một số bài tập và ứng dụng trong thực tế của ma trận định thức hệ phương trình tuyến tính

nees Phan 2:Ung dụng của ma trận, định thức,hệ phương trình tuyến tính Ma trận..... PHAN MO DAU Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính là những kiến thức quan trọng trong học p

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

Bo

BAO CAO NHOM 4 HOC PHAN:

MOT SO BAI TAP VA UNG DUNG TRONG THUC TE CUA MA TRAN, DINH THUC, HE PHUONG TRINH

TUYEN TINH

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Phước

Doan Trung Nghia

Dé Hoai Nam

Doan Thanh Phong Hoang Ba Minh Mai Thi Ha Phuong

Nguyễn Văn Minh

Van Thanh Lan

Vũ Thị Mơ Nguyễn Quốc Huy Tên lớp : 2022DHCNTT04

Giáo viên hướng dẫn : Phùng Thị Anh Vũ

Hà Nội thủng 3 năm 2023

1

Tông điệm đánh giá của các thành viên và qui đôi ra hệ sô cá nhân

Tên thành | TĐ= Tông điệm được đánh giá bởi tât | Diém trung bình Hệ sô cá viên cả các thành viên trong nhóm = TĐ/(5xsố thành nhân

viên) (dựa vào

bảng qui

Nguyên Văn 439 8.75 1 Phước

Đoàn Trung 399 7.98 0.9 Nghĩa

Đồ Hoài 417.25 8.345 1 Nam

Doan Thanh 402 8.04 1 Phong

Hoang Ba 415 8.3 1 Minh

Mai Thi Ha 418.25 8.365 1 Phuong

Minh

Van Thanh 428 8.56 1 Lan

Vũ Thị Mơ 419 8.38 1 Nguyên 390 78 0.9 Quốc Huy

* Bảng qui đối ra hệ số cá nhân

Diem trung bình [9:10] ; [8:9) ; [7:8) ; [6-7) [0-6)

nhân

Mục lục

Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm

Phần mớ đầu 22222 nhe

Phần nội dung 22 nề nh nh nho

Phần Ï: 22200202200 nh nh HH na

92 —

922 Š—

92 —

9 cee cece cee crn nee ne cee tenes tonnes ean nee terre tenee tunes ener: 52 tee entre tee een bee tee tee tee ne tee sen nee nee tnenes

90

8`" eet e enn ee tre tee en tne tee een bee tee tee tee ee tee een nee ine tnenes

2 —

eT = Ằ_

2010 1 Câu ÏÌ: enc ee ences recess en tee tonnes trees senceetenneetenneseneeed 20 eres Câu ÏÖ: Q.00 n1 nh nh Tnhh TY y TT gà Tà hy kh và kh he

20 Lee cece enc ee cee rte eee tne eens nee enn cee ene veeeneneetannee ern nee ss 20" nee ss 2= nees

Phan 2:Ung dụng của ma trận, định thức,hệ phương trình tuyến tính

Ma trận QC nQ nn n ng ng ng ng kg kg vn vn vy vv xxy

Hệ phương trình tuyến tính cc cò còn cành nền

Phần kết luận c2 cọ nàn nho

Tài liệu tham khảo

15

18 .22 23

PHAN MO DAU

Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính là những kiến thức quan trọng trong học phần Đại số tuyến tính của Trường Đại học Công Nghiệp Hà Nội Các nội dung kiến thức này rèn luyện tính tư duy cho sinh viên và cũng có nhiều ứng dụng thực tiễn

Dé củng cô kiến thức, kỹ năng giải bài tập liên quan đến ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, hướng đến mục tiêu chung của học phần Đại số tuyến tính là cung cấp cho học viên những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và cách vận dụng

những kiến thức học được vào các bài toán trong kỹ thuật Đặc biệt quan tâm đến

những ứng dụng của đại số tuyến tính trong việc giải quyết các bài toán thực tế; chuân

bị cho sinh viên đủ những kiến thức nền tảng đề tiếp thu và học tập tốt các môn chuyên ngành Chúng em được giao và thực hiện chủ đề bài tập nhóm: “Một số bài tập và ứng

dụng trong thực tế của ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính”

Phần 1:

Bail: A= B= Tinh (A+2B")

Giai

Ta có :BT=

A12B'=+

(A12B'y = =

Bài 2 Cho matran A= Tinh 4”

Giai

Taco A=

A= =

A= =

A*= 4_—

Dự đoán: A"=

Voi n=l "=A_ (Luôn đúng)

Giả sử n=k đúng

A"=

*Chimg minh n=k+1 luôn đúng

AMIZAKA ==

== (dpem)

Vậy dự đoán là đúng : A"=

Bài 3 Tìm ma trận X biét X =AA' +B trong đó -l 1 3 2

Giai

X=A.A'+B= +

=+

1 0 -1 -1 2 3

2 -1 2)X=/0 -2 2

Bài 4 Tìm ma trận X thỏa mãn

Giải

Dat A= B=

Det(A)=2 0 nên tồn tại A?

AX=B suyra X=A'B

Ta có A'= A*

A*=

Ta có =.det( )

>At=

Suy ra X=

2

Bai 5 Cho ma tran Tìm ma trận X thỏa mãn X.4 =At

Giải

Ta co Det(A)=I 0 nén ton tai A?

XA=At tuong duong X= At.A-1

Taco A'= A*=A*

A*=

A*==

Suy ra: A-]=

X= At.A-1=

Bai 6 Tim ma tran_X biét X.A - 2B =7, trong đó

A=l-2 5 7|; B=|-I 2 0

Giai

C6 Det(A)=15 0 suy ra tồn tai A!

Taco X.A=1+2B

X.A.A'=(1+2B).A?

X=(2B).A'

Ta có A!= A*=, A*=

Als

X=(2B).A+=

Bài 7, Tìm điều kiện để ma trận sau khả đảo A=

Giải

Ta có A=

khai triển định thức theo cột l ta được :

Det(A) = 1 = 15m-15

Dé ma tran A kha dao thi Det (A) 0

Suy ra 15m-150 ml

Vậy với mÌ thì ma thận A kha dao

Bài 8 Tính các định thức sau

3 ÐEh 1g g ) yz 0 x

0 1 4 2 zZ y x 0

Giai:

Khai trién theo cét 1 =>D=1 =-81

Ox vy z

0

+) p= zy

y z 0 x

zyx 0

Khai triển theo hàng | ta co:

D=

=x (-

Bài 9: Sử dụng tính chất của định thức chứng minh định thức sau bằng 0

D=

GHảI:

D= (vi d2 va d3 có các phần tử tương ứng tỉ lệ)

L1 1

x 2 3/=0 Bai 10: giai phuong trinh x 4 9

GIải :

<=> -5x+6=0 <=> x=2 hoặc x=3

8

Vậy Phương trình có nghiệm là x=2 hoặc x=3

Bài II: Tính định thức cấp n của ma trận:

Giải:

D

Khai trién theo hang 2 ta duoc Det(D)=-1

Vay định thức cấp n của ma tran D co dang la Det(D)=-2.(n-2)!

Câu 12: tim hang cua ma trận

a, A= b, A=

Giai

a, A=

= r(A)=3

Vậy hạng của ma trận A bằng 3

b,A=

> r(A)=4

vậy hạng của ma trận băng 4

Bài 13:tim hang của các ma trận tùy theo m

a, A= b, A=

Giải

a, A=

Nếu m-1=0 <=> m=l thì r(A)=3

Néu m-140 <=> m#1 thi r(A)=4

b, A=

Vậy với mọi m thì hạng của ma trận bằng 3

Bai 14 Tim m dé hạng của ma trận sau bằng 3

0 3 2 2 1L 3 I -1 |

3 8EÍ 1 xo 22 b.B=|-2 -6 m-1 4

GHải:

14 0 -2

l -l m 4

Để hạng của ma trận bằng 3 thì : m-2

Vậy m

Ta có: =0 <=> m=l hoặc m=-1

Với m=-l thì: => hang cua ma tran la 2 => loai m=-1

Với m=l] thi:

Vay dé hang cua ma tran la 3 thi m=1

x,- 2x,t+3x,- 4x, =5 X,- x, +x, =- 1

4%+3my% - 3x =2

Bài 15 Giải hệ sau băng phương phap Gauss ' -

Giai:

Ta co

Hé (1) <=> <=>

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhat la (2,1,3,1)

10

Bài l6: tìm m đề hpt vô số nghiệm

Để hệ phương trình vô số nghiệm thì r(A) = 1() <3

Với m=3 =>r (A)=r QE=2<3 ( thỏa mãn)

Vậy m=3 thì hệ phương trình có vô sô nghiệm

Phần 2 :CÁC ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

1 Một Số Ứng Dụng Của Ma Trận Nghịch Đảo

> Ung Dung Cua Ma Tran Nghịch Đảo Trong Mã Hóa

Vi Du: Cho ma tran A= va | sy tuong tng giita các kí tự và số như sau:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

S D IV T G Q N M H O

Một người muốn gửi | dòng mật khau cho 1 người bạn Đề đảm bảo | cach bi mat anh ta

dung bảng tương ứng trên chuyên dòng mật khâu này thành | day số và viết dãy số này thành ma trận B theo nguyên tắc lần lượt từ trái sang phải mỗi chữa số là 1 vi trí trên các

dòng của B Sau khi tính C=B.A và chuyên C về dãy số thì được dãy: 14 20 25 9 16 5 3 3

9 hãy giải mã dòng thông tin trên

Phương pháp giải :

Co C=B.A ma ma tran A cỡ 3x3 nên ma trận C có dạng nx3 Và C gồm 9 phần tử nên C

có dạng 3x3

Vay taco: C=

Ma C=B.A © B=C A!

Det(A}E -I

II

Ai==l An==1 As=0

Aa==-2 Az== Az= 0

Vậy A*=

> Tacd Al==

Vay B= C A! = =

Vay day số cần tìm là: 6 8 9 7 2 1 0 3 3 Dòng thông tin là NHOMIVDSTT

Ví Dụ 2: Cho ma trận A = và l sự tương ứng giữa các kí tự và số như sau:

] 2 3 4 5 6 8

Mét ngudi muén giri | dong tin nhan cho | nguéi ban Dé dam bao | cach bi mat anh ta

dùng bảng tương ứng trén chuyén dong tin nhan nay thanh 1 day s6 và viết dãy số này thành ma trận B theo nguyên tắc lần lượt từ trái sang phải mỗi chữa số là 1 vi trí trên các

dòng của B Sau khi tính C=B.A và chuyên C về dãy số thì được dãy: 6 2 -7 l6 2 -12

15 2 -13 hãy giải mã dòng thông tin trên

Phương pháp giải :

Ta có C=B.A mà ma trận A cỡ 3x3 nên ma trận C có dạng nx3 Và C gồm 9 phần tử nên

€ có dạng 3x3

Suy ra: C=

Ma C=B.A © B=C A!

Det(A)= 1

Ai==l Ap==l As=l

Aa==-l An==-3 Ax= -2

Aa==l Ay==2 Az==l

Suy ra: A* =

> Tacd Al==

Vay B=C AT ==

Vậy dãy số can tim la: 123628456

12

=> Dòng thông tin là BIG IDEA_

> Ứng Dụng Của Ma Trận Nghịch ĐảoTrong Kinh Tế

Vi Du: I nhà nông chăn nuôi tổng 100 con gia súc bao gồm 3 loại: lợn, gà, vịt Biết rằng tổng số chân của cả 3 loại là 220, tổng số gà gấp 2 lần tổng số vịt Hỏi mỗi loại có bao nhiêu con?

Giải

Gọi số lợn là x, số gà là y, số vịt là z

Theo đề bài ta có hệ phương trình (*)

Viết thành ma trận, ta có:

> (*) tro thanh: A.X=B (1)

Det(A)=6 => Tén tai A”!

Ta co:

= A=

Ai==6 Ap==8 As=4

Aa== An==-2 Az= -l

Aa== Az== As==-

r>—

Ta co:

=

Nhân vào bên trái của cả 2 về phương trinh (1) ta được:

>.A.X=.B

X= B=.=

c>

Kết Luận: Số lợn là 10; Số gà là 60; Số vịt là 30

13

2 MỘT SÓ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

> Ung Dung Cia Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Mạch Điện

Ví Dụ: Cho mạch điện như hình vẽ dưới đây Biết:

Ei=30V, E;=10V, Ea=60V

RiER:=1LI, R:z=R.=R:=3LI Tìm các cường độ dòng điện 1¡, 1a, 13, 14

l1

Rs

^

E3 R2

U

R4

Phuong phap giai:

Ta có các vòng như sau:

Vị: HR¡ị + (¡—12)R¿=E¡

V2: (ii — 12)R2 — G2 — 13)R3=E2

Vs: (is — 14)Ra — G2 — 13)Rs=E2

Va: Gs — u)Ry — URs= Es

Ta có hệ phương trình sau:

> >

>

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp Gauss ta được:

>=

Hệ phương trình ban đầu: =

14

( vì 12, 3 và ¡4 mang dấu âm nên chiều của in, is, is ngược với chiều đã chọn)

Kết luận: i= A, =

> Ứng Dụng Của Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Sản Xuất

Ví Dụ: Một nhà máy sản xuất 3 loại san pham A,B va C Méi san pham qua 3 công đoạn:cắt , lắp ráp và đóng gói , với thời gian yêu cầu của mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau đây :

san A san Sản 0,6h 1h 1,4h 0,6h 0 ]

0 0,3h 0

Các bộ phận cắt , lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là

370, 330 và 120 giờ công Hỏi nhà máy cần sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao

nhiêu theo mỗi tuần đề hoạt động hết năng suất ?

Phương pháp giải:

+ Thời gian cắt dé san xuất sản phẩm là : 0,6x + y + 1,4z ( giờ )

+ Thời gian lắp ráp để sản xuất sản phẩm là : 0,6x + 0,9y + 1,2z ( giờ )

+ Thời gian đóng gói để sản xuất sản phẩm là : 0,2x + 0,3y + 0,5z ( giờ )

Đề nhà máy hoạt động hết năng suất cần điều kiện là :

>

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp Gauss ta được:

=>

=>r= 1-3

Hệ phương trình ban đầu

=>

Kết luận : số lượng sản phâm A, B, C nha may can san xuat lần lượt là 50, 200, 100

(cái)

15

KÉT LUẬN

Qua quá trình làm việc nhóm với sự tham gia nhiệt tình và tích cực của các thành viên,

nhóm chúng em đã hoàn thành chủ dé cua bai tập nhóm ( giải các bài tập, tìm hiểu các

ứng dụng và giải các ví dụ thực tế liên quan đến ma trận, định thức, hệ phương trình

tuyến tính ) Qua đó góp phần giúp chúng em củng cô kiến thức và rèn luyện cho chúng

em năng lực giải bài tập Góp phần cung cấp cho chúng em kỹ năng tư duy logic, cách tiếp cận khoa học, biết sử dụng tư duy chính xác của toán học đề phân tích các bài toán

trong thực tế kỹ thuật như mục tiêu của học phần đề ra Đặc biệt rèn luyện cho chúng em

ky nang, tinh than, trách nhiệm trong làm việc nhóm

16

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trên hệ thống đại học điện tử của trường đại học công nghiệp

2 Cac dang vi dụ về ma trận trên các trang mạng như

e = https://123docz.net/

e https://staff.agu.edu.vn/Itduy/files/2012/10/Matran-DinhThuc.pdf

17