Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp số của chúng.. Một bài toán có t
Trang 11 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn sáng kiến:
Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học, là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do vậy khi học, các
em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn
Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức trong sách giáo khoa, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp số của chúng Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau để tạo hứng thú cho học sinh Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp
Các dạng toán ở trường trình THCS thật đa dạng và phong phú trong đó dạng toán bất đẳng thức, bài toán tìm GTNN, GTLN là những dạng toán khó và
có rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Ở chương trình THCS (phần nâng cao) học sinh đã làm quen với một số bất đẳng thức: như Côsi, Bunhiacopski,… Nhưng vận dụng bất đẳng thức vào giải toán thì quả là còn quá hạn chế và thường có những sai lầm đáng tiếc
Việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải các bài toán bất đẳng thức và tìm GTNN, GTLN, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập là điều hết sức cần thiết Do vậy tôi đã lựa
chọn sáng kiến “Vận dụng bất đẳng thức Côsi trong bài toán chứng minh bất
đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất".
1.2 Điểm mới của sáng kiến:
Trang 2- Sáng kiến đã chỉ ra các sai lầm cơ bản mà học sinh dễ mắc phải trong việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
- Cung cấp cho học sinh nắm vững về bất đẳng thức Côsi, cách phân tích trong kỹ thuật chọn điểm rơi, kỹ thuật khử mẫu, khử căn, kỹ thuật tách ghép, cộng thêm, chú ý dấu bằng xảy ra
- Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn
đề linh hoạt hơn
- Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8, 9 và ôn tập thi vào lớp 10 THPT
Trang 32 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng của việc học sinh vận dụng bất đẳng thức Côsi trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm GTNN, GTLN:
Qua thực tế một vài năm giảng dạy môn toán tôi thấy học sinh gặp khó khăn trọng dạng toán bất đẳng thức và tìm cự trị Khi ra bài tập chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị Max, Min của một biểu thức qua khảo sát 40 em học sinh lớp 9 khi chưa áp dụng sáng kiến thu được kết quả như sau:
Tổng số học
sinh
Số HS không giải
được
Số HS giải đem ra kết
quả sai
Số HS giải đúng
Phân tích nguyên nhân:
* Học sinh không giải được:
- Học sinh chưa nắm được về các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức phụ thường dùng
- Chưa được trang bị các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
* Học sinh giải đem ra kết quả sai:
- Do mắc một số sai lầm khi vận dụng các tính chất của bất đẳng thức vào giải toán
- Chưa nắm vững các cách áp dụng bất đẳng thức, và điều kiện trong bất đẳng thức
Đề xuất giải pháp:
Khi giải toán bất đẳng thức giáo viên cần cung cấp cho học sinh nắm vững
về bất đẳng thức Côsi, cách phân tích trong kỹ thuật chọn điểm rơi, kỹ thuật khử mẫu, khử căn, tách ghép, cộng thêm, chú ý dấu bằng xảy ra
2.2 Nội dung của sáng kiến:
2.2.1 Các quy tắc cần chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Côsi
a Quy tắc song hành: Hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử
dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giải nhanh hơn
b Quy tắc dấu bằng: Dấu bằng “=” trong BĐT là rất quan trọng Nó giúp
ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT
Trang 4c Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả
một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thường rất hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “=” phải được cùng được thỏa mãn với cùng điều kiện của biến
d Quy tắc biên: Cở sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch
tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên
d Quy tắc đối xứng: Các BĐT thường có tính chất đối xứng vậy thì vai trò
của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biên đó bằng nhau Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể
Chiều của BĐT cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ trung bình cộng (TBC) sang trung bình nhân (TBN) và ngược lại
2.2.2 Bất đẳng thức Côsi
a Bất đẳng thức Côsi với 2 số a, b không âm: Với a0,b ta có:0
2
a b ab
Chứng minh:
Do a0,b nên0 a b, xác định Ta có:
a b2 0 a b 2 ab 0 a b 2 ab
Dấu “=” xảy ra khi a = b
b Bất đẳng thức Côsi mở rộng:
+ Bất đẳng thức Côsi với 3 số a, b, c không âm: Với , ,a b c ta có:0
3 3
a b c abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
+ Bất đẳng thức Côsi với 4 số a, b, c, d không âm: Với , , ,a b c d ta có:0
4 4
a b c d abcd Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = d
Trang 5+ Bất đẳng thức Côsi với n số a1, a2, …, an ¿ 0 Với a1 , a2 , … , an ¿ 0 ta
có:
1 2
a a a a a a n a a a n
Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = … = an
Khi sử dụng BĐT Côsi ta phải chú ý điều kiện để áp dụng bất đẳng thức là các số a, b, c là những số không âm
Một điều rất quan trọng là phải nhấn mạnh cho học sinh là dấu bằng xảy ra khi nào, điều đó rất quan trọng để sử dụng kĩ thuật cân bằng tổng và cân bằng tích sau này Để cho các em học sinh dễ nhớ các thầy cô nhấn mạnh và giới thiệu thế nào là trung bình cộng và trung bình nhân, vì vậy ta thấy các bất đẳng thức Côsi đều có dạng chung là trung bình cộng lớn hơn trung bình nhân
2.2.3 Các kỹ thuật chính
a Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi:
Mục đích chính của lớp bài tập này là giúp học sinh làm quen và có hứng thú đầu tiên khi sử dụng bất đẳng thức côsi.
Bài 1 Chứng minh rằng: ∀a >0 , b>0 :
a
b+
b
a≥2 (1)
Phân tích: Ta đã chứng minh được bài tập này bằng phương pháp biến đổi tương đương, sau đây là một cách làm khác:
Giải: Do a > 0 và b > 0 nên 0, 0
b a vì vậy áp dụng bất đẳng thức Côsi
ta có:
a
b+
b
a≥2√a b
b
a⇔
a
b+
b
a≥2√1⇔
a
b+
b
a≥2
Dấu bằng xảy ra khi
a
b=
b
a⇔a
2
Các bài tập mà các thầy cô giáo cho học sinh vận dụng tương tự có thể là:
Tiếp tục phát triển áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Bài 2: Chứng minh rằng: a b, ta có: 0
1 1 (a b)( ) 4
a b
(2)
Phân tích: Có nhiều cách giải bài tập trên:
Trang 6Cách 1: là nhân ra ở vế trái sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho
a
b a
.
Cách 2: Qui đồng rồi đưa về (a + b) 2 ≥ 4ab, khai căn để trở về bất đẳng thức Côsi
Tuy nhiên các phép biến đổi đó là dài ta có thể làm như sau:
Giải: Vì a > 0, b > 0 nên
1
a>0 ,
1
b>0 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 2
2
a b ab
a b ab
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Các bài tập tương tự có thể dùng để củng cố
1) ∀a ,b , c >0 (a+b+c )(1
a+
1
b+
1
c )≥9 (3)
i) ( a+b)(b+c)(c+a)≥8 abc (4)
iii) (a+b+c )(a2+b2+c2)≥9 abc (6)
iv) (
a
b
c
v)
a3b
c +
a3c
b +
b3c
a +
b3a
c +
c3a
b +
c3b
a ≥6 abc (8) vi) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥6 abc (9)
Lúc này ta nên chú ý cho học sinh là: từ các bất đẳng thức trên bằng các phép biến đổi tương đương ta có thể suy ra một số bất đẳng thức phụ khá hữu ích:
1
a+
1
b≥
4
a+b (2a)
1
ab≥
4 (a+ b)2 (2b)
(a+b
2 )
2
≥ab
(2c)
1
a+b≤
1
4(
1
a+
1
b)
(2d)
Trang 7a+b+c≤
1
9(
1
a+
1
b+
1
c) (3)
Mà nó có thể áp dụng để giải một vài bài tập khó rất đơn giản:
1) Với a + b + c ≥ 1, a, b, c > 0
CMR:
1
a2+2 bc+
1
b2+2 ac+
1
c2+2 ba≥9 (10)
2) Cho x, y, z > 0 với x2+ y2+ z2≤3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
xy zy xz
Giải:
xy zy xz
2 2 2
A
xy yz zx x y z
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
3
2
b Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi:
Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các
quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được
sử dụng để tìm điểm rơi của biến
Bài 1 Cho a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
1
S a
a
Giải
Sai lầm thường gặp của học sinh:
1
S a
a
2
1
a
a =2
Dấu “ = ” xảy ra
1
a a
a = 1 vô lí vì giả thiết là a 2
Cách làm đúng
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử
1
a để sao cho khi áp
dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2 Có các hình thức tách sau:
Cách 1: Cố định
1
a
Trang 8Ta có sơ đồ chọn điểm rơi: a = 2
2
1 1 2
a a
2
= 4
Vậy:
a
S
Dấu “ = ” xảy ra a = 2
Cách 2: Cố định a
Ta có sơ đồ chọn điểm rơi: a = 2
2 2
a a
2
2
= 4
2
2
a
a
S a
Dấu “ = ” xảy ra a = 2
Bình luận:
- Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tắc biên để tìm ra = 4
- Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “=” trong việc áp dụng bất đẳng thức
Côsi cho 2 số 4,
1
a
avà34a đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có điểm rơi
a = 2
Bài 2 Cho a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
1
S a
a
Giải
Sơ đồ chọn điểm rơi: a = 2 2
2
4
a
a
2 1 4
= 8
Sai lầm thường gặp
S a
GTNN của S =
9
4
Nguyên nhân sai lầm:
Trang 9Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 và GTNN của S =
9
4 là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a 2 thì
4
8a 8.2 đánh giá sai.
Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số
Lời giải đúng:
3
ôsi
.
C
S a
Với a = 2 thì Min S =
9 4
Bài 3 Cho
, , 0
3 2
a b c
a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1
S a b c
a b c
Giải
Sai lầm thường gặp:
1 1 1 6 1 1 1 6
Min S = 6
Nguyên nhân sai lầm :
Min S = 6
3
1
2
b
trái với gải thiết
Phân tích và tìm tòi lời giải
Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm
rơi
1 2
a b c
Sơ đồ điểm rơi:
1 2
a b c
1 2
a b c
2
Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau:
Trang 101 2
a b c
2
1 1 1 2
a b c
Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 sau:
3 15
12 3
Với
1 2
a b c
thì Min S =
15 2
Bài 4 Cho
, , 0
3 2
a b c
a b c
Tìm GTNN của
Giải
Sai lầm thường gặp:
MinS = 3 2
Nguyên nhân sai lầm:
MinS = 3 2
3
1
2
b
(trái với giả thiết)
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm
rơi
1 2
a b c
2 2 2
1
1 4
4 4
L
ờ i giải
Trang 112 2 2
8 16 8 16 8 16 8 5 5 5 5
17
.
3 17
17 3
15
.
3
2
Dấu “ = ” xảy ra khi
1 2
a b c
Min S =
3 17
2
Bình luận:
- Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn về mặt toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi cho bất đẳng thức Bunnhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn, đẹp hơn
- Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, chiều của dấu của dấu bất đẳng thức không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà
nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh nằm ở mẫu số hay ở tử số
Bài 5 Cho a, b, c, d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S
Giải:
Sai lầm thường gặp
Trang 12
.
Sai lầm thường gặp
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 8 số:
8 a b c d b c d c d a a b d a b c 8
S
b c d c d a a b d a b c a b c d
Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 8
a b c d
b c d a
c d a b
d a b c
a + b + c + d = 3(a + b + c + d)1 = 3 (vô lí)
Phân tích và tìm tòi lời giải
Để tìm MinS ta cần chú ý S là một biểu thức đối xứng với a, b, c, d > 0 do
đó MinS nếu có thường đạt tại điểm rơi tự do là a = b = c = d > 0 (nói là điểm rơi
tự do vì a, b, c, d không mang một giá trị cụ thể) Vậy ta cho trước a = b = c = d
dự đoán
Min S
Từ đó suy ra các đánh giá của BĐT bộ phận phải
có điều kiện dấu bằng xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d > 0
Ta có sơ đồ điểm rơi : Cho a = b = c = d > 0 ta có:
1
3 3
b c d c d a a b d a b c
b c d c d a a b d a b c
Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có:
8
, , ,
, , ,
8
8
a b c d
a b c d
a b c d b c d c d a a b d a b c
b c d c d a a b d a b c a b c d
Trang 139
b c c d a b a b
a a b b c c d d
12
8
3
b c d c d a a b d a b c
a a a b b b c c c d d d
Với a = b = c = d > 0 thì Min S =
40
3
c Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân(TBN) sang trung bình cộng(TBC): Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu a b , đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh giá từ TBN sang TBC là thay dấu a.b bằng dấu a + b Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số
Bài 1 CMR ab cd a c b d a b c d, , , 0
(1) Giải
(1) ab cd 1
a c b d a c b d
Theo BĐT Côsi ta có:
VT
a c b c a c b d a c b c
Bình luận:
- Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số
ta có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số
- Dấu “ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Côsi thì ta phải đánh giá từ TBN sang
TBC
0
a c
c a c c b c ab
b c
Giải
Ta có (1) tương đương với:
c b c 1
c a c
Theo BĐT Côsi ta có:
Trang 14 1 1 1 1
(đpcm)
Bài 3 CMR 13abc 31a 1b 1c a b c, , 0
(1) Giải
Ta có biến đổi sau, (1) tương đương:
3
3 3
abc
Theo BĐT Côsi ta có:
VT
Dấu “ = ” xảy ra a = b = c > 0
Ta có bài toán tổng quát 1:
CMR:
1 2 n 1 2 1 1 2 2 , 0 1,
a a a bb b a b a b a b a b i n
Bài 4 Chứng minh rằng : 16 (ab a b )2 (a b )4 a b, 0
Giải
Ta có:
16 (ab a b) 4.(4 )(ab a b) 4 ab a b 4 a b (a b)
Bài 5 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
Chứng minh rằng: abc a b b c c a 7298
Giải
Sơ đồ điểm rơi :
Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu “ = ” của BĐT xảy
ra khi
1 3
a b c
Nhưng thực tế ta chỉ cần quan tâm là sau khi sử dụng BĐT Côsi ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu “ = ” là a = b = c Do đó ta có lời giải sau:
ôsi 3 3 1 3 2 3 8
C a b c a b b c c a abc a b b c c a