Ma trận có thể được ứng dụng trong kiểm soát doanh số bán hàng trong nhiều khía cạnh để quản lý và cải thiện hoạt động bán hàng của một cá nhân, công ty hoặc một tổ chức.. Các ứng dụng q
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Giải các bài tập sau
Bài 1: Thực hiện phép tính , biết A¿ [ 4 1 1 3 ] và B¿ [ 1 5 −1 3 ]
Bài 2 Cho ma trận A= [ 2 0 1 3 ] Tính
Bài 3: Tìm ma trận biết , trong đó
Bài 4: Tìm ma trận X thỏa mãn
Bài 5: Cho ma trận Tìm ma trận thỏa mãn X X.A=At
Bài 6 Tìm ma trận X biết X.A - 2B = , trong đóI
Bài 7 Tìm điều kiện để ma trận sau khả đảo A = ( 1 1 1 2 m 3 0 1 5 2 2 0 −2 1 2 1 )
Bài 8 Tính các định thức sau
Bài 9: Sử dụng tính chất của định thức, chứng minh rằng định thức sau bằng 0:
Bài 11: Tính hạng của các ma trận sau
Bài 12: Tính hạng của các ma trận sau tùy theo m
Bài 13: Tìm để hạng của ma trận sau bằng 3m
Bài 14: Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss
Bài 15: Tìm để hệ phương trình sau có vô số nghiệm m
Bài 16: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
Bài 17: Tìm m để hệ sau vô nghiệm:
Bài 18: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cramer:
Bài 19: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cramer:
Bài 20: Giải hệ sau bằng phương pháp cramer:
Bài 1: Thực hiện phép tính , biết A¿ [ 4 1 1 3 ] và B ¿ [ 1 5 −1 3 ]
Bài 2 Cho ma trận A=[ 2 0 1 3 ] Tính
Theo quy nạp toán học ta có: A n =[ 2 0 n 3 n − 3 n 2 n ]
Giả sử đúng với ∀n, ta thấy điều này đúng với n+1
Bài 3: Tìm ma trận biết , trong đó
Bài 4: Tìm ma trận X thỏa mãn
Bài 5: Cho ma trận Tìm ma trận thỏa mãn X X.A=At
Bài 6 Tìm ma trận X biết X.A - 2B = , trong đóI
Ta nhận thấy ma trận A và B cùng cỡ3×3nên ma trận I cũng là cỡ3×3 Ta có: Det(A) 15 ≠ 0 => ∃A -1 => X = I + 2B ).A( -1 Đặt C = I + 2B => X = C.A = -1 15 1 C A *
Bài 7 Tìm điều kiện để ma trận sau khả đảo A = ( 1 1 1 2 m 3 0 1 0 5 2 2 −2 1 2 1 )
Giải: Để ma trận A là ma trận khả đạo thì Det(A) ≠0
Vậy m ≠1 thì ma trận A là ma trận khả đảo
Bài 8 Tính các định thức sau
17 = - 81 ( tính chất ) Vậy định thức ma trận D là Det(D ) = -811
Nhận xét : Ma trận D là ma trận đối xứng
Ta có : Det(A) = (-1) 1+1 × 0× Det ( D 11)+¿(-1) 1+2 xDet(D 12 ) + (-1) y 1+3 Det(D 13 )
Bài 9: Sử dụng tính chất của định thức, chứng minh rằng định thức sau bằng 0:
Gọi D là định thức của ma trận D1
Ta có ma trận D1là: [ 425 25 4 534 34 5 948 48 9 ]
Det(D1) = D =| 4 0 0 11 5 4 0 −33 9 0 4 | = 0 (vì hàng cuối bằng 0) Bài 10: Giải phương trình:
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 ; x = 3
Bài 11: Tính hạng của các ma trận sau
Bài 12: Tính hạng của các ma trận sau tùy theo m
Vậy m=1 Hạng của ma trận A=3 hoặc m ≠1 Hạng của ma trận A=4 b) A= [ −2 2 3 3 2 2 −12 1 7 m 2 9 −2 1 1 ] [ 2 0 0 −5/2 3 5 11/2 −11 1 m+2 2 6 − − 1/ 1 1 2 ]
