Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp số giải bài toán quy hoạch lồi và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  TRƯƠNG TUẤN HƯNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KH[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRƯƠNG TUẤN HƯNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRƯƠNG TUẤN HƯNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) TS Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2018 iii Mục lục Lời cảm ơn v Bảng ký hiệu Mở đầu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Mơ hình tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 Mơ hình tổng qt Phân loại toán tối ưu Bài toán quy hoạch tuyến tính Một số phương pháp giải 1.3.1 1.3.2 Thuật tốn hình học Thuật toán đơn hình 1.3.3 1.3.4 Thuật tốn đơn hình mở rộng 15 Phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát phần mềm MATLAB 16 Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI, CÁC THUẬT TỐN 18 2.1 Mơ hình toán quy hoạch lồi tổng quát 18 2.2 2.1.1 Khái niệm tập lồi, hàm lồi 18 2.1.2 2.1.3 Khái niệm Gradient đạo hàm theo hướng 20 Bài toán quy hoạch lồi tổng quát, điều kiện tối ưu 21 Cực tiểu hàm lồi biến 22 2.2.1 Thuật tốn chia đơi 22 iv 2.3 2.2.2 Thuật toán mặt cắt vàng 24 Mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính 26 2.3.1 2.3.2 2.4 Mơ hình tổng qt 26 Thuật toán Frank-Wolfe 26 Mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc phi tuyến 29 2.4.1 Mơ hình tổng qt 29 2.4.2 Thuật toán Gradient 29 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG THIẾT KẾ TỐI ƯU 3.1 3.2 32 Mô hình tốn sản xuất sản phẩm 32 Mơ hình tốn xác định thiết diện tối ưu giàn chịu lực 36 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 v Lời cảm ơn Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Vũ Vinh Quang, người thầy tận tình hướng dẫn, bảo cung cấp tài liệu hữu ích để tơi hoàn thành luận văn Xin cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, cô giáo giảng dạy lớp K10Y truyền đạt kiến thức, phương pháp nghiên cứu khoa học suốt năm học vừa qua Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học K10Y bạn đồng nghiệp động viên, khích lệ tơi q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình, người thân, người ln động viên, khuyến khích giúp đỡ mặt để tơi hồn thành công việc nghiên cứu vi Lời cam đoan Tôi xin cam đoan: Những nội dung luận văn thực hướng dẫn trực tiếp thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng tác giả, tên cơng trình, thời gian, địa điểm công bố Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Bảng ký hiệu R Rn Tập số thực Không gian vectơ thực n chiều X Vectơ không gian Rn f (X) → max f (X) → Bài tốn tìm cực đại Bài tốn tìm cực tiểu CT D Vectơ chuyển vị C Miền phương án ∇f |x| Vectơ đạo hàm hướng Giá trị tuyệt đối x |X| x∈D Số phần tử tập X x thuộc D x∈ /D AT x không thuộc D Ma trận chuyển vị ma trận A xopt Là điểm để hàm f (x) đạt giá trị tối ưu f val Exitf lag Giá trị hàm mục tiêu Số nguyên thông báo kết thúc tính tốn lb(lower bound) ub(upper bound) Giới hạn Giới hạn linprog bintprog Lệnh để lấy nghiệm không âm Lệnh để lấy