Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích ứng xử tấm Composite Laminate chịu tác dụng các loại tải trọng sử dụng phần tử 2-D chuyển động

Phân tích ứng xử tam composite laminate sử dung lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất chịu tác dung của các loại tải trọng bằng phương pháp phan tử tam chuyểnđộng MEM Moving Element Method..

ĐẠI HỌC QUOC GIA TP HO CHI MINHTRUONG DAI HOC BACH KHOA

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠITRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOAĐẠI HOC QUOC GIA TP HO CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:Cán bộ hướng dẫn: TS Lương Văn Hải

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Văn Hiếu

CHỦ TỊCH HỘI ĐÔNG

TS Nguyễn Sỹ Lâm

Chủ tịchThư kýỦy viênỦy viênỦy viên

TRƯỞNG KHOAKY THUAT XÂY DUNG

ĐẠI HỌC QUOC GIATP.HCM CỘNG HOA XÃ HOI CHU NGHĨA VIET NAMTRUONG DAI HOC BACH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hanh Phúc

NHIEM VỤ LUẬN VĂN THAC SĨ

Họ và tên học viên: PHAM HÙNG MSHV: 12210242Ngày, thang, năm sinh: 04/02/1988 Nơi sinh: BMT - Đắk LắkChuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

I TÊN DE TÀI: Phân tích ứng xử tam composite laminate chịu tác dụng cácloại tai trọng sử dụng phan tử 2-D chuyền động

Il NHIEM VU VÀ NOI DUNG1 Phân tích ứng xử tam composite laminate sử dung lý thuyết biến dạng cắt bậc

nhất chịu tác dung của các loại tải trọng bằng phương pháp phan tử tam chuyểnđộng MEM (Moving Element Method).

2 Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để thiết lập công thức tính toán các ví dụ số.3 Kêt quả của các ví dụ sô sẽ đưa ra các kêt luận quan trọng vê ứng xử của tam

composite laminate cũng như độ tin cậy của phương pháp phân tử chuyên động

MEM.

Ill NGAY GIAO NHIỆM VU : 15/08/2014IV NGAY HOÀN THÀNH NHIEM VU : 22/12/2014V HO VA TEN CÁN BO HUONG DAN: TS Lương Văn Hai

Tp HCM, ngày thang năm 2015

CAN BO HUONG DAN BAN QUAN LY CHUYEN NGANH

TS Lương Van Hai

TRUONG KHOA KY THUAT XAY DUNG

LỜI CÁM ƠN

Luận văn thạc sĩ Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp năm trong hệthống bài luận cuối khóa nhằm trang bị cho Học viên cao học khả năng tự nghiêncứu, biết cách giải quyết những vẫn đề cụ thể đặt ra trong thực tế xây dựng Đó làtrách nhiệm và niêm tự hào của mối học viên cao học.

Đê hoàn thành Luận văn này, ngoài sự cô găng và nô lực của bản thân, tôi đãnhận được sự giúp đỡ nhiêu từ tập thê và các cá nhân Tôi xin ghi nhận và tỏ lòngbiết ơn đến tập thé và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó

Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS Lương Văn Hải Thầyđã đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài và góp ý cho tôi rấtnhiều về cách nhận định đúng đắn trong những van dé nghiên cứu, cũng như cáchtiếp cận nghiên cứu hiệu quả

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy NCS Trần Minh Thi và quý Thầy Cô Khoa KỹThuật Xây Dựng, trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã truyền dạy những kiếnthức quý giá cho tôi, đó cũng là những kiến thức không thể thiếu trên con đườngnghiên cứu khoa học và sự nghiệp của tôi sau này.

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản

thân, tuy nhiên không thé không có những thiếu sót Kính mong quý Thay Cô chidẫn thêm để tôi bố sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân minh hơn

Xin trân trọng cảm ơn.

Tp HCM, ngày 03 tháng 02 năm 2015

Phạm Hùng

TOM TAT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Với nhu cầu phát triển ngày càng cao của thế giới, ngành xây dựng đóng vaitrò vô cùng quan trọng trong việc tạo nên các cơ sở hạ tầng vững chắc, nền móngcho sự phát triển của các ngành khác Các công trình xây dựng luôn đòi hỏi nhữngnhu cầu cải tiến công nghệ nhằm nâng cao chất lượng công trình Chính yếu tố đókhiến cho các nhà khoa học không ngừng tìm ra các vật liệu mới, cũng như nghiêncứu khả năng tối ưu của những vật liệu trong các môi trường khác nhau Đề từ đócó thé đáp ứng một cách thích hợp và hiệu quả nhất trong từng hạng mục công trìnhcụ thé Vật liệu composite đã có từ lâu va ứng dụng rất nhiều trong xây dung, đặcbiệt là vật liệu composite nhiều lớp (composite laminate) Nhờ đó các nghiên cứu vềứng xử tĩnh và động của loại vật liệu nay đóng vai trò rất quan trọng trong xây dựngnói riêng và các lĩnh vực khác trong xã hội nói chung.

Trong Luận văn nay, tác giả phân tích ứng xử tam composite laminate chịutác dụng các loại tải trọng trên nền đàn nhớt sử dụng lý thuyết biến dang cat bậcnhất cho tam dày Mỗi phan tử tam của lớp gdm có 5 biến số, trong đó có 3 chuyểnV1 là ạ„vạ ,w„ và 2 góc xoay pháp tuyến Ø, Ø, Phương pháp phân tử chuyển độngMEM (Moving Element Method) được ứng dung va phát trién dé phân tích bài toántắm chịu các loại tải trọng fĩnh và động Trong đó, một hệ tọa độ chuyển động (r.s)gan liền với tai trọng di động được trình bày va hệ tọa độ nay di chuyển với vận tốcV của lực di động Biến đổi phương trình chuyển động của tắm về hệ tọa độ chuyểnđộng (r.s) dựa trên phương trình dạng yếu Galerkin cho phân tích đáp ứng độngluc học của tam composite trên nền đàn nhớt Phan tử tứ giác 9 nút được áp dụng déphân tích ứng xử cho tâm Các bài toán phân tích dao động tĩnh và tự nhiên của tắmđược thực hiện với các loại tải trọng (tải phần bó, tải hình sin, tải tập trung) Đối vớibài toán động tác giả sử dụng thêm phương pháp Newmark để phân tích và khảosát các yêu tô ảnh hưởng đên ứng xử động của tâm.

