MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO

Tổng quan về các mô hình 3-3-1

Như đã đề cập trong phần mở đầu, mặc dù được xem là mô hình vật lý hạt thành công nhất khi dự đoán chính xác phần lớn các kết quả thực nghiệm đo được, mô hình chuẩn vẫn tồn tại những hạn chế cần phải mở rộng Nhiều dấu hiệu lý thuyết khác cũng chỉ ra rằng SM chỉ là lý thuyết hiệu dụng của một lý thuyết mở rộng tổng quát hơn Có nhiều hướng mở rộng mô hình chuẩn nhằm xây dựng lý thuyết mới Thứ nhất, người ta có thể xét các trường như ở mô hình chuẩn nhưng thêm vào các trường tương tác mới Theo cách này đã thu được các mô hình chuẩn mở rộng như mô hình 3-3-1, lý thuyết siêu đối xứng, lý thuyết thống nhất lớn,.v.v Thứ hai, trong lý thuyết mới ta xét các trường mới cùng các tương tác mới Tuy nhiên, hướng nghiên cứu này hiện đang gặp khó khăn vì chưa có cách liên hệ tốt giữa cơ chế làm việc của mô hình và các kết quả hiện tại.

Trong khuôn khổ của mô hình chuẩn, người ta đã xác định được số thế hệ fermion N f am Các kết quả thực nghiệm cho giá trị N f am rất gần

3, N f am = 2.99 ± 0.03 nhưng vẫn không lí giải được tại sao giá trị đó phải đúng bằng 3 Giá trị đó có thể được giải thích nếu nhóm isospin yếu

SU(2) L được mở rộng thành nhóm SU(3) L Để thực hiện việc mở rộng này, nhóm chuẩn SU(3) C ⊗SU(3) L ⊗U(1) X được đưa vào như một nhóm tổng quát hơn thay thế cho nhóm chuẩn SU(3) C ⊗SU(2) L ⊗U(1) Y của mô hình chuẩn, sao cho khi nhóm đối xứng chuẩn 3-3-1 bị phá vỡ tự phát, nhóm các đối xứng chuẩn sẽ được thu hẹp trở lại thành nhóm đối xứng của SM Các mô hình loại này gọi là mô hình 3-3-1.

Mô hình 3-3-1 đầu tiên được đề xuất bởi F.Pisano, V.Pleitez và P.H.Framton năm 1992 [40] ý tưởng là thống nhất lưỡng tuyến (ν a , l a ) T L và đơn tuyến lepton l aL c của SM thành tam tuyến (ν a , l a , l c a ) T L của SU(3) L trong mô hình mở rộng, trong đó kí hiệu c là liên hợp điện tích và T là lấy chuyển vị, L là kí hiệu cho thành phần phân cực trái Điều kiện khử dị thường yêu cầu các quark phân cực trái trong một thế hệ biến đổi như tam tuyến, còn hai thế hệ còn lại biến đổi như phản tam tuyến của nhóm

SU(3) L , các quark phân cực phải của cả ba thế hệ là đơn tuyến của nhóm này Mô hình này được gọi là mô hình 3-3-1 tối thiểu.

Mô hình 3-3-1 thứ hai được phát triển bởi nhóm tác giả R.Root, H.N.Long và Tuan A.Tran năm 1994 [82] dựa trên các ý tưởng đã có [83,84], với ý tưởng là thêm vào lưỡng tuyến neutrino-lepton của SM một neutrino phân cực phải ν aR , tam tuyến lepton thu được là (ν a , l a , ν a c ) T L Điều kiện khử dị thường yêu cầu các biểu diễn quark giống như trong mô hình 3-3-1 tối thiểu Q3L = (u3, d3, U) T L , QαL = (dα,−u α , Dα) T L Các quark ngoại lai

U và Dα nhận các điện tích giống với các quark thông thường, nghĩa là qU = 2/3 và qD α = −1/3 Mô hình chỉ cần ba tam tuyến Higgs boson để phá vỡ đối xứng nhóm SU(3) L ⊗U(1) X về nhómU(1) Q trong khi mô hình3-3-1 tối thiểu cần thêm một lục tuyến Higgs Mô hình có thêm neutrino phân cực phải này được gọi là mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải

Như vậy, nhóm đối xứng của mô hình 3-3-1 là:

SU(3) C ⊗SU(3)L ⊗U(1)X, trong đó SU(3)C là nhóm đối xứng màu của các tương tác mạnh, SU(3)L là nhóm đối xứng phân cực trái của các tương tác yếu, tác động lên các fermion phân cực trái U(1)X là nhóm đối xứng U(1) liên quan đến số lượng tử mới X-tích Trong mô hình 3-3-1, các hạt lepton phân cực trái được sắp xếp vào các tam tuyến hoặc phản tam tuyến của nhóm SU(3) L , còn các quark phải có một thế hệ biến đổi khác so với hai thế hệ còn lại. Gần đây, mô hình 3-3-1 đảo (3-3-1 flipped) [119] không tuân theo quy tắc trên Trong mô hình 3-3-1 đảo, các lepton được sắp xếp vào lục tuyến và phản tam tuyến, còn các quark đều được sắp xếp vào tam tuyến.

Như ta biết nhóm SU(3) có 8 vi tử, nhóm SU(2) có 3 vi tử Việc mở rộng nhóm đối xứng SU(2) L thành SU(3) L khiến nhóm đối xứng mới tăng thêm 5 vi tử Do đó, trong mô hình sẽ có thêm 5 boson mới so với mô hình chuẩn Đồng thời, các hạt quark và lepton được mở rộng từ lưỡng tuyến thành tam tuyến hoặc phản tam tuyến Do mở rộng từ SM, cấu trúc fermion của mô hình 3-3-1 đã bao hàm cấu trúc fermion của mô hình chuẩn Hai thành phần trên của tam tuyến (hoặc phản tam tuyến) được đồng nhất với fermion của mô hình chuẩn Thành phần thứ ba đối với các quark là quark nặng, với lepton thì tùy thuộc mô hình mà ta tùy chọn. Xét mô hình 3-3-1 trong đó các fermion phân cực trái được xếp vào tam tuyến của nhómSU(3)L, toán tử điện tích của mô hình được xác định bởi biểu thức:

Q = αT 3 +βT 8 +δX, (1.1) trong đó α, β, δ là các hằng số tùy thuộc vào mô hình mà ta nghiên cứu.

T 3,8 = λ 3,8 /2;λ 3 vàλ 8 là các ma trận chéo thuộc nhóm ma trận Gell-mann, chúng có giá trị: λ 3 

(1.2) Để tìm các giá trị α, β ta giải phương trình trị riêng của toán tử điện tích

QL a L = q L a L a L , trong đó L a L là các đa tuyến fermion của mô hình, còn q L a là điện tích của đa tuyến Thay các giá trị của λ 3 và λ 8 vào phương trình (1.1) ta được:

Thay Q ở (1.3) vào phương trình trị riêng ta được phương trình:

Với mô hình 3-3-1 tổng quát khi các lepton phân cực trái được sắp xếp vào tam tuyến của nhóm SU(3) L , trong đó hai thành phần đầu là các lepton của mô hình chuẩn, thành phần thứ ba là lepton ngoại lai E a thêm vào đáy của tam tuyến Khi đó tam tuyến lepton được biểu diễn như sau:

∼(1,3, X), (1.5) với điện tích của lepton ngoại lai E a là q E Thay giá trị điện tích của các hạt ở (1.5) vào (1.4) ta được:

Cân bằng các vế ta có hệ phương trình sau:

Giải hệ phương trình ở 1.7 ta được:

(1.8) Để đơn giản, chọn δ = 1, khi đó X L = − 1 2 − β

3. Như vậy, biểu thức của toán tử điện tích trong các mô hình 3-3-1 với β bất kì có dạng:

Q= T 3 +βT 8 +XI, (1.9) tham số β tùy thuộc mô hình đóng vai trò rất quan trọng trong từng mô hình cụ thể. Để phá vỡ đối xứng và sinh khối lượng cho các hạt fermion, tùy thuộc vào các mô hình 3-3-1 khác nhau mà số lượng đa tuyến Higgs đưa vào là khác nhau Chẳng hạn với mô hình 3-3-1 tiết kiệm, ta chỉ cần dùng hai tam tuyến Higgs trong khi với neutrino phân cực phải cần dùng ba tam tuyến, còn mô hình 3-3-1 tối thiểu cần ba tam tuyến Higgs và một lục tuyến để có thể phá vỡ đối xứng tự phát Sự mở rộng nhóm chuẩn cũng dẫn đến sự xuất hiện của các boson chuẩn mới đó là boson chuẩn trung hòa Z và boson chuẩn mang điện V Q tùy thuộc mô hình Boson trung hòa mới mang đặc điểm khác với boson trung hòa của mô hình chuẩn cũng như của các mô hình vật lý mới Khối lượng của boson chuẩn trung hòa của một số mô hình 3-3-1 trên thực tế bị chặn trên thông qua mối liên hệ: g 0 g = 3√

2s W p3−4s 2 W (1.10) trong đó g và g 0 lần lượt là các hằng số tương tác của nhóm đối xứng điện yếu SU(3) L và U(1) X , s W là sin của góc Weinberg, s 2 W ' 0.231, g = e/s W

Mô hình 3-3-1 với cơ chế seesaw nghịch đảo

Mô hình 3-3-1 với cơ chế seesaw nghịch đảo (331ISS) được đưa ra trong các tài liệu [72, 73], dựa trên mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải, trong đó mô hình bảo toàn số lepton tổng quát [71] cho thế Higgs đơn giản hơn các mô hình được đề cập trước đó Như đã đề cập ở phần trước, mô hình 331RHN được mở rộng từ SM bằng cách thêm vào lưỡng tuyến fermion của SM một neutrino phân cực phải, khi đó lưỡng tuyến của nhóm SU(2) L trở thành tam tuyến SU(3) L Nhóm đối xứng chuẩn của mô hình là:

SU(3) C ⊗SU(3) L ⊗U(1) X trong đó các lepton phân cực trái được sắp xếp vào các tam tuyến của nhóm SU(3) L , thành phần thứ 3 của tam tuyến là các neutrino phân cực phải N a 0 ta đưa vào.

: (1,3,−1/3), (1.11) với l a 0 , ν a 0 lần lượt là kí hiệu cho các lepton mang điện, neutrino tương ứng của mô hình chuẩn; N a 0 là neutrino phân cực phải đưa vào mô hình,

N aL 0c ∼= N aR 0 , a = 1,2,3 là chỉ số thế hệ lepton Ta kí hiệu chữ cái L(left) biểu thị cho các hạt phân cực trái, và tương ứngR(right) cho các hạt phân cực phải Đối với các hạt quark, thành phần thứ ba của quark phân cực trái được sắp xếp vào tam tuyến của nhóm SU(3) L , hai thành phần thứ nhất và thứ hai được sắp xếp vào phản tam tuyến của nhóm.

Thay giá trị điện tích q N a 0 = 0 của neutrino N a 0 vào phương trình trị riêng (1.7) ta tìm được β = − √ 1

3 Như vậy toán tử điện tích của mô hình 331RHN ứng với nhóm điện yếu SU(3) L ⊗U(1) X có dạng:

3, T 3,8 là các vi tử của nhóm SU(3) L Các bằng chứng thực nghiệm về dao động của neutrino chứng tỏ neutrino có khối lượng nhỏ và giữa chúng có sự trộn lẫn, vấn đề này có thể được giải thích thông qua cơ chế seesaw Như ta đã biết, trong SM không có neutrino phân cực phải, khối lượng neutrino Dirac bằng không Cơ chế seesaw loại I [85] giả thiết đưa vào mô hình các neutrino nặng phân cực phải ν R là các đơn tuyến của nhóm, khi đó neutrino phân cực phải có thể tương tác với các neutrino nhẹ phân cực trái thông qua tương tác Yukawa.

Khối lượng các neutrino thỏa mãn m ν ∼ m m 2 D

R, với m D là khối lượng Dirac và mR là khối lượng Majorana của neutrino νR Vì khối lượng mD tỉ lệ với thang điện yếu và các trạng thái neutrino nhẹ có khối lượng cỡ O(∼1eV) nên khối lượng mR phải cỡ thang thống nhất lớn O(∼ 10 16 GeV) Cơ chế seesaw loại II [86] được mở rộng bằng cách thêm vào mô hình thành phần tam tuyến vô hướng ∆, để đảm bảo khối lượng nhỏ của neutrino thì khối lượng của tam tuyến vô hướng cỡ M ∆ ∼ 10 14−15 GeV, mức năng lượng này khó có thể kiểm chứng ở thang năng lượng hiện tại của các máy gia tốc Để khắc phục điều này, một trong những cách phổ biến là sử dụng cơ chế seesaw nghịch đảo (ISS) [87] Với cơ chế này, mô hình được thêm vào một neutrino trơ (gọi là sterile) bên cạnh neutrino nặng phân cực phải, neutrino mới thờm vào cú khối lượng à N thỏa món à N m D Khối lượng cỏc neutrino thu được m ν ∼ M v 2 2à N Khi thang năng lượng seesaw

M ∼ TeV và m ν ∼eV thỡ giỏ trị của à N rất nhỏ cỡ vài chục eV đến keV nên được gọi là cơ chế seesaw nghịch đảo Cơ chế ISS có thang năng lượng thấp hơn có thể kiểm tra được các hiện tượng vật lý mới và hứa hẹn nhiều hiện tượng phong phỳ, như quỏ trỡnh cLFV à→ eγ, v.v. Để xây dựng mô hình 331ISS, trên cơ sở mô hình 331RHN, chúng tôi thêm vào mô hình đơn tuyến neutrino mới F a 0 (a = 1,2,3) Khi đó trongLagrangian tương tác Yukawa của các lepton, ngoài số hạng trộn giữa neutrino thông thường và neutrino phân cực phải (của mô hình 331RHN) sẽ xuất hiện thêm số hạng tương tác giữa neutrino phân cực phải và neutrinoISS mới đưa vào, làm tăng nguồn vi phạm LFV Để phá vỡ đối xứng tự phát, sinh khối lượng cho các hạt trong mô hình, ta cần đưa vào ba tam tuyến vô hướng Higgs ρ, η và χ Trong đó tam tuyến χ sinh khối lượng cho các fermions nặng, còn hai tam tuyến ρ và η sinh khối lượng cho các hạt fermion trong mô hình chuẩn ở thang điện yếu, chúng tôi sẽ trình bày cụ thể ở chương sau.

Nguồn vi phạm số lepton liên quan đến rã LFVHD, cLFV

Lý thuyết đầu tiên về sự chuyển hóa neutrino được chỉ ra tương tự quá trình chuyển hóa giữa các kaon trung hòa và sự chuyển hóa giữa hai neutrino khác nhau về số vị cũng đã được thảo luận Tổng hợp các kết quả thực nghiệm về neutrino cho đến nay được cho trong [102] và khá phù hợp với dạng trộn tribimaximal của các neutrino.

