luận án tiến sĩ một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động

Một cách tiếp cận để tìm nghiệm của bài toán chấp nhận lồi này là kết hợp các phương pháp giải bài toán cân bằng, chẳng hạn như phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov,

TRUGNG DAI HOC THANG LONG

NGUYEN NGOC HAI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG

VÀ BAI TOAN DIEM BAT DONG

LUAN AN TIEN Si TOAN HOC

HA NOI - 2023

TRUGNG DAI HOC THANG LONG

NGUYEN NGOC HAI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG

VÀ BAI TOAN DIEM BAT DONG

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Bui Van Dinh

2 GS TSKH Lé Ding Muu

Phan bién 2:2 0.0.0 000 cee ee ee eee ee

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng trường Đại học Thăng Long:

¬ occ csccveseeveseeese Meee ceeeeeeeee ¬

Luận án được công bố rộng rãi tại:

e Thư viện Quốc gia Việt Nam

e Thu viện trường Đại hoc Thang Long

1.41 Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng 35

1.42 Sự tồn tại nghiệm của bài toAn cin bang 39

2 Anh xạ gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa

21 Mởđầu Q Q Q Q Q Q Q và vva 45

2.2_ Tính chất không giãn suy rộng của ánh xạ gần kề cho ánh

2.3 Ứng dụng vào songhàm 99

Thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân băng và bài toán điểm bất động 65 3.1 Thuật toán khi song hàm ƒ(z, -) lồi theo biến thứ hai 67

3.1.1 Một số kiến thức cơ sở và các giả thết 68

3.1.2 Thuật toán đ.lI và định lý hội tụ 72

3.1.3 Thuật toán 3.2 và định lý hội tụ 78

3.1.4 Thuật toán 3.3 và định lý hội tụ 82

3.2 Thuật toán khi song hàm ƒ(z,-) tựa lồi theo biến thứ hai 88 3.2.1 Một số kiến thức cơ sở và các giả thết 89

3.2.2 Thuật toán 3.4 và định lý hội tụ 91

3.3 Vidutinh toAn .0 00 0.00008 102 3.3.1 Trường hợp song hàm ƒ(z, -) lồi theo biến thứ hai 103 3.3.2 Trường hợp song hàm ƒ(z, -) tựa lỗi theo biến thứ 3.3.3 Trường hợp H là không gian vô hạn chiều 110

Ấp dụng vào mô hình cân bằng cung-cầu Walras trong IR” 115 4.1 Mô hình cân bằng cung-cầu Walras 117

411 Môhình Ặ.Ặ.Ặ Q ẶQẶ Q S 118 4.1.2 Công thức điểm bất động của mô hình 120

4.2 Thuật toán hiệu chỉnh và định lý hộitụ 123

43 Vidutinh toAn .0 0 002.0000 128

4.3.1 Ví dụ và kết quả tính toán khi sử dụng Thuật toán

4.3.2 Ví dụ và kết quả tính toán khi sử dụng Thuật toán

BA Le 131

Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đền

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của các cán bộ trong tập thể hướng dẫn khoa học Các kết quả viết chung với các tác giả khác đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả

khi đưa vào luận án Các kết quả, số liệu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác Các

tài liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ

Tac gia

Bản luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Thăng Long,

dưới sự hướng dẫn của PGS TS Bùi Văn Định và GS TSKH Lê Dũng

Mưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới hai thay

hướng dẫn Các thầy đã luôn dành cho trò sự quan tâm, động viên, giúp

đỡ rất tận tình trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh, cả hai thầy đã

không quản công sức, từng bước dẫn dắt, truyền cho trò niềm đam mê

học tập, nghiên cứu, cùng nhiều kỹ năng, kiến thức quý báu, đồng thời

luôn khích lệ trò từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách trên bước đường học tập, nghiên cứu

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiéu, Phong Sau Dai học và Viện TIMAS của Trường Đại học Thăng Long, cùng với lãnh dao

của Trường Đại học Công đoàn và Bộ môn Khoa học Cơ bản, đã luôn hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình làm nghiên cứu

sinh

Bản luận án này không thể hoàn thành nếu thiếu sự cảm thông, chia

sẻ và giúp đỡ từ gia đình Vì vậy, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

đến cả hai bên gia đình và gửi tặng món quà tinh thần này với tất cả tình cảm, sự yêu thương và trân trọng

Tac gia

Không gian Euclide thực 6+ chiều

Nón orthant không âm Không gian Hilbert thực

Họ các tập con của H Chuẩn của véctơ # véctơ hàng là véctơ chuyển vị của

véctƠ cột x

Ma trận chuyển vị của ma trận

A Ánh xạ đồng nhất Tích DĐề-Các của hai tập hợp A4

và B

Giá trị cực tiểu của ƒ trên tap C

Tập các điểm cực tiểu của hàm

f trén C

lim = lim sup

lim = lim inf

Trên đồ thị của hàm số ƒ Dao ham (gradient) cia ham y

Dãy + hội tụ yếu tới z

Giới hạn trên Giới hạn dưới

Khoảng cách từ z đến tập C

Hình chiều của z lén tap C

Non phap tuyén ngoai cla C tại

x Bài toán cân bằng được xác định bởi tập Œ và song hàm ƒ

Bài toán chấp nhận lồi, tìm +* € C=C;

Bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) được xác định bởi

tập Œ và ánh xạ `

EP(C, f)

Tập nghiệm của bài toán MEP(C, f)

Bài toán tìm nghiệm chung của

bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động

Bài toán tìm nghiệm của bài

toán cân bằng trên tập điểm bất

động

Bài toán bù được xác định bởi

tập © và ánh xạ F Tập các điểm bất động của ánh

xạ

Tập nghiệm chung của bài toán

cân bằng và bài toán điểm bất

động

1 Tính cấp thiết của đề tài

Bài toán chấp nhận lồi có một vai trò rất quan trọng của toán học, đặc biệt là Toán ứng dụng Bài toán này đã được nghiên cứu từ những năm

30 của thế kỷ trước bởi các nhà toán hoc nổi tiếng nhu J von Neumann,

S Kaczmark v.v (xem [12, 47, 66]) Bài toán chấp nhận lỗi (Convex

feasibility problem) là bài toán tìm một điểm trong giao của một số hữu hạn, hoặc vô hạn các tập lồi đóng trong một không gian nào đó Về mặt toán học, bài toán này được phát biểu như sau:

trong đó C; là các tập lồi đóng Một ví dụ điển hình của bài toán này là

tìm nghiệm của một hệ phương trình, hoặc bất phương trình tuyến tính

Trong vài thập kỷ qua, bài toán chấp nhận lồi được nhiều người nghiên cứu khi các tập lồi thành phần được cho dưới dạng an như là tập nghiệm

của các bài toán khác, ví dụ như bài toán tối ưu, bất đắng thức biến phân, điểm bất động, hay tổng quát hơn là bài toán cân bằng được định

nghĩa bởi bất đẳng thức Nikaido-Isoda-Ky Fan Các công trình nghiên cứu về vấn đề này đáng chú ý là |8, 17, 18, 39, 42, 78, 80, 81, 84]

