bài toán khảo sát sự khả vi của hàm số chứa tham số và lệch bậc ở mẫu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHKHOA TOÁN - TIN HỌC

Mục lục

1 Bài toán mở đầu 2

2 Lời giải 3

3 Bài toán tổng quát 5

4 Cơ sở của lời giải 8

5 Một số bài tập vận dụng 9

Giải tích hàm nhiều biếnNhóm 3

Phần 1 Nội dung chính

1 Bài toán mở đầu

Trong nội dung chương 2 của học phần, chúng ta đã được tiếp cận nhữngbài tập xét sự khả vi của hàm số nhiều biến có chứa tham số tại một điểm.

Trong các bài tập đó, chúng ta cũng đã đưa ra được cách ước lượng bậc mộtcách khá tổng quát để đánh giá xem hàm có khả vi tại một điểm nào đó haykhông (hàm số khả vi nếu bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức nhiều hơnmột đơn vị, ngược lại thì hàm số không khả vi) Tuy nhiên đó là với các hàm phânthức có các đại lượng ở mẫu thức "cùng bậc" với nhau Vậy câu hỏi đặt ra ở đâylà khi mẫu thức không còn "cùng bậc" thì liệu cách ước lượng ấy có còn đúngnữa hay không? Ta xét bài toán cụ thể sau:

Bài toán: Vớia >0, khảo sát sự khả vi của hàm số sau tại(0 0), :

f(x, y) =

(x4+ y2)a nếu(x, y) = (0, 0),0 nếu(x, y) = (0, 0).

Nếu bắt tay vào giải bài toán này theo cách ước lượng thông thường, rõ ràngchúng ta sẽ gặp rắc rối vì không biết được với mẫu thức như vậy thì ta nên ướclượng bậc là2ahay4a Và nếu quay trở về cơ sở của cách ước lượng này, ta thấyviệc chọn bậc mẫu là2avà4ađều sẽ không phù hợp.

Như vậy làm sao để giải được bài toán này?

2 Lời giải

• Xét0 < a <34 :Ta có:

∂f∂x= lim

f(t, 0) − f(0, 0)

t→00 = 0và

∂f∂y = lim

f(0, t) − f(0, 0)

t→00 = 0.Như vậy

∇f(0,0) = (0 0), vàϕ(s, t) = s

2t(s4+t2)√ +

s2 t2.Ta có:

|ϕ(s, t)| = |s

2t|(s4+t2)a√ +

s2 t2= |st|

(s4+ t2 a) ·√ |s|s2+ t2.Mà√ |s|

,∀ (s, t) = (0 0), Suy ra|ϕ(s, t)| f

s4+ t23−avới mọi(s, t) = (0, 0).Mà lim

s4+ t23−a= 0nên suy ra lim

(s,t)→(0,0)ϕ(s, t) = 0.Vậyf khả vi tại(0 0),

• Xét ag34 :Ta vẫn có:

2t(s4+t2)a√ +

s2 t2.Xét hai dãy(un, vn) =

và(xn, yn) = 1

, ta cólim (un, vn) = lim (xn, yn) = (0, 0).Mà

lim (ϕ(un, vn)) = 0và

lim ϕ (xn, yn) = lim

1n2+ 1

a1n+ 1

3

Giải tích hàm nhiều biếnNhóm 3

Ta thấylimn

2a =1

23 nếua=34+∞ nếua >34

và lim11 +1

n= 1.

Như vậy

lim ϕ (xn, yn) =1

23 nếua=34,+∞ nếua >3

4.Dolim ϕ(un, vn) = lim ϕ(xn, yn)nên lim

(s,t)→(0,0)ϕ(s, t)không tồn tại, từ đó suy raf không khả vi tại(0, 0).

Vậyf khả vi tại(0, 0)khi0 < a <3

4vàfkhông khả vi tại(0, 0)khiag34.

3 Bài toán tổng quát

Trong tài liệu này, ta xét dạng tổng quát của bài toán như sau:Bài toán: Vớia >0, khảo sát sự khả vi của hàm số sau tại(0 0), :

f(x, y) =

(xk+ yl a) nếu(x, y) = (0, 0),0 nếu(x, y) = (0, 0),(m, n, l, k ∈N; kvàlchẵn; k > l).

Lời giảiDễ dàng có:

∇f(0,0) = (0 0),và

a0=l(m − 1) + kn

• Xét0 < a < a0:Ta có:

|ϕ(s, t)| = |s

mtn|(sk+ tl)a√

s2+ t2= |sm−1tn

|(sk+ tl)a·√ |s|

s2+ t2.Ta có:

s2+ t2f 1với mọi(s, t) = (0, 0).Đặt

g(s, t) = |sm−1tn|(sk+ tl)a.