MỤC LỤCNHIEM VỤ LUẬN VĂN THAC SĨ - -G s+sk S13 E1 3 cv Y1 Hưng cha iii

LỜI CAM ON co tt HH HH Hee ivTOM TAT LUẬN VAN THAC SĨ G5151 E12 SE vn gi VMỤC LỤỤC: QQQ HH re vịDANH MỤC CÁC HINH VỈP - G111 19111 51111191111 1111111 1g ri ixDANH MỤC CAC BANG BIEU - 6E 519121 SE 11128 E1 ng: xiiMOT SO KY HIEU VIET TAT ccccccccscsceccecescesecscscecsecevscscececsevevscsceceavacaceceeveves XỈVCHUONG 1 TONG QUAN 1 16LL GiiớI thiỆU SG GG G0 vn 161.1.1 Giới thiệu về vật liệu composite Ïaminafe -« «s33 161.1.2 Giới thiệu về phương pháp phan tử chuyển động 191.1.3 Đặt vẫn đề nghiên cứu - cesescssssessssssssssessscssseesessesseeees 201.2 Tình hình nghiên CỨU Ă G00 vn 201.2.1 Ngoài nƯỚC Gà 201.2.2 Trong HƯỚC - G9900 00 ke 22I.3_ Mục tiêu và hướng nghiÊn CỨU S9 ng, 2414 Cấu trúc dự kiến trong Luận VAN - - «c1 1 ke 25CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LY THUYT c-+Sc+eExeEketretrrtrkrtrrrrerrked 262.1 Lý thuyết tâm c CS t1 S1 1 11151111111 11211111111 1111111111111 11 0111 262.2 Dạng yếu bài toán ứng xử của tam composite laminate trên nền dan

nhớt dựa trên lý thuyết đồng nhất hóa tắm - + 2 2 555+c+c+ccscs¿ 272.3 Thiết lập công thức phan tử chuyển động của tam composite laminate

trên nên đàn nhớt - - 2 2E E9 SE 2EEE9E9EEEEEEEEEE5E1 1525211171151 1 11x k 3324 Áp dụng phân tử tứ giác 9 nút trong phân tích tam composite laminate 372.5 Tích phân s6-Phép cầu phương Guass ¿-2- 52 5252 S22E+EsEszcereccee 392.6 Phương pháp NeWimarK «c9 kg 4

2.7 Thuật toán sử dụng trong Luận Van - S999 3111111 ke 432.8 Lưu đô tính toán c+-c++cét té terrrtritrtrtrrrrrrirrrrrrrrrrrrirrrrrrrie 45CHƯƠNG 3 VI DỤ SỐ - c2 th Hee 463.1 Phan tích tam composite laminate chịu tac dung tinh 483.1.1 Bài toán 1: Tam biên tựa chịu tai phân bố đều 5-55:483.1.2 Bài toán 2: Tâm biên tựa chịu tải hình sin -c -c« 493.1.3 Bài toán 3: Tam biên ngàm chịu tải tập trung . -: 513.1.4 Bài toán 4: Tam biên ngàm chịu tai tập trung trên nền dan hdi 543.1.5 Bài toán 5: Tam biên tựa chịu tải tập trung trên nên không danhồi và đàn hỒi ¿5665252193 1239121231111 2111 1311211111 1111111111111 111111 rk.563.2 Phân tích dao động tự nhiên 0 583.2.1 Bài toán 6: Khảo sát ảnh hưởng của ti số module E, / E, 583.2.2 Bài toán 7: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số cạnh và bề dày tấm 603.243 Bài toán 8: Khảo sát các dạng dao động của tắm 633.3 Phân tích tâm chịu tải trọng di GON - cc S1 ng 67

3.3.1 Bai toán 9: Khao sát ứng xử động của tam trên nên đàn nhớtchịu tải di động với hệ số độ cứng ky thay đổi -¿cccsccsccsrrcrrerrree 68

3.3.2 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động của tam trên nền dan nhớtchịu tải di động với hệ số cản của nền cy thay đỔI SG QC n n2 ng ererersed 69

3.3.3 Bài toán 11: Khảo sát ứng xử động của tam trên nền dan nhớtchịu tải di động với vận tốc di chuyển V thay (0) SG TQ n2 gen 70

3.3.4 Bài toán 12: Khảo sát ứng xử động của tam trên nền dan nhớtchịu tải di động với số lớp tắm thay đổi -+5- 52522252 s+xsrrerrereree 72

3.3.5 Bài toán 13: Khảo sát ứng xử động của tam trên nền dan nhớtchịu tải di động với chiều day tam A thay đỔi - 5-52 S252 Secectsesrrererree 73CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ, - - 6 S222 ££sEsEsezesecxe 744.1 KẾtluận G1191 11T 111191111 1211110 111g TH Hung ng 74AQ Kiến nghị C521 1E 1 1 15151511 1111111115 111101111111 11 1101.011101 11 10 y0 75TÀI LIEU THAM KHHẢO G-G + 66k E9E 93128 EEE E31 3191 gxgxgeseree 76PHU LỤC ceeccsccsessvesucsuesuesuessessessessessucsussuesusssesuessessessessessessessessussussuesuesucssesseesven 82

LY LICH TRICH NGANG

Hình 1.1.Hình 1.2.Hình 1.3.Hình 1.4.Hình 1.5.Hình 1.6.Hình 1.7.Hình 2.1.

Hình 2.2.Hình 2.3.Hình 2.4.

Hình 2.5.

Hình 2.6.Hình 2.7.Hình 2.8.Hình 2.9.Hình 3.1.Hình 3.2.Hình 3.3.Hình 3.4.Hình 3.5.Hình 3.6.Hình 3.7.

