một số bài tập của irodop, phần động học

BÀI DỊCH SÁCH VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG CỦA IRÔĐỐP – ĐỘNG HỌC Đây dịch số tập Irodop, phần động học Do khơng có thời gian đánh công thức nên cắt công thức từ tài liệu, nên bạn thông cảm Đây sách hay cho sinh viên vật lý, giáo viên Đặc biệt học sinh giỏi tài liệu thực bổ ích PHẦN ĐỘN HỌC   Bài 1: Hai hạt chuyển động với vận tốc khơng đổi v1 v2 Tại vị trí ban đầu, bán kính vec-tơ xác định vị trí   hạt r1 r2 Xác định hệ thức vec-tơ để hai hạt đến va chạm với nhau? ĐS:  r1  r2  /  r1  r2    v1  v2  /  v1  v2           Giải: Hai hạt va chạm điểm A (hình vẽ), xác định vec-tơ r3 Nếu t thời gian hạt đến điểm A, từ quy tắc tam giác tổng vec-tơ ta có: Vì vậy: Do đó: hay: Từ (1) (2): Bài 2: Một tàu dọc theo xích đạo theo hướng đơng với vận tốc v0 = 30km/h Một luồng gió thổi đến theo hướng đơng nam, theo phương hợp với xích đạo góc φ = 60o, với vận tốc v = 15km/h Đối với hệ quy chiếu gắn với tàu, xác định vận tốc v’ luồng gió tàu góc φ’ hướng gió xích đạo ĐS: 40km/h; 19o Giải: Ta có: Từ giản đồ vec-tơ (của biểu thức (1)) dụng tính chất tam giác: hoặc Sử dụng (2) thay giá trị v d ta được: Bài 3: Hai người xuất phát từ điểm A bờ sông đến điểm B bờ bên nằm đối diện với điểm A Muốn người thứ phải bơi để chuyển động đường thẳng AB, người thứ hai bơi vng góc với dịng chảy, đến bờ chạy ngược lại với vận tốc u (để đến B) Tính u để hai người đến B thời điểm, biết vận tốc dòng chảy v0 = 2,0km/h, vận tốc người bơi nước v’ = 2,5km/h ĐS: u  1  v v0 / v  1/2 1  3, 0km / h Giải: Người thứ bơi qua sông dọc theo đường AB với quãng đường ngắn Thời gian để người thứ qua sộng là: (với AB = d độ rộng sông) (1) Đối với người thứ hai, theo đường nhanh cho thời gian qua sông Trong thời gian t2, độ trôi người thứ (2) Nếu t3 thời gian người thứ với khoảng cách x từ C đến B, (4) Theo Giải ta được: , hay Bài 4: Hai ca-nô A B xuất phát từ phao sơng rộng, chuyển động theo hai đường vng góc nhau: ca-nô A dọc theo sông, ca-nô B ngang sông Sau đoạn l phao, hai ca-nô quay trở về, cho biết vận tốc hai ca-nô so với nước gấp η = 1,2 lần vận tốc dòng chảy, xác định tỉ số tA/tB hai khoảng thời gian hành trình hai ca-nô ĐS: t A / tB      1,8 Giải: Gọi l khoảng cách bao phủ ca-nô A dọc theo sông, ca-nô B ngang sông Gọi v0 vận tốc dòng nước, v’ vận tốc ca-nô nước Thời gian ca-nô A ca-nơ B: => Do đó: Bài 5: Hai vật ném lên đồng thời từ điểm: vật thứ ném thẳng đứng lên với vận tốc v = 25m/s, vật thứ hai ném xuyên góc φ = 60o so với phương ngang, với vận tốc v Xác định khoảng cách hai vật sau thời gian t = 1,70s, bỏ qua sức cản khơng khí ĐS: l  vt 1  sin    22m Giải: Lời giải toán trở nên đơn giản hệ quy chiếu gắn với hai vật Gọi vật chuyển động thẳng vật vật vật 2, cho vật hệ quy chiếu vật 2, từ biểu thức động học cho gia tốc khơng đổi: (vì Vì ) Mà Vì vậy, từ tính chất tam giác: Ta được: Bài 6: Hai hạt chuyển động trọng trường với gia tốc g Ban đầu hai hạt điểm có vận tốc v1 = 3,0m/s, v2 = 4,0m/s nằm ngang theo hai chiều ngược Hãy xác định khoảng cách hai hạt thời điểm vec-tơ vận tốc chúng vng góc ĐS: l   v1  v2  v1v2 / g  2, 5m