dạy học chủ đề diện tích và thể tích lớp 12 trường trung học phổ thông theo định hướng phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh

Để làm rõ được mối quan hệ này, học sinh cần phải tìm hiểu, vận dụng các kiến thức đã được học để dự đoán quy luật, kiểm chứng, giải thích và mô hình hóa các vấn đề thực tế đó sang ngôn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THÙY DUNG

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH LỚP 12 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO ĐỊNH HƯỚNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THÙY DUNG

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH LỚP 12 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO ĐỊNH HƯỚNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Cao Thị Hà

HÀ NỘI – 2023

i

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, không chỉ có sự nỗ lực cố gắng hết mình nghiên cứu, tìm tòi và sáng tạo của bản thân, mà tôi còn nhận được sự giúp đỡ, hướng dẫn, động viên, khích lệ của các thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp và người thân Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học Giáo dục, ĐHQGHN đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại trường

Bằng tình cảm trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới PGS TS Cao Thị Hà – Giảng viên trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin cảm ơn gia đình, nhà trường, các thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp, các em học sinh Trung tâm Giáo dục nghề nghiệp – Giáo dục thường xuyên huyện Hoài Đức (huyện Hoài Đức – thành phố Hà Nội) đã luôn ủng hộ, động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp và những bạn quan tâm tới vấn đề này để luận văn được hoàn thiện tốt hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2023

Tác giả luận văn

Nguyễn Thuỳ Dung

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 4

7 Đóng góp của luận văn 4

8 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Lịch sử nghiên cứu và triển khai mô hình hóa trong dạy học toán 5

1.1.1 Lịch sử nghiên cứu và triển khai mô hình hóa trong dạy học toán trên thế giới 5

1.1.2 Lịch sử nghiên cứu và triển khai mô hình hóa trong dạy học toán ở Việt Nam 5

1.2 Mô hình hóa toán học 6

1.2.1 Khái niệm mô hình hóa toán học 6

1.2.2 Quá trình mô hình hóa toán học 8

1.2.3 Vai trò mô hình hóa toán học trong dạy học toán 20

1.3 Năng lực mô hình hóa toán học 23

1.3.1 Quan niệm năng lực mô hình hóa toán học 23

1.3.2 Các cấp độ của năng lực mô hình hóa toán học 24

1.4 Dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học 25

iii

1.5.1 Mục tiêu điều tra 35

1.5.2 Hình thức điều tra 35

1.5.3 Nội dung điều tra 35

1.5.4 Kết quả điều tra 36

1.6 Kết luận chương I 41

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIẢNG DẠY CHỦ ĐỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH 12 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH 42

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp 42

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh 43

2.2.1 Biện pháp 1: Bồi dưỡng năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học với ngôn ngữ thường ngày 43

2.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh về một số chiến lược giải 49

2.2.3 Biện pháp 3: Lựa chọn các tình huống dạy học để xây dựng bài toán thực tế sử dụng mô hình hóa 62

2.3 Kết luận chương II 72

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 76

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 76

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 76

3.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 76

3.4 Đánh giá về kết quả thực nghiệm 79

3.5 Kết luận chương 3 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

iv

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Phân phối chương trình Hình học 12 28

Bảng 1.2 Thang đo biểu hiện xác định mô hình hoá toán học 32

Bảng 1.3 Thang đo biểu hiện giải quyết vấn đề toán học trong mô hình hoá 33

Bảng 1.4 Thang đo biểu thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải thiện mô hình nếu cách giải không phù hợp 35

Bảng 2.1 Mô tả từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ toán học bài toán 2.1 46

Bảng 2.2 Mô tả từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ toán học bài toán 2.2 48

Bảng 3.1 Thống kê kết quả học tập bộ môn Toán của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước thực nghiệm sư phạm 78

Bảng 3.2 Nội dung Đề kiểm tra nội dung Diện tích và thể tích lăng trụ 81

Bảng 3.3 Kết quả kiểm tra lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 82

Bảng 3.4 Bảng thông kê mô tả các tham số đặc trưng 83

v

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak (1979) 8

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Swetz & Hartzler 9

Sơ đồ 1.3 Quá trình mô hình hóa theo Blum và Leib (2006) 10

Sơ đồ 1.4 Quá trình mô hình hóa theo Stillman, Galbraith, Brown (2007) 12

Sơ đồ 1.5 Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa 13

Sơ đồ 1.6 Sơ đồ quy trình mô hình hoá trong dạy học môn Toán 14

Sơ đồ 3.1 Sơ đồ tư duy bài toán 2.5 58

Sơ đồ 3.2 Sơ đồ tư duy bài toán 2.6 60

vi

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1.2 Mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng trong thực tế toán học

của học sinh 37Biểu đồ 3.1 Chất lượng học tập môn Toán của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

trước thực nghiệm sư phạm 78

vii

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Một số kiểu hộp sữa trong thực tế 16

Hình 1.2 Minh hoạ vỏ hộp sữa hình hộp chữ nhật ví dụ 1.1 17

Hình 1.3 Minh hoạ vỏ hộp sữa hình trụ ví dụ 1.1 18

Hình 1.4 Hình ảnh mô tả cách cân voi của Trạng Lường 21

Hình 1.5 Bể nước trước và sau khi thả viên đá ví dụ 1.3 22

Hình 2.1 Xe vận chuyển hàng mini 7B-320 45

Hình 2.2 Ba hộp đựng bánh dạng hình lập phương 48

Hình 2.3 Ba hộp đựng bánh dạng hình hộp chữ nhật 49

Hình 2.4 Quả cầu phong thuỷ và giá đỡ minh hoạ bài 2.3 52

Hình 2.5 Khối cầu và giá đỡ hình trụ bài 2.3 52

Hình 2.6 Hình minh hoạ cốc nước thuỷ tinh bài toán 2.4 54

Hình 2.7 Minh hoạ mực nước của cốc nước khi nghiêng của bài toán 2.4 55

Hình 2.8 Toạ độ hoá Oxyz mực nước khi nghiêng của bài toán 2.4 55

Hình 2.9 Minh hoạ bài toán 2.5 58

Hình 2.10 Bi đá lăn tay bài toán 2.6 59

Hình 2.11 Hình thực tế hộp đựng bi đá lăn tay 62

Hình 2.12 Minh họa tấm tôn trong bài toán 2.7 64

Hình 2.13 Minh hoạ chiếc mũ ông già Noel cách điệu bài toán 2.8 66

Hình 2.14 Hệ trục toạ độ Oxy của khối tròn xoay bài toán 2.8 67

Hình 2.15 Minh hoạ hình nón bài toán 2.9 69

Hình 2.16 Hình ảnh bút chì hình lục giác 71

Hình 2.17 Minh hoạ bút chì gỗ bằng hình không gian 72

Hình 2.18 Hộp bóng Tennis wilson US Open 73

Hình 2.19 Minh hoạ hộp bóng tennis bằng hình không gian 74

So với chương trình phổ thông hiện hành (2006), chương trình phổ thông tổng thể (2018) đã chuyển hóa mạnh mẽ quá trình giáo dục chủ yếu là trang bị kiến thức lý thuyết sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất của người học Chương trình giáo dục phổ thông (2018) quy định yêu cầu cần đạt đối với các năng lực cốt lõi, bao gồm 5 phẩm chất (lòng yêu nước, lòng nhân ái, siêng năng, trung thực và trách nhiệm) và 3 năng lực Tổng quát: kỹ năng độc lập và tự học, kỹ năng giao tiếp và hợp tác, giải quyết vấn đề và sáng tạo Kỹ năng Toán học: Tư duy và lý luận toán học, Mô hình hóa toán học, Giải quyết vấn đề, Giao tiếp toán học, Sử dụng các công cụ toán học

