Luận văn không sao chép bất kỳ một luận án, luận văn haytài liệu nào đã có trước đó.Các kết quả được sử dụng trong luận văn đều được tôi trích dẫn rõ ràng,trung thực và tuân thủ theo đún
Kiến thức cơ sở của hàm lồi
Định nghĩa 1.1 ([9]) Hàm f : I ẹR được gọi là hàm lồi nếu @x, y P I, @λ P r0,1s ta có fpp1´λqx`λyq ď p1´λqfpxq `λfpyq (1.1)
Ta gọi f là hàm lồi ngặt nếu (1.1) là bất đẳng thức thực sự khi x ‰ y,
@λP p0,1q Hàmf được gọi là hàm lõm (lõm ngặt) nếu ´f là hàm lồi (lồi ngặt). Hàm f được gọi là hàm affine nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm.
Ví dụ 1.2 1 Các hàm sau là hàm lồi: hàm phần dương fpxq “ x ` “ maxtx,0u; hàm phần âm f p x q “ x ´ “ maxt´x,0u; hàm trị tuyệt đối f p x q “ | x| “maxt´x, xu.
2 Hàm fpxq “x 2 là hàm lồi ngặt trên R.
3 Hàm fpxq “ ? x là hàm lõm ngặt trên R ` Nhận xét 1.3 ([9]) Xét về ý nghĩa hình học: từ (1.1) ta có f p x q ď f p u q ` f p v q ´ f p u q v´u p x ´ uq với mọix P ru, vs, @u, v PI, u ăv Điều này thể hiện đồ thị của hàm lồi f nằm dưới đoạn thẳng nối hai điểm pu, fpuqq và pv, fpvqq trong ru, vs.
Nhận xét 1.4 ([9]) Mọi hàm lồi f xác định trên ru, vs đều bị chặn trên ru, vs, tức là f p x q ď maxtf p u q , f p v qu , @ x P r u, vs. Định lớ 1.1 ([9]) Giả sử f : I ẹ R là hàm lồi Khi đú, f liờn tục tại mọi điểm thuộc phần trong của I.
Chứng minh Giả sử @aP intI, @ ą0sao cho ra´, a` s Ă I Khi đó, với mọi tP r0,1s ta có a˘t“ p1´tqa`tpa˘ q, theo định nghĩa hàm lồi f ta được f p a ˘ t q ď p 1 ´ t q f p a q ` tf p a ˘ q
Suy ra tpfpa˘ q ´fpaqq ěfpa˘tq ´fpaq (1.2)
Hơn nữa, @t P r0,1s ta có a “ 1 t ` 1 p a˘tq ` t t ` 1 p a¯ q Theo định nghĩa hàm lồi f ta được fpaq ď 1 t ` 1fpa˘tq ` t t ` 1fpa¯ q.
Nhân hai vế với t`1ą0 ta được fpa˘tq ´fpaq ě ´tpfpa¯ q ´fpaqq (1.3)
Vậy f liên tục tại a. Định lớ 1.2 ([9]) Cho hàm f : I ẹ R Khi đú, f lồi (lồi ngặt) nếu và chỉ nếu với mọi J Ă I là tập compact và mọi hàm affine L ta có sup
J tf ` Lu đạt tại vị trí đầu mút của J.
Chứng minh ủ/ Giả sử f là hàm lồi trờn I Xột hàm affine L, với mọi J Ă I,
Vì f là hàm lồi và Llà hàm affine nên F là hàm lồi Lấyz P J, @ λ P r 0,1s ta có z “λx` p1´λqy Áp dụng định nghĩa cho hàm lồi F ta được
F p z q “ F p λx ` p 1 ´ λ q y q ď λF p x q ` p 1 ´ λ q F p y q Lấy supremum hai vế ta được sup zPJ
Fpλx` p1´λqyq ď sup λPr0,1s pλFpxq ` p1´λqFpyqq.
Fpzq ďmaxtFpxq, Fpyqu. ð/ Với mọi J Ă I, J “ rx, ys, xét hàm affine Lpxq “ mx ` n sao cho fpxq “Lpxq, fpyq “Lpyq Suy ra fpxq ´Lpxq “fpyq ´Lpyq “0 Ta chứng minh f là hàm lồi.
Thật vậy, lấy z P rx, ys, @λP r0,1s ta có z “λx` p1´λqy, theo giả thiết ta có sup λPr0,1s pf ´ L qp λx ` p 1 ´ λ q y q “ p f ´ L qp x q “ p f ´ L qp y q “ 0.
Theo định nghĩa supremum ta được pf ´Lqpλx` p1´λqyq ď 0ủfpλx` p1´λqyq ´Lpλx` p1´λqyq ď0.
Vì L là hàm affine nên nó tuyến tính, đồng thời vìfpxq “Lpxq, fpyq “Lpyq nên fpλx` p1´λqyq ďλfpxq ` p1´λqfpyq, @x, y PI. Định lớ 1.3 (Jensen, [9]) Hàm f : I ẹ R là hàm lồi nếu và chỉ nếu nú thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) f liên tục tại mọi điểm thuộc intI;
(ii) f lồi trung điểm, tức là f ˆx ` y 2 ˙ ď f p x q ` f p y q
Chứng minh ủ { Giả sử f lồi Theo Định lớ 1.1, f liờn tục tại mọi điểm thuộc intI Phép chứng minh (ii) dựa vào định nghĩa hàm lồi với λ“ 1
2. ð { Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử f không lồi Khi đó, tồn tại ra, bs Ă I sao cho đồ thị hàm f không nằm dưới đoạn thẳng nối hai điểm p a, f p a qq và p b, f p b qq , tức là φ p x q “ ´ f p x q ` f p a q ` f p b q ´ f p a q b´a p x ´ a q , x P r a, bs thỏa mãn γ “ inftφ p x q : x P r a, bsu ă0 và φ p a q “ φ p b q “ 0.
2 ´ a ˙ ´fpaq. Theo giả thiết ta được ´φ ˆx`y
2 ´ a ˙ ´fpaq, @x, yP I. Khai triển vế phải ta được ´φ ˆx`y 2 ˙ ď ´φpxq
Khi đó ´ φ lồi trung điểm Hơn nữa ´ φ là hàm liên tục trên ra, bs. Đặt c “inftxP ra, bs :φpxq “γu Khi đó φpcq “ γ, cP pa, bq.
Theo định nghĩa infimum của c, @h ą0 ta có
% φpc´hq ąφpcq φpc`hq ěφpcq.
Do đó ´φ không là hàm lồi trung điểm (mâu thuẫn).
Nhận xét 1.5 ([9]) Từ kết quả của Định lí 1.3 ta có hệ quả sau:
Cho hàmf : I ẹRlà hàm liờn tục Khi đú,f lồi nếu và chỉ nếu@x PI, @hą
0 sao cho x´h, x`hP I ta có fpx`hq `fpx´hq ´2fpxq ě0.
Ví dụ 1.6 ([9]) Xét hàm fpxq “ ´logx là hàm lồi trên p0,8q Khi đó, @hą0 ta có log p x ` h q ` log p x ´ h q ď 2 logx. Đặt a “ x`h, b “ x´h là hai số dương, ta được x “ a`b
2 dương Thay a, b, x ta được loga ` logb ď 2 loga`b
Nhận xét 1.7 ([9]) Dùng định nghĩa hàm lồi ta kiểm tra được các phép toán sau:
1 Tổng của hai hàm lồi cùng xác định trên I là hàm lồi trên I Nếu một trong hai hàm lồi là lồi ngặt thì tổng của chúng là hàm lồi ngặt trên I.
2 Tích của hàm lồi (lồi ngặt) và một số dương là hàm lồi (lồi ngặt).
3 Cho hàm f và g là hai hàm lồi dương xác định trên khoảng I sao cho pfpxq ´fpyqq pgpxq ´gpyqq ě0, @x, yP I.
Khi đó, f g là hàm lồi trên I.
4 Cho J Ă I, f là hàm lồi (lồi ngặt) trên I Khi đó, f cũng là hàm lồi (lồi ngặt) trên J.
5 Hợp của một hàm lồi tăng (giảm) và một hàm lồi (lõm) là một hàm lồi.
6 Giả sử f : I ẹ J là song ỏnh, f tăng ngặt Khi đú, f lồi (lồi ngặt) khi và chỉ khi f ´1 là hàm lõm (lõm ngặt) Ngược lại, nếu f là song ánh và là hàm lồi (lõm) giảm thì f ´1 là hàm lồi (lõm).
7 Nếu f là hàm lõm ngặt và dương thì 1 f là hàm lồi.
8 Giả sử f, g là hai hàm lồi (ngặt) xác định trên I Khi đó, hàmmaxtf, gu :
I ẹ R được định nghĩa maxtf, gu pxq “ tfpxq, gpxqu cũng là hàm lồi (ngặt).