Giải: Vận tốc hai hạt trở nên vng góc với sau thời gian t Vận tốc chúng: Vì nên Hay => Do đó: Từ biểu thức: => Do đó, khoảng cách hai hạt: Bài 7: Trong dụng cụ (hình bên), vật B dịch chuyển với gia tốc không đổi w0 mặt đất, vật nhỏ A nối với điểm C sợi dây không giãn, nâng lên theo mặt trụ vật B, mặt có bán kính R Giả sử ban C A B R h w0 đầu vật A nằm sàn (h = 0) đứng n, tính tốc độ trung bình vật ĐS: 0, 65 w R Bài 8: Một tàu hỏa dài l = 350m chuyển động dọc theo đường thẳng với gia tốc không đổi w = 3,0.102 m/s2 Sau chuyển động t = 30s người ta bật đèn pha tàu (biến cố 1), tiếp sau thời gian τ = 60s, người ta bật đèn đuôi tàu (biến cố 2) Tính khoảng cách hai biến cố hệ quy gắn với tàu hỏa với Trái Đất: hệ quy chiếu K phải chuyển động với vận tốc không đổi so với Trái Đất để hệ quy chiếu hai biến cố xảy điểm ĐS: x1  x2  l  w  t       0, 24km Vận tốc lúc gặp tàu hỏa V = 4,0m/s Giải: Trong hệ quy chiếu cố định tàu, khoảng cách hai biến cố l Tàu bắt đầu chuyển động thời điểm t = theo hướng dương x gốc (x = 0) đầu tàu t = Tọa độ biến cố thứ trọng hệ gắn với trái đất tương tự ta tọa độ biến cố thứ hai Khoảng cách hai biến có hệ quy chiếu cố định gắn với trái đất Đối với hai biến cố xảy điểm hệ quy chiếu K, chuyển động với vận tốc không đổi V trái đất, khoảng cách di chuyển hệ quy chiếu thời gian T phải khoảng cách Vì Do đó: Hệ K phải chuyển động hướng ngược với chuyển động tàu (đối với ví dụ) gốc hệ trùng với điểm x1 trái đất thời điểm t, trùng với điểm x2 thời điểm t + τ Bài 9: Một buồng thang máy có khoảng cách trần sàn 2,7m, chuyển động lên với gia tốc không đổi 1,2m/s2 Sau xuất phát 2,0s, bu-lông từ trần rơi xuống Hãy xác định: a) khoảng thời gian rơi bu-lông; b) độ dời chỗ đường bu-lơng q trình rơi hệ quy chiếu gắn với sàn thang máy ĐS: a) 0,7s; b) 0,7m 1,3m Giải: a) Một cách tốt để giải tập xét hệ quy chiếu thang máy Gọi khoảng cách đáy trần thang máy h = 2,7m gia tốc thang máy w = 1,2m/s2 Từ biểu thức động học: Với Vì vậy: => b) Tại thời điểm bu-lơng rơi khỏi thang máy, có vận tốc: Trong hệ quy chiếu gắn với sàn thang máy (đất) trục y hướng lên, ta có độ dịch chuyển bu-lơng: Hoặc: Do đó, bu-lơng dịch chuyển xuống tương đối điểm mà bu-lông bắt đầu rơi lượng 0,7m Vậy khoảng cách dịch chuyển bu-lông trình rơi Bài 10: Hai hạt chuyển động với vận tốc v1 v2 dọc theo hai đường thẳng vng góc hướng giao điểm O hai đường Tại điểm t = 0, hai hạt cách điểm O khoảng l1 l2 Sau thời gian bao nhiêu, khoảng cách hai hạt cực tiểu? Khoảng cách cực tiểu bao nhiêu? ĐS: lmin  l1v2  l2 v1 / v12  v22 Giải: Hạt điểm B A thời điểm t = có khoảng cách l1 l2 từ điểm giao O Đặt hệ quy chiếu gắn với hạt Khi hạt chuyển động tương đối hệ quy chiếu với vận tốc tương quỹ đạo đường thẳng BP Khoảng cách cực tiểu hạt chiều dài đoạn đối vng góc AP hạ từ điểm A xuống đường BP (hình vẽ) Ta có: Khoảng cách ngắn nhất: hay Tính thời gian thu trực tiếp từ điều kiện cực tiểu Điều cho Bài 11: Một ô-tô xuất phát từ điểm A đường cái, để khoảng A thời gian ngắn để đến điểm B cánh đồng, khoảng cách từ B đến đường l Vận tốc chạy cánh đồng nhỏ μ lần so với vận tốc chạy đường Hỏi ô-tô phải rời