5

Giải tích hàm nhiều biếnNhóm 3Ta có:

sk+ tla0kl

sk+ tl

g |s|kl(m−1)|t|kln

sm−1tnkl,với mọi(s, t) = (0, 0).Suy ra

fsk+ tla0

,với mọi(s, t) = (0, 0).Như vậy

g(s, t) f

sk+ tla0−a

,với mọi(s, t) = (0, 0).Ta có

|ϕ(s, t)| = g(s, t) · √|s|s2+ t2f

sk+ tla0−a

, với mọi(s, t) = (0, 0)mà

(s,t)→(0,0)ϕ(s, t) = 0.Vậyf khả vi tại(0 0),

• Xétag a0:Xét hai dãy:(up, vp) =

và(xp, yp) =1

.Ta có:

lim(up, vp) = lim(xp, yp) = (0,0).Mà

lim ϕ(up, vp) = lim 0 = 0

lim ϕ(xp, yp) = lim

m−1 1pn

1pl+ 1

a ·1plk

+ 1p2

= lim12a· pal−l

1 + 1p2(1−l

= lim1

2a· pl(a a−0)

1 + 1p2(1−l

Ta có

limø 11 + 1

= 1

do1 −lk>0

lim pl(a−a0)=

1 nếua= a0,+∞ nếua > a 0

Như vậylim ϕ (xp, yp) =1

2a0 nếua= a0,+∞ nếua > a 0Từ đó suy ra lim

(s,t)→(0,0)ϕ(s, t)không tồn tại, dẫn đếnfkhông khả vi tại(0 0), Vậyf khả vi tại(0, 0)khi0 < a < a0vàf không khả vi tại(0, 0)khiag a0, vớia0=l(m − 1) + kn

7

Giải tích hàm nhiều biếnNhóm 3

4 Cơ sở của lời giải

Nội dung phần này sẽ tập trung vào giải thích ý tưởng và cơ sở của lời giảicho bài toán tổng quát, cũng như bàn một chút về điểm thú vị của nó.

Điểm cốt lõi của lời giải là biến đổi:ϕ(s, t) = s

Tại sao lại biến đổi như vậy? Vì khi biến đổi như vậy, nếu xemsk= ul, ta có:ϕ(s, t) =u

(ul+ tl)a· u

u2lk+ t2.Đặtg(u, t) =u

(ul+ tl)a;h(u, t) = u

u2lk+ t2.

Thứ nhất, ta thấy|h(u, t)| f 1với mọi(u, t) = (0, 0)nên lim

(s,t)→(0,0)ϕ(s, t) = 0khi và chß khi lim

(s,t)→(0,0)g(u, t) = 0, nói cách khác là khi và chß khi bậc tử củaglớn hơn bậc mẫu của g

Thứ hai, xét(up, vp) =1

, ta thấylim h(up, vp) = 1nên khi(s, t)tiếnvề(0 0), ,ϕ(s, t)không hội tụ về0nếulim g(up, vp) = 0nói cách khác là nếu bậctử củagbé hơn hoặc bằng bậc mẫu của g

Như vậy hai trường hợp củaađược xác định rõ ràng dựa trên cơ sở đó.Nhận ra rằng đại lượng√ s

s2+ t2"tốt" trong cả hai trường hợp của bài toánlà điều thú vị "Tốt" là vì trong trường hợp chứng minh hàm khả vi tại(0 0),ta đã có |s|

s2+ t2f 1, còn trong trường hợp chứng minh hàm không khả vi, tacũng cólim h(up; vp) = 1 Điều đó giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn vì ta chßcần thao tác xoay quanhg(u, t)nữa mà thôi.

Dựa trên cơ sở ấy ta hoàn toàn có thể mở rộng dạng tổng quát cho hàm sốnbiến như sau:

Vớia >0, khảo sát sự khả vi của hàm số sau tại0Rn:

f(x1, x , , x2n) =

1 + xβ2

2 + · · · + xβn

a nếu(x1, x2, , xn) = 0Rn,0 nếu(x1, x , , x2n) = 0Rn.

ycos x − y

(x4+ y2)a nếu(x, y) = (0, 0),0 nếu(x, y) = (0, 0).Bài 2 Vớia >0, khảo sát sự khả vi của hàm số sau tại(0 0), :

f(x, y) =

xy− sin xy

(x6+ y2)a nếu(x, y) = (0, 0),0 nếu(x, y) = (0, 0).Bài 3 Vớia >0, khảo sát sự khả vi của hàm số sau tại(0 0), :

f(x, y) =

sin2x(ey 1)−

(x6+ y4)a nếu(x, y) = (0, 0),0 nếu(x, y) = (0, 0).Bài 4 Vớia >0, khảo sát sự khả vi của hàm số sau tại(0 0), :

f(x, y) =

ycos x −(xx4sin xy+ y2)a nếu(x, y) = (0, 0),

Bài 5 Vớia >0, khảo sát sự khả vi của hàm số sau tại(0,0,0):

f(x, y, z) =

(x6+y4+z2)a nếu(x, y, z) = (0, ,0 0),0 nếu(x, y, z) = (0, 0, 0).

9

Giải tích hàm nhiều biếnNhóm 3

Phần 2 Phân công và tß lệ đóng góp

STTMSSVHọ và tênPhân côngTß lệ147.01.101.002Nguyễn Ngọc Hữu ÂnNội dung, Thuyết trình1247.01.101.059Bùi Hoàng Diệu BânBiên soạn tài liệu1347.01.101.076Nguyễn Nhật HàoBiên soạn tài liệu1447.01.101.072Nguyễn Bích Hằng (Nhóm trưởng)Soạn bài trình chiếu1547.01.101.083Nguyễn Thị Thu HươngBiên soạn tài liệu1647.01.101.086Lê Tuấn KhảiNội dung1747.01.101.105Nguyễn Phúc Hoàng NguyênNội dung1847.01.101.136Lê Nguyễn Quỳnh TrangBiên soạn tài liệu1947.01.101.137Tôn Thị Thùy TrangNội dung11047.01.101.055Lâm Tường VySoạn bài trình chiếu1