bài tập toán kinh tế

Một công ty sản xuất và độc uyền tiêu thụ một loại sản phẩm với hàm cầu Q tính bằng số lượng sản phẩm và chi phí bình quân AC tính bằng USD được cho như dưới đây.. Xác định hàm chi phí,

2

7 8 9

3

BÀI TẬP CHƯƠNG V V.5

Một công ty sản xuất và độc uyền tiêu thụ một loại sản phẩm với hàm cầu Q (tính bằng số lượng sản phẩm) và chi phí bình quân AC (tính bằng USD) được cho như dưới đây Xác định hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận rồi tính giá trị cận biên, hệ

số co giãn theo sản lượng của các hàm đó ứng với sản lượng Q đã chỉ ra

a) Q = 60 ─ 2P; AC = 0,5Q2 ─ 15Q + 10 tại Q = 30.

b) Q = 30 ─ 10P; AC = 2,5Q2 ─ 75Q + 100 tại Q = 150.

c) Q = 1200 ─ 40P; AC = 10Q2 ─ 300Q + 150 tại Q = 600.

BÀI GIẢI

a) Q = 60 – 2P; AC = 0,5Q2 – 15Q + 10 tại Q = 30

Q < 60

- Lợi nhuận là: 𝜋 = R – C = (–0,5Q + 30Q) – (0,5Q2 3–15Q2+10Q) = –0,5Q3 +

· Tại Q = 30 giá trị của các hàm là:

C = 0,5.303 – 15.302 + 10.30 = 300 (USD)

R = –0,5.302 + 30.30 = 450 (USD)

𝜋 = –0,5.303 + 14,5.302 + 20.30 = 150 (USD)

- Giá trị cận biên của các hàm tại Q = 30 là:

4

MC = C’ = 1,5Q2 – 30Q + 10 = 1,5.302–30.30+10 = 460 (USD)

MR = R’ = –Q + 30 = –30 + 30 = 0

- Hệ số co giãn của các hàm theo sản lượng ứng với Q = 30 là:

𝜀C = MC 𝑄𝐶 = 460.30300 = 46%

𝜀R = MR 𝑄𝑅 = 0%

𝜀 𝜋π = ’ 𝑄π = –460.30150 = –92%

< Q < 300

- Doanh thu là: R= P.Q = (–0,1Q + 30).Q = –0,1Q2 + 30Q

- Lợi nhuận là: 𝜋 = R – C = (–0,1Q2 + 30Q) – (2,5Q – 75Q + 100Q) = –2,5Q3 2 3 + 74,92 – 70Q

· Tại Q = 150 giá trị của các hàm là:

C = 2,5.1503 – 75.1502 + 100.150 = 6765000 (USD)

R = –0,1.1502 + 30.150 = 2250 (USD)

𝜋 = –2,5.1503 + 74,9.1502 – 70.150 = –6762750 (USD)

- Giá trị cận biên của các hàm tại Q = 150 là:

MC = C’ = 2,5Q2 – 150Q + 100 = 7,5.1502 – 150.150 + 100 = 146350

MR = R’ = –0,2Q + 30 = –0,2.150 + 30 = 0

𝜋’ = –7,5Q2 + 149,8Q – 70 = –7,5.1502 + 149,8.150 – 70 = –146350

5

– Hệ số co giãn của các hàm theo sản lượng ứng với Q = 150 là:

𝜀C = MC 𝑄𝐶 = 146350.150

6765000 ≈ 3,25%

𝜀R = MR 𝑄𝑅 = 0%

𝜀 𝜋π = ’ 𝑄π = –146350.150−6762750 ≈ 3,25%

c) Q= 1200 – 40P; AC = 10Q2 – 300Q + 150 tại Q = 600

30; 0 ≤ Q < 1200

- Lợi nhuận là: 𝜋 = R – C = (–0,025Q + 30Q) – (10Q – 300Q + 150Q) = –10Q 2 3 2 3

· Tại Q = 600 giá trị của các hàm là:

C = 10.6003 – 300.6002 + 150.600 = 2052090000 (USD)

R = –0,025.6002 + 30.600 = 9000 (USD)

𝜋 = –10.6003 + 299,975.6002 – 120.600 = –2052081000 (USD)

- Giá trị cận biên của các hàm tại Q = 600 là:

MC = C’ = 30Q2 – 600Q + 150 = 30.6002 – 600.600 + 150 = 10440150 (USD)

30.6002 + 599,95.600 – 120 = –10440150 (USD)

- Hệ số co giãn của các hàm theo sản lượng ứng với Q = 600 là:

𝜀C = MC 𝑄𝐶 = 10440150.6002052090000 ≈ 3,05%

𝜀R = MR 𝑄𝑅 = 0%

6

𝜀 𝜋π = ’ 𝑄

π = –10440150 600−2052081000 . ≈ 3,05%

V.7

Giả sử một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ độc quyền một loại sản phẩm có hàm

số ợng sảlư n phẩm) Cho biết chi phí bình quân là

AC = 2Q – 12Q + 280 + 1500Q2 –1; Q>0

a) Xác định doanh thu và lợi nhuận

b) Tìm mức sản lượng tối ưu hoá lợi nhuận và xác định giá tương ứng

BÀI GIẢI a) Chi phí là

Lợi nhuận là π = R – C = (2800Q – 15Q – (2Q – 12Q2) 3 2 + 280Q + 1500)

Hay lợi nhuận là π = – 2Q3 – 3Q + 2520Q – 1500; Q > 0.2

b) Ta cần tìm mức sản lượng tối ưu hoá lợi nhuận tức là tìm Q để π lớn nhất.

Ta có Mπ = π’ = – 6Q – 6Q + 2520 = – 6(Q + Q – 420).2 2

π” = – 12Q – 6 = – 6(2Q + 1) < 0; Q > 0

⟺ [Q = 20 (nhận) Q = –21 (loại)]

Tại Q = 20 ta có:

P = 2800 – 15×20 = 2500;

Vì π (Q) < 0 trên khoảng (0,+µ) nên π đạt cực đại tại Q = 20 vớ” i πmax = 31700 Hơn nữa, tại Q = 20 còn là điểm cực đại toàn cục củ π trên khoảng (0;+µ) Nghĩa là giá a trị cực đại πmax = 31700 cũng là lợi nhuận lớn nhất

7

Kết luận: Với sản lượng cầu Q = 20, giá tương ứng là P = 1250 (USD) thì lợi nhuận lớn nhất πmax = 31700 (USD)

Giả sử một loại sảm phẩm có hàm cầu là P = 42 –

giá P để tối ưu hóa lợi nhuận và xác định lợi nhuận lúc đó

BÀI GIẢI

Giá sản phẩm: P = 42 –

–

–

Vấn đề kinh tế trở thành bài toán tìm cực trị của hàm lợi nhuận π

π′′(5) = –8 < 0 nên hàm lợi nhuận π đạt cực đại tại Q = 5

Vậy với mức giá P = 22 thì tối ưu hóa lợi nhuận và lợi nhuận tối đa π

8

Hàm cầu và chi phí bình quân của một loại sản phẩm độc quyền được cho bởi P =

a) Tìm sản lượng Q để tối ưu hóa lợi nhuận (trước thuế) Tìm giá P và lợi nhuận lúc

đó

b) Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm này là 22 (USD) Tìm sản lượng để tối

ưu hóa lợi nhuận sau thuế và xác định mức giá và lợi nhuận (sau thuế) lúc đó

BÀI GIẢI

Ta có: AC = 0,2Q + 28 +200Q => Chi phí: C = 0,2Q + 28Q + 200 -1 2

Lợi nhuận: 𝜋 = 𝑅 𝐶 – = (600Q – 2Q2 ) – (0,2Q2 + 28Q + 200)

=> = 𝜋 –2,2Q2 + 572Q – 200

Ta cần tìm cực đại của 𝜋:

Mπ = 𝜋’ = –4,4Q + 572

𝜋’’ = –4.4 < 0

𝜋’’(130) = –4,4 < 0 ( đạt cực đại tại Q = 130)𝜋

𝜋max = (130) = –2,2.1302 + 572.130 – 200 = 36980 (đvt) 𝜋

P(130) = 600 – 2.130 = 340 (đvt)

Kết luận: Ở mức sản lượng Q = 130 (đvsp) và mức giá là P = 340 (đvt) thì lợi nhuận tối đa là 𝜋max = 36980 (đvt)

b) Khi chính phủ đánh thuế trên đơn vị sản phẩm thì nhà sản xuất là người chịu thuế

9

Điều kiện: 0 ≤ 𝑄 <300 và T = 22.Q

𝜋T= 𝜋 – T = –2,2Q2 + 550Q – 200

Ta cần tìm cực đại của 𝜋T: MπT = 𝜋T’= –4,4Q + 550

𝜋T’’ = –4,4 < 0

𝜋T’ = 0 => –4,4Q + 550 = 0 [Q = 125 (nhận)]