Trong các năng lực trên, mô hình hóa là năng lực được quan tâm và giữ vai trò ngày một quan trọng trong chương trình toán phổ thông Việc nêu ra mối quan hệ mật thiết giữa toán học và thực tế đời sống đóng vai trò quan trọng trong quá trình gợi động cơ, tạo sự hứng thú chủ động lĩnh hội kiến thức của học sinh Để làm rõ được mối quan hệ này, học sinh cần phải tìm hiểu, vận dụng các kiến thức đã được học để dự đoán quy luật, kiểm chứng, giải thích và mô hình hóa các vấn đề thực tế đó sang ngôn ngữ toán học Qua đó, học sinh tự cảm nhận việc học toán sẽ trở nên ý nghĩa hơn và học sinh cũng có thể tự tìm được thêm những lý do thuyết phục cho câu

2 hỏi “ Học toán để làm gì?”, “Kiến thức toán này áp dụng gì trong cuộc sống?” thay vì những đáp án mà lâu nay mọi người trả lời: Học toán để lên lớp, học toán để thi,

Trong quá trình học và thực hành toán, người học không chỉ muốn nắm vững kiến thức mà còn muốn có được những kỹ năng, năng lực nhất định để giải quyết các vấn đề thực tế một cách kịp thời, có hệ thống và chính xác Giáo viên cũng mong muốn truyền đạt kiến thức, khơi dậy sự hứng thú, đam mê nghiên cứu và rèn luyện cho người học những kỹ năng, năng lực để tạo ra những con người toàn cầu mới

Toán học gắn liền với cuộc sống hàng ngày Những kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề thực tế một cách có hệ thống và chính xác, góp phần vào sự tiến bộ của xã hội Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành, phát triển nhân cách, nhân cách học sinh, phát triển những kiến thức, kỹ năng quan trọng, tạo cơ hội cho học sinh trải nghiệm, vận dụng toán vào thực tiễn, giữa toán với tư duy, toán với thực hành toán

Chủ đề “Diện tích và thể tích” trong môn toán lớp 12 là chủ đề hay và khó Tính hấp dẫn của chủ đề này chính là ở chỗ học sinh được học công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của các vật thể gần gũi với cuộc sống hàng ngày Tuy nhiên đây là nội dung khó vì các vật thể trong không gian ba chiều với hình dáng đặc biệt mà với những kiến thức và kinh nghiệm đã biết học sinh cũng khó có thể giải quyết ngay được vấn đề Hơn nữa, với học sinh lớp 12, các em đang có nhiều áp lực về việc thi cử, nên hầu hết giáo viên chỉ yêu cầu học sinh học thuộc các công thức và vận dụng máy móc Việc phải học nhiều công thức lý thuyết khô khan khiến học sinh nản chí và coi học toán như một nhiệm vụ cần hoàn thành mà không có hứng thú tìm hiểu Khi lồng ghép các nội dung thực tế vào bài dạy sẽ khiến học sinh thấy môn toán trở nên gần gũi, có nhiều hứng thú hơn và hơn nữa chủ đề diện tích và thể tích chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học

Vì những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: Dạy học chủ đề “Diện tích và thể tích” lớp 12 trường trung học phổ thông theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh

3

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của kỹ năng làm mẫu và phát triển kỹ năng làm mẫu cho học sinh, từ đó đưa ra một số biện pháp dạy học các nội dung, nhằm phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống những khái niệm, lí luận về mô hình hóa toán học và năng lực mô hình hóa toán học

- Tìm hiểu và phân tích thực trạng việc vận dụng dạy học mô hình hóa toán học chủ đề diện tích và thể tích 12 tại THPT

- Đề xuất một số biện pháp giảng dạy về chủ đề diện tích và thể tích 12 theo hướng bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học

- Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi của việc vận dụng phương pháp mô hình hóa toán học chủ đề diện tích và thể tích 12

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

a Khách thể nghiên cứu

Học sinh trung học phổ thông

b Đối tượng nghiên cứu

Năng lực mô hình hóa của học sinh thông qua dạy học chủ đề “Diện tích và thể tích” lớp 12

5 Phương pháp nghiên cứu

a Phương pháp nghiên cứu lí luận

Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu (báo cáo khoa học, luận văn, luận án, sách chuyên khảo) liên quan tới phương pháp dạy học mô hình hóa, phát triển năng lực mô hình hóa trong chủ đề diện tích và thể tích 12

b Phương pháp điều tra, quan sát

Quan sát, điều tra thực trạng bằng cách sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán

4

c Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tổ chức dạy học trực tiếp tại trường THPT để đánh giá tính khả thi của các biện pháp đã đề xuất

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng và sử dụng các biện pháp mô hình hóa trong quá trình dạy học chủ đề Diện tích và thể tích thì sẽ giúp học sinh vận dụng được kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn, đồng thời hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

7 Đóng góp của luận văn

Nghiên cứu tổng quan, cơ sở lý luận và thực tiễn chủ đề “Diện tích và thể tích” Đề xuất một số biện pháp sư phạm để phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung “Diện tích và thể tích” trong chương trình THPT

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung

đề tài gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2 Một số biện pháp giảng dạy chủ đề diện tích và thể tích 12 theo

hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lịch sử nghiên cứu và triển khai mô hình hóa trong dạy học toán

1.1.1 Lịch sử nghiên cứu và triển khai mô hình hóa trong dạy học toán trên thế giới

Mô hình hóa toán học và những ứng dụng của toán học trong thực tiễn là một trong những chủ đề trọng tâm của giáo dục toán học Nói tổng quát hơn đó chính là mối quan hệ giữa toán học và đời sống thực tế (thế giới bên ngoài toán học) Tại Hội nghị của Freudenthal năm 1968, mô hình hóa trong giáo dục toán chính thức được đề cập tới Nhưng dấu ấn quan trọng của việc giới thiệu mô hình hóa vào nhà trường là nghiên cứu của Pollak vào năm 1979, ông cho rằng giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho học sinh cách sử dụng toán vào cuộc sống thực tế hằng ngày

Mô hình dạy và học trong nhà trường đã trở thành chủ đề được toàn cầu quan tâm Hai năm một lần, Hội nghị quốc tế về giảng dạy mô hình toán học và các ứng dụng của nó (ICTMA) nhằm mục đích thúc đẩy ứng dụng mô hình toán học trong trường học Mô hình hóa giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng toán học cần thiết ở mực độ cao, hoạt động này giúp gắn kết không gian lớp học với cuộc sống thực tế bên ngoài Từ đó giúp học sinh hiểu sâu sắc ý nghĩa của toán trong cuộc sống và nắm chắc kiến thức toán học trong nhà trường Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn được biệt được các nước thuộc Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (Organisation for Economic Cooperation and Development - OECD) quan tâm thông qua chương trình đánh giá học sinh quốc tế (Programme for International Student Assessment - PISA)

Như vậy, trên thế giới đã có nhiều nghiên cứu về khả năng mô hình hóa toán học ở cấp độ vĩ mô, đủ làm cơ sở lý luận cho các nghiên cứu cụ thể về lý thuyết này trong giáo dục toán ở Việt Nam

1.1.2 Lịch sử nghiên cứu và triển khai mô hình hóa trong dạy học toán ở Việt Nam

Ở nước Việt Nam ta, nhiều công trình về mô hình hoá trọng dạy học nói chung và trong môn toán nói riêng nhận được sự quan tâm rất lớn và có nhiều nghiên cứu tiêu biểu:

6 Tác giả Trần Dũng, Nguyễn Thị Tân An (2009) chỉ ra rằng “Toán học là con đường tư duy có hệ thống, sản sinh ra những giải pháp cho những vấn đề bằng cách mô hình hóa các tình huống trong cuộc sống.” Việc sử dụng mô hình toán góp phần giải quyết những khó khăn trong dạy học toán [2]

Tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) cho rằng phương pháp mô hình toán nâng

cao tinh thần hợp tác trong học tập, nâng cao tính độc lập, tự tin của học sinh thông qua trao đổi nhóm, hỗ trợ quá trình giải quyết vấn đề [11]

Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) với bài báo Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học toán cho rằng mô hình toán học sẽ là cầu nối giữa những suy luận trên

lớp và suy luận trong các tình huống thực tế Bài viết trình bày rõ sự cần thiết của việc áp dụng mô hình hóa trong giáo dục toán nói chung và giáo dục toán phổ thông nói riêng [1]

Nhìn chung, các công trình tập trung làm rõ vấn đề lý luận và thực tiễn của mô hình hóa toán học và vận dụng phương pháp mô hình hóa toán học và môn toán phổ thông Tuy nhiên chưa có công trình cụ thể vào nghiên cứu dạy học chủ đề diện tích và thể tích lớp 12 theo phương pháp mô hình hóa toán học

1.2 Mô hình hóa toán học 1.2.1 Khái niệm mô hình hóa toán học

Hiện nay, các nhà khoa học đã đưa ra nhiều định nghĩa mô tả về mô hình hóa toán học như:

Theo Niss (2004), “năng lực toán học có nghĩa là khả năng hiểu toán, phán đoán, làm và sử dụng toán học trong một loạt các bối cảnh và tình huống trong và ngoài môn Toán, trong đó, kiến thức toán học đóng một vai trò quan trọng…” [21] Kết quả nghiên cứu của Tanner và Jones (1995) cho thấy “không phải lúc nào kiến thức hiện tại của học sinh cũng có thể giúp các em thực hiện thành công các hoạt động mô hình hóa toán học Khi đó, họ phải lựa chọn những kiến thức cần thiết và theo dõi quá trình làm mẫu mà mình đang thực hiện

Và thông qua mô hình toán học, học sinh học cách lựa chọn và áp dụng các sự kiện, phương pháp và công cụ toán học phù hợp để giải quyết các vấn đề trong thế

7 giới thực Khả năng xử lý dữ liệu thực và sử dụng các công cụ toán học để phân tích dữ liệu phải là một phần của việc học toán ở mọi cấp độ

Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), mô hình toán học là sự giải thích ngôn ngữ toán học của một hệ thống phi toán học với các câu hỏi cụ thể được đặt ra về hệ thống này Mô hình toán học là quá trình xây dựng mô hình toán học cho một bài toán phi toán học, giải bài toán bằng ngôn ngữ toán học của mô hình đó, sau đó kiểm tra và đánh giá kết quả trong môi trường thực tế , cải thiện mô hình nếu cách giải quyết không được chấp nhận [2]

Theo tác giả Nguyễn Danh Nam: “Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dụng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm các trả lời cho tình huống Quá trình này được gọi là mô hình hóa toán học” [10] Một số cấu trúc toán học cơ

bản có thể mô hình hóa thông qua các đồ thị, bảng biểu, công thức, phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Mô hình toán học cho phép học sinh liên hệ toán học ở trường với đời sống thực tế, thể hiện khả năng áp dụng các ý tưởng toán học đồng thời cung cấp một bức tranh toán học phong phú hơn

Đặc điểm chung trong định nghĩa của các nhà nghiên cứu về mô hình toán học là việc chuyển các tình huống phi toán học thành mô hình toán học và thông qua các công cụ, phương pháp giải toán để giải mô hình toán học Từ đó, học sinh sẽ tìm ra lời giải cho các tình huống ngoài toán học Quá trình này sẽ được lặp lại nếu học sinh cảm thấy mô hình hoặc giải pháp toán học chưa phù hợp hoặc tối ưu

Tham khảo công trình nghiên cứu đã có, so sánh với thực tế dạy học nội dung kiến thức Hình học ở trường phổ thông, trong luận văn này, tác giả diễn giải như sau:

Mô hình hóa trong dạy học Hình học Trung học phổ thông là quá trình giúp học sinh tìm hiều các tình huống thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học (hình vẽ, kí hiệu, sơ đồ, công thức,…) Có thể nói mô hình hóa hình học đi từ tình huống thực tiễn chuyển thành bài toán hình học thuần tuý và giải bằng các công cụ toán học sau đó sẽ quay lại trả lời cho câu hỏi của tình huống thực tiễn

8

1.2.2 Quá trình mô hình hóa toán học

Tham khảo các nghiên cứu đi trước, quá trình mô hình hóa toán học có thể xem xét theo những sơ đồ sau:

1 Sơ đồ của Pollak (1979)

Sơ đồ quy trình mô hình hóa toán học năm 1979 của Pollak là một trong những sơ đồ đầu tiên thể hiện một cách đơn giản mối quan hệ qua lại giữa toán học và thực tiễn theo cả hai hướng Sơ đồ này thể hiện từ một tình huống trong thực tế, người thực hiện mô hình hóa sẽ “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học rồi sử dụng các công cụ toán học để giải quyết bài toán trong mô hình đó và sử dụng đáp án để đối chiếu sang với tình huống thực tế ban đầu Chiều mũi tên trong sơ đồ biểu diễn một vòng lặp, nghĩa là cho phép sự chuyển đổi qua lại nhiều lần giữa thế giới thực tế và thế giới toán học [23]

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak (1979) 2 Sơ đồ của Swetz & Hartzler (1991)

Từ những ý tưởng ban đầu của Pollak về mô hình hóa, các nghiên cứu sau này chủ yếu nhằm chi tiết hơn các giai đoạn của quá trình mô hình hóa Quá trình mô hình hóa được Swetz & Hartzler mô tả gồm có bốn giai đoạn quan trọng sau đây: [26]

9

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Swetz & Hartzler

- Giai đoạn 1 Xây dựng mô hình: Đây là giai đoạn vô cùng quan trọng, trong giai đoạn này ta cần quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn đó, lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho bằng cách dùng ngôn ngữ toán học Vì vậy, ở giai đoạn này, trí tưởng tượng và trực giác của học sinh là cần thiết Sử dụng trí tưởng tượng và trực giác, học sinh xây dựng mô hình dựa trên đặc điểm của đồ vật Mô hình này có thể là mô hình vật lý hoặc tham chiếu đến các mô hình hiện có Nói cách khác, giai đoạn xây dựng mô hình là bước tìm kiếm mô hình đại diện cho đối tượng Trên cơ sở đó xây dựng mô hình toán học tương ứng

- Giai đoạn 2 Nghiên cứu mô hình: Nghiên cứu ở giai đoạn mô hình, ở giai đoạn này, mô hình được phát hiện ở giai đoạn trước trở thành đối tượng nghiên cứu bằng các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm khác nhau Điều này nhằm xem xét liệu mẫu có phù hợp với đối tượng ban đầu hay không và chuyển sang bước tiếp theo

- Giai đoạn 3 Giai đoạn xử lý kết quả: Trong giai đoạn này ta cần vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để gải quyết mô hình toán học, sau đó đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận để trả lời cho tình huống thực tiễn

- Giai đoạn 4 Trình bày kết quả và hiệu chỉnh mô hình: Trong giai đoạn này, kết quả thu được trên cơ sở mô hình toán học được chuyển về đối tượng nghiên cứu ban đầu để so sánh, trên cơ sở đó mô hình được điều chỉnh theo đối tượng

10 Nhìn vào sơ đồ của quá trình mô hình hóa mà Swetz & Hartzler đề xuất ta đều nhận thấy sự tương tự với quy trình do Pollak đã đưa ra Tuy nhiên, so với quy trình

mô hình hóa mà Pollak đã đề xuất, quy trình của Swetz & Hartzler (1991) đã chi tiết

hơn, các tác giả đã mô tả trong mỗi giai đoạn thì người thực hiện mô hình hóa cần phải làm những công việc gì Tuy nhiên ta dễ dàng nhận thấy, mặc dù các tác giả đã cố gắng để mô tả chi tiết hơn quá trình mô hình hóa, tuy nhiên những chỉ dẫn vẫn còn khá chung chung và khó vận dụng vào thực tiễn

3 Sơ đồ của Blum và Leib (2006)

Để chi tiết hơn quá trình mô hình hóa mà Swetz & Hartzler đã đề xuất, Blum

và Leib (2006) tập trung vào mô tả chi tiết hơn các công việc cần làm trong mỗi giai

