- VIỆN TOÁN HỌC • • c • TRẦN ĐỨC VÂN Viện Toán học Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN B Ạ O HÀM R IÊ N G (In lần thứ 2) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIHỘI ĐÓNG BIÊN TẬP GS TRẦN DỬC VÂN (Chủ tịch) PGS PHAN HUY KHAI {Thư ký) GS HÀ HUY KHOÁI GS PHẠM HỮU SÁCH GS NGÔ VIỆT TRUNG G SH Ọ À N G TỤ Y G SD Ỏ LONG VÀNM ụ c l ụ c • • Mục lue 1 Lòi nói đẩu ...................................................................................... 7 Chương 1. Phương trình dao hàm riêng: Đ ịnh nghĩa và ví du 1 1 1.1. S ự xu ấ t h iệ n củ a p h ư ơ n g trinh đạo hàm r i ê n g ........................................ 11 1.2. C á c đ ịn h n g h ĩa c h u n g về phương trình Đ H R ........................................... 13 1.3. C á c v í dụ tiẽu b i ể u .................................................................................................... 15 1.3.1. C á c p h ư ơ n g trìn h Đ H R ............................................................................. 15 1.3.2. 1 lệ p h ư ơ n g trìn h Đ H R ............................................................................. 18 1.4. N h ữ n g đ iề u cầ n c h ú ý khi n gh iên cứu p h ư ơ n g trìn h Đ H R . . . . 18 1.4.1. Bài toán đ ă t c h ỉn h . N g h iệm cổ đ i ể n ................................................... 18 1.4.2. N g h iệ m y ế u . T ín h ch ín h q u y .................................................................. 19 Chương 2. Kỷ hiêu và kiến thức phụ tro 21 2.1. K ý h iệ u ............................................................................................................................ 21 2.1.1. Ký hiệu đối với ma trộn ..................................................... 21 2 .1 .2. Ký hiệu hình học .................................................................. 22 2.1.3. Ký hiệu các hàm s ố ................................................................ 23 2.1.4. Ký hiệu đạo hàm .................................................................. 24 2.1.5. C á c k h ô n g g ia n h àm ................................................................................. 25 2 .1 .6. Hàm véc t ơ ............................................................................... 26 2.1.7. Ký hiệu các ước lượng ........................................................... 27 2.1.8. Một số quy ước về ký h iệ u .................................................... 27 2.2. Bất đẳng t h ứ c ................................................................................................................ 28 2.2.1. Hàm l ồ i ..................................................................................... 282.2.2. Một số Bất đăng thức cơ b ả n .................................................. 29 2.3. M ộ t số k iế n thức v ề g iải tích thự c .................................................................. M 2.3.1. B iê n ........................................................................................... 32 2.3.2. Đ ịn h lý G a u s s - G r e e n .................................................................................. M 2.3.3. Tọa độ cực, công thức dối m iề n ............................................. 15 2.3.4. Tích chập và độ trơn .............................................................. 36 2.3.5. Định lý hàm n g ư ợ c.................................................................. 38 2.3.6. Định lý hàm ẩn ........................................................................ 39 2.3.7. H ộ i tụ đ ề u ......................................................................................................... 40 2.4. M ộ t số k iế n thứ c v ề g iải tích h à m .................................................................. 41 2.4.1. Không gian Banach................................................................. 41 2.4.2. K h ô n g g ian H i l b e r t ...................................................................................... 42 2.4.3. Toán tử tuyến tính bị c h ă n ..................................................... 43 2.4.4. Hội tụ yếu ........................................................................... 45 2.5. Về lý thuyết độ đ o ............................................................................ 46 2.5.1. Độ đo Lebesgue...................................................................... 46 2.5.2. Hàm đo được và tích p h ân ..................................................... 47 2.5.3. C á c đ ịn h lý h ộ i tụ đ ố i v ớ i tích p h â n ................................................... 48 2.5.4. P h é p toán v i p h â n ........................................................................................ 49 2.5.5. H à m n h ậ n giá trị trong k h ô n g g ian B a n a c h ............................... 49 Chương 3. Những phương trình đạo hàm riêng tuyến tính quan trọng 51 3.1. P h ư ơ n g trìn h c h u y ê n d ị c h ...................................................................................... 52 3.1.1. B ài to án giá trị ban đ ầ u ............................................................ 52 3.1.2. B à i toán k h ô n g th u ầ n n h ấ t ..................................................................... 53 3.2. P h ư ơ n g trìn h L a p l a c e ............................................................................................. 53 3.2.1. Nghiệm cơ b ản ........................................................................... 