những khó khăn về nhận thức và kĩ năng của học sinh trong giải toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 và các biện pháp sư phạm của giáo viên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ XUYÊN NHỮNG KHÓ KHĂN VỀ NHẬN THỨC VÀ KĨ NĂNG CỦA HỌC SINH TRONG GIẢI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 9 VÀ CÁC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ XUYÊN

NHỮNG KHÓ KHĂN VỀ NHẬN THỨC VÀ KĨ NĂNG CỦA HỌC SINH TRONG GIẢI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 9 VÀ CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM CỦA GIÁO VIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2024

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ XUYÊN

NHỮNG KHÓ KHĂN VỀ NHẬN THỨC VÀ KĨ NĂNG CỦA HỌC SINH TRONG GIẢI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 9 VÀ CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM CỦA GIÁO VIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS NGUYỄN HỮU

CHÂU

HÀ NỘI - 2023

i LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là các kết quả nghiên cứu của chính tôi Các số liệu, các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác Đồng thời các trích dẫn trong luận văn đều ghi rõ nguồn gốc

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Xuyên

ii LỜI CẢM ƠN

Luận văn “Những khó khăn về nhận thức và kĩ năng của học sinh trong giải toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 và các biện pháp hỗ sư phạm của giáo viên” được hoàn thành là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của người

thực hiện cùng với sự hướng dẫn tận tình của quý thầy, cô và sự giúp đỡ của đồng nghiệp và gia đình

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo của trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc Gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới giảng viên GS.TS Nguyễn Hữu Châu trong suốt thời gian qua đã tận tình hướng dẫn tác giả nghiên cứu và hoàn thành luận văn đúng thời gian quy định

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THCS Ngũ Hiệp, THCS Tứ Hiệp, THCS Tam Hiệp thuộc Huyện Thanh Trì đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn động viên, tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn của mình

Trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2023

Nguyễn Thị Xuyên

iii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ

iv MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Đóng góp của luận văn 3

8 Cấu trúc của luận văn 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Tổng quan nghiên cứu vấn đề 4

1.1.1 Nghiên cứu nước ngoài 4

1.1.2 Nghiên cứu ở trong nước 5

1.2 Một số cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập ở THCS 6

1.2.1 Quan niệm về bài toán 6

1.2.2 Kỹ năng giải toán 8

1.2.3 Sự hình thành kỹ năng giải toán 9

1.2.4 Ý nghĩa của việc giải toán 9

1.2.5 Phân loại bài tập 11

1.2.6 Xu hướng phát triển của bài tập 12

1.2.7 Các yêu cầu đối với lời giải toán 13

1.3 Khái quát về nội dung, chương trình kiến thức Đường tròn lớp 9 13

1.5.2 Đối tượng khảo sát 23

1.5.3 Nội dung khảo sát 23

2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp hỗ trợ học sinh khắc phục khó khăn khi giải các bài toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 35

2.1.1 Bám sát với mục tiêu, nội dung và chuẩn kiến thức, kỹ năng của chương trình môn Toán lớp 9 35

2.1.2 Các biện pháp phải khả thi, góp phần đổi mới phương pháp dạy học và giúp học sinh tiếp thu kiến thức dễ hơn 36

2.1.3 Quán triệt quan điểm hoạt động trong hỗ trợ học sinh khắc phục khó khăn khi giải các bài toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 37

2.2 Biện pháp hỗ trợ học sinh khắc phục khó khăn khi giải các bài toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 38

vi

2.2.1 Biện pháp 1: Xác định những khó khăn của học sinh khi giải các bài

toán liên quan đến đường tròn và xây dựng kế hoạch hỗ trợ 38

2.2.2 Biện pháp 2: Thiết kế nội dung bài học phù hợp với khả năng của học sinh khi giải các bài toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 53

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu, kỹ năng phân tích tìm phương pháp chứng minh bài toán và vẽ đúng hình theo yêu cầu đề bài 74

2.2.4 Biện pháp 4: Thiết kế hệ thống câu hỏi gợi ý giúp học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán 77

2.2.5 Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải và rèn luyện kỹ năng vẽ thêm hình phụ cho học sinh 80

CHƯƠNG 3 90

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 90

3.1 Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 90

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 90

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 90

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 90

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 92

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 92

3.3.2 Thời gian thực nghiệm 93

3.3.3 Tiến trình dạy thực nghiệm 93

3.3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 94

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 95

vii

DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ

BẢNG

Bảng 1.1: Ứng xử của học sinh khi gặp một bài toán khó 25

Bảng 1.2 Những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập toán học 26

Bảng 1.3 Các yếu tố nâng cao kỹ năng giải tốt bài toán 27

Bảng 1.4 Cách học giúp học sinh dễ hiểu bài và khắc phục khó khăn trong giải toán 29

Bảng 1.5 Tìm hiểu về nguồn tài liệu để giáo viên xây dựng hệ thống bài tập 30

Bảng 1.6 Ý kiến của giáo viên về tìm hiểu về mục đích sử dụng bài tập 30

Bảng 1.7 Ý kiến của giáo viên các yếu tố giúp học sinh nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán 32

Bảng 3.1 Thống kê điểm kiểm tra của hai lớp 100

Bảng 3.2 Thống kê điểm kiểm tra của hai lớp (theo tỷ lệ) 100

Bảng 3.3 Bảng phân bố tần số và tần suất điểm kiểm tra của hai lớp 101

Bảng 3.4 Bảng điểm trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn 102

BIỂU ĐỒ Biểu đồ 1.1 Tình trạng học sinh khi học Đường tròn 24

Biểu đồ 1.2 Biểu đồ thể hiện khả năng vận dụng kiến thức của học sinh 25

Biểu đồ 1.3 Cách học sinh giải quyết khi gặp vướng mắc, khó khăn về bài học 28Biểu đồ 3.1: Thống kê điểm kiểm tra của hai lớp (theo tỷ lệ) 101

1

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Đất nước ta đã và đang trong giai đoạn đổi mới có nhiều thời cơ cũng như thách thức to lớn Kinh tế, xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi phải có một thế hệ những người lao động mới có năng lực, có bản lĩnh, chủ động sáng tạo, dám nghĩ, dám làm để thích ứng được với thực tiễn

Trong các môn khoa học kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng Môn toán góp phần phát triển nhân cách, cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh sáng tạo những trí thức, rèn luyện những kỹ năng cần thiết Môn toán còn có tác dụng phát triển những năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ…

Thực tế công tác giáo dục thời gian qua đã có nhiều cố gắng trong việc nâng cao chất lượng đào tạo, đi sâu cải tiến cách dạy, cách học sọng vẫn chưa đạt hiệu quả cao trong đó có môn toán do học sinh gặp nhiều khó khăn, vướng mắc trong quá trình giải toán Thể hiện rất rõ ở tỉ lệ thi đỗ Trung học phổ thông, Đại học và Cao đẳng Toán học là khoa học của những ký hiệu trừu tượng, nó khác với các ngành khoa học thực nghiệm như Lý, Hoá, Sinh …ở chỗ không có vật chất cụ thể Cho nên phần lớn học sinh đã không hiểu được nguồn gốc và ý nghĩa của các kiến thức toán học một cách đúng bản chất để có thể áp dụng vào tình huống thực tiễn Hơn nữa kiến thức mà học sinh phải tiếp thu trong chương trình phần lớn là những biến đổi đại số mà không hề có một hình ảnh minh hoạ nào Do đó các em thường cảm thấy rắc rối và phức tạp Điều này khiến các em nhìn nhận đối tượng theo một khía cạnh đơn giản và phiến diện, không đầy đủ bản chất nên thường gặp khó khăn trong quá trình giải một bài toán