Vậy ∀ m thì hạng của ma trận A=3
Bài 13: Tìm để hạng của ma trận sau bằng 3m
Vậy để hạng của ma trận B=3 thì m-2 ≠ 0 => m ≠ 2 b) [ −2 1 4 −6 12 3 m m−1 2 1 +3 m− − 4 1 3 ] [ 1 0 0 3 0 0 m m+ 2 1 −1 1 m+ − 2 1 1 ] Để B có ma trận bậc 3
Vậy với m=1 thì hạng của ma trận B=3
Bài 14: Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss
Từ A ta có hệ phương trình sau:
Bài 15: Tìm để hệ phương trình sau có vô số nghiệm m
[ 1 0 0 1 1 0 3 m+4 −2 −m 2 m− 1 2 6 ] Để phương trình trên có vô số nghiệm:
Bài 16: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
Vì r(A) = r(A) = 4 => Phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 17: Tìm m để hệ sau vô nghiệm:
Xét ma trận bổ sung:
Ta có r(A) =2 và r(A¿≠2 => r(A) ≠ r(A) => Phương trình vô nghiệm
Bài 18: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cramer:
Ta có ma trận hệ số:
Det(A3)= | 4 1 0 2 2 1 −0 1 3 |= -24 -4 +6= -22 Áp dụng công thức: x i =Det(A i )
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-15;19;-22)
Bài 19: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cramer:
Hệ phương trình đã cho có ma trận A=[ − 3 1 2 −2 −1 1 − 1 3 3 ] ; B= [ −6 6 5 ]
Det(A )= 3 | −2 31 −2−11 −6 65| =-5 Áp dụng công thức: x i =Det(A i )
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;-1;1)
Bài 20: Giải hệ sau bằng phương pháp cramer:
Det(A )= 3 | 1 0 3 −1 4 0 − 1 4 13 |= 4+39-72= -29 Áp dụng công thức: x i =Det(A i )
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;-2;1)
ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ MA TRẬN , ĐỊNH THỨC , HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TẬP MINH HỌA ỨNG DỤNG
Trong việc xác định doanh số bán hàng
Ma trận có thể được ứng dụng trong kiểm soát doanh số bán hàng trong nhiều khía cạnh để quản lý và cải thiện hoạt động bán hàng của một cá nhân, công ty hoặc một tổ chức Các ứng dụng quan trọng:
Phân tích doanh số bán hàng: Ma trận có thể được sử dụng để phân tích doanh số bán hàng của các sản phẩm hoặc dịch vụ khác nhau theo thời gian hoặc theo vị trí Bằng cách biểu diễn dữ liệu doanh số trong ma trận, bạn có thể nhận ra xu hướng và sự biến đổi trong việc tiêu thụ
Phân tích hiệu suất kinh doanh: Ma trận có thể được sử dụng để phân tích hiệu suất kinh doanh bằng cách so sánh doanh số thực tế với các mục tiêu kinh doanh Bằng cách so sánh các con số trong ma trận, bạn có thể đánh giá hiệu suất của các đội bán hàng, khu vực, hoặc sản phẩm cụ thể
Công ty có 2 cửa, bán 4 mặt hàng M1, M2, M3, M4 với đơn giá 10; 20; 30; 40 (ngàn đồng/cái)
(cửa hàng2) Doanh số tháng 2/2021:
(cửa hàng2) Tính doanh thu và tổng doanh số của 2 cửa hàng trong 2 tháng?
