CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁNCHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁNCHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓMKHOẢNG BIẾN THIÊN VÀKHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓMA –
Trang 1LỚP TOÁN THẦY KHÔI 10,11,12 VÀ LTĐH
SĐT: 0909 461 641
LỚP TOÁN THẦY KHÔI 10,11,12 VÀ LTĐH
SĐT: 0909 461 641
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
TOÁN
TOÁN
TẬP 1
A
Toám tùæt lñ thuyïët
B
Vñ duå minh hoaå
C
Baâi têåp vêån duång
D
Baâi têåp reân luyïån
NĂM HỌC: 2024 - 2025
x
y O
y = y0 y0
y = f (x)
H M
A
B
C D
C ′
D ′
Trang 2MỤC LỤC
Chương 1 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP
1 A
A Trọng tâm kiến thức .1
1 Khoảng biến thiên .1
2 Khoảng tứ phân vị .1
B B Các dạng bài tập .2
Dạng 1 Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm .2
1 Ví dụ minh hoạ .2
2 Bài tập áp dụng .4
Dạng 2 Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm .5
1 Ví dụ minh hoạ .5
2 Bài tập áp dụng .11
Trang 3CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN
CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
1
Chûúng
CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN
CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
1 Baâi
A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu
Bảng 1 Nhóm [u1; u2) [u2; u3) · · · [uk; uk+1)
Nếu n1 và nk+1 cùng khác 0 thì R = uk+1− u1
○ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm luôn lớn hơn hoặc bằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc
Ý nghĩa của khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm
○ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc
và có thể dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu
liệu Hơn nữa, giá trị của R thường tăng vọt khi xuất hiện giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu
Do đó, để phản ánh mức độ phân tán của số liệu, người ta còn dùng các số đặc trưng khác
Tứ phân vị thứk, kí hiệu là Qk, với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm (Bảng 1) được xác định như sau
Qk= um+
kn
trong đó:
○ n = n1+ n2+ · · · + nk là cỡ mẫu
○ [um; um+1) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k.
○ nm là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k.
Trang 4○ C = n1+ n2+ · · · + nm−1.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cũng được xác định dựa trên tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba như đối với mẫu số liệu không ghép nhóm
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho ở Bảng 1, kí hiệu∆Q, là hiệu giữa tứ phân vị thứ baQ3 và
tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là
∆Q= Q3− Q1
Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
○ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu (tập hợp gồm 50% số liệu nằm chính giữa mẫu số liệu)
○ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị
○ Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q3+ 1,5∆Q hoặc x < Q1− 1,5∆Q
○ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1 Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm
lâm trường ở bảng sau
Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên
Lời giải.
máy chạy bộ do hai hãngX, Y sản xuất Bảng sau biểu thị hai mẫu số liệu mà anh thu thập được qua Internet
Tuổi thọ của máy chạy bộ (đơn vị: năm)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu nào lớn hơn? Từ đó có thể nói là máy chạy bộ do hãng nào sản xuất có tuổi thọ phân tán hơn?
Lời giải.
Trang 5Khoảng biến thiên của tuổi thọ máy chạy bộ do hãngX và hãng Y sản xuất tương ứng là
VìRX > RY nên có thể nói là máy do hãng X sản xuất có tuổi thọ phân tán hơn so với máy của hãng Y □
quả như sau:
Thời gian sử dụng (phút) [0; 10) [10; 30) [30; 60) [60; 90)
Tìm khoảng biến thiên cho thời gian sử dụng mạng xã hội của học sinh mỗi tổ và giải thích ý nghĩa
Lời giải.
GọiR1, R2 tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ1 và Tổ 2 Ta có: R1 = 90 − 0 = 90 và R2 = 60 − 0 = 60 Do R1 > R2 nên ta có thể kết luận rằng thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội
cVí dụ 4. Biểu đồ dưới đây thống kê thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày trong tháng 9/2022 của bác Bình và bác An
Số ngày
phút 5
10 15 20 25 30
5 0 12 25
8 5 3
Bác An Bác Bình
Sử dụng dữ liệu ở biểu đồ trong bài toán trên, chọn số thích hợp thay vào các vị trí được đánh dấu ? ở bảng sau
Thời gian (phút) [15; 20) [20; 25) [25; 30) [30; 35) [35; 40)
Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình và bác An
Lời giải.
