TÊN ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN NGƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH BIPARABOLICII.NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG - Kiến thức chuẩn bị- Chỉnh hóa bài toán Biparabolic tuyến tính không thuần nhất- Bài toán ngược cho phương
Một số không gian hàm
Định nghĩa 1.1.1 (Không gian Hilbert).
• X được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita), nếu tớch vụ hướng trờn X là ỏnh xạ 〈ã,ã〉: X ìX −→R thỏa món cỏc điều kiện sau
• Không giantiền Hilbert đầy đủđược gọi là không gian Hilbert. Định nghĩa 1.1.2.Cho không gian Hilbert X, ta định nghĩa các không gian
0 É t É T ° ° f (t ) ° ° X < ∞ ắ,với1 ≤ p < ∞. Định nghĩa 1.1.3 (Không gian C m (0,T;X)) Không gian C m ¡
[0 ;T],X¢ là không gian gồm tất cả các hàm liên tục u: [0 ;T] −→ X có đạo hàm đến cấpm liên tục Khi đó,C m ¡
[0 ;T],X¢ là không gian Banach với chuẩn sau ° °u° ° C m ([0;T ],X ) m
Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier
Định nghĩa 1.2.1(Hệ trực giao, Hệ trực chuẩn) Cho không gian Hilbert
H với tớch vụ hướngư ã,ãđ và chuẩn ° ° ã ° ° H Hệ {φ j }⊂H gọi là hệ trực giao, nếu φ j ,φ i ®
Hệ{φ j }là hệ trực chuẩn nếu{φ j }trực giao và° ° φ j ° ° H =1với mọi j ∈Z + Cho{φ j }là hệ trực chuẩn trongH Với mọiu∈H, ta có khai triểnu(t)dưới dạng chuỗi Fourier như sau u(t)X∞ j=1
〈u(t),φ j 〉 H φ j Đồng thời, ta cũng có đẳng thức sau (đẳng thức Parseval) ku(t)k 2 H X∞ i =1
〈u(t),φ j 〉 2 H Định nghĩa 1.2.2(Không gian Hilbert scale) Với γ >0, không gian Hilbert scaleH γ (0,π),được định nghĩa như sau
, (1.2) trong đó λ j =j 2 và φ j (x) q2 π sin(j x), với j ∈Z + Định nghĩa 1.2.3 (Không gian Gevrey) Với γ, σ >0, không gian Gevrey G σ , γ được định nghĩa như sau
L 2 (0, π )< ∞ ắ trong đó λ j = j 2 và φ j (x) q2 π sin(j x), với j ∈Z +
Một số định nghĩa và kết quả cần biết
Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1 Giả sửU,V là các không gian mêtric,K :U →V là ánh xạ Bài toánK u=v gọi là chỉnh, nếu có các tính chất i) Với mọiv∈V tồn tạiu∈U sao choK u=v; i i) Với mọiv∈V có duy nhấtu∈U sao choK u=v; i i i) Nghiệmuphụ thuộc liên tục vàov,nghĩa là với mọi dãy{u n }⊂U vàK u n →vthìu n →u.
Nếu bài toán không thỏa một trong ba tính chất trên thì bài toán này gọi là không chỉnh. Định nghĩa 1.3.2 Hàm f : R×H −→ H được gọi là Lipschitz toàn cục (Globally Lipschitz) nếu thỏa kf(t,w)−f(t,v)k ≤Kkw−vk, trong đó,K là hằng số không phụ thuộc vàot và w,v. Định nghĩa 1.3.3 (Điểm bất động và ánh xạ co)
• Cho ánh xạ F: X −→X Ánh xạ F được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x 0 thuộcX sao choF(x 0 )=x 0
• Cho (X,d) là không gian mêtric Ánh xạ F: X −→ X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại k ∈ [0 ; 1) sao cho d¡
CHỈNH HÓA BÀI TOÁN BIPARABOLIC TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT 5
Nghiệm của bài toán ()
Đầu tiờn chỳng ta tỡm nghiệm của bài toỏn(2.1) Giả sửu(t,ã)∈L 2 (0,π) là nghiệm của (2.1), thì lúc đóu có biểu diễn chuỗi Fourier như sau u(t,x)X∞ j=1 ưu(ã,t),φ j ®φ j (x), trong đó, φ j được định nghĩa bởi (2.3), ta ký hiệu tích vô hướng và chuẩn trong khụng gianL 2 (0,π)lần lượt là〈ã, ã〉vàk ã k.