Dao động neutrino là một bằng chứng rõ ràng nhất cho rã vi phạm số lepton thế hệ của các lepton trung hòa, cũng có nghĩa rằng có thể sẽ tồn tại các quá trình rã LFV liên quan đến các lepton mang điện Đây chính là những tín hiệu NP ngoài SM Các trung tâm thực nghiệm đã và đang cố gắng để tìm kiếm các kênh rã vi phạm số lepton mang điện [103, 104] mặc dù SM dự đoán không tồn tại kênh rã này.

Nguồn chính dẫn đến vi phạm số lepton là do có sự trộn lẫn giữa các thế hệ khác nhau của các neutrino, các hạt lepton mới được thêm vào trong các BSM Như vậy nhiều BSM có nguồn vi phạm số lepton như lớp các mô hình siêu đối xứng, các mô hình seesaw, các mô hình 3-3-1, v.v. Trong phạm vi luận án này chúng tôi chỉ quan tâm đến các mô hình 3-3-1, cụ thể là mô hình 3-3-1 với cơ chế seesaw nghịch đảo. Đầu tiên, chúng tôi nói đến nguồn LFV từ các neutrino mới Trong mô hình 331ISS, ngoài các neutrino thông thường còn có sự đóng góp của các neutrino mới Các neutrino mới phân cực trái được xếp vào tam tuyến của SU(3) L , thành phần phân cực phải xếp vào đơn tuyến Những đóng góp từ các neutrino mới là đáng kể so với những đóng góp từ các neutrino trong SM Theo cơ chế ISS, hằng số tương tác Yukawa mới tỷ lệ với khối lượng mν cho đóng góp đáng kể vào tỉ lệ rã nhánh của quá trình rã LFV. Các neutrino không cùng thế hệ cũng có thể trộn lẫn và góc trộn nhận giá trị lớn do chưa có ràng buộc từ thực nghiệm.

Thứ hai, nguồn LFV đến từ những tương tác mới giữa các Higgs boson tựa SM và các boson chuẩn mới, với các Higgs boson mang điện mới Những hạt mới này tạo ra thêm nhiều các giản đồ đóng góp bậc một vòng cho quá trình rã LFV Ví dụ trong mô hình 331ISS, có thêm boson chuẩn Y ± và các Higgs boson mang điện tích đơn H 1 ± , H 2 ± Đóng góp của các Goldston boson luôn bằng không khi chúng ta thực hiện các tính toán trong chuẩn unitary Vì vậy chúng tôi sẽ không đề cập đến tất cả các yếu tố liên quan đến Goldstone boson.

Như vậy, các đỉnh tương tác LFV sẽ được tính từ Lagrangian Yukawa, thành phần động năng hiệp biến và thế Higgs Từ đó giản đồ Feynman cho quá trình rã h → lalb và la → lbγ cũng được xác lập Tỷ lệ rã nhánh của các quá trình rã trên có thể sẽ phụ thuộc vào các tham số mới như khối lượng các hạt Higgs boson mang điện mới và neutrino mới được thêm vào, thang phá vỡ của nhóm SU(3) L

KÊNH RÃ l a → l b γ VÀ h → l a l b TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO 24

Cấu trúc hạt và thế Higgs trong mô hình

Chúng tôi xét mô hình 331ISS được xây dựng dựa trên mô hình 331RHN, được đưa ra trong [71] với các neutrino nặng Majorana được đưa vào, toán tử điện tích của mô hình ứng với nhóm điện yếu SU(3)L⊗U(1)X có dạng:

√3T8 + XI, (2.1) với T 3,8 là các vi tử của nhóm SU(3) L Do các thế hệ quark và nhóm màu

SU(3) C không tham gia vào quá trình rã LFV nên chúng tôi tạm thời không đề cập đến ở đây.

Do mở rộng từ mô hình chuẩn, cấu trúc fermion của các mô hình 331 đã bao hàm cấu trúc fermion của SM Đối với mỗi thế hệ, các lepton phân cực trái được xếp vào tam tuyến của nhómSU(3) L , các neutrino mới phân cực phải được xếp vào đơn tuyến của nhóm SU(3)L Đối với quark, thành phần thứ ba của quark phân cực trái được xếp vào tam tuyến của nhóm

SU(3)L, hai thành phần còn lại được xếp vào phản tam tuyến Các quark phân cực phải cũng được xếp vào đơn tuyến của nhóm SU(3)L Như vậy, sự sắp xếp các hạt được biểu diễn cụ thể như sau:

, (2.2) với a = 1,2,3 là chỉ số thế hệ, α = 1,2 là tương ứng chỉ số thế hệ thứ nhất và thứ hai của các quark, U L 0 và D αL 0 lần lượt là các quark up và down ngoại lai, còn N aL 0c ∼= N aR 0 là các neutrino phân cực phải được thêm vào đáy của tam tuyến lepton trong mô hình 331RHN Sự khác biệt giữa mô hình 331RHN và mô hình 331ISS là mô hình 331ISS có chứa thêm ba đơn tuyến neutrino mới phân cực phải F aR 0 ∼ (1,1,0), a= 1; 2; 3 được xếp vào đơn tuyến của nhóm SU(3) L , chúng kết hợp với tam tuyến Higgs của nhóm SU(3) L để sinh khối lượng cho các neutrino thông qua cơ chế ISS. Trong công thức (2.2), số lượng tử đầu tiên trong mỗi ngoặc đơn biểu thị biểu diễn của nhóm SU(3) C , số lượng tử thứ hai tương ứng là biểu diễn của nhóm SU(3) L , và số lượng tử thứ ba là X-tích của nhóm U(1) X

2.1.2 Higgs boson Để sinh khối lượng cho các hạt trong mô hình, ta đưa vào ba tam tuyến vô hướng Higgs ρ, η và χ Để thỏa mãn điều kiện bất biến của Lagrangian, các tam tuyến Higgs đưa vào phải có dạng như sau: η 

 : (1,3,−1/3) (2.3) Để tránh sự trộn lẫn giữa quark thông thường và quark ngoại lai có thể tạo nên dòng trung hòa thay đổi số vị, đối xứng gián đoạn Z2 được thêm vào trong [109] Cụ thể, tất cả các quark ngoại lai phân cực phải và χ là lẻ trong đối xứng này, trong khi các hạt còn lại là đối xứng chẵn Thế tương tác Yukawa sinh khối lượng các quark đã được thảo luận chi tiết trong[109] chúng tôi không đề cập tới ở đây.

Các trung bình chân không được chọn như sau: hηi = 1

 , sự phá vỡ đối xứng của nhóm SU(3) C ⊗SU(3) L ⊗U(1) X trải qua hai giai đoạn: giai đoạn thứ nhất được thực hiện bởi tam tuyến Higgs vô hướng χ sinh khối lượng cho các hạt mới có liên quan đến thang phá vỡ SU(3) L , giai đoạn thứ hai được thực hiện bởi tam tuyến (ρ, η) sinh khối lượng cho các hạt trong SM và neutrino thông thường theo sơ đồ như sau:

Chúng ta biết rằng các quark U, D và các trường chuẩn mới phải rất nặng so với hạt truyền tương tác trong mô hình chuẩn, do đóω u, v Mô hình có hai trường Higgs boson trung hòa nhận giá trị trung bình chân không (VEV) bằng không η 3 0 = χ 0 1 = 0. Các Higgs boson trung hòa trong mô hình được viết như sau: ρ 0 2 = 1

√2(ω +R 3 +iI 3 ) (2.4) Trong mô hình có hai đối xứng toàn cục, là số lepton thông thường kí hiệu là L và số lepton mới được đưa vào, kí hiệu L Hai số lepton liên hệ với nhau bởi biểu thức [71, 110]

√3T 8 + L, (2.5) theo đó, số lepton thông thường L của η 1 0 , ρ 0 2 và χ 0 3 là bằng không, ngược lại η 3 0 và χ 0 1 có số lepton L = 2 nên VEV phải bằng không để tránh vi phạm số lepton mới Chi tiết các số lepton khác không của L và L được liệt kê trong bảng 2.1. Để sinh khối lượng cho các hạt neutrino nặng ở mức cây và tạo ra các

Bảng 2.1: Số lepton thông thường L(trái) và số lepton mớiL (phải) của lepton và Higgs boson trong mô hình 331RHN

L 4 3 2 3 2 3 1 3 1 góc trộn, chúng tôi sử dụng cơ chế ISS được đưa ra trong [81], thêm vào mô hình ba đơn tuyến neutrino phân cực phải F aR 0 ∼ (1,1,0), a = 1; 2; 3. Khối lượng của các lepton được suy ra từ Lagrangian tương tác Yukawa như sau:

−L Y LF = h e ab L 0 aL ρl 0 bR −h ν ab ijk (L 0 aL ) i (L 0 bL ) c j ρ ∗ k

2(à F ) ab (F aR 0 ) c F bR 0 + H.c., (2.6) trong công thức (2.6), các số hạng F bR 0 , F aR 0 xuất hiện là do các neutrino phân cực phải F aR 0 đưa vào; ijk là tensor phản xứng, 123 = 1; 213 = −1; (L 0 aL ) c ≡((v aL 0 ) c ,(l 0 aL ) c ,(N aL 0 ) c ) T ; h ν ab là ma trận phản xứng.

Số hạng đầu tiên của (2.6) sinh khối lượng cho các lepton mang điện, thỏa mãn h e ab ≡ √

2δ ab m v a Số hạng thứ hai của (2.6) cho đóng góp vào khối lượng Dirac của các neutrino Số hạng tiếp theo mô tả sự trộn lẫn giữa N a 0 và F a 0 theo cơ chế ISS, còn số hạng cuối cùng sinh khối lượng cho cỏc hạt neutrino Majorana F a 0 , trong đú à F là ma trận đối xứng 3ì3 và L(F aR 0 ) = L(F aR 0 ) = −1.

Nhúm đối xứng chuẩn SU(3) L ⊗U(1) X cú 8 boson chuẩn W à a , (a 1,2, ,8) của nhúm SU(3) L và boson F à của nhúm U(1) X , tương ứng với

8 vi tử T a của nhóm SU(3) L và một vi tử của nhóm U(1) X là T 9 Đạo hàm hiệp biến trong trường hợp này được viết như sau:

D à = ∂ à −igW à a T a −ig 0 XF à T 9 , (2.7) với a = 1,2,3, ,8 Ở đây, chúng tôi kí hiệu g và g 0 lần lượt là các hằng số tương tác của nhóm đối xứng điện yếu SU(3) L và U(1) X ) T a = λ 2 a , với λ a là các ma trận Gell-Mann T 9 = √ I 3

6 cho đơn tuyến Mối liên hệ giữa g và g 0 thể hiện thông qua sin của góc trộn Weinberg như sau: g = e/s W , g 0 g = 3√

2s W p3−4s 2 W , (2.8) trong đó e và s W tương ứng là điện tích và sin của góc Weinberg, s 2 W ' 0.231 Giá trị g 0 /g xác định ở (2.8) là như nhau cho cả tam tuyến lepton và phản tam tuyến lepton [26, 27].

Các hạt boson chuẩn trong mô hình nhận khối lượng thông qua số hạng động năng hiệp biến như sau:

Phổ khối lượng và trạng thái các hạt

2.2.1 Khối lượng các Higgs boson

Mô hình bao gồm các Higgs boson mang điện và các Higgs boson trung hòa Từ thế Higgs được cho bởi phương trình (2.11) và điều kiện cực tiểu của thế Higgs trong (2.12), thực hiện khai triển và chỉ giữ lại các số hạng bậc hai theo các trường mang điện, chúng tôi thu được số hạng trộn lẫn giữa các trường Chéo hóa ma trận chúng ta thu được khối lượng và trạng thái riêng của các Higgs boson Có hai cặp Higgs mang điện là H 1,2 ± và các Goldstone boson của W ± and Y ± được kí hiệu là G ± W và G ± Y tương ứng Mối liên hệ giữa các trạng thái ban đầu và trạng thái vật lý của các

Higgs boson mang điện là:

Y = 0, và c α ≡ cosα, s α ≡ sinα, t α ≡ tanα = ω v Các thành phần của trường vô hướng được xây dựng như ở phương trình (2.4), mô hình chứa 4 Higgs trung hòa CP chẵn h 0 1;2;3;4 và một Goldstone boson (F 0 ) của boson chuẩn non-Hermitian Sự trộn lẫn giữa Higgs trung hòa h 0 4 và Goldstone của boson X 0 phụ thuộc vào góc γ, (t γ ≡ tanγ = ω u ).

Ba Higgs CP chẵn h 0 1;2;3 thường trộn lẫn nhau và liên hệ với các thành phần ban đầu theo công thức:

, (2.14) ở đây s β = sinβ và c β = cosβ, được xác định bởi: sβ (4λ 1 −m 2 h 0

Chỉ có một hạt boson Higgs trung hòa CP chẵn h 0 1 có khối lượng tỉ lệ với thang điện yếu và được cho là hạt Higgs tựa mô hình chuẩn (SM-like Higgs boson). m 2 h 0

(2.16) Hai hạt Higgs trung hòa còn lại (h 0 2 , h 0 3 ) trong (2.14) có khối lượng trên thang phá vỡ đối xứng điện yếu (m h 0

2,3 ∼ ω), chúng nằm ngoài phạm vi LFVHDs vì vậy chúng tôi không đề cập ở đây.

2.2.2 Khối lượng neutrino và cơ chế ISS

Từ Lagrangian tương tác Yukawa ở phương trình (2.6), ta thấy khối lượng các lepton mang điện được sinh ra từ số hạng thứ nhất, và để đảm bảo không xuất hiện số hạng vi phạm (LFV) ở bậc cây, thì hằng số tương tác h e ab phải thỏa mãn h e ab = √

2δ ab m a /v Do đó khối lượng của các hạt lepton mang điện được xác định bởi: m a = h e a v/√

2. Thay các giá trị của tensor ijk vào số hạng thứ hai của (2.6), sau cùng ta thu được: h ν ab ijk (L 0 aL ) i (L 0 bL ) c j ρ ∗ k = 2h ν ab h

−l aL 0 (ν bL 0 ) c ρ − 3 + l 0 aL (N bL 0 ) c ρ − 1 −ν aL 0 (N bL 0 ) c ρ 0∗ 2 i , (2.17) số hạng cuối cùng trong (2.17) có được là do chúng tôi sử dụng biến đổi

N aL 0 (ν bL 0 ) c = ν bL 0 (N aL 0 ) c Số hạng này cho đóng góp vào khối lượng Dirac của neutrino

−L ν mass = ν L 0 m D N R 0 + H.c., (2.18) với ν L 0 ≡ (ν 1L 0 , ν 2L 0 , ν 3L 0 ) T , N R 0 ≡((N 1L 0 ) c ,(N 2L 0 ) c ,(N 3L 0 ) c ) T và mD có dạng: (mD)ab ≡ √

Số hạng thứ ba trong phương trình (2.6) sinh khối lượng cho các neutrino nặng, dẫn đến kết quả lằ hằng số tương tác Yukawa Y ab lớn, phù hợp với tam tuyến Higgs của nhóm SU(3) L Để biểu thị sự trộn lẫn giữa

N a 0 and F a 0 , ta đưa vào ma trận M R được xác định bởi (M R ) ab = Y ab √ ω

2 Số hạng thứ tư (số hạng cuối cùng) trong phương trình (2.6) là thành phần duy nhất cú sự vi phạm cả hai số lepton L và L, do đú giỏ trị à F cú thể coi rất nhỏ, đây là điểm quan trọng của mô hình 331ISS.