DANH MỤC CÁC HINH VE

Cau trúc của cây sào nhảyy ¿56 + Set St 2x1 21111211 xi 16Ung dung vật liệu composite trong các ngành công nghiệp 17Mô hình tam đa lớp composite laminate + 525552 5s+s+sscscs+2 18Tắm composite laminate làm từ các lớp có hướng sợi khác nhau 18Một số hình ảnh về tam composite laminate ngoài thị trường 18Mô hình tải trọng chuyển động, tâm cô định -. 25-55255552 19Mô hình phân tử tam chuyển động, tải trọng cô định (MEM! 20Hình học ban đầu và hình học biến dạng tắm với các giả thiết

CLPT, FSDT, HSDT((TSITỶ) Gv ng re 27Mô hình tam composite tựa trên nền đàn nhớt - 25-5: 28Mô hình tam dày Reissner - Mindlin -5- 2 252 55s+c+cscccszsccee 28Trạng thái ban đầu và biến dạng hình học của một cạnh tắm theo

phương x dưới giả định của lý thuyết tắm bậc nhất 29Kết cau tam composite laminate gia cường sợi một phương trong hệ

trục vật liệu(x,.x;,x,) và hệ trục tọa độ tông thé (x, y,z) 31Mô hình tải trọng di chuyển trên tam theo phương X - 33Phan tử tứ giác 9 nút trong hệ tọa vuông góc - -c-cscscscce: 37Phần tử tứ giác 9 nút trong hệ tọa độ tự nhiên - + +<<<<<*s 37Luu d6 tinh ton PP 45Mô hình tam chịu tải phân bố đều ¿5-2555 2 2£2£E£E+Ez£zzrereee 46So sánh độ võng không thứ nguyên w’ giữa các phương pháp 49Mô hình tam chịu tải phân bố hình sỉn - 2 2 2 55525+c+££<z<cc+2 50So sánh độ võng không thứ nguyên w’ giữa các phương pháp 51M6 hinh tam ngam 4 cạnh chịu tác dụng lực tập trung P 51Chuyên vị của tam (0°/90°/0°/90°/0") theo các mức lưới phan tử 52Chuyển vị của tam composite laminate (0°/90°/0°), (0°/90°/90°/0°)

va (0°/90°/0°/90°/0°) với mức lưới phần tử 20x20 -. -5¿53

Hình 3.8.

Hình 3.9.Hình 3.10.

Hình 3.11.

Hình 3.12.

Hình 3.13.Hình 3.14.

Hình 3.15.

Hình 3.16.

Hình 3.17.Hình 3.18.

Mô phỏng chuyền vị tắm (0°/90°/90°/0°) biên ngàm khi đặt trênnên đàn hồi và khi không có nên với mức lưới phân tử 20x20Mô hình tam 4 cạnh tựa (SS-SS-SS-SS) trên nền đàn hồi chịu tácdụng lực tap trung ?P - c9 HH keSo sánh chuyền vị tắm (0°/90°/90°/0°) biên ngàm và biên tựa đơnkhi đặt trên nền dan hồi và khi không có nền với mức lưới phan tử

Mô hình tam 4 cạnh tựa đơn (SS-SS-SS-SS) -c-cc secSự ảnh hưởng tỉ số E,/ E, của phương pháp MEM9 so với kết

quả giải tích cua Reddy (1997) [37] - - - 55c S331 + vs skeSai số của tần số dao động không thứ nguyên ø@” các phương phápđối với phương pháp p-ÏRikZ - + 2 252222622 £E2E£EeEErkrkrrrreesSo sánh tần số dao động không thứ nguyên ø” giữa các phương

Tan số dao động tự nhiên các phương pháp ứng với 5 dạng daođộng đầu tiên của tâm composite laminate biên ngàm (C-C-C-C)

Mô hình 3D sáu dạng dao động đầu tiên của tam biên ngàm với

Mô hình tam composite laminate tựa trên nền dan nhớt dưới tácdụng của tải trọng di động P - - chen.Độ võng của tam theo phương tải di động khi hệ số độ cứng nên¡0077

Độ võng của tam theo phương tải di động khi hệ số cản nên thay

Hình 3.23 Độ võng của tam theo phương tai di động khi vận tốc tải thay đốiHình 3.24 Độ võng của tam theo phương tai di động khi số lớp tam thay đôiHình 3.25 Độ võng của tam theo phương tai di động khi bề day tam thay đôi

DANH MỤC CAC BANG BIEU

Bang 2.1 Điểm Gauss và hàm trọng lượng e.cececscsesessssssessesssesessesesessesesesseseseesesen 40Bảng 2.2 Thông số kết cầu tam composite laminafe - + 25 s2 5s+s+sze: 44Bang 2.3 Thông số nền dan nhớt cccccccccccscssesessssssesscsesessesssesscsesessesesessescseseesesen 44Bảng 2.4 Thông số các loại tai trong cccccccscscsessssssessssescsessesesesseseseesssesessessseeseees 44

Bảng 3.1 Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tam w =100E,wh’ / (qa*)

chịu tải phân bố đều - ¿+ + SE +E£E+E#EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEErErrrrerkred 49

Bang 3.2 Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tam w = 100E,wh / (ga*)

chịu tải hình Si ce eesessseeccccccececccceeesseseeeccccccceeeeseeaeseeeeccceeeeeeeseeeeees 50Bang 3.3 Chuyến vị tai tâm của tam chịu tải trọng tập trung P - 53Bang 3.4 Chuyến vị tai tâm của tam composite laminate chịu tải trọng tập

Bảng 3.5 Chuyển vị tại tâm của tắm composite biên tựa chịu tải trọng tập

Bảng 3.6 Tan số dao động không thứ nguyên a = (wa’ / h)Jp /E, cua tam 60

Bang 3.7 Tam composite laminate (0°/90°/90°/0"): tần số dao động không

thir nguyén XI CN 62

Bảng 3.8 Tam composite laminate (0°/90°/0°): tần số dao động không thứ

nguyên

E,/ E, =40,D, = E,h | (120 —v,,¥,,)).0° =(@a2 1®) [ph D,

CUA CAM vececcccccecccscscscsscscscscscsssscscscscsssscscscscsvsssscscscsssssssscsescavssscscssesseseees 64Bảng 3.9 Thông số kết cau tam composite laminate - + 25552 5s+s+see: 67Bang 3.10 Thông số nên đàn nhớt và tải trong di động - - 252555555: 67Bang 3.11 So sánh chuyển vi tại tâm tam khi hệ số độ cứng K thay đi 69

Bang 3.12 So sánh chuyén vi tại tâm tam khi hệ số cản của nền cy thay đi 70

Bang 3.13 So sánh chuyển vị tại tâm tam khi vận tốc tải trong V thay đôi 7]

