bài 01 dạng 02 tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước gv

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

 Xét hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d có đạo hàm y 3ax22bx c

Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi

00,

 

Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi

00,

 

Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số thì ta kiểm tra thêm trường hợp a 0

 Xét hàm phân thức

ax by

cx d



 có đạo hàm 2

ad bcy

cx d

 

, với ad bc 0,c 0Hàm số đồng biến trên khoảng xác định của nó khi và chỉ khi: 0, 0

dx e

 

2

22

adxaex be dcy

đồng biến trên nửa khoảng 1;



.c) 1 3 2 2 1 1

Bảng biến thiên của g x 

Dựa vào bảng biến thiên của g x 

ta được m3x2 6x5, x 2;   m5

.e)

6

xmxy   x

đồng biến trên nửa khoảng 1;

Tập xác định D  và có đạo hàm y x2mx 1Để hàm số đồng biến trên nửa khoảng 1;   y' 0,  x 1;

xx

g x

x



nghịch biến trên khoảng   ; 3

Tập xác định D  và có đạo hàm y 3x212x4m 9.Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 3 khi y      0, x  ; 3

23x 12x 4m 9 0 x ; 3            4m3x212x9,    x  ; 3

Đặt f x 3x212x9 có f x  6x12 0  x2

Ta có bảng biến thiên của f x 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 4m3x212x2     x  ; 3  4m 0  m 0Vậy m  hàm số nghịch biến trên khoảng 0   ; 3

.g) y x 3mx2 m nghịch biến trên 0;2

Xét hàm số

32

y x

trên khoảng 0; 2

, ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy để hàm số nghịch biến trên 0;2

thì m  3h) ym1x3 3m1x23x2

đồng biến trên Ta có y 3m1x2  6m 1x3

Hàm số đã cho đồng biến trên  khi và chỉ khi y    0, x

1 01 0

0

mm

 

   

 

11

mm



 



11

mm

m

  

   1m2

Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

a)

21

mxy

x



 đồng biến trên từng khoảng xác định

b)

23

mxy

x m



  nghịch biến trên từng khoảng xác địnhc)

2x 4

ym x



 đồng biến trên 1; 

d)

72

xy

x m



 nghịch biến trên 2;

e)

2 6

x my

x m

 

 đồng biến trên khoảng   ; 2

f)

93

xy

xm



 đồng biến trên khoảng   ; 6

g)

4

mxy

m x



 nghịch biến trên khoảng 3;1

h)

2 5

m xy

mx



 nghịch biến trên khoảng 3;

Lời giải

a)

21

mxy

x



 đồng biến trên từng khoảng xác địnhTập xác định D \ 1  ta xét y  0 m 2 0  m2

b)

23

mxy

x m



  nghịch biến trên từng khoảng xác định

  

Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y 0,  x 3 mHay m2  3m 2 0,  x 3 m 1 m 2

c)

2x 4

ym x





2, 1;

mx m x

  

 

xy

x m



2

m

m

mm

m

 



x m

 

 đồng biến trên khoảng   ; 2

Hàm số

2 6

x my

x m

 

 đồng biến trên khoảng   ; 2

2; 2

mm

m

      

xy

xm



 đồng biến trên khoảng   ; 6

Ta có

93

xy

xm



xm

 



m x



 nghịch biến trên khoảng 3;1

Điều kiện x m

Đạo hàm: 

224

my

m x

 

 Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1

3;1

11

mm

y

mm

mm

mm

mx



 nghịch biến trên khoảng 3;

Xét m 0 y là hàm hằng nên hàm số không nghịch biến 5Vậy m 0 không thỏa mãn



Hàm số đồng biến trên khoảng xác định khi

22x 4x 2 m  0, x  m0b)

 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồngbiến trên từng khoảng xác định

x m

 



Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y0, x D  m4 0  m 4.Vì m nguyên âm nên m    3; 2; 1 

Vậy có 3 giá trị thỏa mãn

Câu 2: Cho hàm số y mx 3mx2 m1x1 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến

trên  3

Lời giải

Ta có:y mx 3mx2  m1x 1 y3mx22mx m  1

Trường hợp 1: m 0 y'  Hàm số nghịch biến trên  1 0  1

Trường hợp 2: m 0 Hàm số nghịch biến trên  khi:



m 

13

m 

43

m 

43

   



Câu 4: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số ym2 1x3m1x2  x

nghịch biến trên là

Lời giải

Yêu cầu đề bài tương đương với y 3m2 1x2 2m1x 1 0,   x

.Khi m2 1 0  m 1

Với m 1 thì y  1 0,   do đó giá trị xm 1 thỏa mãn.