đoạn Sự đặc biệt của mô hình này là tách biệt riêng mô hình tình huống với tình huống thực tiễn, tức là theo các tác giả này để chuyển một tình huống thực tiễn sang mô hình toán học, người ta cần thêm bước xây dựng mô tình huống (mô hình tình huống này nằm trong một mô hình thực nào đó của thực tiễn) Điểm đặc biệt nữa của mô hình này đó là, từ mô hình toán này chũng ta mới tìm được kết luận toán học và kết luận toán học này ta mới tìm kiếm được một kết luận thực [16]

Sơ đồ 1.3 Quá trình mô hình hóa theo Blum và Leib (2006)

Sơ đồ trên gồm có bảy bước để mô tả cho quá trình giải quyết một nhiệm vụ của mô hình hóa: [16]

11 Bước 1: Quan sát, tìm hiểu tình hình thực tế, xây dựng mô hình cho tình huống này; Khám phá và đặt mục tiêu dựa trên tình huống

Bước 2: Đơn giản hóa tình huống, đưa các biến thích hợp vào mô hình hóa tình huống thực tế; xác định các biến của tình huống và chọn các biến quan trọng mô tả tình huống

Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán; thiết lập mô hình bằng cách thể hiện qua bảng biểu, số liệu thống kê, hình vẽ, sơ đồ, công thức… để mô tả mối quan hệ giữa các biến

Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học, làm việc trong môi trường toán học để thu được kết quả toán học Nếu mô hình không phù hợp thì cần phải lựa chọn lại các biến sử dụng để phù hợp với mô hình

Bước 5: Giải thích (hiểu) kết quả toán học trong bối cảnh thực tế của chúng Bước 6: Xem xét mức độ phù hợp của kết quả, nếu không thì thực hiện quy trình thứ hai

Bước 7: Áp dụng mô hình vào các tình huống thực tế tương tự Như vậy, sơ đồ của quá trình mô hình hóa do Blum và Leib đề xuất là khá chi tiết và nó phản ánh trung thành tư tưởng của Pollak Do vậy, sơ đồ này được xem là sơ sở cho phần lớn các hoạt động mô hình hóa và các phiên bản khác của các sơ đồ hiện nay

4 Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown (2007)

Năm 2007, Stillman, Galbraith và Brown xuất bản một sơ đồ mô hình mở rộng với các chi tiết sơ đồ được cải tiến Ngoài việc mô tả quá trình mô hình hóa, sơ đồ này còn nhấn mạnh tư duy tương hỗ thông qua các mũi tên hai chiều và nhấn mạnh hơn nữa hoạt động nhận thức của học sinh trong quá trình đó [25]

12

Sơ đồ 1.4 Quá trình mô hình hóa theo Stillman, Galbraith, Brown (2007) Trong sơ đồ, các mục từ A đền G là các bước của quá trình mô hình hóa, các

mũi tên thể hiện sự chuyển đổi qua lại giữa các bước [25]

1- Quan sát và nắm rõ tình hình thực tế; đơn giản hóa và tái tạo lại tình hình 2- Sửa lỗi còn thiếu, nêu mô hình toán học

3- Giải toán 4- Giải thích kết quả toán học 5- So sánh, nhận xét và kiểm tra tính hợp lý 6- Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình được chấp nhận) 7- Lặp lại quy trình (nếu mô hình không được chấp nhận) Như vậy, mô hình hóa là một quy trình khép kín Nó được xuất phát từ tình huống thực tiễn, sau đó sử dụng các công cụ toán để diễn đạt bằng lời theo ngôn ngữ toán (lập giả thuyết, hình vẽ, công thức, phương trình,…) giải bài toán và hiểu ý nghĩa lời giải toán trong thực tiễn, cuối cùng đưa ra giải pháp cho tình huống thực tiễn ban đầu

Tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đã tiếp tục nghiên cứu để mô tả chi tiết cũng như hoàn thiện thêm sơ đồ của quá trình mô hình hóa Đặc biệt, tác giả này còn đưa ra các chỉ dãn chi tiết của từng giai đoạn nhằm giúp cho quy trình này có thể vận dụng vào thực tiễn dạy học toán ở trường phổ thông của Việt Nam [20]

Ngoài ra, tác giả này còn quan tâm đến việc kiểm tra và điều chỉnh mô hình Sơ đồ của quá trình mô hình hóa do Nguyễn Danh Nam (2016) đề xuất như sau:

13

Sơ đồ 1.5 Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa

Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa gồm các bước cơ bản: - Hiểu, cấu trúc, phân tích, làm rõ và đơn giản hóa bài toán, xác định giả thuyết về các tham số, biến số trong khuôn khổ bài toán thực tế

- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết được đưa ra - Xây dựng bài toán sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả các tình huống thực tế cũng như tính toán độ phức tạp của các tình huống

- Sử dụng các công cụ toán học để giải quyết vấn đề - Hiểu được lời giải toán, ý nghĩa của lời giải mô hình toán trong các tình huống thực tế

- Kiểm thử mô hình (ưu – nhược điểm), tính hợp lý và tối ưu hóa mô hình đã xây dựng

- Thông báo, giải thích và dự đoán cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình phù hợp với thực tế hơn

Như vậy, quá trình giải quyết vấn đề và mô hình hóa có những đặc điểm tương tự nhau, giúp học sinh rèn luyện những kĩ năng giải toán cần thiết Quá trình này được xem là khép kín, vì nó bắt đầu từ tình huống thực tế, thông qua toán học để ra kết quả

14 và cuối cùng lấy kết quả đó để giải quyết, cải thiện các vấn đề thực tiễn ban đầu Các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước đã cố gắng mô tả quá trình mô hình hóa, từ những ý tưởng quan trọng ban đầu của Pollak, các tác giả đã xây dựng được quy trình mô hình hóa ngày càng chi tiết Tuy nhiên, theo chúng tôi, đôi khi sự chi tiết quá chính là việc đặt ra yêu cầu quá cao đối với học sinh Dựa trên sự tổng kết, tôi sử dụng quy trình mô hình hóa trong dạy học môn toán như sau:

Sơ đồ 1.6 Sơ đồ quy trình mô hình hoá trong dạy học môn Toán

Để vận dụng quy trình trên một cách linh hoạt, trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần giúp học sinh hiểu được yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quy trình mô hình hóa vấn đề.:

• Toán học hóa: Quan sát, tìm hiểu tình huống thực tế, đơn giản hóa tình

huống thực tế bằng các giả thuyết, diễn đạt lại tình huống đó bằng ngôn ngữ toán học

Đó là quá trình chuyển các bài toán tự học thành toán học bằng cách tạo ra các mô hình toán học tương ứng Trong quá trình này, học sinh phải quan sát và hiểu các vấn đề thực tế (có thể là những vấn đề mở có độ phức tạp khác nhau) Đơn giản hóa các vấn đề thực tế, xây dựng các giả thuyết toán học Học sinh phải xác định các khái niệm toán học có liên quan, các biến số quan trọng ảnh hưởng đến bài toán Từ đó, biểu diễn các biến bằng ngôn ngữ toán học và mô hình hóa chúng bằng bảng biểu, hình vẽ, công thức toán học, phương trình, v.v

• Thông hiểu: Hiểu ý nghĩa của lời giải của bài toán đối với tình huống thực tiễn ban đầu

Đây là quá trình học sinh sử dụng kết quả toán học để “diễn giải” và trả lời câu hỏi ban đầu của tình huống thực tế Ở giai đoạn này, trước hết học sinh phải hiểu được ý nghĩa của việc giải bài toán trong thực tiễn, từ đó phát hiện được ưu, nhược điểm của mô hình toán học được xây dựng ở giai đoạn đầu khi áp dụng kết quả của bài toán này vào tình huống thực tế ban đầu