Bảng 3.14 So sánh chuyển vị tại tâm tam khi số lớp tắm thay đổi 72

Bang 3.15 So sánh chuyển vị tại tâm tam khi bề dày tam thay đối 73

MOT SỐ KY HIEU VIET TAT

Chữ viết tatFGM Vat liệu phan lớp chức nang (Functionally Graded Material)MEM Phương pháp phân tử chuyên động (Moving Element Method)PTHH Phân tử hữu hạn

FEM Phương pháp phân tử hữu han (Finite Element Method)FSDT Lý thuyết bién dạng cat bậc nhất (First - Order Shear Deformation Theory)MEM9 Phương pháp phân tử chuyền động sử dụng phân tử tứ giác 9 nút

CS-DSG3 Phương pháp phân tử tam giác hữu hạn trơn (A Cell-based Smoothed

Discrete Shear Gap Method)

Ma tran va vecto

5QA ZF ۩Cws]

SP)

Ma trận hang số khối lượngCác ma trận hăng số vật liệuMa trận độ cứng

Ma trận khôi lượngMa trận cản

Vectơ ứng suấtVectơ biến dang mangVectơ biến dang catVectơ biến dạng u6n của tamVectơ tan sô dao động

Vectơ chuyền vị tâmĐạo hàm bậc nhất vectơ chuyển vị tâm theo thời gian

H Đạo hàm bậc hai của ham uw theo biến thời gian ft

W Đạo ham bậc một của ham w theo biến thời gian ftWw Đạo hàm bậc hai của ham w theo biến thời gian fE Module đàn hồi của vật liệu

G Module chỗng cắt đàn hôi của vật liệuV Hệ số poisson của vật liệu

8 Khối lượng riêng của vật liệu

a Chiéu dai tam theo phuong xb Chiéu dai tam theo phuong yh Bê dày tam

E Biến dạng dài của tamKo Hệ số hiệu chỉnh catk Lớp bat kỳ của tam so với mặt tham chiêuk, Hệ số độ cứng nên

C, Hệ sô cản⁄Ự Biến dạng trượt của tâmH „9W , W, Chuyén vị của tâm tai mặt phẳng tham chiếu theo phương x, y và zV Vận toc di chuyền của tải trọng

A Gia tốc di chuyền của tải trọng

Tổng quan 16

CHUONG 1.

TONG QUAN

1.1 Gidi thiệu1.1.1 Giới thiệu về vật liệu composite laminateVật liệu composite đơn giản đã có từ xa xưa và chính thiên nhiên đã tạo ra cầu trúccomposite trước tiên, đó là than cây gô: có câu trúc composite gôm nhiêusợi xenlulo dai được kêt nỗi với nhau băng licnin Két quả của sự liên kêt hài hoànày là thân cây vừa bền và déo, tạo nên một cau trúc composite lý tưởng (Hình 1.1)

Mặc du composite là vật liệu đã có từ lâu, nhưng ngành khoa hoc về vật liệucomposite chỉ mới hình thành cùng với sự xuất hiện của công nghệ chế tạo tên lửaở Mỹ từ những năm 1950 Từ đó đến nay, khoa học công nghệ vật liệu compositeđã phát triển trên toàn thế giới và có khi thuật ngữ "vật liệu mới" đồng nghĩa với"vật liệu composite".

- Lớp ngoài cùng là lớp

Longitude carbon fibers/epoxy composite soi cacbon

- Lop giita la lop compositemang soi thuy tinh

- Lop trong cùng là vòng soi

Tổng quan 17

nhiệt, cách âm tốt Vật liệu composite là loại vật liệu được tô hợp từ hai hay nhiềuvật liệu khác nhau tạo lên vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn han các vật liệu banđầu (khi những vật liệu này làm việc riêng lẽ)

10%

GB Carbon laminate Titanium Gomecones

MB Carbon sandwich 15%

lÑW Fibergiass@ Aluminum Aluminum

Í“ Aluminum/steel/titanium pylons 20%

ứ2zz2xz

Công nghiệp hàng không (cánh máy bay) Công nghiệp vũ trụ (vỏ tên lửa)

Hình 1.2 Ứng dụng vật liệu composite trong các ngành công nghiệpVật liệu composite lớp (composite laminate) là loại được sử dụng phổ biếnhơn, điển hình là tam composite laminate: composite nhiều lớp được làm từ các lớp(laminate) vật liệu khác nhau xếp chồng lên nhau để đạt được các đặc tính mongmuốn như độ cứng lớn, trọng lượng nhẹ, khả năng chống va đập, khả năng chịu lựccao, chồng ăn mòn (Hình 1.3) Về cơ bản, mỗi lớp laminate thường trực hướng,các sợi tạo thành của mỗi lớp có định hướng khác nhau (Hình 1.4) Với sự liên kếttrên đã tạo thành một hỗn hợp có độ cứng, độ bền và nhẹ hơn Ưu điểm chính củavật liệu composite là kha năng liên két các sợi băng cách sắp xêp lớp và hướng sợi.

Tổng quan 18

Vật liệu composite laminate sẽ cho thay được sức mạnh có thé dat được tùy vào

2

Hình 1.3 Mô hình tam da lớp composite Hình 1.4 Tắm composite laminate làm từ

laminate các lớp có hướng sợi khác nhauĐặc biệt trong ngành xây dựng, chung ta ngày càng hướng tới những vật liệutự nhiên thân thiện với môi trường trong đó nhu câu tìm và sử dụng vật liệu mới đểthay thế các vật liệu truyền thống (như gỗ và đá đang ngày càng cạn kiệt) mang tínhcấp thiết hơn bao giờ hết Composite laminate xuất hiện với khả năng mô phỏngvân gỗ, giả đá (Hình 1.5) cùng với nhiều ưu điểm kỹ thuật kế trên đã thỏa mãn nhucầu ngày càng cao của người sử dụng Vì vậy, việc tìm hiểu tính toán và phân tíchứng xử tam composite laminate là phù hợp với xu hướng phát triển của xã hội ngày

Hình 1.5 Một số hình ảnh về tắm composite laminate ngoài thị trường

Tổng quan 19

1.1.2 Giới thiệu về phương pháp phan tử chuyển độngKhi nghiên cứu ứng xử động hay tĩnh về tải trọng trên phan tử tam trước đây, thihau như các nghiên cứu đều sử dụng phương pháp PTHH (FEM) (Hình 1.6) Quacác quá trình nghiên cứu trên có thể thấy với tải trọng chuyển động trên tâm thì sẽgặp khó khăn khi tai trọng tiến đến gần biên của miền hữu han phan tử va di chuyểnvượt ra ngoài biên Ngoài ra, phương pháp này còn yêu cau phải luôn cập nhật vị trícủa vecto tải trọng Do đó, việc giải quyết bai toán tam sẽ tốn nhiều chi phí tínhtoán và mat nhiều thời gian