Tìm ra giải pháp hỗ trợ học sinh khi các em gặp khó khăn trong quá trình giải toán Đặc biệt, các bài toán hình học liên quan đến đường tròn trong chương trình toán lớp 9

Tôi chọn đối tượng là học sinh lớp 9 vì bậc học này có nhiệm vụ hoàn chỉnh phổ cập giáo dục phổ thông cơ sở, chuẩn bị cho học lên bậc phổ thông trung học, học nghề và ra lao động Do vậy, nếu học sinh khối này gặp khó khăn trong quá trình giải

2 toán dẫn đến kết quả học tập môn toán không cao dẫn đến những hậu quả khá nghiêm trọng

Tôi đưa ra những giải pháp để học sinh tháo gỡ những khó khăn trong quá trình giải giải bài tập hoặc thi cử

Vì những lý do đó tôi chọn “Những khó khăn về nhận thức và kĩ năng của học sinh trong giải toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 và các biện pháp sư phạm của giáo viên” cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận, đánh giá thực trạng những khó khăn của học sinh khi giải các bài toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 và đề xuất các biện pháp giúp học sinh giảm bớt khó khăn, sai sót khi giải các bài toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu : Những khó khăn của học sinh lớp 9 khi giải các

bài toán liên quan đến đường tròn và các giải pháp hỗ trợ của giáo viên

3.2 Phạm vi nghiên cứu : Dạy học về đường tròn trong chương trình toán lớp 9

4 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học, nếu giáo viên (giáo viên) xây dựng được hệ thống kiến thức, phương pháp cụ thể phù hợp cho từng nội dung bài học và sử dụng một cách đúng đắn, hợp lý thì sẽ giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết được những khó khăn trong quá trình giải các bài toán, tạo hứng thú học tập, giúp học sinh (học sinh) phát huy được tính tích cực, chủ động trong nhận thức, kĩ năng hợp tác, tinh thần làm việc khoa học, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán hình 9 THCS

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận và khảo sát thực trạng về khó khăn của học sinh khi giải các bài toán liên quan đến đường tròn của học sinh lớp 9

5.2 Đề xuất các biện pháp sư phạm thích hợp với các tình huống điển hình để hỗ trợ, khắc phục những khó khăn mà học sinh Trung học cơ sở gặp phải khi giải toán

3 5.3 Thử nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Cơ sở lý luận về tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học môn toán liên quan đến nhiệm vụ nghiên cứu

6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Tiến hành tìm ra các khó khăn thường gặp phải của học sinh thông qua các giáo viên dạy toán, qua dạy và kiểm tra trực tiếp học sinh

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thử nghiệm tại khối 9 một số trường Trung học cơ sở để xem xét tính khả thi, tính hiệu quả của các giải pháp đã đề xuất

7 Đóng góp của luận văn Góp phần làm rõ cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập toán ở THCS

Đưa ra các biện pháp giúp học sinh giải quyết những khó khăn khi giải các bài

toán hình lớp 9

Làm tài liệu tham khảo có ích cho việc dạy của giáo viên Trung học cơ sở và

sinh viên ngành sư phạm

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia thành 3 chương :

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn ; Chương 2: Biện pháp hỗ trợ học sinh giải quyết những khó khăn khi giải toán

hình lớp 9

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tổng quan nghiên cứu vấn đề

1.1.1 Nghiên cứu nước ngoài

Ở cấp THCS, môn Toán góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề, thực hiện được việc lập luận hợp lí khi giải quyết vấn đề, chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp; sử dụng được các mô hình toán học (công thức toán học, phương trình đại số, hình biểu diễn, ) để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp; sử dụng được ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để biểu đạt các nội dung toán học cũng như thể hiện chứng cứ, cách thức và kết quả lập luận; trình bày được ý tưởng và cách sử dụng công cụ, phương tiện học toán để thực hiện một nhiệm vụ học tập hoặc để diễn tả những lập luận, chứng minh toán học

Xung quanh vấn đề sai lầm trong giải toán, trên thế giới đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng đề cập đến vấn đề này I.A.Komensky đã khẳng định: “Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh học kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó bằng cách hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm” A.A Stoliar còn nhấn mạnh: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” G Pôlya thì cho rằng: “Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu sót của mình” B.V Gờnhendenco khi nêu ra 5 phẩm chất của tư duy Toán học thì đã có tới 3 phẩm chất liên quan tới việc tránh các sai lầm khi giải toán: (1) năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận; thấy sự thiếu các mắt xích cần thiết của chứng minh; (2) Có thói quen lý giải logic một cách đầy đủ; (3) Sự chính xác của lý luận [22]

Theo Javier Diez-Palomar (2006): Môn Toán thường khó có sự kết nối với cuộc sống hàng ngày của học sinh Với độ tuổi của học sinh, họ thường nghĩ về ứng dụng của toán học với môi trường bên ngoài lớp học, chủ yếu về số lượng hoặc các hình dạng toán học [28, tr.10] Tác giả cũng chỉ ra những khó khăn của học sinh trong học tập môn Toán thường lúng túng, không biết vận dụng kiến thức đã học vào giải

5 quyết các tình huống đặt ra; không có khả năng phân tích, suy luận chặt chẽ; không thực hiện được hoặc còn sai sót một số kĩ năng tính toán Do vậy, những khó khăn trong học tập môn Toán ở tiểu học nếu không được phát hiện và hỗ trợ kịp thời sẽ dẫn đến những khó khăn liên tiếp, không hoàn thành nội dung chương trình môn Toán và không hoàn thành chương trình cấp tiểu học, ảnh hưởng đến chất lượng phổ cập giáo dục ở tiểu học

A.M Ghelmont [25] đã cho rằng đa số học sinh yếu kém thường gặp khó khăn khi giải toán Và ông cho rằng những thiếu sót trong giảng dạy của giáo viên là nguyên nhân cơ bản của tình trạng học kém Ngoài ra, ông còn chỉ ra một số nguyên nhân khác phụ thuộc trực tiếp vào chủ thể học sinh, cụ thể là tính lười biếng, thái độ tiêu cực, tinh thần trách nhiệm và ý thức của người học sinh chưa cao

Nghiên cứu của L.X Slavina và V.I Xamôkhlova [45] dựa vào các nhóm nguyên nhân chiếm ưu thế, đã phân loại học sinh khó khăn trong giải toán trong học tập thành nhiều nhóm khác nhau trong đó có nhóm học sinh với thái độ không đúng đắn và thiếu hứng thú học tập L.X Slavina cho rằng những hạn chế trong giáo dục đã gây ra tính tiêu cực trong hoạt động nhận thức của học sinh mà hậu quả là cản trở sự hình thành những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo trí tuệ cần thiết trong giai đoạn đoạn để phục vụ cho quá trình học tập về sau [45]

1.1.2 Nghiên cứu ở trong nước

Năm 1996 có công trình nghiên cứu sai lầm của học sinh THPT khi giải toán Đại số, Giải tích của TS Lê Thống Nhất Năm 1997, Nguyễn Vĩnh Cận và cộng sự xuất bản cuốn: “Sai lầm phổ biến khi giải toán: Dùng cho học sinh và giáo viên dạy toán PTTH”, cuốn sách đã thống kê phân tích những sai lầm khi giải các bài tập đại số, giải tích, lượng giác, hình học [22]