9 Hợp của một hàm lồi f và hàm affine ax`b là một hàm lồi.
Bất đẳng thức Jensen và một số hệ quả
Bất đẳng thức Jensen
Định lớ 1.4 (Bất đẳng thức Jensen, [9]) Cho hàm số f : I ẹR Khi đú, f lồi khi và chỉ khi với mọi x 1 , x 2 , , x n P I và với mọi λ 1 , λ 2 , , λ n P r0,1s sao cho n ř k“1 λ k “1 ta có f ˆ n ř k“1 λ k x k ˙ ď n ř k“1 λ k fpx k q.
Trong trường hợp f lồi ngặt, bất đẳng thức trên là thực sự khi x i không trùng nhau với i “1,2, , n và với mọi λ1, , λn P p0,1q.
Chứng minh ‹ Trước hết, ta chứng minh Bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi. ð { Chọn λ 1 , λ 2 P r0,1s sao cho λ 1 `λ 2 “ 1 và λ 3 “ “ λ n “ 0, theo định nghĩa hàm lồi ta được f lồi. ủ { Giả sử f là hàm lồi, ta chứng minh bằng phương phỏp quy nạp Thật vậy, với n “2 bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n tức là f ˆ n ř k“1 λ k x k ˙ ď ř n k“1 λ k f p x k q
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n`1 Thật vậy, ta có thể viết lại n`1 ÿ k“1 λ k x k “ p 1 ´ λ n`1 q ˜ n ÿ k“1 λ k
1´λ n`1 “ 1 nên áp dụng giả thiết quy nạp ta được kết quả định lí.
‹ Ta chứng minh cho f là hàm lồi ngặt Lấy x 1 , x 2 , , x n P I không trùng nhau và với mọi λ 1 , λ 2 , , λ n P p0,1q sao cho n ř k“1 λ k “1. Đặt S “ tk :x k ămaxtx 1 , , x n uu, λ S “ ř kPS λ k Rõ ràng S Ă t1, , nu và λ S P p0,1q.
Một số hệ quả
Định lí 1.5 ([9]) Nếux 1 , , x n P p 0, 8q ,x i không trùng nhau với mọii “ 1, , n và mọi λ 1 , , λ n P p0,1q sao cho n ř k“1 λ k “1 thì n ř k“1 λ k x k ą x λ 1 1 x λ n n
Chứng minh Xét hàm số y “ ´logx là hàm lồi ngặt trên p0,8q Áp dụng Bất đẳng thức Jensen chox 1 , , x n P p 0, 8q không trùng nhau và với mọiλ 1 , , λ n P p0,1q, ř n k“1 λ k “ 1 ta được ´logpλ 1 x 1 ` `λ n x n q ăλ 1 p´logx 1 q ` `λ n p´logx n q ôlogpλ 1 x 1 ` `λ n x n q ą logx λ 1 1 ` `logx λ n n ô n ř k“1 λ k x k ąx λ 1 1 x λ n n
Nhận xét 1.8 ([9]) 1 Áp dụng Định lí 1.5 bằng cách thay x k bởi 1 x k ta được x λ 1 1 x λ n n ą 1 ř n k“1 λ k xk
Ta gọi (1.4) là dạng trọng số của Bất đẳng thức GM-HM (geometric mean–harmonic mean) trong trường hợp các x i không trùng nhau, i “ 1,2, , n.
2 Với λ 1 “ “ λ n “ 1 n và các x i ą 0 không trùng nhau, i “ 1,2, , n ta được Bất đẳng thức AM-GM-HM x 1 ` `x n n ą
3 Áp dụng Định lí 1.5 với x 1 “ a p , x 2 “ b q , a, b ě 0, λ 1 “ 1 p, λ 2 “ 1 q sao cho 1 p `
Ta gọi (1.5) là Bất đẳng thức Young với a, bě0 và p, q P p1,8q. Định lí 1.6 (Bất đẳng thức Rogers-Holder, [9]).: Cho p, q P p1,8q,1 p ` 1 q “ 1, giả sử f P L p p à q , g P L q p à q Khi đú ż
Chứng minh Trường hợp }f} L p “ 0 hoặc }g} L q “ 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng Do đó, ta giả sử }f} L p ą 0 và }g} L q ą 0, áp dụng Bất đẳng thức Young với a “ |fpxq|
|f p x q g p x q| dà ď 1. Định lớ 1.7 (Bất đẳng thức Minkowski, [9]) Cho p P r 1, 8q và f, g P L p p à q ta có
Chứng minh ‹ Với p“1 kết quả là hiển nhiên đúng.
‹ Với p P p 1, `8q ta có |f ` g| p “ |f ` g| p´1 |f ` g| ď |f ` g| p´1 p|f| ` |g|q. Suy ra ż
|f `g| p´1 |g|dà (1.6) Áp dụng Bất đẳng thức Rogers-Holder với: p, q ą1 và 1 p ` 1 q “ 1 ta có ż
Vì pq “p`q nên p´ p q “ 1 Do đó kết hợp (1.6), (1.7) và (1.8) ta được }f ` g} p L p ď p}f} L p ` }g} L p q }f ` g} p q
L p Định lí 1.8(Bất đẳng thức Hardy, [9]) Giả sử f P L p p0,8q, f ě0, pP p1,8q.
Khi đó, hàm Fpxq “ 1 x ż x 0 fptqdt với x ą 0 cũng thuộc L p p0,8q và }F} L p ď p p´1 } f} L p
Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.9 ([9]) Giả sử 0 ă b ď 8 và ´8 ď a ă c ď 8 Nếu u là hàm lồi dương trên p a, c q thì ż b 0 u ˆ1 x ż x 0 hptqdt ˙dx x ď ż b 0 uphpxqq ˆ
Chứng minh Áp dụng Bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi u và định nghĩa tích phân theo tổng Reimann ta có ż b 0 u ˆ1 x ż x 0 h p t q dt ˙dx x ď ż b 0 ˆ1 x ż x 0 u p h p t qq dt ˙dx x (1.9)
Xét hàm đặc trưng χptq “
Ta viết lại vế phải của (1.9) ta được ż b
Theo Định lí Fubini ta có ż b
0 uphptqqχ r0,xs ptqdt á dx“ ż b 0 uphptqq ˜ ż b t
1 x 2 ˜ ż b 0 u p h p t qq χ r0,xs p t q dt á dx “ ż b 0 u p h p x qq ˆ
Chứng minh Định lí 1.8 Áp dụng bổ đề trên với upxq “ |x| p , ta được ż b 0 ˇ ˇ ˇ ˇ 1 x ż x 0 h p t q dt ˇ ˇ ˇ ˇ p dx x ď ż b 0
‹ Xét vế trái của (1.10), bằng phép đổi biến t“s p ´ p 1 ta được ˆp´1 p ˙ p ż b 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 x ż x p p ´ 1
0 hps p ´ p 1 qs ´ 1 p ds ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ p dx x Đặt hps p ´ p 1 qs ´ 1 p “fpsq, bằng phép đổi biến u“x p ´ p 1 ta được ˆp´1 p ˙ p`1 ż b p p ´ 1
Lấy căn bậc p của (1.11) ta được ˆp´1 p ˙ p ` p 1 ¨ ˝ ż b p p ´ 1
‹ Xét vế phải của (1.10), với cách đặt hps p ´ p 1 qs ´ 1 p “ fpsq ta có hpsq “ fps p ´ p 1 qs p ´ 1 1 Khi đó, vế phải của (1.10) được viết lại là ż b 0 ˇ ˇ ˇfpx p ´ p 1 qx p ´ 1 1 ˇ ˇ ˇ p ˆ
Lấy căn bậc p của (1.14) ta được ˆp ´ 1 p ˙ 1 p ¨ ˝ ż b p p ´ 1
Từ (1.10), (1.12), (1.15) và đặt b p ´ p 1 “a ta được ˆż a
Cho a ẹ 8 ta được kết quả Bất đẳng thức Hardy.
Các tính chất của hàm lồi
Tính trơn
Nhận xột 1.9 ([9]) Giả sử f : I ẹ R là hàm lồi, @x P r a, bs Ă I ta cú x“ b´x b´aa`x´a b´ab.
Khi đó fpxq ď b´x b´afpaq ` x´a b´afpbq.