Trong những năm gan day, nhiều nhà nghiên cứu trên thé giới đã tìm ranhững phương pháp mới tiên tiễn hơn nhằm mục đích tạo thêm những công cụ mớihơn thuận lợi trong quá trình phân tích thay vì sử dụng phương pháp truyền thống.Một trong những phương pháp đó là phương pháp phan tử chuyển động (MovingElement Method-MEM) (Hình 1.7) Điểm thuận lợi của phương pháp này là: tải diđộng sẽ không bao giờ đến biên vì phần tử được đề xuất luôn chuyển động Điểmthuận lợi thứ hai là tải di động sẽ không phải chạy từ phan tử này đến phan tử khác,do đó tránh được việc cập nhật vectơ tải trọng Điểm thuận lợi thứ ba là phươngpháp này cho phép phan tử hữu hạn có kích thước không băng nhau và điều nay cóthé hữu ích khi các tải tác dụng tại các điểm tùy ý Nghiên cứu này cho thay MEMlà một trong những phương pháp thích hợp để phân tích các bài toán ứng xử cho kếtcầu tâm trên nên đàn nhớt.

' Chuyên động |

——=—=—— ———

` ``.“

.= k cr zkbó

Trong Luận văn này, phương pháp phần tử chuyển động (Moving ElementMethod-MEM) thê hiện ở Hình 1.7 sẽ được sử dụng để phân tích ứng xử của tắmcomposite laminate dưới tac dụng của các loại tải trọng trên nén đàn nhớt dựa vàolý thuyết tâm dày.

1.2 Tinh hình nghiên cứu1.2.1 Ngoài nước

Ké từ khi ngành khoa học về vật liệu composite ra đời thì đã có rất nhiều nghiêncứu được thực hiện để ứng dụng loại vật liệu này trong xây dựng dựa trên mô hìnhphan tử dầm, tam hay vỏ Đặc biệt là những nghiên cứu về ứng xử của tamcomposite laminate dưới tác động của các loại tải trọng trên các loại nên thườngđược ứng dụng rộng rãi trong ngành xây dựng dân dụng và cầu đường như: tính

Tổng quan 21

toán kêt cầu móng của các tòa nha; thiệt kê, tính toán két cầu áo đường của đườnggiao thông hay sân bay, Tông quan về tình hình nghiên cứu của chủ dé nay có thêtóm tắt như sau:

Van dé phân tích ứng xử của kết cau tâm trên nền đàn hồi và đàn nhớt chịutải trọng di động luôn được quan tâm và nghiên cứu trên thế giới trong những thậpky gần đây Vào năm 1963, Thompson [1] đã nghiên cứu ứng xử của kết cau đườngchịu tai trọng di chuyển băng cách giả định đường là tắm mỏng dai vô hạn tựa trênnên dan hỏi (resting elastic foundation) Gbadeyan va Oni (1992) [2] đã sử dụngbiến đổi Fourier dé phan tich tắm chữ nhật tựa trên nền dan hồi Pasternak chịu mộtkhối lượng tập trung bất kỳ di chuyển Kim và Roesset (1998) [3] đã nghiên cứutam vô hạn tựa trên nên đàn hồi Winkler chịu tải trọng di chuyền sử dụng phép biếnđối Fourier Wu và cộng sự (1987) [4] đã sử dụng phương pháp phan tử hữu hạn déphân tích đáp ứng của tắm phăng chịu tải trọng di chuyển Pan và cộng sự (1994)[5] đã nghiên cứu đáp ứng dan dẻo (elasto-plastic) của đường băng (pavement-soil)dưới ảnh hưởng của quá trình cất cánh và hạ cánh của máy bay bằng phương phápphan tử biên (Boundary Element mothod — BEM) Ngoài ra, Pan và Atluri (1995)[6] đã phân tích đáp ứng của đường băng có kích thước hữu hạn trên nền đàn hồichịu tải trọng di chuyển bằng phương pháp FEM/BEM kết hợp Musharraf Zamanvà cộng sự (1991) [7] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn bốn nút để phântích đáp ứng động của tắm dày trên nên đàn nhớt (viscoelastic foundation) chịu tảitrọng di chuyền Sun (2003) [8] đã thành lập một phép biến đổi Fourier để giải bàitoán đáp ứng động tam Kirchhoff trên nền đàn nhớt chịu tải dao động điều hòa

Bên cạnh đó, ngoài tam dang hướng thì tam composite trên các loại nền cũngđược các nhà khoa học trên thế giới quan tâm và nghiên cứu Vosoughi và cộng sự(2013) [9] đã phân tích tam day composite tựa trên nền đàn hỏi hai thông số chịu taitrong di chuyền sử dụng phương pháp DQM (Differential Quadrature Method) Vàonăm 2011, Makhecha và cộng sự [10] đã phân tích ứng xử động của tam compositelaminate đối với các tải trọng cơ nhiệt sử dụng phân tử tứ giác tám nút Malekzadeh(2010) [11] and Zenkour (2013) [12] đã nghiên cứu lời giải giải tích cho tắm nhiều

Tổng quan 22

lớp trên nền dan hồi chịu tải cơ nhiệt Phân tích phi tuyến của tam composite trênnên dan hồi cũng đã được nghiên cứu trong của các nhà khoa học trên thé giới [13]-[17] Ngoài ra, Lee và Yhim (2004) [18] đã kết nối phương pháp phan tử hữu hanvà lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 (the third order shear deformation theory) để phântích đáp ứng động của tắm composite chịu nhiều tải di chuyển