Năm 2010, tác giả Nguyễn Thanh Hưng và cộng sự xuất bản cuốn: “Những sai lầm thường gặp khi giải toán ở tiểu học” Với cuốn sách này, tác giả đã đề cập tới

những sai lầm mà học sinh tiểu học thường mắc phải khi giải toán nói chung, giải toán về số học, hình học, đại lượng và thống kê nói riêng Với mỗi dạng toán, tác giả đưa ra các sai lầm, nguyên nhân và cách khắc phục những sai lầm đó

Tác giả Bùi Huy Ngọc đã đưa ra một số biện pháp khai thác các nội dung thực

6 tế trong dạy học Số học và Đại số nhằm khắc phục khó khăn trong giải toán cho học sinh Trung học cơ sở: Chú ý khai thác các ví dụ và tình huống thực tế trong xây dựng và củng cố kiến thức; Thực hiện các hoạt động ngoại khóa có nội dung liên quan đến vận dụng Toán học vào thực tiễn; Khai thác ứng dụng Toán học vào các bộ môn khác gắn với thực tế; tăng cường rèn luyện các kĩ năng thực hành toán học gần gũi với thực tế đời sống (kĩ năng tính toán trên các số, kĩ năng vận dụng và đọc đồ thị, biểu đồ…); Chú ý rèn luyện cho học sinh sử dụng ngôn ngữ Toán học; Tăng cường khai thác các bài toán có lời văn mang nội dung thực tế… [27, tr 42]

Trong [8], Lê Hoàng Hà (2012) đã chỉ ra trong mục trình bày về vấn đề quản lí hoạt động học tập của học sinh như: 1) Đánh giá và đánh giá liên tục trong quá trình dạy học để biết học sinh có khả năng, sở thích về sự sẵn sàng và sự tiến bộ của học sinh Chỉ đạo chặt chẽ, khoa học phân loại học sinh theo tiêu chí cụ thể đã hoạt định theo từng bộ môn; 3) Nâng cao nhận thức cho học sinh theo quan điểm dạy học phân hóa; 3) Xây dựng nề nếp học tập của học sinh theo quan điểm dạy học phân hóa; 4) Chú trọng chỉ đạo hoạt động phụ đạo học sinh; 5) Chỉ đạo phối hợp giữa giáo viên chủ nhiệm, giáo viên bộ môn, Đoàn thanh niên trong việc quản lí hoạt động học tập của học sinh; 6) Quản lí chặt chẽ hoạt động học tập ở nhà của học sinh

Những kết quả nghiên cứu ở nước ngoài kể trên đều hướng vào hỗ trợ học sinh khi giải các bài toán, đặc biệt là những nhầm lẫn, khó khăn của học sinh khi ghi nhớ máy móc các công thức, khái niệm hơn là ghi nhớ về nguyên nhân, ý nghĩa, ứng dụng,….Không biết sử dụng, liên hệ với các kiến thức cơ bản đã học khi giải các bài tập trong sách giáo khoa Ít khi và khó có khả năng tập trung trong giờ học; Khi được hỏi, trả lời thiếu sự lưu loát, trôi chảy và sử dụng ngôn ngữ chưa chính xác Phụ thuộc vào giáo viên trong quá trình học kiến thức mới, ghi nhớ, làm bài tập,…; Tuy nhiên chúng tôi cũng chưa thấy công trình nào đề cập đến cách thức hỗ trợ học sinh khi giải các bài toán đối với các bài toán hình học

1.2 Một số cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập ở THCS

1.2.1 Quan niệm về bài toán

Theo Polya (1975): Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không

7 thể đạt được ngay Giải bài toán tức là tìm ra phương tiện đó [25]

Trong SGK của Pháp, ở phần dành cho học sinh làm việc ở nhà, Bouvier (2000) phân chia các đề bài thành hai phần: Phần bài tập và Phần bài toán Phần bài tập bao gồm các câu hỏi áp dụng trực tiếp phần lí thuyết Phần bài toán bao gồm việc giải quyết nhiều vấn đề xuất phát từ cuộc sống thực tiễn, đòi hỏi sự mô hình hóa chúng để đưa về các bài tập

Trần Thúc Trình (2003) đã phân biệt hai khái niệm bài tập và bài toán như sau: Để giải bài tập, chỉ cần yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã học Để giải được bài toán, phải tìm tòi, giữa các kiến thức có thể sử dụng và việc áp dụng để xử lí các tình huống còn có một khoảng cách, vì các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lí thích hợp; Muốn sử dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với

tình huống [30]

Theo Từ điển Tiếng Việt, “Bài tập là một hình thức giao phó của giáo viên cho học sinh, trong đó chứa đựng những yêu cầu, đòi hỏi người học phải thực hiện những hành động lý thuyết hay thực tiễn nào đó” [16, tr89-90]

Ở một hướng tiếp cận khác, nhà khoa học Nga E.X Rapasevich lại cho rằng:

“Bài tập là các hình thức khác nhau về nội dung và khối lượng công việc hoạt động tự học của học sinh dưới sự chỉ dẫn của giáo viên Nó là một phần không thể thiếu của quá trình dạy học” Theo “Từ điển tiếng Việt” (Hoàng Phê): “Bài tập là bài ra cho học sinh làm để vận dụng những điều đã được học” [6, tr33] Qua đó cho thấy,

bài tập là một nội dung không thể thiếu trong quá trình dạy học, là phương tiện quan trọng để tích cực hóa hoạt động của học sinh

Bài tập toán học là nhiệm vụ mà giáo viên đặt ra cho người học, buộc người học phải vận dụng kiến thức đã biết hoặc kinh nghiệm thực tiễn sử dụng hành động trí tuệ hay hành động thực tiễn để giải quyết nhiệm vụ nhằm chiếm lĩnh tri thức kinh nghiệm một cách tích cực hứng thú và sáng tạo

T Herr và K Johnson (1994) khi bàn về giải toán đã phân biệt hai khái niệm này như sau: giải bài tập thường chủ yếu yêu cầu học sinh lặp lại các phương pháp đã được học khi giải các bài tương tự Bài toán thường khó hơn nhiều và học sinh

8 thường không biết trước được các kiến thức nào đã học sẽ được sử dụng để giải chúng

[16] Trong phạm vi luận văn, chúng tôi quan niệm: Bài toán bao gồm những câu hỏi hoặc yêu cầu hành động cho một ai đó, nhằm tìm ra câu trả lời, thỏa mãn yêu cầu đó, trong một điều kiện cho trước; Một bài toán có thể là một vấn đề, một tình huống đòi hỏi người thực hiện phải tìm ra cách giải quyết vấn đề hay tình huống đó Bài tập bao gồm các câu hỏi, hoặc yêu cầu hành động cho một ai đó, chỉ cần áp dụng trực tiếp lí thuyết hoặc làm theo các ví dụ mẫu là có câu trả lời hoặc thực hiện được yêu cầu đặt ra

1.2.2 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải các bài tập Toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh …)

Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kỹ năng, phương pháp học sinh sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì kỹ năng được hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Toán học

Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động

Sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khác nhau

Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán: Là sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức Toán học Một người hiểu những tri thức Toán học sẽ vận dụng được để làm toán

Kỹ năng vận dụng tri thức coán học vào các môn học khác: Kỹ năng trên bình diện này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này thể hiện tính liên môn giữa các môn học trong nhà trường đòi hỏi người giáo viên dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy bộ học bộ môn

Kỹ năng vận dụng Toán học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan trọng của môn Toán, nó cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống

9

1.2.3 Sự hình thành kỹ năng giải toán

“Giải toán là một nghệ thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt tuyết hay

chơi đàn vậy Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực

đúng đắn và thường xuyên thực hành” (Đề Các)