Trong cơ sở mới gồm chín thành phần neutrino n 0 L 

 , số hạng khối lượng của neutrino trong (2.6) có dạng:

Trong công thức (2.20), M ν là ma trận 9× 9, M R là ma trận 3× 3 có

2, với a, b = 1,2,3, ma trận M R không xuất hiện trong mô hình 331RHN Ở dạng thông thường, ma trận M ν có thể viết dưới dạng như sau:

, (2.22) ma trận khối lượng Dirac m D là phản đối xứng, ma trận à F là đối xứng. Để xác định các trị riêng khối lượng và trạng thái vật lý của các neutrino, ta chéo hóa ma trận M ν bằng một ma trận Unita U ν bậc 9×9:

U νT M ν U ν = ˆM ν = diag(m n 1 , m n 2 , , m n 9 ) = diag( ˆm ν ,Mˆ N ), (2.23) trong đó m n i (i = 1,2, ,9) là trị riêng khối lượng của chín trạng thái riêng khối lượng n iL (trạng thái vật lý của neutrino) Các ma trận khối lượng có dạng chéo ˆ m ν = diag(m n 1 , m n 2 , m n 3 ), (2.24)

Mˆ N = diag(m n 4 , m n 5 , , m n 9 ), (2.25) tương ứng với khối lượng của ba neutrino nhẹ (n 1L , n 2L , n 3L ) và sáu neu- trino mới (n 4L , , n 9L ) Mối liên hệ giữa các trạng thái riêng thế hệ và trạng thái riêng khối lượng là: n 0 L = U ν ∗ n L , and (n 0 L ) c = U ν (n L ) c , (2.26) trong đó n L ≡ (n 1L , n 2L , , n 9L ) T ; (n L ) c ≡ ((n 1L ) c ,(n c 2L ), ,(n 9L ) c ) T Spinor 4 thành phần n i được định nghĩa là n i ≡ (n iL ,(n iL ) c ) T = n c i (n i ) c , với n iL ≡ P L n i và n iR ≡ P R n i = (n L,i ) c , P L,R = 1±γ 2 5 là toán tử chiếu trái, phải Tương tự với trạng thái neutrino ban đầu ta có:

Ma trận trộn U ν được viết dưới dạng như sau [119]:

, (2.28) trong đó O ở cột thứ hai là ma trận 3 ×6 có tất cả các phần tử bằng không, U, V và Ω lần lượt là các ma trận unita 3×3,6×6 và 9×9 Ma trận Ω được viết dưới dạng như sau:

+O(R 3 ), (2.29) trong công thức (2.29), R là ma trận 3×6 trong đó trị tuyệt đối của tất cả các yếu tố ma trận kí hiệu chung là |R| và thỏa mãn |R| < 1 Ma trận

U trong công thức (2.28) là ma trận Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata

U = U PMNS mà ta đã biết [65]

 ×diag(1, e i σ 2 1 , e i σ 2 2 ), (2.30) và c ab ≡ cosθ ab , s ab ≡ sinθ ab Trong phạm vi luận án này, chúng tôi cố định pha Dirac (δ) và pha Majorana (σ 1 , σ 2 ) là δ = π, σ 1 = σ 2 = 0 Trong trường hợp phân bậc thông thường, giá trị phù hợp nhất của các tham số dao động neutrino (thỏa mãn giá trị cho phép 3σ) là [13] s 2 12 = 0.32, s 2 23 = 0.551, s 2 13 = 0.0216,

Vì v ω do đó |M D | |M N |, trong đó |M D | và |M N | là các khối lượng đặc trưng cho thang của M D , M N Cơ chế ISS dẫn đến các mối liên hệ seesaw cụ thể là [119]

2M N R † R, (2.35) với mˆ ν là ma trận khối lượng các neutrino nhẹ ở (2.24) Trong khuôn khổ mô hình 331RHN có thêm vào các đơn tuyến F a 0 , khối lượng neutrino Dirac m D phải thỏa mãn điều kiện phản xứng, đây là điều kiện đặc trưng bị áp đặt bởi tương tác tam tuyến lepton đặc trưng cho mô hình đang được chúng tôi khảo sát Từ kết quả ở [74], với mục đích tạo ra các vùng không gian tham số có sự vi phạm LFVHDs, mD có thể được chọn như sau (do tính chất hoàn toàn phản xứng của mD): m D ≡%

, (2.36) do đó m D chỉ có ba tham số độc lập, x 13 , x 23 , và % = √

2vh ν 23 là thực và dương. Điều kiện bắt buộc ma trận m ν trong (2.34) là đối xứng (m ν ) ij = (m ν ) ji , các thành phần của nó được xác định bởi

(m ν ) ij = (m D ) ik (M −1 ) kl (m T D ) lj , (k 6= i, l 6= j) (2.37) cụ thể là:

Giải phương trình (2.39) dẫn đến hai nghiệm của x 13 , x 23 và một phương trình chỉ ra mối liên hệ chặt chẽ giữa ma trận m ν như sau: x 13 = (m ν ) 23 [ (m ν ) 2 13 −(m ν ) 11 (m ν ) 33 ] +(m ν ) 13 √

Dựa trên các dữ liệu thực nghiệm về dao động của neutrino trong (2.31), ma trận Dirac bây giờ chỉ phụ thuộc vào % như sau m D ' %×

Ta thấy rằng giá trị m D ở phương trình (2.43) có giá trị khác với tài liệu ở [81] Sự khác biệt này là do phương trình (2.39) có nhiều hướng giải khác nhau, tuy nhiên kết quả thu được ở (2.43) là phù hợp tốt để khảo sát LFVHDs Trong luận án này, chúng tôi xét trường hợp đơn giản ma trận M R có dạng chéo và tất cả cá phần tử đều dương Để đơn giản trong khảo sát số, chúng tôi xét ma trận có dạng chéo M R ≡ k × % × diag(M R , M R , M R ) Tham số k sẽ cố định tại các giá trị đủ nhỏ để đảm bảo tỉ lệ rã LFVHD càng lớn càng tốt Ma trận khối lượng neutrino toàn phần M ν trong phương trình (2.20) chỉ phụ thuộc vào tham số tự do %, khối lượng neutrino nặng và ma trận U ν có thể tìm được bằng cách giải số mà khụng bị ảnh hưởng bởi % vỡ giỏ trị à F rất nhỏ so với % (|à F | %). Như vậy, khối lượng neutrino và các tham số trộn xác định bởi ma trậnmν trong phương trình (2.34) được sử dụng để tính toán ma trận mD và được coi là tham số tự do, sau đó ma trận khối lượng toàn phần được chéo hóa trực tiếp bằng phần mềm giải số để tìm khối lượng neutrino cũng như ma trận trộn U ν theo phương trình (2.28) Các giá trị của k phải thỏa mãn k > 1 và phải đủ nhỏ để đảm bảo yêu cầu về triển khai gần đúng ma trận Ω trong phương trỡnh (2.29) và điều kiện à F > m n 3 Cỏc kết quả khảo sát của chúng tôi cho thấy khik ≥ 9các giá trị đầu vào tương ứng cố định tại các giá trị trung tâm (best-fit) trong (2.31) luôn nằm trong phạm vi 3σ của dữ liệu thực nghiệm, do vậy chúng tôi sẽ sử dụng ma trận m D cho bởi phương trình (2.43) và k ≥ 9 để giải số.

Đỉnh tương tác cho đóng góp vào quá trình rã cLFV và LFVHD 39

Nguồn vi phạm số lepton trong mô hình đến từ tương tác của các lepton, các Higgs boson mới Ở đây chúng tôi chỉ tập trung đến các đỉnh đóng góp của quá trình rã la → lbγ và rã của Higgs boson h → lalb ở bổ đính bậc một vòng, trong đó h 0 1 được đồng nhất với Higgs boson (h) trong mô hình chuẩn.

Sau đây chúng tôi sẽ tính toán biên độ và tỉ lệ rã nhánh LFVHDs theo các phần tử của M ν và khối lượng vật lý của các neutrino Do vậy, các đỉnh tương tác cho quá trình rã được trình bày dưới dạng khối lượng vật lý và các tham số trộn Từ phương trình U νT M ν U ν = ˆM ν dẫn tới:

M ab ν = U ν ∗ Mˆ ν U ν† ab = 0 → U ak ν ∗ U bk ν ∗ m n k = 0 (2.44) Ở đây a, b = 1,2,3 và m n k là khối lượng của neutrino n k , với k = 1,2, 9.

Từ phương trình (2.44) dẫn đến các đỉnh tương tác Yukawa và khối lượng vật lý của neutrino được biểu diễn như sau:

2Y ab = (M R ) ab = (M ν ) (a+3)(b+6) = U (a+3)k ν ∗ U (b+6)k ν ∗ m n k (2.45) Ở đây tôi chỉ tập trung vào các đỉnh tương tác liên quan đến LFVHDs, các đỉnh này được suy ra từ Lagrangian Yukawa, số hạng động năng của các trường lepton hoặc vô hướng và thế Higgs Từ biểu thức của Lagrangian

Yukawa đã trình bày ở phần trước:

−L Y LF = h e ab L 0 aL ρl 0 bR −h ν ab ijk (L 0 aL ) i ( L 0 bL ) c j ρ ∗ k

2(à F ) ab (F aR 0 ) c F bR 0 + H.c., (2.46) ta có hệ số đỉnh tương tác giữa leptons và Higgs boson như sau:

− h e ab L 0 aL ρl 0 bR + h.c = −gm a mW h ν aL 0 l 0 aR ρ + 1 +l aL 0 l 0 aR ρ 0 2 +N aL 0 l 0 aR ρ + 3 + h.c.i

−g ma m W h c α U (a+3)i ν n i P R l a H 2 + +U (a+3)i ν ∗ l a P L n i H 2 − i (2.47) Các đỉnh tương tác được suy ra từ số hạng thứ hai của (2.6) là h ν ab ijk (L 0 aL ) i (L 0 bL ) c j ρ ∗ k + h.c.

= 2h ν ab h−l aL 0 (ν bL 0 ) c ρ − 3 −ν aL 0 (N bL 0 ) c ρ 0∗ 2 + l 0 aL (N bL 0 ) c ρ − 1 i

√2m W h (m D ) ab U (b+3)i ν H 1 − l a P R n i + h.c.i (2.48) Đỉnh tương tác nhận đóng góp bởi ma trận M R được xác định như sau

Các neutrino tương tác với boson chuẩn thể hiện thông qua số hạng động năng của lepton Khi chỉ quan tâm tới các đỉnh tương tác của boson chuẩn mang điện (W ± , Y ± ) ta có:

U ai ν∗ l a γ à P L n i W à − +U ai ν n i γ à P L l a W à + + U (a+3)i ν∗ l a γ à P L n i Y à − +U (a+3)i ν n i γ à P L l a Y à + i (2.50) lưu ý rằng trong (2.50)

F à , λ a (a = 1,2, ,8) là các ma trận Gell-mann, và

√2 , (2.51) Để tính toán hệ số đỉnhh 0 1 n i n i , chúng tôi sử dụng kết quả của phương trình (2.48, 2.50) đã trình bày ở trên Ta định nghĩa hệ số đối xứngλ 0 ij = λ 0 ji [81] cụ thể là: λ 0 ij 3

U ki ν U kj ν∗ mn i + U ki ν ∗ U kj ν mn j

Kết quả này trùng hợp với quy tắc Feynman được đưa ra trong [108] Theo cách này, hệ số đỉnh h 0 1 n k n j được viết dưới dạng đối xứng h 0 1 n k n j ∼ h 0 1 n k (λ 0 kj P L +λ ∗0 jk P R )n j

Hệ số đỉnh liên quan đến tương tác của các Higgs mang điện và fermions xuất phát từ Lagrangain Yukawa được xác định bởi: λ L,1 ak = −

Sau khi thực hiện các triển khai ở trên, tất cả các đỉnh tương tác liên quan đến quá trình rã LFVHDs được đưa ra trong bảng 2.2 Ở đây chúng tôi quy ước tất cả các vector xung lượng trong giản đồ Feynman có chiều đi vào đỉnh của giản đồ.

Dựa trên tính chất của mô hình, một số đỉnh tương tác của h 0 1 như h 0 1 H 1 ± H 2 ∓ , h 0 1 Y ± W ∓ , h 0 1 Y ± H 1 ∓ , vàh 0 1 W ± H 1,2 ∓ được dự đoán có giá trị bằng không Từ bảng 2.2 ta có thể chỉ ra các giản đồ Feynman ở bậc một vòng

Bảng 2.2: Hệ số đỉnh tương tác liên quan đến quá trình rã Higgs boson tựa SM (h 0 1 → l a l b ) trong mô hình 331ISSS Tất cả các xung lượng trong giản đồ Feynman được quy ước có chiều đi vào đỉnh của giản đồ. của quá trình rã la →lbγ trong chuẩn unitary như trong hình (2.1).

Hình 2.1: Giản đồ Feynman ở bậc một vòng của quá trình rã l a → l b γ trong chuẩn unitary Trong phần (2), H s ± (s = 1, 2) là kí hiệu các Higgs boson mang điện của mô hình.

2.3.2 Biểu thức giải tích của biên độ quá trình rã l a → l b γ

Vùng không gian tham số dự đoán tỉ lệ rã nhánh (Br) cho LFVHDs bị ảnh hưởng lớn bởi giới hạn thực nghiệm của Br(l a → l b γ) (a > b) [48].