Ta có bảng sau
Thời gian (phút) [15; 20) [20; 25) [25; 30) [30; 35) [35; 40)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình làR = 40−15 = 25 (phút)
Tuy nhiên, trong mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An,khoảng đầu tiên chứa dữ
Trang 6liệu là[20; 25) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [25; 30) Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm
Biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao (đơn vị centimet) của36 học sinh nam
ghép nhóm đó
n = 36
Lời giải.
a6 = 175
Bài 1. Bảng sau thống kê thành tích nhảy xa của một số học sinh lớp12 Tìm khoảng biến thiên thành tích nhảy
xa của số học sinh này
Thành tích nhảy xa của một số học sinh lớp12
Lời giải.
khán giả thuộc lứa tuổi 20 − 30, nhóm B thuộc lứa tuổi trên 30 Người được hỏi ý kiến phải đánh giá bộ phim bằng cách cho điểm theo một số tiêu chí nêu trong phiếu điều tra và sau đó lấy tổng số điểm (thang điểm100) Bảng dưới đây trình bày kết quả điều tra hai nhóm khán giả:
Điểm đánh giá của khán giả
Ý kiến đánh giá của nhóm khán giả nào phân tán hơn?
Lời giải.
Khoảng biến thiên của ý kiến đánh giá của hai nhóm khán giảA và B tương ứng là
RA= 100 − 50 = 50 và RB= 90 − 60 = 30
Vì RA > RB nên có thể nói là ý kiến đánh giá của nhóm khán giả A phân tán hơn so với ý kiến đánh giá của
Bài 3. Bảng sau biểu thị kết quả điều tra thời gian sử dụng Internet hằng ngày của một số người
Thời gian sử dụng Internet hằng ngày Thời gian (phút) [30; 60) [60; 90) [90; 120) [120; 150) [150; 180)
Trang 7Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho Kết quả cho biết điều gì?
Lời giải.
thiên của mẫu số liệu làR = 180 − 30 = 150
Kết quả này cho biết thời gian sử dụng Internet hằng ngày của các thành viên thuộc nhóm người được điều tra
Bài 4. Bạn Trang thống kê lại chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C, lớp 12D ở bảng sau
Lớp
Chiều cao
[155; 160) [160; 165) [165; 170) [170; 175) [175; 180) [180; 185)
Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì chiều cao của học sinh lớp nào có độ phân tán lớn hơn?
Lời giải.
Khoảng biến thiên của chiều cao học sinh nữ lớp 12C làRC = 185 − 155 = 30
Khoảng biến thiên của chiều cao học sinh nữ lớp 12D làRD = 180 − 155 = 25
Bài 5. Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút) [25; 30) [30; 35) [35; 40) [40; 45)
a) Tính khoảng biến thiênR cho mẫu số liệu ghép nhóm trên
biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?
Lời giải.
a) Khoảng biến thiên R = 45 − 25 = 20
biến thiên của mẫu số liệu gốc là 43 − 27 = 16
□
Dạng 2 Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
hoạch ở một nông trường
Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên
Lời giải.
Gọix1;x2; ; x50là mẫu số liệu gốc gồm cân nặng của 50 quả xoài được xếp theo thứ tự không giảm
x35, , x45∈ [370; 410); x46, , x50∈ [410; 450)
Trang 8Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc làx13∈ [290; 330).
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
50
4150
13 .
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc làx38∈ [370; 410)
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
3 · 50
4210
11 . Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là∆Q= Q3− Q1= 4210
4150
9080
cVí dụ 2. Biểu đồ dưới đây thống kê thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày trong tháng 9/2022 của bác Bình và bác An
Số ngày
phút 5
10 15 20 25 30
5
0 12 25
8 5 3 0
2 0
Bác An Bác Bình
Hãy so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình và bác An
Lời giải.
Dựa vào biểu đồ, ta có bảng thống kê ghép nhóm như bên dưới
Thời gian (phút) [15; 20) [20; 25) [25; 30) [30; 35) [35; 40)
○ Xét thống kê của bác An, ta có cỡ mẫu n = 30.
Gọix1;x2; ; x30là mẫu số liệu thời gian tập thể dục của bác An
Ta có: x1, , x5 ∈ [15; 20); x6, , x17 ∈ [20; 25); x18, , x25 ∈ [25; 30); x26, x27, x28 ∈ [30; 35); x29, x30∈ [35; 40)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc làx8∈ [20; 25) Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
30
505
24 .
