Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi trong luận văn này là sử dụngcác phương pháp của đại số hiện đại như : từ một đồng cấu nửa nhómtrên một nửa nhóm con mở rộng ra đồng cấu trên toàn bộ
Liên quan đến lý thuyết nửa nhóm
Các định nghĩa cơ bản
[10] Ta gọi mộtphép toán hai ngôi trên tập S là một ánh xạ từ S × S vào S, trong đóS × S là tập tất cả các cặp có thứ tự các phần tử thuộc S Nếu ánh xạ đó được kí hiệu bởi dấu chấm (.) thì ảnh trong S của phần tử (a, b) ∈ S × S được kí hiệu bởi a.b Thường ta bỏ dấu chấm đó và viết đơn giản là ab Để kí hiệu các phép toán hai ngôi ta cũng dùng các dấu +, ◦, ∗.
[10] Ta gọi một phỏng nhóm là một hệ thống S(.) gồm một tập S khác rỗng và một phép toán hai ngôi (.) trên nó Thường ta viết S thay cho S(.), nếu điều đó không dẫn tới sự hiểu lầm nào.
[10] Một phép toán hai ngôi bộ phận trên tập S là một ánh xạ từ một tập con khác rỗng của tậpS × S vào S Một phỏng nhóm bộ phận là một hệ thống S(.) gồm một tập S khác rỗng và một phép toán hai ngôi bộ phận trên nó.
[10]Phép toán hai ngôi (.) trên S gọi làkết hợp nếu a.(b.c) = (a.b).c,∀a, b, c ∈ S. Định nghĩa 1.1.1 [10] Nửa nhóm là một phỏng nhómS(.), trong đó phép toán (.) có tính kết hợp.
Ví dụ 1.1.1 Tập ( N; +) và (N ; ) là một nửa nhóm.
Ví dụ 1.1.2 Tập các phép chiếu chính tắc là một nửa nhóm.
Ví dụ 1.1.3 Trong tập các số nguyên dương N ta xét phép toán sau :x ∗ y = x y , ∀x, y ∈ N thì khi đó phỏng nhóm (N, ∗) không phải là một nửa nhóm vì phép toán (*) không có tính kết hợp.
[10]Phép biến đổi của một tập X là một ánh xạ từ X vào chính nó Ta sẽ kí hiệu ảnh của phần tử x ∈ X qua phép biến đổi hoặc ánh xạ α là αx
[10]Tích( hay hợp thành) của hai phép biến đổi α và β của tập X là phép biến đổi αβ định nghĩa như sau: (αβ)x = α(βx) với mọi x ∈ X Luật kết hợp α(βγ) = (αβ)γ thoả mãn, vì với mỗi x ∈ X :
Do đó tậpg x tất cả các phép biến đổi của tập X là một nửa nhóm đối với phép hợp thành Ta gọi g x là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên X.
[10] Tập con T khác rỗng của một phỏng nhóm S được gọi là phỏng nhóm con của S, nếu từ a ∈ T ; b ∈ T ⇒ a.b ∈ T.
[10] Giao của một họ tuỳ ý của các phỏng nhóm con hoặc là rỗng hoặc là một phỏng nhóm con.
[10]Nếu S là nửa nhóm thì mọi phỏng nhóm con tuỳ ý của S cũng là nửa nhóm, và ta sẽ dùng từ nửa nhóm con thay cho từ phỏng nhóm con.
Ví dụ 1.1.4 Tập các số tự nhiên chẵn cùng với phép toán cộng hoặc nhân thông thường là một nửa nhóm con của nửa nhóm tự nhiên N.
Tập các số tự nhiên lẻ cùng với phép toán cộng không là một nửa nhóm con của S.
Nếu S là phỏng nhóm, thì lực lượng |S| của tập S được gọi là cấp của S.
[10] Ta nói phần tử a thuộc phỏng nhóm S là giản ước trái [phải] được, nếu với mọi x, y tuỳ ý thuộc S hệ thức a.x = a.y [ x.a = y.a ] kéo theo x = y Phỏng nhóm S được gọi là phỏng nhóm với luật giản ước trái [phải], nếu mỗi phần tử thuộc S giản ước trái [phải] được Ta nói phỏng nhóm S với luật giản ước, nếuS vừa là phỏng nhóm với luật giản ước trái, vừa là phỏng nhóm với luật giản ước phải. Định nghĩa 1.1.2 [10] Phần tử e thuộc một phỏng nhóm S được gọi là đơn vị trái [phải], nếu ea = a [ ae = a] với mọi a ∈ S Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là đơn vị nếu nó vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.
Ví dụ 1.1.5 Ma trận đơn vị là một đơn vị của tập các ma trận đối với các phép toán thông thường. Định nghĩa 1.1.3 [10] Phần tử z thuộc phỏng nhóm S được gọi là phần tử không bên trái [phải] nếu za = z [ az = z ] với mọi a ∈ S Phần tử z được gọi là phần tử không nếu nó vừa là phần tử không bên trái vừa là phần tử không bên phải của S. Định nghĩa 1.1.4 [10] Nửa nhóm S với phần tử không 0 được gọi là nửa nhóm với phép nhân không, nếu ab = 0, ∀a, b ∈ S. Định nghĩa 1.1.5 [10] Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là một luỹ đẳng, nếu e.e = e Nếu mỗi phần tử thuộc nửa nhóm S là luỹ đẳng thì ta nói S là nửa nhóm các luỹ đẳng, hay một băng.
Ví dụ 1.1.6 Phép chiếu chính tắc là một luỹ đẳng.
Ví dụ 1.1.7 Tập các ma trận đơn vị là một băng.
Ví dụ 1.1.8 Phần tử đơn vị và phần tử không một phía là các luỹ đẳng.
[10] Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý, 1 là một kí hiệu và không thuộc S.
Khi đó ta mở rộng phép toán hai ngôi trên tập S lên tập hợp S ∪ 1 bằng cách đặt 1.1 = 1 và 1a = a1 = a với mọi a ∈ S Dễ thấy S ∪ 1 là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1 Tương tự ta có thể ghép phần tử không vào S, bằng cách đặt 00 = 0a = a0 = 0 với mọi a ∈ S Và ta kí hiệu : S 1 là S nếu như S có đơn vị, còn là S ∪ 1trong những trường hợp trái lại; tương tự S 0 cũng vậy, là S nếu như S có phần tử không và |S| > 1, còn S ∪ 0 trong trường hợp trái lại.
[10] Nhóm là một nửa nhóm G, chứa một phần tử đơn vị trái e, sao cho với mỗi phần tử tuỳ ý a ∈ G tồn tại y ∈ Gmà ya = e Phần tử y thoả mãn phương trình ya = e, được gọi là phần tử nghịch đảo bên trái của a đối với e Ta cũng chứng minh được rằng phần tử nghịch đảo bên trái cũng là phần tử nghịch đảo bên phải của a và được kí hiệu là a −1
[10] Ta gọi hai mệnh đề hoặc hai khái niệm là đối ngẫu, nếu một trong chúng thu được từ cái kia bằng cách thay mỗi tích ab trong các phát biểu tương ứng bởi ba.
Nếu A và B là các tập con của phỏng nhóm S, thì tích AB của tập A và tập B được gọi là tập tất cả các phần tử dạng ab, trong đó a ∈ A, b ∈ B Như vậy:
. Định nghĩa 1.1.6 [10] Một quan hệ ” ≤ ” trên một tập X được gọi là thứ tự bộ phận của X nếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên [ dưới ] nếu mỗi tập con gồm hai phần tử {a, b} của tập X có một hợp [ giao ] trong X Một dàn là một tập sắp thứ tự bộ phận , đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dưới.
Dàn X được gọi là đầy đủ , nếu mỗi tập con của X có một hợp và một giao.
Ví dụ 1.1.9 Giả sử X là tập tất cả các phỏng nhóm con của một phỏng nhóm S kể cả tập rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập Vì giao của một tập tuỳ ý các phỏng nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là một phỏng nhóm con nên X là một dàn đầy đủ.
Định nghĩa đồng cấu
Định nghĩa 1.1.8 [10] Giả sử S và S 0 là các phỏng nhóm Ánh xạ ϕ đi từ S vào S 0 được gọi là đồng cấu nếu ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b) với mọi a, b ∈ S.
Ta sẽ nói ϕ(S) là ảnh đồng cấu của phỏng nhóm S và viết S ∼ ϕ(S) Nếu S là nửa nhóm thì ϕ(S) cũng là nửa nhóm. Đồng cấu một - một ϕ từ phỏng nhóm S vào phỏng nhóm S 0 được gọi là đẳng cấu từ S vào S 0 Trong trường hợp đó ta nói các phỏng nhóm S và ϕ(S) đẳng cấu với nhau và viết S ∼ = ϕ(S). Đồng cấu từ phỏng nhóm S vào chính nó gọi là tự đồng cấu, còn đẳng cấu từ phỏng nhóm S lên chính nó được gọi là tự đẳng cấu.
Ví dụ 1.1.11 Cho X là một nửa nhóm Khi đó ánh xạ đồng nhất:
∀x ∈ X là một tự đồng cấu nửa nhóm Ngoài ra nó còn là một tự đẳng cấu nửa nhóm.
Ví dụ 1.1.12 Cho ánh xạ f : (N, +) → (N, ) n 7→ 2 n là một tự đồng cấu nửa nhóm Ngoài ra f là đơn ánh nên f là đơn cấu từ (N, +) → (N, ).
Ví dụ 1.1.13 Cho A là một nửa nhóm con của X Khi đó ánh xạ j A : A → X, j A (x) = x ∀x ∈ A là đơn cấu nửa nhóm, gọi là phép nhúng chính tắc của A vào X.
Ví dụ 1.1.14 Cho X là một nửa nhóm, Y là một vị nhóm Khi đó ánh xạ f : X → Y, f(x) = 1 Y ∀x ∈ X là đồng cấu nửa nhóm Nếu X là vị nhóm thì ánh xạ f : X → Y, f (x) = 1 Y ∀x ∈X là đồng cấu vị nhóm.
Ideal
Định nghĩa 1.1.9 [10] Ideal trái [phải] của phỏng nhóm S được định nghĩa là một tập con khác rỗng A của S, mà SA ⊆ A[AS ⊆ A] Ideal hai phía hay gọi tắt là iđean nếu nó vừa là iđean trái vừa là iđean phải.
Trong nửa nhóm giao hoán thì khái niệm ideal trái, ideal phải, ideal hai phía là trùng nhau.
[10] Nếu A là tập con khác rỗng của phỏng nhóm S, thì giao của tất cả các iđean trái của S chứa A là ideal trái chứa A và được chứa trong mọi ideal trái tuỳ ý khác có tính chất đó Ta gọi nó là ideal trái của phỏng nhóm S sinh bởi A Nếu A gồm một phần tử a, thì ta gọiL(a) = a∪Sa = S 1 a,R(a) = a ∪aS = aS 1 và J(a) = S 1 aS 1 tương ứng là các ideal chính trái, phải, hai phía của nửa nhóm S sinh bởi a.
[11] Lấy S là một nửa nhóm bất kì Ta có một số tính chất cơ bản của ideal sau:
(α) S là một ideal hai phía của chính nó.
(β) Nếu S có một phần tử không 0 S , thì 0 S là một ideal hai phía của S. (γ) Hợp của các ideal trái bất kì là một ideal trái của chính nó.
(δ) Giao của các ideal trái bất kì là một ideal trái của chính nó nếu giao không rỗng.
(ε) Nếu B là một nửa nhóm con của S, Ilà một ideal trái của S và B∩I6= ∅ thì B∩I là một ideal trái của B.
(ς) Nếu một phần tử x nằm trong một số ideal trái I của nửa nhóm S và y không thuộc I, thì x sẽ không chia hết bên phải cho y.
Những tính chất trên cũng đúng đối với ideal phải.
Bây giờ ta sẽ xét tính chất cơ bản của ideal hai phía.
(α).Hợp của các ideal hai phía bất kì của nửa nhóm S là ideal hai phía của S. (β) Tích của hai ideal hai phía của S là một ideal hai phía của S.
(γ) Giao của các ideal hai phía bất kì của S là một ideal hai phía của S nếu giao không rỗng.
(δ) Giao của hai ideal hai phía của S là một ideal hai phía của S.(ε) Một tập con của S bao gồm một phần tử x là một ideal hai phía của S nếu và chỉ nếu x là phần tử không của S.
(ς) Nếu S có một phần tử 0 S , thì0 S được chứa trong mọi ideal hai phía của S. (η) Nếu B là một nửa nhóm con của S và I là một ideal hai phía của S, thì giao B∩I nếu không rỗng thì cũng là một ideal hai phía của B.
(θ) Nếu I là một ideal hai phía của S, thì tập Y bao gồm tất cả các phần tử U ∈ S sao cho
U S ⊂I là một ideal hai phía của S. Định nghĩa 1.1.10 [11] Một nửa nhóm con B của một nửa nhóm S được gọi là cô lập nếu và chỉ nếu với phần tử x ∈ S và số tự nhiên n bất kì, thì từ x n ∈B suy ra được x ∈B Nếu B là một ideal thì ta nói B là ideal cô lập.
Ví dụ 1.1.15 Tập các số tự nhiên chẵn khác không là một ideal cô lập của N. Định nghĩa 1.1.11 [11] Ideal B của nửa nhóm S được gọi là ideal cô lập hoàn toàn, nếu từ xy ∈B, suy ra x ∈B hoặc y ∈B Tập rỗng qui ước là một ideal cô lập hoàn toàn.
