latex toán 10 ctst hkii

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI.. 2AATrọng tâm kiến thức.. Tam thức bậc hai.. Định lí về dấu của tam thức bậc hai.. Nhận dạng tam thức bậc hai, nghiệm của tam thức bậc hai... BẤT PHƯƠNG TRÌNH B

Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI

π

π π

π

GIẢNG DẠY CÁC MÔN TỪ LỚP 6-12

LUYỆN THI VÀO 10 - THPTQG Hotline/zalo: 0909 461 641

Tương lai là khóc hay cười, tùy thuộc vào độ lười của quá khứ!

TOÁN

TOÁN

TOÁN

THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI

TẬP 2

NĂM HỌC 2024 - 2025

MỤC LỤC

Bài 1 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI . 2

A A Trọng tâm kiến thức .2

1 Tam thức bậc hai .2

2 Định lí về dấu của tam thức bậc hai .2

B B Các dạng bài tập .3

Dạng 1 Nhận dạng tam thức bậc hai, nghiệm của tam thức bậc hai .3

1 Ví dụ minh họa .3

2 Bài tập rèn luyện .4

Dạng 2 Xét dấu tam thức bậc hai .5

1 Ví dụ minh họa .5

2 Bài tập rèn luyện .9

Dạng 3 Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn mang một dấu .12

1 Ví dụ minh họa .12

2 Bài tập rèn luyện .13

C C Bài tập tự luận .15

PHẦNIĐẠI SỐ VÀ MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Chûúng 7

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1 Baâi

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1 Tam thức bậc hai

cĐịnh nghĩa 1.1. Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax2+bx + c, trong đó a, b, c là những

số thực cho trước (với a ̸= 0), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai

Người ta thường viết f (x) = ax2+bx + c

Cho tam thức bậc haif (x) = ax2+bx+c (a ̸= 0) Khi thay x bằng giá trị x0vàof (x), ta được f (x0) =ax2

gọi là giá trị của tam thúc bậc hai tạix0

○ Nếu f (x0)> 0 thì ta nói f (x) dương tại x0;

○ Nếu f (x0)< 0 thì ta nói f (x) âm tại x0;

khoảng hoặc đoạn đó

Nghiệm của phương trình bậc haiax2+bx + c = 0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai ax2+bx + c;

∆ =b2− 4ac và ∆′=b′2− ac tương ứng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai

2 Định lí về dấu của tam thức bậc hai

c Định lí 1. (Định lí về dấu của tam thức bậc hai)

Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2+bx + c (a ̸= 0)

○ Nếu ∆< 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R

○ Nếu ∆ = 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ̸= − b

Bước 1 Tính và xác định dấu của biệt thức ∆;

Bước 2 Xác định nghiệm của f (x) (nếu có);

Bước 3 Xác định dấu của hệ số a;

Bước 4 Xác định dấu của f (x)

– Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn ∆′ thay cho biệt thức ∆

Trường hợpa > 0

Đồ thị nằm hoàn toàn phíatrên trụcOx

Đồ thị nằm phía dưới trục

Ox khi x1 < x < x2Trường hợpa < 0

− b 2a

x

y O

Vị trí của đồthị so với trụcOx

Đồ thị nằm hoàn toàn phíadưới trục Ox

b) B = −5x4+ 3x2+ 4 không là tam thức bậc hai;

x + 3 không là tam thức bậc hai;

a) Đa thức (m + 1)x2+ 2x + m là tam thức bậc hai khi m ̸= −1

b) Đa thứcmx3+ 2x2− x + m là tam thức bậc hai khi m = 0

c) Đa thức −5x2+ 2x − m + 1 là tam thức bậc hai với mọi m

d) Vì m2+ 1 ̸= 0, ∀x ∈ R nên thức (m2+ 1)x2− 5x − m là tam thức bậc hai với mọi m

e) Đa thức (m2− 4)x3+ 4x2− x − 2m là tam thức bậc hai khi m = ±2

f) Đa thức 3x2− mx + 7 là tam thức bậc hai với mọi giá trị của m

Lời giải.

a) Tam thức bậc haif (x) = x2+ 2x − 4 có ∆ = 22− 4 · 1 · (−4) = 20 Do đó, f (x) có hai nghiệm phân biệt là

√20

√

√20

√5

b) Tam thức bậc hai g(x) = 2x2+x + 1 có ∆ = 12− 4 · 2 · 1 = −7 Vì ∆ < 0 nên g(x) vô nghiệm

2 không phải là một tam thức bậc hai.

