bai toan khao sat co dap an

- Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì AB vuông góc với AC.[r]

KHẢO SÁT HÀM SỐ (LẦN 2) VD (Dự Bị - 2004). Cho hàm số 2 2 1

( )

m

y=x − m x + C (1)

Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân Giải Ta có : y' 4x3 4m x2 4x x

(

m2

)

x2 2 m (*)

x m

= ⎡

= − = − = ⇔⎢ = ⇒ ≠

⎣

- Với điều kiện (*) hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị :

( )

0;1 ;

(

;1

4

) (

;

;1

A

B

−

m

−

m

C m

−

m

4

)

Do ba điểm cực trị tạo thành tam giác vng cân , đỉnh A

- Do tính chất hàm số trùng phương , tam giác ABC tam giác cân , để thỏa mãn điều kiện tam giác vng , AB vng góc với AC

(

; 4

)

;

(

; 4

)

;

(

2 ;

)

AB m m AC m m BC m

⇔ uuur= − − uuur= − uuur=

Tam giác ABC vuông : BC2 = AB2 +AC2 ⇔4m2 =m2 +m8+

(

m2+m8

)

(

)

2 4

2m m 0; m m

⇔ − = ⇒ = ⇔ = ±1 Vậy với m = -1 m = thỏa mãn yêu cầu toán

VD Cho hàm số

y

=

x

3

−

3

x

2

+

m

(1)

Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hoành độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB

2

Giải

Với x0 =1⇒ y0 =m−2 M(1 ; m – 2) Tiếp tuyến M d: y=(3x02 −6x0)(x−x0)+m−2

⇒ d: y = -3x + m + 2.

- d cắt trục Ox A: ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + ⇒

+ = ⇔ + + −

= ;0

3

2

3

0 xA m xA m A m

- d cắt trục Oy B : yB =m+2⇒ B(0;m+2)

- ( 2)

3

| || | | || | 2

3 ⇔ = ⇔ = ⇔ + + = ⇔ + =

= OA OB OA OB m m m

SOAB

⎢ ⎣ ⎡

− = = ⇔ ⎢

⎣ ⎡

− = +

= + ⇔

5

2

m m m

m

VD (Dự Bị -2007) Cho hàm số 1

( )

1

x

y C

x x

= = −

+ + Lập phương trình tiếp tuyến d

(C) cho d hai tiệm cận cắt tạo thành tam giác cân

Giải : Gọi d tiếp tuyến (C) điểm M x y

(

0; 0

)

, d :

(

)

2

(

0

)

0

0

1

;

1

y x x y y

x x

⎛ ⎞

= − + ⎜ = − ⎟

+

+ ⎝ ⎠

- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x = -1 điểm B :

(

00

)

1;

1

x B

x

⎛ − ⎞

⇒ ⎜⎜− ⎟⎟

+

⎝ ⎠

- Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 điểm A , : ⇒A

(

2x0+1;1

)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − + − + = − + − ⇔ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − = + ⇔ = ⇔ 2 1 2 1 1 1 ) 2 ( 0 0 0 0 2 x x x x x x x x x IB IA

2 0 0

0

2

0

0

0 :

2 ( )

2

2 :

2

3

x y pttt y x

x x VN

x y pttt y x x x = → = ⇒ = ⎡ ⎡ + + = ⎢ ⇔⎢ ⇒⎢ = − → = ⇒ = + + =

⎢⎣ ⎢⎣

Bài : Cho hàm số 2(5 8) 1

3

x

y= +mx + m− x+ Xác định tham số m để :

a) Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm ĐS: đt qua cực đại cực tiểu 2( 10 16) 10

3

m m

y m m x 16

3

= − + − − + +

b) Hàm sốđạt cực trị hai điểm có hồnh độ bé ĐS: 4< < ∨ >m m Bài 2: Cho hàm số 3 (6 3) 3

y=x − x + m+ x− m Xác định tham số m để hàm số:

a) Đạt cực trị hai điểm có hồnh độ trái dấu viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số ĐS: y=4mx+ −1 m

b) Đạt cực trị hai điểm có hồnh độ lớn hơn -2 ( HD : đặt t = x + 2) ĐS: ( 9;0

m∈ − )

1

Bài 3: Cho hàm số 3 (1) đường thẳng (d):

y=x − mx + +m x−2y− =1 Xác định tham số m đểđồ thị

hàm số (1) có hai điểm cực trịđối xứng với qua đường thẳng (d) ĐS: m=1 Bài 4: Cho hàm số 2

y=x − mx +m(1) đường thẳng (d): x−2y− =1 Xác định tham số m đểđồ thị hàm

số có ba điểm cực trị cho Ba điểm cực trịđó ba đỉnh tam giác đều ĐS: m= 33 Bài 5: Cho hàm số 2 ( 1) ( 2) 1

y= x + m− x + m+ x+ (1)

a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m=1

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x-3 (ĐS: y = 9x + 5) c) Tìm tất giá trị tham số m đểđồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu có hồnh độ lớn

6 (HD : đặt t = x – 1/6) ĐS: 11

4 3 m

− < < − Bài 6: Cho hàm số

3

2

2( 1) 3( 1)

3

x

y= − + m+ x − m+ x+ (1)

a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m =

b) Tìm giá trị tham số m đểđồ thị hàm số (1) nghịch biến R ĐS: 1

m

− ≤ ≤ −

Bài 7: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) tồn cặp điểm M,N (M khác N) đối xứng với qua gốc tọa độ O ĐS: m< −1

Bài 8: gọi (C) đồ thị hàm số

3

( )