Bất đẳng thức trên tương đương vớidetA ě0vớiA “ ằ
1 b fpbq fi ffi ffi fl ,@xP ra, bs. Định lớ 1.10 ([9]) Cho hàm f : I ẹ R là hàm lồi Khi đú, @x P p a, bq ta cú fpxq ´fpaq x ´ a ď fpbq ´fpaq b ´ a ď fpbq ´fpxq b ´ x
Hình 1.1.2 Chứng minh Vì f lồi nên fpxq ď b´x b ´ afpaq ` x´a b ´ afpbq, @xP pa, bq (1.16) Trừ hai vế bất đẳng thức cho f p a q ta được fpxq ´fpaq ď x´a b ´ a p fpbq ´fpaqq. Chia hai vế của bất đẳng thức cho x´aą0 ta được fpxq ´fpaq x´a ď fpbq ´fpaq b´a (1.17)
Từ (1.16), trừ hai vế bất đẳng thức cho fpbq ta được fpbq ´fpxq ě b´x a ´ b p fpaq ´fpbqq. Chia hai vế của bất đẳng thức cho b´xą0 ta được fpbq ´fpxq b´x ě fpbq ´fpaq b´a (1.18)
Kết hợp (1.17) và (1.18) ta được kết quả định lí. Định lớ 1.11 ([9]) Cho f : I ẹR là hàm lồi Khi đú, tại mọi điểm thuộc miền trong của I thì đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải của hàm f là hữu hạn.Đặc biệt hơn, với mọi x, yP intI, xăy ta có f ´ 1 pxq ďf ` 1 pxq ď fpyq ´fpxq y´x ď f ´ 1 pyq ďf ` 1 pyq.
Hơn nữa, hàm f ´ 1 liên tục trái và hàm f ` 1 liên tục phải trên intI Do đó, nếu một hàm lồi khả vi trên intI thì nó khả vi liên tục trên intI.
Chứng minh ‹ Theo Định lí 1.10 ta có @x, y, a, z P I sao cho x ăy ăa ă z ta có fpxq ´fpaq x´a ď fpyq ´fpaq y´a ď fpzq ´fpaq z´a Cho x ẹa ´ , z ẹa ` ta được f ´ 1 p a q ď f ` 1 p a q (1.19)
Hơn nữa, @ x, y, u, v P intI sao cho x ă u ď v ă y ta có fpuq ´fpxq u´x ď fpvq ´fpxq v´x ď fpvq ´fpyq v ´y Cho u ẹx ` , v ẹy ´ ta được f ` 1 pxq ďf ´ 1 pyq (1.20)
Từ (1.19) và (1.20) ta được f ´ 1 pxq ďf ` 1 pxq ď f ´ 1 pyq ď f ` 1 pyq, @xăy.
‹ Bây giờ ta chứng minh f ` 1 pxq ď fpyq ´fpxq y ´ x ď f ´ 1 pyq, @x, y PintI, xăy.
Hơn nữa, vì f lồi trên I nên f liên tục trên intI Do đó với xďz ăy ta có fpyq ´fpxq y´x “ lim zẹx ` fpyq ´fpzq y´z ě lim zẹx ` f ` 1 pzq (1.21)
Cho y ẹx ` ta được f ` 1 pxq ě lim zẹx ` f ` 1 pzq (1.22)
Vì f ` 1 tăng nên ta có f ` 1 pxq ďf ` 1 pzq, @xďz Suy ra f ` 1 pxq ď lim zẹx ` f ` 1 pzq (1.23)
Từ (1.22) và (1.23) ta được f ` 1 pxq “ lim zẹx ` f ` 1 pzq (1.24)
Do đó f ` 1 liên tục phải trên intI.
Kết hợp (1.21) và (1.24) ta được f ` 1 pxq ď fpyq ´fpxq y´x
Chứng minh tương tự như trên với f ´ 1 tăng trên x ďz ăy ta được f ´ 1 pyq ď fpyq ´fpxq y ´ x và f ´ 1 liên tục trái trên intI.
Mệnh đề 1.12 ([9]) Nếu f : I ẹ R là hàm lồi thỡ f đơn điệu trờn intI hoặc tồn tại ξ PintI sao cho f giảm trên p´8, ξs XI và tăng trên rξ,8q XI.
Chứng minh Giả sử f không đơn điệu trong intI Khi đó tồn tại a, b, c P intI, a ă c ă b thỏa fpaq ą fpcq ă fpbq hoặc fpaq ă fpcq ą fpbq Vì f lồi nên không thể xảy ra fpaq ăfpcq ąfpbq Ta đặt m“inftfpxq: xP ra, bsu.
Vì f lồi trên I nên f liên tục trên intI Do vậy f liên tục trên ra, bs Khi đó tồn tại ξ P ra, bs sao cho m“fpξq.
‹ Với mọi x, y P ra, ξs, giả sử aď xďy ďξ Khi đó y “ ξ ´ y ξ ´xx ` ˆ
Vì f lồi nên áp dụng định nghĩa hàm lồi ta được f p y q ď ξ ´y ξ´xf p x q ` y´x ξ ´xf p ξ q (1.25)
Vì f p ξ q “ m “ inftf p x q :x P r a, bsu nên f p ξ q ď f p x q , @ x P r a, bs Suy ra fpξq ď fpxq, @x P ra, ξq Do đó, từ (1.25) ta viết lại fpyq ď ξ ´y ξ´xfpxq ` y´x ξ ´xfpxq.
Thu gọn ta có fpyq ďfpxq với a ďxďy ďξ Do vậy hàm f giảm trên ra, ξs.
‹ Với mọi x, y P rξ, bs, giả sử ξ ďxďy ďb Khi đó x “ x ´ ξ y´ξξ ` ˆ
Vì f lồi nên áp dụng định nghĩa hàm lồi ta được f p x q ď x ´ ξ y´ξf p ξ q ` y ´ x y´ξf p y q (1.26)
Vì f p ξ q “ m “ inftf p x q :x P r a, bsu nên f p ξ q ď f p x q , @ x P r a, bs Suy ra fpξq ď fpyq, @y P rξ, bq Do đó, từ (1.26) ta được fpxq ď x´ξ y´ξfpyq `y ´x y ´ξfpyq. Thu gọn ta có fpxq ď fpyq với ξ ďx ďy ďb Do vậy hàm f tăng trên rξ, bs.
‹ Với xăa thì x ăaăξ, áp dụng Định lí 1.10 ta được fpxq ´fpξq x ´ ξ ď fpaq ´fpξq a ´ ξ Suy ra pξ´aqfpxq ě px´aqfpξq ` pξ ´xqfpaq ě pξ ´aqfpξq.
Khi đó f p x q ě f p ξ q Tức là f giảm trên p´8, ξs XI Chứng minh tương tự cho xąb ta được f tăng trên rξ,8q XI.
Cho hàm lồi f : I ẹ R Khi đú, với ra, bs Ă intI thỡ hàm f thỏa điều kiện Lipschitz trên ra, bs là
!ˇ ˇ ˇf ` 1 paq ˇ ˇ ˇ, ˇ ˇ ˇf ´ 1 pbq ˇ ˇ ˇ ) , @x, y P ra, bs Định lí 1.13 ([9]) Cho dãy các hàm lồi tf n u 8 n“1 xác định trên I, f n hội tụ từng điểm đến hàm f trên I Khi đó, hàm f là hàm lồi trên I Hơn nữa, nếu xét trên tập compact con của intI thì hội tụ này là hội tụ đều và f ´ 1 paq ď lim nẹ8infpf n q
Chứng minh ‹Vì f n là hàm lồi trên I với mọin ě 1nên @ x, y P I và @ λ P r 0,1s ta có f n pp 1 ´ λ q x ` λy q ď p 1 ´ λ q f n p x q ` λf n p y q Chon ẹ 8ta đượcfpp1´λqx`λyq ď p1´λqfpxq `λfpyq Do đúf là hàm lồi.
‹ Với mọi a, b, xP I, a ăxăb xét b“a`h, @h ą0, vì f n lồi với mọi n nên theo Định lí 1.11 ta được pf n q 1 ` paq ď f n pa`hq ´f n paq h
Suy ra nẹ8lim suppf n q
Cho h ẹ 0ta được nẹ8lim suppf n q
Tương tự như trên @a, b, xP I sao cho aăxăb ta xét a “b´h,@hą0 Vì f n lồi, @ n nên theo Định lí 1.11 ta được pf n q 1 ´ pbq ě f n pbq ´f n pb´hq h
Suy ra nẹ8lim infpf n q
1 ´ pbq ě lim nẹ8inf f n pbq ´f n pb´hq h “ fpbq ´fpb´hq h
Cho h ẹ0ta được nẹ8lim infpf n q
Từ (1.27) và (1.28), chọn a“b ta được kết quả của định lí.
‹ Dựa vào tính Lipschitz của hàm lồi ta có kết quả hội tụ trên là hội tụ đều.
Đạo hàm cấp hai
Định nghĩa 1.10 ([9]) Cho f : I ẹ R Khi đú, đạo hàm cấp hai trờn và dưới của hàm f tại x được định nghĩa
D 2 fpxq “ lim hẹ0supfpx`hq `fpx´hq ´2fpxq h 2 ,
Hơn nữa, nếu f khả vi cấp hai tại x thì ta định nghĩa D 2 fpxq “ D 2 fpxq “ f 2 pxq là đạo hàm cấp hai của hàm f tại x. Định lớ 1.14 ([9]) Giả sử I mở và f : I ẹ R Khi đú, f là hàm lồi khi và chỉ khi f liên tục và D 2 fpxq ě 0, @xP I. Đặc biệt, giả sử f là hàm khả vi cấp hai Khi đó, f lồi nếu và chỉ nếu f 2 ě 0.