Lấy tích vô hướng của cả hai vế của bài toán (2.1) với φ j ta có
F(ã,t) ,φ j ®. Dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để giải (2.4) trước tiên ta giải bài toán thuần nhất
Thật vậy, ta xét phương trình u 00 j (t)+2λ j u 0 j (t)+λ 2 j u j (t)=0 (2.6) Phương trình đặc trưng của (2.6) là k 2 +2λ j k+λ 2 j =0.
Suy ra nghiệm của phương trình đặc trưng là:k 1 =k 2 = −λ j Do đó, nghiệm của (2.5) là u j (t)=C 1 e −λ j t +C 2 t e −λ j t Giải phương trình không thuần nhất u 00 j (t)+2λ j u 0 j (t)+λ 2 j u j (t)=F j (t) (2.7)
Nghiệm của phương trình (2.7) có dạng u j (t)=D 1(t)e −λ j t +D 2(t)t e −λ j t
Dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange ta có hệ sau
Lấy tích phân từ0đến t, ta được
Suy ra u 0 j (0)= −λ 1 C 1 +C 2 Từ (2.5), ta cóu 0 j (0)=0, suy ra
0 e λ j ξ F j (ξ)dξ ả t e −λ j t (2.9) Từ (2.4) và (2.9), ta được u j (T) ³¡ 1+λ j T¢ e −λ j T ´ u j (0)+ àZ T
Te −λ j T Từ đó suy ra u j (0)= 1 ¡1+λ j T¢ e −λ j T ã ψ j − àZ T
Te −λ j T á (2.10) Thay (2.10) vào (2.9), biến đổi ta được u j (t)= 1+tλ j
Theo biểu diễn chuỗi Fourier, ta có u(x,t)X∞ j = 1 u j (t)φ j (x)
Theo khái niệm về tính chỉnh được nêu trong định nghĩa (1.3.1) và ví dụ (2.1.1) Bài toán (2.1) là bài toán không chỉnh, một sai số nhỏ trong dữ liệu của ψ là nguyên nhân đáng kể gây ra sai số lớn đối với nghiệm u(t), vớit ∈[0,T].
Thật vậy, chúng tôi đưa ra một ví dụ cho thấy rằng nghiệmuˆ m (∀m∈N ∗ ) của bài toán (2.1) không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu cuối cùng (trình bày đơn giản tạit =0)
Ví dụ 2.1.1 Cho bất kì∀ m∈N ∗ , chọnψˆ m vàF ˆ m được cho như sau:
Với ψ ˆ m vàF ˆ m được chọn như (2.13), xét nghiệm (2.12) tại t=0, ta có ˆ u m (x, 0)X∞ j =1
(2.14) Áp dụng bất đẳng thứck a−bk ≥ kak − kbk, ∀a,b∈R, ta có kuˆ m (ã, 0)k ≥ ° ° ° ° ° X∞ j=1
Khim→ ∞, ta thấy rằng m lim→∞ ° °ψˆ m ° °=0 (2.16)
Như vậy bài toán (2.1) là không chỉnh theo nghĩa nghĩa Hadamard.
(2.18) Đại lượng chuỗi thứ hai trong (2.18) là ổn định theo chuẩnL 2 (0,π) Thật vậy, ta có kJ(t)k 2 X∞ j = 1 ãZ t
Vì vậy, mục tiêu chỉnh hóa chúng tôi chỉ quan tâm đại lượng đầu tiên trong (2.18).
