tổng quan về ước lượng tham số và kiểm định tham số của đlnn trong thống kê toán

Đặt vấn đề: Thống kê là nghiên cứu của tập hợp nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm phân tích, giải thích, trình bày và tổ chức dữ liệu Khi áp dụng .thống kê trong khoa học, công nghiệp hoặ

I Đặt vấn đề:

Thống kê là nghiên cứu của tập hợp nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm phân tích, giải thích, trình bày và tổ chức dữ liệu Khi áp dụng .thống kê trong khoa học, công nghiệp hoặc các vấn đề xã hội, thông

lệ là bắt đầu với tổng thể thống kê hoặc một quá trình mô hình thống

kê sẽ được nghiên cứu Tổng thế có thể gồm nhiều loại khác nhau như “tất cả mọi người đang sống trong một đất nước” hay “tập hợp các phân tử của tinh thể” Nó đề cập tới tất cả các khía cạnh của dữ liệu bao gồm việc lập kế hoạch, thu thập dữ liệu mẫu cho các cuộc khảo sát và thí nghiệm

Khi không thể thu thập được dữ liệu điều tra dân số, các nhà thống

kê thu thập dữ liệu bằng cách phát triển các mẫu thí nghiệm và mẫu khảo sát cụ thể Quá trình lấy mẫu đại diện đảm bảo rằng những suy luận và kết luận có thể được áp dụng từ mẫu cho đến tổng thể Một nghiên cứu thực nghiệm bao gồm việc đo lường hệ thống được nghiên cứu, thao tác trên hệ thống và sau đó đo lường thêm, sử dụng cùng thủ tục mẫu để xác định xem các thao tác có thay đổi giá trị đo lường hay không Ngược lại, một quan sát nghiên cứu không liên quan đến thao tác thực nghiệm

Khi một cuộc điều tra mẫu tổng thể không thể thực hiện được, ta lựa chọn một tập hợp con của dân số, đó được gọi là một mẫu nghiên cứu Khi mẫu đó là đại diện của mẫu tổng thể được xác định, dữ liệu được tập hợp cho các biến trong mẫu quan sát hoặc mẫu thực tế Một lần nữa thống kê mô tả có thể được sử dụng để tổng hợp các dữ liệu mẫu Tuy nhiên, các bản thiết kế mẫu đã bị tác động bởi một yếu tố ngẫu nhiên, do đó việc thành lập số mẫu mô tả cũng không được chắc chắn Để rút ra kết luận có ý nghĩa về toàn bộ tổng thể, thống kê suy luận là rất cần thiết Nó sử dụng mẫu trong dữ liệu mẫu

để suy luận về tổng thể, mô tả ngẫu nhiên Những suy luận có thể mang hình thức trả lời có hoặc không các câu hỏi về dữ liệu (kiểm định giả thuyết), ước tính số lượng dữ liệu (ước tính), mô tả các liên kết của dữ liệu (tương quan) và các mối quan hệ của các mẫu trong

dữ liệu (ví dụ sử dụng phân tích hồi quy) Suy luận có thể mở rộng

để dự báo, tiên đoán và ước tính giá trị không được chú ý đến hoặc

sự liên kết với tổng thể được nghiên cứu Nó có thể bao gồm các biến ngoại suy hoặc biến nội suy của chuỗi thời gian hoặc dữ liệu không gian, và khai thác dữ liệu

II Tổng quan về Ước lượng tham số và kiểm định tham số của ĐLNN trong Thống kê toán

1 Tổng quan về “Ước lượng tham số của ĐLNN”

a Ước lượng điểm

• Giả s cử ần ước lượng tham s cố𝜃 ủa ĐLNN 𝑋

• Lấy m u ngẫu nhiên kích thước ẫ 𝑛

• Xây dựng thống kê 𝜃∗= 𝑓(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛tương ứng với 𝜃

• Với mẫu cụ thể, tính: 𝜃𝑡𝑛∗ = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

• Khi l n, ta l𝑛 đủ ớ ấy 𝜃 ≈ 𝜃𝑡𝑛∗

* Ước lượng không chệch:

𝜃∗ được gọi là ước lượng không chệch của 𝜃 nếu:

𝐸(𝜃∗) = 𝜃 Ngược lại: ta nói 𝜃∗là ước lượng ch ch cệ ủa 𝜃

* Ước lượng vững:

𝜃∗ được gọi là ước lượng vững của 𝜃 nếu ∀𝜀 > 0, ta có:

lim𝑛→∞𝑃 (|𝜃∗− 𝜃 < 𝜀 = 1| )

* Ước lượng hiệu quả (không chệch tốt nhất)

𝜃∗ được gọi là ước lượng hiệu qu cả ủa 𝜃 nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng không chệch khác được xây dựng trên cùng một mẫu

b Ước lượng bằng khoảng tin cậy:

• Khái niệm ước lượng khoảng: Ước lượng tham số bằng một khoảng tính toán trên mẫu, sao cho xác suất để khoảng đó chứa tham số cần tìm

là một giá tị đủ lớn, gọi là ước lượng khoảng cho tham số đó

• Ước lượng khoảng cho 𝜃 là tìm ra khoảng (𝜃1∗, 𝜃2∗) sao cho:

𝑃(𝜃1∗< 𝜃 < 𝜃2∗) l n N u kí hi u m c xác su t cho phép sai lđủ ớ ế ệ ứ ấ ầm

là thì xác su t k t lu𝛼 ấ ế ận đúng là 1 − 𝛼

Khi đó:

𝑃(𝜃1∗< 𝜃 < 𝜃2∗) = 1 − 𝛼

▪ Xác suất 𝛾 = 1 − 𝛼 được gọi là độ tin cậy

▪ Khoảng (𝜃1∗, 𝜃2∗) được gọi là khoảng tin cậy

▪ 𝐼 = 𝜃( 1∗−𝜃2∗) được gọi là độ dài khoảng tin cậy

* Phương pháp chung:

• B1: T ừ đám đông ta lấy mẫu ngẫu nhiên 𝐺 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, 𝜃) sao cho 𝐺 có lượt phân phối xác suất hoàn toàn xác định

• B2: Với 𝛾 = 1 − 𝛼 (cho trước), xác định 𝛼1≥ 0, 𝛼2≥ 0 thỏa mãn 𝛼1+ 𝛼2= 𝛼

Từ đó xác định các phân vị 𝑔1−𝛼1và 𝑔𝛼2

𝑃(𝑔1−𝛼1< 𝐺 < 𝑔𝛼2 ) = 1 − 𝛼1− 𝛼2= 1 − 𝛼

• B3:

𝑔1−𝛼1< 𝐺(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) < 𝑔𝛼2𝑃(𝜃1∗< 𝜃 < 𝜃2∗) = 1 − 𝛼 ≈ 1

Khi có phân ph𝐺 ối 𝑁(0,1) hoặc phân phối Student nếu chọn 𝛼1= 𝛼2=𝛼2 ta có khoảng tin ngắn nhất và đó là các khoảng tin cậy đối xứng

b.1 Ước lượng kì vọng toán của ĐLNN

Giả s ử ĐLNN trên đám đông có 𝑋 𝐸(𝑋) = 𝜇 và 𝑉𝑎𝑟 ( ) = 𝜎𝑋 2 trong

đó 𝜇 chưa biết:

Bài toán đặt ra: T m u ngừ ẫ ẫu nhiên thu được, ta cần ước lượng 𝜇

▪ TH1: ĐLNN có phân phối chuẩn, phương sai đã biết:𝑋

B1: Lập thống kê:

Vì 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎( 2) nên 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎𝑛2)

=> 𝑈 =𝑋 − 𝜇𝜎

√𝑛 ~ 𝑁(0,1) B2: Xác định phân vị

Khoảng tin cậy đối xứng (𝛼1= 𝛼2=𝛼2)

Với đội tin cậy 𝛾 = 1 − 𝛼 ta tìm được phân vị 𝑢𝛼

2 sao cho:

𝑃 (−𝑢𝛼

2< 𝑈 < 𝑢𝛼

2) = 1 − 𝛼 𝑃(−𝑢𝛼 <𝑋−𝜇𝜎

√𝑛 < 𝑢𝛼) = 1 − 𝛼𝑃(𝑋 − 𝑢𝛼 𝜎

√𝑛< 𝜇 < 𝑋 + 𝑢𝛼 𝜎

√𝑛= 1 − 𝛼 𝑃(𝑋 − 𝜀 < 𝜇 < 𝑋 + 𝜀 = 1 − 𝛼)

Khoảng tin cậy đố ứng của i x 𝜇 là: (𝑋 − 𝜀, 𝑋 + 𝜀)

𝐺 = 𝑇 =𝑋 − 𝜇𝑆′

√𝑛 ~ 𝑁(0,1) (Trong đó: 𝑆′ được gọi là phương sai mẫu điêu chỉnh)

Khi đó: 𝑇~𝑇(𝑛−1)(Phân phối Student)

Nếu 𝑛 ≥30: 𝑇𝑛≈ 𝑁(0,1)

❖ Khoảng tin cậy đối xứng hai phía: 𝛼1= 𝛼 =2 𝛼2

Với đội tin cậy 𝛾 = 1 − 𝛼 ta tìm được phân vị 𝑡𝛼

2

(𝑛−1) sao cho: 𝑃(|𝑇|< 𝑡𝛼

2 (𝑛−1)) = 1 − 𝛼

▪ TH3: ĐLNN chưa biế𝑋 t quy lu t phân phậ ối, nhưng 𝑛 > 30 Với 𝑛 > 30 nên ta có thể coi 𝑋 ≅ 𝑁(𝜇,𝜎𝑛2)

Xây dựng thông kê:

𝐺 = 𝑈 =𝑋 − 𝜇𝜎

√𝑛 Khi đó: 𝑈 ≅ 𝑁(0,1)

Tiến hành tương tự trường h p ợ 𝑋 có phân phối chuẩn với đã biết 𝜎2(TH1)

(Lưu ý: với 𝑛 đủ lớn, ta có thể coi 𝑠′≈ 𝜎2)

b.2 Bài toán ước lượng tỉ lệ:

Trên đám đông kích thước 𝑁 có 𝑀 phần tử mang d u hiấ ệu 𝐴 Khi đó:

𝑃(𝐴)=𝑀𝑁 = 𝑝Bài toán: T m u ngừ ẫ ẫu nhiên thu được, ta ước lượng tỉ lệ 𝑝

- T ừ đám đông, ta lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước 𝑛 và tính được tần suất 𝑓 = 𝑛𝐴

❖ Khoảng tin cậy đối xứng hai phía: 𝛼1= 𝛼 =2 𝛼2

Với đội tin cậy 𝛾 = 1 − 𝛼 ta tìm được phân vị 𝑢𝛼 sao cho:

𝑃(|𝑈|< 𝑢𝛼

2) = 1 − 𝛼

2 Tổng quan về “Kiểm định tham số của ĐLNN”

Giả s ử ĐLNN trên đám đông có 𝑋 𝐸(𝑋) = 𝜇,𝑉𝑎𝑟(𝑋)= 𝜎2trong đó

𝜇 chưa biết T ừ cơ sở nào đó, ta cho rằng: 𝜇 = 𝜇0

Với mức ý nghĩa cho trước, ta kiểm định giả thuyết 𝛼 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0Bt1: {𝐻𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇00: 𝜇 = 𝜇0 Bt2: {𝐻𝐻1: 𝜇 < 𝜇00: 𝜇 = 𝜇0 BT3: {𝐻𝐻1: 𝜇 > 𝜇00: 𝜇 = 𝜇0

o TH1: ĐLNN gốc 𝑋 có phân phối chuẩn, đã biết:𝜎2

Vì 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) nên 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎𝑛2)

Bt1: {𝐻𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇00: 𝜇 = 𝜇0 Bt2: {𝐻𝐻1: 𝜇 < 𝜇00: 𝜇 = 𝜇0 BT3: {𝐻𝐻1: 𝜇 > 𝜇00: 𝜇 = 𝜇0𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎( 2) => 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎𝑛2)

Giả sử 𝐻0 đúng => 𝜇 = 𝜇 => 𝑋 ≈ 𝑁(𝜇,𝜇0 𝜎𝑛2)