[11] Sau đây là các tính chất của ideal cô lập:
1 Một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của một nửa nhóm S là cô lập.
Chứng minh : Giả sử Blà một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của nửa nhóm S Ta sẽ chứng minh B là một nửa nhóm con cô lập Thật vậy :
∀x n , y n ∈ S và x n y n ∈ B ta suy ra x n ∈ B hoặc y n ∈ B Từ x n = x n−1 x ∈ B suy ra x ∈B Vậy B là một nửa nhóm con cô lập.
2 S chính là một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của chính nó.
3 Một nửa nhóm con B sẽ là cô lập hoàn toàn nếu và chỉ nếu S\B hoặc là một nửa nhóm con hoặc là tập rỗng.
4 Giao của bất kì các nửa nhóm con cô lập là một nửa nhóm con cô lập nếu các nửa nhóm con không rỗng.
Giả sử A = ∩ i B i ( Với B i là các nửa nhóm con cô lập của S và B i 6= ∅).
Lấy x n ∈ A ⇒ x n ∈ ∩ i B i ⇒ x n ∈ B 1 Vì B 1 là một nửa nhóm con cô lập nên ta suy ra x ∈ B 1
Vậy giao của các nửa nhóm con cô lập là một nửa nhóm con cô lập.
5 Hợp của các ideal trái cô lập bất kì là một ideal trái cô lập.
Giả sử B i là các ideal trái cô lập của S ⇒ SB i ⊆ B i và x n ∈ B i ⇒ x ∈ B i
Ta sẽ chứng minh x n ∈ ∪ i B i ⇒ x ∈ ∪ i B i và ∪ i SB i ⊆ ∪ i B i. Thật vậy:
Từ x n ∈ B 1 ; x n ∈ B 2 ; ; x n ∈ B i ta suy ra x n ∈ ∪ i B i và từ x n ∈ B i ⇒ x ∈ B i nên ta suy ra x ∈ ∪ i B i Bây giờ ta đi chứng minh điều thứ 2.
Lấy x ∈ ∪ i SB i suy ra : Nếu x ∈ SB 1 thì suy ra x ∈ B 1 Nếu x ∈ SB 2 thì suy ra x ∈ B 2 Vậy nếu x ∈ SB i nào đó thì suy ra x ∈ B i nào đó.
Nên x ∈ ∪ i SB i thì suy ra x ∈ ∪ i B i Vậy ∪ i SB i ⊆ ∪ i B i Suy ra điều phải chứng minh.
6 Hợp các ideal trái cô lập hoàn toàn bất kì là một ideal trái cô lập hoàn toàn.
Chứng minh : Ta vừa chứng minh ở trên hợp của các ideal trái cô lập là một ideal trái cô lập Bây giờ ta sẽ chứng minh tính hoàn toàn của nó.
Thật vậy, vì x.y ∈ ∪ i B i nên ta có
( vì B i là cô lập hoàn toàn) Từ đó ta suy ra x ∈ ∪ i B i , y ∈ ∪ i B i ( đpcm) 7 Để một ideal B là cô lập, thì điều kiện đủ là với mọi x ∈ S, thì từ x 2 ∈ B suy ra x ∈B.
Giả sử B không phải là ideal cô lập Điều này có nghĩa là cho một số phần tử x ∈ S\B thì x n ∈B.
Lấy một phần tử X từ S\B và một số tự nhiên n sao cho cách chon n là nhỏ nhất trong những số có thể chọn cùng tính chất ( cho bất kì x ∈ S\B) Số n không thể là chẵn và khác số 2, nếu không thì
(x n/2 ) 2 ∈B và cả hai trường hợp có thể xảy ra
1, x n/2 ∈B; 2, x n/2 = Y ∈B; y 2 ∈B mâu thuẫn với cách chọn giá trị nhỏ nhất của n.
Số n cũng không thể là lẻ ( dĩ nhiên n 6= 1), nếu không thì x n+1 ∈B
(mà theo như x n+1 = x n X = x.x n , x n ∈ B, trong khi B ideal trái hoặc phải), và cũng có hai trường hợp có thể xảy ra
(1)x (n+1)/2 ∈B; x (n+1)/2 = y ∈B, y 2 ∈B cũng mâu thuẫn với giá trị nhỏ nhất của n Do đó, n = 2, X ∈ S/, x 2 ∈ B thì x ∈B.
8 Nếu B là một ideal hai phía cô lập của một nửa nhóm S mà S cũng là một ideal hai phía của một trong những nhóm cực tiểu S 0 , thì B cũng là ideal hai phía của nửa nhóm S 0
Chứng minh: Thật vậy, cho bất kì x ∈ S 0 và b ∈B thì tích xb ∈ S khi B⊂ S, và S là ideal hai phía của S 0 Chúng ta giả sử rằng xb ∈B Khi B là cô lập trong S, chúng ta cũng có (xb) 2 ∈B Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra vì
Chúng ta cũng chỉ ra được rằng bx ∈B cũng là điều không thể xảy ra Do đó, B phải là một ideal hai phía của S 0 Điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.1.12 [11] Một nửa nhóm con F của nửa nhóm A được gọi là lọc của A nếu ∀x, y ∈ A, xy ∈ F thì x, y ∈ F.
N(e) là một lọc nhỏ nhất của A chứa e và∀e, y ∈ A : N (e) = {y ∈ A|N (e) = N (y)}.Ví dụ 1.1.16 (Z ∗ , ) là một lọc của (Z, )
Lớp các nửa nhóm
Nửa nhóm giao hoán, tách được [10]
Định nghĩa 1.2.1 Ta nói hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S giao hoán với nhau nếu a.b = b.a Nửa nhóm S được gọi là giao hoán nếu hai phần tử tuỳ ý của nó giao hoán với nhau.
Khi đó ta có luật các số mũ sau : a m+n = a m a n ; (a m ) n = a mn ; (ab) n = a n b n
Nếu a 1 , a 2 , , a n là các phần tử thuộc một nửa nhóm giao hoán và ϕ là một phép thế tuỳ ý trên tập 1,2, ,n, thì a 1ϕ a 2ϕ a nϕ = a 1 a 2 a n Trong nửa nhóm giao hoán tất cả các tích của a 1 , a 2 , , a n là bằng nhau(không kể đến thứ tự các phần tử).
Ví dụ 1.2.1 Nửa nhóm (Z;+);(Q,.) đều là những nửa nhóm giao hoán Định nghĩa 1.2.2 Một nửa nhóm S gọi là tách được nếu nó có tính chất ab = a 2 = b 2 (a, b ∈ S) kéo theo a = b.
Ví dụ 1.2.2 Giả sử k và l là các số nguyên không âm Nửa nhóm P (G P ) = {a, b|ab k = b l a} là nửa nhóm tách được Nửa nhóm này gọi là nửa nhóm Blaum- slag - SolitarBki do hai nhà toán học Blaumslag và SolitarBki nghiên cứu.
Ví dụ 1.2.3 Nửa nhóm giao hoán có luật giản ước là nửa nhóm tách được. Định nghĩa 1.2.3 [11] Một phần tử b của nửa nhóm S được gọi là số chia phải của phần tử a trong nửa nhóm S nếu tồn tại trong S một phần tử x sao cho xb = a.
Phần tử b được gọi là số chia trái của a nếu tồn tại trong S một phần tử y sao cho a = by.
Nếu b là một số chia phải [trái] của a, thì chúng ta nói rằng a là số chia hết bên phải [trái] cho b Nếu b là số chia cả hai bên cho a thì ta nói a là số chia hết cho b ở cả hai bên.
Quan hệ chia hết là một quan hệ phản xạ, bắc cầu và ổn định trên S Nếu quan hệ chia hết ρ là một tương đẳng trên một nửa nhóm S sao cho S/ρlà luỹ đẳng thì ta gọi ρ là luỹ đẳng. Định nghĩa 1.2.4 Nửa nhóm giao hoán S là nửa nhóm " Ácsimét " nếu với hai phần tử tuỳ ý của S, mỗi phần tử chia hết một luỹ thừa nào đó của phần tử kia Nghĩa là với hai phần tử a,b bất kì, tồn tại một số x sao cho ax = b n hay bx = a n Định nghĩa 1.2.5 Mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng một dàn của các nửa nhóm " Ácsimét" ; các nửa nhóm này ta gọi là các " thành phần Ácsimét" của S. Định nghĩa 1.2.6 Ta định nghĩa một quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoán S như sau : aηb (a, b ∈ S) khi và chỉ khi mỗi một trong các phần tử a và b chia hết một luỹ thừa nào đó của phần tử kia. Định lý 1.2.1 Quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng trên S và S/η là ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại của S. Định lý 1.2.2 Mỗi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy nhất thành nửa dàn Y các nửa nhóm Ácsimét S α (α ∈ Y ) Nửa dàn Y đẳng cấu với ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại S/η của S, và các S α (α ∈ Y ) là các lớp tương đương của S theo môđun η. Định nghĩa 1.2.7 Ta nói một tương đẳng ρ trên một nửa nhóm giao hoán S là tách được nếu S/ρ là tách được, nghĩa là nếu abρa 2 ρb 2 kéo theo aρb.
Rõ ràng giao của một tập các tương đẳng tách được trên S là tách được. Định nghĩa 1.2.8 Ta định nghĩa một quan hệ σ trên một nửa nhóm giao hoán S như sau : aσb(a, b ∈ S) khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên dương n sao cho ab n = b n+1 và ba n = a n+1
Chú ý : Nếu tồn tại các số nguyên dương m và n sao cho ab m = b m+1 và ba n = a n+1 , thì aσb. Định lý 1.2.3 Quan hệ σ vừa định nghĩa trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng và S/σ là ảnh đồng cấu tách được tối đại của S.
Hệ quả 1.2.1 Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tách được Nếu a và b là các phần tử thuộc S sao cho ab m = b m+1 và ba n = a n+1 với các số nguyên dương m và n nào đó thì a = b. Định lý 1.2.4 Một nửa nhóm giao hoán là tách được khi và chỉ khi các thành phần Ásimét của nó là giản ước được. Định nghĩa 1.2.9 Một nửa nhóm giao hoán có thể nhúng chìm vào một nhóm khi và chỉ khi nó là một nửa nhóm với luật giản ước. Định nghĩa 1.2.10 Ta gọi nửa nhóm S là thuận nghịch phải nếu giao của hai iđêan chính trái bất kì của S là khác rỗng, tức là Sa ∩ Sb 6= ∅ với mọi a, b ∈ S. Định lý 1.2.5 Mọi nửa nhóm thuận nghịch phải với luật giản ước nhúng chìm được vào một nhóm. Định lý 1.2.6 Một nửa nhóm giao hoán S có thể nhúng chìm được vào một nửa nhóm là hợp của các nhóm khi và chỉ khi S là tách được. Định lý 1.2.7 Một nửa nhóm giao hoán S được biểu diễn một cách duy nhất thành một nửa dàn Y các nửa nhóm Ácsimét S α (α ∈ Y ) Nửa nhóm S có thể nhúng chìm vào một nửa nhóm T là hợp của các nhóm khi và chỉ khi S là tách được, và điều đó xảy ra khi và chỉ khi mỗi S α là giản ước được Nửa nhóm T có thể lấy là hợp của chính nửa dàn Y các nhóm G α , trong đó G α là nhóm các thương của S α với mỗi α ∈ Y. Định nghĩa 1.2.11 Ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi " ≤" như sau : a ≤ b khi và chỉ khi b chia hết a.
Rõ ràng quan hệ hai ngôi "≤" được định nghĩa ở trên là một quan hệ tương đương.
Mệnh đề 1.2.8 Khi S là một nửa nhóm giao hoán, các quan hệ hai ngôi "
≤ N " và "N" được định nghĩa như sau: a≤ N b nếu và chỉ nếu a m ≤ b với một m
> 0 nào đó; aN b nếu và chỉ nếu a m ≤ b và b n ≤ a với m,n > 0 nào đó.
Nửa nhóm chính quy [11]
Định nghĩa 1.2.12 Phần tử a thuộc nửa nhóm S được gọi là phần tử chính qui, nếu chúng ta có thể tìm trong S một phần tử x sao cho axa = a Định nghĩa 1.2.13 Một nửa nhóm mà mỗi phần tử của nó là chính quy thì được gọi là nửa nhóm chính quy. Định nghĩa 1.2.14 Một phần tử a được gọi là chính quy hoàn toàn nếu chúng ta tìm thấy trong S một phần tử a sao cho axa = a, ax = xa. Định nghĩa 1.2.15 Một nửa nhóm mà tất cả các phần tử của nó là phần tử chính quy hoàn toàn thì được gọi là nửa nhóm chính quy hoàn toàn.
Ví dụ 1.2.4 1 Mọi phần tử luỹ đẳng đều là phần tử chính quy Nói riêng, nếu S có phần tử đơn vị thì phần tử ấy là phần tử chính qui.
2 Mọi nhóm đều là nửa nhóm chính qui.
3 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủg x của tập hợp X khác rỗng là nửa nhóm chính qui.
4 Tập các số nguyên Z với phép toán cộng là một nửa nhóm chính qui hoàn toàn.
Một nửa nhóm là nửa nhóm chính qui hoàn toàn nếu nó là một nhóm Nếu S là nhóm giao hoán thì khái niệm chính quy và chính quy hoàn toàn là trùng nhau. Định nghĩa 1.2.16 Một phần tử i của nửa nhóm S mà nó vừa là đơn vị trái của phần tử a ∈ S vừa là chia hết bên trái cho a thì được gọi là phần tử đơn vị chính qui trái. Định nghĩa 1.2.17 i được gọi là phần tử đơn vị chính qui phải của a nếu nó vừa là đơn vị bên phải của a, vừa là chia hết bên phải cho a. Định nghĩa 1.2.18 i được gọi là đơn vị chính qui hai phía của a nếu i vừa là đơn vị hai phía của a, vừa là chia hết cả bên phải và bên trái cho a.