nghiệm nguyên có giá trị QHT T Quy hoạch tuyến tính Mở đầu Mơ hình tốn quy hoạch phi tuyến tính nói chung quy hoạch lồi nói riêng mơ hình quan trọng lớp tốn tối ưu hóa, có nhiều ứng dụng toán học vật lý Về mặt lý thuyết, có nhiều tài liệu trình bày thuật tốn lý thuyết giải mơ hình tốn mơ hình tổng qt Tuy nhiên việc nghiên cứu cài đặt chi tiết thuật toán ứng dụng vào số mơ hình toán cụ thể học vật lý chưa nhiều người đề cập đến Nội dung luận văn nghiên cứu sở tốn học thuật toán giải toán quy hoạch lồi có ràng buộc, tìm hiểu chi tiết bước mơ tả thuật tốn, xây dựng sơ đồ khối cài đặt thuật tốn ngơn ngữ lập trình cụ thể Trên sở thuật tốn nghiên cứu cài đặt, luận văn xây dựng mơ hình ứng dụng số tốn học vật lý xác định mơ hình tối ưu thiết kế Nội dung luận văn dự kiến gồm có chương, phần phụ lục cấu trúc sau: Chương 1: Trình bày số kiến thức bao gồm mơ hình tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính, thuật tốn: Hình học, đơn hình, đơn hình mở rộng phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt phần mềm MATLAB Chương 2: Trình bày kiến thức thuật toán liên quan đến toán quy hoạch lồi bao gồm mơ hình tốn quy hoạch lồi tổng quát, thuật toán giải toán cực tiểu hàm lồi biến, mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính, thuật tốn Frank−Wolfe Mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc phi tuyến, thuật tốn Gradient Chương 3: Trình bày số mơ hình tốn ứng dụng thực tế: Mơ hình tốn sản xuất sản phẩm mơ hình tốn xác định thiết diện tối ưu giàn chịu lực Phần phụ lục đưa số chương trình nguồn mơi trường MATLAB giải tốn cực trị hàm lồi Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Trương Tuấn Hưng Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Nội dung chương trình bày mơ hình tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính, thuật tốn: Hình học, đơn hình, đơn hình mở rộng, phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt phần mềm MATLAB Các kết kiến thức quan trọng ứng dụng chương sau luận văn Các kiến thức tham khảo tài liệu [1, 2] 1.1 Mơ hình tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính 1.1.1 Mơ hình tổng qt Tối ưu hóa lĩnh vực quan trọng tốn học có ảnh hưởng đến hầu hết lĩnh vực khoa học, công nghệ kinh tế xã hội Việc tìm giải pháp tối ưu cho tốn thực tế chiếm vai trò quan trọng việc tiến hành lập kế hoạch sản xuất hay thiết kế hệ thống điều khiển trình Nếu sử dụng kiến thức tảng toán học để giải toán cực trị, người ta đạt hiệu kinh tế cao Điều phù hợp với mục đích vấn đề đặt thực tế Bài toán tối ưu tổng quát phát biểu sau: Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm: f (X) → max(min) Với điều kiện: gi (X) = bi , i ∈ J1 ; (1.1) gj (X) ≤ bj , j ∈ J2 ; (1.2) gk (X) ≥ bk , k ∈ J3 ; (1.3) x1 , x2 , , xn ≥ (1.4) Trong f (X) gọi hàm mục tiêu Các điều kiện (1.1) gọi ràng buộc đẳng thức Các điều kiện (1.2), (1.3) gọi ràng buộc bất đẳng thức Các điều kiện (1.4) gọi ràng buộc dấu X = (x1 , x2 , , xn ) vectơ thuộc không gian Rn Tập vectơ X thỏa mãn hệ ràng buộc lập nên miền D gọi miền phương án (hay miền chấp nhận được), điểm X ∈ D gọi phương án Một phương