đường từ điểm D cách điểm C bao nhiêu? C D ĐS: CD  l   l B Giải: Gọi x khoảng cách từ nơi ô-tô rời đường đến đến điểm D CD = x tốc độ ơ-tơ cánh đồng v, thời gian ô-tô đoạn AC = AD – x đường Vậy, tổng thời gian ô-tô từ A đến B Đêt t nhỏ nhất: => hay Bài 12: Một vật chuyển động dọc theo trục x với vận tốc mà hình chiếu vx phụ thuộc thời gian theo đồ thụ vẽ hình bên Cho biết thời điểm t = hoành độ điểm x = 0, vẽ gần đồ thi gia tốc ax, hoành độ x quãng đường s theo thời gian Bài 13: Một điểm nửa đường trịn bán kính R = 160cm khoảng thời gian τ = 10,0s Trong khoảng thời gian đó, tính: v   R /   cm / s a) vận tốc trung bình v , v  R /   cm / s b) độ lớn vận tốc trung bình v , c) độ lớn gia tốc trung bình a , biết điểm gia tốc tiếp tuyến không đổi a  2 R /   10cm / s2 Giải: Để vẽ đồ thị x(t), s(t) wx(t), ta tách đồ thị vx(t) thành năm phần hình vẽ Đối với phần 0a: Do đó, Đặt t = 1, ta Đối với phần ab: Do đó: Đối với phần b4: Đặt Do đó, Đối với phần b4: Đặt Do đó, Đối với phần 4d: Đặt Vì vậy, cho t > Đặt Do đó: Tương tự: Đối với phần d7: Đặt , Bây giờ, cho t < Đặt Tương tự : Đặt Dựa biểu thức thu wx(t), x(t) s(t) ta vẽ đồ thị chúng    Bài 14: Bán kính vec-tơ hạt biến thiên theo thời gian với quy luật r  at 1   t  Trong a vec-tơ không đổi α số dương Hãy xác định:   a) vec-tơ vận tốc v , gia tốc w hạt theo thời gian, b) khoảng thời gian Δt để hạt trở điểm xuất phát ban đầu quãng đường s khoảng thời gian     ĐS: a) v  a 1  2 t  ; w  2 a  const b) Δt = 1/α; s = a/2α Vì Giải: a) Ta có b) Từ biểu thức: Vì Vì , t = thỏa mãn Vì : Ta được: Đơn giản, ta Bài 15: Tại thời điểm t = hạt xuất phát từ gốc tọa độ theo chiều dương trục x Vận tốc hạt biến    thiên theo thời gian quy luật v  v0 1  t /   , v0 vận tốc ban đầu (v0 = 10,0cm/s), τ = 5,0s Hãy xác định: a) hoành độ x hạt thời điểm 6,0s, 10s 20s; b) thời điểm mà hạt cách gốc tọa độ 10,0cm; c) quãng đường s mà hạt sai 4,0s 8,0s đầu tiên; vẽ gần đồ thị s(t); v0t 1  t / 2  , t   ĐS: a) x  v0 t 1  t / 2  ; b) 1,1s; 9s; 11s c) s    v0 / 2 1  1  t /   Giải: Vì hạt bắt đầu chuyển động từ gốc t = Vì , t   Vì , với hướng theo trục dương x Vì vậy: Từ (1) (2), Tọa độ x hạt t = 6s: Tương tự t = 10s: t = 20s: b) Tại thời điểm hạt khoảng cách 10cm từ gốc tọa độ, Đặt vào (3) => vào (3) => Bây đặt Vì t khơng âm, nên Do hạt khoảng 10 cm từ gốc tọa độ thời điểm: c) Ta có: Ta được: Vì : (4) Và cho t = 8s : Ta s = 34cm Dựa biểu thức (3), (4), đồ thị x(t) s(t) vẽ Bài 16: Một hạt chuyển động theo chiều dương trục x với vận tốc cho v  a x , a số dương, biết thời điểm t = hạt vị trí x = 0, xác định: a) vận tốc gia tốc hạt theo thời gian, v = a2t/2; w = a2/2 b) vận tốc trung bình hạt khoảng thời gian từ vị trí x = đến vị trí x Giải: Vì hạt chuyển động chiều, chuyển động theo trục x Tại t = x = Vì Do đó, Hay Tích phân: b) t thời gian hạt s(m) Từ biểu thức v  a x / hay Vận tốc trung bình hạt Bài 17: Một điểm chuyển động chậm dần đường thẳng với gia tốc có độ lớn w phụ thuộc vào vận tốc theo quy luật w  a v , a số dương, thời điểm ban đầu vận tốc hạt v0 Hỏi quãng đường hạt dừng lại? Thời gian để quãng đường ấy? ĐS: a) s   / 3a  v03/ ; b) t   / a  v0 Giải: Theo đề (vì v giảm theo thời gian) Hay Tích phân ta được: Hay hay Vì Theo Bài 18: Bán kính vec-tơ điểm A gốc tọa độ biến thiên theo thời gian với quy luật      r  ati  bt j , i , j các vec-tơ đơn vị trục x y; a b hai số dương Hãy xác định: a) phương trình quỹ đạo y(x) điểm đó; vẽ đồ thị nó;   b) vận tốc v , gia tốc w độ lớn chúng theo thời gian   c) góc α v w d) vec-tơ vận tốc trung bình t giây độ lớn vec-tơ nên Giải: Vì mà phương trình parabol, đồ thị biểu diễn hình b) Vì Nên Vì => Đạo hàm (1) theo thời gian ta c) d) Vec-tơ vận tốc trung bình hay Vì hay Do đó: Bài 19: Chuyển động chất điểm mặt phẳng xy mô tả quy luật x = at, y = at(1 – αt), với a α số dương, t thời gian Hãy xác định: a) phương trình quỹ đạo y(x) điểm đó; vẽ đồ thị nó; b) vận tốc v gia tốc w điểm theo t; c) thời điểm t0 vec-tơ vận tốc gia tốc hợp góc π/4 Giải: a) Ta có x = at y = at(1 – αt) (1) Do đó, y(x) trở thành b) Đạo hàm (1) ta được: (2) Vì Đạo hàm (2) theo thời gian ta Vì c) Từ (2) (3) ta được: Ta Vì vậy: Bài 20: Một điểm chuyển động mặt phẳng xy theo quy luật x = a sin ωt, y = a(1 – cos ωt), với a, ω số dương Hãy xác định: a) quãng đường s điểm sau thời gian τ; b) góc vec-tơ vận tốc gia tốc điểm Giải: Đạo hàm theo thời gian ta Vì Đạo hàm (1) theo thời gian: a) Quảng đường di chuyển s thời gian τ cho b) Dựa vào tích Ta có Vì Do , tức góc vec-tơ vận tốc gia tốc π/2  Bài 21: Một hạt chuyển động mặt phẳng xy với vec-tơ w gia tốc khơng đổi, có hướng ngược với chiều dương trục y Phương trình quỹ đạo hạt có dạng y = ax – bx2, với a, b hai số dương Hãy xác định vận tốc hạt gốc tọa độ Giải: Theo Vì Đạo hàm Vì theo phương trình, ta Đạo hàm lần nữa, ta hay (sử dụng 1) hay Sử dụng (3) vào (2) Do đó, vận tốc hạt gốc (sử dụng 4) Vậy, Bài 22: Một vật ném xiên góc với đường nằm ngang với vận tốc đầu v0 Giả sử sức cản khơng khí khơng, xác định:  a) độ dời vật theo thời gian r  t  ,  b) vec-tơ vận tốc trung bình v t giây trình chuyển động Giải: Vì vật chịu tác dục trọng lực nên có gia tốc g, vec-tơ vận tốc vec-tơ dịch chuyển (1) Vì t giây Từ (3), τ giây Ta có Nhưng ta có (2) hay t = t = τ (cũng từ bảo tồn lượng) Sử dụng tính chất (5) Vì nên Đặt giá trị vào (4), vận tốc trung bình thời gian bay Bài 23: Một vật ném lên với vận tốc đầu v0, hợp với phương ngang góc α Bỏ qua sức cản khơng khí, xác định: a) khoảng thời gian chuyển động; b) chiều cao tầm xa cực đại, góc bắn α để chúng nhau; c) phương trình quỹ đạo y(x); d) bán kính cong gốc đỉnh quỹ đạo Giải: Vật chuyển động khơng khí với vận tốc v0 góc ném α từ mặt nằm ngang điểm P bề mặt Trái Đất mức ngang Điểm ném gốc tọa độ, a) Từ biểu thức b) Tại độ cao cực đại Ta Vì Từ biểu thức nên thời gian chuyển động => Do đó, độ cao cực đại Trong thời gian chuyển động, độ dời theo phương ngang thu biểu thức Hay Khi R = H: Hay c) Biểu thức cho x(t) y(t) Đặt giá trị t từ (1) vào (2), ta , (1) (2) phương trình quỹ đạo vật d) Vật ném khơng khí có quỹ đạo cong, có gia tốc pháp tuyến tất thời điển thời gian chuyển động (R bán kính cong), ta Tại điểm ban đầu (x = 0, y = 0), từ Tại đỉnh gia tốc góc khơng => => Từ Lưu ý: Ta sử dụng cong thức