Chứng minh ủ { Vỡ f lồi trờn I mở nờn nú liờn tục trờn I Hơn nữa, vỡ f lồi nên f ` 1 là hàm tăng trên I Suy ra D 2 fpxq ě 0, @xPI. ð {Giả sử D 2 fpxq ą0,@x PI Ta chứng minhf lồi bằng phương pháp phản chứng.
Thật vậy, nếuf không lồi thì tồn tạiI 0 “ ra 0 , b 0 schứax 0 sao chof ˆa 0 `b 0 2 ˙ ą fpa 0 q `fpb 0 q
2 Khi đó, ta có thể xét những đoạn chứa x 0 như
Tức là giả sử ta tìm được đoạn chứa x 0 là I 1 “ ra 1 , b 1 s với b 1 ´a 1 “ b 0 ´a 0
Suy ra tồn tại x 0 P I 1 sao cho D 2 f p x 0 q ď 0 (mâu thuẫn với giả thiết).
Bây giờ ta xét trường hợp D 2 fpxq ě 0 và f liên tục trên I Khi đó, ta chọn dãy hàm tf n u 8 n“1 sao cho f n p x q “ f p x q ` 1 nx 2 , @ x P I.
Suy raf n liên tục vàD 2 f n pxq ą0trên I với mọin ě1 Áp dụng chứng minh trờn ta cúf n lồi với mọi n ě 1 Đồng thời chon ẹ 8 ta đượcf n p x q ẹ f p x q , @ x P
I, áp dụng Định lí 1.13 ta được f lồi trên I.
Dưới vi phân
Định nghĩa 1.11 ([9]) Cho hàm f :I ẹR và a P I Nếu tồn tại λP R sao cho fpxq ěfpaq `λpx´aq, @xP I thì các số λđược gọi là các subgradient của hàmf tạia Tập các subgradient của hàm f tại a gọi là dưới vi phân của hàm f tại a Kí hiệu B f p a q
Hình 1.1.3 Định lớ 1.15 ([9]) Nếu f : I ẹ R là hàm lồi thỡ Bfpaq “
Chứng minh Thật vậy, với mọi x, y P I, a P p x, y q ta có λ P Bfpaq ô fpxq ´fpaq x ´ a ď λ ď fpyq ´fpaq y ´ a
Khi x tăng dần đến a thì f p x q ´ f p a q x´a dần đến f ´ 1 p a q
Khi y giảm dần đến a thì fpyq ´fpaq y ´ a dần đến f ` 1 paq.Vậy λ P B f p a q nếu và chỉ nếu λ P ” f ´ 1 p a q , f ` 1 p a q ı Định lớ 1.16 ([9]) Nếu f : I ẹR cú Bfpxq ‰∅,@xPintI thỡ f là hàm lồi.
Chứng minh Lấy u, v P I, u ‰ v, @ t P p 0,1 q ta có p 1 ´ t q u ` tv P intI.
Vì B f p x q ‰ ∅, @ x P intI nên @ λ P B f pp 1 ´ t q u ` tv q ta có f p u q ě f pp 1 ´ t q u ` tv q ` t p u ´ v q λ, (1.29) và fpvq ě fpp1´tqu`tvq ´ p1´tqpu´vqλ (1.30) Nhân hai vế của (1.29) với 1 ´ t ta được p1´tqfpuq ě p1´tqfpp1´tqu`tvq ` p1´tqtpu´vqλ (1.31)
Nhân hai vế của (1.30) với t ta được tf p v q ě tf pp 1 ´ t q u ` tv q ´ p 1 ´ t q t p u ´ v q λ (1.32) Lấy (1.31) cộng với (1.32) vế theo vế ta được p1´tqfpuq `tfpvq ěfpp1´tqu`tvq. Định lớ 1.17 ([9]) Giả sử f : I ẹR là hàm lồi liờn tục và φ : I ẹR sao cho φpxq P Bfpxq, @x P intI Khi đó fpzq “ suptfpxq ` pz´xqφpxq: xP intIu, @z P
Chứng minh Trường hợp z P intI, kết quả định lí được chứng minh dựa vào Định lí 1.15.
Bây giờ ta xét trường hợp z là điểm biên của I, khi đó@t ą0đủ nhỏ sao cho z`tP intI ta có fpz`tq ´fpzq pz ` t q ´ z ď φpz`tq ď fpz`2tq ´fpz`tq pz ` 2t q ´ p z ` t q ôfpz`tq ´fpzq ď tφpz`tq ď fpz`2tq ´fpz`tq. Cho t ẹ 0 ` ta cú lim tẹ0 ` tφ p z ` t q “ 0 Suy ra @ ą 0, D δ ą 0 sao cho
Do đó f p z ` t q ´ tφ p z ` t q ą f p z q ´ , @ t P p 0, δ q Bằng cách đặt x “ z ` t, x P intI ta được kết quả định lí.
Bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Bất đẳng thức Karamata 24
Bất đẳng thức Hermite-Hadamard
Định lớ 1.18(Bất đẳng thức Hermite-Hadamard, [9]) Giả sử hàmf : ra, bs ẹ R là hàm lồi Khi đó f ˆa ` b 2 ˙ ď 1 b´a ż b a f p x q dx ď f p a q ` f p b q
Dấu "“" xảy ra khi f là hàm affine trên pa, bq.
2 q , xét các đường thẳng có dạng y p x q “ λ ˆ x ´ a ` b 2 ˙
Vì f là hàm lồi trên ra, bs nên fpxq ěypxq, @xP ra, bs Do đó ż b a fpxqdxě ż b a ypxqdx (1.34)
Từ (1.33) và (1.34) ta được ż b a fpxqdxěλ ż b a ˆ x´ a ` b 2 ˙ dx` ż b a f ˆa ` b 2 ˙ dx.
Tính các tích phân ở vế phải ta được f ˆa ` b 2 ˙ ď 1 b´a ż b a fpxqdx (1.35)
‹ Vì f lồi nên @x P ra, bs ta có fpxq ď fpaq ` fpbq ´fpaq b´a p x´aq. Lấy tích phân hai vế trên ra, bs ta có ż b a f p x q dx ď ż b a ˆ f p a q ` f p b q ´ f p a q b´a p x ´ a q ˙ dx.
Nhân hai vế với 1 b´a sau đó tính tích phân vế phải ta được
Từ (1.35) và (1.36) ta được kết quả định lí Rõ ràng dấu "“" xảy ra khi f là hàm affine.
Ví dụ 1.12 Xét hàm lồi ngặt fpxq “ e x trên R, áp dụng Bất đẳng thức Hermite-Hadamard ta có e a ` 2 b ă e b ´e a b´a ă e a `e b
Ta nói bất đẳng thức trên thể hiện tính trung bình hình học-logarith-số học(geometric–logarithmic–arithmetic).
Bất đẳng thức Karamata
Định lí 1.19 (Bất đẳng thức Karamata, [10]) Cho hai dãy số tx k u n k“1 , ty k u n k“1 sao cho x k , y k P p a, b q Ă I, k “ 1,2, , n thoả mãn các điều kiện x 1 ě x 2 ě ě x n , y 1 ěy 2 ě ěy n và
% x 1 ěy 1 x 1 `x 2 ěy 1 `y 2 x 1 `x 2 ` `x n´1 ěy 1 `y 2 ` `y n´1 x 1 `x 2 ` `x n “y 1 `y 2 ` `y n Khi đó, với mọi hàm lồi f trên p a, b q ta có fpx 1 q `fpx 2 q ` `fpx n q ěfpy 1 q `fpy 2 q ` `fpy n q.
Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.20 (Biến đổi Abel, [10]) Cho u 0 “ 0, u 1 “ x 1 , , u k “ x 1 ` ` x k , Khi đó ř n k“1 x k y k “ n´1 ř k“1 u k p y k ´ y k`1 q ` u n y n
Chứng minh Thật vậy, ta có ř n k“1 x k y k “ ř n k“1 pu k ´ u k´1 q y k “ ř n k“1 u k y k ´ ř n k“1 u k´1 y k
Vì u 0 “ 0 nên ta có n ÿ k“1 x k y k “ n ÿ k“1 u k y k ´ n ÿ k“2 u k´1 y k (1.37) Đặt k´1“j và khi k “2, , n thì j “1, , n´1, khi đó n ÿ k“2 u k´1 y k “ n´1 ÿ j“1 u j y j`1 “ n´1 ÿ k“1 u k y k`1 (1.38)
Chứng minh Định lí 1.19 Áp dụng tính dưới vi phân của hàm lồi f tại mỗi t 1 , , t n P p a, b q ta có fpx 1 q ěfpt 1 q `f ` 1 pt 1 qpx 1 ´t 1 q fpx 2 q ěfpt 2 q `f ` 1 pt 2 qpx 2 ´t 2 q fpx n q ěfpt n q `f ` 1 pt n qpx n ´t n q. Khi đó fpx 1 q `fpx 2 q ` `fpx n q ě n ř i“1 fpt i q ` n ř i“1 f ` 1 pt i qpx i ´t i q.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử t 1 ě t 2 ě ě t n Khi đó, ta chỉ cần chứng minh rằng x 1 f ` 1 p t 1 q ` x 2 f ` 1 p t 2 q ` ` x n f ` 1 p t n q ě y 1 f ` 1 p t 1 q ` y 2 f ` 1 p t 2 q ` ` y n f ` 1 p t n q
Sử dụng Bổ đề 1.20 với
Vìf hàm lồi nênf ` 1 là hàm tăng trênpa, bq, do đó vớix k´1 ěx k , @k “2, , n thì f ` 1 p x k´1 q ě f ` 1 p x k q , @ k “ 2, , n.
