- Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì AB vuông góc với AC.[r]
(1)KHẢO SÁT HÀM SỐ (LẦN 2) VD (Dự Bị - 2004). Cho hàm số 2 2 1 ( )
m
y=x − m x + C (1)
Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân Giải Ta có : y' 4x3 4m x2 4x x( m2) x2 2 m (*)
x m
= ⎡
= − = − = ⇔⎢ = ⇒ ≠
⎣
- Với điều kiện (*) hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị : ( )0;1 ; ( ;1 4) (; ;1
A B −m −m C m −m4) Do ba điểm cực trị tạo thành tam giác vng cân , đỉnh A
- Do tính chất hàm số trùng phương , tam giác ABC tam giác cân , để thỏa mãn điều kiện tam giác vng , AB vng góc với AC
( ; 4); ( ; 4); (2 ; )
AB m m AC m m BC m
⇔ uuur= − − uuur= − uuur=
Tam giác ABC vuông : BC2 = AB2 +AC2 ⇔4m2 =m2 +m8+(m2+m8)
( )
2 4
2m m 0; m m
⇔ − = ⇒ = ⇔ = ±1 Vậy với m = -1 m = thỏa mãn yêu cầu toán
VD Cho hàm số y = x3 −3x2 +m (1)
Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hoành độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB
2
Giải
Với x0 =1⇒ y0 =m−2 M(1 ; m – 2) Tiếp tuyến M d: y=(3x02 −6x0)(x−x0)+m−2
⇒ d: y = -3x + m + 2.
- d cắt trục Ox A: ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ + ⇒
+ = ⇔ + + −
= ;0
3
2
3
0 xA m xA m A m
- d cắt trục Oy B : yB =m+2⇒ B(0;m+2)
- ( 2)
3
| || | | || | 2
3 ⇔ = ⇔ = ⇔ + + = ⇔ + =
= OA OB OA OB m m m
SOAB
⎢ ⎣ ⎡
− = = ⇔ ⎢
⎣ ⎡
− = +
= + ⇔
5
2
m m m
m
VD (Dự Bị -2007) Cho hàm số 1 ( )
1
x
y C
x x
= = −
+ + Lập phương trình tiếp tuyến d
(C) cho d hai tiệm cận cắt tạo thành tam giác cân
Giải : Gọi d tiếp tuyến (C) điểm M x y( 0; 0), d : ( )2( 0) 0
0
1
;
1
y x x y y
x x
⎛ ⎞
= − + ⎜ = − ⎟
+
+ ⎝ ⎠
- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x = -1 điểm B :
( 00 ) 1;
1
x B
x
⎛ − ⎞
⇒ ⎜⎜− ⎟⎟
+
⎝ ⎠
- Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 điểm A , : ⇒A(2x0+1;1)
(2)⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − + − + = − + − ⇔ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − = + ⇔ = ⇔ 2 1 2 1 1 1 ) 2 ( 0 0 0 0 2 x x x x x x x x x IB IA
2 0 0
0
2
0
0
0 :
2 ( )
2
2 :
2
3
x y pttt y x
x x VN
x y pttt y x x x = → = ⇒ = ⎡ ⎡ + + = ⎢ ⇔⎢ ⇒⎢ = − → = ⇒ = + + =
⎢⎣ ⎢⎣
Bài : Cho hàm số 2(5 8) 1
3
x
y= +mx + m− x+ Xác định tham số m để :
a) Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm ĐS: đt qua cực đại cực tiểu 2( 10 16) 10
3
m m
y m m x 16
3
= − + − − + +
b) Hàm sốđạt cực trị hai điểm có hồnh độ bé ĐS: 4< < ∨ >m m Bài 2: Cho hàm số 3 (6 3) 3
y=x − x + m+ x− m Xác định tham số m để hàm số:
a) Đạt cực trị hai điểm có hồnh độ trái dấu viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số ĐS: y=4mx+ −1 m
b) Đạt cực trị hai điểm có hồnh độ lớn hơn -2 ( HD : đặt t = x + 2) ĐS: ( 9;0
m∈ − )
1
Bài 3: Cho hàm số 3 (1) đường thẳng (d):
y=x − mx + +m x−2y− =1 Xác định tham số m đểđồ thị
hàm số (1) có hai điểm cực trịđối xứng với qua đường thẳng (d) ĐS: m=1 Bài 4: Cho hàm số 2
y=x − mx +m(1) đường thẳng (d): x−2y− =1 Xác định tham số m đểđồ thị hàm
số có ba điểm cực trị cho Ba điểm cực trịđó ba đỉnh tam giác đều ĐS: m= 33 Bài 5: Cho hàm số 2 ( 1) ( 2) 1
y= x + m− x + m+ x+ (1)
a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m=1
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x-3 (ĐS: y = 9x + 5) c) Tìm tất giá trị tham số m đểđồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu có hồnh độ lớn
6 (HD : đặt t = x – 1/6) ĐS: 11
4 3 m
− < < − Bài 6: Cho hàm số
3
2
2( 1) 3( 1)
3
x
y= − + m+ x − m+ x+ (1)
a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m =
b) Tìm giá trị tham số m đểđồ thị hàm số (1) nghịch biến R ĐS: 1
m
− ≤ ≤ −
Bài 7: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) tồn cặp điểm M,N (M khác N) đối xứng với qua gốc tọa độ O ĐS: m< −1
Bài 8: gọi (C) đồ thị hàm số
3
( )
3
x
y= f x = −x + x+
a) Viết phương trình tiếp tuyến (C)tại giao điểm (C) với trục tung Đs: y = 2x+1 b) Viết pttt (C) vng góc với đường thẳng
5
x
y= − + ĐS:
3
y= x+ y = 5x –
(3)tam giác OAB vuông cân (O góc tọa độ) ĐS:
y= +x
Bài 9: Cho hàm số
3 2
4
x
2
y= − +x + x− , gọi đồ thị hàm số (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc lớn nhất ĐS:
2
y= x−
2 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi quađiểm A(2;9) ĐS: y = -8x + 25
c) Gọi M,N hai đểim thuộc (C) có hồnh độ x1,x2(x1≠ x2), tìm hệ thức x1,x2sao cho hai
tiếp tuyến (C) M,N song song với , chứng minh đường thẳngM M1 2đi qua điểm cố
định ĐS: I( ; )1
Bài 10: Cho hàm số ( ) 2
4
x x
y= f x = + + (C)
a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với (D): y = 2x - ĐS:
y= x+
Bài 11: Gọi (C) đồ thị hàm số 2 6 5
y= − x + x −
a) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) điểm A thuộc (C) có hồnh độ x = Tìm giao điểm khác A (d) (C) ĐS: x= ∨ = −3 x
c) Chứng minh có tiếp tuyến (C) qua điểm uốn (C) Bài 12: Gọi (C) đồ thị hàm số 3 2
y=x + x −
a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = 9x-7 ĐS: y = 9x+25 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(-2,7) ĐS: y = 9x+25 Bài 13: Cho hàm số
4 2
x
y= − + x (C)
Viết phương trình tiếp tuyến (C ) vng góc với đường thẳng 15y + x =0 ĐS: 15 183
y= x+
Bài 14: Gọi (C) đồ thị hàm số ( )
x
y f x
x
−
= =
+
a) Gọi M điểm thuộc (C) có hoảng cách đến trục hồnh độ Viết phương trình tiếp tuyến (C ) M ĐS: y = 4x+21
b) Gọi (d) tiếp tuyến (c), (d) cắt đường tiệm cận đứng cảu (C) A, cắt đường tiệm cận ngang cảu (C) B gọi I tâm đối xứng (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết IA = 4IB
ĐS: y = 4x+5 y = 4x+21 Bài 15: Cho hàm số
1
x y
x
+ =
− (1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tiếp xúc với đường tròn ĐS:
2
( ) : (λ x−2) +(y−6) =45 1
2
y= − x+
Bài 16: Cho hàm số ( 2) (3 2) (1), m tham số
y=x − m+ x + m+ x+2
Tìm m để hàm số (1) đồng biền đoạn [3;4] ĐS:17 ≥m Bài 17: Cho hàm số 1( 2) 2
3
x
1
y= − m+ x + mx+ (1), gọi đồ thị hàm số (1) (Cm)
(4)song song với đường thẳng (d) y = 3x+4 ĐS:y = 3x-8,
y= x+
b) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = ĐS: 0; ;62
m∈ ⎨⎧ ⎫⎬
⎩ ⎭
c) Tìm m để (Cm) có hai điểm cực trịđối xứng với qua đường thẳng 9x-6y-7=0 ĐS: m = Bài 18: Cho hàm số 3
3
x
4
y= − −x + x+ (1), a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số (1)
b) Tìm tham số a để phương trình 3 9
x + x − x + =a (2) có hai nghiệm ĐS: a<0 a = ∨
Bài 19: Cho hàm số 2
x y
x
− =
+
a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số Tìm điểm (C) có tọa độ số nguyên ĐS: (-1;5), (0;-2), (-4;2), (3;1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng (d) y=7x+1 Từđó tìm điểm
thuộc (C) mà khoảng càch từđiểm đến (d) nhỏ ĐS: (0;-2) T1
Bài 20: Cho hàm số ( )
x
y f x
x
= =
− , đồ thị (C) Gọi (d) đường thẳng y = kx+3 Tìm k để (d) cắt (C) hai điểm M,N thuộc hai nhánh (C) cho diện tích tam giác HMN với H(0;1) ĐS:
6
k= +
Bài 21: Cho hàm số Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ qua điểm A(2;-1) ĐS: m = -2
3 ( 1) (3 1)
y=x − m− x + m+ x+ −m
Bài 22: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) : 2
x y
x
+ =
− , biết (d) qua điểm A(-6;5) ĐS: y = - x-1,
4
x y= − +
Bài 23: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) : 1
x y
x
+ =
+ , biết (d) cách hai điểm A(2;4) B(-4;-2) ĐS:
4
y= x+5, y = x+5, y = x+1
Bài 24: Cho hàm số C có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) a Tiếp tuyến có hệ số góc -1 Đs: y = -x-1, y = -x+7
b Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = -4x+1 ĐS: y = -4x+2, -4x+14
c Tiếp tuyến tạo với trục tọa độ lập thành tam giác cân ĐS: y = -x-1, y = -x+7
d Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy ĐS: 2,
9
y= − x− y= x+
Bài 25: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị:
x y
x
=
− , biết
a Hệ số góc tiếp tuyến -2 ĐS: y = -2x+8, y = -2x
b Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): x + 2y = ĐS: 27,
2
y x y x
4
= − + = − −
c Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (Δ): 9x-2y+1=0 ĐS: 32,
9 9
y x y x
9
= − + = − +
Bài 26: Lập phương trình tiếp tuyến cảđồ thị (C):
x y
x
+ =
(5)