Việc hình thành một kỹ năng nào đó gồm ba bước: - Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động - Quan sát theo mẫu, làm thử theo mẫu

- Luyện tập cách thức hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của nó nhằm đạt được mục đích đề ra

Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành kỹ năng cho học sinh, khó có thể phân chia được rạch ròi theo các giai đoạn nói trên Chẳng hạn, khi thực hiện hành động giải toán, học sinh chưa hẳn đã nắm vững tri thức về hành động đó, mà chính trong quá trình thực hiện hành động, các em dần dần nắm vững các tri thức cần thiết Điều đó chứng tỏ giữa tri thức và kỹ năng là hai mặt không thể tách rời của hành động học Lí luận dạy học cũng xác định cách dạy của giáo viên sẽ ảnh hưởng sâu sắc đến cách học của học sinh Cũng như các kỹ năng khác, kỹ năng giải toán cũng được hình thành qua bắt chước và tập luyện Để kỹ năng giải toán được rèn luyện và vận dụng trong quá trình nhận thức, trước hết học sinh phải thấy rõ tác dụng của những kỹ năng thành phần, mối quan hệ giữa chúng trong việc giải quyết một bài toán cũng như quy trình thực hiện

Khi dạy các kỹ năng, điều quan trọng là không dạy quá nhiều kỹ năng cùng một lúc Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp sẽ được chia thành một chuỗi các bước đi, các bước đó được học một cách tách biệt nhau Rồi mỗi bước đó được thực hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ cần thiết, sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp

Tùy theo từng nội dung kiến thức mà giáo viên có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng cho học sinh

1.2.4 Ý nghĩa của việc giải toán

Việc giải quyết ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển tư vấn duy logic, khả năng vận hành kiến thức và tính sáng tạo Bằng cách giải bài toán, người ta phải tìm cách suy luận, phân tích và đưa ra các phương pháp giải quyết vấn đề

10 Giải toán không chỉ giúp cải thiện khả năng tính toán và đo lường mà còn giúp rèn luyện kỹ năng tư duy phản biện, phân loại thông tin và kiểm soát các thiết bị Đồng thời, giải toán khuyến khích chiến đấu, kiểm tra và tái kiểm tra kết quả, từ đó rèn luyện tính cẩn thận và tinh luyện

Ngoài ra, giải toán còn có thể giúp cải thiện khả năng giao tiếp, vì khi giải một bài toán, người ta thường phải trình bày ý kiến, lập luận và chia sẻ cách giải quyết vấn đề đó với người khác

Ngoài ra những ý nghĩa đã được đề cập ở trên, việc giải toán còn mang lại rất nhiều lợi ích khác:

Phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề: Giải quyết câu hỏi người giải quyết vấn đề phải xác định vấn đề, thu thập thông tin, tìm ra giải pháp và đưa ra quyết định Qua việc thực hiện quá trình này lặp đi lặp lại, người rèn luyện và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề sáng tạo và hiệu quả

Tiếp cận các khả năng toán học và logic: Giải thích giúp người hiểu sâu về các khái niệm toán học và logic quy tắc Điều này cung cấp cho họ một cách suy nghĩ cấu trúc và phân tích các vấn đề khác nhau bằng cách có logic và mạch lạc hơn

Chuẩn bị cho sự thành công trong học tập và công việc: Kỹ năng giải toán là một kỹ năng cần thiết để học tập hiệu quả trong các môn học liên quan đến toán học, khoa học và kỹ thuật Ngoài ra, nó cũng cần thiết trong nhiều ngành công nghệ thông tin, kinh doanh và tài chính chính, nơi mà phải xử lý và phân tích dữ liệu

Tăng cường lòng dũng chiến và kiểm soát: Việc giải quyết hỏi sự chiến và kiểm soát Khi người ta gặp khó khăn trong công việc tìm ra lời giải cho một bài toán, họ cần phải hiển thị chiến đấu và không bỏ cuộc Điều này giúp rèn luyện sự chiến đấu và hỗ trợ trong công việc đối với quy thức

Giải trí và giảm căng thẳng: Giải toán không chỉ là một hoạt động học tập mà còn mang lại niềm vui và thú vị Việc giải các câu đố, bài toán khó có thể giúp giảm căng thẳng và tăng cường thư giãn

Là phương tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hóa kiến thức một cách tốt nhất Giúp học sinh khắc sâu hơn các khái niệm, định luật đã học và rèn luyện ngôn ngữ toán học cho học sinh

11 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học qua các bài giảng thành kiến thức của bản thân Đào tạo sâu và mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phong phú, hấp dẫn

Tạo điều kiện phát triển tư duy học sinh Ôn tập, củng cố và hệ thống hóa kiến thức đã học một cách thuận lợi nhất, rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hành Phát triển năng lực nhận thức, trí thông minh, sáng tạo, phát huy tính tích cực và hình thành phương pháp học tập hiệu quả

Rèn luyện cho học sinh tính kiên trì, kiên nhẫn, trung thực, chính xác và khoa học, tác phong làm việc có tổ chức linh hoạt, tác phong lao động nghiêm túc, gọn gàng, ngăn nắp, sạch sẽ Thông qua bài tập rèn cho học sinh tính kiên nhẫn, sự linh hoạt, sáng tạo Với các bài tập thực hành còn giúp hình thành ở học sinh tính cẩn thận, tiết kiệm, tác phong làm việc khoa học, chính xác, gọn gàng Nâng cao hứng thú học tập yêu thích môn toán học và các môn khác Vì vậy, việc giải quyết mang lại nhiều ý nghĩa quan trọng để phát triển cá nhân và cảm thấy thỏa mãn trong công việc khám phá và giải quyết các vấn đề

Tóm lại, giải toán có ý nghĩa rất lớn trong việc phát triển tư vấn duy, kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề

1.2.5 Phân loại bài tập

Bài tập toán học được phân thành nhiều loại và trên những cơ sở khác nhau Hiện nay được phân thành những loại cơ bản sau đây

-Dựa vào tính chất của bài tập: Bài tập định tính hay bài tập định lượng -Dựa vào kiểu bài hay dạng bài: Bài tập xác định công thức phân tử của hợp chất, tính thành phần %, nồng độ mol, nhận biết, tách, điều chế

-Dựa vào nội dung: Bài tập có nội dung thuần túy toán học, hay bài tập có nội dung gắn với thực tiễn

-Dựa vào mức độ nhận thức của học sinh: Bài tập kiểm tra sự nhớ lại, hiểu, vận dụng và vân dụng sáng tạo

-Dựa vào cách trình bày lời giảng: Bài tập trắc nghiệm tự luận hay trắc nghiệm khách quan

12 Trong thực tế dạy học có hai cách phân loại bài tập có ý nghĩa hơn cả là phân loại theo nội dung nhưng dựa vào mức độ nhận thức và theo dạng bài

1.2.6 Xu hướng phát triển của bài tập

Thực tế cho thấy có nhiều bài tập còn quá nặng về thuật toán nghèo nàn về kiến thức toán học và không có liên hệ với thực tế hoặc không mô tả đúng các quá trình toán học Khi giải bài tập này thường mất thời gian tính toán toán học, kiến thức toán học lĩnh hội được không nhiều và hạn chế khả năng sáng tạo, nghiên cứu toán học của học sinh Các dạng bài tập này dễ tạo lối mòn trong suy nghĩ, hoặc nhiều khi lại quá phức tạp, rối rắm cho học sinh làm cho các em thiếu tự tin vào bản thân dẫn đến chán học, học kém