Lập TCKĐ:

𝑈 =𝑋 − 𝜇𝜎

√𝑛 ~ 𝑁(0,1)

𝑇 =𝑋 − 𝜇𝑆′

√𝑛Nếu 𝐻0đúng thì 𝑇~𝑇(𝑛−1)

Tùy thuộc vào đối thuyết 𝐻1, ta có miền bác bỏ sau: + TH1: {𝐻𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇00: 𝜇 = 𝜇0

=> 𝑃(|𝑇|> 𝑡𝛼 2⁄𝑛−1= 𝛼 𝑊; 𝛼= {𝑡𝑡𝑛: |𝑡 | > 𝑡𝛼𝑡𝑛 𝑛−12⁄ }

+ TH2: {𝐻𝐻1: 𝜇 < 𝜇00: 𝜇 = 𝜇0

=> 𝑃(𝑇 < −𝑡𝛼𝑛−1= 𝛼 𝑊; 𝛼= {𝑡𝑡𝑛: 𝑡𝑡𝑛< −𝑡𝛼𝑛−1}

+ TH3: {𝐻𝐻1: 𝜇 < 𝜇00: 𝜇 = 𝜇0

=> 𝑃(𝑇 > 𝑡𝛼𝑛−1= 𝛼 𝑊; 𝛼= {𝑡𝑡𝑛 𝑡𝑛: 𝑡 > 𝑡𝛼𝑛−1}

o TH3: ĐLNN chưa biế𝑋 t quy luật phân phối, nhưng 𝑛 > 30

Với 𝑛 > 30 nên ta có thể coi 𝑋 ≅ 𝑁(𝜇,𝜎𝑛2)

Xây dựng TCKĐ:

𝑈 =𝑋 − 𝜇𝜎

√𝑛 ≅ 𝑁(0,1)

Tiến hành tương tự trường h p ợ 𝑋 có phân phối chuẩn với đã biết (TH1): 𝜎2(𝑠′≈ 𝜎2)

III Một s bài toán v ố ề Ước lượng tham s và kiố ểm định tham s cố ủa Đ𝐿𝑁𝑁

Bài toán 1: Quan sát 800 sản phẩm do một xí nghiệp sản xuất ra thấy có 128

mẫu loại A Xác định cỡ mẫu nhỏ nhất để ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với

độ chính xác nhỏ hơn 0,023 và độ tin cậy 95% Biết U 0,025 =1,96

𝑓 =128800 = 0,16

=>𝑛 ≥ 0,16(1 − 0,16)(0,0231,96)

=>𝑛 ≥976 013 ,

=>Vậy cỡ mẫu nh ỏ nhấ ần ước lượng t lt c ỉ ệ s n phả ẩm A là 977

Bài toán 2: Tỉ lệ mắc bệnh sốt rét ở huyện A là 0,07 Trong lần kiểm tra sức

khỏe ngẫu nhiên 350 người thấy có 30 người mang vi trùng sốt rét Với mức ý nghĩa 5% (U0,025=1,96), xác định giá trị thống kê và cho nhận xét về ý kiến: T

“Tỉ lệ mắc bệnh sốt rét ở huyện A không tăng lên”

f là t l ỷ ệ người m c b nh s t rét trên mắ ệ ố ẫu

Vì kích thước mẫu là 350 nên:

𝑓 ~ 𝑁 (𝑝,𝑝𝑞𝑛 )Với mức ý nghĩa α=0,01 ta kiểm định cặp giả thuyêt

Bài toán 3: Báo cáo của một công ty cho biết lương trung bình của công nhân

là 3800 nghìn đồng/ tháng (với độ lệch chuẩn σ=400 nghìn đồng) Qua khảo sát 36 công nhân cho thấy lương trung bình là 3500 nghìn đồng/tháng Với mức ý nghĩa 5%, báo cáo của công ty có tin cậy được không?