55 3.2.2. C ô n g thứ c giá trị c h í n h .............................................................................. 59 3.2.3. Các tính chất của hàm điều h ò a ............................................. 60 3.2.4. Hảm G reen................................................................................ 67 3.2.5. Phương pháp năng lượng ...................................................... 75 3.3. P h ư ơ n g trìn h tru y ề n n h iệ t ...................................................................................... 77 2 Phương trình Vi phân Dạo hàm riêngMục lục 3 3.3.1. Nghiệm cơ b ản .......................................................................... 78 3.3.2. C ô n g thức giá trị c h í n h ............................................................................. 84 3.3.3. M ộ t sô tín h ch ât củ a n g h iệ m .................................................................. 87 3.3.4. Phương pháp năng lượng ..................................................... 94 3.4. Phương trình truyền sóng................................................................. 97 3.4.1. Nghiệm theo trung bình c ầ u .................................................. 98 3.4.2. B à i toán k h ô n g th u ầ n n h ấ t ...................................................................... 111 3.4.3. Phương pháp nàng lượng ..................................................... 113 3.5. Bài tập C h ư ơ n g 3 ........................................................................................................ 115 Chương 4. Phương trình đao hàm riêng phi tuyến cấp môt 121 4.1. Tích phân đầy đủ, hình bao .............................................................. 122 4.1.1. Tích phân đầy đ ủ .................................................................... 122 4.1.2. Nhùng nghiệm mới từ hình b a o ........................................... 123 4.2. Đặc trư n g ........................................................................................... 126 4.2.1. P h ư ơ n g trìn h v i p h â n th ư ờ n g đ ặc t r ư n g ....................................... 126 4.2.2. Các ví d ụ .................................................................................. 128 4.2.3. Điều kiện b iê n .......................................................................... 132 4.2.4. Nghiệm địa phương................................................................. 135 4.2.5. ứng d ụ n g ................................................................................... 139 4.3. P h ư ơ n g trìn h H a m ilt o n - J a c o b i.......................................................................... 145 4.3.1. P h é p tín h b iến p h â n , p hư ơ n g trìn h v i p h â n th ư ờ n g H am iltor»145 4.3.2. B iế n d ô i L e g e n d re , cô n g thứ c H o p f - L a x ....................................... 150 4.3.3. N g h iệ m y ế u , tín h d u y n h ấ t .................................................................... 158 4.4. L u ậ t b ảo t o à n ................................................................................................................ 164 4.4.1. S ố c, đ iể u k iệ n e n t r o p i................................................................................. 165 4.4.2. C ô n g thứ c L a x - O l e i n i k .............................. .............................................. 172 4.4.3. N g h iệ m E n tro p i, tính d u y n h ấ t .........................................................176 4.4.4. B ả i toán R i e m a n n ........................................................................................ 181 4.4.5. Dáng điệu nghiệm khi t -> o c ............................................... 184 4.5. B ài tập C h ư ơ n g 4 ........................................................................................................ 189 Chương 5. Môt số phương pháp biểu diễn nghiêm 1935.1. Phương pháp tách biến .................................................................... 193 5.2. Nghiệm đồng dạng .......................................................................... 197 5.2.1. Sóng phăng và sóng lan truyền. Soliton .............................. 197 5.2.2. Đồng dạng theo tỷ l ệ ............................................................. 205 5.3. Các phương pháp biến đổi tích phân .............................................. 206 5.3.1. Biến đôi Fo urier...................................................................... 206 5.3.2. Biến đổi Laplace....................................................................... 215 5.4. Biến đổi phương trình phi tuyến thành tuyến tính .....................217 5.4.1. Biến đổi ỉ lo p í-C o ỉe ................................................................. 218 5.4.2. H à m th ế v ị .................................. ...................................................................... 219 5.4.3. Biến đổi tốc đồ và biến đỏi Legendre.................................... 220 5.5. Phương pháp Laplace vả thuần nhát h ó a ...................................... 223 5.5.1. Phương pháp Laplace.............................................................. 223 5.5.2. Thuần nhât h ó a ....................................................................... 224 5.6. Chuỗi lũy th ừ a .................................................................................. 228 5.6.1. Mặt không đặc trư n g .............................................................. 