Do đó chúng tôi sẽ khảo sát đồng thời quá trình rã cLFV của lepton mang điện và LFVHDs Trong giới hạn m a,b →0, với m a,b là khối lượng của các lepton mang điện l a,b tương ứng, chúng tôi có công thức gần đúng cho tỉ lệ rã nhánh của của cLFV được đưa ra trong [95] là:

G 2 F |D R | 2 Br(l a → l b ν b ν a ), (2.54) ở đây DR = D R W ± +D R Y ± +D H R s ± là đóng góp bậc một vòng từ boson chuẩn và Higgs boson mang điện ở bên trong loop, và GF = g 2

4 √ 2m 2 W Dạng tích phân được biểu diễn cụ thể như sau:

" λ L,s∗ ak λ L,s bk m 2 H ± s × 1−6t ks + 3t 2 ks + 2t 3 ks −6t 2 ks ln(t k s )

+ m n k λ L,s∗ ak λ 0R,s bk m 2 H ± s × −1 +t 2 ks −2t ks ln(t ks )

(2.55) trong đó: tkW ≡ m 2 n k m 2 W , tkY ≡ m 2 n k m 2 Y , tks ≡ m 2 n k m 2

Bởi vì tất cả các đỉnh tương tác giữa Higgs boson mang điện và neu- trino nặng đều thông qua hằng số tương tác h ν ab của ma trận Yukawa, do đó ma trận này bị ảnh hưởng bởi giới hạn trên của tỉ lệ rã nhánh

Với các quá trình rã khác của lepton mang điện, chúng tôi sử dụng số liệu thực nghiệmBr(à →eν e ν à ) = 100%,Br(τ → eν e ν τ ) = 17.82%,Br(τ → àν à ν τ ) = 17.39% được đưa ra trong [111].

Ngoài cỏc kờnh ró cLFVl a → l b γ, trong đú Br(à →eγ) < 4.2ì10 −13 thường được coi là ràng buộc thực nghiệm nghiêm ngặt nhất, còn một số loại kờnh ró cLFV khỏc như l → l 0 l 00 l 000 và chuyển đổi à − e trong hạt nhân, ví dụ như trong [66], bao gồm các thảo luận cho mô hình 331RHN với lục tuyến Higgs Trong mô hình được khảo sát, các đóng góp chính cho các quá trình rã này là ở bậc một vòng lặp, và tất cả các đỉnh tương tác LFV liên quan cũng đóng góp vào biên độ rã l a → l b γ Do đó, giới hạn lý thuyết cú thể được xỏc định như Br(à → 3e), CR(à − Ti → e − Ti) ≤O(10 −2 ),Br(à→ eγ) [66] Hai quỏ trỡnh cú giới hạn chặt chẽ nhất từ thực nghiệm là Br(à →3e) < 10 −12 [120] và CR(à − Ti → e − Ti) < 6.1ì10 −13 đều nhỏ hơn so với tỉ lệ ró Br(à → eγ), do vậy chỉ cần tỡm kiếm vựng không gian tham số thỏa mãn giới hạn gần đây của l b →l a γ.

2.3.3 Biểu thức giải tích của biên độ quá trình rã h → l a l b Để khảo sát quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ của Higgs boson

LFVHDs tựa SM h 0 1 →l ± a l ∓ b , chúng tôi sử dụng các hệ số vô hướng ∆ (ab)L và ∆ (ab)R phát sinh từ những đóng góp ở bậc một vòng được giới thiệu trong [81] Do đó, Lagrangian hiệu dụng của quá trình rã này là

L eff LFVH = h 0 1 ∆ (ab)L laPLlb + ∆ (ab)R laPRlb

+ h.c, (2.57) trong công thức (2.57), các trường vô hướng ∆ (ab)L,R xuất phát từ các đóng góp bậc một vòng, do đó ở đây chúng tôi chỉ tập trung vào các giá trị chính xác ở bậc một vòng.

Dựa trên đỉnh tương tác ở Bảng 2.2, chúng tôi có giản đồ Feynman cho đóng góp vào biên độ của quá trình rã LFVHDs trong chuẩn unitary như trên hình 2.2.

Bề rộng của quá trình rã h 0 1 →l a ± l ∓ b được xác định bởi biểu thức: Γ(h 0 1 → l a l b ) ≡ Γ(h 0 1 →l a + l − b ) + Γ(h 0 1 → l − a l b + )

8π |∆ (ab)L | 2 +|∆ (ab)R | 2 , (2.58) với điều kiện về xung lượng cho các hạt ngoài là p 2 1,2 = m 2 a,b , (p1 +p2) 2 m 2 h 0

1 m 2 a,b ; m a , m b tương ứng là khối lượng của các lepton l a và l b Tỉ lệ rã nhánh tương ứng là

1 ' 4.1×10 −3 GeV [111, 112] Tất cả các giản đồ Feynman cho đóng góp ở bậc một vòng trong chuẩn unitary được đưa ra ở Hình 2.2.

Hình 2.2: Giản đồ Feynman cho đóng góp bậc một vòng của quá trình rã h 0 1 → l a l b trong chuẩn unitary.

Các thành phần đóng góp cho ∆ (ab)L,R có thể viết ở dạng tổng như sau:

∆ (k)H (ab)L,R s , (2.59) trong đó ∆ (k)W,Y,H (ab)L,R s được tính bằng cách sử dụng chuẩn unitary và được viết chi tiết trong phụ lục A Biên độ của mỗi giản đồ (kí hiệuk) trong hình 2.2 được biểu diễn qua tích phân của các hàm PV(Passarino -Veltman), trong đó chỉ có các hàm Ci(i = 0,1,2) là hữu hạn, các phần còn lại là phần phân kì Tuy nhiên, việc khử phân kì của biên độ tổng trong phương trình (2.59) được chứng minh bằng các kĩ thuật phân tích tương tự như trong tài liệu [81,113] và được trình bày chi tiết trong phụ lục B Các phần chứa phân kì đã được loại bỏ là:

Dựa trên các phần hữu hạn ∆ 1,L,R ,∆ 2,L,R ,∆ 3,L,R viết tắt là ∆ i , i = 1,3, phần tiếp theo đây chúng tôi sẽ khảo sát sự thay đổi biên độ quá trình rã h 0 1 → l a l b với khối lượng của neutrino nặng theo các tham số của mô hình.

Kết quả giải số và biện luận

2.4.1 Thiết lập vùng tham số

Trong phần tính số tiếp theo, chúng tôi sử dụng các tham số thực nghiệm đã biết [13, 111], trong đó khối lượng của các lepton mang điện lần lượt là m e = 5ì10 −4 GeV, m à = 0.105 GeV, m τ = 1.776 GeV, khối lượng của W boson mW = 80.385 GeV và hằng số tương tác của nhóm đối xứng chuẩn SU(2)L là g '0.651. Để khảo sát số kênh rã la → lbγ và kênh rã h → lalb, chúng tôi chọn các tham số tự do bao gồm khối lượng boson chuẩn nặng m Y , khối lượng

1 và các hằng số tự tương tác của Higgs boson λ 1 , λ 3 như sau: v √ 2m W g , s α = √ m W

Khối lượng boson chuẩn mang điện m Y liên quan đến giới hạn dưới của boson chuẩn trung hòa Z 0 trong mô hình 3-3-1, được đề cập trong[114, 115] Để thỏa mãn các ràng buộc trên, chúng tôi chọn giá trị mặc định m Y = 4.5 TeV Các giá trị của hằng số tự tương tác phải đáp ứng các điều kiện về lý thuyết theo chuẩn unitary, và thế Higgs phải thỏa mãn các ràng buộc để đảm bảo rằng tất cả các đỉnh tương tác của Higgs boson tựa SM tiếp cận giới hạn của mô hình chuẩn khi v ω Do đó, để không mất tính tổng quát, các hằng số tự tương tác của Higgs được chọn là λ 1 = 1, λ 3 = −1 Dựa trên các dữ liệu gần đây về sự trộn lẫn meson trung hòa B 0 −B 0 [109], ta có thể chọn giới hạn dưới của m H ±

1 ≥ 500GeV, điều này cũng được khảo sát trong [81] Tham số% đặc trưng cho thang của ma trận mD được thể hiện trong công thức (2.43), giá trị của % được xem xét trong khoảng giới hạn % = √

2vh ν 23 ≤ 617 GeV Trong các tính toán tiếp theo đây, chúng tôi cố định giá trị của % là 100, 200, 400,500 và 600 GeV. Để biểu diễn khối lượng của neutrino nặng (F a 0 ), chúng tôi tham số hóa ma trận M R dưới dạng ma trận chéo M R = k%×diag(M R , M R , M R ), sự phân bậc của ma trận chéo M R có thể mang lại kết quả lớn cho LFVHDs.

2.4.2 Kết quả giải số cho cLFV Đầu tiên, để khảo sát quá trình rã l a → l b γ với a > b chúng tôi tái thiết lập các vùng tham số đã được đề cập trong tài liệu [81], sử dụng ma trận chéoMR có dạngMR = k%×diag(1,1,1)vớikrất nhỏ,%được chọn từ 100GeV đến 600GeV Kết quả cho thấy tồn tại vùng không gian tham số hẹp cú thể thỏa món điều kiện biờn thực nghiệmBr(à →eγ) < 4.2ì10 −13 và thay đổi nhanh chóng theo sự thay đổi của m H ±

1 Trước tiờn, chỳng tụi khảo sỏt số đúng gúp cho Br(à → eγ) trong phương trình (2.55) Chọn k = 9, ma trận M R có dạng M R = 9% × diag(1,1,1), % lần lượt nhận các giá trị 200,400,600 GeV, m H ±

1 trong khoảng (0.1, 5) TeV Các đóng góp của boson chuẩn và Higgs boson theo m H ±

1 được thể hiện trên hình 2.3.

Từ hình 2.3 ta thấy, trong vùng không gian tham số khảo sát, đóng

Hình 2.3: Đồ thị biểu diễn giá trị của D W R ± , D H ± 2

R có cùng bậc 10 −9 (trái), trong khi đóng góp của

R chỉ nhận giá trị cỡ 10 −36 (phải), rất nhỏ so với đóng góp của W-boson và Higgs mang điện H 2 Do đó các đóng góp của W ± boson và Higgs mang điện H 2 ± vào tỉ lệ ró nhỏnh Br(à→ eγ) là chiếm ưu thế Đặc biệt, kết quả ở hình 2.3 cho thấy trong khi D R W ± luôn dương và gần như không thay đổi với các giá trị khác nhau của % thì D R H 2 ± có giá trị âm và giảm khi % tăng Điều này giải thích vì sao đóng góp của Higgs boson và boson chuẩn là khử nhau, tạo ra vùng hẹp không gian tham số thỏa mãn giới hạn Br(à → eγ) < 4.2ì10 −13 Đõy là đặc tớnh rất thỳ vị của mụ hỡnh 331ISS, cỏc đúng gúp chớnh ở bậc một vũng vào Br(à → eγ) được tạo thành từ các boson mang điện (H s ± , W ± , Y ± ) và các neutrino Các đóng góp này có giá trị trái dấu nhau, do đó chúng khử lẫn nhau để tạo ra giỏ trị của Br(à → eγ) nhỏ thỏa món giới hạn trờn của thực nghiệm.Điều này không xảy ra nếu chỉ tính đến đóng góp của các boson trung hòa và các lepton mang điện ngoại lai như trong [116], bởi vì đóng góp chính trong trường hợp trên không tạo ra sự tăng cường lẫn nhau trong vựng khụng gian tham số nơi Br(à → eγ) gần với giới hạn trờn của thực nghiệm, cỏc tỉ số ró nhỏnhBr(τ → àγ) vàBr(τ → eγ) nhỏ hơn rất nhiều so với giới hạn thực nghiệm.

Bằng cách tương tự, chúng tôi khảo sát các đóng góp của boson chuẩn và Higgs boson vào tỉ lệ ró Br(τ →eγ) và Br(τ → àγ) theo m H ±

1 và tìm ra các vùng không gian tham số thỏa mãn các giới hạn thực nghiệm hiện tại Br(τ → eγ) < 3.3 ì10 −8 và Br(τ → àγ) < 4.4ì 10 −8 [111] Tuy nhiên, vùng tham số tìm thấy chỉ thực sự có ý nghĩa khi chúng thỏa mãn giới hạn thực nghiệm của cả ba kênh rã Do đó, chúng tôi sẽ kiểm tra Br(τ → eγ) và Br(τ → àγ) trong vựng khụng gian hẹp cho phộp thỏa món giới hạn thực nghiệm của Br(à →eγ).

Chọn k = 9 và cố định % ở các giá trị % = 200,400,600 GeV, m H ±

1 trong khoảng từ 500 GeV đến 10 TeV, sự thay đổi của Br(l a → l b γ) theo m H ±

1 với tham số cố định % được thể hiện trên hình 2.4 Các đường màu đỏ, màu đen và màu hồng lần lượt biểu thị Br(à → eγ), Br(τ → àγ) và Br(τ →eγ) tương ứng.

Tiếp theo, chúng tôi vẽ đường đồng mức (contour plots) của kênh rã Br(l a → l b γ) theo % và m H ±

1 , các kết quả được thể hiện trong hình 2.5, vùng không gian tham số hẹp thỏa mãn giới hạn thực nghiệm của Br(à → eγ) được thể hiện rừ trong đồ thị này Phần khụng gian kỡ vọng (không màu) là ở giữa hai đường cong 4.2, phần còn lại được loại trừ khỏi giới hạn thực nghiệm (màu xanh).

Các kết quả của chúng tôi ở hình 2.4 và 2.5 cho thấy trong mỗi vùng khụng gian cho phộp nơi Br(à→ eγ) nằm trong giới hạn thực nghiệm, tỉ lệ ró nhỏnh của hai kờnh ró Br(τ → eγ) và Br(τ → àγ) cũng thỏa món các giới hạn trên của thực nghiệm Cụ thể, giá trị của Br(τ →eγ) có thể đạt tới cỡ 10 −9 và Br(τ → àγ) đạt cỡ 10 −10 , giỏ trị này rất gần với cỏc

Hình 2.4: Đồ thị biểu diễn tỉ lệ rã nhánh của Br(l a → l b γ) theo m H ±

giá trị chính xác được tìm thấy trong máy gia tốc ngày nay Các kết quả được thể hiện trong bảng 2.3.

Quá trình rã l a → l b γ đã được nghiên cứu trước đó trong mô hình 3-3-1 [117], theo đó vùng không gian tham số được chọn thỏa mãn giới hạn thực nghiệm cho rã cLFV, tuy nhiên tồn tại hai hạn chế Thứ nhất là giới hạn cho tỉ lệ ró nhỏnh Br(à → eγ) khụng chặt chẽ (2.4ì10 −12 ), thứ hai là kết quả đó chưa chỉ ra vùng tham số phù hợp cho tất cả các kênh rã l a → l b γ Các hạn chế này đã được khắc phục trong khảo sát của chúng tôi, như được minh họa trong bảng 2.3.