Tổng doanh số tháng 1 và tháng 2 là:
Doanh thu của 2 cửa hàng trong tháng 1/2021 là:
Vậy doanh thu của của hàng 1 trong tháng 1/2021 là 2.250.000 đồng doanh thu của của hàng 2 trong tháng 1/2021 là 3.250.000 đồng
Doanh thu của 2 cửa hàng trong tháng 2/2021 là:
Vậy doanh thu của của hàng 1 trong tháng 2/2021 là 1.620.000 đồng doanh thu của của hàng 2 trong tháng 2/2021 là 2.240.000 đồng
Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong việc bảo mật mật mã thông tin, tin nhắn, mã hóa các chữ cái
Ma trận nghịch đảo có ứng dụng trong việc bảo mật mật mã thông tin tin nhắn bằng cách mã hóa các chữ cái theo nhiều cách, trong đó một trong những phương pháp phổ biến là mã hoá Hill Dưới đây là cách ma trận nghịch đảo được sử dụng
Mã hóa thông điệp: Chuyển đổi các chữ cái thành các số theo một quy tắc nào đó Ví dụ: A=0, B=1, C=2, Tạo một ma trận khóa K với các giá trị số nguyên Chia thông điệp thành các khối của ký tự (thường là 2 hoặc 3 ký tự mỗi khối) Mỗi khối ký tự được biểu diễn dưới dạng vector cột và nhân với ma trận K.
Giải mã thông điệp: Bạn cần ma trận nghịch đảo của ma trận K để giải mã Ma trận nghịch đảo của K là K^(-1) Nhân ma trận K^(-1) với các vector cột đã mã hóa để khôi phục thông điệp ban đầu.
Sử dụng ma trận nghịch đảo trong mã hóa thông tin rất có lợi vì nó tăng cường độ bảo mật Tuy nhiên, cần lưu ý đến việc quản lý an toàn ma trận khóa và ngăn chặn mọi thay đổi hoặc tiết lộ trái phép.
Kiệt muốn gửi 1 dòng mật khẩu cho Khôi Để đảm bảo bí mật Kiệt dùng bảng tương ứng trên chuyển dòng mật khẩu này thành 1 dãy số và viết dãy số này thành ma trận B theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải, mỗi chữ số là 1 vị trí trên các dòng của B Sau khi tỉnh C và chuyển C về dãy số thì được dãy: 63 46 8 66 35 36 43 31 4 Hãy giải mã dòng thông tin trên.
Ta có det(A) = 28 0 tồn tại A −1
Vì ma trận A là ma trận cỡ 3×3 ma trận A −1 là ma trận cỡ 3×3
Vậy ma trân C phải có 3 cột, mà C có 9 phần tử
Vậy dòng thông tin là BÁNH BƠ NHỎ
Ứng dụng của ma trận trong hóa học
Trong lĩnh vực hóa học, ma trận được sử dụng rộng rãi như một công cụ hữu ích để biểu diễn, phân tích và giải quyết các vấn đề liên quan đến phản ứng hóa học và tính chất hóa học Ví dụ, ma trận được sử dụng để mô tả thành phần của hợp chất, cân bằng phản ứng hóa học, tính toán hằng số cân bằng và giải quyết các hệ phương trình liên quan đến các phản ứng hóa học.
Phân tích dữ liệu hóa học: Ma trận có thể được sử dụng để phân tích dữ liệu từ các thí nghiệm hóa học Bằng cách biểu diễn dữ liệu dưới dạng ma trận, bạn có thể thực hiện phân tích thống kê và phát hiện mối quan hệ giữa các biến
Mô phỏng phản ứng hóa học: Trong nghiên cứu về phản ứng hóa học, ma trận có thể được sử dụng để mô phỏng quá trình phản ứng Ma trận này biểu diễn sự biến đổi của các chất tham gia và sản phẩm trong quá trình phản ứng.