Với m 1 thì

14 1 0

21

2

mm

mm

  

Vậy

1

12 m

nên có 2 giá trị nguyên của tham số m là m0;m thoả mãn.1

Câu 5: Cho hàm số

22

mxy

x m



 , m là tham số thực Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Lời giải

Tập xác định:

\2

mD  



2242

my

x m

 

Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó thì m2 4 0  2m 2

Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Câu 6: Số giá trị nguyên của m để hàm số ym 7x3m 7x2 2mx 1

nghịch biến trên bằng

0,

mm



Vậy hàm số nghịch biến trên  khi 1m7 Do m   nên có 7 giá trị nguyên của m

Câu 7: Tìm tất cả giá trị của m sao cho hàm số 2

x my

x



 đồng biến trên các khoảng xác định?

A m 2 B m 2 C m 2 D m 2

Lời giải

x my

x



 đồng biến trên các khoảng xác định



Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 3 sinxcosx mx  nghịch biến trên5

tập xác định

A m 2. B m 2. C m 2. D 2m2.

Lời giải

Tập xác định D  và có đạo hàm y  3 cosx sinx m

Hàm số y 3 sinxcosx mx  nghịch biến trên 5

05

3

mm

a

m





03 m

thoả mãn yêu cầu bài toán.Do m   nên m   1;0 .

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

24

x my

x



 đồng biến trên từng khoảngxác định của nó?

24

x my

x



 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m đểhàm số đồng biến trên  ?

Với m 0 thì ' 0.y  Suy ra hàm số đã cho là hàm số hằng.

Do đó m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.Với m 1 thì ' 1 0,y      Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên  xDo đó m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán



đồng biến trên  khi và chỉ khi

Vậy có 2 giá trị nguyên của mthỏa mãn

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3 2

my x

x

  

 đồng biến trên5;?

Lời giải

Điều kiện xác định: x 2.

Ta có: 1  22

my

Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2024;2024 sao cho hàm số

 



11

1;4

5

mm

mm





 

Vậy hàm số đồng biến trên  khi m 1; 

.Vì m nguyên thuộc đoạn 2024;2024

nên m 1,2, , 2024 

.Vậy có 2024giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số 1 32 

3

y x  mx   m x m 

đồng biếntrên 

A m 4. B m 2 C m 4 D m 2

Lời giải

Tập xác định D  và có đạo hàm y'x2 2mx 8 2m.Hàm số đồng biến trên   y' 0,   x

2

21 00

3

y x  mx   m x m 

đồng biến trên thì m 2

Câu 15: Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 32 

3

y x  mx  m x m 

luônnghịch biến trên  là ma b; 

1 00

xy

x m



 đồng biến trên khoảng;

4 2 

m  

Lời giải

Đặt t cotx Vì hàm số ycotx nghịch biến trên khoảng

;4 2 



 nghịch biến trên khoảng 0;1

A

24

mm

  B 4m2 C 4m2 D

24

mm

  

Ta có y 3x2  2m1x3

là tam thức bậc hai có hệ số của x bằng 2 3 0 và biệt thức

   

Do đó  *    0 m12 9 0  m 12  9 3m 1 3 4m2

Câu 18: Có bao nhiêu số nguyên âm của tham số m để hàm số 1 3 

cos 4cot 1 cos3

A m 1 B 1m2 C

12

mm

 

2 0

1

mm

mm

mm

m

    

xy

x m



 đồng biến trên khoảng0;

2

xy

x m



 đồng biến trên khoảng

0;2

210

210

1010

0;1

010

mm

mm

m

mm

 





Theo đề bài mnguyên dương nên m 1,2, ,9 .

Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên m   10;10 để hàm số y2sin1 2sin x mx đồng biến trên khoảng

;2

m

    

Do m nguyên thuộc khoảng 10;10  m0;1;2; ;9 

Vậy có 10 giá trị nguyên của tham số m thỏa

Câu 22: Cho hàm số

mxmy

m

mm

x m



 với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; Tìm số phần tử của S.

2

22

22

 

Suy ra S 0;1;2 Vậy số phần tử của S là 3.

Câu 24: ] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 32 

3

y x  mx  m x m 

nghịchbiến trên khoảng 3;0

A m 1 B m 2 C m 1 D

12

m 

   

       2m 13 m1

Câu 25: Tổng các giá trị nguyên âm của m để hàm số

3

515

Vì m nguyên âm nên m      4; 3; 2; 1

Vậy tổng các giá trị của m là 10

a 

 

   m2 4m   3 0 1 m 3Giá trị m lớn nhất là 3

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 6m2x2 m1

2

m    

5;

2

m    

5;2

m 

 D

5;2

m  

x m

 

  Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc 10;10để đã cho đồng biến trên khoảng 3;0?

 nên t 1 x nghịch biến trên 3;0 

Yêu cầu của bải toán tương đương với tìm m để hàm số f t  nghịch biến trên 1;2

1 0

2

21

m

mm

mm

 

  

    



   Vì m,m  10;10

nên m   10; 9; ;0  

Câu 30: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   10;10

sao cho ứng với mỗi m, hàm số

yxm

  nghịch biến trên khoảng 3; 7?

  nghịch biến trên khoảng 3; 7

30



Vậy có 9 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 31: Cho hàm số

ln 6ln 3

xy

xm



 với m là tham số Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của

m để hàm số đồng biến trên khoảng 1;e Tìm số phần tử của S.

Lời giải

Điều kiện lnx 3m0

1ln3

mx

y

xm

 



.Để hàm số đồng biến trên khoảng 0;1

thì y  với mọi 0 x 0;1

16 3

0ln 3

mx

xm



  6 3 m0 m2.Do m là số nguyên dương nên m 1

Câu 32: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2;25

sao cho ứng với mỗi m, hàmsố

5

xx my

x m

  

 nghịch biến trên khoảng 1;4.

Lời giải

Tập xác định:

\5

mD  

 

5

45

0, 1;42

Mà m là số nguyên thuộc đoạn 2;25

nên m 20;21;22;23;24;25 .

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2;25

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 1;20

để ứng với mỗi, hàm số

3

xx my

Lời giải

Điều kiện: 3

mx 

3

xx my

xmx

xx m

2;3 23

m

 



62

  Khi đó  1 2m 3x 3 g x , x 2;3

x

.Mà g x  3 32 0, x 2;3 g x 

   Vì m   nên m 4;5;6;9;10; ;20 .

Vậy có 15 số nguyên m thỏa mãn

Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương không lớn hơn 2024 của tham số m sao cho hàm số

2 2 15

y

x m

  

 nghịch biến trên khoảng 3;1?

A 2012 B 2009 C 2011 D 2010

Lời giải

Tập xác định

\5

mD  

22

Do nguyên dương không lớn hơn 2024 nên 15m2024 Vậy có tất cả 2010 giá trị.

Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số

22x 1 m x 1 my

nên  g x  0

có hai nghiệm thỏa x1x2 1

Điều kiện tương đương là

3 2 2 0,21

2

mS

Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương bé hơn 2024 của tham số m sao cho hàm số

22x 2x 1 5my

x m

  

 nghịch biến trên khoảng 1;5?

22

Câu 37: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số 2

1

xy

xx m



  nghịch biến trênkhoảng 1;1

1

mxy

xx m

  

 

2

100

mxxx mxx m



 

  

mx

  

 

.

Khi đó mx1 ,2   x  1;1  m 0Đặt f x  x2  x

, x   1;1  f x  2x1 f x  0 

12

xx my

x



 nghịch biến trênkhoảng 1;3

và đồng biến trên khoảng 4;6



Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 và đồng biến trên khoảng 4;6 khi và chỉ khi

0, 1;30, 4;6

   

   

ta có bảng biến thiên của g x  như sau

Từ bảng biến thiên của g x  ta có  *  3m6

Vì m là số nguyên nên chọn m 3;4;5;6 Vậy có 4 giá trị nguyên của mthỏa mãn bài toán.