Hình 2.5: Đồ thị đường đồng mức (contour plots) của Br(l a → l b γ) theo % và m H ±

2.4.3 Kết quả giải số cho LFVHD

Chúng tôi xem xét giải số trong vùng không gian hẹp nơi Br(la →lbγ) tiếp cận giới hạn trên của thực nghiệm, điều này có thể dự đoán giá trị lớn của rã LFVHD Cụ thể, chúng tôi khảo sát các đóng góp của các tham số vô hướng ∆ i,R,L , i = 1,3 trong phương trình (2.60) vào tỉ lệ rã nhánh

1 [TeV] cho Giỏ trị của Br(τ → eγ) ì 10 9 Giỏ trị của Br(τ → àγ) ì 10 10 Br(à → eγ) < 4.2 ì 10 −13

Bảng 2.3: Vựng giỏ trị của Br(τ → eγ) và Br(τ → àγ) trong vựng khụng gian hẹp khi giới hạn thực nghiệm Br(à → eγ) được thỏa món.

Br(h 0 1 →l a l b ), đồng thời tiếp tục đánh giá tỉ số Br(h 0 1 → l a l b ) trong vùng không gian hẹp đã đề cập ở phần trước Các tính toán được thực hiện cả trong trường hợp MR phân bậc và không phân bậc (hierarchical and non-hierarchical).

Không mất tính tổng quát khi nghiên cứu Br(h 0 1 → l a l b ), chúng tôi xột trường hợp ró Higgs boson (h 0 1 ) ra à và τ Ma trận M R được chọn là không phân bậc có dạng M R = 9%×diag(1,1,1); phân bậc dưới dạng

Khi M R = 9%×diag(1,1,1), đóng góp của ∆ i,R,L , i = 1,3 vào tỉ lệ ró nhỏnh Br(h 0 1 → àτ) được biểu thị trong hỡnh 2.6 Trong miền tham số của mô hình đã được chọn trong mục 2.4.1, ứng với mỗi giá trị cố định của m H ±

1 , giá trị của ∆ i,R,L , i = 1,3 tăng theo % và đóng góp của ∆ 3 là rất nhỏ so với ∆ 1,2 Để minh họa, chúng tôi chọn giá trị tùy ý của m H ±

1 = 3.0TeV) và kiểm tra đúng gúp của ∆ i , i= 1,3vào Br(h 0 1 → àτ), giá trị của % được chọn trong phạm vi từ (50,600)GeV Kết quả được thể hiện ở đồ thị bên trái hình 2.6 Có thể thấy rằng, đóng góp của ∆ 3 vào Br(h 0 1 →àτ) cú thể được bỏ qua. Ở đồ thị bên phải hình 2.6,m H ±

MÔ MEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA MUON TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI CƠ CHẾ SEESAW NGHỊCH ĐẢO 60

Giới thiệu chung

Mô hình 331ISS đã được khảo sát ở chương 2, kết quả tồn tại vùng tham số cho phép giải thích tốt tín hiệu rã cLFV và LFVHD Tuy nhiên khi khảo sát mô men từ dị thường của muon trong giới hạn chặn của kênh ró l b →l a γ, chỳng tụi thu được giỏ trị ∆a à nhỏ khụng thể giải thớch được số liệu thực nghiệm cho mô men từ dị thường hiện tại [45] Do đó để giải quyết sự sai lệch mụ men từ dị thường của muon (g−2) à trong giới hạn chặn của kênh rã cLFV của lepton mang điện, chúng tôi thêm một đơn tuyến Higgs boson mới h ± 3 vào mô hình 331ISS, các tính toán cụ thể sẽ được thể hiện trong chương này.

Trong các phần trước, khi nghiên cứu về quá trình rã cLFV và LFVHDs chúng tôi đã áp dụng trường hợp đơn giản khi trung bình chân không của hai Higgs boson η và ρ thỏa mãn u = v = √ v 0

2 với u 2 + v 2 = v 0 2 (246 GeV) 2 Trong phần này, chúng tôi xét trường hợp tổng quát u 6= v, sử dụng tham số: t β 0 ≡ tanβ 0 = u v, v = v 0 c β 0 , u = v 0 s β 0 , (3.1) điều kiện này cũng được sử dụng trong một vài nghiên cứu trước đó trong mô hình 3-3-1 với mô men từ dị thường [63, 64] Như chúng tôi sẽ chỉ ra ở dưới đây, giá trị t β 0 6= 1 sẽ là một trong các điều kiện then chốt để dự đoỏn (g−2) à lớn phự hợp với thực nghiệm Lý do là cỏc trạng thỏi vật lý của Higgs boson mang điện được xác định từ thế Higgs, và chỉ các Higgs boson này đúng gúp đỏng kể ở bậc một vũng cho hiệu chỉnh (g−2) à

Từ Lagrangian tương tác Yukawa đã chỉ ra ở (2.6) kết hợp với điều kiện đã trình bày ở (3.1) cùng các tính toán tương tự ở chương trước, ma trận m D ở đây được chúng tôi tham số hóa [81] như sau: m D = %c β 0 ×m˜ D , m˜ D 

2v0h ν 23 , các giá trị của x12, x13 được xác định như sau: x ∗ 12 = (m ν ) 11 (m ν ) 23 −(m ν ) 13 (m ν ) 12

(m ν ) 12 (m ν ) 33 −(m ν ) 13 (m ν ) 23 (3.3) Lưu ý rằng khối lượng các neutrino nhẹ (active neutrino) là bằng không ở bậc cây, nhưng nó có thể khác không khi tính đến các đóng góp ở bậc loop (vòng) [71] Ngoài ra, các hiệu ứng lượng tử có thể được xem xột cho khối lượng lepton mang điện, để cỏc vựng dự đoỏn ∆a à lớn cú thể lớn hơn [92, 93] so với các vùng được thảo luận ở đây Giới hạn nhiễu loạn yêu cầu h ν 23 < √

4π, dẫn đến cận trên của %

Tất cả các thành phần của ma trận M −1 ở (2.33) chỉ phụ thuộc ba tham số phức (M −1 ) ii với i = 1,2,3, trong đó các thành phần nằm ngoài đường chéo (M −1 ) ij được xác định bởi:

Cỏc tham số à a F và (M −1 ) ab được xỏc định theo cỏc yếu tố của ma trận

M R Ở đây chúng tôi xem xét các yếu tố của M R dưới dạng tham số tự do, cụ thể là:

(M R ) ij = %c β 0 × Mf R ij , Mf R ij ≡ k ij , (3.6) trong đó để đơn giản k ij được giả sử là thực Mối liên hệ seesaw là hợp lý với ít nhất |k ij | 1 vàM 6= 0 Trong phần giải số của chúng tôi, m ν được xác định từ phạm vi 3σ của dữ liệu thực nghiệm về dao động của neutrino thông qua phương trình (2.34), ma trận Dirac được xác định theo (3.2).

Ba thành phần của ma trận à F được xỏc định theo cỏc tham số tự do ở trên.

Trong phần này, chúng tôi sử dụng thế Higgs tổng quát [71] (chỉ bỏ qua các số hạng vi phạm số lepton với hằng số tương tác nhỏ) cụ thể như sau:

2ωf ijk η i ρ j χ k + h.c , (3.7) mô hình chứa hai cặp Higgs mang điện đơn H 1,2 ± và Goldstone boson G ± W và G ± Y Lúc này, khối lượng của các Higgs mang điện đơn H 1,2 ± được xác định [88, 94, 95] là: m 2 H ±

= 0. Mối liên hệ giữa trạng thái riêng ban đầu và khối lượng riêng hiệu dụng của các Higgs boson mang điện được xác định bởi [94]:

, (3.9) với t α = v 0 /w Mô hình có chứa 5 thành phần vô hướng trung hòa CP-lẻ, ba trong số đó là các Goldstone boson Z, Z 0 và F 0 Hai thành phần còn lại là các trạng thái vật lý có khối lượng là m 2 a 1 = f c β 0 s β 0 v 2 + ω 2 t β 0 + λ¯13

Hệ quả là tham số f phải là dương, và f có thể rất nhỏ sao cho khối lượngHiggs boson mang điện có để đạt cỡ 1 TeV.

Biểu thức giải tích của mô men từ dị thường của muon

Xét quá trình rã cLFV của lepton mang điện l b → l a γ, các đỉnh tương tác của kênh rã đã được trình bày trong trong bảng 2.2, điều kiện m l b > m l a được sử dụng để xác định các hệ số ở bậc một vòng c X (ab)R và c X (ba)R được giới thiệu trong [96].

Chúng tôi viết lại Lagrangain liên quan đến các boson chuẩn mang điện như sau:

U ai ν ∗ n i γ à P L l a W à + +U (a+3)i ν ∗ n i γ à P L l a Y à + i, (3.12) tương ứng với các hệ số ở bậc 1 vòng như sau: c W (ab)R = eg 2

! , (3.13) với F LV V (x) được xác định từ (2.56) có dạng

4παem là hằng số tương tác điện từ, và g = e/sW.

Lagrangian của các Higgs boson mang điện là:

H i + n k λ L,i ak P L + λ R,i ak P R l a +H.c., (3.14) trong đó, λ R,1 ak = m l a U ak ν∗ t β 0 , λ R,2 ak = ml a cαU (a+3)k ν ∗ c β 0 , λ L,1 ak = −t β 0

X c=1 h ( ˜m ∗ D ) ac U ck ν +t 2 α (Mf R ∗ ) ac U (c+6)k ν i (3.15) Các hệ số ở dạng 1 vòng là: c H,i (ab)R = eg 2

+ m l b λ L,i∗ ak λ L,i bk +m l a λ R,i∗ ak λ R,i bk F˜ LHH m 2 n k m 2 H i

+ m l a λ L,i∗ bk λ L,i ak +m l b λ R,i∗ bk λ R,i ak F˜ LHH m 2 n k m 2 H i

Fe LHH (x) =− −1+6x−3x 24(x−1) 2 −2x 3 +6x 4 2 ln(x) (3.17) Tổng cỏc đúng gúp ở bậc một vũng cho quỏ trỡnh cLFV và ∆a 331ISS à là: c (ab)R = c W (ab)R +c Y (ab)R +c H (ab)R 1 +c H (ab)R 2 , c (ba)R = c (ab)R [a ↔b] × m l a m l b (3.18)

Các đóng góp của bậc một vòng từ các boson chuẩn mang điện vào a l a và mô men lưỡng cực điện d l a của lepton mang điện l a là [96]: a V l a = a W l a +a Y l a ≡ −4m 2 l a e Re[c W (aa)R ] + Re[c Y (aa)R ] , d V l a = d W l a +d Y l a ≡ −2m l a Im[c W (aa)R ] + Im[c Y (aa)R ] (3.19) Các đóng góp của Higgs boson mang điện vào a l a và d l a là [96]: a H l a 2

X i=1 d H,i l a , d H,i l a ≡ −2m l a Im[c H,i (aa)R ] (3.20) Đại lượng ∆d l a = d V l a + d H l a là đóng góp mới của bậc một vòng được dự đoán cho mô men lưỡng cực điện của lepton mang điện Nó sẽ có giá trị bằng không khi khảo sát trong trường hợp pha Dirac δ = π, giá trị không này phù hợp với các thực nghiệm hiện tại do đó chúng tôi không cân nhắc ở đây.

Lưu ý rằng các đóng góp ở bậc một vòng của các Higgs boson trung hòa bị triệu tiêu do đó chúng bị bỏ qua ở đây, bởi vì mô hình 331ISS không có các lepton mang điện mới, do đó đóng góp bậc một vòng của bất kì Higgs boson trung hòa H 0 tới c (ab)R phải xuất phát từ đỉnh tương tác

H 0 ¯l a l a được suy ra từ số hạng đầu tiên của Lagrangian Yukawa trong biểu thức đã đưa ra ở (2.6)

L Y l = −h e ab L 0 aL ρl bR + h ν ab ijk (L 0 aL ) i (L 0 bL ) c j ρ ∗ k −Y ab L 0 aL χF bR 0

2(à f ) ∗ ba (F aR 0 ) c F bR 0 + H.c (3.21) Các đỉnh tương tác này có cùng đỉnh tương tác Yukawa trong SM như h ∼ Re[ρ 0 2 ]/√

2, nhưng các hệ số trộn khác nhau |c H 0 | ≤ 1 cho biết các đúng gúp của ρ 0 2 tới trạng thỏi vật lý H 0 Do đú cỏc đúng gúp tới a à cú cùng dạng với các đóng góp từ các Higgs boson tựa SM với khối lượng m h '125 GeV m à , a h à '

√ 2G à m 2 à 4π 2 ì m m 2 à 2 h ln m m 2 h 2 à ≤ O(10 −14 ) [97] Bờn cạnh đó, các đóng góp ở bậc một vòng của Higgs boson nặng trung hòa cũng bị tiờu trong ∆a à Độ lệch của a à giữa dự đoỏn bởi mụ hỡnh 331ISS và mụ hình chuẩn là:

∆a W l a = a W l a −a SM,W l a , (3.22) trong đú a SM,W à = 3.887ì 10 −9 [97] là dự đoỏn của mụ hỡnh chuẩn cho đóng góp bậc một vòng của W bosonc W,SM (22)R Trong các tính toán của chúng tụi, ∆a 331ISS à = ∆a à sẽ được coi là vật lý mới dự đoỏn bởi mụ hỡnh 331ISS và sẽ sử dụng để so sánh với dữ liệu thực nghiệm trong các khảo sát số tiếp theo Lưu ý rằng sự sai lệch của mô men từ dị thường của electron a e giữa thực nghiệm và dự đoán của mô hình chuẩn là2.5σ [8,99–101] Trong phạm vi luận ỏn này, tụi tập trung vào ∆a à với độ lệch khoảng 4.2σ, đõy có thể là một tín hiệu rõ ràng về vật lý mới trong tương lai gần.

Tỉ lệ rã nhánh của cLFV được xác định là [96]:

2m 2 W ), kết quả này phù hợp với công thức được sử dụng trong [81, 95] cho các mô hình 3-3-1. Đối với đóng góp của các boson chuẩn (kí hiệu chung là V), ta có

|c V (ba)R |/|c V (ab)R | = m l a /m l b 1 với m l b > m l a , tượng tự ta có thể suy tính rằng |c H,i (ba)R |/|c H,i (ab)R | 1 cho các đóng góp của Higgs boson Tuy nhiên, nhìn chung ta không thể bỏ qua các thành phần c X (ba)R bởi vì một số đóng góp cho c (ab)R có cùng bậc nhưng trái dấu, chúng sẽ khử lẫn nhau.Các phần khử nhau của các đóng góp của Higgs boson trong c (ab)R sẽ cho kết quả cùng bậc của |c (ab)R | và |c (ba)R | Điều này sẽ xảy ra trong mô hình 331ISS khi ∆a 331ISS à = O(10 −9 ) tương ứng với bậc của dữ liệu thực nghiệm và Br(à →eγ) < 4.2ì10 −13 yờu cầu cả hai điều kiện

Do đó chúng ta có thể dự đoán rằng đóng góp ở bậc một vòng của hai Higgs boson mang điện vào tỉ lệ ró Br(à → eγ) là hoàn toàn khử nhau, c H (12) 1 ' −c H (12) 2 Đồng thời, |c H (12) i | ∼ |c H (22) i | do vậy đóng góp của Higgs boson mang điện vào ∆aà phải được tăng cường và thỏa món |c H (22) 1 | ∼

|c H (22) 2 | ∼ O(10 −9 ) − O(10 −8 ) [GeV −2 ], hoặc chúng có thể bị triệt tiêu nhưng |c H (22) i | |c H (22) j | với i 6= j Tính chất quan trọng này của các đóng góp của Higgs boson mang điện sẽ là điểm mấu chốt trong giải số của chỳng tụi để thu thập dữ liệu thỏa món ∆a à ≥ 10 −9 lớn trước khi xem xét bất kì giới hạn chặn nào của kênh rã cLFV Các đóng góp chuẩn bị loại bỏ do đó chúng tôi không thảo luận ở đây, nhưng sẽ được tính toán trong phần tính số của chúng tôi Ở đây chúng tôi chỉ tập trung hai đóng góp quan trọng của Higgs boson mang điện có ảnh hưởng đến quá trình ró τ → eγ, àγ.

