10 6 psi,

Tấm vật liệu có đặc tính cơ học như sau: mô đun Young theo hướng 1 là E 1 = 1,28 x 10 6 psi, mô đun trượt theo hướng G 12 = G 13 = G 23 = 3,7 x 10 5 psi và hệ số Poisson  12 = 0,32 Tấm chịu tải phân bố đều q 0 = 2,0 psi được chia thành 10 bước gia tải Tấm được gối theo điều kiện biên SS1, với các điều kiện biên cụ thể như sau: u 0 w 0  y 0 đối với cạnh song song trục x, v 0 w 0  x 0 đối với cạnh song song trục y.

Bảng 3.3 trình bày kết quả chuyển vị tại tâm tấm (L/2, L/2, 0) đƣợc chọn từ những bước gia tăng tải P=0.4 bằng phần tử CS-MIN3 và MIN3 Kết quả cũng đƣợc so sánh với các tài liệu tham khảo gồm: kết quả của ANSYS, kết quả thực nghiệm của Zaghloul và Kennedy (1975) [23], kết quả số từ phần tử LACOT (tam giác 3 nút) của Agryris và Tenek [25], và kết quả từ phần tử RDKQ-NL20(24) của Zhang và Kim (2006) [26]

Từ kết quả ở Bảng 3.3 và Hình 3.7, ta thấy rằng nghiệm của phần tử CS-MIN3 có sự phù hợp tốt với các nghiệm tham khảo, nhất là đối với nghiệm của ANSYS

So với giải pháp ANSYS, kết quả của phần mềm CS-MIN3 chỉ chênh lệch dưới 2% ở phép tính tải q0 = 0,4 Ở những phép tính tải tiếp theo, sai số dao động quanh 0,5% Đối chiếu với dữ liệu thực nghiệm, độ sai số của CS-MIN3 dưới 3% ở tất cả các bước tải, như minh họa ở Hình 3.9 Khi sử dụng cùng số lưới chia, cả hai giải pháp đều cho kết quả khá giống nhau.

Sử dụng phần tử CS-MIN3 cho kết quả tốt hơn MIN3, giúp giảm chuyển vị tấm do tính trơn mượt của nó Ở lưới chia 12x12, CS-MIN3 gần tương đương với ANSYS với sai số tối đa dưới 0,3%, chứng minh tính chính xác của CS-MIN3 trong phân tích ứng xử phi tuyến hình học của tấm composite Hình 3.8 minh họa ứng xử của tấm composite dưới tải trọng lặp gia tăng P=0,4 psi, phản ánh chính xác xu hướng ứng xử của cấu trúc.

Hình 3.7 Quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 8 lớp [0 0 ] 8 với biên gối SS1 và lưới chia 10x10

Hình 3.8 Chuyển vị của tấm vuông 8 lớp [0 0 ] 8 với biên gối SS1 khi chịu tải trọng lặp gia tăng

Hình 3.9 Sai số chuyển vị tại tâm tấm vuông 8 lớp [0 0 ] 8 với biên gối SS1 so với thực nghiệm, với lưới chia 10x10.

Ví dụ 3: Tấm vuông composite laminate 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] với biên gối SS2

Xét tấm vuông 4 lớp cross-ply với thứ tự các lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] Tấm có đặc trƣng vật liệu nhƣ sau: mô đun đàn hồi E 1 /E 2 = 25, mô đun đàn hồi trƣợt G 12 = G 13

= 0.5E 2 , G 23 = 0.2E 2 và hệ số poisson  12 = 0.25 Phân tích ứng xử của tấm đƣợc thực hiện với các tỉ lệ chiều dài / bề dày khác nhau, L/t = 10, 20, 40 Tấm có điều kiện biên gối SS2 trong đó u 0 v 0 w 0  y 0 đối với cạnh song song trục x và

0 0 0 x 0 u v w   đối với cạnh song song trục y Lưới phần tử 8x8 được chia nhƣ Hình 3.10

Hình 3.10 Miền hình học và rời rạc lưới nút phần tử 8x8 cho kết cấu tấm vuông

Bảng 3.4 trình bày kết quả chuyển vị không thứ nguyên w*= w/t tại tâm tấm bằng phần tử CS-MIN3 và MIN3 Kết quả cũng đƣợc so sánh với các kết quả tham

Từ kết quả trình bày ở Bảng 3.4 đƣợc minh họa ở Hình 3.11, Hình 3.12, Hình 3.13, ta thấy có sự phù hợp tốt giữa kết quả của CS-MIN3 với kết quả từ phần mềm ANSYS và các kết quả tham khảo khác Với tỉ lệ L/t và L/t@ ứng với các tấm mỏng, sai số lớn nhất giữa nghiệm của CS-MIN3 so với ANSYS và các nghiệm tham khảo là dưới 2.7% Khi tỉ lệ L/t ứng với tấm có bề dày trung bình thì sai số lớn hơn 2 trường hợp kia, tuy nhiên sai số lớn nhất cũng dưới 3.7% Trong lĩnh vực xây dựng, thì các sai số này hoàn toàn chấp nhận đƣợc Nghiệm của CS-MIN3 là tốt hơn so với nghiệm của MIN3 và không xảy ra hiện tƣợng “shear locking”