Sau đây, chúng tôi giới thiệu hai bài toán quan trọng sẽ được đề cập trong bản luận án này đó là bài toán điểm bất động (ñxed point

toán học, do phạm vi ứng dụng hết sức rộng rãi của nó Các định lý điểm

bất động Brouwer, phát triển lên ánh xạ đa trị bởi Kakutani nói về sự

tồn tại điểm bất động đã có từ những năm đầu của thế kỷ 20, tuy nhiên

cho đến nay thuật toán hữu hiệu để tìm điểm bất động này vẫn chưa có

Để thu được các thuật toán hiệu quả tìm điểm bất động của một toán

tử, ngoài tính chất liên tục như trong các định lý Brouwer và Kakutani

người ta thường phải giả thiết về tính liên tục Lipschitz cho ánh xạ, trong

đó nguyên lý ánh xạ co Banach là một kết quả cơ bản cho phép xây dựng các thuật toán lặp hiệu quả cho lớp bài toán điểm bất động của ánh xạ

co Tính chất co này sau đó được giảm nhẹ bằng các tính chất giả co,

không giãn, tiệm cận không giãn, tựa không giãn v.v (xem [9] và các tài liệu được trích dẫn trong đô)

Một lớp bài toán khác được đề cập trong luận án này là bài toán cân

bằng Thuật ngữ cân bằng được sử dụng lần đầu tiên trong bài bao [62]

của L D Muu và W Oettli vào năm 1992 và hiện nay được sử dụng rộng

rãi Trong bản luận án này, bài toán cân bằng được định nghĩa như sau:

ìm z” CC: ƒ(z”,) > 0 Vụ € C EP(C, f)

O dé C la mot tập lồi đóng khác rỗng trong một không gian Hilbert

thực H và ƒ : Œ x Œ — I Thông thường người ta giả thiết ƒ(z,#) > 0

với mọi z € Œ, điều kiện này được gọi là điều kiện cân bằng, xuất phát

từ các bài toán trong lý thuyết trò chơi Bất đẳng thức trong bài toán EP(C, f) được dùng lần đầu tiên năm 1955 bởi H Nikaido và K Isoda [67] trong một mô hình của bài toán trò chơi lồi Năm 1972, K Fan goi

EP(C, ƒ) là bất đẳng thức minimax và thiết lập một định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán EP(Œ, ƒ) trong không gian Ởclít hữu hạn chiều

Mặc dù có dạng rất đơn giản, nhưng bai toán cân bằng EP(Œ, ƒ) bao

hàm nhiều lớp bài toán quan trọng Trong |62] các tác giả đã chỉ ra rằng

các bài toán tối ưu, bất đắng thức biến phân, điểm bất động Kakutani là những trường hợp riêng của bài toán EP(C,f) và đã đề xuất một thuật

toán hàm phạt Lagrange giải bài toán này Năm 1994, E Blum và W

Oettli đã chứng minh được bài toán EP(C, f) còn bao hàm các bài toán

điểm yên ngựa và mô hình cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

(xem [19]), đồng thời thiết lập một số điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán này dưới những giả thiết về tính đơn điệu của song hàm ƒ Một số trường hợp riêng quan trọng khác như bài toán tối ưu ngược, tối ưu véctd

v.v có thể tham khảo trong các sách chuyên khao [14, 48)

Bài toán cân bằng đã thu hút sự nghiên cứu của nhiều nhà khoa học

trong và ngoài nước, về cả mặt định tính, định lượng và ứng dụng Đối

với khía cạnh định tính, nhiều kết quả quan trọng đã đạt được về sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định, cận sai số v.v (xem [14, 33, 48, 63]) Về mặt định lượng và ứng dụng, nhiều phương pháp giải theo một số tiếp cận khác nhau đã được đề xuất và áp dụng vào các mô hình cân bằng trong kinh tế, kỹ thuật (xem, chẳng hạn [8, 15, 27, 30, 39,

của bài toán này là lồi Cần nói thêm rằng về lý thuyết, bài toán cân

bằng với những giả thiết nhất định có thể quy về bài toán điểm bất động

giả thiết về một tính chất đơn điệu và một tính chất lồi nào đó cho song hàm, trong khi với bài toán điểm bất động, người ta phải dùng đến một tính chất co, hoặc không giãn suy rộng nào đó Về quan hệ giữa các tính

chất của song hàm cân bằng và tính chất co, không giãn, c-không giãn của ánh xạ gần kề xây dựng từ bài toán cân bằng có thể xem [CTI]

Một cách tiếp cận để tìm nghiệm của bài toán chấp nhận lồi này là

kết hợp các phương pháp giải bài toán cân bằng, chẳng hạn như phương

pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp đạo

ham tăng cường, phương pháp chiếu đạo hàm v.v với các phép lặp giải

bài toán tìm điểm bất động, ví dụ như các phương pháp lặp Mann [27], phương pháp lặp Harpen [13], phương pháp lặp Ishikawa |44| v.v Các

nhà nghiên cứu đã xây dựng được một số thuật toán lặp hội tụ yếu hoặc

mạnh để tìm nghiệm cho bài toán này trong trường hợp song hàm ƒ thỏa mãn điều kiện đơn điệu hoặc đơn điệu suy rộng kết hợp với tính chất không giãn hoặc không giãn suy rộng của ánh xạ điểm bất động, xem

chẳng hạn |8, 41, 57, 59, 83, 89] và các tài liệu tham khảo trong các công

trình này

Nhằm nâng cao tính hiệu quả của các phương pháp giải đã có và mở

rộng phạm vi ứng dụng, người ta đang quan tâm đến vấn đề cải tiến các

phương pháp giải đã có và xây dựng các thuật toán mới bằng cách giảm nhẹ các điều kiện đặt lên bài toán cân bằng hoặc/và bài toán điểm bất động Trong luận ấn này chúng tôi nghiên cứu một số thuật toán mới giải bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất

động, đồng thời áp dụng vào một mô hình cân bằng cung-cầu Walras với

cung, cầu được cho dưới dạng ấn như là nghiệm của các bài toán tối ưu

2 Muc tiéu va nhiém vu nghién ctfu cua dé tal

Mục tiêu và nhiêm vụ chính của luận án là tập trung nghiên cứu các

vấn đề sau:

i)

ii)

iii)