Cần 3 thành phần khác nhau A, B và C, để sản xuất một lượng hợp chất hóa học nào đó A, B và
C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệt trước khi chúng kết hợp lại để tạo ra hợp chất hóa học Biết rằng nếu kết hợp dung dịch chứa A với tỉ lệ 1.5 g/cm với dung dịch chứa B với tỉ lệ 3.6 g/cm và dung dịch chứa C với tỉ lệ 5.3 g/cm thì tạo ra 25.07 g hợp chất hóa học đó Nếu tỉ lệ của A, B, C trong phương án này thay đổi thành tương ứng 2.5, 4.3 và 2.4 g/cm (trong khi thể tích là giống nhau), khi đó 22.36 g chất hóa học sẽ được tạo ra Cuối cùng, nếu tỉ lệ tương ứng là 2.7, 5.5 và 3.2 g/cm, thì sẽ tạo ra 28.14 g hợp chất Thể tích của dung dịch chứa A,
Gọi x, y, z tương ứng là thể tích (cm) của phương án chứa A, B và C
Khi đó 1.5x là khối lượng của A trong trường hợp đầu, 3.6y là khối lượng của B và 5.3z là khối lượng của C Cộng lại với nhau, ba khối lượng này sẽ tạo ra 25.07 g Do đó: 1,5x +3,6 y +5,32 %,07
Tương tự cho hai trường hợp còn lại, ta có hệ phương trình tuyến tính:
Ta có ma trận bổ sung của hệ này là:[ 1,5 2,5 2,7 3,6 4,3 5,5 2,4 5,3 3,2 | 25,07 22,36 28,14 ]
Bằng cách biến đổi ma trận ta được kết quả là: x= 1,5 ; y = 3,1 ; z= 2,2
ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC
1.Ứng dụng của định thức trong việc tính diện tích tam giác
Vi dụ : Có ba người bạn A,B,C rủ nhau đi chơi hẹn gặp nhau tại một điêm. Nhung do tắc đường nên họ môi người một nơi B bông nảy ra một ý và gọi cho
2 người còn lại và nói: Trong ba người ai mà tìm được diện tích của chỗ ba người đang đứng thì người đây sẽ không phải trả tiến cho bứa đi này Anh A đang ở (1;3), anh B đang ở (4;5) và anh C đang ở (2:9) Ba điêm trên tạo thành một tam giác Tính diện tích tam giác trên
2 Det(A) =| xA xB xC yA yB yC 1 1 1 | = | 1 4 2 3 5 9 1 1 1 | = 11
2 Ứng dụng tính thể tích khối tứ diện
Ví Dụ : Một khối tứ diện có tọa đọ 4 điểm lần lượt là A(0:0:1), B(2;3;5) , C(6;2;3) , D(3;7;2) Người ta cần tính thể tích tách của khối tứ diện bằng định thức.
V.ABCD = 1 6 | xA xB xC xD yD yA yB yC zA zB zD zC 1 1 1 1 | = 1 6 | 0 2 6 3 0 3 2 7 1 5 3 2 1 1 1 1 | = 20
ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1 Trong vật lý: giải bài toán tính cường độ dòng điện một chiều
Bài tập : Cho mạch điện như hình vẽ
E= 20V, r=1Ω, Ω, Ω , = 6Ω Bỏ qua điện trở dây dẫn , tính cường độ dòng điện qua mỗi điện trở
GIẢI Áp dụng định luật kirckoff I tại nút A ta có : (1) Áp dụng định luật kirckoff II ta có:
(*) Áp dụng định luật kirchoff I tại nút B, ta có : (3) Áp dụng định luật kirchoff II có: (4)
(3)(4) ta có hệ phương trình : (5)
Từ (5)(*) ta có thể tìm được từng giá trị I
2 Trong hóa học, hệ pt tuyến tính dùng để cân bằng phương trình
Giả sử ta cần cân bằng phản ứng hóa học: CH4+O2 -> CO2+H O2 Để cân bằng phản ứng, ta cần tìm các số nguyên dương x, y, z, t sao cho: xCH +yO4 2 -> zCO2+tH O2
Ta có: ĐLBT nguyên tố:
Từ đó ta có hpt: Giải hệ, ta có nghiệm tổng quát: x=t/2, y=t, z=t/2, t là số thực tùy ý.