Định hướng xây dựng chương trình SGK trung học phổ thông của bộ giáo dục và đào tạo (2018) có chú trọng đến tính thực tiễn và đặc thù của môn học, trong lựa chọn kiến thức nội dung SGK Quan điểm thực tiễn và đặc thù của môn toán học cần được hiểu ở các góc độ sau đây

Nội dung kiến thức toán học phải gắn với thực tiễn đời sống xã hội, cộng đồng Nội dung kiến thức phải gắn với thực hành, thí nghiệm toán học và tăng cường thí nghiệm toán học trong nội dung học tập

Bài tập toán học phải đa dạng, phải có nội dung thiết thực trên cơ sở của định hướng xây dựng chương trình toán học phổ thông

Nội dung bài tập phải ngắn gọn, xúc tích không quá nặng về tính toán mà cần chú ý tập trung rèn luyện và phát triển năng lực nhận thức, tư duy toán học cho học sinh tiếp thu kiến thức mới hoặc dự đoán khoa học

Bài tập toán học cần chú ý đến mở rộng kiến thức toán học và các ứng dụng toán học trong thực tiễn Thông qua các dạng bài tập này làm cho học sinh thấy được việc học toán học thực sự có ý nghĩa, những kiến thức toán học rất gần gũi, thiết thực với cuộc sống Ta cần khai thác các nội dung về vai trò của toán học với các vấn đề kinh tế, xã hội môi trường và các hiện tượng tự nhiên để xây dựng các bài tập toán học, làm cho các bài tập thêm đa dạng, kích thích được sự đam mê, hứng thú học tập bộ môn

13

1.2.7 Các yêu cầu đối với lời giải toán

Để giải toán được coi là đáng tin cậy và chính xác, có một số yêu cầu cơ bản sau đây:

Sự rõ ràng và logic: Lời giải toán cần được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu và logic thủ thuật quy tắc Các bước giải quyết vấn đề phải được mô tả bằng một cách logic, có thứ tự và dễ theo dõi

Đầy đủ và chi tiết: Lời giải toán Cung cấp đầy đủ thông tin và chi tiết liên quan đến vấn đề được đề cập Các tính toán, công thức và quy tắc toán học được phép cần phải được thực hiện một cách chính xác

Hiệu quả và chính xác: Lời giải toán sẽ đạt được mục tiêu giải quyết vấn đề một cách hiệu quả và đúng đắn Các phương pháp và quy trình giả định nên được sử dụng một cách hợp lý và mang lại kết quả chính xác

Giải thích và bình luận: Lời giải toán nên kèm theo giải thích chi tiết cho từng bước giải quyết và kết quả cuối cùng Ngoài ra, cần có bình luận và phân tích để hiểu ý nghĩa và logic của quá trình giải quyết vấn đề

Lưu ý về đơn vị và độ chính xác: Trong giải pháp giải toán, cần lưu ý đến công việc sử dụng các kết quả đo độ chính xác và đơn vị đo Các tham số và biểu đồ sẽ được đưa ra một cách rõ ràng và dễ đọc

Lời giải toán đáng tin cậy và chính xác nếu dày dặn các yêu cầu trên Tuy nhiên, cần lưu ý rằng một số bài toán có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau và lời giải có thể có tính chất đa dạng

1.3 Khái quát về nội dung, chương trình kiến thức Đường tròn lớp 9

Đường tròn (16 tiết): định nghĩa, sự xác định, tính chất đối xứng (2 tiết) Đường kính và dây của đường tròn (2 tiết) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (1 tiết) Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (1 tiết) Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (1 tiết) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn (2 tiết) Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (2 tiết) Vị trí tương đối của hai đường tròn (3 tiết) Ôn tập chương (3 tiết) Nội dung, chương trình kiến thức Đường tròn lớp 9 bao gồm:

14

Lý thuyết về đường tròn 1 Định nghĩa về đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R

Hình 1.1 Nếu A nằm trên đường tròn thì

2 Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm; Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn; Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

4 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn và đường thẳng Δ Đặt

15 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm

chung

Hệ thức giữa d và R

5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: Nếu một đường thẳng là

tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn

6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: Điểm đó cách đều hai tiếp điểm Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

7 Đường tròn nội tiếp tam giác: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một

tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác

8 Đường tròn bàng tiếp tam giác: Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của

một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác

Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp

d < Rd = Rd > R

16 Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C)

9 Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối

xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

10 Vị trí tương đối của hai đường tròn

VTTĐ của hai đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d với R và r

Hai đường tròn tiếp xúc nhau: - Thiếp xúc ngoài

11 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai

đường tròn đó Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm

Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm

Phần kiến thức sử dụng nhiều trong luận văn là phần đường tròn (16 tiết) Với số tiết theo phân phối chương trình thì các tiết luyện tập không thể rèn kỹ năng chứng

minh các bài toán về đường tròn cho học sinh một cách hiệu quả

(O; R)(O'; r)OO' = d

R - r < d < R + rd = R + rd = R - r

d > R + rd < R - r

Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triển tư duy lô gíc, phat shuy tính linh hoạt, sáng tạo trong học tập Tuy vậy môn học này có tính trừu tượng cao, học sinh luôn coi đây là một môn học khó, đặc biệt là phân môn hình học

Ngay từ cấp Tiểu học, học sinh đã được học những bài toán hình học song mới chỉ dừng lại ở việc nhận biết hình và tính toán đơn thuần Đến lớp 9 học sinh mới dần làm quen với việc chứng minh và việc chứng minh khó dần qua các chương

Ở độ tuổi này các em đã bước đầu có thói quen suy luận độc lậpnhưng tư duy chưa sâu, thức vấn đề còn dựa vào trực quan Vì vậy người thầy cần phải xây dựng cho học sinh hướng suy nghĩ, tìm tòi khám phá ra hướng chứng minh cho mỗi bài toán chứng minh hình học

Nguyên nhân và đặc điểm của học sinh gặp khó khăn trong học tập môn Toán ở lớp 9 Theo các kết quả nghiên cứu ở góc độ chẩn đoán y học và tâm lí học thần kinh, tâm lí học sư phạm, gặp khó khăn trong học tập môn Toán thường do các nguyên nhân chính sau: 1) Gặp khó khăn về hoạt động nhận thức, thiếu kĩ năng, kĩ xảo trong học tập;

2) Sự phát triển thể chất kém, lệch lạc về định hướng giá trị, động cơ học tập, thái độ chưa sẵn sàng trong học tập;

3) Phương pháp dạy học và sự quan tâm của giáo viên (giáo viên) chưa kích thích được hứng thú học tập của học sinh;

4) Ảnh hưởng của các mâu thuẫn từ phía nhà trường và gia đình đối với học sinh,

Ở lớp 9, một trong những nguyên nhân gây nên tình trạng gặp khó khăn trong học tập môn Toán của học sinh là: do đặc trưng của môn Toán với tính trừu tượng và

18 logic cao Có nhiều cách để phân dạng khó khăn của học sinh trong học tập môn Toán như: theo biểu hiện hoạt động nhận thức của học sinh, theo thuộc tính nhân cách của học sinh [4], theo cơ chế phát triển các vùng chức năng của não [5], theo mạch kiến thức, các điều kiện hỗ trợ học sinh học tập môn Toán,… Do hạn chế trong nhận thức tính trừu tượng của các mạch kiến thức môn Toán, trong thực hiện yêu cầu vận dụng kiến thức môn Toán nên học sinh lớp 9 thường gặp các khó khăn như: - Khó nhận thức các yếu tố toán học trừu tượng không được “trực quan hóa” Trong phạm vi tôi thấy những khó khăn của học sinh khi giải các bài toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 bao gồm:

1.4.1 Những khó khăn về nhận thức, trong quá trình nắm được kiến thức các

khái niệm, tính chất, quy tắc, thuật giải

Khi có một vấn đề mới nào đó được đặt ra, việc giải quyết nó có thể cần hoặc không cần sự điều chỉnh quan niệm hay sự tổ chức lại một lí thuyết về một số kiến

thức Toán học có liên quan Có thể thấy, có một khó khăn nếu như vấn đề được xử lí

mà không hề đòi hỏi đến việc xem xét lại quan điểm của lí thuyết đang áp dụng hay của những quan niệm hiện hành Còn nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi ta cấu trúc lại những quan niệm hoặc thay đổi quan điểm lí thuyết, khi đó ta nói rằng ta có

một trở ngại Nói một cách khác, khó khăn là do những yếu tố khách quan bên ngoài đem lại và tác động lên người học, còn trở ngại là những rào cản nội tại, những điều

xuất phát từ chính nơi người học

Trong trường THCS môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng Bởi lẽ môn Toán là môn học công cụ, có tính thực tiễn phổ dụng Những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ ỏê học tập những môn học khác Cùng với tri thức, môn toán rèn luyện cho học sinh những kỹ năng toán học như tính toán, vẽ hình, kỹ năng đo đạc Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triển tư duy lô gíc, phat shuy tính linh hoạt , sang tạo trong học tập tuy vậy môn học này có tính trừu tượng cao, học sinh luôn coi đây là một môn học khó, đặc biệt là phân môn hình học

Với mỗi dạng bài đó thì cách làm và cách tiếp cận, cách khai thác kết quả các bài toán như thế nào để khi gặp đề thi sẽ không bị bỡ ngỡ và xử lý được ngay Với

19

môn Toán: Bài toán rút gọn và câu hỏi phụ; công thức tính thể tích, diện tích nón- trụ- cầu; giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình; hàm số bậc nhất; hàm số bậc hai; Hệ thức Vi-et; Giải hệ phương trình; Hình học,…

Trong quá trình giải, học sinh thường mắc những sai lầm căn bản dưới đây dẫn đến mất điểm đáng tiếc như không nắm vững công thức, phương pháp giải các bài toán quen thuộc

Không đọc kỹ đề, hiểu nhầm đề Không biết cách suy luận, phân tích đề bài, biểu thị sai mối quan hệ giữa các đại lượng trong đề bài Quên không đặt điều kiện bài toán, tính toán bị sai trong quá trình biến đổi, hoặc diễn đạt, trình bày lời giải chưa logic

Để giải được bài toán đường tròn trong Hình học 9, các bạn cần hiểu bản chất của các lý thuyết liên quan: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, đường tròn, góc, tứ giác nội tiếp… và một số kiến thức của lớp 6, 7, 8 như: Các Định lý, Tính chất, Hệ quả cùng điều kiện song song, so le; Định nghĩa hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật; Đều kiện để hai Tam giác bằng nhau, đồng dạng cũng như cách tính diện tích của chúng…

Vì bài tập của Hình học 9 (thực tế) không chỉ liên quan tới đường tròn lóp 9, mà còn liên quan rất nhiều tới các kiến thức lớp 6, 7, 8 Các bạn đừng sợ khó, các bạn chỉ cần nhìn hình và áp dụng đúng định nghĩa là sẽ hiểu và sẽ giải được bài tập đường tròn thôi

Ngoài ra, ta có thể phân biệt trở ngại tránh được và trở ngại không tránh được: - Trở ngại tránh được (hay còn gọi là trở ngại sư phạm vì nó liên hệ với sự chuyển hóa sư phạm của tri thức): là kiểu trở ngại cần được đặc biệt chú ý, bởi lẽ nó được tạo ra do những biện pháp sai lầm về mặt sư phạm; nếu người dạy thực hiện những biện pháp chuyển hóa sư phạm hợp lí thì ta hoàn toàn có thể tránh được những trở ngại

- Trở ngại không tránh được (liên hệ với sự phát triển tâm lí của người học hoặc sự phát triển lịch sử của khái niệm mà người học vận dụng): mặc dù không thể tránh được nhưng chúng lại hoàn toàn có thể được xóa bỏ tại những thời điểm thích hợp bằng cách giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động trong những tình huống,

20 hoàn cảnh thích hợp.[8] Những khó khăn trong quá trình nắm được kiến thức các khái niệm, tính chất, quy tắc, thuật giải bao gồm:

Không hiểu đề bài: Một vấn đề phổ biến là học sinh không hiểu ý nghĩa và yêu cầu của đề bài Điều này có thể xảy ra khi đề bài sử dụng ngôn ngữ khó hiểu, hoặc khi học sinh không biết cách phân tích và giải đề bài

Không biết ứng dụng kiến thức: Học sinh có thể gặp khó khăn trong việc áp dụng kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết vấn đề thực tế Điều này có thể xảy ra khi họ không tìm thấy mối liên hệ giữa kiến thức đã học và bài toán, hoặc khi họ không biết cách lựa chọn phương pháp và công cụ thích hợp để giải quyết vấn đề

Thiếu những kiến thức nền tảng để tiếp cận kiến thức mới; Khó khăn trong việc vận dụng kiến thức vào các tình huống, bài toán thực tiễn; Chưa xác định được động cơ, hứng thú học tập, thiếu sự cố gắng, thiếu tích cực, thiếu tự giác trong học tập gặp khó khăn trong học tập môn Toán có khả năng tiếp thu thường chậm so với các bạn trong cùng một khoảng thời gian hình thành kiến thức mới Trong khi các bạn khác hiểu bài, biết vận dụng kiến thức thì gặp khó khăn trong học tập môn Toán chưa biết vận dụng để thực hành kĩ năng

Thiếu kỹ năng tư duy logic: Giải toán đòi tư duy logic và phân tích Học sinh có thể gặp khó khăn khi phải chứng minh, suy luận hoặc đưa ra lý thuyết logic để giải quyết bài toán

- Học sinh không gợi lại, nhớ lại được những kiến thức đã học, không biết vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết các tình huống cụ thể;

- Học sinh không biết mô tả lại, không diễn giải và nhận dạng được những kiến thức đã học;

- Học sinh không giải thích, sử dụng được kiến thức đã học vào giải quyết tình huống, hình thành kiến thức mới;

Thiếu kỹ năng xử lý thông tin: Công việc giải toán thường xuyên Yêu cầu học sinh phải xử lý một lượng thông tin lớn và phân loại các thông tin quan trọng từ không quan trọng Họ có thể gặp khó khăn trong công việc tổ chức thông tin và tìm ra giải

pháp giải quyết hợp lý

Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải bài toán hình học còn khó khăn Khi đã vẽ xong hình thì việc tìm ra hướng giải là khó khăn nhất Thực tế cho thấy học sinh thường bị mắc ở khâu này Nguyên nhân là do các em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm bài Việc huy động những kiến thức đã học để chứng minh còn hạn chế Khả năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn chưa tốt Nhiều bài toán đã được giải nếu thay đổi dữ kiện thì học sinh vẫn còn khó khăn khi giải học sinh còn lúng túng hoặc không thực hiện được một số kĩ năng tính toán, kĩ năng suy luận

Có phản ứng nhận thức chậm, ít tò mò, tìm hiểu về những nội dung học tập mới, vấn đề mới Ghi nhớ máy móc các công thức, khái niệm hơn là ghi nhớ về nguyên nhân, ý nghĩa, ứng dụng,…;