Nghiên cứu các tính chất đơn điệu của ánh xạ gần kề cho bài toán

bat dang thức biến phân đa trị (một trường hợp riêng quan trong của bài toán cân bằng) và mở rộng ra một số lớp bài toán cân bằng

có tính đơn điệu;

Xây dựng một số thuật toán mới để tìm nghiệm chung của bài toán

cân bằng và bài toán điểm bất động, khi song hàm cân bằng là lồi

hoặc tựa lồi theo biến thứ hai, đồng thời chỉ có tính chất đơn điệu

suy rộng, thậm chí không đơn điệu, còn ánh xạ cần tìm điểm bất

động là ánh xạ lai ghép (hybrid) đối xứng tổng quát, tựa không giãn, hoặc tiệm cận không giãn;

Nghiên cứu một mô hình cân bằng cung-cầu Walras với cung, cầu

được cho ấn như là nghiệm của các bài toán tối ưu lồi và đưa ra

thuật toán để giải mô hình Mô hình này có thể coi như bài toán

chấp nhận lồi (CF 'P) với mm = 1, có đặc điểm bài toán cân bằng ở

đây là một bài toán bù, nhưng ánh xạ giá lại được cho dưới dạng

ấn thông qua các nghiệm tối ưu của hai bài toán quy hoạch lồi

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên

cứu

Với các mục đích đặt ra như trên, luận án có đôi tượng nghiên cứu và

phạm vi nghiên cứu như sau:

a Déi tudng nghién cttu

Xây dựng các thuật toán tìm nghiệm chung của các bài toán điểm

bất động và bài toán cân bằng với kỹ thuật kết hợp giữa thuật toán

lặp Ishikawa với các thuật toán điểm gần kề, thuật toán đạo hàm tăng cường (extragradient) không sử dụng hoặc có sử dụng kỹ thuật

tìm kiếm theo tia hay thuật toán chiếu trong trường hợp: ánh xạ của bài toán điểm bất động là ánh xạ lai ghép đối xứng tổng quát, còn song hàm cân bằng là lồi theo biến thứ hai Hoặc ánh xạ của

bài toán điểm bất động là ánh xạ tiệm cận không giãn, còn song

hàm của bài toán cân bằng là tựa lồi theo biến thứ hai;

Xây dựng mô hình cân bằng cung cầu Walras với cung và cầu được

cho dưới dạng an như là các tập nghiệm của các bài toán quy hoạch

toán học, đồng thời đề xuất thuật toán tìm điểm cân bằng của mô

hình.

4 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Cơ sở lý luận mà chúng tôi dựa vào trong luận án này là các kiến thức cơ bản của Giải tích hàm, chủ yêu là không gian Hilbert thực, của Giải tích lồi, Lý thuyết tối ưu, Phương pháp điểm bất động, Bài toán bất

đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng Đặc biệt chúng tôi dựa vào ý tưởng cơ bản trong các thuật toán chiếu giải bài toán chấp nhận lồi của cdc tac gia J von Neumann [66] va S Kaczmarz [47] Trong các bài báo

này, các tác giả xét bài toán chấp nhận lồi là tìm một điểm z* € CN D, trong đó Œ, D là các tập lồi đóng trong không gian Hilbert thực HL Ý tưởng chính của hai thuật toán cơ bản này như sau:

Phương pháp chiếu tuần tự [20]: Xuất phát tt z+ bat ky trong khong

gian Hilbert thực H Dãy {z”} và {w”} được xây dựng như sau:

y” = Po(x"), 2" = Pp(W"),n = 1,9, 3,

Khi đó các tác giả đã chứng mình được dãy {z”} và {y"} hoi tu yéu dén

diém z* € CN D

Phuong pháp chiếu song song [11]: Xuất phát từ z! bất kỳ trong khong

gian Hilbert thực II, cho dãy À„ € (0,1) Dãy {z"”} được xây dựng như

sau:

at! — A„Po(zP) + (1 — An)Pp(2")

Khi đó các tác giả đã chứng minh được dãy {z*} hội tụ yếu đến điểm

z*cŒnD

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu bài toán chấp nhận lồi, với C

là tập nghiệm của bài toán cân bằng, còn D là tập nghiệm của bài toán

điểm bất động của một ánh xạ

Bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho Œ là một tập lồi đóng khác rỗng

của không gian Hilbert H, f : C x € -> R là một song hàm sao cho ƒ(œ, z) =0, với mọi z € Œ và ánh xạ 7': € OC

Tìm điểm #* € Ở sao cho ƒ(z*,) > 0,Vụ € Œ và Tz* = x* (FEP)

e Khi 7' là ánh xạ đồng nhất thì bài toán trên trở thành bài toán cân

bằng Ký hiệu bài toán cân bằng này là EP(Œ, ƒ), tập nghiệm của bài toán này là Sol(C, f)

e Khi ƒ(z, ) = 0 với mọi z, thì bài toán trên trở thành bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ T', ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ 7' là

Fix(T); có nghia la, Fix(T) = {1 € C: Tx = g}

Để đưa ra thuật toán giải bài toán tìm nghiệm chung của bài toán

cân bằng và bài toán điểm bất động (FEP), chúng ta phối hợp một thuật toán tìm điểm bất động của ánh xạ với một thuật toán tìm nghiệm của

bài toán cân bằng Một thuật toán tìm nghiệm của bài toán điểm bất

động của ánh xạ 7', được nhiều tác giả sử dụng, là thuật toán lặp Manmn

(xem [57]) Dãy {z} được xác định như sau

PEC,

at) = aga’ + (1 — a,)To*,

với một số điều kiện nhất định về {a;}, day x* sinh ra từ thuật toán hội

tụ yếu đến một điểm bất động của 7

Trong khi đó các thuật toán giải bài toán cân bằng có tính đơn điệu nào đó, người ta thường sử dụng thuật toán điểm gần kề:

ri EC,

tìm z#†! € C sao cho f(x**1, y) + ay —gktl gktl _ ok) > 0, Vy EC,

(1)

ở đó dãy {rz} C (0,-+00) vA lim infy_ rg > 0 Khi d6 day {z#} sinh bởi

(1) hội tụ yếu tới nghiệm của bài toán cian bang EP(C, f) (xem [61]})

Để tìm điểm chung của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T

và tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(Œ, ƒ), A Tada và W Takahashi

(xem |80]) đã kết hợp thuật toán lặp Mann và thuật toán điểm gần kề

Cụ thể là day {x*}, {u*} được xây dựng như sau:

,

PEC,

ot u® €C sao cho f(u*,y) + 4+(y — u*,u* — x*) > 0, Vy € C, Tk (2)

okt) — agak + (1 — œg)TuẺ

À

Dãy {z?} được xác định bởi (2) hội tụ yếu tới điểm p € Sol(Œ, ƒ)Fix(T) nếu œy € [ø,b| C (0, 1) và r„ > r > 0, Vk (xem [80, Định lý 4.1])