𝜋T’ = –4,4 < 0 ⟺𝜋 đạt cực đại tại Q = 125

𝜋Tmax’ = (125) = –2,2.1252 + 550.125 – 200 = 34175 (đvt) 𝜋T

P(125) = 600 – 2.125 = 350 (đvt)

Kết luận: Ở mức sản lượng sau thuế Q =125 (đvsp) và mức giá sau thuế P = 350 (đvt) thì lợi nhuận tối đa sau thuế là 𝜋Tmax = 34175 (đvt)

Hàm cầu và chi phí bình quân của một loại sản phẩm độc quyền được cho bởi P =

phẩm)

a) Tìm sản lượng Q để tối ưu hóa lợi nhuận (trước thuế) Tìm giá P và lợi nhuận lúc đó

tối ưu hóa lợi nhuận ssau thuế và xác định mức giá và lợi nhuận (sau thuế) lúc đó

BÀI GIẢI

– Lợi nhuận (trước thuế):

10

Thuế T = 2Q

Vấn đề kinh tế tìm mức lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp sau thuế trở thành việc giải bài toán tìm cực đại của π

Ta cần tìm cực đại của π

KL: Mức lợi nhuận tối đa sau thuế là 180 ( đv tiền ) ở mức sản lượng Q = 10 (đvsp)

BÀI TẬP CHƯƠNG VI

VI.10.

ột doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là C = 200, thuê một đơn vị vốn là w = 1 (triệu đồng) và giá thuê một đơn vị lao động là w = 0,2 (triệu đồng) Giả sử doanh nghiệp đó có hàm sản xuất Q = K(L + 10) và giá sản phẩm trên thị trường là p = 0,5 (triệu đồng)

BÀI GIẢI

Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó.

11

Gọi K là lượng vốn, L là lượng lao động mà doanh nghiệp cần sử dụng với K > 0,

L > 0 Khi đó ta có:

= K + 0,2L + 200 (triệu đồng); K>0, L>0

R = p.Q = 0,5.K.(L+10) = 0,5KL + 5K (triệu đồng); K>0, L>0

Hàm lợi nhuận:

Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K = 100, L = 20.

Chi phí cận biên:

Kết luận:

 Nếu ta tăng vốn thêm 1 đơn vị từ 100 lên 101 đơn vị vốn và giữ nguyên lượng lao động thì chi phí tăng 1 triệu đồng

 Nếu ta tăng lượng lao động thêm 1 đơn vị từ 20 lên 21 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn thì chi phí tăng 0,2 triệu đồng

Doanh thu cận biên

Kết luận:

 Nếu ta tăng vốn thêm 1 đơn vị từ 100 lên 101 đơn vị vốn và giữ nguyên lượng lao động thì doanh thu tăng 15 triệu đồng

 Nếu ta tăng lượng lao động thêm 1 đơn vị từ 20 lên 21 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn thì doanh thu tăng 50 triệu đồng

Lợi nhuận cận biên:

12

Kết luận:

 Nếu ta tăng vốn thêm 1 đơn vị từ 100 lên 101 đơn vị vốn và giữ nguyên lượng lao động thì lợi nhuận tăng 14 triệu đồng

 Nếu ta tăng lượng lao động thêm 1 đơn vị từ 20 lên 21 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn thì lợi nhuận tăng 49,8 triệu đồng

Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K = 100, L = 20

Hệ số co giãn của chi phí:

εCK CK′ 𝐾

𝐶

𝐾

K + 0, + 2L 200

100

100 + 0,2 + 20 200

25

76≈

C

L

K + 0, + 2L 200

20

100 + 0,2.20 200 +

1

76≈ Kết luận:

 Nếu ta tăng vốn thêm 1% từ 100 lên 100 + (1%) 100 = 101 đơn vị vốn và giữ nguyên lượng lao động thì chi phí tăng xấp xỉ 0,33%

 Nếu ta tăng lượng lao động thêm 1% từ 20 lên 20 + (1%).20 = 20,2 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn thì chi phí tăng xấp xỉ 0,013%

Hệ số co giãn của doanh thu:

𝑅

𝐾 0,5KL + 5K

100 0,5.100 20 + 5.100

εRL RL′ 𝑅𝐿 0,5KL + 5K𝐿 0,5.100 20 + 5.10020 23≈

Kết luận:

 Nếu ta tăng vốn thêm 1% từ 100 lên 100 + (1%) 100 = 101 đơn vị vốn và giữ nguyên lượng lao động thì doanh thu tăng 1%

13

 Nếu ta tăng lượng lao động thêm 1% từ 20 lên 20 + (1%).20 = 20,2 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn thì doanh thu tăng xấp xỉ 0,67%

Hệ số co giãn của lợi nhuận:

𝜋

4K + 0,5KL – 0, – 2L 200

4 100 +0,5 100 20 −0,2 − 20 200

επK 299350≈

επL πL′ 𝐿

𝜋

4K + 0,5KL – 0, – 2L 200

4 100 +0,5 100 20 −0,2 20 200 −

επL 249299≈

Kết luận:

 Nếu ta tăng vốn thêm 1% từ 100 lên 100 + (1%) 100 = 101 đơn vị vốn và giữ nguyên lượng lao động thì lợi nhuân tăng xấp xỉ 1,17%

 Nếu ta tăng lượng lao động thêm 1% từ 20 lên 20 + (1%).20 = 20,2 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn thì lợi nhuận tăng xấp xỉ 0,83%

VI.12

Xét hai loại sản phẩm X,Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hang hóa X,Y lần

≥ 0 (x, y là lượng hang hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x,y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dung là 1850USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y

BÀI GIẢI

14

Với giá hàng hóa X,Y trên thị trường lần lượt là 50 USD và 200 USD

Điều kiện ngân sách tiêu dùng là 1850 USD cho ta biết được :

Vấn đề kinh tế đặt ra là xác định x,y ( x.y không âm) để tối đa hóa lợi ích Ta đưa

về bài toán cực trị điều kiện sau : Tìm cực đại của :

U = (x+30)y (1) ; x ≥ 0, ≥ 0 trong điều kiện x + 4y = 37 y

Xét điều kiện x + 4y = 37 ⟺ x= 37– 4y (2)

Thay (2) vào (1) ta được : U= (37– 4y + 30)y ⇔ U= (67 – 4y)y = – 4y +67y 2

Lúc này, bài toán trở thành : Tìm cực đại của : U= – 4y + 67y với y ≥ 0 2

Ta có U = U(y) = = – 4y + 67y với y ≥ 0 2

+) U’(y) = –8y + 67 (y ≥ 0)

Xét phương trình U’(y) = 0 ⇔ –8y + 67 = 0 ⇔y = 8.375

Ta có điểm dừng y = 8.375 ứng với x = 3.5

+) Kiểm tra điểm dừng y = 8.375 ( ứng với x = 3.5 )

U”(y) y = 8.375 = –8 < 0 với mọi y ≥ 0 Do đó tại điểm M(3.5 , 8.375) U đạt cực đại với

U max = 280.5625 ( USD ) trong điều kiện x ≥ 0, ≥ 0 y

Kết luận : Với x = 3.5 và y = 8.375 thì đạt tối ưu hóa lợi ích U max = 280.5625 (USD) trong điều kiện ngân sách 50x + 200y = 1850

15

VI.14.

Xét hai loại hàng hóa X,Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa X,Y lần lượt là 500 và 400 ( đơn vị tính: nghìn đồng) Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U= (x + 4)(y + 5); x 0, y 0 (x,y là lượng hàng hóa X,Y tương ứng) Hãy chọn túi ≥ ≥ hàng (x,y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 4 ( triệu đồng ) Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X,Y

BÀI GIẢI

Thu nhập 4 triệu đồng cho ta điều kiện:

Vấn đề kinh tế quay về bài toán tìm x (≥0 ), (≥0 y )để

U = ( x + 4 )( y + 5 ) max trong điều kiện (1)

Ta có : 5x + 4y – 40 = 0 y = 40−5𝑥4 = 10 – 1,25x

Điều kiện: {𝑦 ≥ 0𝑥 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ ≤ x 8

Thay vào U, ta được : U = (x + 4)(10 – 1,25x + 5)

→ U = –1,25x 10x + 602 +

U’ = -2,5x +10

U’ = 0 ⟺⟺ -2,5x +10 = 0 ⟺⟺ x = 4 (Nhận) => y = 5 (Nhận)

U’’ = -2,5 < 0

Hàm lợi ích U đạt cực đại tại x = 4

Umax = U(4) = 80

Đáp số : x = 4; y = 5; Umax = 80

Kết luận : Trở về vấn đề kinh tế ta được :

- Trong điều kiện ngân sách tiêu dùng 4 triệu đồng thì Túi hàng (x = 4, y = 5) làm tối ưu hóa lợi ích Umax = 80 Ở đây lượng cầu Marshall tương ứng chính là 𝑥 =

4, = 5.𝑦

16

VI.15.

Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 12xy + 8x (x 0, y 0) trên hai loạ ≥ ≥ i hàng hóa X, Y (x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Đơn giá của từng loại hàng

Hick tương ứng

BÀI GIẢI

Với mỗi túi hàng (x, y), chi phí tiêu dùng là C = 4x + 9y; x 0, y 0 Vấ≥ ≥ n

đề kinh tế ở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x, y) để C = 4x + 9y cựtr c tiểu với điều kiện U(x, y) = 12xy + 8x = 10800; x 0, y 0.≥ ≥

Giải bài toán bằng phương pháp Lagrange, ta có

Hàm điều kiện φ = 12xy + 8x – 10800

L’x = 4 + (12y + 8), L’λ y = 9 + 12 x; x 0, y λ ≥ ≥ 0

L’’xx = 0, L’’yy = 0, L’’xy = 12 ; x 0, y 0 λ ≥ ≥

φ’x = 12y + 8, ’φy = 12x; x 0, y 0.≥ ≥

- Ta tìm điểm dừng

{𝐿′𝐿′𝑥 𝑦 = 0 = 0

4 + λ(12y + 8) = 0

9 + 12λx = 0 12xy + = 8x 10800 Giải hệ ta được hai điểm dừng và hai nhân tử Lagrange tương ứng như dưới đây

+ M(45, 583) ứng với λ1 = −160

+ N(–45,−623) ứng với λ2 = 601

Đương nhiên điểm dừng thứ hai N(–45,−623) bị ại vì điều kiện x 0, y 0 lo ≥ ≥

duy nhất λ1= −160

17

3) và λ1 = −160 , ta có L’’xx = 0, L’’yy = 0, L’’xy = –0,2, φ’x = 240, φ’y = 540;

H = |

𝐿′′𝑥𝑥 𝐿′′𝑥𝑦 φ′𝑥

𝐿′′𝑥𝑦 𝐿′′𝑦𝑦 φ′𝑦

- Do đó M(45, 583) là điểm cực tiểu điều kiện với 𝐶𝑚𝑖𝑛 = 354 USD

- Kết luận vấn đề kinh tế: Túi hàng (x = 45, y = 583) làm tối ưu hóa chi phí

ích cố định U = 10800 Ở đây, lượng cầu Hick tương ứng là x0  = 45, y = 58

3

VI.21

Một công ty sản xuất hai loại hàng tiêu dùng Cho biết lượng cầu đối với hai loại hàng đó lần lượt là Q = 65 – 2P1 1 , Q2 = 50 – P – P ; P là giá mỗi đơn vị hàng hóa thứ i (i = 1,2) 1 2 i

Hãy xác định mức sản lượng Q , Q để tối ưu hóa lợi nhuận cực đại biết rằng hàm chi phí 1 2

kết hợp C = 2Q + Q1 1Q2 + Q + 20.2

BÀI GIẢI

Ta có hàm chi phí là: C = 2Q + Q1 1Q2 + Q22 +20

Từ hàm cầu trong yêu cầu đề bài, biến đổi tương đương ta được:

{ 𝑄1 = 65 − 2𝑃2

𝑄2 = 60 − 𝑃1− 𝑃2 ⇔ { 𝑃1 = ,5 − 32

𝑄 1

2

𝑃2= 17,5 + 𝑄1

2− 𝑄2

Doanh thu của công ty là:

R = P1Q1 + P2Q2 = (32,5 − 𝑄12 )Q1 + (17,5 + 𝑄12 − Q2)Q2

= −12 Q Q 1 − 2 + 12 Q1Q2 + 32,5Q + 17,5Q1 2

Lợi nhuận của công ty là:

18

Vấn đề kinh tế ở thành bài toán tìm Q ?, Q ? để lợi nhuận cực đạitr 1 2

Các đạo hàm riêng là:

{𝑃𝑟′𝑄1= −5𝑄1−

1

2𝑄2+ 32,5 𝑃𝑟′𝑄2 = −12 𝑄1− 4𝑄2+ 17,5 ; {

𝑃𝑟′′𝑄1𝑄2= −12= 𝐵

Giải hệ phương trình:

{𝑃𝑟′𝑃𝑟′𝑄1= 0

𝑄2= 0 ⇔ {

−5𝑄1−12𝑄2+ 32,5 = 0

−12 𝑄1− 4𝑄2+ 17,5 = 0 {

𝑄1= 48579

𝑄2= 285

79

79; 28579)

∆ = AC – B = 19,75 > 0 và A = 5 < 02 −

⇒ M là điểm cực đại với Pr max = 8795

79

Kết luận: Vậy để tối ưu hóa lợi nhuậ cực đại, công ty cần sản xuất mức sản n lượng Q1= 48579; Q2 = 285 79 Khi đó lợi nhuận tối đa là Pr max = 879579

19

BẢNG ĐÁNH GIÁ

20