• Đối chiếu, kiểm định kết quả: Đánh giá lại các giả thuyết, tìm ra ưu – nhược

điểm của mô hình toán học và lời giải của bài toán, từ đó cải tiến mô hình đã xây

dựng

Trong quá trình này, học sinh muốn đánh giá lại các giả thuyết trước tiên phải hiểu rõ các công cụ, phương pháp toán học, đồng thời phải biết lựa chọn và sử dụng các công cụ chức năng phù hợp để giải quyết các vấn đề thực tiễn Bước này sẽ xảy ra trong hai trường hợp:

Trường hợp 1: Mô hình và kết quả tính toán phù hợp với yêu cầu thực tiễn Khi đó, học sinh sẽ tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán đã xây dựng và các công cụ toán học đã sử dụng để áp dụng vào các tình huống thực tế tương tự khác

Trường hợp 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với yêu cầu thực tiễn Khi đó, học sinh cần tìm ra nguyên nhân và hạn chế của mô hình toán đã xây dựng ở bước 1 Sau đó học sinh điều chỉnh, xây dựng lại mô hình sau cho phù hợp

Ví dụ 1.1 ( Thiết kế vỏ hộp sữa ) “Một nhà máy sản xuất sữa cần thiết kế bao

bì cho một loại sản phẩm mới có thể tích là 1dm3 Nếu bạn là nhân viên, bạn sẽ làm gì để nhà máy chọn thiết kế của bạn?”

Bước 1:(Toán học hóa, tìm hiểu bài toán thực tiễn):

16

Học sinh tìm hiểu yêu cầu của bài toán, đặt mình là người thiết kế bao bì Học

sinh nhận thấy cần xem xét nhiều yếu tố khác nhau khi chọn bản thiết kế cho nhà máy Không chỉ quan tâm đến tính thẩm mỹ của bao bì, mà còn cần đánh giá cả chi phí kinh tế liên quan đến việc sử dụng nguyên vật liệu Một trong những yếu tố quan trọng trong việc lựa chọn bao bì là hình dạng của nó

Học sinh thảo luận, đưa ra nhận xét hình dạng của bao bì có thể được thiết kế dưới nhiều hình dạng khác nhau, ví dụ hình hộp chữ nhật, hình trụ

Để giải quyết vấn đề này, học sinh thường tiếp cận với thực tế và đưa ra ý tưởng về hình dạng của hộp đựng Học sinh nghiên cứu và thảo luận về các trường hợp điển hình như hình hộp và hình trụ, dựa trên kiến thức toán học và hiểu biết thực tế của mình Qua quá trình này, học sinh không chỉ rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học mà còn phát triển khả năng tư duy logic và sáng tạo

Hình 1.1 Một số kiểu hộp sữa trong thực tế

Bước 2 (Giải bài toán)

Trường hợp 1: Làm bao bì theo hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có

chiều dài là a , chiều rộng b , chiều cao h

17

Hình 1.2 Minh hoạ vỏ hộp sữa hình hộp chữ nhật ví dụ 1.1

Áp dụng công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật: V =S hd =a b h Mà theo đề bài, V = 1 a b h =1

Để tốn ít vật liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất Hay ta có:

2

tpS = ab+ah+bh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm, ta có:

2223

33

abahbha b habahbh

Vậy Min S = khi abtp 6 =ac=bc hay a= = bc

Như vậy, với trường hợp này, ta làm hộp theo thiết kế hình lập phương có cạnh là 1dm

Trường hợp 2: Làm bao bì theo trụ có bán kính đáy là r và chiều cao h

18

Hình 1.3 Minh hoạ vỏ hộp sữa hình trụ ví dụ 1.1

Tương tự trường hợp 1, ta cần làm hộp sao cho phần diện tích toàn phần nhỏ nhất

2

211

19

Bước 3 (Thông hiểu):

Từ kết quả của bước 2, học sinh so sánh để cho tốn ít nguyên vật liệu nhất, người thiết kế cần thiết kế theo hình trụ và hình trụ đó có đường cao bằng đường kính đáy

Bước 4: (Đối chiếu với thực tế)

Dựa trên tính toán trên, cả hai hộp đều có thể tích 1dm3, nhưng hộp lập phương có diện tích toàn phần lớn hơn so với hình trụ Vì vậy, việc sử dụng vật liệu để làm hộp dạng lập phương sẽ đòi hỏi chi phí cao hơn Theo các phép tính toán, để tiết kiệm kinh phí mua vật liệu, nhà máy đã chọn thiết kế hộp dạng hình trụ Tuy nhiên, trong thực tế, nhà máy đã chọn sử dụng cả hai thiết kế, bao gồm hình trụ và hình hộp

Truyền thống, vỏ hộp sữa dạng hình trụ thường được sản xuất từ thép Vật liệu thép có đặc tính độ bền cao, khả năng chịu được va đập và bảo vệ sản phẩm bên trong một cách tốt hơn Điều này đặc biệt quan trọng khi sản phẩm được vận chuyển xa và xuất khẩu sang các quốc gia khác Vỏ hộp sữa hình trụ cũng thường được thiết kế chắc chắn và có khả năng chống thấm nước tốt, bảo đảm sự an toàn và chất lượng của sữa trong suốt quá trình vận chuyển và lưu trữ Vì những tính năng trên, vỏ hộp sữa hình trụ được làm từ kim loại sẽ phù hợp với các loại sữa sử dụng thời gian dài sau khi mở nắp như sữa bột

Ngoài ra, chúng tôi tìm hiểu qua một số nhà cung cấp chuyên về đóng gói sản phẩm trẻ em cho các cửa hàng, và họ đã giải thích rằng vật liệu làm vỏ hộp sữa khác nhau Hộp hình hộp được làm từ giấy cứng hoặc nhựa với một lớp bên trong để đảm bảo vệ sinh an toàn cho sữa Và việc sử dụng vỏ hộp giấy là rẻ hơn nhiều so với vỏ hộp kim loại

Mục đích thứ hai của việc sử dụng vỏ hộp giấy là để bảo vệ môi trường Đây là cam kết của nhà máy sản xuất với địa phương và quốc gia nơi họ đăng ký sản xuất, và điều này giúp họ nhận được các ưu đãi giảm thuế Hộp hình hộp còn giúp tiết kiệm diện tích trong thùng hàng, cho phép xếp nhiều hộp sữa khít hơn so với hộp hình trụ Điều này giúp tiết kiệm chi phí đóng gói và vận chuyển Vì vậy, sử dụng vỏ hình hộp

20 chữ nhật phù hợp với các loại sữa có sức tiêu thụ lớn, sử dụng một lần như các loại sữa nước, sữa hút

Tóm lại, sự lựa chọn giữa hộp sữa hình trụ và hình hộp phụ thuộc vào nhiều yếu tố như yêu cầu bảo vệ, chi phí sản xuất, môi trường và sự quan tâm của người tiêu dùng Những yếu tố này sẽ ảnh hưởng đến việc chọn hình dạng và vật liệu phù hợp nhằm đáp ứng các mục tiêu kinh doanh và yêu cầu của ngành công nghiệp sữa

1.2.3 Vai trò mô hình hóa toán học trong dạy học toán

Góp phần hoàn thiện mục tiêu, nhiệm vụ dạy môn toán: Chương trình phổ

thông mới được xây dựng theo mô hình học sinh cần đạt bao gồm 5 phẩm chất và 10 năng lực cốt lõi Với riêng năng lực Toán học, năng lực mô hình hóa toán học là một trong những thành tố cốt lõi Năng lực mô hình hóa toán học hướng học sinh sử dụng mô hình toán để mô tả các tình huống thực tế, đưa về giải quyết trong môi trường toán học và trả đáp án, đánh trong ngữ cảnh tình huống thực tế

Giúp học sinh thấy được ý nghĩa của môn toán trong đời sống Toán học có

nguồn gốc từ thực tiễn nên sự phát triển của thực tiễn có ảnh hưởng lớn đối với toán học Thực tiễn là sơ sỏ để bắt đầu, phát triển và hoàn thiện các lí thuyết toán học