Luỹ đẳng là một phần đặc biệt quan trong trong việc nghiên cứu tính chất của chính qui.
Mỗi luỹ đẳng là một phần tử chính qui hoàn toàn Nó cũng là đơn vị chính qui hai phía của chính nó Một đơn vị chính qui trái của một phần tử bất kì thì luôn là một luỹ đẳng Tương tự với phần tử đơn vị chính qui phải.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất không những là điều kiện cần mà còn là điều kiện đủ để nửa nhóm là nhóm.
(α) Nếu trong một nửa nhóm có đơn vị mà mỗi phần tử trong nửa nhóm có đơn vị chính qui trái thì nửa nhóm đó là một nhóm.
(β) nếu nửa nhóm chính qui S chỉ có duy nhất một luỹ đẳng thì nó là một nhóm.
(γ) Một nhóm chính qui có luật giản ước hai phía thì là một nhóm.
Nửa nhóm ngược
Định nghĩa 1.2.19 [10] Nhóm con G của nửa nhóm S được gọi là nhóm con tối đại của nửa nhóm S nếu nó không được chứa thực sự trong một nhóm con nào khác của S.
Ví dụ 1.2.5 [10] H e là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eSe và H e là nhóm con tối đại của nửa nhóm S. Định nghĩa 1.2.20 [11] Nếu phần tử a và b của nửa nhóm S thoả mãn điều kiện sau : aba = a bab = b thì ta gọi A và B là ngược nhau. Định lý 1.2.9 [10] Mỗi phần tử chính qui của một nửa nhóm có ít nhất một phần tử ngược với nó Một phần tử chính qui hoàn toàn có một phần tử ngược mà giao hoán với nó.
Bổ đề 1.2.1 [10] Hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau và giao hoán với nhau. Định nghĩa 1.2.21 [10] Nửa nhóm ngược là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có một phần tử nghịch đảo duy nhất.
Ví dụ 1.2.6 1 Nếu S là một nhóm thì S là một nửa nhóm ngược, và phần tử ngược của x ∈ S chính là phần tử nghịch đảo nhóm của x.
2 Giả xử X là tập tuỳ ý khác rỗng Khi đó tập hợp J x là các phép biến đổi một - một từ X vào chính nó cùng với phép hợp thành ánh xạ là một nửa nhóm ngược.
[10] Nếu a và b là hai phần tử thuộc một nhóm con tối đại H nào đó của nửa nhóm S, đặc biệt khi S chính là một nhóm, thì a và b ngược nhau khi và chỉ khi chúng là nghịch đảo của nhau trong nhóm H với nghĩa thông thường.
Bổ đề 1.2.2 [10] Nếu e, f, ef và fe là các luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S, thì ef và f e ngược nhau. Định lý 1.2.10 [10] Ba điều kiện sau đối với một nửa nhómS là tương đương:
(i) S chính qui và hai luỹ đẳng bất kì của nó giao hoán với nhau;
(ii) Mỗi iđean chính phải và mỗi iđean chính trái của S có một phần tử sinh luỹ đẳng duy nhất.
(iii) S là nửa nhóm ngược.
Bổ đề 1.2.3 [10]S là một nửa nhóm ngược với luật giản ước phải thì S là một nhóm. Định lý 1.2.11 [10] Giả sử S là một nửa nhóm ngược, và α : S → P là một đồng cấu nửa nhóm Thế thì α(S)là một nửa nhóm con ngược của P Nói riêng, nếu α là toàn cấu thì P cũng là nửa nhóm ngược.
Hệ quả 1.2.2 [10] Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược S Khi đó :
(i) S/ρ là một nửa nhóm ngược.
[10] Giả sử T là một nửa nhóm con của nửa nhóm ngược S Khi đó T được gọi là một nửa nhóm con ngược của S nếu với mọi x ∈ T thì x −1 ∈ T, trong đó x −1 là phần tử ngược của x trong S.
Nửa nhóm đơn
Định nghĩa 1.2.22 [10] Phỏng nhóm S gọi là đơn trái [ phải ] nếu S là iđean trái [ phải ] duy nhất của nó Phỏng nhóm S được gọi là đơn nếu nó không chứa iđean thực sự.
Nếu nửa nhóm đơn S được sinh bởi phần tử x hay S = [x] thì x, x 2 , x 3 , , x n , là tập của tất cả các phần tử của S Nửa nhóm S còn được gọi là nửa nhóm cyclic Phép nhân các phần tử củaS là giao hoán, khi đó ta có luật số mũ sau: x n x m = x n+m Các nửa nhóm đơn cũng được gọi là nửa nhóm cyclic.
Nửa nhóm tuần hoàn [10]
Định nghĩa 1.2.23 Nếu mọi luỹ thừa của X đều khác nhau thì X có cấp vô hạn.
Nếu tồn tại các số nguyên dương r và s với r < s sao cho x r = x s thì X có cấp hữu hạn. Định nghĩa 1.2.24 Một nửa nhóm S được gọi là tuần hoàn nếu mỗi phần tử của nó có cấp hữu hạn Nói riêng, mỗi nửa nhóm hữu hạn là tuần hoàn.
Ta còn có một định nghĩa khác của nửa nhóm tuần hoàn. Định nghĩa 1.2.25 Một nửa nhóm S được gọi là tuần hoàn nếu tất các nhóm con đơn của nó là hữu hạn.
Bổ đề 1.2.4 Một nửa nhóm tuần hoàn với luật giản ước trái là một nhóm nếu và chỉ nếu nó có duy nhất một luỹ đẳng. Định nghĩa 1.2.26 [11] Chúng ta định nghĩa O I là tập gồm tất cả các phần tử chính qui hoàn toàn của S nhận i làm đơn vị chính qui hai phía.
Bổ đề 1.2.5 [11] O I là một nhóm con của nửa nhóm S. Cho nửa nhóm tuần hoàn S Nếu phần tử a ∈ S có luỹ đẳng I là một đơn vị phải của a và I là chia hết bên trái cho a, thì a ∈O I Hay aI = a, ab = I thì a ∈O I
Mỗi nửa nhóm giao hoán tuần hoàn là một nửa dàn các nửa nhóm có một luỹ đẳng.
Nửa nhóm là hợp của các nhóm [10]
Định nghĩa 1.2.27 Một tập con X của một nửa nhóm S gọi là nửa nguyên tố nếu a 2 ∈ X, a ∈ S kéo theo a ∈ X. Định lý 1.2.12 Các điều kiện sau là tương đương trên một nửa nhóm S:
(A) S là hợp của các nhóm.
(B) S vừa là chính quy trái vừa là chính qui phải.
(C) Mỗi iđêan trái và mỗi iđêan phải của S là nửa nguyên tố.
(D) S là chính qui trái và chính qui.
(D’) S là chính quy phải và chính qui.
(E) Mỗi H− lớp của S là một nhóm.
(F) S là hợp của các nhóm rời nhau. Định nghĩa 1.2.28 Luỹ đẳng f thuộc nửa nhóm S được gọi là nguyên thuỷ nếu f 6= 0 và nếu e ≤ f kéo theo e = 0 hoặc e = f.
Ta nói nửa nhóm đơn [0-đơn] hoàn toàn là một nửa nhóm đơn [0-đơn] chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ. Định lý 1.2.13 Một nửa nhóm đơn là hợp của các nhóm khi và chỉ khi nó là đơn hoàn toàn. Định lý 1.2.14 Các mệnh đề sau đây đối với một nửa nhóm S là tương đương:
(A) S là hợp các nửa nhóm đơn.
(B) S là hợp các nửa nhóm đơn hoàn toàn.
(C) S là một nửa dàn Y các nửa nhóm đơn hoàn toàn S α (α ∈ Y ), trong đó Y là một nửa dàn các iđêan chính của S và mỗi S α là một J- lớp của S.
Mở rộng của nửa nhóm [10]
Định nghĩa 1.2.29 Giả sử S và T là các nửa nhóm rời nhau, T có phần tử 0 Ta gọi một nửa nhóm P là một mở rộng (iđêan) của S bởi T nếu nó chứa S như một iđêan và nếu nửa nhóm thương Rixơ P
Các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán [10]
Định nghĩa 1.2.30 Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán với phần tử đơn vị.
Ta định nghĩa một đặc trưng của S là một ánh xạ χ từ S vào trường số phức, không đồng nhất bằng không và thoả mãn
(C 1) χ(ab) = χ(a) χ(b) ( với mọi a, b ∈ S) (C 2 ) |χ(a)| = 0 hay 1 ( với mọi a ∈ S)
Nếu S là một nhóm thì (C 2 ) trở thành |χ(a)| = 1. Định nghĩa 1.2.31 Tập S ∗ tất cả các đặc trưng của S trở thành một nửa nhóm giao hoán nếu ta định nghĩa tích của hai đặc trưng χ và ψ của S như sau :
(χψ)(a) = χ(a)ψ(a) ( với mọi a ∈ S) Ta gọi S ∗ là nửa nhóm đặc trưng của S Phần tử đơn vị của S ∗ là đặc trưng đơn vị 1 ∗ của S xác định bởi 1 ∗ (a) = 1 với mọi a ∈ S.
Nếu S là một nửa nhóm giao hoán không có đơn vị thì ta cần thay đổi định nghĩa " đặc trưng " ở trên bằng cách cho phép nó đồng nhất với không, vì nếu không các đặc trưng của S nói chung không lập thành một nửa nhóm Mỗi đặc trưng χ của S có thể mở rộng một cách duy nhất tới một đặc trưng của
S 1 = S ∪ 1 bằng cách định nghĩa χ(1) = 1, và ta thấy ánh xạ χ → χ|S là một đẳng cấu từ(S 1 ) ∗ lên S ∗ Do đó ta không làm mất tính chất tổng quát nếu giới hạn ở các nửa nhóm với các đơn vị. Định nghĩa 1.2.32 Một iđêan P của S được gọi là một iđêan nguyên tố nếu S\P là một nửa nhóm con của S.
Hợp của hai iđêan nguyên tố của S là một iđêan nguyên tố, nhưng giao nói chung không phải. Định lý 1.2.15 Giả sử H 0 là một nhóm con của một nhóm giao hoán G và giả sử χ 0 là một đặc trưng của H 0 Thế thì tồn tại một đặc trưng χ của G trùng với χ 0 trên H 0 Định lý 1.2.16 Giả sử a và b là các phần tử khác nhau thuộc một nhóm giao hoán G Thế thì tồn tại một đặc trưng χ của G sao cho χ(a) 6= χ(b). Định lý 1.2.17 Các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán S với đơn vị tách được các phần tử thuộc S khi và chỉ khi S là tách được.
Ta đã định nghĩa aσb nếu tồn tại một số nguyên dương n sao cho ab n = b n+1 ; ba n = a n+1 Giả sử ta kí hiệu θ là đồng cấu tự nhiên từ S lên S 0 Nếu χ là một đặc trưng tuỳ ý của S 0 , thì ta định nghĩa χ θ bởi χ θ (a) = χ(aθ) ( với mọi a ∈ S)(2)
Rõ ràng χ θ là một đặc trưng của S. Định lý 1.2.18 Nếu a và b là các phần tử thuộc S thì aσb khi và chỉ khi ψ(a) = ψ(b) với mỗi đặc trưng ψ của S.Ánh xạ χ → χ θ xác định bởi 2 ở trên rõ ràng là một đẳng cấu từ nửa nhóm đặc trưng S 0 ∗ của S 0 lên nửa nhóm đặc trưng S ∗ của S.
Giả sử G và H là các nhóm giao hoán và các nhóm đặc trưng tương ứng của chúng là G ∗ và H ∗ Giả sử ϕ là một đồng cấu từ G tới H Với mỗi χ ∈ H ∗ ta định nghĩa một ánh xạ χϕ ∗ từ G vào trường số phức bởi
Dễ thử thấy rằng χϕ ∗ ∈ G ∗ và χ → χϕ ∗ là một đồng cấu ϕ ∗ từ H ∗ tới G ∗ Ta gọi ϕ ∗ là liên hợp của đồng cấu ϕ từ G tới H. Định lý 1.2.19 Giả sử G và H là các nhóm giao hoán và giả sử G ∗ và H ∗ là các nhóm đặc trưng tương ứng của chúng Giả sử φ là một đồng cấu từ G tới H và φ ∗ là liên hợp của nó Thế thì H ∗ ϕ ∗ đẳng cấu với nhóm đặc trưng của Gφ. Định nghĩa 1.2.33 Một nửa đặc trưng χ của một nửa nhóm con S của một nửa nhóm giao hoán T có thể mở rộng được tới một nửa đặc trưng của T khi và chỉ khi nó thoả mãn điều kiện: nếu a và b là các phần tử thuộc S sao cho a chia hết cho b trong T thì |χ(a)| ≥ |χ(b)|. Định lý 1.2.20 Giả sử T là một nửa nhóm giao hoán với đơn vị sao cho điều kiện tối thiểu đúng đối với ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại của T, và giả sử S là một nửa nhóm con bất kì của T sao cho với mỗi thành phần Acsimét T α của nửa nhóm T, giao S ∩ T α hoặc rỗng hoặc là một nửa nhóm con Acsimét Thế thì một đặc trưng bất kì của S có thể mở rộng được tới một đặc trưng của T.
Quan hệ Green [10]
Định nghĩa 1.2.34 Ta nói hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là L–tương đương nếu chúng sinh ra cùng một ideal chính trái của S Tính R – tương đương được định nghĩa một cách đối ngẫu Ta kí hiệu hợp của các quan hệ tương đương L và R là D , còn giao của chúng là H.
Ta định nghĩa quan hệ L trên một nửa nhóm S bằng cách đặt aLb khi và chỉ khi a và b sinh ra cùng một ideal chính trái của S Hay nói khác đi, L là một tập con của SxS gồm tất cả các cặp (a,b) sao cho a ∪ Sa = b ∪ Sb hayS 1 a = S 1 b Trong đó S 1 trùng với S nếu như S chứa đơn vị, còn trong trường hợp S không chứa đơn vị thì ta ghép thêm đơn vị 1 Rõ ràng L là một quan hệ tương đương và nó còn là một tương đẳng phải.Nếu aLb thì ta nói a và bL - tương đương Ta kí hiệu L a là tập tất cả các phần tử thuộc S mà L − tương đương với a, hay L a là lớp tương đương theo mod L chứa a, ta gọi nó làL − lớp chứa a Ta định nghĩa quan hệ R một cách đối ngẫu, bằng cách đặt aRb khi và chỉ khi aS 1 = bS 1 Chú ý rằngR là tương đẳng trái trên S Ta kí hiệu R a là lớp tương đương của S theo mod R chứa a, hay ta còn gọi là R − lớp chứa a.
D − lớp của S chứa phần tử a sẽ được kí hiệu bởi D a Trên nửa nhóm S ta xác định quan hệ J bằng cách đặt aJb khi và chỉ khi S 1 aS 1 = S 1 bS 1 , tức là các phần tử a và bJ − tương đương khi và chỉ khi chúng sinh ra cùng một iđean chính hai phía Ta kí hiệu J a là tập tất cả các phần tử sinh ra iđean S 1 aS 1 , tức là J − chứa a Ta cũng kí hiệu H − lớp chứa a là H a Rõ ràng H a = R a ∩ L a Chú ý rằng R- lớp R và L- lớp L của nửa nhóm S giao nhau khi và chỉ khi chúng được chứa trong một D-lớp của S.
Bổ đề 1.2.6 (Grin) Giả sử a và b là các phần tử R- tương đương tuỳ ý thuộc nửa nhóm S, và giả sử s, s 0 là các phần tử thuộc S 1 sao cho as = b và bs 0 a.( Tồn tại các phần tử s, s 0 như vậy) Khi đó các ánh xạ x → xs(x ∈ L a ) và y → ys 0 (y ∈ L b ) ngược nhau bảo tồn các R- lớp và ánh xạ một - một từ L a lên L b và từ L b lên L a tương ứng. Định lý 1.2.21 Tích LR của L- lớp bất kì L và R - lớp bất kì R của nửa nhóm S được chứa hoàn toàn trong một D - lớp của S.
1.3 Liên quan tới đồng cấu nửa nhóm [10]
Ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi trên tập một tập X là một tập con ρ của tích Đề Các X × X của tập X với chính nó Nếu (a, b) ∈ ρ, trong đó a và b là các phần tử thuộc X, thì ta cũng sẽ viết aρb và nói " a nằm trong quan hệ ρ với b".
Nếu ρ và σ là các quan hệ trên X, thì cái hợp thành ρ ◦ σ của chúng được định nghĩa như sau : (a, b) ∈ ρ ◦ σ nếu tồn tại phần tử x ∈ X, sao cho (a, x) ∈ ρ và
(x, b) ∈ σ. Quan hệ ngược ρ −1 của quan hệ ρ được định nghĩa như sau: (a, b) ∈ ρ −1 ⇔ (b, a) ∈ ρ.
Nếu ρ là một quan hệ tuỳ ý trên X, thì ta định nghĩa bao đóng bắc cầu ρ t của một quan hệ ρ bằng cách đặt: ρ t = ∞ ∪ n≥1 ρ n = ρ ∪ (ρ ◦ ρ) ∪ (ρ ◦ ρ ◦ ρ) ∪
Giao của một tập tuỳ ý các quan hệ tương đương là một quan hệ tương đương.
Giả sử ϕ là ánh xạ từ tập X vào X 0 Thế thì ϕ có thể coi như một quan hệ trên tậpX ∪ X 0 Với mỗi x 0 ∈ X 0 ta có x 0 ϕ −1 = x ∈ X|xϕ = x 0 Cái hợp thành ϕ ◦ ϕ −1 được chứa trong X × X, thành thử nó được coi như một quan hệ trên X và ta thấy (x, y) ∈ ϕ ◦ ϕ −1 khi và chỉ khixϕ = yϕ Từ đó ϕ ◦ ϕ −1 là một quan hệ tương đương Giả sửρ là một tương đẳng trên phỏng nhóm S và A,B là các phần tử tuỳ ý thuộc tập S/ρ, tức là các lớp tương đương của S theo mod ρ Ta định nghĩa phép nhân ◦ trong S/ρ bằng cách đặt A ◦ B = C với C là một lớp tương đương nào đó của S/ρ Tập S/ρ với phép toán (◦) là một phỏng nhóm mà ta gọi là phỏng nhóm thương của S theo mod ρ
Ta kí hiệu aρ(a ∈ S) là lớp tương đương theo mod ρ chứa a Khi đó theo định nghĩa của phép toán (◦) thì aρ ◦ bρ = (ab)ρ với mọi a, b ∈ S Nếu kí hiệu ρ ξ là ánh xạ tự nhiên từ phỏng nhóm S lên S/ρ, ta được aρ = aρ ξ với mọi a ∈ S, và vì vậy aρ ξ ◦ bρ ξ = abρ ξ Như vậy ρ ξ là một đồng cấu Ta gọi nó là đồng cấu tự nhiên( hay chính tắc) từ phỏng nhóm S lên S/ρ Nếu S là nửa nhóm thì S/ρ cũng là nửa nhóm. Định lý 1.3.1 (Định lý cơ bản về đồng cấu) : Giả sử θ là một đồng cấu từ phỏng nhóm S lên phỏng nhóm S 0 , và giả sử ρ = θ ◦ θ −1 , tức là aρb(a, b ∈ S) khi và chỉ khi aρ = bρ Thế thì ρ là một tương đẳng trên S và tồn tại đẳng cấu ψ từ phỏng nhóm S/ρ lên S 0 sao cho ρ ξ ψ = θ, trong đó ρ ξ là đồng cấu tự nhiên từS lên S/ρ. Định lý 1.3.2 Giả sử ϕ 1 , ϕ 2 là các đồng cấu từ phỏng nhóm S tương ứng lên các phỏng nhóm S 1 và S 2 sao cho ϕ 1 ◦ ϕ 1 −1 ⊆ ϕ 2 ◦ ϕ 2 −1 Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất θ từ phỏng nhóm S 1 lên phỏng nhóm S 2 sao cho ϕ 1 θ = ϕ 2
Hệ quả 1.3.1 Nếu ρ 1 và ρ 2 là các tương đẳng trên phỏng nhóm S, sao cho ρ 1 ⊆ ρ 2 , thì S/ρ 1 ∼ S/ρ 2
Bổ đề 1.3.1 Giả sử C là một tính chất trừu tượng của phỏng nhóm, tức là một tính chất sao cho nếu một trong hai phỏng nhóm đẳng cấu với nhau có tính chất C thì phỏng nhóm kia cũng có tính chất đó Ta nói tương đẳng σ trên phỏng nhóm S có kiểu C nếu S/σ có tính chất C Giả thuyết rằng giao ρ của tất cả các tương đẳng σ trên S có kiểu C cũng có kiểu C Thế thì S/ρ là ảnh đồng cấu tối đại của chất C và mỗi ảnh đồng cấu của phỏng nhóm S có tính chất C là ảnh đồng cấu của phỏng nhóm S/ρ.
Nếu ρ ◦ là quan hệ tuỳ ý trên phỏng nhóm S, thì tồn tại ít nhất một tương đẳng trên S chứa ρ ◦ Suy ra tồn tại giao ρ của tất cả các tương đẳng trên S chứa ρ ◦ Ta gọi ρ là tương đẳng trên S sinh bởi quan hệ ρ ◦
Ta kí hiệu τ là quan hệ bằng nhau của tập X × X, cụ thể (a, b) ∈ τ khi và chỉ khi a = b.
Giả sử ρ 1 = ρ ◦ ∪ ρ −1 ◦ ∪ τ Đặt aρ 2 b(a, b ∈ S) khi và chỉ khi a = xcy, b = xdy và cρ 1 d với c, d nào đó thuộc S và x,y nào đó thuộc S 1 Ta gọi việc chuyển từ a tới b và ngược lại, là ρ ◦ − bắc cầu sơ cấp. Định lý 1.3.3 Giả sử ρ ◦ là một quan hệ trên nửa nhóm S và ρ là tương đẳng trên S, sinh bởi ρ ◦ Thế thì aρb(a, b ∈ S) khi và chỉ khi b có thể thu được từ a bằng một dãy hữu hạn ρ ◦ - bắc cầu sơ cấp.
Giả sử ψ là ánh xạ của tập Ω 1 vào tập Ω 2 và ϕlà ánh xạ của tập Ω 2 vào tập Ω 3 Chúng ta xác định ánh xạ χ của tập Ω 1 vào tập Ω 3 như sau: χ(α) = ϕ[ψ(α)], (α ∈ Ω 1 ) Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ χ được xác định như trên gọi là tích các ánh xạ ϕ và ψ và được viết là χ = ϕ.ψ hoặc χ = ϕψ.
Tính chất của tích các đồng cấu [11]
Giả sử rằng ψ là một đồng cấu của nửa nhóm S vào nửa nhóm B và ϕ là một đồng cấu của B vào nửa nhómC Tích các phép biến đổi χ = ϕ.ψ đã được xác định ở trên được gọi là tích của các đồng cấu Đồng cấu ψ được gọi là chia phải của đồng cấu χ hayχ được gọi là bị chia phải bởi đồng cấu ψ Khi đó ta viết ψ ∼ χ(p) với p là quan hệ chia phải của các đồng cấu.
Cho hai đồng cấuψ 1 và ψ 1 Nếu chúng ta có đồng thờiψ 1 ∼ ψ 2 (p)và ψ 2 ∼ ψ 1 (p) thì chúng ta sẽ viết ψ 1 ∼ ψ 2 (q).
1 Nếu cho các đồng cấu ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 mà tích ϕ 1 ϕ 2 và ϕ 2 ϕ 3 được xác định thì các tích (ϕ 1 ϕ 2 )ϕ 3 và ϕ 1 (ϕ 2 ϕ 3 ) cũng được xác định và bằng nhau.
2 Nếu cho các đồng cấu ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 trong đó ϕ 1 ∼ ϕ 2 (p) và ϕ 2 ∼ ϕ 3 (p) thì ta cũng có ϕ 1 ∼ ϕ 3 (p).
3 Nếu cho các đồng cấu ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 trong đó ϕ 1 ∼ ϕ 2 (q) và ϕ 2 ∼ ϕ 3 (q) thì ta cũng có ϕ 1 ∼ ϕ 3 (q).
4 Nếu cho các đồng cấuϕ 1 , ϕ 2 và một đẳng cấu εsao cho ϕ 1 = εϕ 2 thì sẽ tồn tại một đẳng cấu ε 0 sao cho ϕ 2 = ε 0 ϕ 1
5 Cho các đồng cấu ϕ 1 , ϕ 2 của cùng một nửa nhóm, quan hệ ϕ 1 ∼ ϕ 2 (q) nếu và chỉ nếu tồn tại một đẳng cấu ε sao cho ϕ 1 = εϕ 2
6 Nếu cho các đồng cấu ϕ 1 , ϕ 1 0 , ϕ 2 , ϕ 2 0 của nửa nhóm S Chúng ta có ϕ 1 ∼ ϕ 1 0 (q), ϕ 2 ∼ ϕ 2 0 (q), ϕ 2 ∼ ϕ 1 (p), thì ϕ 2 0 ∼ ϕ 1 0 (p).
Chứng minh: Thực vậy, từ đẳng cấu ε 1; ε 2 và một đồng cấu ψ chúng ta luôn có ϕ 1 0 = ε 1 ϕ 1 , ϕ 2 0 = ε 2 ϕ 2 , ϕ 1 = ψϕ 2
Gọi ε 2 0 là một đẳng cấu ngược của đẳng cấu ε 2 từ nửa nhóm ϕ 2 0 (S) lên ϕ 2 (S), chúng ta có : ϕ 1 0 = ε 1 ϕ 1 = ε 1 ψϕ 2 = ε 1 ψε 2 0 ε 2 ϕ 2 = (ε 1 ψε 2 0 )ϕ 2 0 do đó suy ra ϕ 2 0 ∼ ϕ 1 0 (p)
7 Nếu ϕ là một trong số những đồng cấu của nửa nhómS và ε là một trong những đẳng cấu của nó, thì ε ∼ ϕ(p)
8 Nếu ε là một đẳng cấu của nửa nhóm U và ϕ là một đồng cấu của S với ϕ ∼ ε(p), thì ϕ cũng là một đẳng cấu.
Thật vậy, với một số đồng cấu ψ chúng ta có ε = ψϕ
Khi ε là ánh xạ một - một , thì ánh xạ ϕ cũng là ánh xạ một - một.
9 Lấy ϕ, ψ là hai đồng cấu của nửa nhóm S Để ϕ ∼ ψ(p), điều kiện cần và đủ là nếu ϕ(A) = ϕ(B) với mọi A, B ∈ S, thì ψ(A) = ψ(B)
Thật vậy, nếu cho một số đồng cấu χ, và ψ = χϕ thì từ ϕ(A) = ϕ(B) ta luôn có ψ(A) = (χ.ϕ)(A) = χ.[ϕ(A)] = χ.[ϕ(B)] = (χ.ϕ)(B) = ψ(B).
Mặt khác, nếu ϕ và ψ sao cho từ ϕ(A) = ϕ(B ) ta luôn suy ra được ψ(A) = ψ(B) thì cho nửa nhóm ϕ(S) người ta có thể định nghĩa ánh xạ χ của nó vào nửa nhóm ψ(S) Đặt χ[ϕ(A)] = ψ(A). Ánh xạ này được định nghĩa duy nhất, không phụ thuộc vào cách chọn đại điện A trong lớp những phần tử X ∈ S mà ϕ(X) = ϕ(A), khi đó nếu ϕ(A) = ϕ(A 0 ), thì chúng ta cóψ (A) = ψ(A 0 ) trong ψ(S) Từ thực tế là ψ và ϕlà các đồng cấu, thì ngay lập tức ánh xạ χ cũng là một đồng cấu Do đó, χϕ = ψ hay ϕ ∼ ψ(p).
Đồng cấu nửa nhóm ngược [11]
Chúng ta kí hiệu nửa nhóm ngược của nửa nhómS làS Phần tử ngược của phần tử A ∈ S là A.
Bổ đề 1.3.2 Nếu ϕ là một đồng cấu của một nửa nhóm ngược S, và nếu ϕ(A)(A ∈ S) là một luỹ đẳng của nửa nhóm ϕ(S), thì S chứa một luỹ đẳng I sao cho ϕ(I) = ϕ(A) Định lý 1.3.4 Nếu ϕ là một đồng cấu của nửa nhóm ngược S, thì ϕ(S) cũng là một nửa nhóm ngược.
Hệ quả 1.3.2 Nếu ϕ là một đồng cấu của một nhóm ngược S, thì với mỗi X ∈ S thì ta có ϕ(X) = ϕ(X) trong nửa nhóm ngược ϕ(S).
Hệ quả 1.3.3 Giả sử rằng ϕ là một đồng cấu của một nhóm ngược S, và λ = ϕ(A)(A ∈ S) là một luỹ đẳng của nửa nhóm ϕ(S) Thì họ S λ tất cả các phần tử B của S sao cho ϕ(B ) = λ là một nửa nhóm ngược.
XẤP XỈ NỬA NHÓM ỨNG VỚI CÁC MỆNH ĐỀ KHÁC NHAU 30
Xấp xỉ nửa nhóm [8]
Lý thuyết xấp xỉ được sử dụng nhiều trong toán học Nó là phương pháp để nghiên cứu một cấu trúc đại số Nếu cấu trúc A phức tạp, thì thay vì nghiên cứu nó, người ta thường nghiên cứu ảnh của nó qua phép đẳng cấu hay đồng cấu Trong bài toán chúng ta đang nghiên cứu Các nửa nhóm A thường là lớp các nửa nhóm có cấu trúc phức tạp, ví dụ như nửa nhóm tự do và mệnh đề đang xét là bằng nhau của hai phần tử.
Thay vì nghiên cứu sự bằng nhau của hai phần tử ở nửa nhóm A, ta xét nửa nhóm tạo bởi các ảnh của nó qua phép đồng cấu từ A vào C* Nếu hai phần tử a và b khác nhau, thì ảnh của nó cũng khác nhau.
Bài toán xấp xỉ nửa nhóm thường được phát biểu như sau Cho trước một mệnh đề ví dụ như sự bằng nhau của hai phần tử và tập các ánh xạ chẳng hạn như đồng cấu nửa nhóm Tìm điều kiện cần và đủ để một nửa nhóm cho trước xấp xỉ được tương ứng với mệnh đề đã cho bởi các đồng cấu nhóm Hầu như tất cả các mệnh đề quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm đều đem ra phân tích nghiên cứu và đều tìm ra được điều kiện cần và đủ Trong một thời gian dài bài toán tìm điều kiện cần và đủ cho xấp xỉ nửa nhóm tương ứng với mệnh đề: phần tử thuộc nhóm con chưa có lời giải Vào cuối năm 1999, Đặng Văn Vinh đã giải được bài toán này và đã bảo vệ thành công luận án tiến sỹ Kết quả được đăng trong tạp chí bên Nga và được phản biện bởi các nghiên cứu viên về lý thuyết nửa nhóm. Ở đây Đặng Văn Vinh đã xây dựng được một nửa nhóm rất đặc biệt C ∗ Đây là nửa nhóm con xấp xỉ nhỏ nhất Nửa nhóm này không có phần tử đơn vị và cũng không có phần tử 0 Nó chứa vô hạn các phần tử lũy đẳng và sự hiện diện của từng phần tử lũy đẳng là bắt buộc Nửa nhóm con đặc biệt này được nhắc đến trong cuốn sách chuyên ngành Zablisheva L.V, S.U Korabel’chikova, I.N.Popov Some special semigroups and their homomorphisms, Arkhangensk, 2013, 128 trang Cũng cần nói thêm là các nghiên cứu trước kia khi xét bài toán xấp xỉ nửa nhóm tương ứng với các mệnh đề ngoại trừ mệnh đề "phần tử thuộc nửa nhóm con" đòi hỏi phải ghép thêm phần tử đơn vị và phần tử không thì bài toán mới giải được Ở đây ta không cần ghép thêm phần tử 0 và phần tử đơn vị vào C ∗ , các kết quả trước kia vẫn còn đúng khi xét các đồng cầu nửa nhóm vào C ∗ Định nghĩa 2.1.1 Cho A là một nửa nhóm và B là nửa nhóm giao hoán Một đặc trưng tổng quát là một đồng cấu từ A vào B. Định nghĩa 2.1.2 Cho A là một nửa nhóm, B là một nửa nhóm giao hoán, Φ là tập hợp tất cả các đặc trưng tổng quát từ A vào B, P là một mệnh đề định nghĩa trên tập gồm tất cả các phần tử của A, tất cả các tập hợp con của A, tất cả các ảnh của A vào B Nửa nhóm A gọi là xấp xỉ được bởi các đặc trưng tổng quát Φ tương ứng với mệnh đề P, nếu với mọi cặp các tập con A 1 , A 2 của A sao cho P(A 1 , A 2 ) sai, thì tồn tại một đặc trưng tổng quát ϕ∈ Φ, sao cho P(ϕ(A1), ϕ(A2)) cũng sai. Định nghĩa 2.1.3 Cho một nhóm Abel vô hạn p−group gồm tất cả các nhóm cyclic Khi đó tồn tại một số nguyên tố p sao cho ta có một phép đẳng cấu duy nhất từ nhómp−group lên nhóm nhân của tất cả các nghiệm phương trình z p n = 1, n = 1,2,3 trong trường số phức với phép nhân thông thường Thì khi đó ta gọi nhóm p−group là nhóm quasicyclic Nếu n → ∞ thì ta nói nhóm p−group là nhóm quasicyclic kiểu P ∞ Định nghĩa 2.1.4 Cho Q là tập hợp tất cả các số nguyên tố, G P , p ∈ Q là một nhóm quasicyclic với kiểu P ∞ với đơn vị e p và phép toán hai ngôi
⊕ p Ký hiệu C ∗ = ∪G p , p ∈ Q Ta định nghĩa trên C ∗ một phép toán như sau:
ap⊕ p aq , if p= q; a max{p,q} , if p 6= q & max{p, q} > 3; e 5 , if p 6= q & max{p, q} = 3.
Vì tính đơn giản, trong luận văn này chúng ta ký hiệua p a q thay vì a p ∗a q Kiểm tra trực tiếp ta thấy C ∗ là một nửa nhóm giao hoán Nửa nhóm C ∗ không có phần tử đơn vị và cũng không có phần tử không Mỗi phần tử ep là một lũy đẳng, nó là một đơn vị trong nhóm con Gp.
Tập hợp tất cả các ideal cô lập hoàn toàn của nửa nhóm A là một nửa dàn trên tương ứng với phép toán hợp của hai tập hợp Phần tử không của nửa dàn này là ∅, phần tử đơn vị của nửa dàn này là A.
Mệnh đề 2.1.1 Cho I là một ideal cô lập hoàn toàn của nửa nhóm A. Xét ánh xạ ϕ : A ⇒C ∗ theo qui tắc sau: ϕ(a)
, với p, q là hai số nguyên tố tùy ý, thỏa p < q.
Khi đó ánh xạ ϕ là một lũy đẵng của nửa nhóm tất cả các đồng cấu của A vào C ∗
Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh ϕ là một đồng cấu Với mọi a, b ∈ A Xét hai khả năng.
Trường hợp 1 ϕ(ab) = e p Khi đó ab ∈ I Vì I là ideal cô lập hoàn toàn nên a ∈ I hoặc b ∈ I Từ đó suy ra ϕ(a) = e p hoặc ϕ(b) = e p Trong cả hai trường hợp ta đều cúϕ(a)ãϕ(b) =epãe p = ep Hayϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Trường hợp 2 ϕ(ab) = eq Khi đó ab 6∈ I Suy ra cả hai phần tử a và b đều không thuộc I Theo định nghĩa của ánh xạ ϕ, ta có ϕ(a) = e q và ϕ(b) =e q , hay ϕ(a)ϕ(b) = e q ãe q = e q = ϕ(ab).
Trong mọi trường hợp ta đều có ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), hay ϕ là một đồng cấu.
Với mọi a ∈ A, hiển nhiờn ta cú ϕ(a)ã ϕ(a) = ϕ(a) Hay ϕ là một lũy đẵng.
Ví dụ 2.1.1 Xét nửa nhóm A = {a;b;c} tạo thành một xích Chứng tỏ rằng A không xấp xỉ được vào B = 0; 1 bởi các đồng cấu tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm con Xét nửa nhóm con của A là A 1 = {a;c} không chứa phần tử b của A Giả sử tồn tại một đồng cấu ϕ từ A vào B sao cho ϕ(b) ∈/ ϕ(A 1 ) Chỉ có thể tồn tại hai khả năng: a/ ϕ(b) = 0 và ϕ(A 1 ) = 1 Khi đó ϕ(a) = ϕ(c) = 1, ϕ(b) = 0. Mặt khỏc, vỡ c = bc, nờn ϕ(c) = ϕ(bc) = ϕ(b)ϕ(c) = 1 ã 0 = 0 Mõu thuẫn. b/ ϕ(b) = 1 và ϕ(A 1 ) = 0 Khi đó ϕ(a) = ϕ(c) = 0, ϕ(b) = 1. Mặt khỏc, vỡ b = ba, nờn ϕ(b) = ϕ(ba) = ϕ(b)ϕ(a) = 1 ã 0 = 0 Mõu thuẫn.
Tóm lại, nửa nhóm con A không thể xấp xỉ được bởi các đồng cấu vào nửa nhóm B tương ứng với mệnh đề "phần tử thuộc nửa nhóm con".
Xấp xỉ nửa nhóm tương ứng với mệnh đề" bằng nhau" [3] 33
Mệnh đề quan trọng đầu tiên trong tập hợp các mệnh đề là "sự bằng nhau của hai phần tử" Một ứng dụng của xấp xỉ đối với mệnh đề này như sau: xét một ngôn ngữ, ví dụ như tiếng Anh được xây dựng trên bảng các chữ cái a,b,c, , với một số quy tắc cho trước trong tiếng Anh.
Trên tập hợp này xét phép toán hai ngôi là sự viết liền nhau vào bên trái, chẳng hạn từ hello gồm các chữ cái viết liền nhau tạo ra một từ Tập hợp gồm tất cả các từ tạo thành từ alphabet tiếng Anh này với phép toán vừa nêu là một nửa nhóm vì có tính kết hợp Lưu ý là nửa nhóm này không giao hoán Nửa nhóm này được gọi là nửa nhóm tự do Ứng dụng của xấp xỉ đối với mệnh đề này là có thể xây dựng một thuật toán xét xem một từ cho trước (tức là một phần tử) có thuộc một đoạn văn (tức là một tập hợp) nào đó hay không Kublanovski S.I đã chứng minh tồn tại một mệnh đề như vậy Quay lại với mệnh đề đầu tiên "sự bằng nhau của hai phần tử". Định lý 2.2.1 Nửa nhóm A xấp xỉ được bởi các đặc trưng tổng quát tương ứng với mệnh đề bằng nhau khi và chỉ khi A là nửa nhóm giao hoán và tách được.
Chứng minh Điều kiện cần.
Giả sử A xấp xỉ được bởi các đặc trưng tổng quát tương ứng với mệnh đề bằng nhau Ở đây ta dùng phép phản chứng Giả sử A không giao hoán Tức là tồn tại hai phần tử a, b ∈ A, sao cho ba 6= ab Khi đó do giả thiết xấp xỉ được nên tồn tại một đặc trưng tổng quát ϕ thỏa ϕ(ba) 6= ϕ(ab) ⇔ ϕ(b)ϕ(a) 6= ϕ(a)ϕ(b), đẳng thức cuối cùng không thể xảy ra trong ϕ là đặc trưng tổng quát Vậy ∀a, b ∈ A, ta có ba = ab, hay A là nửa nhóm giao hoán.
Giả sửAkhông phải là nửa nhóm tách được Tồn tại hai phần tử a, b ∈ A sao cho ab = a 2 = b 2 và a 6= b Khi đó tồn tại một đặc trưng tổng quát ϕ thỏa ϕ(a) 6= ϕ(b) (*) Từ ab = a 2 = b 2 , suy ra ϕ(ab) =ϕ(a 2 ) = ϕ(b 2 ) ⇔ ϕ(a)ϕ(a) = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(b)ϕ(b) (**) Vì ϕ(a), ϕ(b) ∈ C ∗ , nên có hai khả năng xảy ra: ϕ(a), ϕ(b) cùng thuộc một nhóm con G p , do vậy ϕ(a) =ϕ(b), mâu thuẩn với (*). ϕ(a), ϕ(b) thuộc hai nhóm con Gp, Gq phân biệt Vì giao của hai nhóm con này không có phần tử chung nên ϕ(a)ϕ(a) 6= ϕ(b)ϕ(b), cũng mâu thuẩn với (**).
Vậy A là nửa nhóm giao hoán và tách được. Điều kiện đủ.
Ta chứng minh rằngAxấp xỉ được bởi các đặc trưng tổng quát tương ứng với mệnh đề "bằng nhau của hai phần tử" DoAlà nửa nhóm giao hoán và tách được, nên theo [10], A có thể biểu diễn là nửa giàn A = ∪A e , e ∈ E của các nửa nhóm Archimed Ae, e ∈ E và do vậy A có thể nhúng vào nửa nhóm T là hợp các nhóm con không cắt nhau T = ∪G e , với G e là nhóm riêng của nửa nhóm A e
Giả sử a, b ∈ A và a 6= b Hai phần tử này có thể thuộc hai thành phần Archimed khác nhau của A hoặc cả hai phần tử cùng thuộc một thành phần Archimed Trong mỗi trường hợp ta xây dựng một đặc trưng tổng quát ϕ : A−→ C ∗ , sao cho ϕ(a) 6= ϕ(b).
Vì a, b ∈ A, nên tồn tại ea, eb sao cho a ∈ Ae a , b ∈ Ae b Xét hai trường hợp.
Trường hợp 1 e a 6= e b Khi đó hoặc e a e b 6= e a hoặc e a e b 6= e b Không mất tính tổng quát, giả sử e a e b 6= e a
Xây dựng một ánh xạ ψ : A −→C ∗ như sau:
aq 0 , if x ∈ Ae x and exea = ea; ap 0 , if x ∈ Ae x and exea 6= ea; với p 0 , q 0 là hai số nguyên tố cho trước sao cho p 0 > q 0 > 2. Ta có ánh xạ ψ là một đồng cấu nửa nhóm Thậy vậy, với mọi x ∈ A e x và y ∈ A e y Xét các khả năng sau: a/ exea = ea và eyea = ea Khi đó exyea = exeyea = exea = ea và ψ(xy) = eq 0 = eq 0 eq 0 = ψ(x)ψ(y). b/ e x e a 6= e a và e y e a = e a Khi đó e xy e a = e x e y e a = e x e a 6= e a và ψ(xy) = e p 0 = e p 0 e q 0 = ψ(x)ψ(y). c/ e x e a 6= e a và e y e a 6= e a Giả sử e a = e xy e a = e x e y e a = e x e x e y e a = e x e xy e a = e x e a 6= e a Từ đây suy ra e xy e a 6= e a Khi đó ψ(xy) = e p 0 = e p 0 e q 0 = ψ(x)ψ(y).
Vậy ta đã kiểm tra đượcψ là một đồng cấu nửa nhóm từ Avào C ∗ , ngoài ra ψ(a) =eq 0 6= ep 0 = ψ(b).
Trường hợp 2 Hai phần tử a, b cùng thuộc một thành phần Archimed A e 0 của nửa nhóm A, có nghĩa là e a = e b = e 0
Vì a 6= b, nên g = ab −1 6= e 0 , với g ∈ G e 0 và G e 0 là nhóm riêng của nửa nhóm A e 0
Giả sử h là chiều cao của phần tử g theo một số nguyên tố q 0 Theo bổ đề 26.4,trang 85 [16], tồn tại một nhóm con lớn nhất H của nhóm G e 0 , sao cho g 6= H và G e 0 /H ≈ C(q 0 h+1 ) Suy ra tồn tại một đồng cấu nửa nhóm ϕ: Ge 0 −→ C(q 0 h+1 ) thỏa ϕ(H) = eq 0 và ϕ(g) 6= eq 0
Từ chỗ g = ab −1 ta có ϕ(ab −1 ) 6= e q 0 Hay cuối cùng ϕ(a) 6= ϕ(b). Cần lưu ý thêm rằng C(q h+1 0 ) là nhóm con của C(q 0 ) và C(q 0 ) ≈ G q 0 , trong đó G q 0 là nhóm con của C ∗ Vậy ta có thể coi đồng cấu ϕ: G e 0 −→
C ∗ và e 0 = e q 0 Tiếp theo ta xây dựng ánh xạ:ψT −→C ∗ theo qui tắc sau:
e q 0 , if x ∈ G e x and e x e 0 = e 0 ; ϕ(xe 0 ) , if x ∈ G e x and e x e 0 = e 0 trong đó p 0 là một số nguyên tố cố định trước, sao cho p 0 6= 3 vàp 0 > q 0 Dễ dàng kiểm tra thấy nếu x ∈ G e x , và e x e 0 = e 0 , thì xe 0 ∈ G e 0
Cần chứng minh rằng ψ là một đồng cấu nhóm.
Nếu e x e 0 = e 0 và e y e 0 = e 0 , thì e xy e 0 = e 0 và ψ(xy) = ψ(xye 0 ) ψ(xe0)ψ(ye0) = ψ(x)ψ(y). Nếu e x e a 6= e a và e y e a = e a , thì e xy e a = e x e y e a = e x e a 6= e a và ψ(xy) e p 0 = e p 0 ψ(ye 0 ) = ψ(x)ψ(y).
Nếu e x e a 6= e a và e y e a 6= e a , thì e xy e a 6= e a và ψ(xy) = e p 0 = e p 0 e p 0 ψ(x)ψ(y).
Trong mọi trường hợp ta chứng minh được ψ là đồng cấu nửa nhóm T vào nửa nhómC ∗ thỏa tính chất ψ(a) =ϕ(a) 6= ϕ(b) =ψ(b) Hiển nhiên rằng giới hạn của ψ trên A là đồng cấu nửa nhóm của A vào C ∗ và đồng cấu này tách được hai phần tử khác nhau của A. Điều kiện đủ của định lý đã được chứng minh hoàn toàn.
Xấp xỉ nửa nhóm ứng với mệnh đề "các quan hệ Green" [9] 37
Ký hiệu A 1 a = Aa∪a;aA 1 = aA∪a; a¯lb khi hai phần tử a và b không cùng thuộc một lớp của quan hệ Grin L-tương đương Tương tự cho a¯rb; adb¯; a¯hb
Các định nghĩa về quan hệ Grin như: L-, R-, D-, H-tương đương có thể tìm thấy trong [10]. Định lý 2.3.1 Nửa nhóm A xấp xỉ được bởi các đồng cấu từ Φ tương ứng với mệnh đề "quan hệ Grin H-tương đương" khi và chỉ khi nửa nhóm A là nửa nhóm ngược và chính quy hoàn toàn.
Chứng minh định lý 2.1.3 1) Ta biết rằng nếu∀a, b ∈ A, ahb thìadb Ta chứng tỏ rằng trong trường hợp này ta có điều ngược lại, tức là adb suy ra ahb.
Giả sử tồn tại hai phần tử a, b ∈ A, sao cho adb nhưng ahb¯ Theo giả thiết, ta có A xấp xỉ được tương ứng mệnh đề h-tương đương, nên tồn tại một đồng cấu ϕ ∈ Φ, thỏa ϕ(a)¯hϕ(b).
Vì ϕ(a), ϕ(b) ∈ C ∗ , nên ϕ(a) ∈ G p a và ϕ(b) ∈ G p b với các số nguyên tố p a , p b Tồn tại hai trường hợp:
Suy ra ϕ(a)lϕ(b) và ϕ(a) = e p 0 ϕ(a) = ϕ(b)(ϕ(b −1 ϕ(a)). Từ đây suy ra ϕ(a)rϕ(b) và ϕ(a)hϕ(b) Mâu thuẫn với giả thiết.
**) p a 6= p b Giả sử p a > p b Tại vì adb , nên tồn tại phần tử x ∈ A, sao cho alx và xrb Từ đây A 1 a = A 1 x và xA 1 = bA 1 , điều này có nghĩa là tồn tại hai phần tử c và d của A, sao cho x = ca và b = xd, hay b = cad.
Như vậy ta được ϕ(b) = ϕ(cad) =ϕ(c)ϕ(a)ϕ(d)
Bởi vì ϕ(c)ϕ(a)ϕ(d) ∈ G p 0 , với p 0 = max{p ϕ(c) , p a , p b } ≥ p a > p b và hai nhóm con cực đại của C ∗ không có phần tử chung, dẫn đến ϕ(b) =ϕ(c)ϕ(a)ϕ(d) Mâu thuẫn với giả thiết.
Tóm lại từ adb suy ra ahb, và trong nửa nhóm A, hai lớpD−lớp và H− lớp trùng nhau.
Choahb, nhưngabha¯ Khi đó tồn tại một đồng cấuχ ∈ Φ, thỏaχ(ab)¯hχ(a). Từ adb chúng ta có a = x 1 bx 2 , b = y 1 ay 2 với các phần tử x 1 , x 2 , y 1 , y 2 cho trước trong ∈ A.
Khi đó χ(a) =χ(x 1 )χ(b)χ(x 2 và χ(b) =χ(y 1 )χ(a)χ(y 2 Và ta có thể kết luận rằng χ(a) và χ(b) cùng thuộc một nhóm con cực đại của C ∗ , theo tính chất của đồng cấu, χ(ab) và χ(a) thuộc một nhóm con cực đại và χ(ab)hχ(a) Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Tóm lạiabha, theo [12], trang 87, lớpH a là một nhóm, và Alà nửa nhóm chính quy hoàn toàn.
Chúng ta chứng tỏ rằng mỗi phần tử A có duy nhất một phần tử ngược.
Giả sử tồn tại phần tử a có hai phần tử ngược b và c Bởi vì H a là một nhóm, nên hoặc b ∈ H a hoặc c ∈ H a Không mất tính tổng quát, giả sử b ∈ H a Khi đó c 6∈ H a ( trong trường hợp ngược lại, a và c là hai phần tử ngược, nên c = b) Theo giả thiết của định lý, tồn tại một đồng cấu nửa nhúm à∈ Φ, thỏa à(c) 6∈ à(H a ).
Ta có c và a là hai phần tử ngược nên aca = a và cac = c. Suy ra à(a)à(c)à(a) = à(a) and à(c)à(a)à(c) = à(c), hay à(a) và à(c) cựng thuộc một nhúm con cực đại của C ∗ , và à(a)hà(c) Điều này khụng thể xảy ra.
Ta đã chứng minh được A là nửa nhóm ngược và chính quy hoàn toàn.
2) Cho A là nửa nhóm ngược và chính quy hoàn toàn, khi đó A là hợp của các nhóm không giao nhau.
A = S e∈E A e , và các lũy đẵng của A giao hoán nhau.
Cho a, b ∈ A và ahb¯ Vì hai phần tử của nhóm con của A nằm trong quan hệ Grin h-tương đương, nên a và bthuộc hai nhóm con cực đại khác nhau của nửa nhóm A.
Cho a ∈ A e a , b ∈ A e b Vì e a 6= e b nên hoặc e a e b 6= e a , hoặc e a e b 6= e b Giả sử rằng e a e b 6= e a
Xét tập hợp được định nghĩa như sau:
I e a = {e ∈ E|ee a 6= e a }. Giả sử e ∈ Ie a , có nghĩa là eea 6= ea Khi đó với mọi f ∈ E, ta có ef e a 6= e a Thực ra, nếu ef e a = e a , thì e a = ef e a = eef e a = ee a 6= e a Vì vậy cho nên ef ∈ I e a , hay I e a là một idean và E\I e a là nửa nhóm con của nửa nhóm E, từ đó ta có I e a là một idean cô lập hoàn toàn.
Xét ánh xạ: τ : A −→C ∗ , được định nghĩa như sau:
eq, if x∈ Ae x , and ex 6∈ Ie a ; e p , if x ∈ A e x , and e x ∈ I e a với các số nguyên tố p, q thỏa p > q > 2.Vì I e a là idean cô lập hoàn toàn, nên τ là một đồng cấu nửa nhóm và τ(a) = eq, τ(b) = ep, hay τ(a)¯hτ(b).Định lý 2.1.3 đã được chứng minh hoàn toàn.
Xấp xỉ nửa nhóm ứng với mệnh đề" phần tử thuộc nửa nhóm con"[14],[2]
Bổ đề 2.4.1 Cho B là nửa nhóm giao hoán các lũy đẵng gồm ba phần tử e 1 ;e 2 ;e 3 thỏa e 1 = e 1 e 2 = e 1 e 3 và e 2 e 3 = e 3 Khi đó mọi nửa nhóm giao hoán các lũy đẵng A xấp xĩ được bởi các đồng cấu từ A vào B tương ứng với mệnh đề "phần tử thuộc nửa nhóm con".
Chứng minh Cho A 0 là nửa nhóm con của A và e 0 6∈ A 0 Xét tập hợp J e 0 gồm các phần tử a ∈ A thỏa ae 0 6= e 0
Ta chứng tỏ Je 0 là một idean của A Thật vậy, trước tiên ta chứng tỏ Je 0 là nửa nhóm con của A Với mọi a, b ∈ Je 0 Theo định nghĩa ae 0 6= e 0 và be 0 6= e 0 Nếu ab 6∈ J e 0 , thì abe 0 = e 0 và từ e 0 = abe 0 suy ra ae 0 = aabe 0 = abe 0 = e 0 ⇒ae 0 = e 0 Mâu thuẫn với giả thiết a ∈ J e 0 Giả sử a ∈ A \J e 0 và b ∈ J e 0 Có nghĩa là ae 0 = e 0 và be 0 6= e 0 Khi đó e 0 = ae 0 ⇒ be 0 = abe 0 ⇒ e 0 6= be 0 = abe 0 Suy ra abe 0 6= e 0 , hay ab ∈ J e 0 Ta đã chứng minh được J e 0 là idean của nửa nhóm A.
Giả sử A 0 ⊆J e 0 Bởi vì e 0 ∈/ J e 0 , nên với đồng cấu ϕ : A−→ B được xác định như sau:
Bây giờ giả sử A 0 6⊂J e 0 Suy ra A 0 ∩(A\J e 0 ) = A 00 là nửa nhóm con của A\J e 0 Để ý rằng e 0 là phần tử của A\J e 0 và là phần tử không của nửa nhóm A\J e 0 Ký hiệu A 0 là nửa nhóm con cực đại trong A\J e 0 , chứa A 00 và không chứa e 0 Nửa nhóm này tồn tại, chẳng hạn như A 00
Ta chứng minh rằng (A\Je 0 )\A0 là idean của A\Je 0 Giả sử e 0 ∈ A\Je 0 và e 0 ∈/ A0 Khi đó [e 0 ;A0] 6= A0.Mặt khác, A 0 ⊂ [e 0 ;A 0 ] điều này có nghĩa là e 0 ∈ [e 0 ;A 0 ], hay tồn tại phần tử e ∈ A 0 , thỏa e 0 = e 0 e.
Giả sử a là phần tử tùy ý của (A \J e 0 ) \A 0 và a 0 phần tử tùy ý của A\J e 0 Giả sử aa 0 ∈/ (A\J e 0 ) \A 0 Khi đó aa 0 ∈ A 0 và a /∈ A 0 , suy ra tồn tại phần tử a 00 ∈ A0, sao cho e0 = aa 00
Xét tích aa 0 a 00 e0 Ta có aa 0 a 00 e0 = aa 0 a 00 (aa 00 ) = (aa 0 )a 00 , vì aa 0 ∈ A0 và a 00 ∈ A 0 , nên (aa 0 )a 00 ∈ A 0
Mặt khác aa 0 a 00 ∈ A\J e 0 và phần tử e 0 là phần tử không của nửa nhóm A\J e 0 , nên aa 0 a 00 e 0 = e 0
Như vậy, aa 0 a 00 e 0 = (aa 0 )a 00 ∈ A 0 và aa 0 a 00 e 0 = e 0 ∈/ A 0 Điều mâu thuẫn này cho phép ta kết luận (A\J e 0 )\A 0 là idean của A\J e 0
Kiểm tra trực tiếp thấy (A\J e 0 )\A 0 là idean đơn và ánh xạ ψ từ A vào B xác định như sau:
e 1 , if a ∈ J e 0 ; e 2 , if a ∈ (A\J e 0 )\A 0 ; e 3 , if a ∈ A 0 là một đống cấu.
Ngoài ra, ψ(e 0 ) =e 2 Bởi vì (A\Je 0 )\A0)∩A 0 = ∅, nên ψ(e0) 6∈ ψ(A 0 ) Tóm lại nửa nhóm A xấp xĩ được bởi các đồng cấu vào nửa nhóm B tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm con. Định lý 2.4.1 Nửa nhóm A xấp xỉ được bởi các đồng cấu nửa nhóm tương ứng với mệnh đề "phần tử thuộc nửa nhóm con" khi và chỉ khi A là nửa nhóm giao hoán, tuần hoàn và chính quy.
Chứng minh a/ Điều kiện cần Chứng tỏ rằng nếu nửa nhóm A xấp xỉ được tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm con bởi các đồng cấu vào C ∗ , thì A thuộc K, tức là A là nửa nhóm con giao hoán, tuần hoàn và chính quy.
Vì A xấp xỉ được vào C ∗ tương ứng mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm con, nên A xấp xỉ được tương ứng mệnh đề "bằng nhau của hai phần tử", từ đây suy ra A tuần hoàn.
Giả sử A không chính quy Khi đó, A chứa một idean thực sự I và idean này không cô lập Suy ra , có một phần tử a ∈ A sao cho a 2 ∈ I, và a 6∈ I Theo giả thiết của xấp xỉ, tồn tại một đồng cấu ϕ từ A vào C ∗ , thỏa ϕ(a) 6∈ ϕ(I) Vì ϕ(a) ∈ C ∗ , nên ϕ(a) là phần tử có bậc hữu hạn, giả sử (ϕ(a)) p = e p với một số nguyên tố p nào đó Khi đó ϕ(a) = (ϕ(a)) n+1 ∈ ϕ(I), mâu thuẫn với giả thiết Tóm lại A là nửa nhóm chính quy.
Giả sử a ∈ A, suy ra a nằm trong một nhóm con cực đại A e nào đó của nửa nhóm A Khi đó tồn tại phần tử a 0 ∈ A e , sao cho aa 0 = e.
Nếu a 0 ∈ [a], thì a 0 = a n , từ đó suy ra a n+1 = e, có nghĩa là a có bậc hữu hạn.
Nếu a 0 6∈ [a], thì theo giả thiết của xấp xỉ, tồn tại một đồng cấu ϕ vào C ∗ , sao cho ϕ(a 0 ) 6∈ ϕ([a]) = [ϕ(a)] Vì ϕ(a) có bậc hữu hạn, nên tồn tại số tự nhiên k sao cho ϕ(a 0 ) =ϕ(a 0 e) =ϕ(a 0 )ϕ(e) = ϕ(a 0 )(ϕ(a)) k = ϕ(a 0 )ϕ(a k ) = ϕ(a 0 a k ) = ϕ(ea k−1 ) = ϕ(a k−1 ) ∈ [ϕ(a)], vô lý.
Vậy A là nửa nhóm con giao hoán, tuần hoàn và chính quy.
Giả sử B là nửa nhóm con thực sự của C ∗ b/ Điều kiện đủ Chứng tỏ nửa nhóm Agiao hoán, tuần hoàn và chính quy xấp xỉ được bởi các đồng cấu vào C ∗ tương ứng với mệnh đề "phần tử thuộc nửa nhóm con".
Giả sử A 1 là một nửa nhóm con của A và a 6∈ A 1 Ta có A = ∪A e i , với A e i là nhóm con cực đại của A với phần tử đơn vị là e i Khi đó a ∈ A e 0 Ta xét hai khả năng sau: a/ Ae 0 ∩A1 = ∅ Xét ánh xạ ψ từ nửa nhóm A lên tập hợp EA các lũy đẵng của A xác định như sau: ∀a ∈ Ae 0 , ψ(a) = Ae 0 Kiểm tra trực tiếp thấy ψ(A) là nửa giàn, và được ký hiệu bởi J.
Ta có ψ(a) ∈ J, ψ(A 1 ) ⊂ J và ψ(a) 6∈ ψ(A 1 ) Theo bổ đề 2.1.1, J xấp xĩ được tương ứng với mệnh đề "phần tử thuộc nửa nhóm con" vào nửa nhóm con T = {e 5 ;e 7 ;e 11 } Từ đó suy ra A xấp xĩ được tương ứng với mệnh đề đang xét bởi các đồng cấu vào nửa nhóm C ∗ b/ Ae 0 ∩A1 = M Vì A1 là nửa nhóm và Ae 0 là nhóm tuần hoàn, nên M nhóm con, suy ra e 0 ∈ M (với e 0 là đơn vị của nhóm con A e 0 ).
Bởi vì a 6∈ M, tồn tại đồng cấu ϕ 0 từ A e 0 vào nhóm con G p 0 của nửa nhóm C ∗ , sao cho ϕ 0 (a) 6∈ ϕ 0 (M) (*) Đồng cấu này có thể mở rộng ra thành đồng cấu ψ 0 của nửa nhóm A vào nửa nhóm G p 0 ∪ {e q }, với q > p 0 như sau:
e q , if c∈ A e c , and e c e 0 6= e 0 ; ψ 0 (ce 0 ), if c∈ A e c , and e c e 0 = e 0
Ta cần tìm đồng cấu từA vào C ∗ tách được ảnh của phần tử a và ảnh của nửa nhóm A1.
Giả sử với mọi đồng cấuτ của nửa nhóm A vào C ∗ , đều có τ(a) ∈ τ(A 1 ), như vậy ψ 0 (a) ∈ ψ 0 (A 1 ), vì vậy tồn tại phần tử b ∈ A 1 , thỏa ψ 0 (b) ψ 0 (a) Hiển nhiên a 6= b.
Vì ψ 0 (a) = ϕ 0 (ae 0 ) = ϕ 0 (a) 6= e q , nên ψ 0 (b) 6= e q Từ đây suy ra e b e 0 = e 0 , hay ta có be 0 ∈ A e 0
Mặt khác b ∈ A 1 và e 0 ∈ A 1 , suy ra be 0 ∈ A 1 ⇒be 0 ∈ M. Bởi vì ψ0(a) = ϕ0(ae0) = ϕ0(a) và ψ0(a) = ψ0(b) → ϕ0(a) = ψ0(b) ϕ0(be0) ∈ ϕ0(M) dẫn đến mâu thuẫn với (*).
Như vậy, tồn tại đồng cấu nửa nhóm từ A và C ∗ tách được ảnh của phần tử a với ảnh của nửa nhóm con A 1 Điều kiện đủ được chứng minh hoàn toàn.
NỬA NHÓM XẤP XỈ NHỎ NHẤT 44
Định nghĩa [5], [6]
Khi nghiên cứu xấp xỉ nửa nhóm, một hướng nghiên cứu mới xuất hiện: Tìm nửa nhóm con xấp xỉ nhỏ nhất cho một lớp các nửa nhóm tương ứng với các mệnh đề khác nhau Một khi nửa nhóm xấp xỉ chứa nhiều phần tử, đặc biệt là nó chứa vô số phần tử, khi đó nảy sinh ra nhu cầu tìm nửa nhóm xấp xỉ nhỏ nhất vẫn đảm bảo tính giải được cho lớp các nửa nhóm đang xét tương ứng với mệnh đề đặt ra Khái niệm nhỏ nhất ở đây có nghĩa là nửa nhóm A xấp xỉ được bởi các đồng cấu vào nửa nhóm B và A không thể xấp xỉ được vào nửa nhóm con thật sự nào của B, tức là B là nửa nhóm xấp xỉ nhỏ nhất Tồn tại các ví dụ cho thấy bài toán tìm nửa nhóm con nhỏ nhất không phải lúc nào cũng giải được Xét ví dụ:B =< a 0 >là nhóm con cyclic được sinh ra bởi phần tử a 0 (với a 0 là một số tự nhiên cho trước) Ta có B đẵng cấu với nhóm A là tập hợp tất cả các số thực Z với phép toán cộng Khi đó mọi nhóm con thực sựB 1 của B đều đẵng cấu với B Như vậy mọi nửa nhóm xấp xỉ được vào B, thì nó cũng xấp xỉ được vào bất kỳ nhóm con thực sự B 1 của B Vì tập hợp các nhóm con của B là một xích vô hạn giảm dần, do đó không tồn tại được một nhóm con thật sự B 0 thỏa yêu cầu đặt ra Có nghĩa là không thể tìm ra được nửa nhóm con xấp xỉ nhỏ nhất của B Bài toán này được Giáo sư LesokhinM.M đặt ra và Đặng Văn Vinh là nghiên cứu sinh của ông nghiên cứu về vấn đề này, sau này có thêm phó giáo sư tiến sỹ Korabel’chikova S.U và giáo sư, tiến sỹ khoa học B.F.Mel’nikov, có một số kết quả đã được công bố Mục tiêu của luận văn là đọc hiểu, nắm vững lý thuyết của bài toán xấp xỉ nửa nhóm và bài toán tìm nửa nhóm con nhỏ nhất tương ứng với các mệnh đề khác nhau. Định nghĩa 3.1.1 Nửa nhóm B được gọi là nửa nhóm con xấp xỉ nhỏ nhất đối với lớp các nửa nhóm K tương ứng với mệnh đề P bởi các đặc trưng tổng quát, nếu thỏa ba điều kiện sau:
1/ Mọi nửa nhóm A ∈ K đều xấp xỉ được vào B bởi các đặc trưng tổng quát ứng với mệnh đề P;
2/ Nếu một nửa nhóm A 1 xấp xỉ được vào B bởi các đặc trưng tổng quát ứng với mệnh đề P, thì A 1 ∈ K;
3/ Với mọi nửa nhóm con thực sự B 1 của B tồn tại một nửa nhóm A 2 ∈ K sao cho A 2 không xấp xỉ được vào B 1 bởi các đặc trưng tổng quát tương ứng với mệnh đề P.
Ví dụ 3.1.1 Xét nửa nhóm B = {1; 0}, gồm hai phần tử phần tử đơn vị và phần tử không Ta có thể chứng minh được nửa nhómB không thể là nửa nhóm xấp xỉ nhỏ nhất cho lớp các nửa dàn tương ứng với mệnh đề "phần tử thuộc nửa nhóm con".
Nửa nhóm nhỏ nhất ứng mệnh đề "phần tử thuộc nhóm con" [9]
con" [9] Định lý 3.2.1 Cho K là lớp các nửa nhóm A thỏa điều kiện:
Mỗi lớp N e của nửa nhóm A chứa phần tử lũy đẳng thì nó là nhóm aben.
Khi đó C ∗ là nửa nhóm xấp xỉ nhỏ nhất cho lớp K tương ứng với mệnh đề
"phần tử thuộc nhóm con của A".
Bổ đề 3.2.1 Cho G e 0 là nhóm con của nửa nhóm A; e o là phần tử đơn vị củaG e 0 Nếu N e 0 chứa e 0 , thì G e 0 ∈ N e 0
Chứng minh bổ đề 3.2.1 Giả sử g ∈ G e 0 và g 6∈ N e 0. Xét g ∈ N g , N g 6= N e 0 và g −1 ∈ N g −1
Ta có g = ge 0 , g −1 = g −1 e 0 , gg −1 = e 0 , so N g = N ge 0 , N g −1 = N g −1 e 0 ; N gg −1 = N e 0 Ngoài ra g = ge 0 = ggg −1 , suy ra N g = N ge 0 = N ggg −1 = N g N g N g −1 = N g N g −1 = N e 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy, mọi nhóm con của nửa nhóm A thuộc hoàn toàn vào một η-lớp.