Một thuật toán cơ bản khác để tìm điểm bất động của ánh xạ 7' là

thuật toán lặp Ishikawa (xem |44]), được xây dựng như sau

Trong tài liệu |44| đã chứng minh rằng nếu 7' là ánh xa gia co Lipschitz

và 0 < œy, y < 1 với mọi &, lim; ›eœ y = 1, È}„_¡(1—œ)(1— Øy) = +00, thì {z*} được sinh bởi (3) hội tụ yếu tới điểm bất động của ánh xạ 7 Dựa vào các bài báo nói ở trên và các công trình gần đây [29, 60, 87],

trong luận án, chúng tôi kết hợp thuật toán Ishikawa, với các thuật toán

tìm nghiệm của bài toán cân bằng, để tìm điểm chung của tập điểm bất

động của một ánh xạ lai ghép (hybrid) đối xứng tổng quát và tập nghiệm

của bài toán cân bằng trong không gian Hilbert thực khi song hàm là đơn điệu hoặc giả đơn điệu và lồi theo biến thứ hai

Mặt khác, trong những năm gần đây, có nhiều thuật toán đã được phát triển để giải bài toán cân bằng EP(Œ, ƒ) với giả thiết song hàm cân

bằng là lồi và khả dưới vi phân theo biến thứ hai khi cỗ định biến thứ

nhất (xem [16, 29, 30, 46, 52, 61, 64]) Hau hết các thuật toán dựa trên nguyên lý bài toán phụ (AEP) được phát biểu sau đây, khi ƒ(z, -) là lồi, khả dưới vi phân trên Œ thì tập nghiệm của bài cân bằng EP(Œ, ƒ) trùng

với tập nghiệm của bài toán (AEP) sau

1

Tìm a” €C foley) = fla",y) + 5-lly—2"I? 2 0¥y eC (AEP)

véi p > 0 Su thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (AEP) là song hàm ƒ,

là lồi mạnh theo biến thứ hai Do đó có thể áp dụng nhiều kỹ thuật của

quy hoạch lồi để tìm nghiệm duy nhất của bài toán (AEP) Trong trường

hợp ƒ(z,-) chỉ là tựa lồi mà không phải lồi thì nguyên lý bài toán phụ không áp dụng được vì với z € C, ham ƒ„(z,-) có thể không lồi mạnh, thậm chí không tựa lồi Gần đây một thuật toán chiếu trong tai liéu [89]

được đề xuất đề giải bài toán cân bằng EP(Œ, ƒ) với ƒ(z, -) là tựa lồi và tiền (para) đơn điệu trên Œ Trong luận án này chúng tôi mở rộng kết

quả trong [89] bang cách phối thuật toán chiếu hợp với thuật toán lặp Ishikawa, để tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng EP(Œ, ƒ) với song hàm tựa lồi theo biến thứ hai và bài toán điểm bất động của ánh xạ tiệm cận không giãn

Vấn đề tiếp theo trong luận án, chúng tôi nghiên cứu đó là mô hình cân bằng cung cầu Walras với cung và cầu ấn Mô hình cân bằng giá Walras được nghiên cứu bởi H Walras (xem |85]) là một mô hình cơ bản trong kinh tế, đã nhận được nhiều sự quan tâm (xem [74|) Trong mô hình này có hai đối tượng đó là người sản xuất và người tiêu dùng xử lý

n-hàng hóa (z\, , z„) € IR“ Đối với mỗi giá p lượng cung của người sản xuất được cho bởi tập S(p) C X C R}, trong khi lượng cầu của người tiêu thụ la tap D(p) C X C RY Bài toán đặt ra là tìm gid p* € RY va q—` € F(p*) := S(p*) — D(p*) sao cho g* € RY va (q*, p*) = 0 Vécto p*

được gọi là giá cân bằng Bài toán tìm một giá cân bằng có thể mô tả dưới dạng bài toán bù như sau:

Tìm p” € RẺ : dạ” € F(p*), (¢",p") = 0 CP(R%, F)

Một hướng nghiên cứu cho mô hình này là thiết lập các điều kiện để

cho mô hình có nghiệm và phát triển các phương pháp giải cho bài toán

này Trong trường hợp cả toán tử Š, D đều là đơn trị và tuyến tính, bài

toán (CP) trở thành bài toán bù tuyến tính, có thể giải rất hiệu quả khi

ma trận xác định toán tử F' có tính chất nào đó ( xem trong [53], chương 7,9)

Một khái niệm tổng quát hơn cho giá cân bằng của mô hình cung-cầu

Walras được định nghĩa như là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phan da tri sau day

im p* € 2: 4q* € F(p*), (¢*,p—p) >OVp EQ MVI(Q, F)

Ở đây © là một nón lồi đóng, trường hop riéng Q = JR? hoặc là một

đơn hình Chú ý rằng bài toán bất đẳng thức biến phân MVI(O, F) sẽ trở thành một bài toán bù CP(O, #') khi © là một nón lồi đóng

Trong kinh tế, lượng cung Š(p) và lượng cầu ?2(p) thường được cho

bởi tập nghiệm tối ưu của các bài toán quy hoạch lỗi nào đó phụ thuộc tham số p, mà ở đó các hàm mục tiêu được xác định như là các hàm phụ

thuộc vào lợi nhuận của người sản xuất, lợi ích của người tiêu dùng Theo

cách tiếp cận này, chúng tôi đã nghiên cứu các ánh xạ lượng cung và lượng cầu được cho ở dạng ấn, như là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi

tham số hóa Dưới một số điều kiện khá nhẹ, chúng tôi chỉ ra rằng ánh xạ

liên quan có tính chất đơn điệu mạnh ngược, từ đấy cho phép ta áp dụng phương pháp giải bài toán bất đắng thức biến phân và phương pháp tìm điểm bất động để tìm giá cân bằng Để khắc phục tính đặt không chỉnh

của mô hình nảy sinh do sự không duy nhất của các giá cân bằng, chúng tôi đề xuất một thuật toán tìm giá cân bằng mà nó gần nhất với giá p° nào đó Có thể hiểu p0 là giá hiện tại, khi đó giá cân bằng tìm được gần

với giá hiện tại nhất, điều đó làm cho thị trường dễ điều chỉnh hơn cho

cả người sản xuất và người tiêu dùng Ta cũng có thể hiểu ø° là giá suy đoán trước bởi các nhà chuyên môn, hoặc giá mong muốn hay dự đoán

nào đó Trong chương 4 chúng tôi chỉ ra với một điều kiện cụ thể thì bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động tương đương với bài toán tìm nghiệm tối ưu trên tập điểm bất động theo

nghĩa chúng cùng tập nghiệm

Để làm sáng tỏ thêm mối quan hệ giữa bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động, chúng tôi đã mở rộng khái niệm ánh xạ gần kề của hàm

lồi cho ánh xạ đa trị và nghiên cứu một số tính chất về điểm bất động

của khái niệm đó, đồng thời áp dụng vào bài toán cân bằng và bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