Các giới hạn thực nghiệm đối với hệ số c (ab)R được trình bày trong bảng 3.1 Từ đó chúng tôi suy ra vùng không gian tham số cho phép phải thỏa mãn: c (12)R c (22)R , c (21)R c (22)R

Br(à → eγ) |c (21)R |, |c (12)R | < 3.47 ì 10 −13 [GeV −2 ] Br(τ → eγ) |c (31)R |, |c (13)R | < 2.31 × 10 −10 [GeV −2 ] Br(τ → àγ) |c (32)R |, |c (23)R | < 2.63 ì 10 −10 [GeV −2 ]

Bảng 3.1: Giới hạn của c (ab)R [GeV −2 ] từ thực nghiệm Giỏ trị cho phộp của ∆a à thỏa mãn độ tin cậy 1σ từ dữ liệu thực nghiệm được đưa ra trong (1.17).

Mô hình 331ISS có thêm Higgs boson mang điện đơn

Sự xuất hiện của đơn tuyến F R 0 dẫn đến khả năng là một Higgs boson mang điện đơn mới h ± 3 ∼ (1,1,±1) có thể được đưa vào mô hình 331ISS để tạo ra đúng gúp ở bậc một vũng cho cả ∆aà và biờn độ cLFV thụng qua tương tác Yukawa như sau:

3 = −Y ab 3 (F aR 0 ) c lbRh + 3 + H.c = −Y ab 3 U (a+6)k ν ∗ (nk)PRlbh + 3 + H.c (3.25) Đúng gúp từ hạt mới mới cho ró cLFV và ∆a 331ISS à là: c h (ab)R 3 = em l a

Mặc dự cỏc đúng gúp của Higgs boson mang điện đơn này đến∆a à thường là nhỏ và có giá trị âm, nhưng đóng góp vào biên độ cLFV có thể lớn Do đó chúng có thể khử lẫn nhau trong biên độ tổng của rã cLFV Đặc tính này giỳp cho ∆a 331ISS à đạt đến giới hạn thực nghiệm đưa ra trong (1.17),trong khi vẫn giữ tất cả các tỉ số rã nhánh khác ở dưới giới hạn thực nghiệm Trong phần giải số dưới đây, chúng tôi xét trường hợp đơn giản nhất h ± 3 không trộn lẫn với các Higgs boson mang điện đơn khác của mô hình 331RHN, và khối lượng là một tham số tự do.

Khảo sát số và đóng góp của Higgs boson mang điện đơn h ± 3 vào mô men từ dị thường

h ± 3 vào mô men từ dị thường

Các kết quả khảo sát của chúng tôi về momen từ dị thường của muon khi chưa có đơn tuyến Higgsh ± 3 trong giới hạn gần đây của kênh rãl b → l a γ cho giỏ trị ∆a à nhỏ (∆a à ' 108.1ì10 −11 ) Trong phần dưới đõy, tụi chỉ trình bày khảo sát khi có đóng góp của h ± 3

Các tham số thực nghiệm được lấy từ [13] như sau:

4π, s 2 W = 0.231, m e = 5ì10 −4 GeV, m à = 0.105 GeV, m τ = 1.776 GeV, m W = 80.385 GeV, Br(à →eν e ν à ) ' 1, Br(τ →eν e ν τ ) ' 0.1782, Br(τ →àν à ν τ ) '0.1739 (3.27)

Khi có thêm đóng góp của Higgs boson mới mang điện đơn, các giá trị cho phộp của ∆a à ≡ ∆a 331ISS à ≥ 192ì10 −11 tương ứng với cận dưới của độ tin cậy 1σ đã được giải thích thành công, minh họa trong hình 3.1. Ở đõy ∆aà(h3) và Br(τ → àγ)[h3] biểu thị đúng gúp ở bậc một vũng từ h ± 3 vào ∆aà và Br(τ → àγ), cụ thể như sau:

2 Br(l b → l a ν a ν b ) (3.28) Các giá trị của các tham số tự do kij trong giải số của chúng tôi là: k 11 ' −19.19, k 22 ' −94.53, k 33 ' 428.75, k 12 ' −89.46, k13 ' 29.47, k23 ' −211.84, k 21 ' 60.09, k31 ' −262.44, k 32 ' 30.53,

Hỡnh 3.1: Tương quan giữa ∆a à ≡ ∆a 331ISS à với ∆a à (h 3 ) và Br(τ → àγ)[h 3 ]. t β 0 = 49.86, % = 1169 GeV, mH 1 = 657.1 GeV, mH 2 = 734 GeV (3.29)

Trong trường hợp này, khối lượng neutrino nặng lần lượt là m n 4 = m n 5 137.2 GeV, m n 6 = m n 7 = 4709.4 GeV, m n 8 = m n 9 = 11958 GeV Để đơn giản chúng tôi giả sử rằng Y 11 3 = Y 12 3 = Y 21 3 = Y 13 3 = Y 31 3 = 0, do đú đúng gúp từ h3 khụng làm thay đổi hai quỏ trỡnh ró cLFV Br(à → eγ) ' 3.93 ×10 −13 và Br(τ → eγ) ' 1.11 ×10 −8 , chúng luôn thỏa mãn dữ liệu thực nghiệm Các đỉnh tương tác Yukawa khác không ở trong phạm vi Y ab 3 ∈ [−3.5,3.5] để thỏa mãn giới hạn nhiễu loạn Điều này dẫn đến phạm vi cho phép sau của khối lượng Higgs boson mang điện:

500 GeV ≤ m h 3 ≤ 1158GeV Giải số giá trị của c (ab)R được trình bày trong bảng 3.2.

Kết quả giải số biểu thị trong hình 3.1 cho ta một số thông tin rất thỳ vị Ở đồ thị bờn trỏi, đúng gúp của h ± 3 vào ∆a à là luụn õm, nhưng nhỏ hơn rất nhiều so với đúng gúp tổng: 0< −∆a à (h ± 3 ) ≤ 1.5ì10 −10

200ì 10 −11 ∼ ∆a à Mặt khỏc, đúng gúp ở bậc một vũng của c h (32)R 3 và c H (32)R 2 là cùng bậc nhưng trái dấu nhau Do đó tổng |c (32)R | là đủ nhỏ để đảm bảo Br(τ → àγ) < 4.4ì10 −8 Đú là lý do vỡ sao ở hỡnh bờn phải, ta

Notations c W (ab)R c Y (ab)R c H (ab)R 1 c H (ab)R 2 c h (ab)R 3 c (ab)R Process

∆a à : c (22)R ì 10 10 5.3 -0.386 -211 61.1 3.7 -141.1 ∆a à = 20.5 ì 10 −10 à → eγ : c (12)R ì 10 13 449.16 61.536 -75957 75443 0 -2.5234 Br(12R) = 2.2174 ì 10 −13 à → eγ : c (21)R ì 10 13 2.1388 0.29303 -361.70 357.43 0 -1.8329 Br(21R) = 1.1699 ì 10 −13 τ → eγ : c (13)R × 10 10 -0.00510 0.0540 4.25 -2.96 0 1.34 Br(13R) = 111 × 10 −10 τ → eγ : c (31)R × 10 10 ∼ 0 ∼ 0 0.00120 0.0664 0 0.0676 Br(31R) = 0.284 × 10 −10 τ → àγ : c (23)R ì 10 10 -0.00721 -0.0445 1.20 -2.51 0.164 -1.20 Br(23R) = 86.7 ì 10 −10 τ → àγ : c (32)R ì 10 10 -0.000426 -0.00263 0.0708 -5.18 2.77 -2.33 Br(32R) = 330 ì 10 −10

Bảng 3.2: Đúng gúp cụ thể của c X (ab)R [GeV −2 ] vào ∆a à và Br(e b → e a γ) với cỏc tham số tự do được đưa ra trong (3.29) Cột cuối cựng biểu thị cỏc giỏ trị của ∆a à và Br(e b → e a γ). thấy |c (32)R | < |c h (32)R 3 |, Br(τ →àγ) < Br(τ →àγ)[h 3 ] cú thể xảy ra Đặc biệt hơn, kết quả này có thể thấy từ phần giải số cụ thể được minh họa trong bảng 3.2 Chúng ta có thể thấy rằng |c (22)R | |c h (22)R 3 | ∼ |c h (32)R 3 | ∼

|c H (32)R 2 | ∼ |c (32)R |, kết quả này cho phép ta giải thích tại sao đóng góp từ h 3 ảnh hưởng mạnh đến tỉ lệ ró nhỏnh Br(τ →àγ) nhưng ảnh hưởng khụng đỏng kể đến ∆a à

Vựng khụng gian tham số cho phộp ∆a 331ISS à quanh giỏ trị 200ì10 −11 có thể dễ dàng được tìm thấy trong phạm vi: tβ 0 ∈ [0.3,60], 0.6 [TeV]≤ mH 1 , mH 2 ≤ 3 [TeV],

Vựng cho phộp ∆a 331ISS à lớn được biểu thị trờn hỡnh 3.2, ở đõy khối lượng Higgs mang điện phải nhỏ hơn 600 GeV Chú ý rằng giá trị lớn

∆a 331ISS à > 300 ì10 −11 yờu cầu khối lượng Higgs boson mang điện nhẹ m H 1 → 500 GeV, % → 1223 GeV, và t β 0 → 60 Vùng tham số tương ứng

Hỡnh 3.2: Tương quan giữa ∆a à ≡ ∆a 331ISS à ≥ 240 ì 10 −11 với ∆a à (h 3 ) và Br(τ → àγ)[h 3 ]. được tính toán trong hình 3.2 là: k 11 ∈ [−21.77, −17.84], k 22 ∈ [−101.9, −93.76], k 33 ∈ [420.1, 429.4], k12 ∈ [−96.22, −88.92], k13 ∈ [26.95, 31.12], k23 ∈ [−220.2, −210.4], k 21 ∈ [59.19, 66.55], k 31 ∈ [−268.6, −262.9], k 32 ∈ [25.35, 33.64], tβ 0 ∈ [41.68, 59.97], % ∈ [1051, 1223] GeV, mH 1 ∈ [500.6, 631.3] GeV, m H 2 ∈ [571.3, 703.8] GeV, m h 3 ∈ [500.5, 778.6] GeV, |Y 22 | ∈ [0.11, 3.49],

Khối lượng neutrino nặng được giới hạn trong phạm vi: m n 4 = m n 5 ∈ [109.2, 172.3]GeV, m n 6 = m n 7 ∈ [3.66, 5.87]TeV,m n 8 = m n 9 ∈ [8.99, 14.92] TeV Tỉ lệ rã nhánh cLFV nhận giá trị trong khoảng:

Kết luận

Trong chương này, chúng tôi đã xây dựng biểu thức giải tích của mô men từ dị thường của lepton trong mô hình 331ISS và tiến hành khảo sát số đối với muon Kết quả tính toán về mô hình 331ISS khi chưa có đơn tuyến Higgs boson cú thể dự đoỏn giỏ trị của ∆a à ' 108ì 10 −11 trong vùng tham số thỏa mãn giới hạn thực nghiệm của các kênh rã cLFV l b → l a γ Giỏ trị này tương ứng với giới hạn trờn Br(τ →àγ) ' 4.4ì10 −8 , trong khi hai tỉ lệ rã nhánh còn lại vẫn thấp hơn nhiều so với giới hạn thực nghiệm gần đây. Để giải thớch đồng thời cỏc dữ liệu thực nghiệm của ∆a à và ró cLFV, mô hình cần thêm một hạt Higgs boson mang điện đơn mới h 3 Khi thêm h 3 vào mụ hỡnh, mặc dự đúng gúp của riờng h 3 vào ∆a à là rất nhỏ, và mang giá trị âm, nhưng đóng góp toàn phần vào mô men từ của muon là rất lớn Giỏ trị của ∆aà cú thể đạt tới 208ì10 −11 trong giới hạn khảo sỏt của mô hình, đồng thời, các kênh rã cLFV lb →laγ được dự đoán tỉ số rã nhánh có thể tiến gần đến giới hạn trên của thực nghiệm gần đây Do đó, mô hình 331ISS có thêm đơn tuyến Higgs boson dự đoán có thể giải thích đồng thời tất cả các kênh rã cLFV một khi chúng được quan sát bởi thực nghiệm trong thời gian tới.

Các nội dung chương 3 được viết dựa trên kết quả bài báo đăng trên tạp chí Phys Rev D 104 033007 (2021).

Nghiên cứu quá trình rã h → l a l b và l a → l b γ trong mô hình 331ISS, đồng thời khảo sỏt ∆a à trong giới hạn của kờnh ró cLFV, chỳng tụi thu được một số kết quả chính như sau:

• Xây dựng được biểu thức giải tích tổng quát để tính đóng góp bậc một vòng vào biên độ rã cLFV và LFVHD, tính tỉ số rã nhánh của quá trình rã l a → l b γ và quá trình rã h → l a l b trong mô hình 331ISS Từ đó tìm được các vùng không gian tham số cho phép thỏa mãn các kết quả thực nghiệm gần đây về rã cLFV, đồng thời cho tỉ số rã nhánh LFVHDs đủ lớn để thực nghiệm có thể đo được trong tương lai gần.

• Khảo sát sự phụ thuộc của tỉ lệ rã nhánh của các kênh rã LFV vào một số tham số của mô hình, chúng tôi tìm ra vùng không gian số hẹp thỏa mãn giới hạn thực nghiệm của Br(la → lbγ) ứng với giá trị của k là nhỏ và %lớn Cụ thể, trong vùng không gian cho phép, Br(τ → eγ) cú thể đạt tới cỡ 10 −9 và Br(τ → àγ) cú thể đạt tới 10 −10 , kết quả này rất gần với giới hạn trên của thực nghiệm.