Không biết sử dụng, liên hệ với các kiến thức cơ bản đã học khi giải các bài tập trong sách giáo khoa Ít khi và khó có khả năng tập trung trong giờ học;

Khi được hỏi, trả lời thiếu sự lưu loát, trôi chảy và sử dụng ngôn ngữ chưa chính xác;

Phụ thuộc vào giáo viên trong quá trình học kiến thức mới, ghi nhớ, làm bài tập,…;

Gặp nhiều khó khăn khi chuyển kiến thức từ vấn đề, bài tập, chủ đề, hoạt động này sang hoạt động khác, chủ đề khác,…;

Chậm hiểu một khái niệm, định lí đơn giản; Không đưa ra được các kết quả khái quát hóa hoặc kết luận; Tự ti, thiếu tự tin trong học Toán;

22 Không biết lập luận, suy luận hợp lí khi giải quyết vấn đề trong các trường hợp đơn giản;

Không nhận thấy được sự kết nối (tạo mối liên kết) giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác cũng như giữa toán học với cuộc sống hằng ngày;

Trong học tập ít có tính chủ động, độc lập Việc trình bày lời giải của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ chặt chẽ

Khó khăn trong việc vẽ hình: Một trong những yếu tố quyết định đến việc

giải một bài toán hình học là vẽ hình chính xác Qua thực tế dạy học tôi thấy việc vẽ hình trong một bài toán là yêu cầu tương đối khó đối với một số học sinh, các em hay vẽ thiếu chính xác, nguyên nhân là do các em chưa đọc kỹ bài, chưa biết xác định rõ bìa toán cho gì (GT), yêu cầu làm gì (KL) hoặc sử dụng các dụng cụ, thao tác chưa chính xác hay vẽ hình còn cẩu thảdẫn đến gây trở ngại cho việc định hướng chứng minh

+ Không biết ký hiệu một cáh hợp lý trên hình vẽ ( những điều GT cho) để hỗ trợ cho việc chứng minh

- Đôi khi vẽ hình, học sinh còn vẽ vào trường hờp đặc biệt, dẫn đến ngộ nhận làm cho việc định hướng chứng minh sai lầm, không chứng minh được hay chứng minh sai

Khả năng suy luận hình học còn hạn chế đẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải còn khó khăn:

- Khi đã vẽ xong hình, việc tìm hướng giải bài toán là khó khăn thứ nhất Thực tế cho thấy học sinh thượng bị mắc ở khâu này Nguyên nhân ở chỗ các em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm bài Việc huy động những kiến thức đã học để phục vụ cho việc chứng minh còn hạn chế, có em còn lẫn lộn giữa giả thiết và kết luận Việc liên hệ giữa các bài toán còn chưa tốt, khả năng phân tích, tổng hợp của một số đông học sinh còn yếu Nhiều bài toán đã chữa nhưng nếu thay đổi một số dữ kiên thì học sinh còn gặp lung túng khi giải

23 Việc trình bày bài của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ không chặt chẽ Đa số học sinh gặp khó khăn trong chứng minh hình

1.5 Thực tiễn những khó khăn của học sinh khi giải các bài toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 và các biện pháp hỗ trợ của giáo viên

1.5.1 Mục đích khảo sát

Chúng tôi thực hiện khảo sát thông tin về thực trạng của những khó khăn của học sinh khi giải các bài toán về đường tròn trong chương trình toán lớp 9 và các biện pháp hỗ trợ của giáo viên

1.5.2 Đối tượng khảo sát

Chúng tôi đã tiến hành khảo sát 38 giáo viên dạy môn Toán ở các trường: THCS Ngũ Hiệu, THCS Tứ Hiệp, THCS Tam Hiệp thuộc huyện Thanh Trì, thành phố Hà Nội và 300 học sinh lớp 9 thuộc 3 trường trên địa bàn huyện

1.5.3 Nội dung khảo sát

Kết quả khảo sát với học sinh:

Tình trạng học sinh khi học Đường tròn Khả năng vận dụng kiến thức của học sinh khi học chủ đề Đường tròn Ứng xử của học sinh khi gặp một bài toán khó

Những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập toán học Các yếu tố nâng cao kỹ năng giải tốt bài toán

Cách học sinh giải quyết khi gặp vướng mắc, khó khăn về bài học Ý kiến của học sinh về cách học giúp học sinh dễ hiểu bài và hứng thú hơn

Khảo sát đối với giáo viên:

Tìm hiểu về nguồn tài liệu để giáo viên xây dựng hệ thống bài tập Ý kiến của giáo viên về tìm hiểu về mục đích sử dụng bài tập Ý kiến của giáo viên các yếu tố giúp học sinh nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán

1.5.4 Kết quả khảo sát

1.5.4.1 Kết quả khảo sát với học sinh

a Tình trạng học sinh khi học về chủ đề Đường tròn

24

Biểu đồ 1.1 Tình trạng học sinh khi học Đường tròn

Từ biểu đồ, ta thấy: • Có 19,28% học sinh bị thiếu hụt kiến thức • Có tới 55,42% học sinh tiếp thu kiến thức mới dễ dàng, kiến thức cơ

bản đã vững • Chỉ có 6,02% học sinh cảm thấy bài học mới khó tiếp thu, khó hiểu • Có 19,28% học sinh cảm thấy nội dung bài học của chương này quá

nhiều, khiến học sinh bị quá tải b Khả năng vận dụng kiến thức của học sinh khi học chủ đề Đường tròn

25

Biểu đồ 1.2 Biểu đồ thể hiện khả năng vận dụng kiến thức của học sinh

Biểu đồ cho thấy:

• Chỉ có 3,61% học sinh cảm thấy có thể vận dụng được tốt kiến thức đã học vào cuộc sống khi cần

• Có tới 57,83% học sinh cho rằng việc học nội dung bài học chỉ dùng để vận dụng giải bài tập và đi thi

• Có 7,23% học sinh thấy khó hoặc không áp dụng được gì những nội dung đã học vào cuộc sống

• Có 31,33% học sinh cho rằng việc học nội dung ở chương này giúp bản thân nâng cao được khả năng tư duy, quan sát sự vật xung quanh mình c Ứng xử của học sinh khi gặp một bài toán khó

Bảng 1.1: Ứng xử của học sinh khi gặp một bài toán khó

26 Kết quả thống kê cho thấy, khi gặp một bài toán khó đa số học sinh thường “Xem kỹ bài mẫu mà giáo viên đã hướng dẫn” với 47.0% học sinh lựa chọn và “Mày mò tự tìm lời giải” chiếm 26.0% Trong đó, số ít vẫn “Chán nản, không làm” chiếm 15.7%

Kết quả thống kê cho thấy, d Những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập toán học

Bảng 1.2 Những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập toán học

8 Khó khăn trong tìm cách giải, lập luận bài toán 199 66.3

Nói đến hình học học sinh thường ngại học, quá trình làm bài đôi khi còn bế tắc, không biết bắt đầu từ đâu, trình bày như thế nào, thậm chí vẽ hình còn lung túng, không biết nhìn nhận phân tích hình để làm bài Đa số học sinh chỉ làm được những bài toán chứng minh hình học đơn giản Song thực tế nội dung bài toán thì lại rất phong phú Đặc biệt việc khai thác bài toán của học sinh còn nhiều hạn chế, ngay cả học sinh khá cũng rất lung túng chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải toán Kết quả khảo sát cho thấy, đa số học sinh gặp nhiều khó khăn trong giải các bài

toán hình học như: “Khó khăn khi vẽ hình; Khó khăn trong chứng minh hình; Khó khăn trong nắm bắt tính chất, quy tắc; Khó khăn trong thuật giải; Khó khăn đối với bài tập hình mở rộng” với <80.0% học sinh thường gặp khó khăn