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x23 ∈ [25; 30) Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
3 · 30
455
16 .
Trang 9Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu của bác An là ∆Q = Q3− Q1 = 355
48 .
○ Xét thống kê của bác Bình, ta có cỡ mẫun = 30.
Gọix1;x2; ; x30là mẫu số liệu thời gian tập thể dục của bác Bình
Ta có: x1, , x25∈ [20; 25); x26, , x30∈ [20; 25)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc làx8∈ [20; 25) Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
Q1 = 20 +
30
43
2 .
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x23 ∈ [20; 25) Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
3 · 30
49
2 . Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu của bác Bình là ∆Q = Q3− Q1= 3
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu của bác Bình nhỏ hơn của bác An Suy ra bác Bình có thời gian tập đều
cVí dụ 3. Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực A và B về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của từng mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực
A và B
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn?
Lời giải.
a) Xét ở khu vực A, khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 34 − 19 = 15
Ta có cỡ mẫu n = 100
Gọix1;x2; ; x100 là mẫu số liệu gốc gồm độ tuổi kết hôn của 100 phụ nữ ở khu vực A
Ta có:x1, ,x10∈ [19; 22); x11, ,x37∈ [22; 25); x38, ,x68∈ [25; 28); x69, ,x93∈ [28; 31); x94, , x100∈ [31; 34)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu khu vực A là x25+ x26
mẫu số liệu khu vực A là
Q1 = 22 +
100
71
3 .
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu khu vực A là x75+ x76
liệu khu vực A là
3 · 100
721
25 .
75 ≈ 5,17.
Xét ở khu vực B, khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 34 − 19 = 15
Ta có cỡ mẫu n = 100
Gọix1;x2; ; x100 là mẫu số liệu gốc gồm độ tuổi kết hôn của 100 phụ nữ ở khu vực B
Ta có: x1, , x47∈ [19; 22); x48, , x87∈ [22; 25); x88, , x98∈ [25; 28); x99,x100∈ [28; 31)
Trang 10Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu khu vực B là x25+ x26
mẫu số liệu khu vực B là
100 4
47 · (22 − 19) =
968
47 .
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu khu vực B là x75+ x76
liệu khu vực B là
Q3= 22 +
3 · 100
241
10 . Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu khu vực B là ∆Q= Q3− Q1 = 1647
470 ≈ 3,5.
b) Ta có khoảng tứ phân vị của khu vực A lớn hơn ở khu vực B nên khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn
□
của100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan
Thời gian (phút) [15; 18) [18; 21) [21; 24) [24; 27) [27; 30) [30; 33)
a) Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên
b) Biết rằng trong 100 lần đi trên, chỉ có đúng một lần ông Thắng đi hết hơn 29 phút Thời gian của lần
đi đó có phải là giá trị ngoại lệ không?
Lời giải.
Gọix1;x2; ; x100 là mẫu số liệu gốc gồm thời gian100 lần đi xe buýt của ông Thắng
Ta có:x1, ,x22∈ [15; 18); x23, ,x60∈ [18; 21); x61, ,x87∈ [21; 24); x88, ,x95∈ [24; 27); x96, , x99∈ [27; 30); x100 ∈ [30; 33)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x25+ x26
liệu ghép nhóm là
100
693
38 .
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x75+ x76
ghép nhóm là
Q3 = 21 +
3 · 100
68
3 . Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là∆Q= Q3− Q1= 505
114. b) Trong lần duy nhất ông Thắng đi hết hơn 29 phút, thời gian đi của ông thuộc nhóm [30; 33)
VìQ3+ 1,5∆Q= 6683
228 < 30 nên thời gian của lần ông Thắng đi hết hơn 29 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu
số liệu ghép nhóm
□
Trang 11cVí dụ 5. Thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám X được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút) [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20)
a) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này
b) Từ một số liệu về thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám Y người ta tính được khoảng tứ phần vị bằng9,23 Hỏi thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám nào phân tán hơn?