5 Phương pháp nghiên cứu

Xuất phát từ mục đích nghiên cứu của đề tài, các phương pháp nghiên

cứu được đặt ra như sau:

e Dùng Lý thuyết giải tích lồi, giải tích phi tuyến và các phương pháp của Lý thuyết tối ưu để khảo sát các tính chất, cũng như phương

pháp giải bài toán cân bằng

e Dùng Lý thuyết điểm bất động để khảo sát các tính chất của tập

các điểm bất động, cũng như các phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ

e Dựa trên các phương pháp chung giải bài toán cân bằng và phương pháp giải bài toán điểm bất động, để xây dựng các thuật toán tìm

tA ` Z ^ > ` `" Z 72 A ^

nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán diém bat dong

e Tìm hiểu các mô hình kinh tế, đặc biệt là mô hình cân bằng cung-

cầu Walras để áp dụng các kết quả thu được

e Sử dụng các công cụ của tin học, kỹ thuật lập trình trong việc nghiên cứu và thử nghiệm, xem xét tính khả thi và hiệu quả của

Mở rộng khái niệm ánh xạ gần kề của một hàm lỗi cho ánh xạ đa

trị, và nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ gần kề này Chúng

tôi chỉ ra rằng ánh xạ gần kề cho ánh xạ đa trị được xây dựng có

tính chất co (tương ứng là không giãn, không giãn xấp xỉ) khi mà

ánh xạ đa trị liên quan là đơn điệu mạnh (tương ứng là đơn điệu mạnh ngược, đơn điệu) Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị và bài toán cân bằng Chỉ ra mối quan hệ giữa hai lớp

ánh xạ giả co chặt và lớp ánh xạ tiệm cận không giãn với lớp ánh

xạ ckhông giãn

Xây dựng 3 thuật toán mới, là sự kết hợp giữa phương pháp lặp Ishikawa với phương pháp điểm gần kề, phương pháp đạo hàm tăng

cường, có dùng hoặc không dùng tìm kiếm theo tia, để tìm nghiệm

chung của bài toán điểm bất động của ánh xạ lai ghép đối xứng

tổng quát và bài toán cân bằng với song hàm ƒ lồi theo biến thứ

hai Thử nghiệm cho thấy thuật toán chạy nhanh hơn thuật toán

có trong tài liệu [29] của các tac gid B V Dinh va D S Kim

1i) Xây dựng một thuật toán mới để tìm nghiệm chung của bài toán

cân bằng với song hàm ƒ tựa lồi theo biến thứ hai, và bài toán điểm

bất động của ánh xạ tiệm cận không giãn, bằng cách kết hợp thuật toán chiếu với thuật toán lặp Ishikawa Kết quả này mở rộng kết quả trước đó trong tài liệu |89| của các tác giả L.H Yen và L.D Muu, trong công trình này các tác giả đã sử dụng thuật toán chiều kết hợp với thuật toán lặp Mann để tìm nghiệm chung cho bài toán

cân bằng khi song hàm tựa lồi theo biến thứ hai và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

iv) Khảo sát một biến thể của mô hình cung-cầu Walras, trong đó cung

và cầu được cho một cách ấn dưới dạng tập nghiệm tối ưu của các bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc vào giá Qua đó cho phép

ấp dụng một thuật toán chiếu lặp là một thuật toán thích hợp cho

việc giải mô hình này Hơn nữa đã dùng tiếp cận tối ưu hai cấp để

xử lý tính đặt không chỉnh Trên cơ sở đó đề xuất một thuật toán lặp giải bài toán hai cấp xây dựng từ mô hình

Các kết quả chính của luận án được công bố trong 02 bài báo đã xuất

bản trên các tạp chí có uy tín ISI, SCOPUS và 02 bài báo đã được gửi

đăng, đồng thời các kết quả này cũng được báo cáo tại:

1) Hội thảo Những hướng mới trong tối ưu tính toán và ứng dụng, tại Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán VIASM (Hà Nội, 26 - 27/12/2021)

2) Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 20 (Ba Vì, 21-

23/4/2022)

3) Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 21 (Ba Vì, 20-

24/4/2023).

4) Xêmina Toán của trường Đại học Thăng long

5) Xêmina Toán của Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Học

viện Kỹ thuật Quân sự

7 Kết câu của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình khoa học của

tác giả liên quan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án

gồm 4 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong Chương 1 chúng tôi nhắc lại một số kết quả quan trọng để sử

dụng trong các chương tiếp theo Chương này được chia thành bốn phần

Phần đầu tiên trình bày một số khái niệm và kết quả của giải tích lồi trong không gian Hilbert thực Phần thứ hai giới thiệu bài toán chấp nhận lồi và hai thuật toán chiếu lặp cơ bản để giải bài toán này Phần thứ ba trình bày bài toán điểm bất động và giới thiệu một số phương

pháp lặp cơ bản tìm điểm bất động Phần cuối giới thiệu tóm tắt về bài

toán cân bằng, cùng một vài tiếp cận cơ bản giải bài toán này

Chương 2 Ánh xạ gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

Trong Chương 2, chúng tôi mở rộng khái niệm ánh xạ gần kề của một

hàm lồi cho ánh xạ đa trị và nghiên cứu một số tính chất co và không giãn suy rộng của ánh xạ này Chúng tôi chỉ ra rằng ánh xạ gần kề mở rộng

có các tính chất co (tương ứng là không giãn, không giãn xấp xỉ) khi mà

ánh xạ liên quan là đơn điệu mạnh (tương ứng là đơn điệu mạnh ngược,

đơn điệu) Xem xét việc áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân

đa trị và bài toán cân bằng Nội dung chương được chia thành 3 phần:

Phần 2.1 Mở đầu, chúng tôi giới thiệu chung và đưa ra khái niệm ánh xạ

gần kề cho ánh xạ đa trị, đồng thời chúng tôi trình bày một số kiến thức

liên quan làm cơ sở cho các chứng minh ở phần sau Ở phần 2.2, chúng

tôi chỉ ra các tính chất không giãn mở rộng của ánh xạ gần kề được định nghĩa ở phần 2.1, cụ thể, chúng tôi chỉ ra rằng ánh xạ gần kề cho ánh xạ

đa trị được xây dựng có các tính chất co (tương ứng là không giãn, không

giãn xấp xỉ) khi mà ánh xạ đa trị liên quan là đơn điệu mạnh (tương ứng

là đơn điệu mạnh ngược, đơn điệu) Cuối cùng, phần 2.3, chúng tôi ứng

dụng khái niệm ánh xạ gần kề vào song hàm, đồng thời chỉ ra mối quan

hệ giữa hai lớp ánh xạ giả co chặt và lớp ánh xạ tiệm cận không giãn với

lớp ánh xạ c-không giãn Nội dung của Chương 2 được viết dựa trên bài báo |C T1] đã được đăng trén tap chi Optimization Letters