PHẦN II Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.Câu 1: Cho hàm số y mx 3mx2 m1x1

, với m là tham sốa) Hàm số là hàm số bậc ba khi m 0

b) Tập xác định của hàm số là 

c) Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi

34

Lời giải

a) Đúng: Hàm số là hàm số bậc ba khi m 0b) Đúng: Hàm số là hàm đa thức nên tập xác định của hàm số là  c) Sai: Ta có y 3mx2 2mx m1

Với m 0 thì y   (không thoả mãn)1 0

Với m 0 thì yêu cầu bài toán tương đương với 2

00

mm

Với m 0 thì yêu cầu bài toán tương đương với 2

b) Phương trình y  có hai nghiệm phân biệt là 0 x1m và xm 2

c) Không tồn tại giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên  d) Hàm số nghịch biến trên 1;1

2 1

11

m

mm

  

 

 

Câu 3: Cho hàm số

5

xy

x m



 , với m là tham số.a) Tập xác định của hàm số là 

b) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi m 5.c) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi m 5.d) Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 8

x m



 đồng biến trên khoảng   ; 8

khi và chỉ khi

25

8; 8

m

m

mm





Câu 4: Cho hàm số

2 2 12

c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 5; 2  và 2; 

d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 5

và 1; 

Lời giải

a) Đúng: Tập xác định: D \2

b) Sai: Đạo hàm 

224 5

,2

1

52

x

xx



c) Sai: Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 5; 2 

b) Tập xác định của hàm số yf t 

là c) Hàm số yf t 

đồng biến trên 0; 1 khi và chỉ khi f t  0, t 0;1

d) Có 2026 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2024;2024

để hàm số đã cho nghịchbiến trên khoảng

;4 2 

x   t 0; 1 4 2;

 

Khi đó, bài toán trở thành tìm tham số m nguyên để hàm số  

2 2 2 2 1

tmtmyf t

m

 



 

2 1, 0;12

*0

1

t

tmm

 



 

Xét hàm số  

2 12

ty g t

10, 0;12

  

 

101

mmm

  





01

mm

  

c) Sai: Hàm số yf t 

đồng biến trên 0; 1 khi và chỉ khi f t    0, t 0;1

d) Đúng : Có 2026 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2024;2024

để hàm số đã chonghịch biến trên khoảng

;4 2 

22

1 00

x   

   

21

x   

   

2cot x 2 cotmx 1 0



      *

mà

1 1.2 1 1

t

mt

Vì mnguyên dương nên m 1

Câu 3: Tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y x 3 3x23m cắt trục hoành tại1

ba điểm phân biệt trong đó có đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 là khoảng a b;  Giá trị

của a b bằng bao nhiêu?

Bảng biến thiên:

Ta lại có: y 1 3m 3

.Từ bảng bảng biến thiên ta thấy: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó cótrong đó có đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 khi và chỉ khi:

3m 5 0 3  m 3 3m 3 3m 5 0 1 m

Từ đó suy ra a 1,

53

b 

nên

83

14

0,4

my

m



 nghịch biến trên khoảng

0;4 ?

Lời giải

Tập xác định:

\4

mD  



và có đạo hàm 

22364

my

x m

 



Hàm số nghịch biến trên 0;4 khi và chỉ khi 

2 36 00;44

mm



 

016

m

mm

m

  



 



Vậy có 6 giá trị nguyên của m là 0;1;2;3;4;5 .

Câu 7: Số các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho hàm số

2025

mxy

x m

 

 đồng biến trênkhoảng 2;2 là bao nhiêu?

Lời giải

Điều kiện xác định: xm

22

; 2 2;2

m

mm

mm

Vậy có tất cả 86 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số  

2

xx mf x

x



 đồng biến trênkhoảng 1; ?

Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 9 Vì m 0 nên m 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9

Vậy có 10 giá trị của m để hàm số  

2

xx mf x