(Với 𝑈𝛼 2⁄ = 1,96)

A.Báo cáo đáng tin cậy

B.Báo cáo không tin cậy được vì lương thực tế thấp hơn

C.Báo cáo không tin cậy được do lương thực tế cao hơn

D.Các đáp án kia đều đúng

Giải:

Gọi 𝑋 là ĐLNN chỉ ố tiền lương của mỗi công nhân s

𝑋 là lương TB của công nhân trên mẫu

µ là lương TB của công nhân trên đám đông

Vì 𝑛 = 36 nên 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎𝑛2)

Với mức ý nghĩa 𝛼 = 0,05 ta đi kiểm định cặp giả thuy t sau: ế

{𝐻0: 𝜇 = 𝜇0𝐻1: 𝜇 ≠ 3800 𝑛𝑔= 3800 ( ℎì𝑛 đồ ) ( ℎì𝑛 đồ𝑛𝑔 𝑛𝑔)𝑛𝑔

𝜇 là s n trung bình sinh viên s n sàng tr cho mố tiề ẵ ả ột lần đi chơi trên đám đông

Xây d ng tiêu chu n kiự ẩ ểm định:

Nếu đúng thì Ta tìm được sao cho

Vì khá bé, theo nguyên lý xác su t nh ta có mi n bác 𝛼 ấ ỏ ềbỏ:

Gọi 𝑋 là s h c sinh dùng dthoai hãng Apple ố ọ

𝑋 là s h c sinh trung bình dùng dthoai hãng Apple trên m u ố ọ ẫ

𝜇 là s hố ọc sinh dùng dthoai hãng Apple trên đám đông

Với độ tin cậy 𝛾 = 1 − 𝛼,ta làm phân v ị𝑈𝛼 sao cho:

𝑃(𝑈 < 𝑢𝛼) = 1 − 𝛼 𝑃(𝑋−𝜇𝜎

𝜇 < ,287511

Vậy với độ tin c y 95%,ta có trung bình tậ ối đa 11 bạn hsinh dùng

Bài toán 14: Khảo sát giá bán điện tho i iphone 20 c a hàng th y giá bán ạ ở ử ấtrung bình m t cái là 10 triộ ệu đồng với độ ệ lch tiêu chu n mẫu điều chỉnh là ẩ9,1 triệu đồng.Với mưc ý nghĩa 0,05 có thể kết luận giá điện tho i thạ ấp hơn so với năm trước hay không? Bi t giá bán ế điện thoại là một ĐLNN phân phối theo quy lu t chu n vậ ẩ ới giá năm trước là 19 triệu đồng

Gọi 𝑋 là m c giá bán ra cứ ủa điện tho i Iphone ạ

𝑋 là m c giá bán trung bình cứ ủa điện tho i Iphone trên mạ ẫu

𝜇 là m c giá trung bình cứ ủa điện tho i Iạ phone trên đám đông

Với mức ý nghĩa 𝛼 = 0,05, ta cần kiểm định gi thiả ết

Tgt: 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎( 2)

Gia s ử𝐻0 đúng ->

Vậy v i mớ ức ý nghĩa 5%, giá bán của điện thoại ít hơn năm trước là 19 triệu

Bài toán 15: Điều tra 100 b n h c sinh m t trung tâm tiạ ọ ở ộ ếng anh ở thành ph ố

Hà N i cho th y 20 bộ ấ ạn ưa chuộng ch ng ch TOEIC.V i mứ ỉ ớ ức ý nghĩa 0,05

có th nói t lể ỉ ệ học sinh ưa chuộng chứng chỉ TOEIC nói trên là lớn hơn 15% hay không?

Gọi 𝑋 là t l hỉ ệ ọc sinh ưa chuộng ch ng ch TOEIC ứ ỉ trên đám đông

𝐹 là t l hỉ ệ ọc sinh ưa chuộng chứng ch TOEIC trên mỉ ẫu

Với mức ý nghĩa 0,05 ta cần KDGT:

Với độ tin cậy 𝛾 =95% = 1 → ∝ –𝛾 = 0,05

Bài toán 17: Năm trước tiền lương TB của các cử nhân qu n tr kinh doanh ả ịlàm vi c t i công ty liên doanh vệ ạ ới nước ngoài là 210 USD một tháng Năm nay điều tra ngẫu nhiên lương tháng của 25 cử nhân đang làm việc cho công

ty đó tìm được tiền lương trung bình là 218 USD và độ chênh lệch có hiệu chỉnh là 10 USD V i gi thi t tiớ ả ế ền lương có phân phối chuẩn, tính Tqs, cho biết có th cho rể ằng năm nay các nhân viên đó có hưởng mức lương cao hơn hay không v i mớ ức ý nghĩa 5%?