Học sinh sẽ hình thành quan điểm duy vật về nguồn gốc của toán học: toán không phải sản phẩm thuần tuý của lý thuyết, của trí tuệ con người mà toán được hình thành và phát triển từ nhu cầu thực tế trong cuộc sống Đồng thời cũng giúp học sinh nhận ra mâu thuẫn biện chứng là động lực của sự phát triển

Toán học vừa là “sản phẩm” của thực tiễn vừa quay lại tác động thúc đẩy thực tiễn phát triển Với vai trò là công cụ, toán học giúp giải quyết các bài toán do thực tiễn đặt ra

Ví dụ 1.2 Từ thời xa xưa, khi chưa có nhiều công cụ để đo khối lượng và thể

tích các vật có hình thù đặc biệt hay to lớn, ông cha ta đã áp dụng các mô hình hoá toán học để xử lý các vấn đề tưởng chừng như không thể này

Như Trạng Lường Lương Thế Vinh có bài toán cân voi, thay vì việc cân từng bộ phận của con voi, ông đã nghĩ ra cách để voi lên thuyền, đánh dấu mực nước thuyền chìm và thay vào đó là từng cục đá để cân đo cho dễ Trong bài toán này, mô

21 hình thuyền được sử dụng như một công cụ để xác định trọng lượng của con voi mà không cần sử dụng các cách thông thường

Hình 1.4 Hình ảnh mô tả cách cân voi của Trạng Lường

Nguyên tắc của mô hình dựa trên cân bằng trọng lượng giữa con voi và các khối trên thuyền Khi con voi đứng lên thuyền, nó sẽ tạo ra một lực xuống dưới, gây ra sự chìm của thuyền Để cân bằng lực này và duy trì sự cân bằng, người ta cần phải thêm các khối trên thuyền Bằng cách điều chỉnh số lượng và vị trí của các khối này, ta có thể làm cho thuyền cân bằng và từ đó xác định trọng lượng của con voi

Ví dụ 1.3: Trong chuyến du lịch tại Liên Hương – Bình Thạnh, bãi đá bảy

màu rất đẹp, Lan đã nhặt một hòn đá về làm kỉ niệm Hỏi viên đá có thể tích bằng bao nhiêu?

Bước 1:(Toán học hóa, tìm hiểu bài toán thực tiễn):

Viên đá tự nhiên có hình thù khác lạ, sẽ không có công thức cụ thể liên quan tới kích thước để tính thể tích viên đá

Từ đây đòi hỏi học sinh suy nghĩ nếu có thể đổi thể tích của viên đá sang phần thể tích khác tương đương được không?

Viên đá không thấm nước, vậy nếu muốn đối thể tích của viên đá sang thể tích nước, ta sẽ đo lượng nước dâng lên khi thả viên đá vào bể nước ngập viên đá

22

Bước 2 (Giải bài toán):

Lan chuẩn bị một bể nước hình chữ nhật, có kích thước và nước như hình Lan thả viên đá, đo đạc được kích thước như hình

Hình 1.5 Bể nước trước và sau khi thả viên đá ví dụ 1.3

Bước 3 (Thông hiểu):

Tại đây chúng ta đã mô hình hoá, thay vì việc tính trực tiếp thể tích của viên đá, ta đã tính gián tiếp bằng cách quy đổi ra thể tích của lượng nước tương ứng

Bước 4: (Đối chiếu với thực tế):

Trong thực tế, ta thường hay dùng phương pháp này để đo thể tích các vật có hình thù khác lạ và không thấm nước

Giúp học sinh thấy được ý nghĩa của toán trong đời sống Hiện nay, giáo viên

thường chú trọng tới việc dạy kiến thức lý thuyết, công thức, quy định trong sách giáo khoa cho học sinh mà quên việc cho học sinh thực hành kiến thức vào thực tế Hệ quả là học sinh lúng túng, gặp khó khăn khi giải quyết một vấn đề liên quan tới toán trong thực tiễn Đây là một trong những nguyên nhân khiến học sinh sợ, không muốn học môn toán vì “toán là môn học khô khan, khó học”

Việc vận dụng toán vào trong thực tế thông qua các hoạt động: khảo sát và thu thập thông tin thống kê trong sản xuất, đặc biệt hóa số liệu và dự đoán quy luật chung của số liệu và thông qua cách dùng phương pháp quy nạp để chứng minh tính đúng

23 đắn của dự đoán;… giúp học sinh chủ động thực hành các kĩ năng toán học như tính nhanh, tính nhẩm, kỹ năng đọc hiểu biểu đồ, năng lực tư duy, năng lực lập luận, phân tích, tổng hợp,…

Thông thường, để kích thích việc học của học sinh, giáo viên thường dùng các biện pháp cho điểm tốt, tổ chức thi đua, tặng quà, khen thưởng,… Tuy nhiên các biện pháp này ngày một giảm tính hiệu quả khi được sử dụng quá nhiều và với lứa học sinh lớn Học sinh trung học phổ thông đã chuyển hướng mục đích việc học từ điểm số sang ý nghĩ học để làm gì, có lợi ích gì trong cuộc sống thực tiễn Nói cách khác, nhu cầu tìm hiểu ý nghĩ của tri thức (ý nghĩa của việc học) tỉ lệ thuận với độ trưởng thành của học sinh Do đó, việc tăng cường lồng ghép thực tiễn vào trong giảng dạy sẽ giúp học sinh có hứng thú và tự tìm được câu trả lời “học để làm gì” cho bản thân

Toán học là môn học trừu tượng với nhiều cấp độ và góc độ khác nhau Vì vậy để học sinh chủ động tiếp thu kiến thức cần có sự liên hệ với tình huống cuộc sống thực tế Hoạt động này vừa giúp học sinh thấy toán học gần gũi vừa giúp học sinh nhận thấy trong cuộc sống hằng ngày cần sử dụng kiến thức toán

1.3 Năng lực mô hình hóa toán học 1.3.1 Quan niệm năng lực mô hình hóa toán học

Tương tự như các quan niệm: năng lực, kĩ năng,… có nhiều cách hiểu Đối với quan niệm0 về “năng lực mô hình hóa toán học”, ta có thể xem xét các quan điểm:

Theo Jensen và cộng sự (2007), “năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước” [17]

Theo chương trình PISA 2015, năng lực mô hình hóa toán học là khả năng liên kết với các cấu trúc mô hình hóa, tức là chuyển các tình huống thực tế sang dạng toán học, xây dựng các mô hình toán học từ các tình huống thực tế, giải thích các mô hình toán học và chỉnh sửa mô hình để phù hợp hơn với thực tế

Trong nghiên cứu này, tác giả đề xuất rằng năng lực mô hình hóa toán học đồng nghĩa với khả năng quan sát, chọn lọc và xác định các giả thiết, câu hỏi và mối quan hệ phù hợp để dịch sang ngôn ngữ toán học; giải quyết bài toán thông qua thuật

24 toán và xác minh lời giải trong bối cảnh ban đầu; và phân tích, so sánh các mô hình hiện có để tìm kiếm các mô hình tốt hơn

Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 [5] mô tả năng lực mô hình hóa toán học thông qua ba biểu hiện chính như sau:

1 - Nhận biết các mô hình toán học (bao gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) cho các tình huống xuất hiện trong bài toán thực tế;

2 Giải quyết vấn đề theo khuôn mẫu đã được thiết lập; 3 Thể hiện và đánh giá giải pháp trong bối cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu giải pháp không phù hợp

Điều này cho thấy năng lực mô hình hóa toán học là một quá trình đa chiều và đòi hỏi các kỹ năng quan trọng như quan sát, lựa chọn, diễn đạt và phân tích Qua việc áp dụng các phương pháp toán học và kiểm chứng kết quả, người học có thể phát triển khả năng mô hình hóa và giải quyết vấn đề trong các tình huống thực tế