Chương 3 Thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân

bằng và bài toán điểm bất động

Trong Chương 3 chúng tôi trình bày bốn thuật toán để tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động (FEP) Chương

được chia thành ba phần, trong phần đầu chúng tôi trình bày ba thuật

toán khi song hàm ƒ(z, -) lồi theo biến thứ hai và 7' là ánh xạ lai ghép đối xứng tổng quát Trong phần thứ hai, chúng tôi đưa ra một thuật toán

khi song hàm ƒ(z, -) tựa lồi theo biến thứ hai, và 7' là ánh xạ tiệm cận không giãn Phần cuối cùng chúng tôi trình bày ví dụ tính toán để áp

dụng các thuật toán 3.2, 3.3, 4.1 và trình bày kết quả tính toán Nội dung

của Chương 3 được viết dựa trên bài báo [CT2] được đăng trên tạp chí

Numerical Algebra, Control and Ôptimization và bài báo |CT3] đã được

đăng trên tạp chí Math ematical Methods of Operations Research

Chương 4 Áp dụng vào mô hình cân bằng cung-cầu Walras trong IR”

Trong Chương 4, nghiên cứu mô hình cân bằng cung-cầu Walras, trong

đó cung và cầu được xác định ấn dưới dạng tập nghiệm của các bài toán

quy hoạch lỗi phụ thuộc vào giá Chúng tôi trình bày mô hình dưới dạng

bài toán bù đơn điệu và xác định các điều kiện để toán tử giá của bài

toán bù này có tính chất đơn điệu Tính chất này cho phép giải mô hình bằng cách sử dụng lược đồ tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn

Phần cuối của chương là một thuật toán tối ưu hai cấp để giải quyết tính

đặt không chỉnh của mô hình cung-cầu Walras đã xét ở phần trên Một

số kết quả tính toán cho việc giải mô hình này cũng được trình bày ở đây Nội dung của Chương 4 được viết dựa trên bài báo (CT4) đã gửi tới tạp

chi Optimization.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong Chương 1, chúng tôi tổng hợp lại một số kết quả cần thiết nhất

để sử dụng cho các chương tiếp theo Chương này được chia thành bốn

phần Phần đầu tiên giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản của

giải tích lồi Phần thứ hai giới thiệu bài toán chấp nhận lồi Phần thứ ba trình bày về bài toán điểm bất động Phần cuối cùng dành để giới thiệu bài toán cân bằng Những kiến thức này có thể được tìm thấy trong các

tài liệu sau [4-6, 11, 38, 44, 57, 65, 83, 91]

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Từ phần này chúng tôi ký hiệu HI là một không gian Hilbert thực, với tích vô hướng (-,-) và chuẩn tương ứng được xác định bởi ||z|| = V,z), Ve € H Day {x*} C H được gọi là hội tụ mạnh tới z* € H, ky

hiệu z# > z*, nếu ||#z“ — z*|| —> 0 Dãy {+} C THỊ được gọi là hội tụ yếu

tới z* € H, ky hiéu z# — z*, nếu (u,#+# — z*) — 0, Vu cH

Định nghĩa 1.1.1 (|5|) Giả sử H là một không gian Hilbert thực, tập

Œ C Hl dược gọi là:

a lối nêu với mọi z, € Œ và 0 < À < 1 thì Àz + (1— À)g € Œ;

b nén cé dinh tai 0 néu Ax € C, véi moi x € C, va A > 0;

c non lồi nêu nó vừa là nón có đỉnh tại 0 vừa là một tập lồi

Định nghĩa 1.1.2 (6, 11]) Giả sử Œ là một tập khác rỗng (không nhất thiết lồi) trong không gian Hilbert thực H va vécto bat ky x € H, đặt

do(x) = inf ||# — 9||, ụcC

ta nói do(z) là khoảng cách từ x dén C Néu ton tại z* € Œ sao cho

dc(#) = ||# — x", thì z* được gọi là hành chiéu của + trên Œ và ký hiệu là ø* = Pc(#)

Từ định nghĩa trên ta thấy hình chiếu cia x € HH trên Œ là điểm thuộc

Phép chiếu trên tập lồi, đóng có một số tính chất sau

Mệnh đề 1.1.3 ([11, Theorem 3.14, Proposition 4.8]) Giả sử Ở là một

tập lôi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thuc H Khi do

o

d

hành chiéu Po(x) của +z trên Œ luôn tôn tại uà duy nhat vdi moi x;

#= Pc(+) khi 0à chi khix—z € No(z), hay (2—z, y—z) < OVy € C;

|fc) — Pc(w)|” <S (fc() — Pc(),# —y), Va,y € H,

|fc()— Fe(@)lÚ < llx— 9| + #— Pc()—+ Po(w)|Ủ Ye, ụ € Hi

Định nghĩa 1.1.4 ([5, 83]) Giả sử Œ C TH là một tập lồi đóng, khác rỗng va ham sé f :C > RU {+oo}, khi d6 ta ndi

a hàm ƒ được gọi là loi (conver function) trén C néu

dom ƒ = {z €C: ƒ(z) < +e},

epi f = {(z%,y) €C xR: f(z) < 4},

tương ứng được gọi là miên hữu hiéu (effective domain) va trên đồ

thi (epigraph) cha f;

g hàm ƒ : C > RU{+co} dugc goi la chính thường (proper function)

néu f(x) > —oo véi moi x € C va domf # 9

Dinh nghia 1.1.5 ({11, Definition 1.21]) Giả sử hàm số ƒ : H — R

khi đó

a ƒ được gọi là nửa lién tuc dudi (lower semicontinuous) tai € H nếu V{r"} CH: 2* > & thi

ƒ(#) < liminf ƒ(øÈ); k_>oo

ƒ được gọi là nửa liên tục dưới trên nếu nó là nửa liên tục dưới

tai moi x EC

b ƒ được gọi là nửa liên tục trén (upper semicontinuous) tai € H

nếu V{z#} CIH: z# — # thì

f(z) > limsup f(z"); k- 00

ƒ được gọi là nửa liên tục trên trên Œ nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi ø € Œ

Hàm ƒ được gọi là liên tục trên Ở nếu nó vừa nửa liên tục dưới và

vừa nửa liên tục trên trên Œ

Định nghĩa 1.1.6 ([5, 83|) Giả sử ƒ : H — RU{+oo} là hàm lồi chính

thường, œ € H được gọi là dưới đạo hàm (subgradient) của f tai x néu

ƒ0) > (0,— zø) + ƒ(), Vụ € H (1.1)

Tập tất cả các dưới đạo hàm của ƒ tại z được gọi là dưới vi phan (subd-

ifferential) cia ƒ tại z và được ký hiệu là ؃(z) Hàm ƒ được gọi là khả dudi vi phân tại z nêu ؃(z) # Hàm ƒ được gọi là khả dưới ti phan

trên một tập nếu nó khả dưới vi phân tại mọi điểm thuộc tập đó.