án X ∗ ∈ D làm cho hàm mục tiêu f (X) đạt max (min) gọi phương án tối ưu 1.1.2 Phân loại toán tối ưu Dựa mơ hình tổng qt, người ta thường phân loại lớp tốn tối ưu sau: • Qui hoạch tuyến tính: tốn mà hàm mục tiêu f (X)và tất hàm ràng buộc gi (X), gj (X), gk (X) tuyến tính • Qui hoạch phi tuyến: toán hàm mục tiêu f (X) hàm ràng buộc gi (X) , gj (X) , gk (X) phi tuyến • Qui hoạch lồi: Là toán qui hoạch mà hàm mục tiêu f (X) lồi tập ràng buộc D lồi • Qui hoạch lõm: Là toán qui hoạch mà hàm mục tiêu f (X) lõm tập ràng buộc D lõm • Qui hoạch rời rạc: Bài tốn tối ưu gọi qui hoạch rời rạc miền ràng buộc D tập hợp rời rạc Trong trường hợp riêng biến nhận giá trị nguyên ta có qui hoạch ngun 6 • Qui hoạch đa mục tiêu: Nếu miền ràng buộc ta xét đồng thời hàm mục tiêu khác • Trong lĩnh vực kinh tế kỹ thuật qui hoạch phi tuyến, qui hoạch tuyến tính tốn thường gặp 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính Từ số mơ hình thực tế, ta có mơ hình tổng qt cho tốn quy hoạch tuyến tính sau: Xác định biến xj (j = 1, 2, , n) cho: F (x) = n X cj xj → max(min); j=1 n X aij xj ≥ bi (i ∈ I1 ⊂ M ) ; (1.5) aij xj = bi (i ∈ I2 = M \I1 ) ; (1.6) j=1 n X j=1 lbj ≤ xj ≤ ubj , (j ∈ J ⊂ N ) (1.7) Với M = {1, 2, , m}, N = {1, 2, , n} Vectơ X = (x1 , x2 , , xn ) thỏa mãn điều kiện (1.5) - (1.7) gọi phương án toán Tập nghiệm thỏa mãn hệ ràng buộc gọi miền phương án, ký hiệu D Phương án thỏa mãn điều kiện để hàm mục tiêu đạt max (min) gọi phương án tối ưu Dạng tắc: F (x) = n X cj xj → min; j=1 n X aij xj = bi (i ∈ M ) ; j=1 xj ≥ 0(j ∈ N ) 7 Dạng chuẩn tắc: F (x) = n X cj xj → min; j=1 n X aij xj ≥ bi (i ∈ M ) ; j=1 xj ≥ 0(j ∈ N ) Sử dụng ký hiệu vectơ ma trận, mơ hình tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát biểu diễn sau: f (X) = C T X → max(min); AX = b, AX ≥ b; lb ≤ X ≤ ub Trong đó: X = (x1 , x2 , ,  xn ), C= (c1 , c2 , , cn )    a11 a12 a1n a11 a12 a1n x1        a21 a22 a2n   a21 a22 a2n   x2  ; X =  ; A =   A=             a a amn a a a xn  m1 m2  mn  m1  m2   b1 b1 lb1 ub1          b2   b2   lb2   ub2         b=   ; b =   ; lb =   ; ub =           bm bm lbn ubn Một số phép biến đổi bản: a/ Nếu hàm mục tiêu dạng max chuyển dạng cách đổi dấu hàm mục tiêu b/ Một ràng buộc bất đẳng thức chuyển ràng buộc đẳng thức cách thêm ẩn giả với hệ số tương ứng hàm mục tiêu c/ Một biến không ràng buộc dấu thay biến có ràng buộc dấu 8 1.3 1.3.1 Một số phương pháp giải Thuật tốn hình học Xét toán: f (x1 , x2 ) = c1 x1 + c2 x2 → M ax; a11 x1 + a12 x2 ≤ b1 ; a21 x1 + a22 x2 ≤ b2 ; an1 x1 + an2 x2 ≤ bn ; x1 ≥ 0; x2 ≥ Nhận xét 1.3.1 Vì ràng buộc tốn ln ln nửa mặt phẳng, miền phương án luôn đa giác lồi (là giao nửa mặt phẳng) Xét đường thẳng f = m gọi đường mức Hiển nhiên đường mức chuyển động song song miền phương án điểm chạm cuối đường mức với miền luôn đỉnh đa giác (Hoặc cạnh đa giác) Đấy phương án tối ưu cần tìm Xuất phát từ nhận xét trên, có thuật tốn hình học gồm bước sau : Thuật toán: Bước 1: Vẽ miền phương án D đa giác lồi cách xác định miền giao nửa mặt phẳng hệ ràng buộc Bước 2: Xác định tọa độ đỉnh đa giác: Giả sử điểm A1 , A2 , , Ak Bước 3: Xác định phương án tối ưu fmax = max{f (A1 ), f (A2 ), , f (Ak )} Chú ý 1.3.2 Trong trường hợp miền phương án khơng phải miền kín tùy thuộc vào hướng di chuyển đường mức, xác định phương án tối ưu tốn 9 1.3.2 Thuật tốn đơn hình Mơ tả thuật toán gốc Cơ sở phương pháp Dantzig cơng bố năm 1947 có tên gọi phương pháp đơn hình Xuất xứ tên gọi tốn giải phương pháp có ràng buộc dạng: n X xj = 1, xj > (j = 1, 2, , n) j=1 Mà tập điểm thoả mãn ràng buộc đơn hình khơng gian n chiều Tư tưởng chung Phương pháp đơn hình dựa hai nhận xét sau: • Nếu tốn QHTT có phương án tối ưu có đỉnh D phương án tối ưu • Đa diện lồi D có số hữu hạn đỉnh Như phải tồn thuật toán hữu hạn Thuật toán gồm bước sau: Bước 1: Tìm phương án cực biên Bước 2: Kiểm tra điều kiện tối ưu phương án + Nếu điều kiện tối ưu thoả mãn phương án tối ưu, không ta chuyển sang phương án cực biên cho làm tốt giá trị hàm mục tiêu + Kiểm tra điều kiện tối ưu phương án Người ta thực dãy thủ tục nhận phương án tối ưu, đến tình tốn khơng có phương án tối ưu Cơ sở lý thuyết Xét tốn QHTT dạng tắc: f (x) = C T X ⇒ AX = b; X ≥ 10 Trong A = (aij )n.m , X = (x1 , x2 , , xn ) , C = (c1 , c2 , , cn ), giả sử hạng ma trận A m Giả sử X phương án cực biên Ta ký hiệu: J ∗ = {j|xj > 0} (1.8) Vì vectơ Aj , j ∈ J ∗ độc lập tuyến tính nên |J ∗ | ≤ m Định nghĩa 1.3.3 Phương án cực biên X gọi không suy biến |J ∗ | = m, suy biến |J ∗ | < m Ta chọn hệ thống m vectơ độc lập tuyến tính {Aj , j ∈ J} cho J ⊇ J ∗ Hệ thống sở X , vectơ Aj , j ∈ J biến xj , j ∈ J gọi vectơ biến sở tương ứng Các vectơ biến Aj , xj , (j ∈ / J) gọi vectơ biến phi sở Nếu X khơng suy biến tồn sở nhất, J = J ∗ Mọi vectơ Ak phi sở biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính vectơ sở: X Ak = zjk Aj (1.9) j∈J Trong hệ số zjk xác định việc giải hệ phương trình: ajk = X zjk aij , (i = 1, 2, , m) (1.10) j∈J Bài tốn QHTT gọi khơng suy biến tất phương án cực biên khơng suy biến Giả sử tốn khơng suy biến ta tìm phương án cực biên X = (x1 , x2 , , xm , 0, , 0) sở A1 , A2 , , Am Đối với phương án cực biên ta có: m X j=1 xj Aj = b, xj > 0, (j = 1, 2, , m) (1.11) 11 Với giá trị hàm mục tiêu: m X cj xj = z0 , xj > 0, (j = 1, 2, , m) (1.12) j=1 Ta tính đại lượng sau: m X zjk cj = zk (1.13) j=1 Ký hiệu: ∆k = zk − ck = m X zjk cj − ck (1.14) j=1 Định lý 1.3.4 Nếu phương án cực biên X = (x1 , x2 , , xm , 0, , 0) mà điều kiện sau thỏa mãn: ∆k ≥ 0, ∀k = 1, 2, , n (1.15) X phương án tối ưu Nhận xét 1.3.5 Trong (1.9) Aj vectơ sở tồn hệ số zij = 1, tất hệ số khác ta có: ∆j = cj − cj = 0, j ∈ J Và thực tế để kiểm tra điều kiện tối ưu phương án cực biên X ta kiểm tra: ∆k ≥ 0, ∀k ∈ /J Người ta chứng minh tốn khơng suy biến (1.15) điều kiện cần toán tối ưu Định lý 1.3.6 Nếu tồn số k cho ∆k < ta tìm phương án X mà Z > Z Trong thực tế Dantzig chứng minh số bước lặp giảm đáng kể ta thay vectơ Ak vectơ As thỏa mãn ∆s = {∆k |∆k < 0} k vectơ Ar xác định theo công thức:   xj xr θs = |zjs > = zjs zrs (1.16) 12 Ta có phương án cực biên X mà thành phần có dạng:  x  xj − r z js , j 6= r x0j = xr zrs (1.17)   ,j = r zrs Với sở là: Aj , j ∈ J = J\ {r} ∪ {s} (1.18) Xuất