1.3.2 Các cấp độ của năng lực mô hình hóa toán học

Để học sinh dễ dàng lĩnh hội kiến thức, các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Việc tự giải quyết được vấn đề bài toán ảnh hưởng lớn tới tâm lý của học sinh Nếu học sinh thất bại ngay từ những bài toán đầu tiên, học sinh sẽ chán nản, có xu hướng bài xích kiến thức đang học Vì vậy, khi thiết kế hoạt động mô hình hoá và bài tập liên quan, giáo viên cần chú ý đến mức độ đánh giá khả năng mô hình hoá của học sinh Theo kết quả nghiên cứu của Ludwig, M, Xu, B (2010) về đánh giá mức độ mô hình, tác giả Nguyễn Danh Nam chia thành 6 cấp độ như sau: [20]

- Mức độ 0: Học sinh chưa hiểu rõ tình huống, không thể phác họa hay viết được điều gì cụ thể về vấn đề

- Cấp độ 1: Học sinh chỉ hiểu được tình huống thực tế chứ không thể đơn giản hóa tình huống hoặc không hiểu được mối liên hệ với các ý tưởng toán học

- Cấp độ 2: Học sinh đạt 2 cấp độ đầu tiên bên trên Tức là học sinh quan sát, phát hiện các vấn đề thực tiễn xuất hiện trong tình huống, tìm ra mô hình thực tế

25 thông qua cấu trúc và đơn giản hóa hình mẫu đó Tuy nhiên, học sinh không viết phép chuyển đổi thành bài toán, bài toán

- Cấp độ 3: Học sinh khám phá xây dựng mô hình, chuyển đổi mô hình từ thực tiễn sang ngôn ngữ toán học Ở cấp độ này, học sinh cần có được kỹ năng làm mẫu từ 1 đến 4

- Cấp độ 4: Học sinh có thể đặt vấn đề toán học từ các tình huống thực tế, giải quyết vấn đề bằng kiến thức toán học và thu được kết quả chính xác Ở cấp độ này, học sinh cần có được kỹ năng làm mẫu từ 1 đến 7

- Mức độ 5: Học sinh thực nghiệm quá trình xây dựng mô hình toán học và kiểm tra lời giải của bài toán trong một mối quan hệ tình huống nhất định Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được 8 kỹ năng làm mẫu nêu trên

1.4 Dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học 1.4.1 Khái niệm

Để nâng cao năng lực hiểu biết toán học (mathematical literacy) cho học sinh, cần khuyến khích giáo viên dạy cho học sinh cách thức xây dựng mô hình toán học để trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Đó chính là dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học [10]

Đối với học sinh, việc xây dựng được một mô hình mới giúp các em củng cố và vận dụng các khái niệm toán học đã biết Vì vậy, trong dạy học toán, giáo viên có thể tổ chức hình thành tri thức cho học sinh theo hai tiến trình sau đây: [10]

(1) Trình bày tri thức toán học (dạng lí thuyết hoặc mô hình toán có sẵn), sau đó hướng dẫn học sinh vận dụng tri thức toán học đó;

(2) Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn, xây dựng mô hình toán học, đối chiếu lại vấn đề thực tiễn, thể chế hóa tri thức toán học cần truyền thụ cho học sinh và vận dụng vào giải bài toán ở những ngữ cảnh khác nhau

Với quá trình dạy học đầu tiên, giáo viên có thể tiết kiệm thời gian nhưng đánh mất đi gốc rễ thực tiễn của kiến thức toán học và vai trò thúc đẩy của các vấn đề thực tiễn và do đó cũng đánh mất đi ý nghĩa của kiến thức Với tiến trình dạy học thứ hai, bản chất là dạy học bằng mô hình hóa, cho phép khắc phục hạn chế của tiến trình thứ

26 nhất, trong đó tri thức toán học sẽ được hình thành qua hoạt động khám phá vấn đề thực tiễn với tư cách là kết quả hay phương tiện để giải quyết vấn đề

Dạy học mô hình hóa có thể áp dụng ở các cấp độ khác nhau, từ mầm non cho đến trung học phổ thông Phương pháp này khuyến khích học sinh tham gia tích cực vào quá trình xây dựng và khám phá các mô hình toán học, giúp họ phát triển khả năng tư duy logic, tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề

Khi dạy học mô hình hóa, giáo viên thường khai thác các tình huống thực tế hoặc bài toán phức tạp mà học sinh phải áp dụng các khái niệm và quy tắc toán học để xây dựng mô hình Học sinh được khuyến khích suy nghĩ đa chiều, đặt câu hỏi, lựa chọn giả thiết và tìm hiểu mối quan hệ giữa các yếu tố trong tình huống Họ có thể sử dụng công cụ toán học như công thức, biểu đồ, đồ thị, hoặc các phương pháp toán học khác để giải quyết bài toán và tạo ra lời giải hợp lý

Qua quá trình này, học sinh không chỉ nắm vững kiến thức toán học mà còn phát triển kỹ năng phân tích, diễn giải và tư duy toán học Họ cũng hiểu được ứng dụng thực tế của toán học trong đời sống hàng ngày và khả năng áp dụng nó vào các tình huống mới

Dạy học mô hình hóa đặt trọng điểm vào việc phát triển khả năng toán học sáng tạo, linh hoạt và phản xạ của học sinh, giúp họ trở thành những người học toán có khả năng tự tin, sáng tạo và giải quyết vấn đề trong các lĩnh vực đời sống

1.4.2 Các đặc trưng

Theo các tác giả Nguyễn Thị Nga (2014) dạy học mô hình hóa có những đặc trưng đặc biệt giúp phát triển khả năng mô hình hóa và tư duy toán học của học sinh [8] Dưới đây là một số đặc trưng quan trọng của phương pháp dạy học mô hình hóa:

1 Sử dụng mô hình và hình ảnh trực quan: Dạy học mô hình hóa tập trung vào việc sử dụng các mô hình, biểu đồ, hình ảnh hoặc các công cụ trực quan để truyền đạt kiến thức Các mô hình này có thể là đồ thị, sơ đồ, biểu đồ, ma trận, hình ảnh hoặc các công cụ tương tự Sự trực quan này giúp học sinh hình dung và cảm nhận thông tin một cách rõ ràng và sinh động

27 2 Hỗ trợ sự hiểu biết sâu sắc: Dạy học mô hình hóa tạo ra môi trường học tập hấp dẫn và tương tác, giúp học sinh hiểu và nắm vững kiến thức Thay vì chỉ nhận thông tin một chiều thông qua giảng dạy truyền thống, học sinh được tham gia vào quá trình xây dựng, khám phá và tạo ra các mô hình để nắm vững kiến thức

3 Khuyến khích tư duy sáng tạo: Dạy học mô hình hóa khuyến khích sự tư duy sáng tạo và logic của học sinh Học sinh được khuyến khích suy nghĩ theo nhiều cách khác nhau và tìm ra các cách tiếp cận và giải pháp độc đáo Việc tham gia vào việc tạo ra và tương tác với các mô hình trực quan giúp phát triển khả năng tư duy phản biện và giải quyết vấn đề

4 Tạo môi trường học tập tương tác: Dạy học mô hình hóa tạo ra một môi trường học tập tương tác, nơi học sinh tham gia vào các hoạt động nhóm, thảo luận và trải nghiệm thực tế Điều này khuyến khích sự tham gia tích cực của học sinh và giúp xây dựng các kỹ năng xã hội và học tập cộng đồng

5 Tạo sự hứng thú và liên kết với thực tế: Sử dụng mô hình và hình ảnh trực quan giúp tạo ra sự hứng thú và liên kết với thực tế Học sinh có thể thấy rõ mối liên hệ giữa kiến thức và ứng dụng thực tế, từ đó tăng cường sự quan tâm và ý thức về ý nghĩa của kiến thức đối với cuộc sống hàng ngày

6 Phát triển kỹ năng học tập chủ động: Dạy học mô hình hóa khuyến khích học sinh trở thành người học chủ động Họ tham gia vào quá trình xây dựng kiến thức, tạo ra các mô hình và tương tác với chúng, từ đó phát triển khả năng tự học và khám phá