Dé giải quyết những khó khăn của các phương pháp truyền thống gặp phảithì việc phân tích ứng xử của tam dựa trên phương pháp phan tử chuyển động(Moving Element Method-MEM) đang là hướng nghiên cứu mới được quan tâm.Người đi tiên phong của phương pháp này là Koh (2003) [19] đã đề xuất sử dụngphương pháp phan tử chuyển động trong việc khảo sát ứng xử động của tàu caotốc.Vào năm 2006, Koh và cộng sự [20] đã phát triển phương pháp phan tử chuyểnđộng dé phân tích ứng xử động của nền bán không gian đàn hồi dưới tác dụng củatải trọng di động Chen và Huang (2000) [21] đã xét một tải không đổi di chuyểnvới vận tốc không đổi dọc theo một dim Timoshenko dai vô hạn trên nên đàn nhớt.Phương trình tổng quát cho một dầm vô han được thiết lập trong lúc phối hợp dichuyền Các ma trận độ cứng động lực cho các dầm bán vô hạn thu được trong lúcsố bước sóng phức tạp và các hình dạng chuyển vị phức tạp Ang và cộng sự (2013)[22] đã khảo sát dao động của đường trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốccủa tàu cao tốc Ngoài ra, Ang và cộng sự (2013) [23] đã phân tích động lực học củahệ thống tau cao tốc trên hai thông số của nền đàn nhớt Nghiên cứu này sử dụngphương pháp phần tử chuyển động trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc.Năm 2009, Xu va cộng sự [24] sử dụng phương pháp phan tử chuyển động dé phântích dao động ngẫu nhiên của tam Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di độngsử dụng phân tử tứ giác

1.2.2 Trong nướcViệc nghiên cứu kết cầu sử dụng vật liệu composite đã dần trở thành một trongnhững đề tài ưa thích của các nhà nghiên cứu tại Việt Nam, trong đó một số bài báovà nghiên cứu điện hình có thê kê đến như sau:

Tổng quan 23

Thạc sĩ Huy và Hồ (2011) [25] đã nghiên cứu khả năng bọc composite chokết cầu thép cacbon làm việc trong môi trường biển Dũng và cộng sự (2011) [26]đã nghiên cứu giải pháp gia cường dầm bê tông cốt thép bằng tam vật liệucomposite sợi cacbon Nguyên và cộng sự (2011) [27] tập trung vào các phươngpháp số cho phân tích tam chức năng sử dụng lý thuyết tam Reissner-Mindlin, trongđó hệ số hiệu chỉnh cat của tam đồng nhất đã được sử dụng Lộc và cộng sự (2013)[28] phân tích tĩnh, ôn định và dao động tự do tam chức năng sử dung lý thuyết biếndạng cắt bậc cao hay ôn định của tam composite FGM trên nên đàn hồi của Đỗ Nam(2011) [29].

Đối với các bài toán về kết cầu tâm chịu tai trọng di động trên nên đàn nhớtvà đàn hổi thì có một vài nghiên cứu có thé kế đến như: Toàn va cộng sự (1999)[30] phân tích dao động của tam trên nén dan hỏi chịu tải trọng chuyển động.Nghiên cứu này bước đầu đã lựa chọn mô hình cụ thể để mô phỏng bài toán thực tếvà thiết lập được các ma trận cơ bản trong phương trình vi phân chuyển động củatắm trên nền đàn hồi, bao gom ma trận độ cứng và ma trận khối lượng: để nâng caođộ chính xác của mô hình thì biến dạng cắt của tam đã được xét đến theo lý thuyếttam Mindlin Bên cạnh đó, Cường (2011) [31] đã sử dụng phương pháp phan tử hữuhạn, cu thé là phan tử tứ giác trên lý thuyết tam Mindlin dé phân tích dao động củatắm trên nền đàn nhớt có xét đến khối lượng của vật chuyển động, biến dạng trượtcủa tam đã được xét đến theo lý thuyết tam Mindlin Diễm (2013) [32] phân tíchđộng lực học của tam composite laminate trén nên đàn hồi Pasternak chịu tai trọngdi động bang phan tử CS-DSG3 Qua những nghiên cứu trên cho thay phương phápphan tử hữu hạn thường được sử dụng để phân tích bài toán ứng xử tĩnh và độngcủa tâm.

Về mô hình phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element MEM), các nhà khoa học trong nước cũng dan ung dung dé thực hiện một số nghiêncứu sau: Duy (2013) [33] phan tích ứng xử động tau cao tốc có xét đến độ congthanh ray và tương tác đất nền Hải và cộng sự (2013) [34] phân tích ứng xử tàu caotốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác với đất nên sử dụng phương pháp

Method-Tổng quan 24

phân tử chuyển động trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Gần đâynhất, Anh (2013) [35] đã phân tích động lực học tàu cao tốc có xét đến độ nảy bánhxe và tương tác với đất nền Thu (2014) [36] phân tích động lực học tàu cao tốc sửdụng phương pháp phân tử nhiều lớp dầm chuyển động có xét đến tương tác đấtnền.

Như vậy, sau khi đã khái quát qua tình hình nghiên cứu trong và ngoài nướccho thấy đã có nhiều nghiên cứu về phân tích ứng xử tĩnh và động của tamcomposite laminate với nhiều phương pháp khác nhau Tuy nhiên, phân tích ứng xửcủa tắm composite laminate chịu tác dụng của các loại tải trọng dựa vào phươngpháp phân tử tam chuyển động MEM chưa được thực hiện Việc nghiên cứuphương pháp MEM sẽ mở ra thêm một cách xử lý hữu hiệu với nhiều ưu điểm nỗibật trong lĩnh vực nghiên cứu va ứng dụng tam composite laminate

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứuMục tiêu chính của Luận văn nhằm phân tích ứng xử tam composite laminate trênnên dan nhớt chịu tác dụng bởi các loại tải trọng sử dụng phan tử tứ giác 9 nútchuyển động Trong đó phương pháp phần tử chuyển động được phát triển nhămgiải quyết tốt hơn và khắc phục các điểm hạn chế của các phương pháp truyềnthống Các van đề nghiên cứu cụ thể trong phạm vi Luận văn này bao gồm:

e Thiết lập các ma trận khối lượng, độ cứng, can cho các phần tử tam dày sửdụng phương pháp phan tử tứ giác chuyển động

e Xây dựng chương trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Mathlab dé giải hệphương trình tinh và động của bài toán.

e Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bang cách so sánh kết quả củaLuận văn với các kết quả nghiên cứu của tác giả khác

e Thanh lập và giải các ví dụ số để khảo sát sự ảnh hưởng của các đại lượngkhác nhau dén ứng xử cua tam, từ đó rút ra các kêt luận.

Chương 2: Trình bày các công thức phần tử hữu hạn để phân tích động lựctắm composite laminate trên nền đàn nhớt chịu tác dụng bởi các loại tải trọng sửdụng phan tử tứ giác chuyển động.