Lời giải.
a) Cỡ mẫu làn = 3 + 12 + 15 + 8 = 38 Gọi x1, , x38 là thời gian chờ khám bệnh của38 bệnh nhân này và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x10 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm [5; 10) và ta có:
ï 38
ò
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x29 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm [10; 15) và ta có:
ï
3 · 38
ò
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ∆Q= Q3− Q1 ≈ 14,5 − 7,71 = 6,79
b) Do ∆Q = 6,79 < 9,23 nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám Y phân tán hơn thời gian chờ của
□
cVí dụ 6. HÌnh dưới là biểu đồ biểu diễn lượng mưa trung bình của các tháng trong năm ở thành phốA
Tháng
mm
50 100 150 200 250 300 350
a) Lập bảng số liệu ghép nhóm về lượng mưa của thành phốA, với độ dài các nhóm là 50 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là350
b) Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Nêu ý nghĩa của kết quả tìm được
Lời giải.
Trang 12a) Bảng số liệu về lượng mưa của thành phốA:
4 = 3;
3N
Nhóm chứa Q1 là[50; 100)
Q1 = 50 +3 − 2
Nhóm chứa Q3 là[250; 300)
Q3 = 250 +9 − 8
2 · 50 = 275.
Vậy ∆Q= 275 − 67 = 208
Kết quả tìm được cho thấy: Hằng năm, ở thành phốA có 3 tháng có lượng mưa trung bình không vượt quá
67 mm và 3 tháng có lượng mưa trung bình ít nhất là 275 mm Trong 6 tháng còn lại, lượng mưa trung bình
□
trong các Bảng a và b
a) Tìm khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu Có thể dùng khoảng biến thiên để biết điểm của lớp nào đồng đều hơn không?
b) Tìm các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu
c) Mẫu số liệu nào có độ phân tán lớn hơn? Minh hoạ câu trả lời bằng cách biểu diễn các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu trên trục số
Lời giải.
a) Hai mẫu số liệu đều có khoảng biến thiên làR = 100 − 50 = 50 nên không thể căn cứ vào đó để nói điểm của lớp nào đồng đều hơn
b) Kích thước của hai mẫu số liệu đều là N = 100 Ta có N
N
3N
○ Đối với mẫu số liệu về điểm của lớp A, ta tìm các tứ phân vị QA
1, QA2,QA3 và khoảng tứ phân vị ∆AQ qua bảng tần số tích luỹ dưới đây:
Trang 13Điểm Tần số Tần số tích luỹ
Nhóm chứaQA1 là[60; 70)
QA1 = 60 +25 − 8
20 · 10 = 68,5.
2 là[70; 80)
QA2 = 70 +50 − 28
Nhóm chứaQA3 là[70; 80)
QA
3 = 70 +75 − 28
Vậy ∆AQ= 79,4 − 68,5 = 10,9
1,QB
2,QB
3 là các tứ phân vị và∆B
Q là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về điểm của lớpB Ta lập bảng tần số tích luỹ và tính được:
Nhóm chứaQB1 là[60; 70)
QB
1 = 60 +25 − 15
Nhóm chứaQB2 là[70; 80)
QB2 = 70 +50 − 35
3 là[80; 90)
QB3 = 80 +75 − 65
Vậy ∆BQ= 85 − 65 = 20
c) ∆BQ > ∆AQ nên điểm của lớp B phân tán hơn điểm của lớp A Minh hoạ trên trục số: Mỗi mẫu đều có 100
số liệu thuộc khoảng [50; 100) Có 50% số liệu ở giữa của bảng điểm lớp B thuộc khoảng QB1, QB3 Bảng điểm lớpA cũng có 50% số liệu ở giữa thuộc khoảng QA
1, QA
3 Vì QA
1, QA
1, QB
3 nên ta có thể nói
là điểm của lớp B phân tán hơn so với điểm lớp A
QA2
Mẫu số liệu điểm lớp A
50% số liệu
Q B 2
Q B
3 Mẫu số liệu điểm lớp B
50% số liệu
□
Bài 1. Bạn Trang thống kê lại chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C và lớp 12D ở bảng sau
Lớp
Chiều cao
[155; 160) [160; 165) [165; 170) [170; 175) [175; 180) [180; 185)
Hãy so sánh độ phân tán của nửa giữa hai mẫu số liệu chiều cao của các học sinh nữ lớp 12C và 12D
Lời giải.
Xét ở lớp 12C, ta có cỡ mẫun = 25
Gọix1;x2; ; x25là mẫu số liệu gốc gồm chiều cao của 25 bạn nữ lớp 12C