bán kính cong quỹ đạo y(x), giải phần d), => Bài 24: Hai viên đạn bắn lên súng đại bác với vận tốc v0 = 250m/s; viên bắn góc φ1 = 60o, viên bắn góc φ2 = 45o (cùng mặt phẳng bắn) Bỏ qua sức cản khơng khí, xác định khoảng thời gian hai lần bắn hai viên gặp Giải: Giả sử hai viên đạn va chạm với điểm P(x,y) Nếu viên đạn thứ thời gian t(s) tới va chạm với viên đạn thứ hai Δt khoảng thời gian hai lần bắn, Từ (1) Từ (2) (3) Bài 25: Một khí cầu bay lên từ mặt đất Vận tốc lên không đổi v0 Gió truyền cho khí cầu thành phần vận tốc vx = ay a số y độ cao Xác định theo độ cao: a) giá trị độ dạt khí cầu x(y); b) gia tốc toàn phần, tiếp tuyến pháp tuyến khí cầu Giải: a) Theo ta có Và ta có Tích phân: hay Vì b) Theo hay (sử dụng 1) hay (sử dụng 1) (2) Vì Do đó: Đạo hàm (2) theo thời gian: Vì Do đó:    Bài 26: Một hạt chuyển động mặt phẳng xy với vận tốc v   bxj , a, b số Tại thời điểm ban đầu, hạt vị trí x = y = Hãy xác định: a) phương trình quỹ đạo hạt y(x); b) bán kính cong quỹ đạo theo x Vì Giải: a) Vec-tơ vận tốc hạt Từ (1): (2) Và Từ (2) (3), ta b) Bán kính cong quỹ đạo y(x) là: (1) Tích phân ta Đạo hàm theo x : Từ (5) (6), ta bán kính cong: Bài 27: Một hạt vạch quỹ đạo cho trước với gia tốc tiếp tuyến   w t  a , a vec-tơ khơng đổi, có phương trùng với  phương trục x  vec-tơ đơn vị, có phương trùng với phương vec-tơ vận tốc điểm xét Hãy xác định vận tốc hạt theo x, biết x = vận tốc Mà Giải: Theo ra: Vì vậy: hay , hay (vì hướng theo chiều dương trục x) Nên: Do hay Bài 28: Một chất điểm chuyển động đường tròn với vận tốc v = at với a = 0,5m/s2 Hãy tính gia tốc tồn phần điểm thời điểm đa dược n = 0,10 chiều dài dải vòng tròn, kể từ lúc bắt đầu chuyển động (1) Và Giải: Vận tốc hạt v = at Vì vậy: Từ => => (sử dụng v = at) (2) (3) Từ (2) (3) Do đó: Bài 29: Một chất điểm chuyển động chậm dần đường trịn bán kính R, cho điểm gia tốc tiếp tuyến pháp tuyến có độ lớn Tại thời điểm ban đầu t = 0, vận tốc chất điểm v0 Hãy xác định: a) vận tốc diểm theo thời gian quãng đường s; b) gia tốc toàn phần theo vận tốc quãng đường Đối với v(t), : Giải: Theo Tích phân biểu thức từ Đối với v(s), Tích phân biểu thức từ Do b) Gia tốc pháp tuyến điểm: (2) (sử dụng 2) Vì Theo Bài 30: Một điểm chuyển động theo cung tròn bán kính R Vận tốc điểm phụ thuộc qng đường s theo quy luật v  a s , a số Tính góc α vec-tơ gia tốc toàn phần vec-tơ vận tốc theo s Giải: Từ biểu thức , , Vì wt số dương, tốc độ hạt tăng theo thời gian vec-tơ gia tốc tiếp tuyến vec-tơ vận tốc trùng hướng với Do đó, góc với góc và α tìm qua cơng thức: Bài 31: Một hạt chuyển động cung trịn bán kính R theo quy luật l = a sin ωt, l qng đường cung trịn tính từ vị trí ban đầu, a ω số Cho R = 1,00m; a = 0,80m; ω = 2,00rad/s Hãy xác định: a) gia tốc toàn phần hạt điểm l = l = ±a; b) giá trị cực tiểu gia tốc toàn phần wmin quãng đường lmin tương ứng Giải: Từ biểu thức => Vì (1) (2) a) Tại điểm , Do đó: Tương tự , Do Bài 32: Một hạt chuyển động mặt phẳng với gia tốc tiếp tuyến wt = a gia tốc pháp tuyến wn = bt4, a, b số dương t thời gian Tại thời điểm t = 0, điểm dứng yên Hãy xác định bán kính cong quỹ đạo gia tốc tồn phần w theo