A Tqs=4, tiền lương năm nay cao hơn năm trước

B Tqs=3, tiền lương năm nay cao hơn năm trước

C Tqs=5, tiền lương năm nay cao hơn năm trước

D Tqs=4, tiền lương năm nay thấp hơn năm trước

{𝐻𝐻1 : 𝜇 > 𝜇00: 𝜇 = 𝜇0 = 210= 210Nếu gi thuy t H ả ế 0đúng thì ta có thống kê

Bài toán 18: Thống kê 10000 tr ẻ sơ sinh ở ột địa phương, ngườ m i ta thấy

5080 bé trai Tính Zqs, cho bi t t l sinh con trai có th c sế ỷ ệ ự ự cao hơn tỷ lệ sinh con gái hay không v i mớ ức ý nghĩa 0,01

A Zqs = 1,8 ; t l ỷ ệ sinh con trai cao hơn tỷ lệ sinh con gái

B Zqs = 1,6 ; t l ỷ ệ sinh con trai không cao hơn tỷ lệ sinh con gái

C Zqs = 1,5 ; t l ỷ ệ sinh con trai không cao hơn tỷ lệ sinh con gái

D Zqs = 1,7 ; t l ỷ ệ sinh con trai cao hơn tỷ lệ sinh con gái

Thể loại Kinh d ị Tâm lý-

Tình c m ả

Bom t n- ấhành động

Gọi X là s ố SV đi xem phim tại rạp ở m i th ỗ ể loại

𝑥 là s ố SV trung bình đi xem phim tại rạp theo m i th ỗ ể loại yêu thích ởmẫu

𝜇 là s ố SV trung bình đi xem phim tại rạp theo m i th ỗ ể loại yêu thích ởđám đông

Nếu 𝐻0 đúng thì 𝑈~ 𝑁(0,1) Ta tìm được 𝑢𝛼/2 sao cho 𝑃(|𝑈|> 𝑢 ) = 𝛼𝛼/2

Vì 𝛼 khá bé nên theo nguyên lí xác su t nh ta có mi n bác b : ấ ỏ ề ỏ

Bài toán 20: Khảo sát giá bán 1 chiếc điện thoại tại 16 cửa hàng khác nhau

thấy giá trung bình c a 1 chiủ ếc điện thoại là 6tr500 nghìn VND và độ lệch tiêu chu n mẩ ẫu điều chỉnh là 210 nghìn VND V i mớ ức ý nghĩa 0,05 có thể kết lu n r ng giá c a chiậ ằ ủ ếc điện thoại đã giảm đi so với thời kì m i ra m t hay ớ ắkhông ? Bi t giá bán chiế ếc điện thoại đó là một ĐLNN phân phối theo quy luật chuẩn và giá lúc m i ra mớ ắt là 6tr150 nghìn VND G a s Ho = 6tr150 ỉ ửnghìn VND đúng

𝑋 là giá bán trung bình chiếc điện tho i trên mạ ẫu

𝜇 là giá bán trung bình chiếc điện thoại trên đám đông

2 𝑛−1 𝑠𝑢𝑦 𝑡𝑟𝑎 𝑡𝑛∈ 𝑊𝛼 𝑆𝑢𝑦 𝑏á𝑐 𝑏ỏ 𝑟𝑎 𝐻𝑜 Vậy v i mớ ức ý nghĩa 0,05 ta có thể kết luận giá điện thoại cao hơn so với lúc mới ra

Bài toán 21: Theo dõi th i gian c n thiờ ầ ết để ả gi i ra 1 bài toán khó c a 25 hủ ọc sinh giỏi được k t qu ế ả

Gọi X là th i gian gi i bài toán khó c a h c sinh gi i ờ ả ủ ọ ỏ

𝑋 là th i gian gi i trung bình gi i bài toán khó c a h c sinh gi i trên mờ ả ả ủ ọ ỏ ẫu