Từ đó ta có các kết quả sau

Dinh lý 1.1.7 ([11, Theorem 16.2]) Giả sử ƒ : H —> RU {+oo} là hàm

lồi, chính thường, khả dưới vi phân Khi đó

” € argmin{ƒf(z): z € H} 0< ؃(z`)

Định lý 1.1.8 ([11, Proposition 26.ð]) Gia st C C TH là một tập lồi,

đóng, có miền trong khác rỗng, ƒ : H —> RU {+oo} là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên Ơ Khi đó z° là điểm

cực tiểu của ƒ trên Œ khi và chỉ khi

0 € Of (z°) + No(z’)

1.2 Bai toan chap nhan 101

Trong phần này chúng tôi phát biểu bài toán chấp nhận lồi và giới

thiệu hai thuật toán để tìm nghiệm của bài toán này

Dinh nghia 1.2.1 Cho {C;},i = 1,ø là các tập lồi đóng của không gian

Hilbert thực H va n?_,C; # Ú Bài toán tìm điểm z* € r1? ¡Œ; được gọi

là bài toán chấp nhận lồi

Dưới đây chúng tôi giới thiệu hai thuật toán cơ bản giải bài toán chấp nhận lồi Ý tưởng thuật toán này sẽ được sử dụng ở các phần sau

Để đơn giản ký hiệu khi xét bài toán chấp nhận lồi trong trường hợp chỉ có hai tập lồi, chúng tôi ký hiệu hai tập lồi đó là Œ và D Định lý sau giới thiệu phương pháp tìm nghiệm của bài toán chấp nhận lồi được gọi

là phép chiếu lần lượt

Định lý 1.2.2 ({20]) Cho Œ và D là hai tập lồi đóng trong không gian Hilbert thực H và Œñ\D zZ 0 Xuất phát từ điểm z bất kỳ trong không

gian H, hai day {2”}, {y”} dudc xay dung nhu sau

y” = Pp(x"),2"t! = Po(y"),n = 0,1,2,

Khi đó hai day {x"}, {y"} hoi tu yéu tdi z* Ee CN D

Chứng mưnh Rõ ràng từ thuật toán ta có z” € Œ,1"” € D với mọi n Vì

z””ˆ#||Í < |Iy"—Z||Í~||z*"'—w"|Ứ (2)

Điều đó có nghĩa là z“T! gần Z# hơn ” Từ đó ta có:

|z” — #|| < l|e” — |, llu" — #|| < |lz” — #||,® = 1,2,

Vì {z*} bị chặn và là tập đóng nên tồn tại dãy con {z'+} của dãy {z”}

mà limg_;ọo #”* = ø* € Œ Ta sẽ chỉ ra dãy {”} cũng có dãy con hội tụ

đến x* Tit (1) va (2), ta có

0

zˆ — #|, ||” — #||, lz` — #|| lw' — 3| IIzˆ — #|| lly” — #|

là một dãy giảm, do đó nó hội tụ Kết hợp với (1) và (2) thi ||y”" — x”||

và ||“! — „|| hội tụ tới 0 Vì limạ_;¿c #”* = #ø* đó suy ra

d(z”, D) < ||z” — y"|| — 0

Do D la tap đóng nên zø” € D, suy ra x* € CN D LÌ Định lý sau là phép chiếu song song để tìm nghiệm của bài toán chấp

nhận lồi Nó chính là hệ quả của Ví du 5.21 trong tài liệu [11]

Dinh ly 1.2.3 ({11]) Cho C va D là hai tập lồi đóng trong không gian

Hilbert thuc H sao cho CN D # Ũ,À„ € (0,1)Vn Lấy + c H bất kỳ, day {z*} được xác định như sau:

ntl — AzPo(z*) + (1 — An) Pp(2")

Khi đó dãy {z"”} hội tụ yếu tới z* € CN D

Chứng minh sự hội tụ của định lý này cũng tương tự như trên

Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một thuật toán để giải bài toán chấp

nhận lồi tổng quát và trường hợp riêng của thuật toán này Đây là một kết quả của Ví dụ 5.21 trong tài liệu [11] Nội dung chỉ tiết phát biểu ở

định lý sau

Định lý 1.2.4 ([11]) Cho {C;};e; là một họ hữu hạn các tập lồi đóng

khác rỗng trong không gian Hilbert thực H sao cho Ở = f1,c¿;C; z# JO,

An(2 — An) = +00, {wi }ier la day sé thuc dương sao cho 3 `,_rœ¿ = 1 Xuất phát từ x? € H,

{An }nen 1a day các số trong đoạn |0, 2] sao cho Ð ` ncÑ

dãy {z"”} được xác định bởi

gotta" +d, (Sao (o” )~z"),Yn EN

¡¿CÏ

hội tụ yếu tới z* € C

Trường hợp đặc biệt của thuật toán này khi À„ = 1 véi moi n, ta cd

hệ quả sau:

Hệ quả 1.2.5 Cho {C;}];c¡ là một họ hữu hạn các tập lồi đóng trong khong gian Hilbert thuc H sao cho Ở = tịe†C; # Ũ, cho {w;}icz la day 86 thực dương sao cho 3`, ru¿ = 1, à lấu z° € H Day {x"} duoc xéc dinh bởi

"+! = S| wiPo,(2"), Vn EN,

¡el hội tụ uếu tới x* € Ơ

1.3 Bài toán điểm bất động và một số phương

pháp cơ bản tìm điêm bat dong

Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm bài toán điểm bất động,

tập điểm bất động của một ánh xạ và một số loại ánh xạ Các kiến thức trong phần này được lấy từ các tài liệu [11, 34, 38, 44, 91]

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không

gian Hilbert thực H, ánh xạ 7': Œ —> H Bài toán tìm zÝ € Œ sao cho

Tx* = x* được gọi là bài toán điểm bất động, ký hiệu là FP(Œ, 7) Ta

gọi điểm z € Œ là điểm bất động của ánh xạ 7' nếu 7z = z

Tập các điểm bất động của ánh xạ 7' được ký hiệu là Fix(T) = {z €

C|Tx =x}

Tổng quát, bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị, viết tắt là

MFP(Œ, F`) là bài toán: Tìm #* € Ở sao cho #* € Ƒ(z*), ở đó ': Œ — 2#

là ánh xạ đa trị sao cho tập gia tri F(x) la tập lỗi, compact khác rỗng Bài toán này cũng có thể mô tả được dưới dạng bài toán cân bằng.

