đs9 c3 b8 2 khai can bac hai voi phep nhan va phep chia

ĐS9 C3 B8: KHAI CĂN BẬC HAI VỚI PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIAA Kiến thức

1 Khai căn bậc hai với phép nhân

Với A, B là các biểu thức không âm, ta có A B A B

* Lưu ý: Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiều biểu thức khoong âm, chẳng hạn:

2 Khai căn bậc hai

Nếu A, B là các biểu thức với A0; B0 thì 

* Chú ý: Nếu A0; B0; C0 thì A B C2 2 2 ABC

B Các dạng bài tập

Dạng 1: Khai căn một tíchBài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính

c) 2 3 52 2 2  22 32 52    2 3 5 30d) 25 1, 21  25 1, 21 5 1,1 5,5   

e) 360 90  36 9 100   36 9 100 6 3 0 180   f) 0,16 64  0,16 64 0, 4 8 3, 2  

g) 8,1 10 3  8,1 10 10 2  81 10 2   9 10 90h) 12,1 160  121 16  121 16 11 4 44   

Bài 2: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:

c) C 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3

Lời giải

a) Ta có: A(4 15)( 10 6) 4 15( 10 6) 4 15 4 15 4 15

222( 6 2 5 6 2 5 ) 2( ( 5 1) ( 5 1)

2 22

  a  b  a b  ab

(với a0; b0)

Dạng 2: Nhân các căn bậc haiBài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:

8

b) 10 5, 2 52 10 5, 2 52   52 52 52 

c) 4,9 30 12 4,9 30 12   7 3 22 2 2    7 3 2 42d) 2,8 7 10 2,8 7 10   28 7  4 7 7    2 7 14e) 40 20 4,5 40 20 4,5   400 9 20 3 60   

f)

3 25 2  3 25 2   25 5

Bài 3: Thực hiện phép tínha) 5 125 5

b)  20 45 5 5c)  12 3  27 3

= 5 5 15 3 5 1 4   15 3

Bài 4: Thực hiện các phép tínha)  7 32

b)  8 22c) 5 3 2 7 5 3 2 7    

Lời giải

a)  7 32

= 7 22 7 3 3 2  7 2 21 3 10 2 21  b)  8 22  8 2 2 8 2 2 2  8 2 16 2 2 

c) 5 3 2 7 5 3 2 7     5 3 2 2 72 25.3 4.7 47 

Bài 5: Rút gọn biểu thức  14 6 5 21

Lời giải

Ta có:  14 6 5 21  2 7 3 5 21 7 3 10 2 7.3

Dạng 3: Khai căn một thươngBài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:

a) 4

1,690, 25

c) 49

e) 9

1,69 1,32, 60,50, 25

c) 4964

49 7864

a) 91

c) 25

Bài 3: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:

a)

4 49:

2265 52

225

a) 1, 69 b) 6, 25

Lời giải

a) Ta có

22169 131, 69

b) 2

b với a0; b0

c) 3649 a

x với x3

e) 22

25( 1)( 1).

5( 1)( 1).

555111

c)

216 216

36 66

d)

16 45

e) 24 : 3 24 : 3 2 2 2 22 

f)

555 5555111

Lời giải

a)

310

a với a0

e) 125

e)

25 55

aa

B

 

Tính giá trị của A, biết x( 10 6) 4 15

Lời giải

Ta có: x ( 10 6)( 10 10)(4 15)  ( 10 6)( 10 6)1

4 2

Vậy 12

b)

6 1535 14

B

c)

10 2



Lời giải

Ta có:

2 15 2 10 6 3 2 5.3 2 5.2 3.2 32 5 2 10 3 6 2 5 2 5.2 3 3.2

c) C x x21. x x2 1x1d) D x4 4 x2. x4 4 x2

x y y xA

b) Ta có: 2

Vì 0x1 nên x1 do đó x 1 1  xVậy M 5 (1x  x)

Bài 9: Rút gọn biểu thức

Lời giải

Ta có:

.6 343

Bài 11: Cho biểu thức

yx

Bài 13: Rút gọn các biểu thức

a)

x xE

x với x3

e)

2 

xE

x yx y

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thứcI Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm, ta có:

+) 2

a bab

, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

+)

 

a b c

II Bài toán

Bài 1: Không dùng MTCT, chứng minh rằng: 5 8 6 7

Lời giải

Ta có  5 82  5 2 40 8 13 2 40    6 72  6 2 42 7 13 2 42  

Vì 13 2 40 13 2 42   nên  5 8 2  6 72Suy ra  5 82   6 72

Ta có:  a92  a 9 a32  a 6 a9

Do a0 nên a   9 a 9 6 a, do đó  a9 2  a32

hay a 9 a3

! Chú ý: Căn bậc hai của một tổng không bằng tổng các căn bậc hai

Bài 4: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng:a) a b 2 ab

b) Ta có a b c, , 0 Áp dụng bất đẳng thức Coossi đối với hai số ta được 2

22   

Chứng minh rằng 2a1a

Lời giải

Từ bất đẳng thức Cô-si a b 2 ab suy ra 2a bab

Áp dụng bất đẳng thức này cho các số không âm 2a1 và 1 ta được:(2 1) 1

2 1 (2 1).1

2 

Vậy 2a1a(Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1)

Bài 6: Cho các số không âm a b c, , Chứng minh

a) 2

a bab

(BĐT Cauchy) b) a b  a b

c)

  

a ba b c

 a b  2  a b2  a b a b   2 ab 0 2 ab

(bất đẳng thức đúng)c) Ta có:

a Ra

c)  2

a b

1 14

aa

Dạng 7: Bài toán tìm x

I Cách giải: Khi giải phương trình chứa căn thức, luôn cần chú ý đến các điều kiện đi kèm.

0  

BA B

Lời giải

Ta có: 25.(x5)2 155 x15 15

5 3

5 3 

x hoặc x 5 3

x hoặc x8Vậy x  2; 8 

Bài 2: Tìm x biết 9x2 90x225 6

Lời giải

Ta có: 9x2 90x225 62

9.(x 10x25) 62

9.(x 5) 63 x 5 6

5 2

x hoặc x 52

x hoặc x3Vậy x7;3

x hoặc x 5 2 05 0

 

x hoặc x 5 4

x (thỏa mãn điều kiện)

Bài 5: Tìm x biết

Lời giải

Với điều kiện xác định x0, ta có:

2 0

1 2

0 

 x12 01

x (thỏa mãn điều kiện)

Bài 6: Giải các phương trình sau

 

 

2 0

 

3 0

 

3 01

52 

 

 

 

3 x

  x 430

c) Ta có: 10(x 3)  20 10(x 3) 20  x5 (thỏa mãn)

d) Ta có:  (x3)2 3x 6 x3 3 x 62

      

xx

b) Điều kiện

d) Ta có: 2

 

c) 2 3x 5  x1 d)

Lời giải

a) Điều kiện: 1

        

( )23

( )4

 

 

2 3x 5  x 1 2 3x 5   x 1 3x 5 x 12

 x x  x

2( )( 3)( 2) 0

3( )

3 

   

xx

Dạng 8: Bài toán vận dụng

Bài 1: Công suất p w , hiệu điện thế U V , điện trở R  trong đoạn mạch một chiều liên hệvới nhau theo công thức U  PR Nếu công suất tăng gấp 8 lần , điện trở giảm 2 lần thì tỉsố giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu bằng bao nhiêu?

Mà

Bài 2: Tính diện tích hình chữ nhật và hình vuông cho trong hình dưới đây Biết mỗi ô vuông nhỏcó độ dài cạnh là 1 Diện tích của hai hình đó có bằng nhau không?

24 6 66 6

246 62 63

xxxx

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 3 (cm)

Bài 4: Bạn Lan cắt một hình chữ nhật ABCD thành những hình tam giác như hình vẽ (đơn vịcentimét)

a) Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD

b) Sau đó, bạn Lan muốn cắt một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật

ABCD Tính độ dài cạnh của hình vuông đó.

Ta có CK   1 1 2cm; DK   1 1 2cm

Trong tam giác vuông cân CKD, ta có CD2 CK2DK2 (theo định lí Pythagore)Suy ra CD2 2222 8, do đó CD 8cm

Vậy hình chữ nhật ABCD có AD BC  2cm; AB CD  8cmb) Diện tích của hình chữ nhật ABCDlà:

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMCâu 1: Tính P 117,52 26,521440

A) 3 5 15  3 52 158 2 15 15 

, lại có 2 15 7,

đúng vì 2 152 72

B) 3 6  2 8  3 6 2  2 829 2 18 10 2 16 18

 

D) 2 7 5 3   10  2 7 8  10  28 74 16 10 16 10 74 28 46 8 10 23

11 24 0



Để 4 x 4 x216 có nghĩa thì  4 0

 

4 04 0

    

 

   

Câu 10: Khẳng định nào sau đây là sai ?

c

22 6 

D

2353535

a

b 115

c 54

361 là số nào?

a 26

c 28

2919

c 23

c 1

Lời giải

Chọn đáp án D

Giải thích:

Ta được: 

2 4 5 52 16 2 3

c 1

Lời giải

Chọn đáp án D

Giải thích:

Ta có: 5x 125  80 2455 25 5 16 5 49 5

Lời giải

Chọn đáp án A

Giải thích:

3 13

Theo em bạn Tâm làm đúng hay sai, nếu sai thì sai ở bước nào?

242  7

c) 0,9 1000 d) 2 5 40

Lời giải

a) 16 0, 25  16 0, 25 4.0,5 2 

b) 2

xC

Lời giải

a) 12 12 3 122  36  122  62 12 6 18 b) 8 50 2  400 16 202  42 10 4 24 c)  3 22 2 6 3 2 2 6 2 6 5    

Bài 8: So sánh

522 và 5c) 3 7 và 65

a) 400 0,81 b)

5 327 20

c) 2 25 3

a ba b a b

a ba b

Bài 13: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức a) 

225 a1

22  5

2  5  2 (  5)2  (  5) 2 5

(vì x5 nên x 5 0 )

c) 2b 32b  2 32bb  64b2  64. b2 8b 8b (vì b0)d) 3c 27c3  3 27cc3  81c4  81 c4 9c2 (vì c2 0)

100 10

nên

2228 28

a) 0, 49

2213 12

c)

9 79 9 7 7

3250 150 51

Lời giải

a)

49 736 6

2.( 3 5 )2

 

Bài 21: Rút gọn các biểu thức sau

a) 324

x với x0

c) 292 1

2( 2)

x y

d)

2 2 2

22

b) 3

22 1

 

b) Ta có: 3

2 1

xx Rút gọn rồi tìm giá trị của x để A có GTLN, tìmGTLN đó

3( )5

 

d inch của màn hình ti vi theo x

b) Tính chiều rộng và chiều dài (theo centimét) của màn hình ti vi loại 40inch

Lời giải

a) Chiều dài của màn hình ti vi là 43

Chiều dài của ti vi loại 40 inch là

S ab

3 2 2 3  b

3 22 3

223 22 3

Vậy

Bài 31: Từ một tấm thép hình vuông, người thợ cắt ra hai mảnh hình vuông có diện tích lần lượtlà 24cm2 và 40cm2 như hình dưới Tính diện tích phần còn lại của tấm thép

Lời giải

a) Ta gán các đỉnh A B C D P Q M N I, , , , , , , , như hình vẽ2

SIP suy ra IP2 40hay IP 402

SIN suy ra IN2 24 hay IN  24 40 24 40.24 8 15

Vậy diện tích phần còn lại là 2SPIND 16 15

Bài 32: Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh là a Tính độ dài đường cao AH của tam giác

Xét ta giác vuông AHC, áp dụng định lí Pythagore ta có :

Bài 33: Trong vật lí, ta có định lí Joule – Lenz để tính nhiệt lượng tỏa ra ở dây dẫn khi có dòngđiện chạy qua: Q I Rt 2

Trong đó:

+ Q là nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn tính theo Jun  J

+ I là cường độ dòng điện chạy trong dây dẫn tính theo Ampe  A+ R là điện trở dây dẫn tính theo Ohm  

+ t là thời gian dòng điện chạy qua dây dẫn tính theo giây.

Áp dụng công thức trên để giải bài toán sau: Một bếp điện khi hoạt động bình thường cóđiện trở R80 Tính cường độ dòng điện chạy trong dây dẫn, biết nhiệt lượng mà dâydẫn tỏa ra trong 1 giây là 500 J.

Bài 34: Tốc độ gần đúng của một ô tô ngay trước khi đạp phanh được tính theo công thức2

vgd, trong đó vm /s là tốc độ của ô tô, d m là chiều dài của vế trượt tính từthười điểm đạp phanh cho đến khi ô tô dừng lại trên đường,  là hệ số cản lăn của mặtđường, g9,8 m/s 2

Nếu một chiếc ô tô để lại vế trượt dài khoảng 20 m trên đườngnhựa thì tốc độ của ô tô trước khi đạp phanh là khoảng bao nhiêu mét trên giây (làm trònkết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng hệ số cản lăn của đường nhựa là  0, 7

Lời giải

Tốc độ của ô tô khi đạp phanh là:

2 7 14 352 2.0,7.9,8.20

c) a4 a4 d) xy 4 x3 y12

Lời giải

a) a 5 a  a a 5b) a 7 a 7  a 7c) a4 a 4  a22

d) xy 4 x3 y12 x3  y 4

Bài 36: Chứng minh rằng 7 3 6 2

Lời giải

Ta có:  7 22  9 2 14 6 32  9 2 18

Vì 9 2 14 9 2 18   nên  7 2  2  6 32Hay 7 3 6 2

Bài 37: Tìm x biết

a) 49 1 2  x x 2  35 0b) x2 9 5 x 3 0

Lời giải

a) x16;x2 4b) x1 3;x2 28

Bài 38: Tính giá trị biểu thức A 7 13 7 13

Lời giải

Hướng dẫn : Tính A2 2, suy ra A 2.