Chương 3: Trình bảy các ví dụ số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trìnhMatlab để giải hệ phương trình của bài toán

Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn vàkiến nghị hướng phát triển của Luận văn trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích

nghiên cứu của Luận văn.

2.1 Ly thuyết tamCơ sở lý thuyết tam được chia làm 3 loại phổ biến như sau: lý thuyết tam cô điển(Classic Plate Theory-CPT), ly thuyét bién dang cắt bậc nhất (First-order ShearDeformation Theory-FSDT) và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (High-orderShear Deformation Theory-HSDT) (Hình 2.1) Lý thuyét CPT thừa nhận rằng, trướcvà sau biến dạng, pháp tuyến tắm vẫn thăng và vuông góc với mặt trung hòa củatắm Trong khi đó, đối với lý thuyết FSDT, tuy pháp tuyến tắm vẫn thăng nhưng nóbị xoay thêm một góc /đ, Lý thuyết HSDT mang tính tổng quát hơn khi thừa nhậnrằng, sau khi biến dạng, pháp tuyến tắm không còn thang và cũng không còn vuônggóc với mặt trung hòa của tâm Dựa trên những giả định này, ta nhận thấy: lý thuyếtCPT đơn giản nhưng chỉ phù hợp cho kết cầu tam mỏng: lý thuyết HSDT chính xáchon CPT và FSDT nhưng việc thành lập công thức phức tap dẫn đến chi phí tínhtoán cao; lý thuyết FSDT đơn giản nhưng sẽ gặp hiện tượng khóa cắt (shearlocking), khiến việc phân tích ứng xử của tam thiếu chính xác khi chiều dày tam trởnên nhỏ.

Trong Luận văn này, để đơn giản trong việc tính toán, lý thuyết FSDT được sửdụng để phân tích ứng xử của tam composite laminate dưới tác dụng của các loại tải

trọng.

Mô hình tam composite laminate tựa trên nên dan nhớt, xem đây là mô hình tắm daivô tận và không có điều kiện biên, được thể hiện như trong Hình 2.2 Mô hình nềnđàn nhớt là mô hình trong đó thành phan đàn hồi của nền được mô phỏng bằng cáclò xo đặt trên khắp bề mặt phan tử tam va được đặc trưng bởi hệ số độ cứng nên Kp,thành phan nhớt của nền được mô hình bằng cản nhớt cũng đặt trên khắp bề mặt củaphan tử tam va được đặc trưng bởi hệ số cản nền cy Trong đó, mặt phăng trung hòacủa tâm sẽ được chọn là mặt phăng tham chiếu và mô hình tâm có miền hình học là

Q.

Cơ sở lý thuyết 28

>9

yy

Hình 2.2 Mô hình tam composite tựa trên nền dan nhớtXem tâm composite laminate chịu biến dạng uốn như Hình 2.3 và Hình 2.4.Mặt giữa của tam được chọn là mặt phăng tham chiếu Dựa trên lý thuyết biến dạngcắt bậc nhất (Reddy, 1997 [37]), trường chuyén vị tại một điểm bất kỳ trong tắmđược biểu diễn thông qua trường chuyên vi tại điểm tương ứng trên mặt trung hòanhư sau:

Y-u(x,y,z) =U, (x,y) + zp (x,y)

hh

w(x,y,z)=v,(x.y)+z/,(x.y) (x.y)<O,:e _z (2.1)

w(x,y,z) =W (x.y)

trong đó, u= 14, VW, 2.2, i là trường chuyên vị tai một điểm trên mặt trung hòa

của tam với u,, v và w, là thành phan chuyến vị theo phương x,y,z; 8,.8, là haigóc xoay pháp tuyến xung quanh trục Oy va Ox tại mặt phang tham chiếu và cóchiều dương được định nghĩa như trong Hình 2.3

Cơ sở lý thuyết

Trường biến dạng của tắm được tính bởi:

la

`

Hình 2.4 Trạng thái ban đầu và biến dạng hình học của một cạnh tắm theo

phương x dưới giả định của lý thuyết tắm bậc nhất

`la`la

Xx Uy B E,p=4 Vy pts By -=6 > + ZK (2.2)

Ey +2 oy + Vox +2 By + By +2

Vz My + 8,?„) |M,+

Công thức được viết lại dưới dạng biến dạng màng, biến dạng uốn và bién dạng catnhu sau:

\ Fay f = G, Q% Ao YO 0 \V xy f (2.7)Tự 0 0 0 Q.; Qs, V xz

Ly J R 0 0 0 Q,; QO, M5Với các hằng số vật liệu được tính như sau:

E VE, E,0, = lo 0, = I— — , đ,; = low

— Vi2Vo4 Vi2Vo1 Vi2Vo1 (2.8)

O65 = Gin » O55 = Giz » Quy = ,;, Dig = Qo = Das = 0trong đó F¡, E> là module đàn hồi Young theo hướng trục x; G,, G,, G, là12? 23 2

module trượt trong mặt phăng x— y,y—z„,z—x va v, là hệ số Poisson

Tam composite laminate thường được cấu tạo bởi nhiều lớp trực hướng ghépchồng lên nhau, trong đó phương trình của sợi hay phương cơ bản của mỗi lớp khácnhau Do đó, để nghiên cứu ứng xử đàn hồi của vật liệu nay, ta phải chọn một hệquy chiếu cho cả vật liệu và biến đổi ứng xử của mỗi lớp theo hệ quy chiếu chung

(Hình 2.5) Thông thường thì trục vật liệu (+x,.x,.+;) không trùng với trục hình học

(x.y.z).Vậy quan hệ ứng suất biến dang của tam tại lớp thứ k (lớp bất ky so vớimặt phăng tham chiếu) có dạng:

vật liệu(x,.x,.x,) và hệ trục tọa độ tổng thể (x.y.z)

Ó,.=O,,cos°Ø+2(Ó,„ +2Ø,„)sin” Øcos? Ø+ Q,, sin* ØO,, =(O,+O,„ -4Q,„)sin? Øcos? Ø + Q,,(sin* Ø + cos! Ø)O,, =Q,, sin°Ø+ 2(Q,, + 2Ø,„) sin’ Øcos” 6 + Q,, cos’ ØO,, =(O,, -O,, —20,„)sinØcos” Ø +(O,, —O,, + 20 ) sin® ØcosØ