c) Biểu thứcf (x) = 2x2+x − 1 là một tam thức bậc hai

d) Biểu thức f (x) = −x4+ 2x2+ 1 không phải là một tam thức bậc hai

e) Biểu thứcf (x) = −x2+√2x − 3 là một tam thức bậc hai

f) Biểu thức f (x) = (x − 1)(x + 1) là một tam thức bậc hai

a) Đa thức (2m − 4)x2− 5x + m là tam thức bậc hai khi m ̸= 2

b) Đa thức (2 −m)x3− 3x2− x + m là tam thức bậc hai khi m = 2

c) Đa thức −4x2− 7x + 1 − m2 là tam thức bậc hai với mọim

d) Vì m2+m + 1 ̸= 0, ∀x ∈ R nên đa thức (m2+m + 1)x2− 5x − m là tam thức bậc hai với mọi m

e) Đa thức (m2− 3m + 2)x3− 6x2+x − mlà tam thức bậc hai khi m = 2 hoặc m = 1

f) Đa thức 5x2+ 5mx − 7 là tam thức bậc hai với mọi giá trị của m

2 · 2 = 2 vàx2= 5 −

√9

1

2.b) Tam thức bậc hai g(x) = −x2+ 6x − 9 có ∆ = (6)2− 4 · (−1) · (−9) = 0

cVí dụ 1. Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc haif (x) với đồ thị được cho ở mỗi hình

c) Tam thức bậc haif (x) = 4x2+ 4x + 1 có ∆ = 0, nghiệm kép x0 = −1

2 và hệ sốa = 4 > 0 nên f (x) > 0 với

ß

−12

™

d) Ta cóf (x) = 0 ⇔ 2x2− 6x + 9

2.Bảng xét dấu

x = 2

.Bảng xét dấu

a) Tam thức bậc haif (x) = x2− 3x + 2 có hai nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 = 2 và hệ sốa = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu f (x) như sau

x

f (x)

b) Tam thức bậc hai f (x) = −x2− 2x + 8 có hai nghiệm phân biệt x1 = −4, x2= 2 và hệ sốa = −1 < 0

Ta có bảng xét dấu f (x) như sau

d) Tam thức bậc haif (x) = 4x2+ 4x + 1 có ∆ = 0, nghiệm kép x0 = −1

2 và hệ sốa = 4 > 0 nên f (x) > 0 với

ß

−12

™.e) Tam thức bậc haif (x) = −2x2+ 4x − 5 có ∆ = −24 < 0, hệ số a = −2 < 0 nên f (x) < 0 với mọi x ∈ R.f) Tam thức bậc hai f (x) = −x2+ 6x − 9 có ∆ = 0, nghiệm kép x0 = −3 và hệ sốa = −1 < 0 nên f (x) < 0với mọi x ∈ R \ {−3}

Bảng xét dấu

xg(x)h(x)

(đồng) theo công thức sau y = −200x2+ 92000x − 8400000, trong đó x là số sản phẩm được bán ra Cho biếtdoanh nghiệp có lãi khi nào, bị lỗ khi nào

Lời giải.

Xét tam thức bậc haif (x) = −200x2+ 92000x − 8400000

f (x) có hai nghiệm là x1= −460 +

√43600

√43600

○ Doanh nghiệp có lãi khi và chỉ khi f (x) > 0, tức là 126 ≤ x ≤ 334.

○ Doanh nghiệp bị lỗ khi và chỉ khi f (x) < 0, tức là x ≤ 125 hoặc x ≥ 335.

Vậy doanh nghiệp có lãi khi bán từ 126 đến 334 sản phẩm, doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 125 sản phẩm hoặc

2 Bài tập rèn luyện

cBài 1. Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc haif (x) ứng với đồ thị hàm số y = f (x) được

cho ở mỗi hình sau

b) f (x) = 9x2+ 6x + 1 có nghiệm kép x = −1

3.Bảng xét dấu

™

c) f (x) = 2x2− 3x + 10 vô nghiệm vì ∆ = −71 < 0 và a = 2 > 0

Do đó f (x) > 0 với mọi x ∈ R

d) f (x) = −5x2+ 2x + 3 có 2 nghiệm x1= 1 và x2= −3

5.Bảng xét dấu

x = 4h(x) = x2− 5x + 6 = 0 ⇔ñx = 2

x = 3Bảng xét dấu

xg(x)h(x)

Từ bảng xét dấu ta thấy

○ f (x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; 3) ∪ (4; +∞).

○ f (x) < 0 ⇔ (0; 2) ∪ (3; 4).

□

Dạng 3 Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn mang một dấu

Cho tam thức bậc haif (x) = ax2+bx + c, (a ̸= 0) Đặt ∆ = b2− 4ac

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy m ∈ï 1

2; 1

òthoả mãn yêu cầu bài toán

d) Yêu cầu bài toán tương đương với

cBài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham sốm để

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

c) Trường hợp 1 Vớim = −2, ta được f (x) = 1 > 0, luôn đúng với mọi x Do đó m = −2 thỏa mãn yêu cầubài toán

®m + 2 > 0(m + 2)2− (m + 2)(m + 3) ≤ 0 ⇔

3 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3, bất phương trình (∗) nghiệm đúng với mọi x khi

®3m + 1 > 0(3m + 1)2− 4(3m + 1)(m + 4) ≤ 0 ⇔

a) Đa thức 4x2+ 3x + 1 là tam thức bậc hai.

b) Đa thứcx3+ 3x2− 1 không là tam thức bậc hai

c) Đa thức 2x2+ 4x − 1 là tam thức bậc hai

2 không phải là một tam thức bậc hai.

c) Biểu thứcf (x) = −x2+ 1 là một tam thức bậc hai

d) Biểu thức f (x) = −7x4+ 3x2− x + 1 không phải là một tam thức bậc hai

e) Biểu thứcf (x) = −5x2+ 3√5x − 4 là một tam thức bậc hai

f) Biểu thức f (x) = (x − 2)(2 − x) là một tam thức bậc hai

□

cBài 3. Xác định giá trị củam để các đa thức sau là tam thức bậc hai.

a) Đa thức√mx2− 2x + 4m là tam thức bậc hai khi m > 0

b) Đa thức (m − 5)x3− 7x2+x − m là tam thức bậc hai khi m = 5

c) Đa thức −6x2+x + 1 − 5m là tam thức bậc hai với mọi m

d) Đa thứcm2x2− 3x + m là tam thức bậc hai khi m ̸= 0

e) Đa thức (m2− 2)x3− 10x2+ 5x + 3m là tam thức bậc hai khi m =√2 hoặc m = −√2

f) Đa thức x2− mx + 3 là tam thức bậc hai với mọi giá trị của m

a) f (x) = −x2+ 3x + 10 có ∆ = 49 > 0, hai nghiệm phân biệt là x1 = −2,x2 = 5 vàa = −1 < 0

Ta có bảng xét dấu f (x) như sau

Vậy f (x) dương với mọi x ∈ R

Vậy f (x) dương với mọi x ̸= −1.

b) f (x) = −3x2+ 2x + 21 có ∆ = 256 > 0, hai nghiệm phân biệt là x1 = −7

c) f (x) = −2x2+x − 2 có ∆ = −15 < 0, tam thức vô nghiệm và a = −2 < 0

Ta có bảng xét dấu như sau

x

f (x)

−Vậy f (x) âm với mọi x ∈ R

c) h(x) = 2x2+ 6x − 8 có ∆′ = 25> 0; a = 2 > 0 và có hai nghiệm phân biệt x1 = −4; x2 = 1 nên h(x) > 0với mọi x ∈ (−∞; −4) ∪ (1; +∞) và h(x) < 0 với mọi x ∈ (−4; 1).

d) f1(x) = −3x2+x −√2 có ∆< 0 và a = −3 < 0 nên f1(x) > 0 với mọi x ∈ R

e) h1(x) = −2x2+ 7x − 3 có ∆ = 25 > 0; a = −2 < 0 và có hai nghiệm phân biệt x1 = 1

b) g(x) có hệ số a = 3 > 0 và biệt thức thu gọn ∆′= −5< 0 nên g(x) > 0 với mọi x ∈ R

c) h(x) có hệ số a = −16 < và biệt thức thu gọn ∆′ = 0 nênh(x) < 0 với mọi x ∈ R \ß 3

4

™

vàhÅ 34

ã

= 0 (hayh(x) = −(4x − 3)2 ≤ 0, ∀x ∈ R)

d) k(x) có hệ số a = 2 > 0 và có hai nghiệm x1 = 3 −

√7

√7

2 Suy ra k(x) > 0 với mọi x ∈Ç

√72

å

cBài 9. Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương

1

f (x) = −9x 2 − 12x − 4c)

x

y O

Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển

x − 1 Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn

vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười

5 > 0, có hai nghiệm phân biệt là x1 = 5 −√15; x2 = 5 +√15

Ta có bảng xét dấu như sau

xh(x)

khung hình chữ nhật mới có kích thước (20 +x) cm và (15 − x) cm Với x nằm trong các khoảng nào thì diệntích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

Lời giải.

Theo giải thiết ta có tam thức sauf (x) = 20 · 15 − (20 + x)(15 − x) = −x2+ 5x, x ∈ (−20; 15)

Tam thức có ∆ = 25> 0, có hai nghiệm phân biệt x1= 0; x2 = 5 Ta có bảng xét dấu như sau

cBài 12. Tìm các giá trị của tham sốm để tam thức bậc hai x2+ (m + 1)x + 2m + 3 dương với mọi x ∈ R.

cBài 17. Xác định giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai.

(m + 1)x2+ 2x + m;

Lời giải.

a) Ta cóa = m + 1

Để đa thức (m + 1)x2+ 2x + m là tam thức bậc hai khi và chỉ khi m + 1 ̸= 0 ⇔ m ̸= −1

Vậy khi m ̸= −1 thì đa thức (m + 1)x2+ 2x + m là tam thức bậc hai

b) Ta cóa = 2

Để đa thức mx3+ 2x2− x + m là tam thức bậc hai khi và chỉ khi m = 0

Vậy khi m = 0 thì đa thức mx3+ 2x2− x + m là tam thức bậc hai

c) Ta cóa = −5

Hệ số c không ảnh hưởng đến tam thức bậc hai

Vậy đa thức −5x2+ 2x − m + 1 là tam thức bậc hai với mọi m

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có ∆< 0 và a = 9 > 0 nên f (x) cùng dấu với a với mọi m

12.

□