Số nguyên dương t nhỏ nhất để x, y, z, t là nguyên dương là t=2.
Do đó cân bằng được phương trình phản ứng
3 Giải các bài toán thực tế trong kinh tế :
Các bài toán về quy hoạch tuyến tính, dự báo giá cả, tỉ giá hối đoái, lợi nhuận, giao hàng, cung cấp, quản lý rủi ro tài chính và phân tích các chỉ số kinh tế đều được ứng dụng ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính
VD Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn cắt, lắp ráp và đóng gói với thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau
Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là 380,
330 và 120 giờ công Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để nhà máy hoạt động hết công suất?
Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số lượng sản phẩm A,B,C nhà máy cần sản xuất (cái); điều kiện: x1, x2, x3 thuộc N*
Thời gian cắt để sản xuất sản phẩm là: (giờ)
Thời gian lắp ráp để sản xuất sản phẩm: (giờ)
Thời gian đóng gói để sản xuất sản phẩm: (giờ) Để nhà máy hoạt động hết năng suất cần điều kiện:
=>r(A)=r(A|B)= số ẩn =3 =>hpt có nghiệm duy nhất
Vậy số lượng sản phẩm A,B,C nhà máy cần sản xuất là: 50; 200; 100 (cái)
4 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong sản xuất :
Hệ phương trình tuyến tính có vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán trong kỹ thuật, khoa học máy tính, mạng lưới điện, vật liệu, kết cấu và cơ chế, lĩnh vực nghiên cứu hoạt động kinh tế, y học, phân tích quy trình, công nghệ sinh học và khoa học môi trường
VD: Giả sử một công ty có bốn loại nguyên liệu làm thép ( kí hiệu là S1, S2, S3, S4) với thành phần tỉ lệ các chất (tính bằng % khối lượng) như sau
Công ty đó cần phối trộn bốn loại nguyên liệu như thế nào để tạo thành một hỗn hợp với tỉ lệ các chất (tính bằng % khối lượng) là:
Giải: Để giải quyết bài toán, ta cần xác định tỉ lệ phối trộn mỗi loại nguyên liệu.
Gọi x1, x2, x3, x4 lần lượt là tỉ lệ của S , S , S , S theo khối lượng.1 2 3 4
Ta có hệ phương trình: Để tìm tỉ lệ phối trộn, ta cần giải hệ phương trình trên để tìm x 1 đến x 4
PHẦN KẾT LUẬN
Báo cáo này đã trình bày một cái nhìn tổng quan về ứng dụng của ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính trong nhiều lĩnh vực khác nhau Chúng ta đã thấy rằng ma trận là một công cụ mạnh mẽ cho việc biểu diễn và giải quyết các vấn đề phức tạp, từ toán học đến khoa học máy tính, giải mã thông tin, hóa học , kinh tế và thống kê Định thức của ma trận có vai trò quan trọng trong xác định tính đảm bảo của hệ phương trình và còn nhiều ứng dụng trong việc tính toán thể tích và diện tích trong hình học và đa giác
Hệ phương trình tuyến tính, dựa trên ma trận, đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực thực tế, như là công cụ để tối ưu hóa, dự đoán, mô phỏng, giải quyết các bài toán thực tế, lý thuyết Bằng cách giải quyết hệ phương trình tuyến tính, chúng ta có thể tìm ra các giải pháp thỏa mãn các ràng buộc và điều kiện đã cho của yêu cầu thực tế.
Chúng ta cũng đã thấy rằng ứng dụng của ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính là vô cùng đa dạng và quan trọng trong thế giới hiện đại Các công nghệ và ứng dụng tiếp tục phát triển, mở ra nhiều cơ hội mới trong việc sáng tạo và nghiên cứu Báo cáo này chỉ là một bước đầu trong việc khám phá sâu hơn về những khía cạnh thú vị và ứng dụng tiềm năng của các khái niệm này.