• Bên cạnh đó, chúng tôi cũng tìm ra đóng góp của neutrino nặng qua cỏc hệ số ∆ i , i = 1,3dẫn đến sự thay đổi củaBr(h 0 1 → àτ) Điều này biểu thị thông qua sự phân bậc của ma trận trộn M R , cụ thể khi M R cú dạng khụng phõn bậc M R ∼ diag(1,1,1), thỡ Br(h 0 1 → àτ) đạt giá trị lớn hơn trong trường hợp phân bậc với M R ∼ diag(3,2,1) và

M R ∼ diag(1,2,3) Giỏ trị lớn nhất của tỉ số ró nhỏnh Br(h 0 1 →àτ) có thể đạt tới O(10 −3 ) trong phạm vi khảo sát của mô hình.

• Thiết lập biểu thức giải tích cho mô men từ dị thường của muon trong mụ hỡnh 331ISS, khảo sỏt số (g −2) à của muon trong giới hạn chặn của kênh rã lb → laγ, các kết quả cho thấy mô hình 331ISS không có đơn tuyến Higgs boson chưa giải thích được số liệu hiện tại cho mô men từ dị thường, ∆aà chỉ đạt giỏ trị cỡ ∆aà '108ì10 −11

• Bằng việc thêm vào mô hình 331ISS một đơn tuyến Higgs mới h3, mô hỡnh cú thể giải thớch đồng thời cỏc dữ liệu thực nghiệm của ∆aà lớn (∆a 331ISS à ≥ 192ì10 −11 ) trong cỏc giới hạn thực nghiệm gần đõy của các kênh rã cLFV.

Từ những kết quả ở trên, trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục đánh giá và khảo sát rã LFVHDs trong mô hình 331ISS có thêm đơn tuyến Higgs boson để giải thích mô men từ dị thường trong giới hạn thực nghiệm của các kênh rã.

Danh sách các công bố liên quan đến luận án

1 H.T Hung, N.T.Tham, T.T Hieu, N.T.T Hang, "Contribution of heavy neutrinos to decay of standard-model-like Higgs boson h → àτ in a 3-3-1 model with additional gauge singlets",PTEP, 083B01, 2021.

2 L.T.Hue, H.T.Hung,N.T.Tham, H.N.Long, T Phong Nguyen, "Large(g−2) à and signals of decays e b →e a γ in a 3-3-1 model with inverse seesaw neutrinos", Phys.Rev.D 104, 033007 (2021).

[1] Super-Kamiokande Collaboration, Fukuda Y et al (1998), "Evidence for oscillation of atmospheric neutrinos", Phys Rev Lett 81 (8), pp.1562-1567.

[2] Collaboration, Ahmad Q et al (2002), "Direct Evidence for Neu- trino Flavor Transformation from Neutral-Current Interactions in the Sudbury Neutrino Observatory", Phys Rev Lett 89 (1), pp.011301- 011307.

[3] G Aad et al [ATLAS Collaboration] (2012), "Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC", Phys Lett B, 716, 1-29.

[4] S Chatrchyan et al [CMS Collaboration] (2012), "Observation of a New Boson at a Mass of 125 GeV with the CMS Experiment at the LHC", Phys Lett B, 716, 30-61.

[5] K Hagiwara, R Liao, A D Martin, D Nomura and T Teubner (2011), "(g − 2) à and α(M Z 2 ) re-evaluated using new precise data"

[6] A M Sirunyan et al [CMS] (2018), "Search for lepton flavour violat- ing decays of the Higgs boson to àτ and eτ in proton-proton collisions at √ s = 13 TeV", JHEP 06, 001.

[7] M Davier, A Hoecker, B Malaescu, and Z Zhang (2017), "Reevalua- tion of the hadronic vacuum polarisation contributions to the Standard Model predictions of the muon g−2and α(m 2 Z )using newest hadronic cross-section data" Eur Phys J C 77, no.12, 827.

[8] R H Parker, C Yu, W Zhong, B Estey, and H M¨uller (2018),

"Measurement of the fine-structure constant as a test of the Standard Model", Science 360, 191.

[9] B W Lee and R E Shrock (1977), "Natural Suppression of Symmetry Violation in Gauge Theories: Muon - Lepton and Electron Lepton Number Nonconservation," Phys Rev D 16, 1444.

[10] X J Bi, Y B Dai and X Y Qi (2001), "Lepton flavor violation in supersymmetric SO(10) grand unified models," Phys Rev D 63, 096008.

[11] A Brignole and A Rossi (2004), "Anatomy and phenomenology of mu-tau lepton flavor violation in the MSSM," Nucl Phys B 701, 3- 53.

[12] S T Petcov (1997), "The Processes à →e+γ, à →e+e, ν 0 → ν+γ in the Weinberg-Salam Model with Neutrino Mixing," Sov J Nucl. Phys 25, 340 [erratum: Sov J Nucl Phys.25, 698 (1977); erratum: Yad Fiz 25, 1336 (1977)] JINR-E2-10176.

[13] P A Zyla et al [Particle Data Group] (2020), "Review of Particle Physics," PTEP 2020, no.8, 083C01.

[14] A Keshavarzi, D Nomura and T Teubner (2018), "Muon g −2 and α(M Z 2 ): a new data-based analysis", Phys Rev D 97, no.11, 114025.

[15] G Colangelo, M Hoferichter and P Stoffer (2019), "Two-pion contri- bution to hadronic vacuum polarization," JHEP 02, 006.

[16] M Hoferichter, B L Hoid and B Kubis (2019), "Three-pion contri- bution to hadronic vacuum polarization", JHEP 08, 137.

[17] M Davier, A Hoecker, B Malaescu and Z Zhang (2020), "A new evaluation of the hadronic vacuum polarisation contributions to the muon anomalous magnetic moment and to α(m 2 Z )", Eur Phys J C

80, no.3, 241 [erratum: Eur Phys J C 80, no.5, 410].

[18] A Keshavarzi, D Nomura and T Teubner (2020), "g−2 of charged leptons, α(M Z 2 ) , and the hyperfine splitting of muonium", Phys Rev.

[19] A Kurz, T Liu, P Marquard and M Steinhauser (2014), "Hadronic contribution to the muon anomalous magnetic moment to next-to- next-to-leading order", Phys Lett B 734, 144-147.

[20] K Melnikov and A Vainshtein (2004), "Hadronic light-by-light scat- tering contribution to the muon anomalous magnetic moment revis- ited", Phys Rev D 70, 113006.

[21] P Masjuan and P Sanchez-Puertas (2017), "Pseudoscalar-pole con- tribution to the (g à −2): a rational approach", Phys Rev D 95, no.5, 054026.

[22] G Colangelo, M Hoferichter, M Procura and P Stoffer (2017), "Dis- persion relation for hadronic light-by-light scattering: two-pion contri- butions", JHEP 04, 161.

[23] M Hoferichter, B L Hoid, B Kubis, S Leupold and S P Schneider (2018), "Dispersion relation for hadronic light-by-light scattering: pion pole", JHEP 10, 141.

[24] A Gérardin, H B Meyer and A Nyffeler (2019), "Lattice calculation of the pion transition form factor with N f = 2 + 1 Wilson quarks", Phys Rev D 100, no.3, 034520.

[25] J Bijnens, N Hermansson-Truedsson and A Rodríguez-Sánchez (2019), "Short-distance constraints for the HLbL contribution to the muon anomalous magnetic moment", Phys Lett B 798, 134994.

[26] A J Buras, F De Fazio and J Girrbach-Noe (2014), "Z-Z 0 mixing andZ-mediated FCNCs in SU(3) C ×SU(3) L ×U(1) X models",JHEP

[27] L Hue and L Ninh (2019), "On the triplet anti-triplet symmetry in 3-3-1 models", Eur Phys J C 79, no.3, 221.

[28] G Colangelo, F Hagelstein, M Hoferichter, L Laub and P Stoffer (2020), "Longitudinal short-distance constraints for the hadronic light- by-light contribution to (g−2)à with large-Nc Regge models", JHEP

[29] G Colangelo, M Hoferichter, A Nyffeler, M Passera and P Stoffer (2014), "Remarks on higher-order hadronic corrections to the muon g−2", Phys Lett B 735, 90-91.

[30] T Blum, N Christ, M Hayakawa, T Izubuchi, L Jin, C Jung and

C Lehner (2020), "Hadronic Light-by-Light Scattering Contribution to the Muon Anomalous Magnetic Moment from Lattice QCD", Phys.Rev Lett 124, no.13, 132002.

[31] T Aoyama, M Hayakawa, T Kinoshita and M Nio (2012), "Complete Tenth-Order QED Contribution to the Muon g-2", Phys Rev Lett.

[32] T Aoyama, T Kinoshita and M Nio (2019), "Theory of the Anoma- lous Magnetic Moment of the Electron", Atoms 7, no.1, 28.

[33] A Czarnecki, W J Marciano and A Vainshtein (2003), "Refinements in electroweak contributions to the muon anomalous magnetic mo- ment", Phys Rev D 67, 073006 [erratum (2006): Phys Rev D 73, 119901].

[34] S T Petcov (1977), "The Processes à →e+γ, à →e+e, ν 0 → ν+γ in the Weinberg-Salam Model with Neutrino Mixing" Sov J Nucl. Phys 25, 340 [erratum (1977): Sov J Nucl Phys 25, 698; erratum (1977): Yad Fiz 25, 1336] JINR-E2-10176.

[35] A de Gouvea (2009), "(Charged) lepton flavor violation", Nucl Phys.

[36] G Aad et al [ATLAS] (2015), "Search for lepton-flavour-violating

H → àτ decays of the Higgs boson with the ATLAS detector", JHEP

[37] V Khachatryanet al.[CMS] (2016), "Search for lepton flavour violat- ing decays of the Higgs boson to eτ and eà in proton–proton collisions at √ s = 8 TeV" Phys Lett B 763, 472-500.

[38] A M Sirunyan et al [CMS] (2018), "Search for lepton flavour violat- ing decays of the Higgs boson to àτ and eτ in proton-proton collisions at √ s = 13 TeV", JHEP 06, 001.

[39] C Gnendiger, D St¨ockinger and H St¨ockinger-Kim (2013), "The elec- troweak contributions to (g−2)à after the Higgs boson mass measure- ment", Phys Rev D 88, 053005.

[40] F Pisano and V Pleitez (1992), "An SU(3) x U(1) model for elec- troweak interactions", Phys Rev D 46, 410-417 P H Frampton (1992), "Chiral dilepton model and the flavor question", Phys Rev. Lett 69, 2889-2891.

[41] T Aoyama, N Asmussen, M Benayoun, J Bijnens, T Blum,

M Bruno, I Caprini, C M Carloni Calame, M Cè and G Colangelo, et al (2020) "The anomalous magnetic moment of the muon in the Standard Model", Phys Rept 887, 1-166.

[42] B Abiet al [Muon g-2], "Measurement of the Positive Muon Anoma- lous Magnetic Moment to 0.46 ppm", Phys Rev Lett 126, no.14, 141801.

[43] G Aad et al [ATLAS] (2020), "Searches for lepton-flavour-violating decays of the Higgs boson in √ s = 13 TeV pp collisions with the ATLAS detector", Phys Lett B 800, 135069.

[44] ATLAS Collaboration (2019),ATLAS-CONF-2019-037, in Proc 29th Int Symp, "Lepton Photon Interactions at High Energies".

[45] B Abi et al [Muon (g-2) Collaboration] (2021),"Measurement of the Positive Muon Anomalous Magnetic Moment to 0.46 ppm",Phys Rev. Lett 126, no.14, 141801.

[46] Morel, L., Yao, Z., Cladé, P et al (2020), "Determination of the fine- structure constant with an accuracy of 81 parts per trillion", Nature

[47] B Aubert et al [BaBar Collaboration] (2010), "Searches for Lepton Flavor Violation in the Decays tau+- –> e+- gamma and tau+- –> mu+- gamma", Phys Rev Lett 104, 021802.

[48] A M Baldini et al [MEG Collaboration] (2016), "Search for the lep- ton flavour violating decay à + → e + γ with the full dataset of the MEG experiment", Eur Phys J C 76, no.8, 434.

[49] S Bressler, A Dery and A Efrati (2014), "Asymmetric lepton-flavor violating Higgs boson decays", Phys Rev D 90, no.1, 015025.

[50] I Chakraborty, A Datta and A Kundu (2016), "Lepton flavor vio- lating Higgs boson decay h →àτ at the ILC", J Phys G 43, no.12, 125001.

[51] D Choudhury, A Kundu, S Nandi and S K Patra (2017), "Unified resolution of the R(D) and R(D ∗ ) anomalies and the lepton flavor violating decay h →àτ", Phys Rev D 95, no.3, 035021.

[52] C X Yue, C Pang and Y C Guo (2015), "Lepton flavor violating Higgs couplings and single production of the Higgs boson via eγ col- lision", J Phys G 42, 075003.

[53] J Ellis (2015), "The Physics Landscape after the Higgs Discovery at the LHC", Nucl Part Phys Proc 267-269, 3-14.

[54] E P Hincks and B Pontecorvo (1948), "Search for gamma-radiation in the 2.2-microsecond meson decay process", Phys Rev 73, 257-258. [55] E Kou et al [Belle-II] (2019), "The Belle II Physics Book", PTEP

[56] T Aushev, W Bartel, A Bondar, J Brodzicka, T E Browder,

P Chang, Y Chao, K F Chen, J Dalseno and A Drutskoy, et al. (2010), Physics at Super B Factory, arXiv:1002.5012 [hep-ex].

[57] A M Baldini et al [MEG II] (2018), "The design of the MEG II experiment", Eur Phys J C 78, no.5, 380.

[58] G Arcadi, C P Ferreira, F Goertz, M M Guzzo, F S Queiroz and

A C O Santos (2018), "Lepton Flavor Violation Induced by Dark Matter", Phys Rev D 97, no.7, 075022.

[59] M Reig, J W F Valle and C A Vaquera-Araujo (2016), "Realistic SU(3) c ⊗SU(3) L ⊗U(1) X model with a type II Dirac neutrino seesaw mechanism", Phys Rev D 94, no.3, 033012.

[60] N A Ky, H N Long and D V Soa (2000), "Anomalous magnetic moment of muon in 3 3 1 models" Phys Lett B 486, 140.

[61] C Kelso, H N Long, R Martinez and F S Queiroz (2014), "Con- nection of g −2 à , electroweak, dark matter, and collider constraints on 331 models", Phys Rev D 90, no.11, 113011.

[62] D T Binh, D Huong, L T Hue and H N Long (2015), "Anomalous Magnetic Moment of Muon in Economical 3-3-1 Model", Commun in Phys 25, no.1, 29-43 (2015).