phát từ sở lý thuyết trên, có thuật tốn sau Thuật tốn đơn hình Bước 1: Tìm phương án cực biên xuất phát X sở Aj , j ∈ J Bước 2: P + Xác định số zjk hệ thống: Ak = zjk Aj j∈J + Đối với k ∈ / J tính ước lượng: ∆k = m X zjk cj − ck j=1 • Nếu (∀k ∈ / J) , ∆k ≥ ⇒ x nghiệm tối ưu Thuật toán dừng • Nếu X nghiệm tối ưu: o (∃k ∈ / J) , ∆k < zjk ≤ 0, ∀j ∈ J ⇒ tốn QHTT khơng có nghiệm tối ưu Thuật tốn dừng o Đối với k ∈ / J cho ∆k < tồn j ∈ J : zjk > ⇒ chọn ∆s = {∆k |∆k < 0} , đưa  sở  vectơ As vào xr xj Bước 3: Xác định: θs = |zjs > = Đưa vectơ Ar zrs zrs khỏi sở Bước 4: Xác định phương án cực biên X với sở: J = J\ {r} ∪ {s} Quay trở lại bước Công thức đổi sở, bảng đơn hình Ta xét công thức chuyển từ phương án cực biên X với sở J, sang phương án cực biên X với sở J Xuất phát từ công thức (1.17) 13 cho phép tính thành phần X Ta cần thiết lập cơng thức tính số zjk Ta có:  As = X zij Aj ⇒ Ar = j∈J  X   As −  z A js j   zrs (1.19) j∈J j6=r Mặt khác: Ak = X (zjk Aj + zrk Ar ) (1.20) j∈J Thay biểu thức Ar từ (1.19) vào (1.20) ta có:  Ak = X zjk Aj + j∈J Ak = X  zrk  As − ; z A js j  zrs  j∈J j6=r X j∈J j6=r   zsk zrk zjs Aj + zjk Aj − zrs zrs Đây công thức biểu diễn Ak qua sở J = J\ {r} ∪ {s} Khi ta có:  zrk   zjs , j 6= r z − jk zrs zjk = zrk   ,j = r zrs Sau có zjk ta tính: ∆k = X zjk cj − ck (1.21) j∈J Để dễ tính tốn, bước lặp ta thiết lập bảng đơn hình (Bảng 1.1) - Sử dụng phương pháp biến đổi theo thuật toán sau - Nếu tất số hàng cuối (trừ F ) ≥ , nghĩa ∆k ≥ 0, ∀k, X phương án tối ưu Thuật tốn dừng - Nếu hàng cuối (khơng kể F ) tồn số âm mà số cột tương ứng ≤ tốn không tồn phương án tối ưu Ngược lại: 14 Cơ cj Phương c1 A1 c2 cj cr cm ck cs cn A2 Aj Ar Am Ak As An sở án c1 A1 x1 z1k z1s z1n c2 A2 x2 0 z2k z2s z2n cj Aj xj 0 0 zjk zjs zjn cr Ar xr 0 zrk zrs zrn cm Am xm 0 0 zmk zms zmn F 0 δk δs δn Bảng 1.1: Bảng lặp đơn hình + Chọn cột s cho: ∆s = {∆k |∆k < 0}, cột gọi cột xoay Vectơ đưa vào sở   xj xr + Chọn hàng r mà tỉ số: θr = = |zjs > Hàng r gọi xrs zjs hàng xoay Vectơ Ar bị đưa khỏi sở Phần tử zrs > giao cột xoay dòng xoay gọi phần tử trục Các phần tử zjs , j 6= r gọi phần tử xoay Theo công thức (1.17), (1.18), (1.21), bảng đơn hình suy từ bảng đơn hình cũ cách thay cr , Ar hàng xoay Sau thực phép biến đổi đây: 1) Chia phần tử hàng xoay cho phần tử trục, kết thu gọi hàng chuẩn 2) Đối với hàng lại thực biến đổi theo công thức Hàng = Hàng cũ tương ứng – Hàng chuẩn × Phần tử xoay Tồn thể phép biến đổi gọi phép quay xung quanh trục zrs Sau thực phép xoay ta có phương án sở mới, tiến hành kiểm tra điều kiện tối ưu  ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRƯƠNG TUẤN HƯNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ... rộng 15 Phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát phần mềm MATLAB 16 Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI, CÁC THUẬT TỐN 18 2.1 Mơ hình toán quy hoạch lồi tổng quát ... thức thuật toán liên quan đến toán quy hoạch lồi bao gồm mơ hình tốn quy hoạch lồi tổng quát, thuật toán giải toán cực tiểu hàm lồi biến, mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính, thuật