% x 1 ěy 1 x 1 `x 2 ěy 1 `y 2 x 1 `x 2 ` `x n´1 ěy 1 `y 2 ` `y n´1 x 1 `x 2 ` `x n “y 1 `y 2 ` `y n suy ra S n p x q “ S n p y q và
Kết hợp (1.39) và (1.40) ta được x 1 f ` 1 pt 1 q `x 2 f ` 1 pt 2 q ` `x n f ` 1 pt n q ěS 1 pyq “ f ` 1 pt 1 q ´f ` 1 pt 2 q ‰
`S n pyqf ` 1 pt n q.Vậy x 1 f ` 1 pt 1 q `x 2 f ` 1 pt 2 q ` `x n f ` 1 pt n q ěy 1 f ` 1 pt 1 q `y 2 f ` 1 pt 2 q ` `y n f ` 1 pt n q.
Hàm GG-lồi và các tính chất cơ bản
Phép chứng minh các định lí trong chương này được tham khảo trong [3],[4], [6], [8] Ở đây, chúng tôi xét I là khoảng con của p0,8q.
Định nghĩa hàm GG-lồi và mối quan hệ giữa hàm GG-lồi với hàm lồi
Định nghĩa hàm GG-lồi
Định nghĩa 2.1 ([8]) Hàm f : I ẹ p0,8q được gọi là hàm GG-lồi (hàm lồi nhân tính) nếu @x, yP I, @λP r0,1s ta có fpx 1´λ y λ q ďfpxq 1´λ fpyq λ (2.1)
Ta gọi f là hàm GG-lồi ngặt (hàm lồi nhân tính ngặt) nếu (2.1) là bất đẳng thức thực sự khi x‰y, @λ P p0,1q.
Ta gọi f là hàm GG-lõm (hàm lõm nhân tính) nếu chiều bất đẳng thức trong(2.1) thay đổi Tương tự ta định nghĩa cho hàm GG-lõm ngặt (hàm lõm nhân tính ngặt).
Mối quan hệ giữa hàm GG-lồi với hàm lồi
Định lớ 2.1 ([8]) Hàm f : I ẹ p0,8q là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu hàm
F “ log ˝ f ˝ exp : logI ẹ R là hàm lồi.
Chứng minh Giả sử f là hàm GG-lồi trên I, ta chứng minh F là hàm lồi trên logI Ta kiểm tra tính lồi của hàmF bằng định nghĩa.
Với mọi t, sP logI, khi đó ta luôn cóx, y P I sao cho x “e t , y “e s Bởi tính lồi nhân tính của hàm f, @λ P r0,1s ta có fpx 1´λ y λ q ďfpxq 1´λ fpyq λ ủf ´ e p1´λqt e λs ¯ ď f p e t q 1´λ f p e s q λ Lấy logarithm cơ số e hai vế ta được
Fpp1´λqt`λsq ď p1´λqFptq `λFpsq.
Ta dễ dàng chứng minh chiều ngược lại của định lí.
Các tính chất chung của hàm GG-lồi
Định lớ 2.2([8]) Hàm f :I ẹ p0,8q là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu @x 1 , x 2 , x 3 P
I, x 1 ďx 2 ďx 3 ta có detA ě0 trong đó A“ ằ
1 logx 3 logfpx 3 q fi ffi ffi fl
Nói cách khác, f là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu @x 1 , x 2 , x 3 PI, x 1 ďx 2 ďx 3 ta có fpx 1 q log x 3 fpx 2 q log x 1 fpx 3 q log x 2 ěfpx 1 q log x 2 fpx 2 q log x 3 fpx 3 q log x 1
Chứng minh ‹ Áp dụng Định lí 2.1 ta có f là hàm GG-lồi trên I nếu và chỉ nếu log˝f ˝exp là hàm lồi trên logI Theo kết quả nhận xét 1.9, với mọi t 1 , t 2 , t 3 P logI và t 2 P pt 1 , t 3 q ta có log˝f ˝exp là hàm lồi trên logI nếu và chỉ nếu detA ě0, trong đó
1 t 3 log˝f ˝expt 3 fi ffi ffi fl.
Vìt 1 , t 2 , t 3 P logI nêne t 1 , e t 2 , e t 3 PI Do đó, ta đặte t 1 “x 1 , e t 2 “x 2 , e t 3 “x 3 và
1 logx 3 logf p x 3 q fi ffi ffi fl
‹ Ta kiểm tra bất đẳng thức trong định lí bằng việc tính định thức của ma trận A. Định lớ 2.3 ([8]) Hàm liờn tục f : I ẹ p 0, 8q là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu
2, theo định nghĩa hàm GG-lồi ta được kết quả. ð {Ta kiểm tra tính lồi nhân tính của hàmf bằng việc sử dụng Định lí 2.1 và Định lí 1.3 Do đó, ta chỉ cần chỉ ra tính lồi trung điểm của hàmF “ log˝f˝exp trên logI.
Thật vậy, vì f liên tục trên I nênF liên tục trên logI Theo giả thiết, ta đặt x“e t , y “e s , @t, sP logI, ta có f ´ e t ` 2 s ¯ ď a fpe t qfpe s q. Lấy logarithm cơ số e hai vế ta được logf ´ e t ` 2 s ¯ ď logf p e t q ` logf p e s q
Thay log˝f ˝exp “F ta có
Suy ra F lồi trung điểm trênlogI Hơn nữa, vìF liên tục tại mọi điểm thuộc phần trong logI nên theo Định lí 1.3 ta được F lồi trên logI Khi đó, áp dụng Định lí 2.1 ta được f là hàm GG-lồi trên I.
Nhận xột 2.2 ([8]) Hàm liờn tục f :I ẹ p 0, 8q là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu
@x 1 , , x n PI ta có f ` ? n x 1 x n ˘ ď a n fpx 1 q fpx n q. Định lí 2.4 ([8]) Mọi đa thức Ppxq với hệ số không âm là hàm GG-lồi trên p0, 8q Hơn nữa, mọi hàm thực f p x q “ ř ně0 c n x n với hệ số không âm là hàm GG-lồi trên p0, Rq với R là bán kính hội tụ.
Trong trường hợp Ppxq là GG-lồi ngặt trên p0,8q khi các hệ số của nó dương (tương tự với fpxq ở trên).
Chứng minh ‹ Giả sử Ppxq “
N ř n“0 c n x n trong đó c n ě0, @n “0, , N Ta kiểm tra tính lồi nhân tính của P p x q dựa vào Định lí 2.3 Tức là @ x, y P p 0, 8q ta chứng minh pPpxyqq 2 ďPpx 2 qPpy 2 q.
Thật vậy, áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxki-Schwarz ta có ˜ N ř n“0 c n p xy q n á 2
N ř n“0 c n x n với các hệ số của Ppxqkhông âm Với mọix P p0, Rqta có
Nẹ8lim Ppxq “fpxq VỡPpxqlà hàm GG-lồi nờn hàmfpxqcũng là hàm GG-lồi. Định lớ 2.5 ([8]) Giả sử f : I ẹ p 0, 8q là hàm khả vi Khi đú, cỏc điều kiện sau tương đương:
(ii) Hàm xf 1 pxq f p x q không giảm, @xP I;
(iii) Hàm f thỏa mãn fpxq f p y q ě ˆx y ˙ yf 1 p y q fpyq , @x, yP I.
Hơn nữa, giả sử f khả vi cấp hai Khi đó, f là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu x “ fpxqf 2 pxq ´f 12 pxq ‰
Chứng minh ‹ Ta chỉ cần chứng minh piq ô piiq và piq ô piiiq. piq ô piiq Theo Định lí 2.1 ta có f là hàm GG-lồi trên I nếu và chỉ nếu hàm
F “log˝f ˝exp là hàm lồi trên logI Điều này tương đương với F 1 không giảm trên logI.