228 5.6.2. Hàm giải tích thực.................................................................... 232 5.6.3. Định lý Cauchy-Kovaỉevskaya................................................ 234 5.7. Bài tập Chương 5 ............................................................................... 239 Chương 6. Phương pháp biến phân 241 6.1 . Giới thiệu về phép tính biến p h ả n ................................................... 241 6.1.1. Ý tường cơ s ở .............................................................................. 241 6.1.2. B iến p h â n cấp m ột. P h ư ơ n g trin h E u 1er-L a g ra n g e ..................242 6.1.3. Biến phân cấp h a i .................................................................... 245 6.1.4. H ệ p h ư ơ n g t r ì n h .............................................................................................. 246 6.2. Cực tiểu của phiếm hàm - Nghiệm của phương tr ìn h .................. 251 6.2.1. Đ iề u k iện bức, tín h nử a liên tụ c d ư ớ i ................................................. 251 6.2.2. Tính l ồ i ....................................................................................... 253 6.2.3. N g h iệ m y ếu cù a p h ư ơ n g trìn h E u 1er-L a g r a n g e .........................258 6.2.4. H ệ p h ư ơ n g t r ì n h .............................................................................................. 261 6.2.5. T ín h c h ín h q u y ..............................................................................................265 4 Phương trinh Vi phán Dạo hàm riêng6.3. B ải toán v ớ i ràn g b u ộ c ............................................................................................ 266 6.3.1. Bài toán giá trị riêng phi tuyến............................................... 266 6.3.2. R à n g b uộc một p hía, bất đcỉng thức biến p h â n ......................... 269 6.3.3. Á n h xạ đ iều h ò a ............................................................................................ 271 6.4. D iê m tới h ạ n ............................................................................................................... 273 6.4.1. Định lý qua núi ...................................................................... 273 6.4.2. Á p d ụ n g cho phương trình Đ H R e llip tic tưa tu y ế n tín h . . 278 6.5. B ài tập Chương 6 ................................................................................ 282 Chương 7. Các phương pháp phi biến phân 287 7.1. P h ư ơ n g p h á p đ ơ n điệu ........................................ .......................................... 287 7.2. P h ư ơ n g p h á p đ iể m bất đ ộ n g ............................................................................ 293 7.2.1. Định lý điếm bất động Banach............................................... 293 7.2.2. Các định lý điểm bất động Schauder, Schaefer..................297 7.3. P h ư ơ n g p h á p n g h iệm dư ới và n g h iệm trẽn ........................................... 301 7.4. Không tồn tại nghiệm ...................................................................... 305 7.4.1. Bùng n ồ ......................................................................................305 7.4.2. Đồng nhất thức Derrick-Pohozaev .......................................307 7.5. C á c tín h ch â t h ìn h học củ a n g h iệ m ..................................................................310 7.5.1. T ậ p m ứ c h ìn h s a o ........................................................................................ 310 7.5.2. Đ ố i xứ n g rad ia l ............................................................................................ 311 7.6. Bài tập Chương 7 ............................................................................... 315 Chương 8. N ghiêm nhớt của phương trình đạo hàm riêng 317 8.1. Khái niệm về nghiệm n h ớ t .............................................................. 317 8.1.1. Đ ịn h n g h ĩa n ghiệm n h ớ t ......................................................................... 319 8.1.2. Tính hợp lý của nghiệm n h ớ t ................................................321 8.2. T ín h d u y n h ấ t .............................................................................................................. 324 8.3. S ư tồ n tại củ a n g h iệm n h ớ t ................................................................................. 328 8.3.1. Giới thiệu về lý thuyết điều khiển......................................... 328 8.3.2. Quy hoạch dộng...................................................................... 329 8.3.3. P h ư ơ n g trìn h H am ilto n -Jaco b i-B ellm an ..................................331 Mục lục 58.3.4. Công thức H o p í-L a x ................................................................ 337 8.4. Định nghĩa nghiệm nhớt đối với phương trình cáp 2 .................. 340 8.5. Bài tập Chương 8 ................................................................................. 344 Chương 9. Hê các luât bảo toàn 347 9.1. MỞ đầu ............................................................................................... 347 9.1.1. Nghiệm tích p h â n .................................................................... 349 9.1.2. Sóng lan truyền, hệ hyperbolic................................................ 352 9.2. B ài toán R ic m a n n ......................................................................................................... 358 9.2.1. Sóng đ ơ n ................................................................................... 358 9.2.2. Sóng tạo chân k h ô n g ............................................................... 360 9.2.3. Sóng sốc, gián đoạn tiếp x ú c ................................................... 360 9.2.4. Nghiệm địa phương của bài toán Riemann ........................ 366 9.3. Hệ hai luật bảo to à n .......................................................................... 369 9.3.1. Bât biến R iem ann.................................................................... 369 9.3.2. K h ô n g tồn tại n g h iệm t r ơ n ....................................................................... 373 9.4. T iê u ch u ẩ n e n t r o p i..................................................................................................... 375 9.4.1. T riệ t tiêu d ộ n hớ t. S ó n g ia n t r u y ề n ................................................... 375 9.4.2. Cặp entropi................................................................................. 379 9.4.3. Tính duy nhât nghiệm đối với luật bào toàn vố hướng . . . 382 9.5. Bài tập Chương 9 ................................................................................ 386 Chương lOHê phương trình Navier-Stokes 389 10.1. Bài toán mở về nghiệm trơn.............................................................. 389 10.2. Phương trình div V = / .................................................................. 393 10.2.1. M iề n g iớ i n ộ i ..................................................................................................... 394 10.2.2. Miền không giới nội với biên compắc................................... 401 10.2.3.Miền không giới nội với biên khỏng compăc .................... 403 10.3. Nghiệm yêu của hệ Navier-Stokes...................................................406 10.4. B ài tập C h ư ơ n g 1 0 ......................................................................................................416 Tài liệu tham k h ả o .........................................................................428 D anh m ục từ k h ó a ........................................................................... 433 6 Phương trình Vi phân Đạo hàm riêngL Ờ I N Ó I Đ Ầ U Sau khi tập 1 và 2 của cuốn sách Phương trình vi phản đạo hàm riêng năm trong Bộ sách cao h ọ c do V iệ n T o án học ch ủ trì vả đ ư ợ c N h à xu â t b ản Đ ạ i học Q u ố c gia H à N ộ i ân h àn h vào năm 2000 và 2001 ( xem [V an ] và [V a n l] ), tác giả đ à n h ậ n d ư ợ c n h iề u ý kiến đỏng góp q u ý báu củ a bạn d ọ c g ầ n xa. Đ ặ c biệt, các GS Đặng Đình Áng, GS Nguyễn Thừa Hợp, GS Phạm Ngọc Thao, GS Nguyễn Đình Trí và nhiều nhà toán học khác... đã đánh giá cao và cho những n h ặ n xét xác đ á n g v ề hai tập tài liệu n ó i trên. T á c gú\ đ ă b iên tập lạ i v à sửa ch ử a n h ữ n g lỗ i có tro n g lần xuât bản trư ớc củ a h a i tập sá ch th à n h m ộ t cu ố n duy nhất: Lý thuyết Phương trình vi phân đao hàm riêng. C u ố n sá ch n à y đ ư ợ c biên soạn chủ y ế u dự a v à o ch ư ơ n g trìn h cao họ c củ a các trường đại học ở Mỹ về chuyên ngành Phương trình vi phân đạo hàm riêng trong những năm gần dây vả được GS L. Evans đúc kết thành sách Partial Differential Equations, AMS Press, 1998, 662 trang. T á c giả c ố g ăn g lựa ch ọ n n h ữ n g k iế n thứ c cơ bản nhât của lý th u yế t p h ư ơ n g trìn h v i p h â n đ ạo h à m riên g n h ằ m c u n g câ p cho bạn đ ọc m ột cách tiếp cậ n có h iệ u q u ả đ ến lĩn h v ự c toán họ c có n h iề u ứng d ụ n g n ày. K h i b iên so ạ n tập tài liệu n à y ch ú n g tỏi đà dư a v ào n h ữ n g p h ư ơ n g ch â m sa u d â y : 1. Chúng tôi chú trọng đếnphương trình phi tuyến, vì nói chung ta thường g ă p ch ú n g tro n g n h ữ n g ứng d ụ n g thực tế. H ơ n nử a, m ặc d ù đ ả đ ư ợ c d ề cậ p đến từ lâu (trong thê kỷ 18,19), nhưng Ịý thuyết các phương trình phi tuyến cơ bản cho đến ngày nay vẫn chưa được hoàn chỉnh. 2. Một bài toán phương trinh vi phân đạo hàm riêng, nếu nó có ý nghĩa thực tiễn, thì chắc chắn nó có nghiệm, chỉ có diều là nghiệm đó được hiểu theo n g h ĩa nào m à thổi. N h iề u phương trìn h v i p h â n đ ạo h à m riê n g m à ta n g h iê n cứ u , đ ặc biệt là p h ư ơ n g trìn h p hi tu yến đ ều k h ỏ n g có n g h iệ m cô đ iể n , v ì v â y ta cố gắng xây dựng lý thuyết các nghiệm suy rộng hoặc nghiệm yếu củachúng, và điều quan trọng ở đây là tính d u y nhất nghiệm (do nhu cầu ứng dụng thực tẽ). 3. Khác với một số cuốn sách khác thường xây dựng Ịý thuyết phuứnọ trìn h v i p h â n d ạ o h à m riên g theo cách p h â n lo ại p h ư ơ n g trin h , ỏ đ â y ch u n g tỏi chú trọng đến các phương pháp nghiên cứu thông qua những ví dụ đâc trưng. C á c h làm n à y n h ằ m cu n g cấ p ch o b ạn đ ọ c n h iề u p h ư ơ n g p h á p g iải phương trình vi phân đạo hàm riêng, đê họ có thể áp dụng vào việc xem xét n h ữ n g p h ư ơ n g trìn h cụ thê trong thực tế. N g o à i ra, c h ú n g tôi q u a n tâm đ àc biệt đ ến v iệ c tìm n g h iệ m ch ín h xác củ a cá c b ài to án p h ư ơ n g trìn h v i p h â n đ ạo hàm riêng, xem đó là một trong nhừng nhiệm vụ chính của tập tài liệu này. C u ố n sá ch bao g ồ m 10 ch ư ơ n g . C h ư ơ n g 1 d à n h ch o các đ ịn h n g h ĩa cơ b ản củ a p h ư ơ n g trìn h đ ạ o h à m riên g , các v í d ụ tiêu b iểu v à n h ừ n g đ iề u cần q u a n tâm k h i n g h iê n cứ u ch ú n g . D ặ c biệt, ch ú n g tôi n ê u m ột cách tóm tắt v ề m ố i q u a n hệ củ a lý th u y ế t p h ư ơ n g trìn h đ ạo h à m riê n g v ớ i các lĩn h v ự c to án h ọ c k h á c. Trong chương 2, chúng tôi trình bày những ký hiệu và kiến thức cán thiết d ể b ạn đ ọ c d ề theo d õ i các p h ầ n tiếp theo. T ro n g ch ư ơ n g 3 ch ú n g tồi n h ắc lại n h ử n g kết q u ả cơ bản liê n q u a n đ ế n các p h ư ơ n g trìn h v i p h â n d ạ o h àm riê n g tu y ế n tín h : p h ư ơ n g trìn h c h u y ể n d ịch , p h ư ơ n g trìn h L a p la c e , p hư ơ n g trìn h tru y ề n n h iệt, p h ư ơ n g trìn h tru y ề n sóng, ch ủ y ế u ỉà cá c cô n g thứ c biểu d iễ n n g h iệm v à cá c tính ch ấ t đ ặ c trư n g . C h ư ơ n g 4 d à n h ch o v iệ c g iớ i thiệu ly th u y ế t các p h ư ơ n g trìn h đ ạ o h à m riêng phi tuyến câ''''p một trong trường hợp hàm thông lượng là lồi. Chúng tỏi ch ú trọ ng đ ến p h ư ơ n g p h á p đ ă c trư ng đ ể tìm n g h iệ m đ ịa p h ư ơ n g và đưa ra khái niệm nghiệm yếu hoăc nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy cho phương trìn h đ ạ o h à m riẽ n g p h i tu y ế n câ p m ột h o ă c đ ịn h lu ậ t bảo to àn . T ro n g ch ư ơ n g 5, b ạn đ ọ c có thê làm q u e n v ớ i n h ữ n g p h ư ơ n g p h á p thường g ãp đ ể n g h iê n cứ u các p h ư ơ n g trìn h đ ạ o h à m riên g : p h ư ơ n g p h á p tách biến, p h ư ơ n g p h á p n g h iệ m đ ổ n g d ạ n g , các p h ư ơ n g p h á p b iến đ ổ i tích p h á n , phương p h á p b iến d ổ i p h ư ơ n g trìn h p hi tu y ến th ản h tu y ế n tính, p h ư ơ n g p h á p L a p la c e và th u ầ n n h ấ t h ó a, p h ư ơ n g p h á p ch u ỗ i lũ y thừa, C h ư ơ n g 6 để cậ p đ ến p h ư ơ n g p h á p b iến p h â n , là m ộ t p h ư ơ n g p h á p ch ủ y ế u đ ê k h ả o sát cá c p h ư ơ n g trìn h Đ H R th ô n g q u a v iệ c ch ứ n g m in h tồn tại v à duy nhất cực tiểu của phiếm hàm năng lượng tương ứng. 8 Phương trình Vi phân Đạo hàm riêngTrong chương 7 chúng tỏi giới thiệu những phương pháp quan trọng khác như: phương pháp toán từ đơn điệu, phương pháp điểm bât động, phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, các phương pháp không tồn tại nghiệm... Trong chương 8 bạn dọc làm quen với khái niệm nghiệm nhớt của phương trình DUR phi tuyến cấp 1 và 2, một khái niệm nghiệm yếu dược Crandall và Lions đưa ra vào năm 1981 và được nhiều nhà toán học chấp nhận. Những định Ịý về tồn tại và duy nhất nghiệm nhớt và công thức biểu diễn nghiệm trong trường hợp phương trình Hamilton-Ịacobi đã được chưng minh. Chương 9 dành cho việc nghiên cứu sâu hơn về hệ các luật bảo toàn. Bạn đọc có thế tìm thây ở đây những kiến thức cơ bản về bài toán Riemann, những tiêu ch u ẩ n v ề d u y n h ất nghiệm kiểu en trop i, và đ ãc biệt là xét k ỹ hơ n hệ h ai luật bảo toàn. Trong chương cuối chủng tỏi giới thiệu về hệ phương trình Navier-Stokes và các bài toán mở về tồn tại nghiệm trơn của hộ đó. Dặc biệt, chúng tôi xét bài toán tổn tại nghiệm của phương trình divu = / trong không gian Sobolev và cho một phác thảo chứng minh tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên-ban đầu của hệ Navier-Stokes. Ngoài ra, đê tiện lợi cho bạn đọc, chúng tôi thêm phần Phụ lục về Khỏng gian Sobolev nhằm cung câp những khái niệm và kết quả cần thiết trong khi nghiên cứu các phương trình DI ĨR phi tuyến. Thực ra, để dọc cuốn sách này, bạn đọc chỉ cần nắm được kiến thức chủ yếu của lý thuyết độ do Lebesguc và phương trình vi phân thường, do dó nỏ sè có ích cho một đối tượng độc giả rộng rải: từ sinh viên các năm trên của các khoa toán cho đến học viên cao học ngành toán và các cán bộ khoa học kỹ thuật có dùng đến phương trình vi phân dạo hàm riêng. Tác giả chân thành cám ơn TS Nguvẻn Duy Thái Sơn, PGS-TS Hà Tiến Ngoạn, TS Nguyễn Minh Tri đS dọc kỹ bản thảo và dóng góp nhiều ý kiến quý báu, Th.s Nguyễn Hữu Thọ ,Th.S Trần Vàn Băng đã đọc kỹ và sửa nhiều lỗi chính tả có trong cuốn sách của lần xuât bản trước, CN Đỗ Ngọc Cường và sv Trần Vĩnh Linh đả soạn một phần văn bản này bằng Latex. Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn của mình đến Hội đồng biên tập Bộ sách cao học của Viện Toán học đà cộng tác chặt chẽ với tác giả trong việc xuất bản cuốn sách này. Đăc biệt, tác giả xin cám ơn GS Nguyễn Văn Đạo, Chủ tịch Hội đồng Khoa học Tự nhiên Quốc gia đã quan tâm đến Bộ sách cao học của Viện10 Phương trình Vi phân Đạo hàm riêng Toán học, PGS Nguyễn Thị Ngọc Quyên, PGS Phan Huy Khải, TS Nguyễn Hữu Điển, TS Tạ Duy Phượng, TS Trần Văn và Nhà xuât bản Đại học Quốc gia Hà Nội đả tạo mọi điều kiện thuận lợi đê cuốn sách ra mắt bạn đọc. Tác giả hiểu rằng cuốn sách còn nhiều thiếu sót mặc dù tác giả đã dành nhiều sức lực vã thời gian đê soạn thảo nó. Rất mong bạn đọc gán xa góp ý kiến và có thê trao đôi với tác giả theo địa chỉ E-mail: tdvan@thevinh.ncst.ac.vn Trần Đức Vân Hà Nội, tháng 4/2004
Khác với một số cuốn sách khác thường xây dựng Ịý thuyết phuứnọ
tr ìn h v i p h â n d ạ o h à m r iê n g th e o c á c h p h â n lo ạ i p h ư ơ n g t r in h , ỏ đ â y c h u n g tỏi chú trọng đến các phương p h áp nghiên cứu thông qua những ví dụ đâc trư n g C á c h là m n à y n h ằ m c u n g c ấ p c h o b ạ n đ ọ c n h iề u p h ư ơ n g p h á p g iả i phương trình vi phân đạo hàm riêng, đê họ có thể áp dụng vào việc xem xét n h ữ n g p h ư ơ n g t r ìn h c ụ thê tro n g th ự c tế N g o à i ra , c h ú n g tô i q u a n tâ m đ à c b iệ t đ ế n v iệ c tìm n g h iệ m c h ín h x á c c ủ a c á c b à i to á n p h ư ơ n g t r ìn h v i p h â n đ ạ o hàm riêng, xem đó là một trong nhừng nhiệm vụ chính của tập tài liệu này.
C h ư ơ n g 1 d à n h c h o c á c đ ịn h n g h ĩa c ơ b ả n c ủ a p h ư ơ n g t r ìn h đ ạ o h à m riê n g , c á c v í d ụ tiê u b iể u v à n h ừ n g đ iề u c ầ n q u a n t â m k h i n g h iê n c ứ u c h ú n g D ặ c b iệt, c h ú n g tôi n ê u m ộ t c á c h tó m tắt v ề m ố i q u a n h ệ c ủ a lý t h u y ế t p h ư ơ n g t r ìn h đ ạ o h à m r iê n g v ớ i c á c lĩn h v ự c to á n h ọ c k h á c
Trong chương 2, chúng tôi trình bày những ký hiệu và kiến thức cán thiết d ể b ạ n đ ọ c d ề th e o d õ i c á c p h ầ n tiế p th e o
T r o n g c h ư ơ n g 3 c h ú n g tồi n h ắ c lạ i n h ử n g k ế t q u ả c ơ b ả n liê n q u a n đ ế n c á c p h ư ơ n g t r ìn h v i p h â n d ạ o h à m r iê n g t u y ế n t ín h : p h ư ơ n g t r ìn h c h u y ể n d ịc h , p h ư ơ n g t r ìn h L a p l a c e , p h ư ơ n g t r ìn h t r u y ề n n h iệ t , p h ư ơ n g t r ìn h t r u y ề n s ó n g , c h ủ y ế u ỉà c á c c ô n g th ứ c b iể u d iễ n n g h iệ m v à c á c tín h c h ấ t đ ặ c t r ư n g
C h ư ơ n g 4 d à n h c h o v iệ c g iớ i th iệ u ly t h u y ế t c á c p h ư ơ n g t r ìn h đ ạ o h à m riêng phi tuyến câ'p một trong trường hợp hàm thông lượng là lồi Chúng tỏi c h ú trọ n g đ ế n p h ư ơ n g p h á p đ ă c trư n g đ ể tìm n g h iệ m đ ịa p h ư ơ n g v à đ ư a ra khái niệm nghiệm yếu hoăc nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy cho phương t r ìn h đ ạ o h à m r iẽ n g p h i t u y ế n c â p m ộ t h o ă c đ ịn h lu ậ t b ả o to à n
T r o n g c h ư ơ n g 5, b ạ n đ ọ c có th ê là m q u e n v ớ i n h ữ n g p h ư ơ n g p h á p thường g ã p đ ể n g h iê n c ứ u c á c p h ư ơ n g t r ìn h đ ạ o h à m r iê n g : p h ư ơ n g p h á p t á c h b iế n , p h ư ơ n g p h á p n g h iệ m đ ổ n g d ạ n g , c á c p h ư ơ n g p h á p b iế n đ ổ i t íc h p h á n , phương p h á p b iế n d ổ i p h ư ơ n g trìn h p h i t u y ế n t h ả n h t u y ế n tín h , p h ư ơ n g p h á p L a p l a c e v à t h u ầ n n h ấ t h ó a , p h ư ơ n g p h á p c h u ỗ i lũ y th ừ a ,
C h ư ơ n g 6 đ ể c ậ p đ ế n p h ư ơ n g p h á p b iế n p h â n , là m ộ t p h ư ơ n g p h á p c h ủ y ế u đ ê k h ả o s á t c á c p h ư ơ n g t r ìn h Đ H R th ô n g q u a v iệ c c h ứ n g m in h tồ n tại v à duy nhất cực tiểu của phiếm hàm năng lượng tương ứng.
8 Phương trình Vi phân Đạo hàm riêng
Trong chương 7 chúng tỏi giới thiệu những phương pháp quan trọng khác như: phương pháp toán từ đơn điệu, phương pháp điểm bât động, phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, các phương pháp không tồn tại nghiệm
Trong chương 8 bạn dọc làm quen với khái niệm nghiệm nhớt của phương trình DUR phi tuyến cấp 1 và 2, một khái niệm nghiệm yếu dược Crandall và Lions đưa ra vào năm 1981 và được nhiều nhà toán học chấp nhận Những định Ịý về tồn tại và duy nhất nghiệm nhớt và công thức biểu diễn nghiệm trong trường hợp phương trình Hamilton-Ịacobi đã được chưng minh.
Chương 9 dành cho việc nghiên cứu sâu hơn về hệ các luật bảo toàn Bạn đọc có thế tìm thây ở đây những kiến thức cơ bản về bài toán Riemann, những
Những điếu cân chủ ý khi nghiên cứu phương trình đao hàm riên g
C h ú n g ta đ ả d ư ợ c b iế t v ề k h á i n iệ m p h ư ơ n g t r ìn h v i p h â n đ ạ o h à m r iê n g (ta sẽ v iế t tắt là p h ư ơ n g trìn h Đ H R ) từ c h ư ơ n g t r ìn h đ ạ i h ọ c là n h ừ n g p h ư ơ n g t r ìn h c ó c h ứ a h à m s ố c ầ n tìm v à c á c đ ạ o h à m r iê n g c ủ a n ó Đ â y là m ộ t lìn h v ự c to á n h ọ c p h ứ c tạ p , trư ớ c tiê n v ì n h ữ n g k í h iệ u r ư ờ m r à v à n h ữ n g d ẫ n d ắ t từ c á c ứng dụng lắt léo, lảm cho người cần đến phưctĩìg trình ĐHR cảm thây c h á n n ả n T a h à y lo ạ i b ỏ tâ m lý ấ y d i d ê đ ọ c c u ố n s á c h n à y v ớ i n ộ i d u n g là những kiến thức râ't cơ bản về lý thuyết phương trình ĐI ĨR, từ các khái niệm sơ đ ă n g đ ế n các t h à n h tựu h iệ n đ ạ i của n ó
1.1 SựXUẤT HIỆN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG • • •
P h ư ơ n g t r ìn h Đ H R đ ư ợ c n g h iê n cứ u lầ n d ầ u tiê n v à o g iữ a t h ế k ỷ 18 tro n g c á c c ô n g t r ìn h c ủ a n h ữ n g n h à to á n h ọ c n h ư E u l e r , D a la m b e r t , L a g r a n g e v à L a p l a c e n h ư là m ộ t c ô n g c ụ q u a n trọ n g d ể m ô tả c á c m ô h ìn h c ủ a v ậ t lý v à cơ h ọ c N h ừ n g b à i to á n c ó n ộ i d u n g tư ơ n g tự v ẫ n c ò n đ ư ợ c n g h iê n c ứ u đ ế n tậ n n g à y n a y v ả là m ộ t tro n g c á c n ộ i d u n g c ơ b ả n c ủ a lý t h u y ế t p h ư ơ n g tr ìn h Đ H R C h ỉ đ ế n g iừ a t h ế k ỷ 19 v à đ ă c b iệt là tro n g c á c c ô n g t r ìn h c ủ a R ie m a n n , p h ư ơ n g t r ìn h Đ H R m ớ i trở t h à n h c ô n g c ụ m ạ n h d ù n g tro n g n h ữ n g lĩn h v ự c toán học khác, c ả hai hướng nói trên dã tác động tích cực đến sự phát triển cua lý thuyết phương trình ĐHR và ngược lại, phương trình ĐHR đóng vai trò q u a n t r ọ n g tr o n g c á c lĩn h v ự c k h á c c ủ a to á n h ọ c lý t h u y ế t v à đ ặ c b iệ t là tro n g c á c b à i t o á n c ủ a th ự c tiễ n C h í n h n h à to á n h ọ c P o in c a r e từ n ă m 1 89 0 đ à n h ấ n m ạ n h r ằ n g , r ấ t n h iề u b à i to á n c ủ a n h ữ n g lĩn h v ự c k h á c n h a u n h ư : t h u ỷ
C h ư ơ n g 1 động học, điện học, nhiệt học, quang học, lý thuyết đàn hồi, có the nghiên cứu bằng các cổng cụ giống nhau - phương trình ĐHR Từ khi mới xuâ't hiện cho đến ngày nay, phương trình ĐHR đỏng vai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng, thúc đây sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực toán học lý thuyết khác nhau Dưới đây ta sè điểm qua một số nét về mối quan hệ đó.
Trước tiên ta nhắc đến một kết quả của Riemann, nguyên lý Dirichlet, trong việc nghiên cứu lý thuyết tỏng quát các hàm giải tích một biến phức và lý thuyết các măt Riemann Những tổng quát hoá lý thuyết nảy bắt đáu từ lý thuyết Hodge cho ta những công cụ tốt trong Hình hoc đai số, dẫn đến những thành tựu như định lý Riemann- Roch, định lý chỉ số Ativah-Singer Ta cùng tháy mối quan hệ giữa Hình học đại sô và lý thuyết soliton đối với phương trình Korteweg-DeVries Phương trình này xuất hiện vào năm 1896 đê mỏ ta mỏ hình sóng nước và được nghiên cứu kỹ bởi M Kruskal vào những năm 1960 sau này.
Lĩnh vực tiếp theo ỉà Hình hoc vi phân, đăc biệt là những vân đề toàn cục của nó Nhừng bài toán của Hình học vi phân như mặt cực tiểu, các bài toán nhúng liên quan đến phương trình ĐHR Monge-Ampere đà thúc đây sự phát triển của lý thuyết phương trình DHR phi tuyến Măt khác, những phương pháp mạnh của lý thuyết phương trình ĐHR cho phép giải những bài toán mờ của Hình học vi phân Sự ảnh hướng lần nhau này có tính cách mạng trong Hình học vi phân ở nhửng thập kỷ cuối cùng của thế kỷ 20.
Mặt khác, lý thuyết các hệ phương trình vi phân cấp một được kết hợp với lý thuyết Lie trong các cỏng trình của Lie vào năm 1870 và của E Cartan bắt đầu vào năm 1890 Lý thuyết các dạng vi phân ngoài của Cartan và lý thuyết bó của Leray đưa ra vào năm 1945 đã thống nhất các ý tưởng vả kỷ thuật của nhiều lĩnh vực như: lý thuyết da tạp, tồ pô đại số và tô pỏ vi phân, hình học đại số, đại số đồng điều và giải tích siêu địa phương (xem, Kashivvara và Schapira [Ka-Sc]).
Từ đầu thế kỷ 20 đến nay, chính nhu cầu nghiên cứu một cách chăt chẽ nhửng phương trình ĐHR đà kích thích sự phát triển các phương pháp cơ bản của Giải tích thực và Giâi tích hàm Bắt đầu từ những năm 1950 việc nghiên cứu một cách có hệ thống các phương trình ĐHR dẫn đến sự thay đôi to lớn trong Giải tích Fourier Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị ra đời vào khoảng năm 1930 kết hợp với lý thuyết phương trình ĐHR qua các công trình của Calderon và Zygmund trở thành một trong nhừng đề tài chính của Giải tích điểu hoà Cung trong thời gian đó, việc ứng dụng của giải tích Fourier vào phương trình ĐHR thông qua các công cụ mạnh như toán tử giả vi phân
12 Chương 1 Phương trin h đạo hàm riêng: Đ ịn h nghĩa và ví dụ và toán tư tích phân Fourier dã đưa đến những kết quà đẹp đê của lý thuyết phương trình DI ỈR tuyên tính.