𝜇 là th i gian gi i trung bình gi i bài toán khó c a h c sinh giờ ả ả ủ ọ ỏi trên đám đông

X có phân ph i chu n => l p th ng kê ố ẩ ậ ố

Vậy với độ tin c y 95% t lậ ỷ ệ số bạn đạt chu n là (15,07; 17,27) ẩ

Bài toán 22: Biết tu i th c a mổ ọ ủ ột loại bóng đèn hình TV có phân phối chuẩn

độ lệch chu n bằng 500, nhưng chưa biết trung bình Giá tr trung bình mẩ ị ẫu bằng 8900 được tính trên m u c n = 35 Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho ẫ ỡ ả ậtuổi th trung bình cọ ủa loại bóng đèn hình đang khảo sát

𝑋~𝑁(𝜇,5002)Khoảng tin c y 95% cho tu i th trung bình cậ ổ ọ ủa bóng đèn hình: (𝑥 − 𝜀, 𝑥 +𝜀)

Bài toán 23: Khảo sát 16 học sinh thì tính được trung bình 10 b n h c sinh s ạ ọ ửdụng máy tính Casio FX 580VN X.Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng trung bình tối đa số ọ h c sinh s d ng máy tính ử ụ Casio FX 580VN X Bi t s hế ố ọc sinh dùng máy tính Casio FX 580VN X là một ĐLNN phân phối chuẩn với

Gọi 𝑋 là s h c sinh dùng máy tính ố ọ Casio FX 580VN X

𝑋 là s h c sinh trung bình dùng máy tính ố ọ Casio FX 580VN X trên m u ẫ

𝜇 là s h c sinh dùng máy tính ố ọ Casio FX 580VN X trên đám đông

𝑃(𝑈 < 𝑢 = 1 − 𝛼𝛼)𝑃(𝑋−𝜇𝜎

𝜇 < ,287511

Vậy với độ tin c y 95%,ta có trung bình tậ ối đa 11 bạn dùng

Bài toán 24: Khảo sát 60 người dân khu phố A về mức chi tiêu hàng tháng

cho kết quả như bảng sau:

Gọi 𝑋 là m chi tiêu hàng tháng cức ủa người dân khu ph A ố

𝑋 là m c chi tiêu trung bình hàng tháng cứ ủa người dân khu ph A trên ốmẫu

µ là m c chi tiêu trung bình hàng tháng cứ ủa người dân khu ph ố A đám đông

Theo gi thi t : ả ế

Vì 𝑛 = 60 30> nên : 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎𝑛2)

=> 𝑈 =𝑋−𝜇𝜎

√𝑛 ≅ 𝑁(0,1)

Với độ tin cậy 96% ta tìm phân v ị𝑢𝛼 sao cho:

𝑃(𝑈 < −𝑢𝛼) = 1 − 𝛼

𝑃(𝑋 − 𝑢𝛼 2

𝜎

√𝑛< 𝜇) = 1 − 𝛼 Với m u c ẫ ụ thể : 𝑛 = 50

𝛾 = 1 − 𝛼 = 0,96 => 𝛼 = 0,04

=> 𝑢 = 𝑢𝛼 0,04= 1,75 𝑋 =1,5 + 2,5 + 3,5 + 4,5.8 + 5,5.311 18 6010 = 2,87

Có 𝑠′ ≈

𝑠’ = √491 (1,52 11 + 2,52 18 + 3,52 10 + 4,52.8 + 5,52.3 − 2,50 982)

= 1,172

𝑃(2,687 < 𝜇) = 0,96

Vậy với độ tin cậy 96% thì mức lương trung bình tối thiểu của sinh viên là 2,047 triệu đồng

Bài toán 25: Biết khối lượng của mỗi nam sinh viên năm thứ nhất trường đại học A tuân theo lu t phân ph i chu n vậ ố ẩ ới độ ệ l ch chu n 3kg Ch n ngẩ ọ ẫu nhiên 25 nam sinh viên năm thứ nhất, người ta tính được khối lượng trung bình là 52 kg Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho khả ậ ối lượng trung bình c a mủ ỗi nam sinh viên năm thứ nhất trường đại học A