27 Khó khăn trong vẽ hình bài toán: Một trong những yếu tố quyết định đến việc giải một bài toán hình học là vẽ hình chính xác Qua thực tế dạy học, học sinh vẽ hình thiếu chính xác, không biết kí hiệu hình một cách hợp lí trên hình để hỗ trợ trong việc chứng minh, đôi khi vẽ hình học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt dẫn đến ngộ nhận làm cho hướng chứng minh sai lầm Việc trình bày lời giải của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ chặt chẽ

Trong đó, số ít học sinh gặp phải khó khăn như: “Khó nắm bắt kiến thức các khái niệm; Không biết dùng những kiến thức gì để giải”

Thực tế, với cách dạy học truyền thống, giáo viên thường là người đưa ra câu hỏi và học sinh phải làm nhiệm vụ trả lời và giải đáp Tuy nhiên, trong quá trình lĩnh hội và kiến tạo tri thức, lắng nghe bài giảng, học sinh cũng sẽ xuất hiện một số ý tưởng hay những câu hỏi về những vấn đề mà bài giảng của giáo viên chưa làm sáng tỏ Thế nhưng, nhiều học sinh lại không có cơ hội để nói lên những ý tưởng chợt lóe lên trong đầu, hay những vướng mắc về nội dung bài học Học sinh không dám hoặc rất ít khi dám đặt câu hỏi ngược lại cho giáo viên Do đó, những câu hỏi, khúc mắc vẫn cứ quẩn quanh trong đầu người học hoặc chẳng bao giờ được giải đáp

e Các yếu tố nâng cao kỹ năng giải tốt bài toán

Bảng 1.3 Các yếu tố nâng cao kỹ năng giải tốt bài toán

4 học sinh từng bước làm quen và nhận dạng bài

Kết quả khảo sát cho thấy, đa số học sinh cho rằng để nâng cao kỹ năng giải tốt bài tập cần thực hiện “học sinh xem lại bài tập đã giải” với 85.0% ý kiến đồng thuận và “học sinh từng bước làm quen và nhận dạng bài tập” với 56.0% ý kiến

28 Thực tế, giáo viên chỉ thực hiện việc giao tiếp một chiều trong quá trình dạy học khiến học sinh gặp phải "khó khăn" trong việc giải quyết những vướng mắc còn đọng lại trong đầu, nhưng lại không dám giơ tay hỏi Đồng thời, việc học sinh nghĩ rằng 'không nên hỏi", "không dám hỏi" chính là những "trở ngại" khiến cho việc học của các em khó tiến bộ, đặc biệt là khi học Đường tròn, có rất nhiều kiến thức mới mẻ và khó

h Cách học sinh giải quyết khi gặp vướng mắc, khó khăn về bài học

Biểu đồ 1.3 Cách học sinh giải quyết khi gặp vướng mắc, khó khăn về bài học

Biểu đồ trên cho thấy:

• Có 15,66% học sinh chủ động hỏi giáo viên ngay trong giờ học • Có 65,06% học sinh hỏi bạn bè hoặc tự tìm hiểu

• Có 13,25% học sinh chờ đến lúc nghỉ, giờ ra chơi mới hỏi giáo viên • Có 6,02% học sinh không hiểu bài thì bỏ qua, không hỏi gì

Ngoài ra, trong quá trình học Đường tròn, học sinh cũng có thể chưa hiểu và chưa lĩnh hội được hết nội dung của bài toán Điều này là do giáo viên giảng bài chưa thực sự tốt, chưa thực sự làm sáng tỏ vấn đề cho học sinh Tuy nhiên, giáo viên thường đổ lỗi cho học sinh là chưa chịu khó học bài, không nghe giảng hoặc một lí do nào đó nên mới

29 không hiểu bài, không làm được bài Gần như, chẳng bao giờ, giáo viên tự nhận lỗi về mình khi học sinh chưa hiểu bài hoặc không làm được bài Giáo viên thường tự cho rằng mình dạy như thế là rất tốt rồi, còn nếu học sinh học chưa tốt thì đấy là do lỗi của học sinh chứ không phải do mình dạy kém Có một điều khá lạ, đó là, khi có học sinh đạt thành tích tốt thì người ta thường nhắc tới công ơn dạy dỗ của thầy, nhờ thầy mà học trò mới có được kết quả tốt; nhưng khi học sinh yếu kém hoặc không đạt được kết quả tốt sau những bài kiểm tra thì người ta lại thường đổ lỗi cho chính người học sinh không chịu học Nếu người giáo viên dạy giỏi thực sự thì tất cả các học sinh trong lớp đều phải tiến bộ chứ (tiến bộ chứ không phải giỏi hết) Do đó, việc giáo viên không chịu chấp nhận những hạn chế, khiếm khuyết trong bài dạy của mình, chính là một "trở ngại" đối với giáo viên đó Trở ngại này sẽ biến thành khó khăn đối với học sinh Khi người giáo viên không nhận ra và chấp nhận thay đổi những sai lầm trong giảng dạy của mình, điều khiến cho những học sinh học yếu kém chưa thể tiến bộ, chưa thể đạt kết quả tốt trong bài kiểm tra toán ở Đường tròn, việc đó sẽ tạo nên "trở ngại" ở học sinh Bởi lẽ, học sinh sẽ nghĩ rằng mình còn yếu kém, chưa đạt điểm tốt là "hoàn toàn" do lỗi của mình chứ không liên quan gì đến giáo viên Mình là một kẻ kém cỏi, sẽ chẳng thể đạt được điểm cao hay giành kết quả tốt khi làm bài kiểm tra về Đường tròn, dù mình cũng đã cố gắng Suy nghĩ đó chính là "trở ngại" lớn khiến học sinh khó mà tiến bộ được

e Ý kiến của học sinh về cách học giúp học sinh dễ hiểu bài và hứng thú hơn

Bảng 1.4 Cách học giúp học sinh dễ hiểu bài và khắc phục khó khăn trong giải

toán

2 Hoạt động theo nhóm như: thảo luận nhóm, thuyết

30 Kết quả khảo sát cho thấy, đa số học sinh cho rằng cách học giúp học sinh dễ hiểu bài và khắc phục khó khăn trong giải toán cần tổ chức “Tự học, tự làm bài tập và trao đổi với giáo viên các vấn đề khúc mắc” chiếm tỷ lệ 85.3% và “Hoạt động theo nhóm như: thảo luận nhóm, thuyết trình,…” với tỷ lệ 52.0%

1.5.4.2 Về phía giáo viên

a- Tìm hiểu về nguồn tài liệu để giáo viên xây dựng hệ thống bài tập

Bảng 1.5 Tìm hiểu về nguồn tài liệu để giáo viên xây dựng hệ thống bài tập

b Ý kiến của giáo viên về tìm hiểu về mục đích sử dụng bài tập

Bảng 1.6 Ý kiến của giáo viên về tìm hiểu về mục đích sử dụng bài tập

Kết quả khảo sát cho thấy, tìm hiểu về mục đích sử dụng bài tập nhằm “Sử dụng bài tập để gây hứng thú cho học sinh” với 31.6% ý kiến và “Sử dụng bài tập để phát triển năng lực nhận thức, tư duy; Sử dụng bài tập để phát triển tư duy và trí thông minh”

31 c Ý kiến của giáo viên các yếu tố giúp học sinh nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán