Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian... QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIANChûúng8QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIANHAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓCA – TRỌNG TÂM KIẾN THỨCGóc giữa
Trang 1π
π
π
π π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
TOÁN TOÁN
TOÁN
THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI
TẬP 2
NĂM HỌC 2024 - 2025
O
x
y
O
y = logax
y = ax
Trang 2MỤC LỤC
Bài 1 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC . 2
A A Trọng tâm kiến thức .2
1 Góc giữa hai đường thẳng .2
2 Hai đường thẳng vuông góc .2
B B Các dạng bài tập .2
Dạng 1 Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian .2
1 Ví dụ minh hoạ .2
2 Bài tập áp dụng .4
Dạng 2 Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng .6
1 Ví dụ minh hoạ .6
2 Bài tập áp dụng .8
Dạng 3 Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba .9
1 Ví dụ minh hoạ .10
2 Bài tập áp dụng .10
C C Bài tập rèn luyện .12
Trang 3PHẦN I HÌNH HỌC
VÀ ĐO LƯỜNG
Trang 4QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Chûúng 8
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1 Baâi
A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
Góc giữa hai đường thẳngm và n trong không gian, kí hiệu (m, n), là góc giữa hai đường
thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n
O
a b m
n
○ Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhaua và b, ta có thể lấy một điểm O thuộc đường thẳng
a và qua đó kẻ đường thẳng b′ song song với b Khi đó (a, b) = (a, b′)
○ Với hai đường thẳnga, b bất kì 0◦≤ (a, b) ≤ 90◦
○ Nếu a song song hoặc trùng với a′ và b song song hoặc trùng với b′ thì (a, b) = (a′, b′)
Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b, nếu góc giữa chúng bằng 90◦
Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1 Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian
(A′C′, BD), (AC, DC′)
Lời giải.
VìCD ∥ AB nên (AA′, CD) = (AA′, AB) = 90◦
(A′C′, BD) = (AC, BD) = 90◦
Tương tự,DC′
∥ AB′ Vậy (AC, DC′) = (AC, AB′)
Tam giácAB′C có ba cạnh bằng nhau (vì là các đường chéo của các hình vuông có độ dài cạnh bằng nhau) nên
nó là một tam giác đều Từ đó ta có,(AC, DC′) = (AC, AB′) = 60◦
Trang 5A B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
□
cVí dụ 2. Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′ có cạnh làa Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây
Lời giải.
C D
C′
D′
A′
B′
A B a) Ta cóA′D′ ∥ AD nên (AB, A′D′) = (AB, AD) = ’BAD = 90◦
b) Ta cóA′C′
∥ AC nên (AD, A′C′) = (AD, AC) = ’DAC = 45◦ c) Ta cóB′D′
∥ BD nên (BC′, B′D′) = (BC′, BD) = ÷DBC′
Ta cóBD = BC′= C′D = AB√2 nên △BDC′ đều, suy ra ÷DBC′= 60◦ Vậy (BC′, B′D′) = 60◦
□
Lời giải.
N P ∥ AC nên (AC, SB) = (NP, MN)
a√2
AC
a√2
√ 2
a√2
Vậy △M N P đều ⇒ (AC, SB) = (N P, N M ) = ÷M N P = 60◦
Cách khác:
# »
AC ·# »
SB = (# »
SC − # » SA) ·# »
SB = # »
SC · # »
SB −# »
SA · # » SB
= 0 − SA · SB · cos ’ASB = −a2
cos(AC, SB) =
# »
AC · # »
SB
a2
a√2 · a√2 =
1
C P
S
A
M N
Trang 6Lời giải.
B
C P
G
S
A
M N
√ 3
√
√
a√2
AC
SA
cos ÷M N P = M N
2+ N P2− M P2
√ 2
4 ⇒ (SB, AC) = (M N, N P ) = ÷M N P ≈ 69
◦17′ b) Ta có # »
AG · # »
SC = (# »
P G − # »
P A)(# »
P C −# »
P S)
= # »
P G ·# »
P C − # »
P G ·# »
P S − # »
P A · # »
P C +# »
P A ·# »
P S = 0 − P S
2
a2
3 .
Có SC = a√2, AG =√AP2+ P G2 = 2a
√ 7
cos(SC, AG) =
# »
AG · # »
SC
a2 3
a√2 · 2a
√ 7 3
◦19′
□
Lời giải.
√ 13 4
a
4. cos ÷CM N = M C
2+ M N2− CN2
1
2√13
⇒ (CM, BD) = (CM, M N ) = ÷CM N ≈ 82◦1′
Trang 7B D
N
A M
C
□
vuông góc tạiA Biết rằng SA = a√2, gọi M là trung điểm của cạnh SB
a) Tính góc tạo bởi hai vec-tơ # »
AC và # »
SD
Lời giải.
D
S
M
A
a) Có # »
AC · # »
SD = (# »
AB +# » AD) · (# »
AD −# » AS) = # »
AB ·# »
AD −# »
AB ·# »
AS +# »
AD2−# »
AD ·# »
AS = a2
Vậy cos(# »
AC,# » SD) =
# »
AC · # » SD
a2
a√2 · a√3 =
1
√
# »
AC,# » SD) ≈ 65◦54′
√
AB2+ SA2
a√3
Có # »
SA · # »
AC = # »
SA · (# »
AB + # » AD) = # »
SA · # »
AB + # »
SA · # »
AD = 0
# »
AM · # »
2(
# »
AB +# » AS) · (# »
AC −# »
2(
# »
AB ·# »
AC −# »
AB · # »
AS +# »
AS · # »
AC −# »
AS2)
2
Ç
a · a√2 ·
√ 2
2 å
2 2 cos(AM, SC) =
# »
AM · # »
SC
a2 2
a√3
2 · 2a
◦13′
□
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnhB′C′ sao choB′N = 2C′N Tính cos của góc tạo bởi hai đường thẳng DM và AN
Lời giải.
Trang 8D
C′ M
N
D′
A′
B′
A
B
Ta có # »
AA′·# »
A′N = # »
AA′· (# »
A′B′+# »
B′N ) =# »
AA′·# »
A′B′+# »
AA′·# »
B′N = 0 + # »
BB′·# »
B′N = 0 VậyAA′ ⊥ A′N nên AN =√AA′2+ A′N2=√AA′2+ A′B′2+ B′N2 = a
√ 22
√ 5
# »
AN ·# »
DM = (# »
AA′+# »
A′B′+# »
B′N )·(# »
AM −# » AD) = # »
AA′·# »
AM +# »
A′B′·# »
AM +# »
B′N ·# »
AM −# »
AA′·# » AD−# »
A′B′·# » AD−# »
B′N ·# »
AD =
2
a2
2a2
a2 6
# »
AN · # »
a2 6
a√22
a√5 2
Dạng 2 Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng.
Để chứng minh hai đường thẳng ∆ và ∆′ vuông góc với nhau ta có thể sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng, cụ thể:
○ Tam giácABC vuông tại A khi và chỉ khi ’BAC = 90◦ ⇔ ’ABC + ’ACB = 90◦
○ Tam giácABC vuông tại A khi và chỉ khi AB2+ AC2 = BC2
Ngoài ra, chúng ta cũng sử dụng tính chất: Nếud ⊥ ∆ và ∆′
∥ d thì ∆′ cũng vuông góc với đường thẳng∆
Lời giải.
Trang 9B
M
D C
N
□
cVí dụ 5. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AC và B′D′
b) Chứng minh rằng AC và B′D′ vuông góc với nhau khi và chỉ khiABCD là một hình thoi
Lời giải.
a) Hai đường thẳngAC và B′D′ lần lượt thuộc hai mặt phẳng song
song(ABCD) và (A′B′C′D′) nên chúng không có điểm chung, tức
là chúng không thể trùng nhau hoặc cắt nhau
Tứ giácBDD′B′ có hai cạnh đốiBB′ vàDD′ song song và bằng
nhau nên nó là một hình bình hành Do đó B′D′ song song với
BD Mặt khác, BD không song song với AC nên B′D′không song
song với AC Từ những điều trên suy ra AC và B′D′ chéo nhau
b) Do B′D′ song song với BD nên (AC, B′D′) = (AC, BD) Do đó,
AC và B′D′ vuông góc với nhau khi và chỉ khi AC và BD vuông
BD khi và chỉ khi ABCD là hình thoi
A
D
A ′
D′
□
cVí dụ 6. Cho hình chópS.ABC có SA = SB = SC = a, ’ASB = 60◦, ’BSC = 90◦, ’CSA = 120◦ Cho H là
SH ⊥ AC
Lời giải.
AC2= SA2+ SC2− 2SA.SC cos ’ASC = 2a2− 2a2 cos 120◦ = 3a2 (2)
Từ (1), (2), (3) suy ra AC2= AB2+ BC2 ⇒ AB ⊥ BC
S
B
H
□
Trang 10cVí dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 Chứng minh rằng
SA ⊥ SC
Lời giải.
SB = CB
SD = CD
BD chung
⇒ ∆SBD = ∆CBD
A B
x O S
C
D
□
Lời giải.
Xét tam giác cânSM N có O là trung điểm M N , suy ra SO ⊥ M N
A B
M O
S
C
D N
□
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có M, N lần lượt là trung điểm BC, C′D′ Chứng minh rằng
AM ⊥ B′N
Lời giải.
‘ BAI + ‘ABI = ’IBC + ‘ABI = 90◦⇒ ‘AIB = 90◦
A B
A′
B′
C D
C′
D′ N
K M
□
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và có tất cả các cạnh đều bằng a Cho M và N lần lượt là
Lời giải.
Trang 11Từ giả thiết ta có
A D
M O
S
C
□
Lời giải.
√ 3
√ 3
Ta cóHC2 = HB2+ BC2= a2+ 4a2 = 5a2
Từ đó suy raSH2+ HC2 = 3a2+ 5a2= 8a2 = SC2
C
D K
S
A B
H
□
SA ⊥ AD và SA ⊥ AC Chứng minh rằng SC ⊥ DC
Lời giải.
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra
C
D
S
I A
B
□
Lời giải.
BC = AC
CI chung
’
BCI = ‘ACI = 60◦
A
B
K
D C
I
□
Dạng 3 Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba
Để chứng minh đường thẳnga ⊥ b, ta chứng minh a ∥ a′, ở đóa′ ⊥ b
Trang 121 Ví dụ minh hoạ
SB và SC Chứng minh rằng AM vuông góc với N P
Lời giải.
DoN , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC nên N P là đường trung
Từ(1)(2) suy ra AM ⊥ N P
A
B
C S
M
N
P
□
cVí dụ 9. Cho hình lăng trụ tam giácABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều Lấy M là trung điểm của cạnh
BC Chứng minh rằng AM vuông góc với B′C′
Lời giải.
Từ(1)(2) suy ra AM ⊥ B′C′
A′
C
C′ M
B′
B A
□
cVí dụ 10. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnha Các điểm M , N lần lượt là trung điểm của các cạnhAB, BC Trên cạnh B′C′ lấy điểmP sao cho C′P = x (0 < x < a) Trên cạnh C′D′ lấy điểmQ sao cho
C′Q = x Chứng minh rằng M N vuông góc với P Q
Lời giải.
Theo bài ra ta cóM N là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra M N ∥ AC
(4)
Mặt khác, ta có C′P
C′B =
C′Q
C′D′ = x
Từ(3)(4)(5) ta có M N ⊥ P Q
C D
M
N Q
C′ P
D′
□
Bài 11. Cho hình lăng trụ đứngABC.A′B′C′ Gọi G, G′ lần lượt là trọng tâm hai đáy Chứng minh rằngGG′
Trang 13Lời giải.
B
B′
G
C
C′
A′
G′
M
M′
□
Lời giải.
Theo giả thiết ta có △ABC = △ABD, từ đó ta có M C = M D, suy ra
Cũng theo giả thiết ta cóP Q là đường trung bình của tam giác ACD, suy ra
Từ(1)(2) suy ra điều phải chứng minh
A
B C
N
D
M
P Q
□
Lời giải.
1
Từ đó ta có M P2+ N P2 = 2a2 = M N2, vậy tam giác M N P vuông tại P
2a
2a
A
B
C
N
D M
P
□
AC = 3AM , các điểm N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC Chứng minh rằng M G vuông góc với
N P
Lời giải.
Trang 14LấyE, F lần lượt là trung điểm của AC, BD.
AG
2
Mặt khác theo tính chất đường trung bình ta có
Từ(1) và (2) suy ra M G ⊥ N P
2a
2a
A
B
C
N
D M
P
G E
F
□
C – BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho hình hộp ABCD · A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông vàM , N , E, F lần lượt là trung điểm các cạnhBC, BA, AA′,A′D′ Tính góc giữa các cặp đường thẳng:
A′C′ và BC;
Lời giải.
a) Ta cóAC//A′C′, suy ra (A′C′, BC) = (AC, BC) = ’ACB = 45◦
suy ra(M N, EF ) = (AC, AD′) = ÷CAD′ = 60◦ (tam giácACD′có ba cạnh bằng nhau)
A′
D′
A
D
M N
E
F
□
Bài 2.
Cho hình hộpM N P Q.M′N′P′Q′ có góc giữa hai đường thẳngM N và
M Q bằng 70◦
a) Góc giữa hai đường thẳngM′N′ vàN P bằng góc giữa hai đường
thẳng
b) Tính góc giữa hai đường thẳngM′N′ vàN P
M
Q
N P
M ′
Q ′
N ′
P′
Lời giải.
a) VìM′N′ ∥ M N , N P ∥ M Q nên góc giữa hai đường thẳng M′N′ và N P bằng góc giữa hai đường thẳng
M N và M Q Chọn phương án B
b) Vì góc giữa hai đường thẳngM N và M Q bằng 70◦ nên góc giữa hai đường thẳngM′N′ vàN P bằng 70◦
□
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có6 mặt đều là hình vuông Chứng minh rằng AB ⊥ CC′,AC ⊥ B′D′
Lời giải.
Ta cóCC′
∥ BB′, suy ra(AB, CC′) = (AB, BB′) = ÷ABB′ = 90◦ VậyAB ⊥ CC′
Ta có B′D′
∥ BD, suy ra (AC, B′D′) = (AC, BD) = 90◦ (hai đường chéo của hình vuông luôn vuông góc với
Trang 15Bài 4.
Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình thoi Gọi M , N lần lượt là trung
B
A
C
D
S
M
N
Lời giải.
Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có các đáy là các tam giác đều Tính góc (AB, B′C′)
Lời giải.
VìB′C′
∥ BC nên (AB, B′C′) = (AB, BC) = ’ABC = 60◦
A B
C
A ′
B ′
C ′
□
Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh bằng nhau Chứng minh rằng tứ diện ACB′D′ có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau
Lời giải.
Suy raAC ⊥ BD Mà BD ∥ B′D′ nênAC ⊥ B′D′
Lập luận tương tự cho hai cặp cạnh đối diện còn lại
Vậy tứ diệnACB′D′ có các cặp cạnh đối diện vuông góc
A
D
A′
D ′
□
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có ’CBD = 90◦
Lời giải.
P K
1
A
P G
K D
C
M N B
□
Trang 16Bài 8. Cho hình chópS.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a Cho biết SA = a√3, SA ⊥ AB và SA ⊥ AD.
Lời giải.
a√3
√
3 ⇒ ’SBA = 60◦
S
A
D
□
Lời giải.
Gọi2x là cạnh của tứ diện đều
GọiM , N , P lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD
√ 3
√ 3
Khi đó △P AC cân tại P , có P N là đường trung tuyến suy ra P N ⊥ AC Ta có
®AB ∥ MN (MN là đường trung bình của △ABC)
CD ∥ MP (MP là đường trung bình của △BCD)
⇒ (AB, CD) = (M N, M P )
A
B
C
D M
N P
CD
√
P A2− AN2=
q Ä
x√3ä2− x2 = x√2
Suy ra △M P N vuông cân tại M , suy ra ÷M N P = 90◦
Bài 10. Cho hình chópS.ABC có SA = SB = SC = a, ’BSA = ’CSA = 60◦, ’BSC = 90◦ Cho I và J lần lượt
Lời giải.
Suy ra △BAC vuông cân tại A
SBC và ABC là các tam giác vuông có cùng cạnh huyền BC, J là trung điểm BC ⇒
JS = JA
Å
2
ã
△JSA cân tại S có JI là đường trung tuyến, suy ra JI ⊥ SA
IB và IC là các đường cao của tam giác đều có cùng cạnh a, suy ra IB = IC
△IBC cân tại I, có IJ là đường trung tuyến nên IJ ⊥ BC
S
A B
C I
J
□
BC
Lời giải.
Xét △AIK có:
√ 3
a
2+ KI2− AI2
√ 3
◦13′
A
B C
D K I
□
Trang 17Bài 12. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD Biết AB = CD = 2a và
Lời giải.
N P ∥ CD (NP là đường trung bình của △ACD)
⇒ (AB, CD) = (M P, N P )
Xét △M N P có
M N = a√3
⇒ cos ÷N P M = P N
2+ P M2− M N2
1
2 ⇒ ÷N P M = 120
◦ > 90◦ Suy ra(M P, N P ) = 180◦− ÷N P M = 180◦− 120◦ = 60◦
Vậy(AB, CD) = 60◦
A
D
C
B M
N P
□
Bài 13.
đường thẳng đó
Lời giải.
Bài 14.
song song với cạnh bàna Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF ,
AE và AD
Lời giải.
Trong lục giác đều, mỗi góc ở đỉnh bằng120◦
• (a, AF ) = (AB, AF ) = 180◦− ’BAF = 180◦− 120◦= 60◦
a
C
D E
□
Bài 15.
Trang 18Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và ’SAB = 100◦
(Hình bên) Tính góc giữa hai đường thẳng:
B
A
C
D
S
100◦
Lời giải.
a) Góc giữa hai đường thẳngSA và AB là ’SAB = 100◦
(SA, CD) = 100◦
□
Bài 16. Bạn Hoa nói rằng: “Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b vuông góc với nhau” Bạn Hoa nói đúng hay sai? Vì sao?
Lời giải.
Bạn Hoa nói sai vìa và b chưa chắc vuông góc, chúng có thể cắt nhau, chéo nhau hay song song
Ví dụ Hình lập phươngABCD.A′B′C′D′ có AB và CD cùng vuông góc với BC
A B
D C
A′
B ′
C′
D ′
□