Với mọi t P logI ta có F 1 ptq “ e t f 1 pe t q fpe t q Đặt e t “ x, @x P I, ta được xf 1 pxq fpxq không giảm. piq ô piiiq Theo Định lí 2.1 ta cóf là hàm GG-lồi trên I nếu và chỉ nếu hàm
F “ log˝f ˝exp là hàm lồi trên logI Khi đó, hàm F lồi trên logI nếu và chỉ nếu tại mỗi điểm s P logI, @ t P logI ta có
Fptq ěF 1 psqpt´sq `Fpsq. Thay F “log˝f ˝exp ta được logfpe t q ´logfpe s q ě e s f 1 pe s q f p e s q
Vì t, s PlogI nên ta đặte t “ x, e s “y, @x, y P I, khi đó logfpxq f p y q ě log ˆx y ˙ yf
Lấy lũy thừa cơ số e hai vế ta được kết quả.
‹ Theo lập luận trên, f là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu hàm xf 1 p x q fpxq không giảm, @xPI, tức là ˆxf 1 pxq f p x q ˙ 1 ě0, @xP I Điều này tương đương với rx 1 f 1 p x q ` xf 2 p x qs f p x q ´ xf 12 p x q ě 0, @ x P I ôx “ fpxqf 2 pxq ´f 12 pxq ‰
Tính lồi nhân tính của các hàm đặc biệt
Bất đẳng thức Karamata
Định lí 2.16 ([8]) Cho hai dãy số dương tx k u n k“1 , ty k u n k“1 nằm trong I thoả mãn các điều kiện x 1 ě x 2 ě ě x n , y 1 ě y 2 ě ě y n và
% x 1 ěy 1 x 1 x 2 ěy 1 y 2 x 1 x 2 x n´1 ěy 1 y 2 y n´1 x 1 x 2 x n “y 1 y 2 y n Khi đó, với mọi hàm GG-lồi dương f trên I ta có f p x 1 q f p x 2 q f p x n q ě f p y 1 q f p y 2 q f p y n q
Chứng minh Ta chứng minh dựa vào Bất đẳng thức Karamata cho hàm lồi (Định lí 1.19) và Định lí 2.1.
Thật vậy, vì f là hàm lồi nhân tính và dương trên I nên F “log˝f ˝exp lồi trênlogI Do đó, ta xét cácx i và y i sao cho logx i “ t i và logy i “s i , i “1, , n. Khi đó, theo giả thiết ta có hai bộ sắp thứ tựt 1 ět 2 ě ět n ,s 1 ěs 2 ě ěs n , t i , s i PlogI, i “1, , n thỏa mãn
% t 1 ěs 1 t 1 `t 2 ěs 1 `s 2 t 1 `t 2 ` `t n´1 ěs 1 `s 2 ` `s n´1 t 1 `t 2 ` `t n “s 1 `s 2 ` `s n Áp dụng Bất đẳng thức Karamata cho hàm lồi F ta được
Fpt 1 q `Fpt 2 q ` `Fpt n q ěFps 1 q `Fps 2 q ` `Fps n q.
Thay F “log˝f ˝exp ta được log ` fpe t 1 qfpe t 2 q fpe t n q ˘ ě logpfpe s 1 qfpe s 2 q fpe s n qq.
Lấy lũy thừa hai vế cơ số e và thay e t i “ x i , e s i “ y i , i “ 1,2, , n ta được kết quả. Định lớ 2.17 ([8]) Giả sử f : I ẹ p 0, 8q là hàm GG-lồi Khi đú fpxqfpyqfpzqf 3 p ? 3 xyzq ě f 2 p ? xyqf 2 p ? yzqf 2 p ? zxq, @x, y, z P I.
Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử rằng x ě y ě z Khi đó
?xy ě ? zx ě ? yz và x ě ? 3 xyz ě z.
‹ Trong trường hợp x ě ? 3 xyz ě y ě z, áp dụng Bất đẳng thức Karamata cho hàm lồi nhân tính dương f cho hai bộ sắp thứ tự sau x 1 “ x, x 2 “ x 3 “ x 4 “ ? 3 xyz, x 5 “ y, x 6 “ z, y 1 “ y 2 “ ? xy, y 3 “ y 4 “ ? xz, y 5 “ y 6 “ ? yz. ta được kết quả của định lí.
‹ Trong trường hợp x ě y ě ? 3 xyz ě z, áp dụng Bất đẳng thức Karamata cho hàm lồi nhân tính dương f cho hai bộ sắp thứ tự sau x 1 “x, x 2 “y, x 3 “x 4 “x 5 “ ? 3 xyz, x 6 “z, y 1 “ y 2 “ ? xy, y 3 “y 4 “ ? xz, y 5 “y 6 “ ? yz. ta được kết quả của định lí.
Chương 3 Ứng dụng hàm GG-lồi
Trong chương này, chúng tôi trình bày các bài toán ứng dụng hàm GG-lồi,hầu hết các bài toán được tham khảo trong [3], [4], [6], [8].
Nhắc lại một số hàm GG-lồi
Trong chương 2, chúng tôi đã trình bày các công cụ để kiểm tra một hàm có phải hàm GG-lồi hay không Và một trong các cách kiểm tra, chúng ta thường sử dụng các Định lí 2.1, 2.4, 2.5 và 2.6 Thật vậy, áp dụng Định lí 2.6 ta dễ dàng chứng minh được các kết quả sau:
‹ Vì hàm 1 logx là hàm GG-lồi trên p2,8q nên hàm tích phân logarith Lixpxq “ ż x
2 dt logt là hàm GG-lồi trên p2,8q.
‹ Vì hàm tanx là hàm GG-lồi trên ˆ
2 log costdt là hàm GG-lồi trên ˆ
‹ Vì hàm sinx x là hàm GG-lồi trên ˆ
0, π 2 ˙ nên hàm tích phân Sine Sipxq “ ż x
2 sint t dt là hàm GG-lồi trên ˆ
0,π 2 ˙ Hơn nữa, theo [5] ta có kết quả các hàm GG-lồi sau: exp, sinh, cosh trên p0,8q, tan, sec, csc, 1 x ´ cotx trên p0, π
1´x trên p0,1 q Thật vậy, dễ dàng kiểm tra các kết quả trên dựa vào Định lí 2.5 Hơn thế nữa, bởi công thức khai triển Taylor một số hàm ở trên được viết dưới dạng chuỗi hàm có hệ số không âm như sau: e x “1`x` x 2
Trong đó, các số tiếp tuyến T 2n`1 , các số Bernoulli B 2n và các số Euler E 2n nhận các giá trị trong bảng sau với n ď8 theo [2]:
Theo lập luận trên, chúng tôi đã tìm hiểu nhiều ví dụ về hàm GG-lồi Để có cái nhìn tổng quát về ứng dụng hàm GG-lồi, bằng cách sử dụng các định lí đã chứng minh ở chương 2, ta sẽ xây dựng được vô vàn các bất đẳng thức.
Một số bài toán áp dụng
Một số bất đẳng thức trong toán phổ thông
Nhận xét 3.1 Trước hết, chúng tôi xem xét các bài toán liên quan đến chứng minh bất đẳng thức bằng việc sử dụng nhận xét 2.2 trong chương 2: Hàm liên tục f : I ẹ p0,8q là hàm GG-lồi nếu và chỉ nếu @x 1 , , x n P I ta cú f ` ? n x 1 x n ˘ ď a n fpx 1 q fpx n q. Trong trường hợp f là GG-lồi ngặt, dấu "“" xảy ra khi và chỉ khi x 1 “ “ x n
Bài toán 3.1 (Bất đẳng thức AM-GM, [8]) Chứng minh rằng với mọi x i P r0,8q, i “1,2, , n ta có
Chứng minh Áp dụng nhận xét 2.2 cho hàm GG-lồi fpxq “ e x trên r0,8q ta được e ? n x 1 x 2 x n ď ? n e x 1 e x 2 e x n ôe n ? x 1 x 2 x n ďe x 1 ` x 2 ` n ` xn Lấy logarithm cơ số e hai vế ta được kết quả.
Bài toán 3.2 ([8]) Chứng minh rằng với mọi x i không bằng nhau, x i P r0,1q, i “1,2, , n và n ě2 ta có n ś k“1
Chứng minh Xét hàm GG-lồi ngặt f p x q “ 1`x
1 ´ x n Lấy lũy thừa n hai vế ta được kết quả.
Bài toán 3.3 ([8]) Chứng minh rằng với mọi tam giác không đều 4ABC ta có tan A
Chứng minh Xét cho hàm GG-lồi ngặt f p x q “ tanx trên ˆ
2.Lấy lũy thừa 3 hai vế ta được kết quả.
Bài toán 3.4 ([8]) Chứng minh rằng với mọi tam giác không đều 4ABC ta có tanA
Chứng minh Xét hàm GG-lồi ngặt f p x q “ tanx “ cot p π
“tanx ta được kết quả.