3

x

y= f x = −x + x+

a) Viết phương trình tiếp tuyến (C)tại giao điểm (C) với trục tung Đs: y = 2x+1 b) Viết pttt (C) vng góc với đường thẳng

5

x

y= − + ĐS:

3

y= x+ y = 5x –

tam giác OAB vuông cân (O góc tọa độ) ĐS:

y= +x

Bài 9: Cho hàm số

3 2

4

x

2

y= − +x + x− , gọi đồ thị hàm số (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc lớn nhất ĐS:

2

y= x−

2 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi quađiểm A(2;9) ĐS: y = -8x + 25

c) Gọi M,N hai đểim thuộc (C) có hồnh độ x1,x2(x1≠ x2), tìm hệ thức x1,x2sao cho hai

tiếp tuyến (C) M,N song song với , chứng minh đường thẳngM M1 2đi qua điểm cố

định ĐS: I( ; )1

Bài 10: Cho hàm số ( ) 2

4

x x

y= f x = + + (C)

a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với (D): y = 2x - ĐS:

y= x+

Bài 11: Gọi (C) đồ thị hàm số 2 6 5

y= − x + x −

a) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) điểm A thuộc (C) có hồnh độ x = Tìm giao điểm khác A (d) (C) ĐS: x= ∨ = −3 x

c) Chứng minh có tiếp tuyến (C) qua điểm uốn (C) Bài 12: Gọi (C) đồ thị hàm số 3 2

y=x + x −

a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = 9x-7 ĐS: y = 9x+25 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(-2,7) ĐS: y = 9x+25 Bài 13: Cho hàm số

4 2

x

y= − + x (C)

Viết phương trình tiếp tuyến (C ) vng góc với đường thẳng 15y + x =0 ĐS: 15 183

y= x+

Bài 14: Gọi (C) đồ thị hàm số ( )

x

y f x

x

−

= =

+

a) Gọi M điểm thuộc (C) có hoảng cách đến trục hồnh độ Viết phương trình tiếp tuyến (C ) M ĐS: y = 4x+21

b) Gọi (d) tiếp tuyến (c), (d) cắt đường tiệm cận đứng cảu (C) A, cắt đường tiệm cận ngang cảu (C) B gọi I tâm đối xứng (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết IA = 4IB

ĐS: y = 4x+5 y = 4x+21 Bài 15: Cho hàm số

1

x y

x

+ =

− (1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tiếp xúc với đường tròn ĐS:

2

( ) : (λ x−2) +(y−6) =45 1

2

y= − x+

Bài 16: Cho hàm số ( 2) (3 2) (1), m tham số

y=x − m+ x + m+ x+2

Tìm m để hàm số (1) đồng biền đoạn [3;4] ĐS:17 ≥m Bài 17: Cho hàm số 1( 2) 2

3

x

1

y= − m+ x + mx+ (1), gọi đồ thị hàm số (1) (Cm)

song song với đường thẳng (d) y = 3x+4 ĐS:y = 3x-8,

y= x+

b) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = ĐS: 0; ;62

m∈ ⎨⎧ ⎫⎬

⎩ ⎭

c) Tìm m để (Cm) có hai điểm cực trịđối xứng với qua đường thẳng 9x-6y-7=0 ĐS: m = Bài 18: Cho hàm số 3

3

x

4

y= − −x + x+ (1), a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số (1)

b) Tìm tham số a để phương trình 3 9

x + x − x + =a (2) có hai nghiệm ĐS: a<0 a = ∨

Bài 19: Cho hàm số 2

x y

x

− =

+

a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số Tìm điểm (C) có tọa độ số nguyên ĐS: (-1;5), (0;-2), (-4;2), (3;1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng (d) y=7x+1 Từđó tìm điểm

thuộc (C) mà khoảng càch từđiểm đến (d) nhỏ ĐS: (0;-2) T1

Bài 20: Cho hàm số ( )

x

y f x

x

= =

− , đồ thị (C) Gọi (d) đường thẳng y = kx+3 Tìm k để (d) cắt (C) hai điểm M,N thuộc hai nhánh (C) cho diện tích tam giác HMN với H(0;1) ĐS:

6

k= +

Bài 21: Cho hàm số Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ qua điểm A(2;-1) ĐS: m = -2

3 ( 1) (3 1)

y=x − m− x + m+ x+ −m

Bài 22: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) : 2

x y

x

+ =

− , biết (d) qua điểm A(-6;5) ĐS: y = - x-1,

4

x y= − +

Bài 23: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) : 1

x y

x

+ =

+ , biết (d) cách hai điểm A(2;4) B(-4;-2) ĐS:

4

y= x+5, y = x+5, y = x+1

Bài 24: Cho hàm số C có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) a Tiếp tuyến có hệ số góc -1 Đs: y = -x-1, y = -x+7

b Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = -4x+1 ĐS: y = -4x+2, -4x+14

c Tiếp tuyến tạo với trục tọa độ lập thành tam giác cân ĐS: y = -x-1, y = -x+7

d Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy ĐS: 2,

9

y= − x− y= x+

Bài 25: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị:

x y

x

=

− , biết

a Hệ số góc tiếp tuyến -2 ĐS: y = -2x+8, y = -2x

b Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): x + 2y = ĐS: 27,

2

y x y x

4

= − + = − −

c Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (Δ): 9x-2y+1=0 ĐS: 32,

9 9

y x y x

9

= − + = − +

Bài 26: Lập phương trình tiếp tuyến cảđồ thị (C):

x y

x

+ =