O,, =(Q,, -Q,, -20,„)sin” ØcosØ + (Ó,„ — Q,, + 2Ó,„)sinØcos” Ø (2.10)

O = (O,, + Qs -20,, —20,,) sin? @cos* 6+ Q,,(sin* @+cos* 4)O,, =Q,,cos’ 9+ Q sin” Ø

Ø,; =(Ó;;— O,,)cos Asin Ø

Q.; = O,,sin” 9 + Q cos’ Øtrong đó Ø là góc nghiêng giữa hướng sợi và trục x tổng thé

trong đó €, =|¢,, K| q=|0 O g(x,y) 0 0Ï, với g(x,y) là tai phân bố, m là

ma trận hăng số khối lượng bao gồm khôi lượng riêng p và bê day h của tâm

100 0 0

010 O 0001 0

X

Hình 2.6 Mô hình tai trọng di chuyén trên tam theo phương xMối quan hệ giữa tọa độ chuyển động r và tọa độ cô định x được xác địnhnhư sau:

Cơ sở lý thuyết 34

w(r,s) = w(x,y)tạ (r,s) = tạ (x.y)

+ e(r,S)= (x.y) (2.16)

Ø8, (r.s)= B.(x.y)

Ø,(r.s)= Ø,(x.y)

[ ôw(+x,y) _ ØW(F,S)Ox orOu,(x,y) _ Ôuạ (7,8)

Ox orOv, (x,y) _ Ov, (r,s)

\” & ar ¿42

OP (x,y) OB, (7,5)

Ox orô8,(x,y) _ OB, (1.8)

Ox orĐạo ham bậc nhất và bậc 2 các chuyển vị theo theo gian / thu được:

ôw(x.y.f) : [Ses _y =—

Ot Ot ordu(x, y,t) Ga =—

Với ou’ =N’éd’ , u=Nd

Ghi lại tat cả các phương trình (2.11) sau khi thay thé, các giải thích ki hiệucông thức trình bày ngăn gọn bên dưới:

N=S|0 0 N, 0 0 (2.23)

“10 0 0 N, 0F0 0 0 0 N,.N là đạo ham riêng cua N đôi với r;N là đạo hàm riêng cap 2 cua N đôi với r

| ön k,wdO' = dd" | NTk,N,ddQ = Hai [Nik Nạn (2.24)

l

Q Q

Nn

với dw’ =dd'N,’ w=Nd N,=) [00 N, 0 Of

Ku=P (2.33)Phương trình dao động tự nhiên của tam composite laminate:

(K-ø*M)u=0 (2.34)trong đó @ là tan sô dao động tự nhiên tam

Cơ sở lý thuyết 37

2.4 Ap dụng phan tử tứ giác 9 nút trong phân tích tam composite laminateTrong nghiên cứu này ta áp dung phan tử tứ giác 9 nút vì khi sử dụng phan tử tamgiác 3 nút hay tứ giác 4 nút thì đạo hàm bậc 2 của hàm dạng sẽ bằng 0 nên khôngphù hợp với dé thiết lập công thức tinh toán bang phương pháp MEM Bên cạnh đó,việc sử dung phan tử tứ giác 9 nút còn giúp các phân tích đạt độ chính xác cao vànghiệm hội tụ nhanh nhất

Trong hệ tọa độ vuông góc (hay hệ tọa độ tong thé) thì mỗi phân tử tu giác đềuđược gan với một hệ tọa độ cô định (x,y) và gọi là phân tử tứ giác thực (Hình 2.7)

Hình 2.8 Phan tử tứ giác 9 nút trong hệ tọa độ tự nhiên

Cơ sở lý thuyết 38

Đề đơn giản trong phân tích thì ta chuyển phan tử tứ giác 9 nút này về hệ tọa độ tựnhiên (r,s) và được gọi là phần tử tứ giác chuẩn (Hình 2.8) Các phần tử này đượcđịnh nghĩa bang các hàm dạng (Ghafoori, 2010 [54]):

‘VN, 0 0 00 N, 0 0 0 0|

0 N 0 0 0 0 N 0 0 0N=|0 0 N, 0 0 0 0 N 0 0 (2.37)

0 0 0 WN, 0 0 0 0 N, 00.0.0 O N, 0 0 0 0 N, |

dla vecto chuyén vi nut

T

d — | tại Vor Wot Ba By ~ Uog Voo Woo Bo Bo | (2.38)

Dé xác định được dạng hình học của một phan tử thực n nút trong hệ toa độ vuônggóc thì ta thực hiện phép biến đối sau:

Cơ sở lý thuyết 39

| N | la ma tran cac ham dang cua mot phan tử chuẩn được biểu diễn qua hệ

tọa độ tự nhiên (7,5):

ON.) (aN,Ox -1| Or

| OyOx ôy” | | Osdr Os” J

Ma tran Jacobi của phép biến đổi là :

fax ay] [ÔN aN, = aN, X5 5|Or or Or or Or ||*% 3:

J= = 242Ox oy ON, ON, ON, || (2.42)

lô ds] Las ds —- Os l|x; Yo |

La as]- Ox Ox

¬ a as G4)

la by.

La ar]: Ox OyJo = As Ds (2.44)

la dy |

Ta có công thức tích phân chuyển đối từ hệ tọa độ thực sang hệ tọa độ tự nhiên là:

1 1—s

JÏZứ vỂ )dxdy = | | f (r,s )det Jdrds (2.45)2.5 Tich phân số-Phép cầu phương Guass

Phép tính tích phân (2.45) là tích phân mặt vì r và s biến thiên trên đường cong.Trong phương pháp phan tử hữu han, ta có thé áp dụng phương pháp số để tính tíchphân trên bang cách sử dụng phép cầu phương Gauss trên toàn miền phan tử

Bảng 2.1 Điểm Gauss và hàm trọng lượng

H (Ti, $j) W; Wj

3 +0.774596669241483 0.5555555555555556

0 0.8888888888888889Ta có vecto lực, ma trận khôi lượng, ma trận can va ma trận độ cứng phan tử lânlượt như sau:

P =| qNjdrdsM, =| N’mNdrdsC,= Io (-2mVN'N , +Nic,N,, rds (2.47)

K, = [, [B’] [D |B firas +mV?N'N, +ANTN —Nfe,N, +NfkẲN, \drds

o, là