Bây giờ ta sẽ nói sơ qua về mối tác dộng giữa phương trinh ĐI IR và Tô pô Nó bắt đẩu vào khoảng những năm 1920 với mục đích là tìm nghiệm toàn cục của phương trình DUR phi tuyến thường xuât hiện trong Cơ học chât lỏng như trong cống trình của ỉ,Cray, trong lý thuyết biến phân của Morse và Kjusternik, trong lý thuyết bậc toán tư của Leray và Schauder 'ỉ ừ sau 1960 việc đưa quan điểm biến phản vào tỏ pỏ vi phân đà đưa lại nhũng kết quả quan trọng nhu định lý chu kỳ của Bott, hoăc như chứng minh giả thuyết Poincare với sổ chiều lớn hơn và bằng 5 Gán đây hơn, việc nghiên cứu phương trình DI ỈR Yang-Mills cho ta những tien bộ rõ rẹt trong Tỏ pô sỏ chiều thấp.
Một mối quan hệ quan trọng khác ta cần nói đến là giừa phương trình ĐHR và Lý thuyết xác suất Nó xuât hiện vào khoảng những năm 20 của thế ky 20 trong công trình của Wiener khi xem xét chuyển động Brown và được mở rộng bời ỉ to, Levi, Kolmogorov và nhiều người khác đẽ trở thành lý thuyết hoàn chỉnh của các phương trình vi phân ngẫu nhiên, đăc biệt là trong các cống trình của Mallia vin su dung khỏng gian Sobolev vô hạn chiều Lý thuyết này có quan hệ chạt chẽ với phương trình khuyếch tán, như phương trình truyền nhiệt chăng hạn Hiện nay, phương trình vi phân ngẫu nhiên là cổng cụ toán học chủ yếu nghiên cứu các vân dề tải chính như đánh giá cổ phần.
Có rất nhiều các lĩnh vực nghiên cứu hiện đại khác của toán học mà trong đỏ phương trình DI ỈR đóng vai tro quan trọng như: lý thuyết biếu diễn nhóm nhiều chiểu, lý thuyết trường lương tử, lý thuyết các không gian thuần nhất và Vât lỷ toán.
Cuối cùng ta nói đến Ịĩnh vực có tầm quan trọng nhất dứng về phương diện ứng dụng, đó là Tính toán khoa hoc mả một trong nhừng nội dung chu yếu của nó là giải các phương trình ĐHR Vấn để này đã được Poincare nhân mạnh từ năm 1890, măc dù lúc dó kỹ thuật tính toán rât hạn chế Ngày nay, với sự có mặt của các thế hẹ siêu máy tính tốc độ cao, Tính toán khoa học trở thành một công cụ không thể thiếu được của tiến bộ xã hội.
CÁC ĐỊNH NGHĨA CHUNG VÊ PHƯƠNG TRÌNH ĐHR
Một phương trình Đ H R là một phương trình có chứa hàm nhiều biến chưa biết và một sô dạo hàm riêng của nó. sử dụng những ký hiệu ở trong §2.1, ta có thể viết phương trình ĐHR như
\ 2 Các đ ịn h nghĩa chung về phương trìn h D H R 13
14 Chương 1 Phương trìn h đạo hàm riê n g : Đ ịn h nghĩa và ví dụ sau Cho k là một số nguyên dương và u lả một tập mở trong ỈRn. Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Một biểu thức có dạng
F(x 0.
(xi) B( x , r) là hình cầu đóng với tâm X bán kính r
(xii) C(x,t,r) = {y G Mrl, s € R| \x — y| < r, t - r2 < s < /} lả hình trụ đóng với tõm đỉnh (x, t), bỏn kớnh r, chiều cao ẻ'2
(xiii) a(n) là ũìê tích của hình cầu dơn vị D( 0,1) trong ỊRM và
7rn/2 a(n) r ( f + 1)* ĩia(n) là diện tích mặt cầu dơn vị dB( 0,1) trong ỊRn.
2.1 K ý hiệu 23 (xiv) Nếu a — ( ai , a n) và Ị) = (bị, 6n) thuộc !Rn ab = '^2 R, ta viẽt ti(x) = w ( x i , x , j ) (x € Lr).
Ta nói u là trơn nếu u là khả vi vô hạn.
(ii) Nếu u và V là hai hàm, ta viết u = V có nghĩa là ư đồng nhất bằng V Ta đặt u := ư để nói rằng u được định nghĩa bằng V Giá của hàm u ký hiệu là sptĩL
Hàm dấu là hàm để ký hiệu tích phân của / trên E với độ đo (n - 1) chiều Nếu c là một đường cong trong E n, ta ký hiệu
(iv) Nếu u : ư -> Rm, ta viết u(x) = (u 1(x ), ,u m(x)) ( x e ư )
Hàm uk là thành phần thứ k của u (k = 1 , ra).
(v) Nếu E là măt trơn (n - 1) chiều trong ỊRn, ta viết
U d s là tích phân của / trên c với độ dài cung, (vi) Tính trung bình : là trung bình của Ị trên hinh cầu B(z,r), và ỉ f d S = [ Ị d S
JdD(x,r) na(n)r JdB(x,r) là trung binh của f trẽn mặt cầu dB(x,r)
(vii) Hàm đặc trưng của E là
24^ Chương 2 K ý hiệu v à kiến thức p h ụ trợ
(viii) Hàm u : u —► R được gọi là liên tục Lipschitz nếu
|u(x) - u(y)\ < c \x - 1/1 với hăng số c nào đó và với mọi X y € Ư Ta viết
I • r 1 _ ỈUẤ?) ~ u ^ ) l Lip [u] := sup -— - - - -— x , y € Ủ x ^ y \ 2 y I (ix) Tích chập của các hàm /, (Ị được ký hiệu : f * (J g){x) := Ị ư * g){x) := / f(y)9(x - y)đy
(i) — - ( x ) — lim -— - , nêu giới hạn này ton tai ỠXị h— tO ìl
(ii) Ta thường viết ux thay cho Ũ Ỡ X ị
(iil)Tư