Bài toán 3.5 ([8]) Chứng minh rằng với mọi tam giác không đều 4ABC ta có sinA
Chứng minh Xét fpxq “ arcsinx là hàm GG-lồi ngặt trên p0,1s, @x 1 , x 2 , x 3 P p0,1s và chúng không trùng nhau ta được arcsin ? 3 x 1 x 2 x 3 ă ? 3 arcsinx 1 arcsinx 2 arcsinx 3 Lấy sin hai vế ta được
Vì x 1 , x 2 , x 3 P p 0,1s nên ta lấy x 1 “ sin A
2. Lấy lũy thừa 3 hai vế ta được kết quả.
Nhận xét 3.2 Kết quả ở bài toán 3.5 đã cải thiện bất đẳng thức nổi tiếng Cụ thể là: Với mọi tam giác không đều 4ABC ta có sinA
Hơn nữa, ta cũng có thể chứng minh được với 4ABC không đều ta có sinA
Bây giờ ta kết hợp Định lí 2.2 và Định lí 2.4, biết rằng đa thức P p x q với hệ số không âm là hàm GG-lồi Do đó, ta có thể áp dụng Định lí 2.2 cho hàm f p x q “ P p x q Khi đó, ta thu được các lớp bất đẳng thức có dạng: @x 1 , x 2 , x 3 P p0,8q, x 1 ďx 2 ďx 3 ta có
P p x 1 q log x 3 P p x 2 q log x 1 P p x 3 q log x 2 ě P p x 1 q log x 2 P p x 2 q log x 3 P p x 3 q log x 1
Bài toán 3.6 Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương thỏa a ă b ă c ta có p1 ` a q log c p 1 ` b q log a p 1 ` c q log b ă p 1 ` a q log b p 1 ` b q log c p 1 ` c q log a
Chứng minh ChọnPpxq “1`x, x ą0là hàm GG-lồi ngặt ta được kết quả.
Nhận xét 3.3 Tiếp theo ta áp dụng Định lí 2.17 cho hàm GG-lồi ngặtfpxq “e x trên p0,8q ta xây dựng được bài toán sau:
Bài toán 3.7 ([8]) Chứng minh rằng với mọi x, y, z dương và chúng không trùng nhau ta có x ` y ` z
Chứng minh Vì fpxq “ e x là hàm GG-lồi ngặt trên p0,8q nên áp dụng Định lí 2.17 ta được e x e y e z ` e ? 3 xyz ˘ 3 ą ` e ? xy ˘ 2 ` e ? yz ˘ 2 ´ e
? zx ¯ 2 ôe x`y`z`3 ? 3 xyz ą e 2 ? xy`2 ? yz`2 ? zx Lấy logarithm cơ số e hai vế sau đó chia hai vế cho 3 ta được kết quả.
Một số bất đẳng thức về dãy số
Trong phần này, chúng tôi xây dựng các bất đẳng thức liên quan đến dãy số bằng việc sử dụng hàm lồi nhân tính, lõm nhân tính cho trước và áp dụng các Định lí 2.9, 2.10, 2.11 và 2.12.
Bài toán 3.8 ([6]) Cho a 1 , a 2 , , a n là các số dương, với mỗi k “1,2, , n đặt
Chứng minh ‹ Xét hàm fpxq “ logx, x P p1,8q là hàm lõm nhân tính Áp dụng Định lí 2.9 ta đượctF p n qu 8 n“1 tăng, tức làF p k ´ 1 q ď F p k q , k “ 2,3, với
Kết quả cuối cùng có được bằng cách nhân vế theo vế của hai bất đẳng thức ở trên.
Bài toán 3.9 ([6]) Cho a 1 , a 2 , , a n là các số dương, với mỗi k “1,2, , n đặt
G k “ ˜ k ś i“1 a i á 1 k , M k “ ˜1 k k ř i“1 a p i á 1 p pp‰ 0q và Rpkq “ kpG p k ´M k p q Chứng minh rằng
Chứng minh Áp dụng Định lí 2.9 cho hàm lồi nhân tính fpxq “e x trên p0,8q.
Trước hết ta thay x i “ a p i vào F p k q “
Với fpxq “e x ta viết lại Fpkq là
Bởi tính lồi nhân tính của hàm f p x q nêntF p k qu giảm Do đóF p k ´ 1 q ě F p k q , k “ 2,3, , n tức là exp p G p k´1 ´ M k´1 p q ( k´1 ě exp p G p k ´ M k p q ( k Lấy logarithm cơ số ehai vế ta được kết quả Rpk´1q ě Rpkq, k “2,3, , n.
Nhận xét 3.4 Từ kết quả bài toán 3.9, bằng cách chọn p “ 1 ta được Bất đẳng thức Rado n p A n ´ G n q ě p n ´ 1 qp A n´1 ´ G n´1 q ě ě p A 1 ´ G 1 q “ 0.
Theo [7], ta biết Bất đẳng thức Minc-Sathre nổi tiếng n n ` 1 ă
Bất đẳng thức này thu hút được nhiều nhà nghiên cứu để phát triển cái mới và mở rộng hơn Theo [1], Alzer đã cải thiện vế trái của Bất đẳng thức Minc-Sathre như sau n`1 n`2 ă
Bây giờ, chúng tôi dùng công cụ hàm GG-lồi đưa ra cách đánh giá tốt hơn cho cả hai vế của Bất đẳng thức Minc-Sathre được trình bày ở hai bài toán sau: Bài toán 3.10 ([6]) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ą 1 ta có
Chứng minh ‹ Áp dụng Định lí 2.10 cho f là hàm tăng ngặt và GG-lồi trên p0,1s, với ψpnq “
Khai triển bất đẳng thức trên ta được
? n n! n ` a 1 pn`1q! ă n`1 n`2 p n ` 1 q n p n 1 ` 1 q Áp dụng Bất đẳng thức Bernoulli ta có p1`nq
Bài toán 3.11 ([6]) Cho n ą 1 là số tự nhiên Chứng minh rằng n n ` 1 ď n b p2nq! n! n ` 1 b p2n`1q! pn`1q! ď
Chứng minh Trước hết ta chứng minh kết quả sau: Nếu ta k u 8 k“1 là dãy dương và tăng thỏa mãn
# ˆ a k`1 a k ˙ k + 8 k“1 là dãy tăng thì a n a n`1 ď n d n ś k“1 pa k `a n q n ` 1 d n`1 ś k“1 pa k ` a n`1 q ď n d n ś k“1 a k n ` 1 d n`1 ś k“1 a k
Thật vậy, áp dụng Định lí 2.11 cho hàm tăng và lồi nhân tính ngặtfpxq “1`x trên p0,1s và dãy lồi tc n u 8 n“0 với c n “n, c 0 “0 ta được
Tương tự như trên, áp dụng Định lí 2.11 cho hàm tăng và lồi nhân tính ngặt g p x q “ x
1`x trên p0,1s và dãy lồi tc n u 8 n“0 với c n “ n, c 0 “ 0 ta được ˆ n ś k“1 a k a n ` a k ˙ 1 n ě ˆ n`1 ś k“1 a k a n`1 ` a k ˙ n ` 1 1 ô n d n ś k“1 pa k `a n q n ` 1 d n`1 ś k“1 pa k ` a n`1 q ď n d n ś k“1 a k n ` 1 d n`1 ś k“1 a k Để chứng minh bất đẳng thức của bài toán, ta lấy a k “ k, k “ 1,2, , kết hợp hai kết quả vừa chứng minh ta có n n ` 1 ď n d n ś k“1 pk`nq n ` 1 d n`1 ś k“1 pk`n`1q ď n d n ś k“1 k n ` 1 d n`1 ś k“1 k
Ta biết ś n k“1 pk ` n q “ p 2nq! n! và n`1 ś k“1 pk ` n ` 1 q “ p 2n`1q! pn`1q! , ta được kết quả bài toán.
Bài toán 3.12 ([6]) Cho dãy tu n u 8 n“1 với u n “ 1 p `2 p ` `n p n p`1 Chứng minh rằng với pě0 dãy tu n u 8 n“1 giảm, ngược lại với pă0 dãytu n u 8 n“1 tăng.
Chứng minh Áp dụng Định lí 2.11 ta có nếu f tăng và GG-lồi thì ˆ n ś k“1 f ˆa k a n ˙˙ 1 cn ě ˆ n`1 ś k“1 f ˆ a k a n`1 ˙˙ cn 1
Xét f p x q “ e x p , 0 ă x ď 1 với p ě 0 là hàm tăng và GG-lồi Chọn c n “ n, n ě1ta được ¨ ˚ ˝ n ś k“1 e ˜a k a n á p ˛
Lấy logarithm cơ số e hai vế ta được
Ngược lại, ta biết hàm fpxq “ e x p , 0 ă x ď 1 với p ă 0 là hàm giảm và GG-lồi Chứng minh tương tự các bất đẳng thức đổi chiều ta được kết quả dãy tu n u 8 n“1 tăng.
Bài toán 3.13 ([6]) Chota k u 8 k“1 là dãy dương và tăng sao cho
"ˆ a k`1 a k ˙ a k * 8 k“1 là dãy tăng Chứng minh rằng
(i) Nếu dãyta k u 8 k“0 là dãy lồi, trong đóa 0 “0thì dãy
(ii) Nếu dãyta k u 8 k“0 là dãy lõm, trong đóa 0 “0thì dãy
Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh (i), việc chứng minh (ii) tương tự cho hàm fpxq “e x p , 0ăxď1 là hàm giảm và GG-lồi với pă0. Áp dụng Định lí 2.11 cho hàm fpxq “ e x p , 0 ă x ď 1 là hàm tăng và
GG-lồi với p ą 0 Chọn dãy lồi tc n u 8 n“1 sao cho c n “ a n , n ě 1 ta được
` 1 ôe ř n k “ 1 a p k a p ` 1 n ěe n ` 1 ř k “ 1 a p k a p ` 1 n ` 1. Lấy logarithm cơ số e hai vế ta được dãy
Bài toán 3.14 ([6]) Cho n là số tự nhiên và l là số nguyên không âm Khi đó
(ii) Với 0ărď1 và pă0 thì dãy
Chứng minh (i) Áp dụng bài toán 3.13 cho dãy lồi ta k u 8 k“1 với a k “ pl `kq r pr ě 1 q và p ą 0ta được dãy
" pl ` 1 q rp ` p l ` 2 q rp ` ` p l ` n q rp pl`nq rpp`1q
* 8 n“1 giảm, tức là pl`1q rp ` pl`2q rp ` ` pl`nq rp pl`nq rpp`1q ě pl`1q rp ` pl`2q rp ` ` pl`n`1q rp pl`n`1q rpp`1q
* 8 n“1 với r ą0 là dãy giảm, tức là pn ` l q r n r ě pn ` 1 ` l q r pn`1q r (3.5)
Lấy (3.4) nhân với (3.5) vế theo vế ta được pl ` 1 q rp ` p l ` 2 q rp ` ` p l ` n q rp n r pl`nq rp ě pl ` 1 q rp ` p l ` 2 q rp ` ` p l ` n ` 1 q rp pn`1q r pl`n`1q rp
(ii) Áp dụng bài toán 3.13 cho dãy lõm ta k u 8 k“1 với a k “ pl`kq r p0ă rď 1q và pă0ta được dãy
" pl`1q rp ` pl`2q rp ` ` pl`nq rp pl ` n q rpp`1q
Bài toán 3.15 ([6]) Cho hai dãy ta n u 8 n“1 và
Chứng minh ‹ Trường hợp ta n u 8 n“1 và
"ˆ a n`1 a n ˙ n * 8 n“1 đều tăng Với fpxq “ e x p pxą0q ta có ˆ n ś k“1 f ˆa k a n ˙˙ n 1
‚ Áp dụng Định lí 2.12 với fpxq “ e x p px ą 0q, p ą 0 là hàm tăng và lồi nhân tính ta được
# ˆ n ś k“1 f ˆak a n ˙˙ n 1 + 8 n“1 giảm Khi đó, dãy
Ngược lại, áp dụng Định lí 2.12 với fpxq “ e x p px ą 0q, p ă 0 là hàm giảm và lồi nhân tính ta được
"ˆ a n`1 an ˙ n * 8 n“1 đều giảm Ta chứng minh tương tự như trên bằng việc thay dãy ta k u 8 k“1 bằng dãy
Nhận xét 3.5 ([6]) Từ bài toán 3.15, nếu ta xét a n “ n, @n ě 1 thì ta được bất đẳng thức Alzer n n ` 1 ď ¨ ˚ ˚ ˚ ˝ pn`1q n ř k“1 k p n n`1 ř k“1 k p ˛
Hơn nữa, nếu ta xét a n “ l`n, @n ě 1 và l nguyên không âm thì ta được mở rộng bất đẳng thức Alzer n`l n ` m ` l ď ¨ ˚ ˚ ˚ ˝
Một số bất đẳng thức liên quan đến các biến thể của Bất đẳng thức Hermite-Hadamard
Bất đẳng thức Hermite-Hadamard
Nhận xét 3.6 Qua các Định lí 2.13, 2.14 và 2.15, nếu ta xét hàm fpxq cho trước là các hàm GG-lồi thì ta được các bất đẳng thức liên quan đến tích phân, hơn nữa các tích phân thể hiện mối quan hệ với trung bình cộng và trung bình nhân của hai số dương Áp dụng nhận xét 2.3.2, cụ thể là với f là hàm GG-lồi trên ra, bs ta có f p ? ab q ď 1 logb´loga ż b a
1 t d f p t q f ˆab t ˙ dt ď b f p a q f p b q , chúng tôi xem xét hai bài toán sau:
Bài toán 3.16 ([3]) Cho hai số dương a, b thỏa a ă b Chứng minh rằng
Chứng minh Xét fpxq “expxlà hàm GG-lồi trên ra, bs, theo nhận xét 2.3.2 ta được expp
Lấy logarithm cơ số e hai vế ta được kết quả bài toán.
Bài toán 3.17 ([3]) Cho hai số dương a, b thỏa a ă b Chứng minh rằng
?ab ď log ô 1 b´a ż b a exp ˆ1 2 ˆ t ` ab t ˙˙ dt ff ď a`b
Chứng minh Xét fpxq “expxlà hàm GG-lồi trên ra, bs, theo nhận xét 2.3.2 ta được expp
Lấy logarithm cơ số e hai vế ta được kết quả bài toán.
Nhận xét 3.7 Bây giờ, chúng tôi tìm hiểu một số biến thể Bất đẳng thức Hermite-Hadamard dựa vào kết quả Định lí 2.14 và 2.15 thể hiện trong hai bài toán sau:
Bài toỏn 3.18 ([4]) Cho hai số dương a, b thỏa a ă b, hàm ω : ra, bs ẹ ro,8q là hàm khả tích thỏa mãn ω ˆab t ˙
“ωptq, @tP ra, bs Chứng minh rằng
Chứng minh Áp dụng Định lí 2.14 cho hàm f là hàm GG-lồi trên ra, bs ta có f ´ ? ab ¯ ďexp ¨ ˚ ˚ ˚ ˝ ż b a ˆ
Thay fpxq “expx ta được expp
Lấy logarithm cơ số e hai vế ta được kết quả bài toán.
Bài toỏn 3.19 Cho hai số dương a, b thỏa a ă b, hàm ω : ra, bs ẹ ro, 8q là hàm khả tích thỏa mãn ω ˆab t ˙
“ωptq, @tP ra, bs Chứng minh rằng
Chứng minh Áp dụng Định lí 2.15 cho hàm f là hàm GG-lồi trên ra, bs ta có f ´ ? ab ¯ ď exp ¨ ˚ ˚ ˚ ˝ ż b a
Thay f p x q “ expx ta được expp
Lấy logarithm cơ số e hai vế ta được kết quả bài toán.
Luận văn đã đạt được một số kết quả quan trọng sau:
• Trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kiến thức cơ sở và tính chất của hàm lồi; Bất đẳng thức Jensen và một số hệ quả; Bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Bất đẳng thức Karamata cho hàm lồi.
• Trình bày một cách chi tiết và chứng minh hệ thống các tính chất của hàm GG-lồi; tính lồi nhân tính của các hàm đặc biệt; tính lồi nhân tính liên quan đến dãy số; các biến thể của Bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Bất đẳng thức Karamata Đồng thời, chúng tôi đã nghiên cứu và tự chứng minh một số định lí liên quan đến hàm GG-lồi.
• Giới thiệu một số ứng dụng của hàm GG-lồi trong chứng minh bất đẳng thức thông qua một số bài toán cụ thể Hơn nữa, chúng tôi tự xây dựng các bài toán liên quan.
[1] H.Alzer, One some inequalities involving pn!q 1 n , Rocky Mountain Journal of Mathematics, 24(3):867-873, 1994.
[2] H.Cohen, Number Theory Volume II, Springer Science, 2007.
[3] S.S.Dragomir, Inequalities of Hermite-Hadamard Type for GG-Convex Functions, Sciendo, 57(2):34-52, 2019.
[4] S.S.Dragomir, Weighted integral inequalities for GG-Convex Functions, Journal of applied mathematics and informatics, 36(3-4):155-171, 2018.
[5] I.S.Gradshtey and I.M.Ryzhik,Table of Integrals, Series and Products, Aca- demic Press, 1996.
[6] K.Guan, Multiplicative convexity and its applications, Journal of Mathe- matical Analysis and Applications, 362, 156-166, 2010.
[7] H.Minc and L.Sathre, Some inequalities involving p r! q 1 r , Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 2(14):41-46, 1964.
[8] C.P.Niculescu, Convexity according to the geometric mean, Mathematical Inepqualities and Applications, 3(2):155-167, 2000.
[9] C.P.Niculescu and L.E.Persson, Convex Functions and Their Applications,2nd edition, Springer, 2018.