Tổng thể, dạy học mô hình hóa là một phương pháp giáo dục đặc biệt có khả năng tạo ra một môi trường học tập phong phú, tương tác, sáng tạo và hấp dẫn cho học sinh Thay vì chỉ dựa trên việc truyền đạt kiến thức một chiều, phương pháp này tập trung vào việc sử dụng các mô hình, biểu đồ, hình ảnh và các công cụ trực quan khác để truyền tải thông tin

28

1.4.3 Tiềm năng dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán

học nội dung chủ đề “Diện tích và thể tích”

a) Tiềm năng của dạy học Hình học theo phương pháp mô hình hóa

Chương trình hình học lớp 12 trường Trung học phổ thông trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018, đã được quy định 4 tiết/ tuần x 35 tuần = 140 tiết Trong đó phần Hình học chiếm 45 tiết

Bảng 1.1 Phân phối chương trình Hình học 12

- Nội dung và yêu cầu cần đạt của chủ đề “Khối đa diện” chủ yếu là nhận biết khái niệm, các phép đối xứng, phép vị tự, sự đồng dạng của khối đa diện Ở đây đã có sự đổi mới trong yêu cầu ứng dụng toán học trong thực tế, cụ thể là giải quyết một số bài toán liên quan tới phân chia, lắp ghép các khối đa diện

- Nội dung và yêu cầu cần đạt của chủ đề “Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón” là nhận biết tới khái niệm, xác định và áp dụng các công thức của mặt cầu, mặt trụ, mặt nón và giải quyết các bài toán thực tiễn (ví dụ: xác định số nguyên vật liệu ít nhất để làm một mặt cầu, mặt trụ, mặt nón với diện tích cho trước,…)

- Nội dung và yêu cầu cần đạt của chủ đề “Phương pháp toạ độ trong không gian” chủ yếu là nhận biết khái niệm, xác định toạ độ điểm, vectơ, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian

Luận văn khẳng định rằng, Hình học có tiềm năng dạy học theo phương pháp mô hình hóa toán học cho học sinh phổ thông, bởi các lí do sau:

1 Hình dung rõ ràng: Mô hình hóa giúp học sinh hình dung rõ ràng về các khái niệm liên quan đến diện tích và thể tích Thay vì chỉ nhận thức trừu tượng qua

29 công thức và lý thuyết, học sinh có cơ hội thấy, chạm và tạo ra các mô hình vật thể thực tế để hiểu sâu hơn về diện tích và thể tích

2 Trực quan và sinh động: Sử dụng mô hình hóa trong dạy học hình học giúp tạo ra một môi trường học tập trực quan và sinh động Học sinh có thể quan sát và tương tác trực tiếp với các mô hình, đồ thị, biểu đồ, hình ảnh để hiểu rõ hơn về cách tính diện tích và thể tích Điều này giúp họ kết nối kiến thức với thực tế và tăng cường sự hứng thú và nhớ lâu hơn

3 Tư duy logic và phản biện: Phương pháp mô hình hóa khuyến khích học sinh áp dụng tư duy logic và phản biện trong quá trình giải quyết vấn đề liên quan đến diện tích và thể tích Họ phải suy nghĩ về cách tạo ra và sắp xếp các mô hình, xác định các khối hình và tính toán diện tích và thể tích Điều này giúp phát triển kỹ năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh

4 Ứng dụng thực tế: Dạy học hình học theo phương pháp mô hình hóa và phân tích nội dung chủ đề "Diện tích và thể tích" giúp học sinh nhận thức về ứng dụng thực tế của diện tích và thể tích trong cuộc sống hàng ngày Họ có thể áp dụng kiến thức này để giải quyết các vấn đề thực tế như xây dựng, thiết kế, lập kế hoạch không gian và quản lý tài sản

5 Tích hợp kỹ năng khác: Dạy học hình học mô hình hóa và phân tích nội dung chủ đề "Diện tích và thể tích" cho phép tích hợp kỹ năng khác như đo lường, tính toán, đồ thị, lập luận và trình bày Học sinh được đào tạo để sử dụng các công cụ đo lường, tính toán diện tích và thể tích, biểu đồ để trình bày thông tin và lập luận logic trong quá trình giải quyết các bài toán hình học

Tóm lại, dạy học hình học theo phương pháp mô hình hóa và phân tích nội dung chủ đề "Diện tích và thể tích" mang lại nhiều tiềm năng và lợi ích cho học sinh Nó giúp hình dung rõ ràng, tăng cường sự trực quan và sinh động, phát triển tư duy logic và phản biện, áp dụng thực tế và tích hợp kỹ năng khác Qua đó, hỗ trợ học sinh hiểu sâu và áp dụng thành thạo kiến thức hình học trong cuộc sống hàng ngày

Bản thân chủ đề “Diện tích và thể tích” cũng đã xuất phát từ các vấn đề trong thực tế Trong dạy-học toán, cách tiếp cận lý thuyết và phần bài tập của nội dung này còn chưa gắn liền với thực tế đời sống, khiến học sinh khó có thể liên tưởng được Tuy nhiên, mô hình hóa toán học của chủ đề được thể hiện ở chỗ:

- Học sinh được học về các hình, cách tính diện tích, thể tích các hình đặc biệt từ bậc tiểu học Sau đó tiếp tục được bổ sung hoàn thiện ở bậc trung học phổ thông Trong chương trình Hình học 12, học sinh tiếp tục mở rộng (tăng số chiều từ mặt phẳng hai chiều lên không gian ba chiều) để có thể tính toán thể tích của các hình khối

- Về mặt thực tiễn, khiến thức và phương pháp về “tính diện tích và thể tích các hình khối” cũng thường được gặp khi con người cần trả lời các câu hỏi ở nhiều tình huống:

+ Thực tế đời sống: Sản xuất vật liệu tạo nên thành bao bì, hộp đựng; Xây dựng gắn với không gian nhà ở, kích thước cửa, nguyên vật liệu;…

+ Một số chủ đề liên môn: bài toán Vật lí (tính độ chịu lực của vật, liên quan đến bề mặt, thể tích vật,…)

Từ những cơ hội nói trên, trong dạy học Hình học 12, đặc biệt là chủ đề “Diện tích và thể tích” cần và nên khai thác các tình huống gắn với thực tiễn để tổ chức cho học sinh hình thành thói quan và khả năng thực hiện hoạt động mô hình hóa toán học

31 Điều này nhằm khuyến khích sự yêu thích và hứng thú của học sinh đối với môn toán, đồng thời phát triển và củng cố khả năng mô hình hóa toán học của học sinh

Dựa các biểu hiện của mô hình hoá trong Chương trình phổ thông toán năm 2018 kết hợp cùng các đánh giá cấp độ mô hình hoá của tác giả Nguyễn Danh Nam (2016), tác giả luận văn xác định các bảng thang đo biểu hiện như sau: [2],[11]

N1- Xác định mô

hình toán học (bao gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, v.v.) cho tình huống xuất hiện

trong bài toán thực tế

Cấp 0

- Học sinh không hiểu tình huống, không thể phác thảo hay xác định được mô hình trong bài toán

Cấp 1

- Học sinh hiểu tình huống, xác định được hình học được nhắc tới ở vấn đề (hình trụ, lăng trụ, hình chóp, )

- Học sinh không liên kết được tới ý tưởng toán học nào cần sử dụng để giải quyết vấn đề

Cấp 2

- Học sinh hiểu vấn đề, tìm được hình học được nhắc tới trong vấn đề (hình trụ, lăng trụ, hình chóp, )

- Học sinh tìm được một số mối quan hệ toán học giữa các vấn đề (công thức, phương trình, hinh vẽ, biểu đồ, )

Câp 3

- Học sinh hiểu vấn đề, chuyển đổi được từ ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ toán học - Học sinh tìm được tất cả các mốn quan hệ giữa các vấn đề ( công thức, phương trình, hình vẽ, ) trong một số bài toán không quá phức tạp