Thật vậy, do tập F(x) compact với mỗi z € Œ nên ta đặt

ƒ(,9) = max (x —U,Yy— 2), V+, 9 EC ucF (xz)

Dễ thấy, nếu z* € F(2*) thì

f(z*,y) = max (x" — 1u, — #”) > (”— #”,u— 3”) =0, Vụ € C uc h (+*

Vì vậy, z* là nghiệm của bài toán cân bằng EP(Œ, ƒ)

Ngược lại, giả sử z* là nghiệm của bài toán cân bằng EP(Œ, ƒ), tức

là ƒ(z*,) > 0 với mọi € Œ Khi đó, lấy là hình chiếu của z* lên tập lồi compact khác rỗng F'(z*), ta được

(+z” —,U— +”) = ax (x! — tt, 1U — #*)

Do đó

0 < ƒ(”,) = @œ*— 0,— #*) = —||#` ~ wÏ:

Suy ra — 2* € F(a*), vay z* là điểm bất động của F

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử C 1a tap lồi, đóng, khác rỗng của không gian

Hilbert thực HỈ và ánh xạ 7': C > C Khi do ánh xạ 7' là

a) Anh xa Lipschitz v6i hang sé L > 0 néu

[T+ — Tụ|| < Lila—yll, Va,y ec;

đnh zạø co nêu 0 < LD < 1

b) ánh xạ không giãn (nonexpansive) nếu

|T+ — Tw|| < |Ìz — ||, Ve,y eC;

c) ánh xạ giả co (pseudocontractive) nếu

ITz — TulP < llz — v|P + || — 7)z — (1 — 7)w|Ê, Ve,y e C.

d) ánh xạ giả co chặt (strictly pseudocontractive) néu tồn tại một hằng

số 0 < 7 < 1 sao cho

ITz — Tw| < llz — vl? + z||(1 — 7)z ~ (I— T)w|, Y,y e C

e) ánh xạ lai ghép đối xứng tổng quát (sụmmetric generalizcd hạụbrid)

nếu tồn tại œ, đ,+, ô € R sao cho

œ|[Tz — Tw| + 8(lz — Tw|É + llu — Tz|Í) + +llz — yl?

+ð(||z — T+z||ˆ + |lụ — Ty||*) < 0,Vz, € Œ

ø) ánh xạ tiệm cận không giãn (asymptotically nonexpansive) nếu với

mỗi n € N ton tain, > 1, lim mm = 1 sao cho ||T”z — T”y|| <

M—> +00

T„|Ìz — w|| Yz, ụ € C

Bài toán điểm bất động xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực của toán học, tuy nhiên không có thuật toán tổng quát để tìm điểm bất động của ánh xạ 7' bất kỳ Để tìm điểm bất động của ánh xạ 7' ta phải phân loại

và sử dụng cấu trúc của nó Cụ thể là:

Nếu 7' là ánh xạ co, ta có định lý ánh xạ co của Banach sau đây

Dinh lý 1.3.3 (Định lý Banach)(|91, Theorem 1.A]) Giả sử (X, 3) là

một không gian metric day du, C la tap đóng, khác rỗng của X và ánh xạ T': Ơ —> C là ánh xạ co Khi đó 7' có một điểm bất động duy nhất z* € X

Ngoài ra với moi 2° € C va dãy {z"} xác định bởi zø* = Tz"~! n > 1 thi

+" —y +* khi m —y œ

Nếu T' không phải là ánh xạ co, chang han T 1A ánh xạ không giãn thì định lý Banach có thể không còn đúng nữa.

Để khắc phục nhược điểm của phép lặp Banach, W.R Mann đã đưa

ra thuật toán áp dụng cho lớp các ánh xạ không giãn (nonexpansive)

(xem [11, 57]) như sau:

PEC,

(1.2)

ak*) — aga’ + (1 — og)T+Ẻ,

trong đó day tham sé {az} C [0,1] Dinh ly sau đây chỉ ra dãy lặp {x*} sinh bởi thuật toán (1.2) hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ không giãn 7

Định lý 1.3.4 ([11, Theorem 5.14]) Giả sử C là một tập lồi, đóng, khác

rỗng của không gian Hilbert thực , và 7': Œ —> Œ là một ánh xạ không

giãn sao cho Fix(7) 4 @ Gia stt ag € [0,1] sao cho 3 }„.wq@g(1 — ax) = +oo, va gia sit 2° € C Khi đó day {x*} sinh bởi thuật toán (1.2) hội tụ

yếu tới một điểm thuộc Fix(T)

Một phương pháp nổi tiếng khác để tìm điểm bất động của một ánh

xa Lipschitz gia co đã được đề xuất bởi Ishikawa trong [44] như sau:

Định lý 1.3.5 ([44]) Néu Œ là một tập lồi, compact của không gian Hilbert thực H, T : C > C la mét Anh xa Lipschitz, gid co va x° € C,

thi day {x*}, {y*} xác định bởi

z°†! = ăy + (1— œp)#Ÿ, Vk EN

hội tụ mạnh tới một điểm bất động của ánh xạ 7, trong đó {œg} và

{6y} là các dãy số dương thỏa mãn các điều kiện sau đây

1 0 < ơy < Øy < 1,Vk€ Ñ;

ii limp_yoo Bu = 0;

11 »- or, = CO

Trong trường hợp Œ không phải là tập compact, thi day {x*} có thể

chỉ hội tụ yếu tới điểm bất động của ánh xạ 7' (xem [34])

Để có được thuật toán hội tụ mạnh, B Halpern đã đề xuất thuật toán

sau đây cho lớp ánh xạ không giãn (xem [38])

rr EC,

(1.4) at) = œy#0 + (1 — œy)T2",

trong dé ay € (0,1), limg4oan = 0 va 37, ag = +00 Su hội tụ của

dãy {z*} được phát biểu ở định lý sau:

Định lý 1.3.6 ({38|) Giả sử C là một tập lồi, đóng trong không gian Hilbert thực H và 7' là ánh xạ không giãn trên Œ sao cho Fix(7) z# @ Giả sử œy € |0, I] và thỏa mãn các điều kiện

ii) ar Œy — +00,

HH 3o |Ok+i — œg| < œ

Khi đó, với bất kỳ z° € C, dãy {z*} sinh bởi phép lặp (1.4) hội tụ mạnh

tới một điểm thuộc Fix(T)

1.4 Bài toán cân bằng

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử Ở là tập lỗi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thuc H, va song ham f : Cx C —> R thỏa mãn ƒ(%,z) = 0 tới moi x € C; song ham f nhu vay duoc goi la song ham cân bằng Bài toán cân băng là bài toán: