Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di độngMột số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động
Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình
Trong mục này, kí hiệu P n ( C ) là không gian xạ ảnh phức n chiều Trên P n ( C ) , ta chọn cố định một hệ tọa độ thuần nhất (w 0 : ã ã ã : w n ) Chỳng tụi sẽ nhắc lại một số định nghĩa và kết quả của lí thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình từ C vào P n ( C )
Cho f là một đường cong chỉnh hình từ C vào P n ( C ) với một biểu diễn rút gọn f ˜ = (f 0 , , f n ) tương ứng với hệ tọa độ thuần nhất đã chọn của P n ( C ) , trong đó f 0 , , f n là các hàm chỉnh hình không có không điểm chung trên C. Định nghĩa 1.2.1 Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi
Cho H là một siêu phẳng trong P n ( C ) có phương trình (trong hệ tọa độ thuần nhất đã chọn): n
X i=0 a i ω i = 0 với các hệ số a 0 , , a n ∈C không đồng thời bằng không Như vậy, H được xem như là một divisor rút gọn trong không gian xạ ảnh P n ( C ) Đặt
Nếu f (C ) ̸⊂ H thì ( ˜ f , H ) ̸≡ 0 và divisor không điểm của hàm ( ˜ f , H) không phụ thuộc vào cách chọn biểu diễn rút gọn f ˜ củaf và cách chọn các hệ sốa i Do vậy, ta kí hiệu divisor này bởi ν (f,H) và kí hiệu N f (r, H) là hàm đếm của nó Theo công thức Jensen (xem [1], Định lí 1.2), ta có
0 log|( ˜ f , H )(e iθ )|dθ, (r > 1). Định nghĩa 1.2.2 Hàm xấp xỉ của f tương ứng với H được định nghĩa bởi m f (r, H ) = 1
|( ˜ f , H )(re iθ )| dθ. Định nghĩa trên cũng không phụ thuộc vào cách chọn biểu diễn rút gọnf ˜ củaf và cách chọn các hệ số a i
Từ các định nghĩa và công thức trên, ta dễ dàng có được Định lí cơ bản thứ nhất sau. Định lí 1.2.3 Cho H là một siêu phẳng trong P n ( C ) và f đường cong chỉnh hình từ C vào P n ( C ) có ảnh không được chứa trong H Khi đó, ta có
T f (r) = N f (r, H) + m f (r, H) + O(1). Định nghĩa 1.2.4 Đường cong chỉnh hình f :C → P n ( C ) được gọi là suy biến tuyến tính nếu ảnh của f được chứa trong một không gian con tuyến tính thực sự của P n ( C ) Trong trường hợp ngược lại, ta nói f không suy biến tuyến tính.
Vậy f suy biến tuyến tính khi và chỉ khi f 0 , , f n là phụ thuộc tuyến tính trên
C, trong đó (f 0 , , f n ) là một biểu diễn rút gọn như trên của f. Định nghĩa 1.2.5 Một họ q siêu phẳng trong P n ( C ) được nói là ở vị trí tổng quát nếu giao của bất kì n + 1 siêu phẳng nào trong họ đó đều là tập rỗng. Năm 2005, J Noguchi đã chứng minh Định lí cơ bản thứ hai như sau: Định lí 1.2.6 ([20]) Cho f là một đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính từC và P n ( C ) và cho {H i } q i=1 (q ≥ n + 2) là một họ q siêu phẳng trong P n ( C ) ở vị trí tổng quát Khi đó, ta có
Trong trường hợp n = 1, ta có thể xem f như một hàm phân hình và ta cũng có
Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ
Trong mục này, chúng tôi chứng minh các bổ đề về mối quan hệ giữa hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của các cặp hàm nhỏ và sử dụng các kết quả này để chứng minh Định lí 1.3.6.
Chúng tôi đưa ra ở đây các bổ đề sau về quan hệ giữa hàm đếm ngắt bội ở mức 1 và hàm đặc trưng của các hàm phân hình với các hàm nhỏ.
Bổ đề 1.3.1 ([14]) Cho f 1 và f 2 là hai hàm phân hình khác hằng thỏa mãn
Nếu(f 1 s f 2 t −1)không đồng nhất bằng không với mọi số nguyên s và t (|s|+ |t| > 0), thì với số dương ϵ bất kì, ta có
N 0 (r, 1; f 1 , f 2 ) ≤ ϵ(T (r, f 1 ) + T (r, f 2 )) trong đó N 0 (r, 1; f 1 , f 2 ) là hàm đếm thu gọn các 1-điểm chung của f 1 và f 2
Bổ đề 1.3.2 Cho f là một hàm phân hình khác hằng và a là một hàm nhỏ (đối với f) Khi đó, với mỗi số nguyên dương k (k có thể là +∞), ta có
Chứng minh Ta có các đẳng thức và bất đẳng thức divisor như sau. min{1, ν f−a 0 } = min{1, ν f−a,≤k 0 } + min{1, ν f−a,>k 0 }
1 − 1 k + 1 min{1, ν f−a,≤k 0 } + 1 k + 1 ν f−a 0 Tích phân các vế của bất đẳng thức trên ta được:
Bổ đề được chứng minh.
Chúng tôi chứng minh các bổ đề sau về mối quan hệ giữa hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của q cặp hàm nhỏ không kể bội trong các trường hợpq = 3 và q = 4.
Bổ đề 1.3.3 Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C Cho {a i } 3 i=1 và {b i } 3 i=1 là các hàm phân hình nhỏ so với f và g, sao cho a i ̸= a j và b i ̸= b j với mọi 1 ≤ i < j ≤ 3 Giả sử rằng min{1, ν f−a 0 i ,≤k (z)} = min{1, ν g−b 0 i ,≤k (z)} (1 ≤ i ≤ 3) với mọi z nằm ngoài một tập con rời rạc S có hàm đếm bằng S(r, f ) Nếu k ≥ 3 thì || T (r, f ) = O(T (r, g)) và || T (r, g) = O(T (r, f )) Đặc biệt, S(r, f ) = S(r, g).
Chứng minh Theo Định lí cơ bản thứ hai (Định lí 1.1.8), ta có
= 3k k + 1 T (r, g) + S(r, f ). Điều này suy ra || T (r, f ) = O(T (r, g)) Tương tự,
Vậy, ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.3.4 Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C, a i và b i (i =
1, 2, 3, 4; a i ̸= a j , b i ̸= b j , i ̸= j ) là các hàm nhỏ (so với f và g) sao cho min{1, ν f 0 −a i ,≤k (z)} = min{1, ν g−b 0 i ,≤k (z)} (1 ≤ i ≤ 4) với mọi z nằm ngoài một tập con rời rạc S có hàm đếm bằng S(r, f) + S(r, g).Giả sử rằng f là một biến đổi tựa M¨obius của g Nếu k ≥ 3 thì có một hoán vị
Chứng minh Nhờ Bổ đề 1.3.3, ta suy ra S(r, f ) = S(r, g) Giả sử rằng chỉ có một chỉ sối 0 ∈ {1, 2, 3, 4} sao cho N ≤k [1] (r, ν f−a 0 i 0
) ̸= S(r, f ) Như vậy, theo Định lí 1.1.7, ta thấy
Từ đó, suy ra2 ≤ 1 + 3 k + 1 hayk ≤ 2 Đây là điều mâu thuẫn Do đó, có ít nhất hai chỉ số i 1 , i 2 trong {1, 2, 3, 4} sao cho
Kí hiệu i 3 , i 4 là các chỉ số còn lại, chẳng hạn, {i 1 , i 2 , i 3 , i 4 } = {1, 2, 3, 4} Ta đặt
Khi đó, ta có các khẳng định sau đây:
• min{ν F−a,≤k 0 (z), 1} = min{ν G−b,≤k 0 (z), 1}, (a, b) ∈ {(0, 0), (1, 1), (∞, ∞), (A, B)} và với mọi z nằm ngoài một tập rời rạc có hàm đếm bằng S(r, f ).
Do f và g là biến đổi tựa M¨obius của nhau nên F và G cũng là biến đổi tựa M¨obius của nhau Vì vậy, tồn tại bốn hàm nhỏ (đối vớif)α, β, γ, λvớiαλ−βγ ̸= 0 sao cho
Theo giả thiết, ta có 0 = β(z) λ(z) với mọi z ∈ Supp ν f−a 0 i 1 ,≤k nằm ngoài một tập rời rạc có hàm đếm bằng S(r, f ) Từ đó suy ra β λ ≡ 0 hay, β ≡ 0.
Tương tự, ta có γ(z) α(z) = 0 với mọi z ∈ Supp ν f−a 0 i 2 ,≤k nằm ngoài một tập rời rạc có hàm đếm bằng S(r, f ), và do đó γ α ≡ 0, hay, γ ≡ 0.
) = N ≤k [1] (r, ν F 0 −1 ) + S(r, f ) ≤ N [1] (r, ν 0 α γ −1 ) + S(r, f ) = S(r, f ). Tương tự, với (1.1), ta có
Từ đây suy ra k ≤ 2 Điều này là mâu thuẫn với giả thiết của bổ đề.
A } Ta có ba trường hợp sau:
Trường hợp 1: α λ ≡ 1 Khi đó, ta có G = F, hay là f−a f−a i 1 i 2 ã a a i 3 −a i 2 i 3 −a i 1
Từ đây suy ra kết luận của bổ đề.
A F, hay là f−a f−a i 1 i 2 ã a a i 4 −a i 2 i 4 −a i 1 = g−b g−b i 1 i 2 ã b b i 4 −b i 2 i 4 −b i 1 Sau khi đổi các chỉ số i 3 và i 4, ta có kết luận của bổ đề.
Trường hợp 3: α λ ≡ B Khi đó, ta có G = BF, hay là f−a f−a i 1 i 2 ã a a i 3 −a i 2 i 3 −a i 1
Từ đây suy ra kết luận của bổ đề.
Như vậy, ba trường hợp trên đã chứng minh đầy đủ Bổ đề 1.3.4.
Mệnh đề sau đưa ra một đánh giá cho các hàm đếm divisor của hai hàm phân hình và các cặp hàm nhỏ tương ứng của chúng.
Mệnh đề 1.3.5 Cho F và G là các hàm phân hình khác hằng, A i và B i (i =
1, 2, 3; A i ̸= A j , B i ̸= B j , i ̸= j) là các hàm nhỏ (so với F và G) Giả sử F không là một biến đổi tựa M¨obius của G Khi đó, với mọi số n nguyên dương, ta có:
N (r, ν ) ≤ N [1] (r, |ν F 0 −A 1 − ν G−B 0 1 |) + N [1] (r, |ν F 0 −A 2 − ν G−B 0 2 |) + S(r), trong đó S(r) = o(T (r, F ) + T (r, G)) nằm ngoài một tập có độ đo Borel hữu hạn của [1, +∞) và ν là divisor cho bởi ν(z) = max{0, min{ν F 0 −A
Chứng minh Xét các hàm phân hình F − A 1
B 3 − B 1 thay thế cho F và G, ta giả sử rằng A 1 = B 1 = 0, A 2 = B 2 = ∞ và A 3 = B 3 = 1 Từ giả thiết, F không là một phép biến đổi tựa M¨obius của G, ta có
Theo Bổ đề đạo hàm logarit, ta suy ra m(r, H) ≤ m(r, F ′
Ta thấy rằng, H chỉ có các cực điểm bội một và nếu z là một cực điểm của H thì z phải thỏa mãn ν F 0 (z) ̸= ν G 0 (z) hoặc ν F ∞ (z) ̸= ν G ∞ (z) Từ đó suy ra
Mặt khác, nếu (F − 1) và (G − 1) có một không điểm chung là z thì z sẽ là một không điểm của H = F −G G ′
/( F G ) với bội không bé hơn (min{ν F 0 −1 (z), ν G−1 0 (z)} − 1) Điều này suy ra
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Các bổ đề và mệnh đề trên sẽ giúp chúng tôi chứng minh kết quả chính đầu tiên về mối liên hệ giữa hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của ba cặp CM 4 ∗ và một cặp IM ∗ dưới đây Kết quả này được phát biểu như sau. Định lí 1.3.6 Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và a i , b i (i =
1, , 4; a i ̸= a j , b i ̸= b j ∀i ̸= j) là các hàm nhỏ tương ứng so với f và g Nếu f và g có chung ảnh ngược IM ∗ của cặp hàm nhỏ (a 1 , b 1 ) và có chung ảnh ngược
CM 4 ∗ của ba cặp hàm nhỏ (a i , b i ), (i = 2, 3, 4) thì f là một biến đổi tựa M¨obius của g Hơn nữa, tồn tại một hoán vị (i 1 , i 2 , i 3 , i 4 ) của {1, 2, 3, 4} sao cho f − a i 1 f − a i ã a i 3 − a i 2 a i − a i
Chứng minh Giả sử f không là một biến đổi tựa M¨obius của g Theo Bổ đề 1.3.3, ta có S(r, f ) = S(r, g) Với mỗi 1 ≤ i ≤ 4, ta định nghĩa một divisor ν i bởi ν i (z) = max{0, min{ν f−a 0 i (z), ν g−b 0 i (z)} − 1}.
Theo giả thiết của định lí và theo Mệnh đề 1.3.5, với một hoán vị (i, j, s) của {2, 3, 4} ta có các ước lượng sau:
Từ các bất đẳng thức này, ta được
Ta đặt f 1 = f − a 2 f − a 3 g − a 3 g − a 2 và f 2 = f − a 2 f − a 4 g − a 4 g − a 2 Khi đó, dễ thấy rằng
N [1] (r, ν f 0 2 ) + N [1] (r, ν f ∞ 2 ) ≤ N >1 [1] (r, ν f−a 0 2 ) + N >1 [1] (r, ν f−a 0 4 ) = S(r, f ). Điều này cho thấy hàm đếm của các tập không điểm của f − a i và g − b i bằng S(r, f ) Như vậy, với i = 2, 3, 4, ta có ν f−a 0 i (z) = ν g−a 0 i (z) ∈ {0, 1} với mọi z ∈C, ngoài một tập rời rạc có hàm đếm bằng S(r, f) Do đó, f và g có chung ảnh ngược CM ∗ của các cặp (a i , b i ) với i = 2, 3, 4 Theo Định lí A, ta thấy f là một biến đổi tựa M¨obius của g Như vậy, điều giả sử là không đúng.
Do đó, f là một biến đổi tựa M¨obius của g và kết luận của định lí được suy ra từ Bổ đề 1.3.4.
Trong phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh một định lí về mối liên hệ giữa hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ có đếm bội được ngắt ở mức 4 và bỏ qua các không điểm có bội lớn hơn 865. Định lí 1.3.7 Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C, a i và b i (i = 1, , 4; a i ̸= a j , b i ̸= b j , i ̸= j) là các hàm nhỏ (so với f và g) Giả sử rằng min{ν f−a 0 i ,≤k (z), 4} = min{ν g−b 0 i ,≤k (z), 4} (1 ≤ i ≤ 4) với mọi z nằm ngoài một tập rời rạc S có hàm đếm bằng S(r, f ) + S(r, g) Nếu k > 865 thì có một hoán vị (i 1 , i 2 , i 3 , i 4 ) của {1, 2, 3, 4} sao cho f − a i 1 f − a i 2 ã a i 3 − a i 2 a i 3 − a i 1
Chứng minh Giả sử f không là một biến đổi tựa M¨obius của g Theo Bổ đề 1.3.3, ta có S(r, f ) = S(r, g).
Với mỗi 1 ≤ i ≤ 4, ta định nghĩa divisor ν i và à i bởi ν i (z) = max{0, min{ν f−a 0 i (z), ν g−b 0 i (z)} − 1}, à i (z) = min{1, |ν f−a 0 i (z) − ν g−b 0 i (z)|}.
Lấy ba chỉ số i, j, t trong tập chỉ số {1, 2, 3, 4} Theo Mệnh đề 1.3.5 và giả thiết của định lí, ta có
Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức trên theo mọi tập con {i, j, t} của {1, 2, 3, 4}, ta được
Ta thấy α ̸= 1, β ̸= 1, c 1 ̸= c 2 , c ′ 1 ̸= c ′ 2 , và c i , c ′ i (1 ≤ i ≤ 2) đều là hàm nhỏ so với f và
N [1] (r, ν h 0 i ) + N [1] (r, ν h ∞ i ) = N [1] (r, à i ) + S(r, f ) (1 ≤ i ≤ 4) (1.4) Theo cách đặt, ta có hệ phương trình:
F 1 − h 1 G 1 = 0 Điều này cho ta det
Ta đặt h {1,2} = (1 − α)h 1 h 2 , h {1,3} = −h 1 h 3 , h {1,4} = βh 1 h 4 , h {2,3} = αh 2 h 3 , h {2,4} = −h 2 h 4 , h {3,4} = (1 − β)h 3 h 4 Phương trình trên được viết lại thành
Tồn tại hàm phân hình d trên C sao cho dh {i,j} (1 ≤ i < j ≤ 4) là các hàm chỉnh hình không có không điểm chung trên C Khi đó, ta thấy
Như vậy, nếu gọi I là tập tất cả các tập con hai phần tử của {1, 2, 3, 4} thì với mọi I 0 ∈ I, ta có dh I 0 = −X
I̸=I 0 dh I Khi đó tồn tại số nguyên dương ℓ nhỏ nhất sao cho dh I 0 =
X v=1 b v dh I v với I 1 , ., I ℓ ∈ I \ {I 0 } và b 1 , , b ℓ là các hằng số khác không nào đó Bởi tính cực tiểu của ℓ, họ {dh I 1 , , dh I ℓ } là độc lập tuyến tính trên C.
Trường hợp 2: ℓ ≥ 2 Xét đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính h :C → P ℓ−1 ( C ) với biểu diễn h = (dh I 1 : ã ã ã : dh I ℓ ) Áp dụng Định lớ 1.2.6, ta cú
Xét các hàm hữu tỷ:
Với mỗi tập conI của{1, , 4}, ta gọi I c là phần bù của I trong {1, , 4} Khi đó, với 0 ≤ u < v ≤ ℓ và i ∈ ((I v ∪ I u ) \ (I u ∩ I v )) c , ta có
Iu \ Iv hj Q j∈ Iv \ Iu hj −
Q j∈ Iu \ Iv Lj ( ai ) Q j∈ Iv \ Iu Lj ( ai )
Theo Định lí cơ bản thứ hai của K Yamanoi (Định lí 1.1.7), ta có
865 k + 865 N (r, ν u 0 ) + S(r, f ) ≤ 4 ã 865 k + 865 T (r) + S(r, f ). với mọi ϵ > 0 tùy ý Cho r tiến tới +∞, ta được
2 − ϵ ≤ 4 ã 865 k + 865 Bất đẳng thức trên thỏa mãn với mọi ϵ > 0, nên khi cho ϵ tiến tới 0 ta được
2 ≤ 4 ã 865 k + 865 hay k ≤ 865. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Như vậy từ hai trường hợp trên, ta luôn có: với mỗi I ∈ I, tồn tại J ∈ I \ {I} thỏa mãn h I h J là hàm hằng khác không Do đó phải xảy ra ít nhất một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp a: Tồn tại I = {i, j}, J = {i, l}, j ̸= l, với h I h J là hàm hằng Như vậy h j = ah l với a ∈ R f Khi đó, hiển nhiên f là một biến đổi tựa M¨obius của g. Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu.
Trường hợp b: h {1,2} = bh {3,4} và h {1,3} = ch {2,4} với b, c là các hằng số khác không Như vậy
1 − α Suy ra h 1 h 4 là hàm nhỏ so với f Như vậy f cũng lại là một biến đổi tựa M¨obius của g Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu.
Do đó điều giả sử ban đầu là không đúng, hay f phải là một biến đổi tựaM¨obius của g Cuối cùng, kết luận của định lí được suy ra nhờ áp dụng Bổ đề1.3.4.
Chương 2 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÊN C m GIAO VỚI CÁC SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI HÀM ĐẾM CÓ
Trong chương này, chúng tôi chứng minh Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từC m vào P n ( C ) với mục tiêu di động và các hàm đếm có trọng được chặn bội Dựa vào định lí này chúng tôi chứng minh định lí về sự phụ thuộc đại số của một họ các ánh xạ phân hình từ C m vào P n ( C )
Trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả của lí thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ C m vào P n ( C ) Trong mục thứ hai và mục thứ ba, chúng tôi lần lượt chứng minh hai định lí quan trọng nêu trên.Chương này được viết dựa vào bài báo số [2] được liệt kê trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án.
Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình trên C m vào không
trên C m vào không gian xạ ảnh và các siêu phẳng Để chuẩn bị cho việc chứng minh hai định lí chính của chương này trong phần sau, chúng tôi sẽ nhắc lại các hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ C m vào P n ( C ) Sau đó, chúng tôi giới thiệu Định lí cơ bản thứ nhất cho các ánh xạ đó với mục tiêu di động. Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng ta đưa ra một số kí hiệu sau.
TrongC m , xột chuẩn Euclid∥z∥ := (|z 1 | 2 +ã ã ã +|z m | 2 ) 1/2 vớiz = (z 1 , , z m ) ∈C m
B(r) := {z ∈C m : ∥z∥ < r}, S(r) := {z ∈C m : ∥z∥ = r}, (0 < r < ∞). Định nghĩa 2.1.1 Một divisor ν trên C m là một tổng hình thức có dạng ν =X λ∈Λ à λ X λ , trong đú à λ ∈ Z với mọi λ ∈ Λ và {X λ } λ∈Λ là họ hữu hạn địa phương cỏc siờu mặt giải tích bất khả quy phân biệt trong C m
Nếu à λ ̸= 0 thỡ biểu thức P λ∈Λ à λ X λ được gọi là biểu diễn bất khả quy của ν. Giỏ của divisorν được xỏc định bởi Supp(ν) = ∪ à λ ̸=0 X λ Hơn nữa, ta cú thể xem divisor ν như một hàm trên C m với giá trị nguyên bằng cách đặt: ν(z) = X
Như vậy, ta thấy Supp(ν) = {z|ν(z) ̸= 0}. Định nghĩa 2.1.2 (Hàm đếm chặn bội của một divisor) Cho divisor ν trên C m và cho k > 0 là một số tự nhiên hoặc k = +∞ Hàm đếm được chặn bội đến bậc k của ν được định nghĩa bởi
Ta bỏ kí hiệu [k] bên trên trong N [k] (r, ν) nếu k = +∞.
Mỗi siêu mặt giải tích E của C m có thể xem là một divisor rút gọn với giá là chính nó và hàm đếm của E cũng được kí hiệu là N (r, E ).
Cho f là một hàm chỉnh hình trên C m , A = {f = 0} là siêu mặt giải tích trên C m Kí hiệu R(A) và S(A) lần lượt là tập các điểm chính quy và tập các điểm kì dị của A Giả sử A có phân tích bất khả quy A = ∪ λ A λ Khi đó, với mỗi x ∈ R(A λ ) \ S(A), tồn tại một lân cận U củax cùng với một hệ tọa độ địa phương z 1 , , z m trênU sao chox = (0, , 0), U ∩ A = {z ∈ U ; z 1 = 0}và f| U (z) = z 1 mλ g λ với g λ là hàm chỉnh hình không có không điểm trên U Số m λ chỉ phụ thuộc vào
A λ mà không phụ thuộc vào lân cận U Khi đó, divisor xác định bởif được định nghĩa bởi ν f =X λ m λ A λ
Nếu f là một hàm phân hình trên C m thì tồn tại một phủ mởU λ của U sao cho trên mỗi U λ hàm f được viết dưới dạng f = g λ h λ với g λ và h λ là các hàm chỉnh hình, h λ ̸≡ 0; {g λ = h λ = 0} là tập con giải tích có đối chiều 2 của U λ Khi đó, g λ h λ = g β h β trên U λ ∩ U β ̸= 0. Định nghĩa 2.1.3 Divisor không điểm, divisor cực điểm và divisor xác định bởi f lần lượt được định nghĩa như sau: ν f 0 = ν g λ , ν f ∞ = ν h λ và ν f = ν f 0 − ν f ∞ trên U λ
Với f là ánh xạ phân hình khác không trên C m , chúng ta cũng sử dụng kí hiệu N f [k] (r) để chỉ hàm đếm chặn bội k của divisor không điểm của f, nghĩa là
Cho f : C m → P n ( C ) là một ánh xạ phân hình khác hằng với biểu diễn rút gọn f ˜ = (f 0 , , f n ) Nghĩa là f 0 , , f n là các hàm chỉnh hình trên C m có tập cỏc khụng điểm chung I f = {f 0 = ã ã ã = f n = 0} là một tập con giải tớch cú đối chiều ớt nhất 2 của C m và f (z) = (f 0 (z) : ã ã ã : f n (z)) với mọi z ̸∈ I f Tập I f được gọi là tập không xác định của f.
Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi
(r > s 0 > 0), với ∥ f ˜ ∥ = (|f 0 | 2 ) + ã ã ã + |f n | 2 ) 1/2 Theo cụng thức Jensen, ta cú
S(1) log∥ f∥σ ˜ m với σ m (z) := d c log∥z∥ 2 ∧ dd c log∥z∥ 2 m−1 trên C m \ {0}
Cho a là một ánh xạ phân hình từ C m vào P n ( C ) ∗ với biểu diễn rút gọn ˜ a =(a 0 , ã ã ã , a n ). Định nghĩa 2.1.4 Ánh xạ a như trên được gọi là một siêu phẳng di động hay mục tiêu di động Siêu phẳng di động a được nói là di động chậm đối với f nếu
Hàm xấp xỉ của f ứng với a được xác định bởi m f,a (r) =
|( ˜ f , a)| ˜ σ m , trong đó ( ˜ f , ˜ a) = Pn i=0 f i a i Ta thấy, định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các biểu diễn rút gonf ˜ và ˜ a Hơn nữa, giá trị của divisor ν ( ˜ f ,˜ a) cũng không phụ thuộc vào cách chọn các biểu diễn này Vì vậy divisor này được kí hiệu là ν (f,a) Định lí 2.1.5 (Định lí cơ bản thứ nhất [32]) Cho f là ánh xạ phân hình từ C m vào P n ( C ) và a là một ánh xạ phân hình từ C m vào P n ( C ) ∗ sao cho (f, a) ̸≡ 0. Khi đó
Cho φ là một hàm phân hình trên C m Tương tự như trường hợp một biến, hàm xấp xỉ của φ được định nghĩa bởi m(r, φ) =
Hàm đặc trưng Nevanlinna của φđược định nghĩa bởi
Nếu xem φ là ánh xạ phân hình từ C m vào P 1 ( C ) thì ta cũng có
Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến một bất đẳng thức gần tương tự định lí cơ bản thứ nhất cho tích của một họ các ánh xạ phân hình Đây là kết quả cần thiết trong việc chứng minh định lý về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình Trước tiên, ta có khái niệm về họ véc tơ ở vị trí đặc biệt trong không gian như sau.
Cho V là một không gian vector phức có số chiều N ≥ 1 Các vector {v 1 , , v k } được gọi là ở vị trớ tổng quỏt nếu với mỗi cỏch chọn cỏc số nguyờn1 ≤ i 1 < ã ã ã < i p ≤ k với p ≤ N thỡ v i 1 ∧ ã ã ã ∧ v i p ̸= 0 Cỏc vector {v 1 , , v k } được gọi là ở vị trí đặc biệt nếu chúng không phải là ở vị trí tổng quát Với 1 ≤ p ≤ k, ta nói {v 1 , , v k } được gọi là ở vị trí p- đặc biệt nếu với mỗi cách chọn các số nguyên
1 ≤ i 1 < ã ã ã < i p ≤ k thỡ cỏc vector v i 1 , , v i p ở vị trớ đặc biệt. Định lí 2.1.6 ([39], Định lí 2.1) Cho M là một đa tạp phức liên thông với số chiều m Cho A là một tập con giải tích thuần túy (m − 1)-chiều của M Cho V là một không gian véc tơ phức có số chiều n + 1 > 1 Lấy các số nguyên p và k thỏa mãn 1 ≤ p ≤ k ≤ n + 1 Cho f i : M → P (V ), 1 ≤ i ≤ k, là các ánh xạ phân hình Giả sử rằng f 1 , , f k ở vị trí p-đặc biệt trên A Khi đó, ta có à f 1 ∧ããã∧f k ≥ (k − p + 1)ν A , trong đú à f 1 ∧ããã∧f k là divisor liờn kết với ỏnh xạ tớch f 1 ∧ ã ã ã ∧ f k và ν A là divisor rút gọn trên M với giá là A.
Sau đây chúng tôi phát biểu một bất đẳng thức gần tương tự Định lí cơ bản thứ nhất cho tích các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát của W Stoll. Định lí 2.1.7 (Xem [39]) Cho f i : C m → P n ( C ), 1 ≤ i ≤ k là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát Giả sử rằng 1 ≤ k ≤ n Khi đó
Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên C m giao với các siêu phẳng di động với các hàm đếm có trọng
trên C m giao với các siêu phẳng di động với các hàm đếm có trọng
Trong mục này, chúng tôi trích dẫn bổ đề của S Đ Quang [26] và sử dụng bổ đề này để chứng minh Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình và mục tiêu di động với hàm đếm có trọng.
Bổ đề 2.2.1 ([26], [25]) Cho f : C m → P n ( C ) là một ánh xạ phân hình và {a j } 2n−k+2 j=1 là các ánh xạ phân hình từ C m vào P n ( C ) ∗ ở vị trí tổng quát sao cho (f, a j ) ̸≡ 0 (1 ≤ j ≤ 2n − k + 2), trong đó rank R{a j } (f) = k + 1 Khi đó, tồn tại một tập con J ⊂ {1, , 2n − k + 2} với |J | = n + 2 thỏa mãn
Trong các kết quả trước đây về Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ C m vàoP n ( C ) với mục tiêu di động là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát (xem Định lí C và Định lí D đã nêu trong phần tổng quan) thì hàm đặc trưng của ánh xạ phân hình f được đánh giá chặn trên bởi tổng của các hàm đếm N (f,a [k] j ) (r). Tuy nhiên ta thấy rằng trong các bất đẳng thức đó thì các hàm đếm này có vai trò như nhau Năm 2016, S Đ Quang [24] đưa ra một kỹ thuật mới, trong đó mỗi hàm đếm có chặn bội đến mức k được xét với vai trò khác nhau và được gắn với một trọng số λ j khi dùng để đánh giá hàm đặc trưng trong Định lí cơ bản thứ hai Từ đó, S Đ Quang đã đạt được kết quả tổng quát hơn (xem Định lí E).
Một kết quả chính của chúng tôi trong chương này là cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từC m vào P n ( C ) , trong đó hàm đặc trưng bị chặn trên bởi tổng của các hàm đếm với các trọng số khác nhau Chúng tôi chứng minh định lí sau. Định lí 2.2.2 Cho f : C m → P n ( C ) là một ánh xạ phân hình Cho {a j } q j=1 (q ≥ 2n − k + 2) là các ánh xạ phân hình từ C m vào P n ( C ) ∗ ở vị trí tổng quát sao cho (f, a j ) ̸≡ 0 (1 ≤ j ≤ q) và λ 1 , , λ q là q số dương thỏa mãn
Khi đó, với mọi số dương η ∈h max 1≤j≤q λ j ,
Chứng minh Gọi I là tập tất cả các hoán vị của tập {1, , q} Với mỗi phần tử I = (i 1 , , i q ) ∈ I, ta đặt
Cố định một hoán vị I = (i 1 , , i q ) ∈ I Áp dụng Bổ đề 2.2.1, ta thấy tồn tại một tập con S ∈ {1, , 2n − k + 2} với |S| = n + 2 sao cho
Từ giả thiết của Định lí, ta có
(2.1) Cũng từ giả thiết, với mỗi l ∈ S, ta có
Khi đó, từ (2.1), với mọi r ∈ N I , ta có q
Do đó, với r ∈ N I , ta có
1≤j≤q T a j (r)).Định lí được chứng minh.
Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên C m có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động
trên C m có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động
Trong mục này, để xét tính phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên C m , chúng tôi trích dẫn bổ đề sau (xem L N Quỳnh [29]).
Bổ đề 2.3.1 ([29]) Cho h i :C m → P n ( C ) (1 ≤ i ≤ p ≤ n + 1) là các ánh xạ phân hỡnh với biểu diễn rỳt gọn h i := (h i0 : ã ã ã : h in ) Cho a i :C m → P n ( C ) ∗ (1 ≤ i ≤ p ≤ n +1)là cỏc siờu phẳng di động với biểu diễn rỳt gọna i := (a i0 : ã ã ã : a in ) Đặt h ˜ i := ((h i , a 1 ) : ã ã ã : (h i , a n+1 )) Giả sử a 1 , , a n+1 là ở vị trớ tổng quỏt sao cho (h i , a j ) ̸≡ 0 với 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n + 1 Lấy S là một tập con giải tích thuần túy (n − 1)-chiều của C m sao cho S ̸⊂ (a 1 ∧ ã ã ã ∧ a n+1 ) −1 {0} Khi đú, h 1 ∧ ã ã ã ∧ h p ≡ 0 trờn S khi và chỉ khi h ˜ 1 ∧ ã ã ã ∧ h ˜ p ≡ 0 trờn S.
Bằng cách sử dụng Định lí 2.2.2, chúng tôi chứng minh được định lí sau để chỉ ra điều kiện về tính phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ C m vào P n ( C ) Định lí 2.3.2 Cho f 1 , , f λ : C m → P n ( C ) (λ ≥ 2) là các ánh xạ phân hình khác hằng Cho a j : C m → P n ( C ) ∗ (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng di động chậm ở vị trớ tổng quỏt Giả sử rằng (f i , a j ) ̸≡ 0 và (f 1 , a j ) −1 {0} = ã ã ã = (f λ , a j ) −1 {0} với mỗi 1 ≤ i ≤ λ, 1 ≤ j ≤ q Kí hiệu A j = (f 1 , a j ) −1 ({0}) Cho l 1 , , l q là q số nguyên dương thỏa mãn 2 ≤ l j ≤ λ Giả sử rằng với mỗi z ∈ A j (1 ≤ j ≤ q) và với mọi 1 ≤ i 1 < ã ã ã < i l j < q,ta cú f i 1 (z) ∧ ã ã ã ∧ f i lj (z) = 0 Đặt ρ(z) = ♯{j |z ∈ A j } và d = lim r→+∞ sup{ρ(z) : |z| > r} Khi đó, nếu q > dλk(2n − k + 2) − dλ(k − 1) +Pq j=1 l j λ + 1 thỡ f 1 ∧ ã ã ã ∧ f λ ≡ 0 trờn C m
Chứng minh Giả sử rằng f 1 ∧ ã ã ã ∧ f λ ̸≡ 0 với λ ≤ n + 1 Ta đặt A = ∪ q i=1 A i và kí hiệu S là tập kì dị của A Với một tập có thứ tự gồm λ chỉ số phân biệt
Lấy một số dương r 0 > 1 sao cho ρ(r) = d với mọi r > r 0 Ta chứng minh khẳng định sau:
Nếu B I là không suy biến, tức là det B I ̸≡ 0 thì dX i∈I
1 ∧ããã∧ f ˜ λ (z) với mọi z ∈ C m \ (S ∪ Sλ i=1 I(f i ) ∪ (a i 1 ∧ ã ã ã ∧ a j λ )) −1 (0) với ||z|| > r 0 , trong đú f ˜ i := ((f i , a j 1 ) : ã ã ã : (f i , a j λ )).
Thật vậy, ta cố định một điểm z 0 ∈C m \ (S ∪ Sλ i=1 I(f i ) ∪ (a i 1 ∧ ã ã ã ∧ a j λ )) −1 (0) với ||z 0 || > r 0 Điều kiện để chứng minh bất đẳng thức trên là z 0 ∈ A Ta giả sử rằng:
• có t chỉ số trong I, chẳng hạn là j 0 , , j t sao cho z 0 ∈St i=1 A j i và z 0 ̸∈ A j i với mọi t < i ≤ λ (t có thể bằng 0),
• cós chỉ số trong I c , chẳng hạn làk 0 , , k s sao cho z 0 ∈Ss i=1 A k i và z 0 ̸∈ A k với mọi k ∈ I c \ {k 1 , , k s } (s có thể bằng 0), trong đó s + t ≤ d.
Lấy Γ là một tập con giải tích bất khả quy của A chứa z 0 Giả sử trong C m ta lấy U là một lân cận mở của z 0 sao cho U ∩ (A \ Γ) = ∅ Trên một lân cận U ′ ⊂ U của z 0 ta chọn hàm chỉnh hình h i sao cho với mỗi 1 ≤ i ≤ t ν h i = min
Khi đó (f v , a j i ) = a vi h i (1 ≤ i ≤ t), trong đó a vi là các hàm chỉnh hình Do đó, ta có det B I = h 1 ã ã ã h t ã det
X i=1 dν h i (z 0 ) + dν g t+1 ∧ããã∧g λ (z 0 ), (2.2) trong đó g i = ((f 1 , a j i ), , (f λ , a j i )) với mọi 1 ≤ i ≤ λ. Đặt l = min{l j 1 , , l j t , k 1 , , k s } Theo giả thiết, trên tập giải tích Γ, ta có rank {g t+1 , , g λ } = rank {g 1 , , g λ } = rank { f ˜ 1 , , f ˜ λ } ≤ l.
Sử dụng Định lí 2.1.6, ta có ν g t+1 ∧ããã∧g λ (z 0 ) ≥ max{λ − t − l + 1, 0}.
Kết hợp bất đẳng thức này với (2.2), ta được dν f ˜
Do đó, khẳng định được chứng minh.
Ta tiếp tục chứng minh Định lí 2.3.2 Với mỗi 1 ≤ j ≤ q, đặt
Với mỗi hoán vị J = (j 1 , , j q ) của {1, , q}, đặt
Do đó, tồn tại một hoán vị, chẳng hạn là J 0 = (1, , q), sao cho R
T J 0 dr = +∞. Khi đó, ta có
Từ giả thiếtf 1 ∧ã ã ã∧f λ ̸≡ 0,tồn tại một tập cỏc chỉ số cú sắp thứ tựI = {i 1 , , i λ } với 1 = i 1 < ã ã ã < i λ ≤ n sao cho det B I ̸≡ 0 Ta thấy, với mỗi r ∈ T J 0 thỡ
X i=1 min{k, m i } − (λ − 1)k với mọi số nguyên không âm m 1 , , m λ Từ (2.2), ta có dX i∈I
Tích phân hai vế của bất đẳng thức trên, với mọi r > r 0 , ta được
Như vậy, với mọi r ∈ J 0 , r > r 0 , ta có dT (r) ≥ d λ
Do đó, với mỗi r ∈ T J 0 , r > r 0 , ta được dqλkT (r) ≥ q
Với mỗi 1 ≤ j ≤ q, đặt λ j = q(λ − l j + 1) + dλ(k − 1) Ta thấy rằng
Từ đó, áp dụng Định lí 2.2.2, với một số thực η ∈h max 1≤j≤q λ j ,
Từ bất đẳng thức này và (2.3), ta suy ra λ
1≤i≤q T a i (r)). Cho r tiến tới +∞, r ∈ T J 0 , ta được q 2 (λ + 1) + dqλ(k − 1) − q q
! Điều này là mõu thuẫn với giả thiết của định lớ Do đú, f 1 ∧ ã ã ã ∧ f λ ≡ 0, tức là {f 1 , , f λ } là phụ thuộc đại số.
Trong các định lí trước đây về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ C m vào không gian xạ ảnh phức của M Ru (Định lí F) [30] hay của P Đ. Thoan, P V Đức và S Đ Quang [43] thì số l trong giả thiết của các định lí đó là cố định với mọi siêu phẳng di động Định lí 2.3.2 ở trên chúng tôi đã xét trường hợp tổng quát hơn là số l này phụ thuộc vào các siêu phẳng di động. Tức là với mỗi siêu phẳng a j sẽ tương ứng với một số nguyên dương l j sao cho f i 1 ∧ ã ã ã ∧ f i lj = 0 trờnA j Do vậy, kết quả của Định lớ 2.3.2 là cải tiến hơn so với các kết quả trước đó.
Chương 3 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÊN ĐA TẠP PARABOLIC GIAO VỚI
CÁC SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả cơ bản của Lý thuyết phân bố giá trị cho các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic ở mục thứ nhất Trong mục thứ hai, chúng tôi chứng minh một kết quả cải tiến của Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic với mục tiêu di động dựa trên việc kết hợp các phương pháp trước đó của S Đ Quang và Q Yan Mục thứ ba, dựa trên kết quả của Định lí cơ bản thứ hai đó, chúng tôi chứng minh định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh phức.
Chương này được viết dựa vào bài báo số [3] được liệt kê trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án.
3.1 Lý thuyết Nevanlinna cho các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic
Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm về phân thớ đường thẳng chỉnh hình, phân thớ Hermit, lớp Chern trên đa tạp phức và một số định nghĩa cơ bản của Lý thuyết phân bố giá trị cho các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic Các nội dung này được tham khảo trong các tài liệu [1], [37] và [17].
3.1.1 Phân thớ đường thẳng chỉnh hình
Cho M là đa tạp phức m-chiều, L là đa tạp phức (m + 1)-chiều, π : L → M là toàn ánh chỉnh hình Khi đó, bộ ba (L, π, M ) được gọi là một phân thớ đường thẳng chỉnh hình trên M nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với mỗi x ∈ M, L x = π −1 (x) là không gian vector phức một chiều,
(ii) Với mỗi x ∈ M, tồn tại lân cận V x và hàm song chỉnh hình ϕ x : L| V x = π −1 (V x ) → V x ×C sao cho p 1 ◦ ϕ = π, p 2 ◦ ϕ x | π −1 (y) : π −1 (y) →C là đẳng cấu tuyến tính với mọiy ∈ V x trong đó p 1 và p 2 lần lượt là phép chiếu của V x ×Clên thành phần thứ nhất và thứ hai.
Cho(L, π, M ) là một phân thớ đường thẳng chỉnh hình Khi đó, tồn tại một phủ mở V λ của M và các hàm song chỉnh hình ϕ λ : L| V λ = π −1 (V λ ) → V λ ×C thỏa món ϕ λ | L x : L x → {x} ìC ∼ = C là ỏnh xạ tuyến tớnh và ϕ λà là cỏc hàm chỉnh hỡnh khụng cú khụng điểm, xỏc định trờn tập V λ ∩ V à ̸= ∅ thỏa món ϕ λ ◦ ϕ −1 à | (V λ ∩V à )ìC : (V λ ∩ V à ) ìC → (V λ ∩ V à ) ìC là song chỉnh hỡnh Khi đú, họ ϕ λà thỏa món điều kiện đối chu trỡnh:
Họ{V λ , ϕ λ }như trờn được gọi là phủ tầm thường húa địa phương củaL và{ϕ λà } được gọi là hệ hàm chuyển.
Ngược lại, nếu cho một phủ mởV λ củaM và họ cỏc hàm chỉnh hỡnh{ϕ λà } khụng cú khụng điểm, xỏc định trờn V λ ∩ V à ̸= ∅ thỏa món điều kiện đối chu trỡnh, khi đú ta cú thể xõy dựng một phõn thớ đường thẳng L trờn M nhận {ϕ λà } là hệ hàm chuyển (xem [1], trang 62).
Cho π : L → M là phân thớ đường thẳng chỉnh hình trên M, U là tập con mở của M Mỗi ánh xạ chỉnh hình (tương ứng là phân hình) ϕ : U → L sao cho π ◦ ϕ = id U được gọi là một nhát cắt chỉnh hình (tương ứng là nhát cắt phân hình) trên U của L Ta kí hiệu không gian véc tơ của tập các nhát cắt chỉnh hình này là Γ(U, L) (tương ứng là Γ mer (U, L)) Khi U = M, ϕ được gọi là nhát cắt toàn cục trên M.
3.1.2 Phân thớ đường thẳng Hermit và lớp Chern
Cho phân thớ đường thẳng chỉnh hình π : L → M Họ H = {H x } x∈M được gọi là một metric Hermit trên L nếu thỏa mãn các điều sau:
(ii) Với mỗi tập mởU ⊂ M, s ∈ Γ(U, L)thì hàmH x (s(x), s(x)) ∈ C ∞ (U) Phân thớ đường thẳng chỉnh hình L với một metric Hermit H trên đó được gọi là phân thớ đường thẳng Hermit, được kí hiệu là (L, H).
Gọi z = (z 1 , , z n ) là tọa độ phức trên C m , đặt z j = x j + iy j , (j = 1, , m) Ta đặt dz j = dx j + idy j , dz j = dx j − idy j
∂y j Cho m và k là các số nguyên dương, k ≤ m, ta kí hiệu
Với I = (i 1 , , i k ) ∈ {m; k} ta đặt dz I = dz i 1 ∧ ã ã ã ∧ dz i k , dz I = dz i 1 ∧ ã ã ã ∧ dz i k
Khi đó, với U là một tập mở trong C m , ta kí hiệu dạng vi phân khả vi kiểu(p, q) trên U ω = X
Cho L là phân thớ đường thẳng hermit trên M với metric Hermit H = {H λ }. Khi đó, dạng vi phân kiểu (1, 1) ω L,H = − i
2π ∂∂logH λ được gọi là dạng Chern của (L, H) Lớp tương đương của ω L,H trong H 2 (M,R ) được gọi là lớp Chern của (L, H ), kí hiệu bởi c 1 (L) Định nghĩa c 1 (L)không phụ thuộc vào metric Hermit đã chọn.
Cho M là một đa tạp phức, liên thông m-chiều Cho τ là một hàm không âm, không bị chặn trên M, thuộc lớp C ∞ Với r ≥ 0 và A ⊆ M, ta định nghĩa
Nếu M [r] là compact với mỗi r > 0 thì hàm τ được gọi là một vét cạn của
M Hàm τ được gọi là một vét cạn parabolic và (M, τ ) được gọi là một đa tạp parabolic nếu ω ≥ 0, ω m ≡ 0, v m ̸≡ 0 trên M ∗
Nếu π : M →C m là một ánh xạ riêng, chỉnh hình, toàn ánh thì τ = ||π|| 2 là một vét cạn parabolic của M được gọi là vét cạn phủ parabolic Do đó mọi đa tạp đại số affine là đa tạp parabolic.
Cho τ là một vét cạn parabolic của M thì τ v m = mτ m dτ ∧ σ và dσ = 0
Khi đó, R + − R ˆ τ có độ đo không Nếu r ∈ R ˆ τ thì M ⟨r⟩ là biên của M(r)và M ⟨r⟩ là một đa tạp con khả vi (2m − 1)-chiều, thuộc C ∞ , định hướng được bên ngoài
Nếu r và s phụ thuộc vào R ˆ τ với 0 < s < r, thì do dσ = 0 ta suy ra
M ⟨r⟩ σ là một hằng số dương, không phụ thuộc vào r. 3.1.4 Divisor
ChoM là một đa tạp phức Tương tự như trường hợp không gian phứcC m , mỗi divisor D trên M là một tổng hình thức có dạng
D =X λ∈Λ a λ X λ , trong đó a λ ∈ Z với mọi λ ∈ Λ và {X λ } λ∈Λ là họ hữu hạn địa phương các siêu mặt giải tích bất khả quy phân biệt trong M Biểu thức P λ∈Λ a λ X λ gọi là biểu diễn bất khả quy của D Nếu a λ ≥ 0 với mọi λ ∈ Λ thì D được gọi là divisor không âm Giá của divisor D được xác định bởi S :=SuppD = ∪ a λ ̸=0 X λ là một tập con giải tích của M có số chiều thuần túy bằng m − 1.
Ta có thể đồng nhất mỗi divisor D trên M với một hàm số D : M →Z cho bởi
Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic
trên đa tạp parabolic giao với các siêu phẳng di động
Trong mục này, với mỗi ánh xạ phân hình f từ một đa tạp parabolic chấp nhận được M vào không gian xạ ảnh P n ( C ) , ta cố định một phủ mở {U λ } λ∈Λ của M và với mỗi λ ∈ Λ, cố định một biểu diễn rút gọn f λ = (f 0λ , , f nλ ) Khi đó, tồn tại hàm chỉnh hỡnh khỏc khụng h λà trờn U λ ∩ U à ̸= ∅ sao cho f λ = h λà f à
Ta thấy rằng họ h λà thỏa món điều kiện đối chu trỡnh, do đú nú xỏc định một phân thớ đường thẳng chỉnh hình H f với một họ tầm thường hóa địa phương
Cho g : M → P n ( C ) ∗ là một ánh xạ phân hình với biểu diễn rút gọn g λ = ( g 0λ , , g nλ ) Cũng như trên, g xác định một phân thớ đường thẳng chỉnh hình
H g với một họ tầm thường hóa địa phươngU λ , v λ Ta thấy
Ta kí hiệu (f, g) là lát cắt phân hình của H f ⊗ H g trên M cho bởi
Ta kí hiệuν (f,g) là divisor của lát cắt(f, g)và kí hiệu hàm đếm của nó làN (f,g) [L] (r), trong đó L là một số nguyên dương hoặc bằng +∞ Tương tự, ta định nghĩa lát cắt phân hình (f, ˜ g) của H f trên M bởi
Với các kí hiệu và định nghĩa ở trên, ta có bổ đề sau đây.
Bổ đề 3.2.1 Cho(M, τ )là một đa tạp parabolicm-chiều chấp nhận được với một hàm trội Y (r) Cho f : M →P n ( C ) là một ánh xạ phân hình khác hằng sao cho Ric τ = o(T f (r, s 0 )) và logY (r) = o(T f (r, s 0 )) khi r → ∞ Cho {g i } q−1 i=0 (q ≥ n + 1) là q ánh xạ phân hình của M vào P n ( C ) ∗ ở vị trí tổng quát, A i = Supp ν f,g i Giả sử rằng dim(A i ∩ A j ) ≤ m − 2 với i ̸= j Giả sử tồn tại một phân hoạch {0, , q − 1} = I 1 ∪ I 2 ã ã ã ∪ I l thỏa món:
(i) {(f, ˜ g i )} i∈I 1 là phụ thuộc tối tiểu trên R, và {(f, ˜ g i )} i∈I t là độc lập tuyến tính trên R (2 ≤ t ≤ l),
(ii) Với mọi 2 ≤ i ≤ l, j ∈ I i , tồn tại các hàm phân hình c j ∈ R \ {0} sao cho
0≤i≤q−1 T g i (r, s 0 )), trong đó n 0 = max{n 1 , , n t } với n 1 = ♯I 1 − 2 và n t = ♯I t − 1 với t = 2, , l.
Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằngI i = {t i−1 +1, , t i } (1 ≤ i ≤ l), với t 0 = −1 Theo tính phụ thuộc tối tiểu trên R của các tập {(f, g ˜ i )} i∈I 1 , thì tồn tại các hàm c i ∈ R \ {0} (1 ≤ i ≤ t 1 ) sao cho
Nếu ♯I 1 > 2, ta xét ánh xạ phân hình F 1 : M → P ♯I 1 −2 ( C ) cho bởi các biểu diễn rút gọn địa phương
F 1 λ = (h 1 λ c 1 (f λ , ˜ g 1 ), , h 1 λ c t 1 (f λ , g ˜ t 1 )) trên U λ , trong đó h i λ là các hàm phân hình khác không trên U λ Dễ thấy rằng
F 1 là không suy biến tuyến tính trên C Lấy g λi = (g λi0 , , g λin ), (1 ≤ i ≤ q) là biểu diễn rút gọn địa phương củag i trênU λ Theo giả thiếtdim(A i ∩ A j ) ≤ m − 2 với mọi i ̸= j, ν h 0 1 λ ≤ t 1
Kí hiệu H j 1 là dạng tuyến tính của các biến x 0 , , x t 1 −1 cho bởi H j 1 = x j−1 và kí hiệu H 0 1 là dạng tuyến tớnh cho bởi H 0 1 = x 1 + ã ã ã + x t 1 Rừ ràng, H 0 1 , H 1 1 , , H t 1 1 là ở vị trí tổng quát Theo Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu cố định (Định lí 3.1.4), ta có
(3.2) trong đó C 1 là một hằng số độc lập với f và có thể chọn chung cho mọi F i Nếu ♯I 1 = 2, ta xét ánh xạ phân hình F 1 : M →P 1 ( C ) cho bởi biểu diễn rút gọn địa phương
F 1 λ = (h 1 λ (f, g ˜ 1 ), h 1 λ c 1 (f, g ˜ 2 )) trên U λ , với h 1 λ là một hàm phân hình khác không trên U λ Như vậy, F 1 là một ánh xạ hằng Định nghĩa H 0 1 , H 1 1 và H 2 1 như ở trên Ta có
(3.4) trong đó,t 1 − 1 ≤ n 0 Với mỗi i (2 ≤ i ≤ l), theo giả thiết (ii), tồn tại một lát cắt
Ta xét ánh xạ phân hình F i : M →P ♯I i −1 với biểu diễn rút gọn địa phương trên
F i λ = (h i λ P i , h i λ c t i (f, ˜ g t i )) nếu♯I i = 1 trong đó h i λ là một hàm phân hình trên U λ Tương tự như trên, ta có các ước lượng tương tự (3.1) và (3.2) như sau ν h 0 i λ
H 0 i (F 1 ) (r) + C 1 [log + T F i (r, s 0 ) + Ric τ (r, s 0 ) + log + Y (r) + log + r]. Áp dụng Định lí cơ bản thứ nhất cho các siêu phẳng cố định (Định lí 3.1.3), từ bất đẳng thức trên, ta có m F i (r, H 0 i ) ≤ t i
Với mỗi 1 ≤ i ≤ l, j ∈ I i, Từ (3.1) và (3.5), ta suy ra
0≤j≤q−1 T g j (r, s 0 )), (3.8) trong đó số hạng cuối không phụ thuộc vàof Khi đó, Từ (3.3) và (3.8), ta được
1≤i≤l max T F i (r, s 0 ) ≤ C 2 [T f (r, s 0 ) + Ric τ (r, s 0 ) + log + Y (r) + log + r], (3.9) ở đó C 2 là một hằng số dương không phụ thuộc vào f.
Xét ánh xạ phân hìnhF : M →P t l ( C ) với biểu diễn rút gọnF λ = (F 0λ , ,F t l λ ) trên mỗiU λ với F jλ = h λ c j (f λ , g ˜ j ) (0 ≤ j ≤ t l ), trong đóh λ là một hàm phân hình trên U λ và c 0 = 1 với ν h 0 λ ≤ t l
Ta chứng minh bất đẳng thức sau.
0≤j≤q−1 T g j (r, s 0 )) (3.10) Thật vậy, với mỗi i (2 ≤ i ≤ l), tồn tại một hàm b i ∈ R sao cho
Từ đó, theo tính chất của log + , ta có l
X i=2 log + 1 b i + O(1), ở đây O(1) chỉ phụ thuộc vào t 1 , , t l
Từ bất đẳng thức trên, suy ra k
|h 1 λ | trên U λ , trong đó ∥.∥ κ là một metric Hermit trên các thớ của H f Như thế Γ F 1 được xác định Ta có phương trình dd c logΓ F 1 = dd c log∥F 1 λ ∥ + dd c log∥s λ ∥ κ − ν h 1 λ = (F 1 ) ∗ Ω F S − c 1 (H f , κ) − ν h 1 λ , trong đó Ω là dạng Fubini-Study, c 1 (H f , κ) là dạng Chern của phân thớ đường thẳng Hermit (H f , κ) Ở đây, ta thấy rằng các hàm {h 1 λ } xác định một divisor trên M, kí hiệu là ν h 1 Từ đây, theo công thức Green (xem trong [37]), ta có
|h λ | , lập luận tương tự như ở trên, ta có
0≤i≤q−1 T g i (r, s 0 )) (3.13)Kết hợp (3.11), (3.12) và (3.13), ta thu được bất đẳng thức (3.10).
(3.14) trong đó C 2 là một hằng số dương không phụ thuộc vào f Bây giờ ta so sánh
T F (r, s 0 ) với T f (r, s 0 ) Đặt Γ f = ∥f λ ∥ ã ∥s λ ∥ κ Tương tự như ở trờn, ta cú
Từ giả thiết, ta thấy {˜ g j } t j=0 l là ở vị trí tổng quát và t l ≥ n Do đó, tồn tại một hàm khác không C 3 ∈ R, không phụ thuộc vào f, thỏa mãn c 3 ∥f λ ∥ ≤ ∥F λ ∥/|h λ | với mọi λ ∈ Λ Do đó
Từ đây, ta suy ra
0≤j≤q−1 T g j (r, s 0 )), trong đó số hạng cuối không phụ thuộc vào f Kết hợp đánh giá này và (3.14), ta thấy rằng, tồn tại một hằng số dương C không phụ thuộc vào f sao cho
Bổ đề được chứng minh. Áp dụng bổ đề trên, chúng tôi chứng minh được Định lí cơ bản thứ hai sau đây cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic. Định lí 3.2.2 Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với hàm vét cạn parabolic τ và hàm trội Y (r) Cho s 0 là số dương cố định Cho f : M →
P n ( C ) là một ánh xạ phân hình khác hằng sao cho Ric τ (r, s 0 ) = o(T f (r, s 0 )) và logY (r) = o(T f (r, s 0 )) khi r → ∞ Cho g 1 , , g q : M →P n ( C ) ∗ là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát với q ≥ 2n − k + 2, trong đó rank R{g j } (f) = k + 1 Giả sử rằng (f, g j ) ̸≡ 0 với mọi 1 ≤ j ≤ q và dim(Supp ν (f,g 0 i ) ∩ Supp ν (f,g 0 j ) ) ≤ m − 2 với
1 ≤ i < j ≤ q Khi đó, các khẳng định sau là đúng:
Chứng minh Kí hiệu I là tập hợp tất cả các hoán vị của (1, , q) Với mỗi phần tử I = (i 1 , , i q ) ∈ I, ta đặt
Ta xét một phần tử I = (i 1 , , i q ) của I Ta sẽ xây dựng các tập conI t của tập
A 1 = {1, , 2n − k + 2} như sau Chọn một tập con tối tiểu I 1 của A thỏa mãn {(f, g ˜ i j )} j∈I 1 là phụ thuộc tối tiểu trên R Nếu rank R {(f, g ˜ i j )} j∈I 1 = k + 1 thì quá trình dừng lại Mặt khác, đặtI 1 ′ = {i; (f, g ˜ i ) ∈ {(f, g ˜ i j )} j∈I 1
Ta có ♯I 1 ∪ I 1 ′ ≤ n + 1 Xét hai trường hợp sau đây:
Trường hợp 1: ♯A 2 ≥ n + 1 Từ {˜ g i j } j∈A 2 là ở vị trí tổng quát,
Trường hợp 2: ♯A 2 < n + 1 Khi đó, ta có dim R (f, g ˜ i j ); j ∈ I 1
Ta thấy ♯I 1 ∪ I 1 ′ + ♯A 2 = 2n − k + 2 Từ hai bất đẳng thức trên, suy ra dim R (f, g ˜ i j ); j ∈ I 1
Do đó, từ hai trường hợp trên, ta có
Từ đó, ta có thể chọn một tập con tối tiểu I 2 ⊂ A 2 thỏa mãn rằng tồn tại các hàm chỉnh hình khác không c i ∈ R (i ∈ I 2 ),
Ta thấy rằng ♯I 2 ≥ 2 Theo tính tối tiểu của tập I 2 , họ {(f, g ˜ i j )} j∈I 2 là độc lập tuyến tính trên R Do đó, ♯I 2 ≤ k + 1 và
♯(I 2 ∪ I 2 ) ≤ min{2n − k + 2, n + k + 1}. Đến đây, ta sẽ chứng minh rằng dim (f, ˜ g i j ); j ∈ I 1
Thật vậy, nếu tồn tại hai vector độc lập tuyến tính x, y ∈ (f, g ˜ i j ); j ∈ I 1
R , trong đó x i , y i ∈ R, thì từ tính tối tiểu của tập I 2 , các hàm x i , y i là khác không. Khi đó, cố định i 0 ∈ I 2 , ta có
Do x, y là độc lập tuyến tính nên vế trái của khẳng định trên là khác không. Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của I 2 Do đó dim (f, g ˜ i j ); j ∈ I 1
Mặt khác, ta sẽ chỉ ra rằng ♯I 1 ∪ I 2 ≤ n + 2 Nếu rank R {(f, g ˜ i j )} j∈I 1 ∪I 2 = k + 1 thì quá trình dừng lại Ngược lại, bằng cách lặp lại chứng minh trên, ta có một tập conI 2 ′ = {i; (f, g ˜ i ) ∈ {(f, ˜ g i j )} j∈I 1 ∪I 2
}, một tập con I 3 củaA 3 = A 1 \ (I 1 ∪ I 2 ∪ I 2 ′ ), thỏa mãn các khẳng định sau:
• tồn tại các hàm phân hình khác không c i ∈ R (i ∈ I 3 ) sao cho
• {(f, g ˜ i j )} j∈I 3 là độc lập tuyến tính trên R,
Bằng phương pháp này, ta có thể xây dựng các tập con I 1 , , I l thỏa mãn:
(1) {(f, g ˜ i j )} j∈I 1 là phụ thuộc tối tiểu trên R, ♯I t ≥ 2 và {(f, g ˜ i j )} j∈I t là độc lập tuyến tính trên R (2 ≤ t ≤ l),
(2) với mọi 2 ≤ t ≤ l, j ∈ I t , tồn tại các hàm phân hình c j ∈ R \ {0} sao cho
Nếu♯I 1 = 2thì ta sẽ bỏ đi một phần tử từ I 1 và kết hợp phần tử còn lại vớiI 2 để được một tập I 1 mới Như vậy, ta có thể giả sử rằng ♯I 1 ≥ 3, ♯I t ≥ 2 (2 ≤ t ≤ l). Đặt n 1 = ♯I 1 − 2, n s = ♯I s − 1 (2 ≤ s ≤ l), n 0 = max 1≤s≤l n s , J = I 1 ∪ ã ã ã ∪ I l và d + 2 = ♯J Dễ thấy rằng
Từ việc hạng của tập hợp bất kỳ n + 1 hàm (f, g ˜ i ) là bằng k + 1, ta có
Mặt khác, ta thấy k + 1 + l = d + 2, do vậy n s = k − l
Do đó n 0 ≤ k(k + 2) d + 2 Họ các tập con I 1 , , I l thỏa mãn các giả thiết của Bổ đề 3.2.1 Như vậy, ta có
(a) Với mọi r ∈ N I , từ (3.15), ta có
Do ♯J = d + 2 ≤ n + 2, từ bất đẳng thức trên, ta suy ra rằng với r ∈ N I ta có
I∈I N I = R + và bất đẳng thức (3.16) đúng với mọi r ∈ N I , I ∈ I Từ đây, ta suy ra
Khẳng định (a) của định lí được chứng minh.
(b) Ta lặp lại chứng minh tương tự như trong chứng minh của khẳng định (a) ở trên Với mọi r ∈ M I , ta có
Ta thấy bất đẳng thức trên đúng với mọi r ∈ R + nằm ngoài một tập có độ đoBorel hữu hạn Như vậy khẳng định (b) của Định lí 3.2.2 được chứng minh.
Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên đa tạp
trên đa tạp parabolic có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động
Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát không đếm bội. Định lí 3.3.1 Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với hàm vét cạn parabolic τ và hàm trội Y (r) Cho f 1 , , f λ : M → P n ( C ) là các ánh xạ phân hình khác hằng với Ric τ (r, s) = o(T f t (r, s 0 )) và logY (r) = o(T f t (r, s)) khi r → ∞, 1 ≤ t ≤ λ Cho g 1 , , g q : M → P n ( C ) ∗ là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát thỏa mãn T g j (r, s 0 ) = o(max 1≤t≤λ T f t (r, s 0 )) và (f t , g j ) ̸≡ 0 với
1 ≤ j ≤ q, 1 ≤ t ≤ λ Giả sử A j = (f 1 , g j ) −1 (0) = (f 2 , g j ) −1 (0) = ã ã ã = (f λ , g j ) −1 (0) với mỗi j = 1, , q, và dim(A i ∩ A j ) ≤ m − 2 với 1 ≤ i ≤ j ≤ q Đặt A =Sq j=1 A j Giả sử f 1 , , f λ ở vị trí l−đặc biệt trên A, trong đó l là một số nguyên với
2 ≤ l ≤ λ Khi đó, nếu q > n(n + 2)λ λ − l + 1 thì f 1 , , f λ ở vị trí đặc biệt, tức là f 1 ∧ ã ã ã ∧ f λ ≡ 0 trờn M.
Chứng minh Ta xột vớiλ ≤ n + 1.Giả sử rằng f 1 ∧ ã ã ã ∧ f λ ̸≡ 0 Kớ hiệu ν f 1 ∧ããã∧f λ là divisor liờn kết với f 1 ∧ ã ã ã ∧ f λ và N f 1 ∧ããã∧f λ (r) là hàm đếm của divisor này. Với mọi 1 ≤ t ≤ λ, ta sẽ chứng minh khẳng định sau. q
(λ − l + 1) min{1, ν (f t ,g j ) } ≤ dν f 1 ∧ããã∧f λ + q(λ − 1)X β ν g β (1)∧ããã∧g β(n+1) (3.17) với mỗi z ̸∈ AS Sλ i=1 I(f i ), trong đó tổng trên được lấy trên tất cả các phép chiếu β : {1, , n + 1} → {1, , q}.
Thật vậy, tập A = Sq j=1 (f t , g j ) −1 ({0}) Kí hiệu P [n + 1, q] là tập hợp tất cả các phép chiếu từ {1, , n + 1} đến {1, , q} Khi đó, với mỗi điểm chính quy z 0 ∈ A \ (Sλ i=1 I(f i ) ∪S β∈P [n+1,q] {z|g β(1) ∧ ã ã ã ∧ g β(n+1) (z) = 0}) và với mỗi dóy tăng 1 ≤ j 1 < ã ã ã < j l ≤ λ, ta cú f j 1 (z 0 ) ∧ ã ã ã ∧ f j l (z 0 ) = 0.