BÀI TOÁN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH BIPARABOLIC
Nghiệm của phương trình Biparabolic phi tuyến
Trong chương này, ta xét bài toán ngược cho phương trình Biparabolic phi tuyến sau
(3.1) trong đó−∆ u=u xx ,∆ 2 u=u xxxx vàF : [0,T]×L 2 (0,π)→L 2 (0,π)là hàm Lip- schitz toàn cục, tức là tồn tạiK là hằng số dương không phụ thuộc vàow vàv sao cho kF(ã,t,w(ã,t))−F(ã,t,v(ã,t))k ≤Kkw(ã,t)−v(ã,t)k (3.2) Đầu tiên, ta tìm công thức nghiệm của bài toán (3.1) Giả sử rằng nghiệm u(ã,t)∈L 2 (0,π)cú dạng chuỗi Fourier u(x,t)X∞ j=1 u j (t)φ j (x), (3.3)
Từ (3.1), ta có hệ phương trình sau
F((ã,t),u(ã,t)) ,φ j ® Bằng cách giải phương trình vi phân cấp hai, ta được u j (t)=e (T −t ) λ j £
(ξ−t)e ( ξ−t) λ j F j (u) (ξ)dξ. Khi đó, thayu j (t)vào (3.3), ta được u (x , t ) =
(3.5) Bài toán (3.1) có nghiệm duy nhất u(t) ở dạng (3.5) (thu được bằng cách dùng định lý điểm bất động) Tuy nhiên, trong trường hợp bài toán phi tuyến, nghiệm này không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu Từ đó, bài toán này trở thành bài toán không chỉnh theo nghĩa của Hadamard.
Vớit 0sao cholim ε→ 0 + M ε = ∞và thỏa mãn ε→0lim + M ε εe T M ε =0.
Giả sử thêm rằng bài toán(3.1) có một nghiệm duy nhấtu thỏa mãnu∈
L ∞ ¡ [0,T] ;G σ 1 , σ 2 ¢(xem(1.1)), với σ 1 ≥ χ >0,σ 2≥T Khi đó, ta có ° °U ε (ã,t)−u(ã,t)° °
Từ định lý trên, ta có nhận xét sau:
Nhận xét 3.2.1 Ta có thể chọnM ε = T 1 log (ε −ω ), với ω ∈(0, 1) Khi đó, từ giả thiếtlim ε→ 0 + M ε εe T M ε =0,ta có đánh giá ° °U ε (ã,t)−u(ã,t)° °≤Cε ω T t , ∀t∈(0, 1) , (3.8) trong đó
Chứng minh Ta chia chứng minh định lý này làm hai phần Trong phần A, ta chứng minh tính chỉnh (well-posed) của bài toán chỉnh hóa Trong phần B, ta tiến hành đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa.
Phần A Tính phụ thuộc liên tục của hàm xấp xỉ U ε cho bởi(3.5) Ta chia phần này làm hai bước như sau:
Bước 1:(Bài toán (3.6) có duy nhất một nghiệm yếuU ε (t)trong
, ta xét hàm số sau J(ω) (x, t) λ j ≤M ε
Tiếp theo, ta sẽ áp dụng định lý điểm bất động trong không gian Banach, bằng cách chỉ ra tồn tạik 0 ∈Z + sao choJ k 0 là ánh xạ co. Ở đây, ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp Cụ thể, nếu ω 1 ,ω 2 thuộcC¡
(3.10) trong đó chuẩn k.k C ( [0,T ];L 2 (0, π ) ) là chuẩn sup trên C¡
Thật vậy, vớik =1, sử dụng bất đẳng thức H¨older và tính chất chất Lipschitz củaF, ta có kJ(ω 1) (ã,t)−J(ω 2) (ã,t)k 2 λ j ≤ M ε
Từ đó, ta suy ra kJ(ω 1) (ã,t)−J(ω 2) (ã,t)k 2 ≤T 3 e 2T M ε
≤K 2 T 3 e 2T M ε (T −t)kω 1−ω 2k 2 C ( [0,T ];L 2 (0, π ) ).Như vậy (3.10) đúng vớik =1 Tiếp theo, giả sử rằng (3.10) đúng khik =p, ta chứng minh rằng nó cũng đúng vớik=p+1 Thật vậy, ta có ° °J p+1 (ω 1) (ã,t)−J p+1 (ω 2) (ã,t)° °
! kω 1−ω 2k C 2 ( [0,T ];L 2 (0, π )). Do đó, theo nguyên lý quy nạp, ta thu được (3.10) Xét hàm
, được định nghĩa bởi (3.9) và thỏa (3.10) Do k lim→ 0 s ¡K 2 T 3 e 2T M ε ¢ k (T−t) k k! =0, ∀t ∈[0,T] , ta suy ra tồn tạik 0 nguyên dương sao cho s ¡K 2 T 3 e 2T M ε ¢ k 0 (T −t) k 0 k 0 ! 0 Khi đó, ta có ° °U 1 ε (ã,t)−U 2 ε (ã,t)° °
Từ bất đẳng thức trên, ta thấy nghiệm của bài toán(3.1) phụ thuộc vào ψ ε Phần A đã được chứng minh xong.
Phần B: Đánh sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.
U ε ´ (ξ)dξi φ j (x) (3.14) Hàmu(t)được viết lại như sau u(x,t)X∞ j = 1 h e (T − t ) λ j ¡
Từ bước 2 của phần A, ta kết luận rằng ° ° °U ε (ã,t)−U ε (ã,t) ° ° °≤2 (1+T M ε )εe K 2 T 4 e (T −t)M ε (3.16) Kết hợp(3.14)và(3.15), ta được u(x,t)−U ε (x,t) λ j ≤M ε
VớiEe2, ε , sử dụng(3.2)và bất đẳng thức Holder, ta được ° ° eE1, ε ° °
Từ đó,Ee2, ε có thể được đánh giá như sau ° ° eE2, ε ° °
Kết hợp(3.17)và(3.19), ta thu được ° ° °u(ã,t)−U ε (ã,t) ° ° °
Từ đó, ta thu được kết quả sau ° ° °u(ã,t)−U ε (ã,t) ° ° °≤ p2
Kết hợp(3.16)và(3.22)và bất đẳng thức tam giác, ta có được(3.7) Như vậy, đinh lý 3.1 đã được chứng minh xong. Định lý tiếp theo sẽ đưa ra đánh giá sai số trong không gian Sobolev H r Định lý 3.2.2(Ước lượng trong H r (0,π)) Cho σ 1 ≥ r+η, σ 2≥T, (r,η>0). Giả sử ta chọn đượcM ε sao cholim ε→0 + M ε = ∞và ε→lim0 + εM ε r + 1 e T M ε =0.
0,T,G σ 1 , σ 2 ¢, ta có đánh giá sau ° °U ε (ã,t)−u(ã,t)° ° H r
Bổ đề 3.2.3 Nếu ta chọn M ε = T 1 log¡ 1 e ω ¢,ω ∈ (0, 1) Khi đó, ta có sai số kU ε (ã,t)−u(ã,t)k H r (0, π ) cú cấp độ ε ωt T max ẵ e 1−ω ã1
Chứng minh Trước tiên, ta có ° ° °U ε (ã,t)−U ε (ã,t) ° ° °
Từ bước 1 của định lý 3.2.1, ta suy ra ° ° °U ε (ã,t)−U ε (ã,t) ° ° ° H r
(0, π )≤2M ε r (1+T M ε )εe K 2 T 4 e (T − t )M ε (3.25) Tiếp theo, ta cũng có đánh giá sau ° ° °u(ã,t)−U ε (ã,t) ° ° °
Kết hợp (3.23),(3.25) và (3.26) ta hoàn thành chứng minh trên.
Chương 4 VÍ DỤ SỐ MINH HỌA
Trong chương này, ta xét bài toán (2.1) đã được cho bởi
(4.1) trong đó ψ (x)=x(x−π), F(t,x)= −2πx+2x 2 −8t, T =1 Nghiệm chính xác của bài toán (4.1) được cho bởiu(x,t)=t 2 x(x−π). Khi đó, nghiệm chỉnh hóa theo kết quả chỉnh hóa thứ nhất ở chương 2 được cho bởi
Trong đó λ j =j 2 , φ j (x) r2 πsin(j x). Để thuận tiện cho việc chạy số liệu, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 ChọnN x vàN t ∈N ∗ , ta đặt
Bước 3 Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa được cho bởi
Với cách chọnN x =N t ,N(n)P,α=ε 1/2 , ta có các kết quả sau
Bảng 4.1: Đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại các thời điểm t i ∈ {0.2, 0.5, 0.7} với ε ∈ {0.1, 0.01, 0.001}
Từ bảng 4.1 và hình 4.1-4.6, ta có thể đưa ra nhận xét rằng khi ε càng bé thì kết quả sai số càng bé, từ đó cho thấy kết quả chỉnh hóa được đưa ra là có hiệu quả. x
Ngh ie m ch in h x ac v a n gh ie m ch in h h oa
Hình 4.1: Nghiệm chính xác u ex và nghiệm chỉnh hóa U r eg tại t = 0.2 với ε = 0.1 x
Hình 4.2: Sai số giữa nghiệm chính xác u ex và nghiệm chỉnh hóa U r eg tại t = 0.2 với ε = 0.1 x
Ngh ie m ch in h x ac v a n gh ie m ch in h h oa
Hình 4.3: Nghiệm chính xác u ex và nghiệm chỉnh hóa U r eg tại t = 0.2 với ε = 0.01 x
Hình 4.4: Sai số giữa nghiệm chính xác u ex và nghiệm chỉnh hóa U r eg tại t = 0.2 với ε = 0.01 x
Ngh ie m ch in h x ac v a n gh ie m ch in h h oa
Hình 4.5: Nghiệm chính xác u ex và nghiệm chỉnh hóa U r eg tại t = 0.2 với ε = 0.001 x
Hình 4.6: Sai số giữa nghiệm chính xác u ex và nghiệm chỉnh hóa U r eg tại t = 0.2 với ε = 0.001
Mã chương trình Matlab clf clear
% Number of intervals for x Nx = 20; % Phan hoach truc x 20 diem
% Space from 0 to pi X = linspace(0,pi,Nx+1); dx = pi/Nx;
% Tinh tich phan bang cong thuc Simpson Ss = ones(1,Nx+1);
Ss(1) = 1/3; Ss(Nx+1) = 1/3; for i = 2: Nx if mod(i,2) == 0 Ss(i) = 4/3; else Ss(i) = 2/3; end;
% Phan hoach tu t : Nt+1 Nt = 20; % Phan hoach truc t 20 diem
% Thoi diem quan sat t_ob = 0.2;
% Nghiem chinh xac u_ex = t^2*x*(x-pi); plotu_ex = u_ex(X,t_ob);
% Ma tran vecto rieng Phi = zeros(Nx+1,P+1);
% Mphi(:,1) = C0; for p = 1 : PPhi(:,p) = (1/pi)^(1/2)*sin(p*X); end;
% Du lieu cuoi xi = u_ex(X,L);
% So lan lap epsilon M = 1; solu = zeros(Nx+1,M);
Ureg = zeros(1,Nt+1); for m = 1 : M alpha = sqrt(ep);
% Tinh chuan normg = sqrt(dx*Ss*(xi.^2)); g1 = xi*(1+ep/normg*(2*rand(size(X))-1)); u = zeros(Nx+1, Nt+1); u(:,Nt+1) = g1; for j = Nt : 1: 1 tj = (j-1)*dt; u_p = zeros(P+1,1); for p = 0 : P u_p(p+1) = (1+tj*p)/(1+L*p)*(exp(-tj*p)) /(alpha + exp(-p*L))*dx*(Ss*(Phi(:,p+1).*g1)); for i = j : Nt; ti = (i-1)*dt; u_p(p+1) = u_p(p+1) + (L-ti)*(exp(p*(ti-tj-L))) /(alpha + exp(-p*L))*f(X,ti)*dx*Ss*(Phi(:,p+1)); end; u(:,j) = Phi*u_p;
Uex = zeros(1,Nt+1); for i = 1 : Nt+1
Uex(i) = u_ex(X(i),t_ob); end EEE = abs(Uex - Ureg); figure(1) % Ve hinh 1 plot(X, plotu_ex, ’o-’); hold on plot(X, solu(:,1), ’*-’); legend(’u_{ex}’,’U_{ex}’); figure(2) % Ve hinh 2 stem(EEE); xlabel(’$x$’,’FontSize’,13,’FontWeight’,’bold’,
’Interpreter’, ’Latex’); ylabel(’Danh gia sai so’,’FontSize’,12,’FontWeight’,
’bold’,’Interpreter’, ’Latex’); leg2 = legend(’Sai so’); set(leg2,’Interpreter’,’latex’,’FontSize’,12);
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
1 Kết luận a) Về phương pháp nghiên cứu:
• Phương pháp phân tích, tổng hợp: Nghiên cứu, tra khảo tài liệu tham khảo, đọc hiểu các tài liệu liên quan đến hướng nghiên cứu.
• Phương pháp mô hình hóa: Từ các tài liệu tìm hiểu được, hệ thống lại các dạng bài toán liên quan đến hướng nghiên cứu Từ đó, mô hình hóa bài toán đang nghiên cứu cho các trường hợp tổng quát. b) Về nội dung nghiên cứu:
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về bài toán ngược cho phương trình Biparabolic Cụ thể như sau:
• Xây dựng công thức nghiệm cho bài toán.
• Chứng tỏ rằng bài toán đang xét là bài toán không chỉnh bằng cách đưa ra ví dụ cụ thể.
• Sử dụng hai phương pháp chỉnh hóa là phương pháp lọc và phương pháp chặt cụt để chỉnh hóa bài toán, từ đó đưa ra đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.
• Cuối cùng, trình bày một ví dụ số minh họa cho phương pháp chỉnh hóa bằng hàm lọc.
2 Hướng phát triển của luận văn
1 Hướng phát triển sắp tới của luận văn này là sử dụng các phương pháp chỉnh hóa như phương pháp lọc, phương pháp chặt cụt và các phương pháp khác như phương pháp QBV, phương pháp Q-R để chỉnh hóa các bài toán không chỉnh cho các phương trình đạo hàm riêng.
2 Sử dụng các kỹ thuật đánh giá quen thuộc như bất đẳng thức H¨older,bất đẳng thức Gronwall’s, định lý điểm bất động để xử lý các bài toán tuyến tính hay các bài toán phi tuyến khác.
[1] Ames, K.A., Straughan, B.Non-Standard and Improperly Posed Prob- lems Academic Press, New Yord (1997).
[2] Besma, Khelili, Boussetila Nadjib, and Rebbani Faouzia.A modified quasi-boundary value method for an abstract ill-posed biparabolic problem Open Mathematics 15.1 (2017): 1649-1666.
[3] Cao, C., Rammaha, M.A., Titi, E.S.The NavierStokes equation on the ro-tating 2-D sphere: Gevrey regularity and asymptotic degrees of freedom z Angew Math Phys 50, 341-360 (1999).
[4] Carasso, A.S.Bochner subordination, logaritthmic diffusion equa- tions, and blind deconvolution of Hubble space telescope imagery and other scientific data SIAM J Imaging Sci 3(4), 954-980 (2010).
[5] Fichera, G Is the Fourier theory of heat propagation paradoxical?
[6] Fushchich, V.L., Galitsyn, A.S., Polubinskii, A.S.A new mathematical model of heat conduction processes Ukr Math J 42 210-216(1990).
[7] Huy Tuan Nguyen, Mokhtar Kirane, Nam Danh Hua Quoc and Van Au Vo,Approximation of an Inverse Initial Problem for a Biparabolic Equation, Mediterr J Math (2018) 15:18
[8] Joseph, L.P., Preziosi, D.D Heat waves Rev Mod Phys 64, 41-73
[9] Lakhdari, Abdelghani, and Nadjib Boussetila An iterative regu- larization method for an abstract ill-posed biparabolic problem.
[10] Lawrence C Evans,Partial Differential Equations, University of Cal- ifornia, Berkeley, Berkeley, CA, Volume: 19; 2010.
[11] Nai, M.T., Pereverzev, S.V., Tautenhahn, U.Regularization in Hilbert scales under general smoothing conditions Inverse Probl 21(6),
[12] Payne,L.E On a proposed model for heat conduction IMA J Appl.
[13] Tuan, N.H., Kirane, M., Long, L.D., Thịnh, N.V.Filter regularization for an inverse parabolic problem in several variables Electron J Dif- fer Equa 24, 13 (2016).
[14] Tuan, N.H.,Quan, P.H.Some extended results on a nonlinear ill-posed heat equation and remarks on a general case of nonlinear terms.
Nonlinear Anal Real World Appl 12(6), 2973-2984(2011).
[15] Wang, L., Zhou, Wei, X.Heat Conduction: Mathematical Models and Analytical Solutions Springer, Berlin(2008).
[16] Zhang, Hongwu, and Xiaoju Zhang Stability and Regularization Method for Inverse Initial Value Problem of Biparabolic Equation.