Bổ đề 3.2.2 Với mọi lớp N e và mọi đồng cấu ϕ : A −→ C ∗ , ϕ(N e ) thuộc vào một nhóm con cực đại của nửa nhóm C ∗
Chứng minh bổ đề 3.2.2 Giả sử x, y ∈ N e ⇔ xηy và ϕ(x) ∈ N p , ϕ(y) ∈ N q ; p 6= q.
Xét trường hợp p > q Xây dựng tập hợp:
J c = {t ∈ C ∗ |e t e q 6= e q }, với e t , e q là các phần tử đơn vị của các nhóm con cực đại, chứa t và y tương ứng.
J c là một idean cô lập hoàn toàn của nửa nhóm C ∗ Ký hiệu J A = {x ∈ A|∃y ∈ J c : ϕ(x) = y}
Giả sử a ∈ J A , b ∈ A ϕ(a) ∈ J c ⇒ ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) ∈ J c ⇒ ab ∈ J A ⇒ J A là một idean.
Vậy, ϕ(a 1 ) ∈ J c hoặc ϕ(a 2 ) ∈ J c ⇒ a 1 ∈ J A hoặc a 2 ∈ J A Điều đó có nghĩa là J A là một idean cô lập hoàn toàn của nửa nhóm A. Ta có ϕ(x) ∈ J c , ϕ(y) 6∈ J c ⇒ x ∈ J A và y 6∈ J A , với J A là một idean cô lập hoàn toàn. Điều này có nghĩa là (x, y) 6∈ η Kết quả này mâu thuẫn với giả thiết Tóm lại, p = q và ϕ(N e ) thuộc một nhóm con cực đại của nửa nhóm C ∗ Chứng minh định lý 3.2.1:
Chúng ta dựa vào định nghĩa 3.1.1.
1 Cho A ∈ K Cần chứng tỏ rằng A xấp xỉ được vào C ∗ tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nhóm con của A.
Nếu nửa nhómA không chứa nhóm con, thì kết luận của định lý là hiển nhiên.
Giả sửa ∈ A và G e 0 là một nhóm con của A chứa phần tử đơn vịe o và a 6∈ G e 0 Quan hệ tương đươngη trênA chia nửa nhóm này ra thành cácη-lớp Như vậy phần tử a thuộc vào một lớp N a Theo bổ đề 3.2.1, ta có G e 0 ∈ N e 0. Đối với các η-lớp N a và N e 0, có hai khả năng xảy ra: a) N a 6= N e 0 Vì η- là nửa giàn, nên N a N e 0 6= N a or N a N e 0 6= N e 0 Giả sử rằng, N a N e 0 6= N a (Trường hợp N a N e 0 6= N e 0 chứng minh tương tự) Xây dựng một đồng cấu ϕ : A −→ C ∗ được định nghĩa như sau :
Ta có ϕ(a) = e p , ϕ(G e 0 ) = e q, nên ϕ(a) 6∈ ϕ(G e 0 ). Giả sử N a = N e 0 Từ điều kiện của định lý, ta có N e 0 là nhóm giao hoán, bởi vậy theo định lý 2 [13] , N e 0 xấp xỉ được bởi các đồng cấu ψ : N e 0 −→ C ∗ Chúng ta cần mở rộng ψ lên toàn bộ nửa nhóm A.
Ta có N e 0 là nhóm con, do đó ψ (N e 0 ) là nhóm con C ∗ , từ đây theo bổ đề 2, ψ(N e 0 ) thuôc vào một nhóm con cực đại của G p 0 ⊂ C ∗
Ta có ψ(a) ∈ G p 0 , ψ(G e 0 ) ⊆ G p 0 và ψ(a) 6∈ ψ(G e 0 ) Xột ỏnh xạ à : A −→ C ∗ :
e p , if N x N e 0 6= N e 0 ; ψ(xe 0 ) if N x N e 0 = N e 0 , với p > p 0 và p > 3
∀x ∈ A, nếu N x N e 0 = N e 0 thì xe 0 ∈ N x N e 0 = N e 0 , suy ra định nghĩa của ánh xạ này là hợp lý.
Chỳng ta cần chứng minh à là một đồng cấu nửa nhúm.
Cho hai phần tử a, b ∈ A, a ∈ N a , b ∈ N b Tồn tại hai trường hợp: a) N a N e 0 6= N e 0 Khi đú à(a) = e p and à(a)à(b) = e p Nếu N ab N e 0 = N e 0 , thì N e 0 6= N a N e 0 = N a N ab N e 0 = N ab N e 0 = N e 0 (vô lý).
Suy ra N ab N e 0 6= N e 0 ⇒ à(ab) = e p = à(a)à(b) b) N a N e 0 = N e 0 và N b N e 0 = N e 0 Nếu N ab N e 0 6= N e 0 , thì N e 0 6= N ab N e 0 = N a N b N e 0 = N a N e 0 N b N e 0 = N e 0 N e 0 = N e 0 (mâu thuẫn).
Như vậy N ab N e 0 = N e 0 Từ đú chỳng ta cú à(ab) = ψ(abe 0 ) = ψ(a(be 0 e 0 )) = ψ((ae 0 )(be 0 )) = à(a)à(b)
Hay, à là một đồng cấu nhúm A −→ C ∗ ; và à | N e
2 Cho A là nửa nhóm và A xấp xỉ được bởi các đồng cấu vào C ∗ Ta cần chỉ ra rằng A ∈ K.
Vì A xấp xỉ được bởi các đồng cấu tương ứng với mệnh đề "phần tử thuộc nhóm con", nên A xấp xỉ được tương ứng với mệnh đề "phần tử thuộc nhóm con cực đại".
Và từ đây, theo [12], mọi η-lớp N e , chứa lũy đẳng là một nhóm.
Ta chỉ ra rằng N e giao hoán.
Dùng phản chứng, giả sử tồn tại hai phần a, b ∈ N e , sao cho ba 6= ab. Suy ra a −1 b −1 ab 6= e ⇒ a −1 b −1 ab 6∈ {e}, theo giả thiết của xấp xỉ, tồn tại một đồng cấu nửa nhóm χ, thỏa tính chất χ(a −1 b −1 ab) 6∈ χ({e}). Điều này không thể xảy ra, bởi vì theo bổ đề 2, χ(a −1 b −1 ab) = e ∈ χ({e}). Tóm lại ba = ab, hay N e là một nhóm aben.
3 Với nửa nhóm con thật sự C 1 ∗ của nửa nhóm C ∗ Chúng ta cần tìm ra được một nửa nhóm A ∈ K, sao cho A không thể xấp xỉ được theo mệnh đề đang xét vào C 1 ∗ Xét hai trường hợp có thể xảy ra: a) C 1 ∗ không chứa tất cả các lũy đẳng của C ∗ Có nghĩa là tồn tại e p 6∈ C 1 ∗ , và từ đó G p 6⊂ C 1 ∗ Chọn nửa nhóm A là nhóm cyclic H bậc p và phần tử đơn vị, ký hiệu 1 H Bằng các phép toán đơn giản, ta kiểm tra được, A ∈ K.
Với mọi đồng cấu nửa nhóm ϕ : H −→ C 1 ∗ , ∀g ∈ H
1 = ϕ(1 H ) = ϕ(g p ) = (ϕ(g)) p Mọi phần tử của C 1 ∗ (ngoại trừ các lũy đẳng) đều có bậc khác với p, suy ra
∀g ∈ H, ϕ(g) là một lũy đẳng và ϕ(H) chứa một phần tử.
Như vậy, H (or A) không thể xấp xỉ được bởi các đồng cấu C 1 ∗ b) C 1 ∗ chứa tất cả các lũy đẵng của C ∗
Vì C 1 ∗ là nửa nhóm con thực sự của C ∗ , nên tồn tại một phần tử g ∈ C ∗ \C 1 ∗ Giả sử g ∈ G q 0 và g có bậc là q 0 k 0
Khi đó C 1 ∗ không chứa nhóm con bậc q h 0 , với h = k 0 , k 0 + 1, k 0 + 2, Chọn nhóm cyclic A có bậc q 0 k 0 +1 với phần tử đơn vị 1 A
Ta xây dựng một đồng cấu ϕ : A −→ C 1 ∗ Cho a là một phần tử củaA có bậc chia hết cho q k 0 0 −1 Bởi vì ϕ(A) là một nhóm con của C 1 ∗ , cho nên ϕ(A) ⊂ G p 0 ( với một số nguyên tố p 0 6= q 0 ).
Bên cạnh đó, ϕ(A) = e p 0 , ϕ(A) ⊂ G p 0 và ϕ(A) không thể có bậc nhỏ hơn hoặc bằng q 0 k 0 −1 Như vậy, ϕ(a) = e q 0 (vì bậc của phần tử a chia hết cho q 0 k 0 −1 ).
Suy ra, phần tử a và nhóm con 1 A tìm được, thỏa ∀ϕ : ϕ(a) = ϕ(1 A ).Định lý 3.2.1 đã được chứng minh hoàn toàn theo định nghĩa 3.1.1.
Bài toán xấp xĩ nửa nhóm bao gồm ba thành phần chính: 1/ Lớp các nửa nhóm, 2/ Tập các ánh xạ, 3/ Tập các mệnh đề thường dùng trong lý thuyết nửa nhóm Thay đổi một trong ba thành phần trên ta có các hướng nghiên cứu khác nhau Các học trò của Giáo sư Leshokhin M.M. đã xét các hướng nghiên cứu khác nhau và cũng đã bảo vệ thành công các luận án tiến sỹ theo các chủ đề đó với các kết quả được đăng trong các tạp chí chuyên ngành ở Nga Như vậy bài toán xấp xĩ nửa nhóm là một bài toán rộng, có nhiều hướng mở Trong tương lai, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu bài toán bằng cách thay đổi các ánh xạ và xét các lớp nửa nhóm quan trọng khác xuất hiện trong thời gian gần đây, như lớp các nửa nhóm tự do, các C 0 nửa nhóm. Ứng dụng của lý thuyết xấp xĩ nửa nhóm trong nửa nhóm tự do đã được nghiên cứu bởi Giáo sư Kublanovski S.I và Kostưrev I.I Trong thời gian gần đây vấn đề này cũng được nhóm gồm Đặng Văn Vinh, Kora- bel’shchikova, Mel’nikov nghiên cứu và đã có một số kết quả bước đầu và đang gởi đăng bài ở Penza, Nga.
Trong luận văn này, chúng tôi đã tìm được các điều kiện cần của xấp xĩ tương ứng với một số các mệnh đề quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm: "sự bằng nhau của hai phần tử", "phần tử thuộc nửa nhóm con",phần tử thuộc nhóm con cực đại", "phần tử thuộc nhóm con", "phần tử thuộc idean", "tính chia hết của hai phần tử", " hai phần tử nằm trong các quan hệ L, H, R, D-Grin" Bên cạnh việc tìm điều kiện cần và đủ để xấp xĩ nửa nhóm, chúng tôi còn tìm được nửa nhóm xấp xĩ nhỏ nhất tương ứng với các mệnh đề đã xét.
Luận văn này giúp phát triển lý thuyết xấp xĩ nửa nhóm bởi các đồng cấu và có thể tạo tiền đề để phát triển ứng dụng của lý thuyết này trong các thuật toán tìm kiếm Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên, giảng viên và cộng đồng nghiên cứu trong lĩnh vực này.
[1] Malsev A.I.On homomorphisms onto finite groups, Uchen Zap Karel.
Ped Inst Ser Fiz -mat Nauk 18, 49-60(1958).
[2] Dang Van Vinh, International Conference " Semigroups and their ap- plications including semigroup rings" in honour of E.S Ljapin, page 79, Saint Petersburg, Russia 1995.
[3] Dang Van Vinh, Modern Algebra, vol 1, page 16-20 Rostov na Don, Russia, 1996.
[4] Dang Van Vinh, International Algebraic Coference dedicated to the memory of D.K Faddeev, page 191,Saint Petersburg, Russia, 1997.
[5] Dang Van Vinh, Modern Algebra, page 43-47 Rostov na Don, Russia, 1998 .
[6] Dang Van Vinh, International Conference " Second International Conference on Semigroups" in honour of Prof E.S Ljapin, page 60, Saint Petersburg, Russia 1999.
[7] Dang Van Vinh, Approximation of semigroup by generalized charac- ters, The 11th SEATUC Symponium, Ho Chi Minh city, Vietnam 2017.
[8] Dang Van Vinh, Korabel’schikova, Mel’nikov On the Problem of find- ing minimum semigroup of approximation, Izvestiya Vysshikh Ucheb- nykh Zavedenhii, Povolzhskiy Region, P 88-98., Russia, 2015.
[9] Dang Van Vinh, Korabel’schikova, Mel’nikov Semigroups approxima- tion with respect to some ad hoc predicates, Arctic environmental re- search, No.2, Tom 17, page 133 -140, Russia, 2017.
[10] A Cliphot, G Preston ( Trần Hạo, Hoàng kỳ dịch), Lý thuyết nửa nhóm, Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp,1979.
[11] E.S Ljapin,Semigroups, American Mathematical Society providence Volume 3, Rhode Island, 1963.
[12] Petrich M., Introduction to Semigroups, USA, Colunbus, Ohio, 1973.
[13] Tutygin A.G, Yashina E.Yu,Dependence of conditions for Semigroup approximation with respect to Certain predicate, Abstract algebra, In- ter - University collection of Scientific papers; iss.3, Rostov - on - Don, 1998, p.p 136 - 141.
[14] Zablisheva L.V, S.U Korabel’chikova, I.N.Popov.Some special semi- groups and their homomorphisms, Arkhangensk, 2013, 128 trang.
[15] P.A.Grillet, Semigroups, An introduction to the structure theory, Tu- lane University New Orleans, Louisiana, 1995.
[16] Lazlo Fuchs Abelian groups Budapest 1958.