Hình 3.14 cho thấy khi chiều dày tấm mỏng dần thì độ võng của tấm cũng giảm dần Điều này chứng tỏ trật tự sắp xếp lớp và phương của góc sợi ít ảnh hưởng đến độ võng của tấm composite nhiều lớp khi tấm là mỏng Khi tấm là dày, do ảnh hưởng của biến dạng trượt nên trật tự sắp xếp các lớp cũng như số lượng lớp lamina sẽ ảnh hưởng đáng kể đến độ cứng của tấm và do đó độ võng khảo sát tại tâm tấm sẽ bị ảnh hưởng Hình 3.15 mô tả ứng xử của tấm composite laminate khi chịu tải trọng lặp gia tăng, kết quả cũng phản ánh đúng xu thế ứng xử của kết cấu

Bảng 3.4 Chuyển vị tại tâm w*= w/t của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] với biên gối khi chịu tải phân bố đều

( 2 ) q L E h CS-MIN3 MIN3 ANSYS Analytic HSDT RDKQ-

` Hình 3.11 Quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] có tỉ lệ L/t = 10, với biên gối SS2 và lưới chia 8x8

Hình 3.12 Quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] có tỉ lệ L/t = 20, với biên gối SS2 và lưới chia 8x8

Hình 3.13 Quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] có tỉ lệ L/t = 40, với biên gối SS2 và lưới chia 8x8

Hình 3.14 Ảnh hưởng của tỉ lệ L/t đến độ võng tại tâm tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0

/0 0 ] với biên gối SS2 và lưới chia 8x8

Hình 3.15 Chuyển vị của tấm vuông 4 lớp [0 0 / 90 0 / 90 0 /0 0 ] khi chịu tải trọng lặp gia tăng ứng với tỉ lệ L/t = 40, với biên gối SS2 và lưới chia 8x8.

Ví dụ 4: Tấm vuông composite laminate 2 lớp [0 0 / 90 0 ] biên ngàm 4 cạnh

Xét tấm vuông composite laminate cross-ply biên ngàm 4 cạnh Tấm có đặc trƣng vật liệu nhƣ sau: mô đun đàn hồi E 1 /E 2 = 40, mô đun đàn hồi trƣợt G 12 = G 13 = 0.6E 2 , G 23 = 0.5E 2 và hệ số poisson  12 = 0.25 Tấm đƣợc phân tích với các tỉ lệ chiều dài / bề dày khác nhau, L/t = 10, 50, 100

Bảng 3.5 trình bày kết quả chuyển vị tại tâm tấm bằng phần tử CS-MIN3 và MIN3 Kết quả cũng đƣợc so sánh với các tài liệu tham khảo gồm: kết quả của ANSYS và kết quả từ phần tử MISQ20(24) [27]

Từ Bảng 3.5, nghiệm phần tử CS-MIN3 phù hợp với nghiệm tham khảo, đặc biệt là ANSYS Đối với tấm mỏng (L/tP và L/t0 thấp), sai số lớn nhất của CS-MIN3 so với ANSYS và nghiệm tham khảo khác dưới 1,24% (Hình 3.17 và 3.18) Khi L/t tăng (tấm trung bình), sai số này lớn hơn (Hình 3.16).

3.19 cho thấy chuyển vị lớn nhất tại tâm tấm ít thay đổi theo tỉ lệ L/tP đến L/t 100 Nghiệm của CS-MIN3 là tốt hơn so với nghiệm của MIN3 và không xảy ra hiện tƣợng “shear locking” Khi chiều dày tấm mỏng dần, độ võng của tấm cũng giảm dần Điều này chứng tỏ trật tự sắp xếp lớp và phương của góc sợi ít ảnh hưởng đến độ võng của tấm composite nhiều lớp khi tấm là mỏng Khi tấm là dày, do ảnh hưởng của biến dạng trượt, trật tự sắp xếp các lớp cũng như số lượng lớp lamina sẽ ảnh hưởng đáng kể đến độ cứng của tấm do đó độ võng khảo sát tại tâm tấm sẽ bị ảnh hưởng

E t CS-MIN3 MIN3 ANSYS MISQ20 MISQ24

Hình 3.16 Quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 2 lớp [0 0 / 90 0 ] có tỉ lệ L/t 10, với biên ngàm và lưới chia 8x8

Hình 3.17 Quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 2 lớp [0 0 / 90 0 ] có tỉ lệ L/t 50, với biên ngàm và lưới chia 8x8

Hình 3.18 Quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 2 lớp [0 0 / 90 0 ] có tỉ lệ L/t 100, với biên ngàm và lưới chia 8x8

Hình 3.19 Quan hệ chuyển vị - tải trọng của tấm vuông 2 lớp [0 0 / 90 0 ] với biên ngàm 4 cạnh và có xét đến ảnh hưởng của tỉ lệ L/t.