Theo Định lí 3.1.6, ta có ν f 1 ∧ããã∧f λ (z 0 ) ≥ λ − (l − 1).
Từ đây, ta suy ra q
Như vậy, với mỗi z ̸∈Sλ j=1 I(f j ), ta có q
Do đó, bất đẳng thức (3.17) được chứng minh.
Lấy tổng hai vế của các bất đẳng thức này theo t = 1, , λ, ta được λ
Tiếp theo, từ Định lí 3.2.2 (b), với mọi 1 ≤ t ≤ λ, đặt k t = rank R (f t ) ta có q
1≤i≤q T g i (r, s 0 )), Kết hợp bất đẳng thức này với (3.17) và cho r tiến tới ∞, ta được q ≤ n(n + 2)λ λ − l + 1 Điều này là mõu thuẫn Do đú, f 1 ∧ ã ã ã ∧ f λ ≡ 0 trờn M, tức là họ {f 1 , , f λ } là phụ thuộc đại số qua C Định lí 3.3.1 được chứng minh.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Các kết quả chính của luận án:
• Chúng tôi đã chứng minh được hai định lí về sự liên kết bởi một phép biến đổi tựa M¨obius của hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức nếu chúng có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ phân biệt với bội được ngắt ở mức
4 và không xét đến các không điểm với bội lớn hơn 865.
• Chúng tôi đã chứng minh được một định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ C m vào không gian xạ ảnh phức P n ( C ) và mục tiêu di động với hàm đếm có trọng Đồng thời, chúng tôi đã sử dụng định lí này để chứng minh được một định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình đó có chung ảnh ngược không cần đếm bội của các siêu phẳng di động.
• Chúng tôi đã chứng minh được một định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ một đa tạp parabolic chấp nhận được vào không gian xạ ảnh phứcP n ( C ) với mục tiêu di động Bằng cách áp dụng định lí này, chúng tôi cũng chứng minh được một định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình đó có chung ảnh ngược không cần đếm bội của các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát.
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo
Chúng tôi có suy nghĩ về một số hướng nghiên cứu tiếp theo như sau:
• Nghiên cứu về sự liên kết bởi phép biến đổi tựa M¨obius của hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức khi chúng có chung ảnh ngược của một số cặp hàm nhỏ trong trường hợp giảm số bội chặn.
• Nghiên cứu cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ C m vào không gian xạ ảnh phức P n ( C ) và mục tiêu di động với hàm đếm có trọng với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn.
• Nghiên cứu tổng quát hóa Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động trong đó các điều kiện ban đầu tổng quát hơn.
CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[1]Van An Nguyen and Duc Quang Si (2017),Two meromorphic functions shar- ing four pairs of small functions, Bull Korean Math Soc.54, No 4, pp 1159
[2] Pham Duc Thoan, Nguyen Hai Nam and Nguyen Van An (2019), Second main theorems with weighted counting functions and its applications, Indian
[3] S D Quang, N V An and P D Thoan (2023), Second main theorems and algebraic dependence of meromorphic mappings on parabolic manifolds with moving targets, Kyushu J Math., Vol 77, No.2, 203 - 220.
[1] Sĩ Đức Quang (2019), Lí thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình và một số vấn đề liên quan, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội.
[2] Trần Văn Tấn (2017), Lí thuyết phân bố giá trị đối với đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội.
[3] T T H An and J Wang (2002),Uniqueness polynomials for complex mero- morphic functions, Internat J Math 13, no 10, 1095-1115.
[4] G Ashline (1999), The defect relation of meromorphic maps on parabolic manifolds, Mem Amer Math Soc 139, no 665, x+78 pp.
[5] H Z Cao and T B Cao (2014), Two meromorphic functions share some pairs of small functions with truncated multiplicities, Acta Math Sci 34, 1854-1864.
[6] H Cartan (1933), Sur les zéroes des combinaisons linéaries de p fonctions holomorphes données, Mathematica 7, 80-103.
[7] T Czubiak and G Gundersen (1997), Meromorphic functions that share pairs of values, Complex Var Elliptic Equ 34, 35-46.
[8] G Dethloff and T V Tan (2009), Uniqeness theorems for meromorphic mappings with few hyperplanes, Bull Sci Math 133, 501-514.
[9] G Dethloff, S D Quang and T V Tan (2012), A uniqeness theorems for meromorphic mappings with two families of hyperplanes, Proc Amer Math. Soc 140, 189-197.
[10] H Fujimoto (2008), Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math J 152, 131-152.
[11] H H Giang (2016), Multiple values and finiteness problem of meromorphic mappings sharing different families of moving hyperplanes, Bull Math Soc. Sci Math Roumanie Vol 59 (107), No 3, 233-245.
[12] P C Hu, P Li, C C Yang (2003), Unicity of meromorphic mappings, Advances in Complex Analysis and its Application, Vol 1, Springer B V.
[13] H H Khoái (1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math J 50, 695-711.
[14] P Li and C C Yang (1997), On two meromorphic functions that share pairs of small functions, Complex Var Elliptic Equ 32, 177-190.
[15] P Li and C C Yang (2009), Meromorphic functions that share some pair of small functions, Kodai Math J 32, 130-145.
[16] Y Liu (2008), On the problem of integer solutions to decomposable form inequalities, Int J Number Theory 4, 859-872.
[17] Y Liu and M Ru (2005), A defect relation for meromorphic maps on parabolic manifolds intersecting hypersurfaces, Illinois J Math.49, 237-257.
[18] R Nevanlinna (1926), Einige Eideutigkeitss¨atze in der Theorie der mero- morphen Funktionen, Acta Math.48, 367-391.
[19] I Nochka (1983),On the theory of meromorphic functions, Sov Math Dokl.
[20] J Noguchi (2005), A note on entire pseudo holomorphic curves and the proof of Cartan-Nochka’s theorem, Kodai Math J 28, 336-346.
[21] J Noguchi and T Ochiai (1990), Introduction to Geometric Function The- ory in Several Complex Variables, Trans Math Monogr 80, Amer Math. Soc., Providence, Rhode Island.
[22] S D Quang (2013), Two mermorphic functions share some pairs of small functions, Compl Anal Oper Th 7, 1357-1370.
[23] S D Quang (2013),Algebraic dependences of meromorphic mappings shar- ing few moving hyperplanes, Ann Polon Math 108, 61-73.
[24] S D Quang (2016), Second main theorems with weighted counting func- tions and algebraic dependence of meromorphic mappings, Proc Amer Soc. Math 144, 4329-4340.
[25] S D Quang (2016), Second main theorems for meromorphic mappings in- tersecting moving hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem, Abh Math Semin Univ Hambg 86, 1-18.
[26] S D Quang (2019),Second main theorems for meromorphic mappings and moving hyperplanes with truncated counting functions, Proc Amer Math. Soc 147, no 4, 1657-1669.
[27] S D Quang and D P An (2013),Unicity of meromorphic mappings sharing few moving hyperplanes, Vietnam Math J 41, 383-398.
[28] S D Quang and L N Quynh (2014), Two meromorphic functions sharing some pairs of small functions regardless of multiplicities, Internat J Math.
[29] L N Quynh (2017),Algebraic dependences and uniqueness problem of mero- morphic mappings sharing moving hyperplanes without counting multiplic- ities, Asian-European J Math Vol 10, No 1, 1750040 (15 pages).
[30] M Ru (2001), A uniqueness theorem with moving targets without counting multiplicity, Proc Amer Math Soc 129, 2701-2707.
[31] M Ru (1997), The second theorem with moving targets on parabolic mani- folds, Indiana Univ Math J 46, 299-318.
[32] M Ru and W Stoll (1991), The second main theorem for moving targets, Journal of Geom Anal 1, No 2, 99-138.
[33] M Ru and J T-Y Wang (2004),Truncated second main theorem with mov- ing targets, Trans Amer Math Soc 356, 557-571.
[34] B Shiffman (1983), Introduction to the Carlson - Griffiths equidistribution theory, Lecture Notes in Math 981, 44-89.
[35] M Shirosaki (1991), Another proof of the defect relation for moving target, Tohoku Math J., 43, 355-360.
[36] M Shirosaki (1990), On defect relations of moving hyperplanes, Nagoya Math J., 120, 103-112.
[37] W Stoll (1981),The Ahlfors-Weyl theory of meromorphic maps on parabolic manifolds, Lecture Notes in Math 981, 101-219.
[38] W Stoll (1977), Value distribution on parabolic spaces, Lecture Notes in Math., 600, Springer-Verlag, New York.
[39] W Stoll (1989), On the propagation of dependences, Pacific J Math., 139, 311-337.
[40] D D Thai and S D Quang (2005),Uniqueness problem with truncated mul- tiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Internat J Math 16, 903-939.
[41] D D Thai and S D Quang (2008), Second main theorem with truncated counting function in several complex variables for moving targets, Forum Math 20, 163-179.
[42] P D Thoan and P V Duc (2010), Algebraic dependences of meromorphic mappings in several complex variables, Ukrain Math J 62, 923-936.
[43] P D Thoan, P V Duc and S D Quang (2013), Algebraic dependence and unicity theorem with a truncation level to 1 of meromorphic mappings sharing moving targets, Bull Math Soc Sci Math Roumanie, 56 (104)
[44] P M Wong, W Stoll (1994),Second main theorem of Nevanlinna theory for nonequidimensional meromorphic maps, Amer J Math 116, 1031-1071.
[45] K Yamanoi (2004), The second main theorem for small functions and re- lated problems, Acta Math 192, 225-294.
[46] Q Yan (2015), Second main theorem and uniqueness theorem with moving targets on parabolic manifolds, J Math Anal Appl 422, 456-477.