s Giải: Vì t = 0, vị trí dừng Vì v(t) s(t) v = at (sử dụng 1) Gọi R bán kính cong, Nhưng theo (1) nên hay (sử dụng 1) Do (sử dụng 2) Vậy Bài 33: Một hạt chuyển động quỹ đạo phẳng y(x) với vận tốc v có độ lớn khơng đổi Hãy xác định gia tốc hạt bán kính cong quỹ đạo điểm x = 0, quỹ đạo có dạng: a) parabol y = ax2; b) Một elip (x/a)2 + (y/b)2 = 1, a, b số Giải : a) Đạo hàm bậc hai phương trình quỹ đạo y(x) theo thời gian Vì hạt chuyển động đều, gia tốc tất điểm quỹ đạo pháp tuyến điểm x = trùng với hướng đạo hàm Tại điểm x = 0, Ta có => b) Đạo hàm phương trình quỹ đạo theo thời gian ta mà hàm ý vec-tơ vng góc với vec-tơ vận tốc Do vec-tơ cuộn dọc theo pháp tuyến thành phần pháp tuyến sử dụng Đạo hàm (1) Tại x = : (1) theo phương tiếp tuyến Và từ (1) nên (vì vec-tơ tiếp tuyến số = v) Do Điều cho Bài 34: Một hạt chuyển động đường trịn bán kính R = 50cm cho bán kính vec-tơ r hạt điểm O quay với vận tốc góc ω = 0,40rad/s Hãy xác định độ lớn vận tốc O hạt độ lớn với hướng vec-tơ gia tốc toàn phần Giải: Ta đặt hệ tọa độ điểm O hình vẽ, vec-tơ điểm A tạo góc θ với trục x thời điểm Lưu ý vec-tơ bán kính hạt A quay theo chiều kim đồng hồ ta lấy đường Ox đường chuẩn, trường hợp vận tốc góc hướng ngược chiều kim đồng hồ dịch chuyển góc theo chiều dương hay Từ tam giác OAC: A r R theo Ta viết: Đạo hàm theo thời gian: hay => => Vì vậy: Vì ω số, v số Cách khác: Từ hình vẽ, vận tốc góc điểm A, với tâm C trở thành: Do ta tìm vận tốc gia tốc hạt chuyển động trịn với bán kính R với vận tốc góc khơng đổi ω: Bài 35: Một bánh xe quay xung quanh trục cố định cho góc quay phụ thuộc vào thời gian theo quy luật φ = at2, với a = 0,20rad/s2 Hãy xác định gia tốc toàn phần điểm A vành bánh xe lúc t = 2,5s, biết lúc vận tốc dài điểm A v = 0,65m/s Giải: Đạo hàm theo thời gian (1) (2) Đối với trục quay cố định, tốc độ điểm A: Ta có: (sử dụng 1) Mà Nên Bài 36: Một vật rắn quay xung quanh trục cố định theo quy luật φ = at – bt3, với a = 6,0rad/s; b = 2,0rad/s3 Hãy xác định: a) Giá trị trung bình vận tốc góc gia tốc góc khoảng thời gian từ lúc t = đến lúc dừng lại; b) Gia tốc góc lúc vật rắn dừng lại Giải: Trục quay trục z mà chiều dương mà liên kết với hướng dương tọa độ góc quay φ (hình vẽ) a) Đạo hàm theo t hời gian: (1) Từ (1), vật rắn dừng lại Vận tốc góc cho Vì (2) Tương tự cho tất giả giá trị t Vì nên Do b) Từ (2) Bài 37: Một vật rắn quay xung quanh trục cố định với gia tốc góc β = at, với a = 2,0.10-2 rad/s3 Hỏi khoảng thời gian kể từ lúc chuyển động, vec-tơ gia tốc toàn phần điểm vật rắn làm góc α = 60o với véc-tơ vận tốc Giải: Góc α liên hệ với wn công thức: , với với R bán kính trịn mà điểm bất kìn vật quay quanh trục cố định (ở Từ biểu thức Tích phân giới hạn (1) , β dương cho tất giá trị t) hay Vì và wn (1), ta Đặt giá trị Bài 38: Một vật rắn quay chậm dần xung quanh trục cố định với gia tốc góc β ~√ω, với ω vận tốc góc Tại thời điểm đầu người ta truyền cho vật rắn vận tốc góc ω0 Tính vận tốc góc trung bình vật rắn khoảng thời gian chuyển động.91 Giải: Theo Với Do , với k hệ số tỉ lệ Hay , tổng thời gian quay (1) Vận tốc góc trung bình Bài 39: Một vặt rắn quay xung quanh trục cố định, vận tốc góc hàm góc quay φ cho ω = ω0 – aφ với ω0, a số dương Tại thời điểm t = φ = Hãy xác định theo thời gian: a) Góc quay; b) vận tốc góc Giải: Ta có Tích phân biểu thức theo t cho hay Do đó: (1) biểu thức (1) đạo hàm biểu thức (1):    Bài 40: Một vật rắn quay xung quanh trục cố định với gia tốc góc    cos  ,  véc-tơ khơng đổi φ góc quay tính từ vị trí ban đầu Hỏi vận tốc góc vật rắn phụ thuộc vào góc φ nào? Đồ thị hàm số b) Từ biểu thức Giải: Ta chọn hướng dương trục z (trục quay đứng yên) theo véc-tơ Tích hay phân biểu hay thức này, với giới hạn Theo biểu thức cho : hay Do đó: vẽ hình bên Ta thấy góc φ tăng, vécĐồ thị tơ tăng lần đầu tiên, trùng với hướng véc-tơ , đạt cực đại , sau bắt đầu giảm tới khơng Sau vật bắt đầu quay theo hướng dương tương tự Vật dao động quanh vị trí với biên độ Bài 41: Một đĩa quay (hình vẽ) chuyển động hướng dương trục x Tìm phương trình y(x) mơ ta vị trí trục quay tức thời, thời điểm ban đầu trục C đĩa đặt điểm O sau chuyển động a) với vận tốc v không đổi, đĩa bắt đầu quay ngược chiều kim đồng hồ với gia tốc góc khơng đổi β (vận tốc góc ban đầu khơng); b) với gia tốc không đổi w (và vận tốc ban đầu không), đĩa quay ngược chiều kim đồng hồ vơi vận tốc góc khơng đổi ω Giải: Đĩa quay chuyển động theo trục x, chuyển động phẳng mặt phẳng x-y Chuyển động phẳng vật rắn tưởng tượng quay quanh điểm I tâm quay tức thời biết Trục quay tức thời có hướng dương hướng của vật rắn qua điểm I, biết trục quay thức thời Do đó, véc-tơ vận tốc ủ điểm P vật rắn biểu diễn như: Dữa biểu thức (1) cho tâm đĩa (C) đĩa Theo Do điểm I ta có (2) , tức mặt phẳng x-y, để thỏa mãn biểu thức (2) có hướng phía tâm đĩa dọc theo trục y Sử dụng kiện biểu thức (2), hay (3) a) Từ phương trình động học quay: (4) hay Mặt khác x = vt (với x tọa độ x tâm đĩa) Hay Từ (4) (5): (1) (5) Sử dụng giá trị ω (3), ta có (hypebol) b) Vì tâm C chuyển động với gia tốc w, với vận tốc ban đầu khơng Vì Do Nên (parabol) Bài 42: Một điểm A vành bánh xe bán kính R = 0,50m; bánh xe lăn không trượt mặt phẳng ngang với vận tốc v = 1,00m/s Tìm: a) mơ-đun hướng véc-tơ gia tốc điểm A; b) quảng đường tổng cộng mà điểm A sai hai lần liên tiếp tiếp xúc với mặt phẳng ngang Giải: Chuyển động phẳng vật rắn tưởng tưởng kết hợp chuyển động tịnh tiến khối tâm chuyển động quay quanh khối tâm Vì ta viết (1) véc-tơ vị trí điểm A với điểm C Theo , lăn không trượt, tức Sử dụng điều kiên (2): (2) Vì Ở đây, véc-tơ đơn vị hướng dọc theo Do dọc theo hướng hướng theo tầm bánh xe b) Giả sử tâm bánh xe chuyển động sang phải (chiều dương trục x), bánh xe quay theo chiều kim đồng hồ Điểm A tiếp xúc với mặt nằm ngang t = 0, vị trí điểm A Nếu ω vận tốc góc bánh xe tâm bánh xe t = t Khi làm góc Từ (1): Hay (vì ) Vì vậy, : Quãng đường điểm A thời gian Bài 43: Một cầu bán kính R = 10,0cm lăn không trượt mặt phẳng nghiêng cho tâm chuyển động với gia tốc không đổi w = 2,50cm/s2 Sau t = 2,00s, kể từ lúc bắt đầu chuyển động vị trí cầu hình bên Hãy xác định: a) vận tốc điểm A, B O; b) gia tốc chúng Giải: Ta chọn hệ tọa độ xyz hình vẽ Quả cầu lăn khong trượt dọc theo bề mặt vật rắn nên ta có: (1) (2) Tại vị trí tương ứng hình vẽ, theo nên và (sử dụng 1) a) Vì điểm O tâm quay tức thời cầu thời điểm hình vẽ Nên Bây giờ: Vì (sử dụng 1) Tương tự Vì tạo góc 45o từ hai b) (hình vẽ) (sử dụng 1) véc-tơ đơn vị dọc theo với dọc tâm cầu Vì Bây giờ, (sử dụng 1) Vì Tương tự (sử dụng 1) (sử dụng 2) hướng Vì vậy: Bài 44: Một hình trụ lăn khơng trượt mặt phẳng ngang Bán kính hình trụ r Tìm bán kính cong quỹ đạo vạch hai điểm A B (hình bên) Giải: Ta biểu diễn sơ đồ động học hình trụ dựa vào 1.53 Vì điểm hình trụ theo đường cong, gia tốc pháp tuyến bán kính liên hệ với cơng thức Vì vậy, điểm A: , hay (bởi ) Tương tự điểm B: => , hay Bài 45: Hai vật rắn quay xung quanh trục giao cố định vng góc với với vận tốc góc Tìm mối liên hệ vận tốc góc gia tốc góc vật khơng đổi Giải: Vận tốc góc tương đối vật vật vận tốc tương đối tính Gia tốc tương đối vật vật vơi S’ hệ quy chiếu gắn với vật thứ hai S hệ quy chiếu cố định với gốc trùng với điểm giao hai trục, mà Vì S’ quay với vận tốc góc khơng gian, Tuy nhiên Lưu ý rằng, véc-tơ vật thứ quay với vận tốc góc khơng đổi , mối quan hệ khơng gian hệ (k) hệ (k’) quay với vận tốc góc Bài 46: Một vật rắn quay với vận tốc góc với a = 0,50 rad/s2, b = 0,060 rad/s3 Hãy xác định: a) Mô-đun véc-tơ vận tốc góc gia tốc góc thời điểm t = 10,0s; b) góc véc-tơ vận tốc góc gia tốc góc thời điểm Giải: Ta có Đạo hàm (1) theo thời gian (1) Vậy , nên (2) Vậy b) Thay giá trị a b vào t = 10,0s, ta Bài 47: Một hình nón trịn xoay có nửa góc đỉnh α = 30o bán kính đáy r = 5,0cm, lăn không trượt mặt phẳng ngang hình vẽ Đỉnh hình nón gắn vào khớp điểm O, độ cao với điểm C tâm đáy hình nón Vận tốc điểm C v = 10,0cm/s Hãy xác định: a) mô-đun véc-tơ vận tốc hình nón góc hợp véc-tơ với => đường thẳng đứng b) mơ-đun véc-tơ gia tốc góc hình nón Giải: Trục hình nón (OC) quay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc khơng đổi hình nón tự quay (hình vẽ) Vận tốc góc tổng hợp hình nón: quanh trục chiều kim đồng hồ với vận tốc góc (1) Vì quay thuần, độ lớn véc-tơ dễ dàng tìm từ hình (2) Vì , từ (1) (2): = b) Véc-tơ gia tốc góc: Véc-tơ dt (vì quay quanh trục OO’với vận tốc góc dạng véc-tơ ) mà có độ lớn tăng dần Sự tăng khoảng thời gian Do đó: (3) Độ lớn véc-tơ Vì vậy: Bài 48: Một vật rắn quay với vận tốc góc khơng đổi quanh trục thẳng đứng AB Tại thời điểm t = 0, trục AB bắt đầu quay quanh trục thẳng đứng với gia tốc góc khơng đổi Hãy xác định vận tốc góc gia tốc góc vật sau thời gian t = 3,5s Giải: Trục AB có vận tốc góc (1) Vận tốc góc vật Và gia tốc góc: Mà Vì nên Vì ... đồ thị vx(t) thành năm phần hình vẽ Đối với phần 0a: Do đó, Đặt t = 1, ta Đối với phần ab: Do đó: Đối với phần b4: Đặt Do đó, Đối với phần b4: Đặt Do đó, Đối với phần 4d: Đặt Vì vậy, cho... vật chuyển động thẳng vật vật vật 2, cho vật hệ quy chiếu vật 2, từ biểu thức động học cho gia tốc khơng đổi: (vì Vì ) Mà Vì vậy, từ tính chất tam giác: Ta được: Bài 6: Hai hạt chuyển động trọng... hạt chuyển động chiều, chuyển động theo trục x Tại t = x = Vì Do đó, Hay Tích phân: b) t thời gian hạt s(m) Từ biểu thức v  a x / hay Vận tốc trung bình hạt Bài 17: Một điểm chuyển động chậm