[63] A S De Jesus, S Kovalenko, F S Queiroz, C Siqueira and K Sinha (2020), "Vectorlike leptons and inert scalar triplet: Lepton flavor vio- lation, g −2, and collider searches", Phys Rev D 102, no.3, 035004. [64] Á S de Jesus, S Kovalenko, C A de S Pires, F S Queiroz and

Y S Villamizar (2020), "Dead or alive? Implications of the muon anomalous magnetic moment for 3-3-1 models", Phys Lett B 809, 135689.

[65] Z Maki, M Nakagawa and S Sakata (1962), "Remarks on the unified model of elementary particles", Prog Theor Phys 28, 870-880.

[66] M Lindner, M Platscher and F S Queiroz (2018), "A Call for New Physics : The Muon Anomalous Magnetic Moment and Lepton Flavor Violation", Phys Rept 731, 1-82.

[67] A E Cárcamo Hernández, D T Huong and H N Long (2020), "Min- imal model for the fermion flavor structure, mass hierarchy, dark mat- ter, leptogenesis, and the electron and muon anomalous magnetic mo- ments", Phys Rev D 102, no.5, 055002.

[68] A E Cárcamo Hernández, Y Hidalgo Velásquez, S Kovalenko,

H N Long, N A Pérez-Julve and V V Vien (2021), "Fermion spec- trum and g −2 anomalies in a low scale 3-3-1 model", Eur Phys J.

[69] L T Hue, T.Phong Nguyen and T D Tham (2020), "Anomalous Magnetic Dipole Moment (g−2)à in 3-3-1 Model with Inverse Seesaw Neutrinos", Commun in Phys 30, no.3, 221-230.

[70] B Sánchez-Vega, E Schmitz and J Montero (2018), "New constraints on the 3-3-1 model with right-handed neutrinos" Eur Phys J C 78 no.2, 166.

[71] D Chang and H N Long (2006), "Interesting radiative patterns of neutrino mass in an SU(3)(C) x SU(3)(L) x U(1)(X) model with right- handed neutrinos", Phys Rev D 73, 053006.

[72] A G Dias, C A de S.Pires, P S Rodrigues da Silva and A Sampieri (2012), "A Simple Realization of the Inverse Seesaw Mechanism", Phys Rev D 86, 035007.

[73] M E Catano, R Martinez and F Ochoa (2012), "Neutrino masses in a 331 model with right-handed neutrinos without doubly charged Higgs bosons via inverse and double seesaw mechanisms", Phys Rev.

[74] S M Boucenna, J W F Valle and A Vicente (2015), "Predicting charged lepton flavor violation from 3-3-1 gauge symmetry", Phys. Rev D 92, no.5, 053001.

[75] C A de Sousa Pires, F Ferreira De Freitas, J Shu, L Huang and

P Wagner Vasconcelos Olegário (2019), "Implementing the inverse type-II seesaw mechanism into the 3-3-1 model", Phys Lett B 797, 134827.

[76] A M Baldini, F Cei, C Cerri, S Dussoni, L Galli, M Grassi, D Ni- colo, F Raffaelli, F Sergiampietri and G Signorelli, et al (2013),

[77] J Cao, J Lian, L Meng, Y Yue and P Zhu (2020), "Anomalous muon magnetic moment in the inverse seesaw extended next-to-minimal su- persymmetric standard model", Phys Rev D 101, no.9, 095009.

[78] J Cao, Y He, J Lian, D Zhang and P Zhu (2021), "Electron and muon anomalous magnetic moments in the inverse seesaw extendedNMSSM", Phys Rev D 104, no.5, 055009.

[79] T Nomura, H Okada and P Sanyal (2022), "A radiatively induced inverse seesaw model with hidden U(1) gauge symmetry", Eur Phys.

[80] T Mondal and H Okada (2022), "Inverse seesaw and(g−2)anomalies in B − L extended two Higgs doublet model", Nucl Phys B 976, 115716.

[81] T.Phong Nguyen, T Thuy Le, T T Hong, L T Hue (2018), "Decay of standard model-like Higgs boson h → àτ in a 3-3-1 model with inverse seesaw neutrino masses", Phys Rev D 97 no.7, 073003.

[82] R Foot, H N Long and T A Tran (1994), "SU(3) L ⊗U(1) N and

SU(4) L ⊗U(1) N gauge models with right-handed neutrinos", Phys. Rev D 50, no.1, R 34.

[83] J W F Valle and M Singer (1983), "Lepton Number Violation With Quasi Dirac Neutrinos", Phys Rev D, 28, 540.

[84] J C Montero, F Pisano and V.Pleitez (1993), "Neutral currents and GIM mechanism in SU(3)-L x U(1)-N models for electroweak interac- tions,", Phys Rev D 47, 2918-2929.

[85] P Minkowski, (1997)Phys Lett B 67, 421-428 T Yanagida, in Pro- ceedings of the Workshop on the Unified Theory and the Baryon Num- ber in the Universe, edited by O Sawada and A Sugamoto (KEK Re- port No 79–18, Tsukuba, Japan, 1979), p 95 M Gell-Mann, P Ra- mond and R Slansky (1979), "Complex Spinors and Unified Theo- ries", Conf Proc C 790927, 315-321.

[86] J Schechter and J W F Valle (1980), "Neutrino Masses in SU(2) xU(1) Theories", Phys Rev D 22, 2227; R N Mohapatra and G Sen- janovic (1981), "Neutrino Masses and Mixings in Gauge Models with Spontaneous Parity Violation", Phys Rev D 23, 165.

[87] R N Mohapatra and J W F Valle (1986), "Neutrino Mass and Baryon Number Nonconservation in Superstring Models", Phys Rev.

[88] A J Buras, F De Fazio, J Girrbach and M V Carlucci (2013), "The Anatomy of Quark Flavour Observables in 331 Models in the Flavour Precision Era", JHEP 02, 023.

[89] L T Hue, H N Long, T T Thuc and T.Phong Nguyen (2016),

"Lepton flavor violating decays of Standard-Model-like Higgs in 3-3-1 model with neutral lepton", Nucl Phys B 907, 37.

[90] M Tanabashiet al [Particle Data Group] (2018), "Review of Particle Physics", Phys Rev D 98, no.3, 030001.

[91] K Abe et al [T2K] (2020), "Constraint on the matter–antimatter symmetry-violating phase in neutrino oscillations", Nature 580, no.7803, 339-344, [erratum (2020): Nature 583, no.7814, E16.

[92] W Yin (2021), "Radiative lepton mass and muong−2with suppressed lepton flavor and CP violations", JHEP 08, 043.

[93] M J Baker, P Cox and R R Volkas (2021), "Radiative muon mass models and (g −2) à ", JHEP 05, 174.

[94] L D Ninh and H N Long (2005), "SM Higgs boson production at CERN LHC in 3-3-1 model with right-handed neutrinos", Phys Rev.

[95] L T Hue, L D Ninh, T T Thuc and N Dat (2018), "Exact one-loop results for l i →l j γ in 3-3-1 models", Eur Phys J C 78, no.2, 128.

[96] A Crivellin, M Hoferichter and P Schmidt-Wellenburg (2018), "Com- bined explanations of (g − 2)à,e and implications for a large muon EDM", Phys Rev D 98, no.11, 113002.

[97] F Jegerlehner and A Nyffeler (2009), "The Muon g-2", Phys Rept.

[98] T Aoyama, M Hayakawa, T Kinoshita and M Nio (2012), "Tenth- Order QED Contribution to the Electron g-2 and an Improved Value of the Fine Structure Constant", Phys Rev Lett 109, 111807.

[99] S Laporta (2017), "High-precision calculation of the 4-loop contribu- tion to the electron g-2 in QED", Phys Lett B 772, 232-238.

[100] H Terazawa (2018), "Convergence of Perturbative Expansion Series in QED and the Muon g-2: One of the Oldest Problems in Quantum Field Theory and of the Latest Problems in the Standard Model", Nonlin Phenom Complex Syst 21, no.3, 268-272.

[101] S Volkov (2019), "Calculating the five-loop QED contribution to the electron anomalous magnetic moment: Graphs without lepton loops", Phys Rev D 100, no.9, 096004.

[102] Patrignani C et al (Particle Data Group) (2016), "Review of Particle Physics", Chinsese Physics C 40, p100001.

[103] Lindner M., Platscher M., Queiroz F S (2018), "A Call for New Physics: The Muon Anomalous Magnetic Moment and Lepton Flavor Violation ", Phys Rept 731 (2), pp.1-82.

[104] Calibbi L., Signorelli G (2018),"Charged Lepton Flavour Violation:

An Experimental and Theoretical Introduction", Riv Nuovo Cim 41(2), pp.1-112.

[105] L Hue and L Ninh (2016), "The simplest 3-3-1 model", Mod Phys. Lett A 31, no.10, 1650062.

[106] L T Hue, H N Long, T T Thuc and T Phong Nguyen (2016),

"Lepton flavor violating decays of Standard-Model-like Higgs in 3-3-1 model with neutral lepton", Nucl Phys B 907, 37-76.

[107] T T Thuc, L T Hue, H N Long and T P Nguyen (2016), "Lepton flavor violating decay of SM-like Higgs boson in a radiative neutrino mass model", Phys Rev D 93, no.11, 115026.

[108] H K Dreiner, H E Haber and S P Martin (2010), "Two-component spinor techniques and Feynman rules for quantum field theory and supersymmetry", Phys Rept 494, 1-196.

[109] H Okada, N Okada, Y Orikasa and K Yagyu (2016), "Higgs phe- nomenology in the minimal SU(3) L × U(1) X model", Phys Rev D

[110] M B Tully and G C Joshi (2001), "Generating neutrino mass in the 331 model", Phys Rev D 64, 011301.

[111] C Patrignaniet al.[Particle Data Group] (2016), "Review of Particle Physics", Chin Phys C 40, no.10, 100001

[112] A Denner, S Heinemeyer, I Puljak, D Rebuzzi and M Spira (2011),

"Standard Model Higgs-Boson Branching Ratios with Uncertainties", Eur Phys J C 71, 1753.

[113] J Kuipers, T Ueda, J A M Vermaseren and J Vollinga (2013),

"FORM version 4.0" Comput Phys Commun 184, 1453-1467.

[114] A J Buras, F De Fazio and J Girrbach (2014), "331 models facing new b → sà + à − data" JHEP 02, 112.

[115] C Salazar, R H Benavides, W A Ponce and E Rojas (2015), "LHC Constraints on 3-3-1 Models", JHEP 07, 096.

[116] T T Hong, H T Hung, H H Phuong, L T T Phuong and

L T Hue (2020), "Lepton-flavor-violating decays of the SM-like Higgs boson h → eiej, and ei →ejγ in a flipped 3-3-1 model", PTEP 2020, no.4, 043B03.

[117] J M Cabarcas, J Duarte and J A Rodriguez (2014), "Charged lepton mixing processes in 331 Models", Int J Mod Phys A 29, 1450015.

[118] K H Phan, H T Hung and L T Hue (2016), "One-loop contribu- tions to neutral Higgs decay h → àτ", PTEP 2016, no.11, 113B03.

[119] A Ibarra, E Molinaro and S T Petcov (2010), "TeV Scale See-Saw Mechanisms of Neutrino Mass Generation, the Majorana Nature of the Heavy Singlet Neutrinos and (ββ) 0ν -Decay", JHEP 09, 108.

[120] U Bellgardt et al [SINDRUM] (1988), "Search for the Decay mu+

[121] P V Dong, C S Kim, D V Soa and N T Thuy (2015), "Inves- tigation of Dark Matter in Minimal 3-3-1 Models", Phys Rev D 91, no.11, 115019.

[122] P Van Dong, N T K Ngan, T D Tham, L D Thien and

N T Thuy (2019), "Phenomenology of the simple 3-3-1 model with inert scalars", Phys Rev D 99, no.9, 095031.

[123] H T Hung, N T Tham, T T Hieu and N T T Hang (2021), "Con- tribution of heavy neutrinos to decay of standard-model-like Higgs bo- son H → àτ in a 3-3-1 model with additional gauge singlets" PTEP

[124] L T Hue, H T Hung, N T Tham, H N Long and T P Nguyen(2021), "Large (g-2)à and signals of decays eb→eaγ in a 3-3-1 model with inverse seesaw neutrinos", Phys Rev D 104, no.3, 033007.

Công thức giải tích tính ∆ (i)V L,R của LFVHDs trong chuẩn unitary

Trong phụ lục này chúng tôi sử dụng hàm PV [106, 118] để biểu thị cho tất cả các công thức tích phân ở đóng góp bậc một vòng cho LFVHDs được định nghĩa trong (2.58) Chúng tôi cũng sử dụng các kí hiệu cho tích phân bậc một vòng của các hàm PV, chẳng hạn

D1 = (k−p1) 2 −M 1 2 +iδ, D2 = (k+ p2) 2 −M 2 2 +iδ, ở đây δ là số thực dương vô cùng nhỏ.

(ab)L,R. ở đây k biểu thị giản đồ thứ (k) trong hình 2.2 Các thành phần được tính toán cụ thể như sau:

A.1 Các đóng góp của W ± boson

A.2 Các đóng góp của Y ± boson

A.3 Các đóng góp của H s ± boson

+ λ 0 ij hλ R,s∗ ai λ L,s bj m n i m n j C 0 +λ R,s∗ ai λ R,s bj m n i m b (C 0 +C 2 )

+ λ 0∗ ij h λ L,s∗ ai λ R,s bj m n i m n j C 0 +λ L,s∗ ai λ L,s bj m n i m b (C 0 +C 2 ) + λ R,s∗ ai λ R,s bj m a m n j (C 0 −C 1 ) +λ R,s∗ ai λ L,s bj m a m b (C 0 −C 1 + C 2 )i o,

X i=1 h−λ R,s∗ ai λ L,s bi m n i C 0 −λ L,s∗ ai λ L,s bi m a C 1 +λ R,s∗ ai λ R,s bi m b C 2 i,

X i=1 h−λ L,s∗ ai λ R,s bi m n i C 0 −λ R,s∗ ai λ R,s bi m a C 1 +λ L,s∗ ai λ L,s bi m b C 2 i,

+ mamb λ L,s∗ ai λ L,s bi mb + λ R,s∗ ai λ R,s bi ma B 1 (1) +B 1 (2) i ,

Khử phân kì trong các biên độ

Các phần phân kì được thể hiện trong phụ lục A chỉ chứa hàm B, divB 0 (1) =divB 0 (2) =divB 0 (12) = 2divB 1 (1) = −2 divB 1 (2) = ∆

Bỏ qua các yếu tố chung g 3 /(64π 2 m 3 W ) và sử dụng 1/mY = √

2sα/mW, những phần phân kì còn lại của ∆ L từ phương trình ở phụ lục A là: divh∆ (1)W L i = m a ∆ ×