Mục tiêu:Tìm hiểu một số tính chất nghiệm của các bài toán ngược thời gian thơngqua một số cơng cụ tốn học về giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng.Cụ thể, trong đề tài này, chúng tơ
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản liên quan đến khái niệm bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh cùng một số ví dụ minh họa Bên cạnh đó một số không gian hàm được sử dụng trong nghiên cứu cũng được nhắc lại định nghĩa Chẳng hạn, không gian Hilbert, không gianGevrey,
Các kết quả
Tính không chỉnh của phương trình parabolic với nhiễu ngẫu nhiên
Tính không chỉnh của phương trình truyền nhiệt đã được quan tâm trong nhiều nghiên cứu trước Tuy nhiên, trong trường hợp nhiễu ngẫu nhiên, chúng ta cần cho ví dụ để minh hoạ tính không chỉnh của bài toán theo nghĩa của Hadamard. Định lý 3.1.1 Bài toán (1.1.1) là không chỉnh trong trường hợp a = 1, Ω =(0, π).
Kết quả chỉnh hóa với hệ số hằng và hàm nguồn Lipschitz toàn cục
Trong phần này, chúng tôi xem xét bài toán xấp xỉ nghiệm u(x, t), (x, t) ∈ Ω × [0, T ], thỏa mãn bài toán
(3.2.1) Ở đây, chúng tôi giả sử tồn tại một hằng số không đổi K > 0 với
Bổ đề 3.2.1 Cho G δ,N(δ) ∈ L 2 (Ω) thỏa mãn
Giả thiết rằng g ∈ H 2γ (Ω) Khi đó, chúng tôi có ước lượng như sau
N(δ) kgk 2 H 2γ (Ω) (3.2.3) với mọi γ ≥ 0 Trong đó, N phụ thuộc vào δ và thỏa mãn lim δ→0 N(δ) = +∞ và lim δ→0 δ 2 N(δ) = 0.
Nhận xét 3.2.2 Xét vế phải của (3.2.3) Để chỉ ra rằng vế phải (3.2.3) hội tụ về 0, chứng tôi chỉ ra rằng lim δ→0 δ 2 N(δ) = 0 và điều kiện
Từ λ k ∼ k 2/d , ta có λ 2γ N(δ) ∼ (N(δ)) 4γ d , với điều kiện (3.2.4) và lim δ→0 N(δ) = +∞.
Bằng cách sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier, ta có nghiệm chỉnh hóa cho bài toán (1.1.1) như sau
(3.2.5) trong đó α N(δ) là tham số chỉnh hóa và J α N(δ) là toán tử được định nghĩa như sau
Bên dưới trình bày kết quả chính của chúng tôi trong phần này. Định lý 3.2.3 Bài toán (3.2.5) có nghiệm duy nhất u δ N(δ) ∈ C([0, T ]; L 2 (Ω)) thỏa mãn u δ N(δ) (x, t) = X λ j ≤α N(δ)
Giả thiết bài toán (1.1.1) có nghiệm duy nhất u thỏa mãn
Bằng cách chọn α N(δ) sao cho δ→0 lim α N(δ) = +∞, lim δ→0 e kT α N(δ) λ γ N(δ) = 0, lim δ→0 e KT α N(δ) p
Ta có đánh giá sau Eku(., t) − u δ N(δ) (., t)k 2 L 2 (Ω)
Nhận xét 3.2.4 1 Từ định lý trên, ta thấy rằngE u δ N(δ) (x, t) − u(x, t)
2 Chúng tôi đưa ra một ví dụ về chọn N(δ) thỏa điều kiện (3.2.9) Từ λ N ∼ N 2 d , xem ở [8], ta chọn α N sao choe kT α N(δ) = |N(δ)| a với mọi 0 < a < 2γ d Khi đó, ta có α N(δ) = kT a log(N(δ)) Hằng số N(δ) được chọn
N(δ) = 1 δ ba+ b 2 với 0 < b < 1 Với N(δ) được chọn như trên, E u δ N(δ) (x, t) − u(x, t)
3 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm của phương trình (1.1.1) vẫn là một bài toán mở Do đó, chúng tôi không xem xét vấn đề này ở đây. Định lý tiếp theo cung cấp ước tính sai số trong không gian Sobolev H p (Ω) với chuẩn được trang bị bởi kgk 2 H p (Ω) =
(3.2.12) Để đánh giá sai số theo chuẩn H p , chúng ta cần các giả thiết mạnh hơn cho nghiệm u. Định lý 3.2.5 Giả thiết bài toán (1.1.1) có nghiệm duy nhất u thỏa mãn
X j=1 e 2(t+r)λ j hu(., t), φ j i 2 < A”, t ∈ [0, T ] (3.2.13) với mọi r > 0 Chọn α N(δ) sao cho δ→0 lim α N(δ) = +∞, lim δ→0 e kT α N(δ) λ γ N(δ) = 0, lim δ→0 e kT α N(δ) p
Ta có đánh giá sau
Nhận xét 3.2.6 Trong Định lý ở trên, để đạt được ước lượng sai số, chúng tôi đòi hỏi giả định mạnh trên u Đây là giới hạn của Định lý 3.2.3, vì chỉ có hàm u thoả mãn điều kiện này Để bỏ đi hạn chế này, chúng ta cần tìm công thức ước lượng mới Tính hội tụ trong trường hợp giả thiết yếu hơn của u là bài toán khó hơn Thật vậy, trong Định lý tiếp theo, chúng tôi cho kết quả chỉnh hoá trong trường hợp giả thiết yếu hơn của nghiệm u, cụ thể u ∈ C([0, T ]; L 2 (Ω)) Đây là một trong những kết quả đầu tiên trong trường hợp này.
Nghiệm chỉnh hóa thứ hai và đánh giá sai số tương ứng Để có được nghiệm xấp xỉ khi nghiệm u thuộc không gian C([0, T ]; L 2 (Ω)), chúng tôi không sử dụng nghiệm chỉnh hóa như Định lý 3.2.3 Ta có G δ,N(δ) là xấp xỉ của G và K là hằng số Lipschitz của F Nội dung chính của Định lý 3.2.8 gồm 2 trường hợp:
Trường hợp 1:KT < 1, dựa trên dữ liệu đầu vào G δ,N(δ) , chúng tôi xây dựng dạng nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác của bài toán.
Trường hợp 2: KT > 1, trường hợp này việc xây dựng nghiệm chỉnh hóa khó khăn hơn Để áp dụng nghiệm chỉnh hóa như ở trường hợp 1, chúng tôi cần chia đoạn [0, T ] thành các đoạn con [T h , T h 0 ], trong đó K(T h 0 − T h ) < 1. Từ dữ liệu đầu vào θ và tham số chỉnh hóa ζ, chúng ta có Y ζ T h ,T h 0 (f)(x, t) thỏa mãn phương trình tích phân (3.2.18) Sự tồn tại của Y ζ T h ,T h 0 (f) trongC([T h , T h 0 ]; L 2 (Ω)) được xác định khi K(T h 0 − T h ) < 1 Chúng ta có kết quả s > KT Ta định nghĩa một chuỗi {T l }, l = 0, 1, , 2s sao cho
T 0 = 0 < T 1 = hT < T 2 = 2hT < < T 2s = 2shT = T (3.2.17) trong đó h = 2s 1 Trên tất cả các đoạn [T i , T i+1 ], i = 0, 2s − 1, chúng tôi xây dựng nghiệm xấp xỉ trên các đoạn con và sử dụng phương pháp nối nghiệm nối chúng lại để có một nghiệm chỉnh hóa hoàn chỉnh Cụ thể, ta có:
• Bước thứ nhất, để xây dựng nghiệm chỉnh hóa trên [T 2s−1 , T ], chúng tôi sử dụng dữ liệu đầu vào G δ,N(δ) và tham số chỉnh hóa ζ 2s để đánh giá Y ζ T 2s
(x, t) Khi đó, ta định nghĩa nghiệm chỉnh hóa U δ (x, t) = Y T ζ 2s
• Bước thứ hai, để xây dựng nghiệm xấp xỉ trên[T 2s−2 , T 2s−1 ], chúng tôi sử dụng dữ liệu đầu vào U n (x, T 2s−1 ) (được tính toán ở bước 1) và tham số chính hóaζ 2s−1 để đánh giá hàm Y ζ T 2s
(x, t) Khi đó, chúng tôi định nghĩa nghiệm chỉnh hóa
• Cuối cùng, chúng tôi có được nghiệm chỉnh hóa trong (3.2.24) và (3.2.25).
Bây giờ, ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 3.2.7 Cho 0 ≤ T h < T h 0 ≤ T với f ∈ C([T h , T h 0 ]; L 2 (Ω)), xét phương trình tích phân phi tuyến sau
(3.2.18) với ζ > 0 Giả thiết rằng K(T h 0 − T h ) < 1 Khi đó, bài toán (3.2.18) có nghiệm duy nhất Y T ζ h ,T h 0 (f ) ∈ C([T h , T h 0 ]; L 2 (Ω)) Hơn nữa, ta có đánh giá sau
Kết quả chính trong mục này được trình bày trong định lý sau. Định lý 3.2.8 Cho g như ở Định lý 3.2.3 Giả thiết rằng u là nghiệm duy nhất của (1.1.1).
(a) Giả thiết KT < 1, với K là hằng số Lipschitz của F Nghiệm chỉnh hóa được cho như sau
Bằng cách chọn ζ(δ) sao cho δ→0 lim ζ(δ) = +∞, lim δ→0 e kT ζ(δ) λ γ
Ek Ub δ (., t) − u(., t)k 2 L 2 (Ω) có bậc e −2tζ(δ) (3.2.22) (b) Giả sử rằng KT > 1 và u ∈ C([0, T ]; L 2 (Ω)) Đặt ζ 1 (δ) : = s
Ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa Ub δ như sau
(θ)(x, t) được định nghĩa trong (3.2.18) Ta có
Nhận xét 3.2.9 Theo [29], chúng tôi chỉ cần nghiệm chỉnh hóa với0 < KT 0.
Kết quả chỉnh hóa trong trường hợp hàm nguồn Lipschitz địa phương 13 3.4 Kết quả chỉnh hóa với số hạng hàm nguồn tổng quát
Mục 3.2 tập trung giải quyết bài toán với hàm nguồnF Lipschitz toàn cục.
Trong phần này, chúng tôi mở rộng phân tích đến hàm Lipschitz địa phương
F Kết quả cho trường hợp Lipschitz địa phương là khó khăn Ở đây, chúng ta phải tìm một phương pháp chính quy hóa khác để nghiên cứu bài toán với nguồn Lipschitz địa phương.
Giả thiết rằng a bị nhiễu bởi dữ liệu quan sát a obs δ : Ω × [0, T ] →R có dạng a obs δ (x, t) = a(x, t) + δψ(t) (3.3.1) trong đó δ > 0 và ψ ∈ L ∞ (0, T ) sao cho kψk L ∞ (0,T ) = sup
|ψ(t)| ≤ M (3.3.2) với M > 0 Trong trường hợp a không bị xáo trộn, chúng tôi có thể sử dụng phương pháp trong các phần trước (trường hợp khi a không bị xáo trộn đơn giản hơn trường hợp a bị nhiễu) Nếu a bị xáo trộn bởi dữ liệu ngẫu nhiên, rất khó để sử dụng phương pháp cũ và chúng ta cần một cách tiếp cận mới, được nêu dưới đây.
Giả thiết rằng với mỗi R > 0, tồn tại K R > 0 sao cho
|F (x, t; u) − F (x, t; v)| ≤ K R |u − v|, nếu max{|u|, |v|} ≤ R, (3.3.3) trong đó (x, t) ∈ Ω × [0, T ] và
Chúng ta chú ý rằng K R là hàm tăng và lim R→+∞ K R = +∞ Ý tưởng chính để chỉnh hóa bài toán (1.1.1) như sau: Với mọi R > 0, chúng tôi xấp xỉ F bởi F R được định nghĩa bởi
Với mỗi δ > 0, chúng tôi xét tham số R(δ) → +∞ khi δ → 0 + Đặt toán tử P = M ∆ , trong đó M là một số dương thỏa mãn M > a obs δ (x, t) với mọi
(x, t) ∈ Ω × (0, T ) Xét toán tử được định nghĩa sau
L 2 (Ω) φ j (x), (3.3.5) với mọi hàm v ∈ L 2 (Ω) Ở đây N(δ) được cho bởi Bổ đề 3.2.1. Ý tưởng chính để giải bài toàn (1.1.1) với hàm nguồn tổng quát (3.3.4), chúng tôi xét bài toán
(3.3.6) Trong đó, G δ,N(δ) (x) được định nghĩa ở (3.2.2) Bây giờ, chúng tôi giới thiệu một số bổ đề sẽ giúp ích cho kết quả chính của chúng tôi Trước tiên, chúng tôi nhắc lại lớp hàm Gevrey với chỉ số σ > 0 (xem [7]) được cho như sau
, đây là một không gian Hilbert được trang bị tích vô hướng hv 1 , v 2 i W σ :=D e σ
, với mọi v 1 , v 2 ∈ W σ ; với chuẩn kvk W σ = qP∞ n=1 e 2σλ n v, φ n
Bổ đề 3.3.1 Với F R ∈ L ∞ (Ω × [0, T ] ×R ) , ta có
|F R (x, t; u) − F R (x, t; v)| ≤ K R |u − v|, ∀(x, t) ∈ Ω × [0, T ], u, v ∈R Bổ đề 3.3.2 1 Đặt M, T > 0 Với mọi v ∈ W M T (Ω), ta có kQ δ β
M T (Ω) (3.3.7) 2 Đặt β N(δ) < 1 − e −M T λ 1 Với mọi v ∈ L 2 (Ω), ta có
Bằng cách chọn β N(δ) sao cho δ→0 lim δp
N(δ)β N(δ) −1 = lim δ→0 β N(δ) −1 λ −γ N(δ) = lim δ→0 β N(δ) = 0 (3.3.9) Bằng cách chọn R δ sao cho δ→0 lim β
N(δ) e 2KR δ T = 0, t > 0 (3.3.10) Ta có đánh giá sau
N(δ) e (2K(R δ ))+1)T C(δ).e (3.3.11) Trong đó, C(δ)e được cho bởi
M T (Ω)) + δ 2 T 3 b 0 β N 2 δ kuk 2 L ∞ (0,T ;H 1 0 (Ω)) và giả thiết rằng Ω là miền một chiều.
Nhận xét 3.3.4 1 Với giả thiết (3.3.10), vế phải của phương trình (3.3.11) tiến về 0 khi t > 0.
2 Bằng cách chọn β N(δ) = N(δ) −c với mọi 0 < c < min( 1 2 , 2γ d ), và N(δ) được chọn như sau
3.4 Kết quả chỉnh hóa với số hạng hàm nguồn tổng quát
Trong phần này, chúng tôi khảo sát bài toán
(3.4.1) với giả thiết F ∈ C 0 (R ) thỏa mãn: Tồn tại C 1 và C 1 0 , C 2, p > 1, γ sao cho zF (x, t, z) ≥ C 1 |z| p − C 1 0 , (3.4.2)
Dễ thấy hàm F (x, t, z) = z 1 3 thỏa điều kiện (3.4.2), (3.4.3) và (3.4.4) Chú ý rằng đây không phải là hàm Lipschitz địa phương Ta có kết quả sau. Định lý 3.4.1 Giả thiết rằng F thỏa (3.4.2), (3.4.3) và (3.4.4) Tồn tại duy nhất nghiệm u δ N(δ) của bài toán (3.4.1) thỏa mãn u δ N(δ) ∈ L 2 (0, T ; H 1 ) ∩ L ∞ (0, T ; L 2 ).
Giả sử bài toỏn (1.1.1) cú duy nhất nghiệm u thỏa u(ã, t) ∈ W M T Chọn β N δ như Định lý 3.3.3 Khi đó, ta có đánh giá
N(δ) e (2γ+1)T C(δ), , ,e (3.4.5) trong đó C(δ)e được định nghĩa như (??).
Nhận xét 3.4.2 Sai số hội tụ (3.4.5) tốt hơn sai số hội tụ cho trong (3.3.11).
Thật vậy, từ lim δ→0 K(R δ ) = +∞, ta có
Vế phải của (3.3.11) Vế phải của (3.4.5) = β
Áp dụng kết quả vào một số phương trình đặc biệt
Ta xét hàm nguồnF (u) = u − u 3 cho bài toán (1.1.1) Đây là dạng phương trình Ginzburg-Landau thỏa mãn ở mục 3.3 và không thỏa mãn 3.2 Với mọi R > 0, ta xấp xỉ F bởi F R được cho bởi
Dễ thấy K(R δ ) = 1 + 3R 2 δ Chọn β N(δ) = N(δ) −c với mọi 0 < c < min( 1 2 , 2γ d ), và N(δ) được chọn bởi
3 Áp dụng Định lý 3.3.3, sai số E u δ N(δ) (x, t) −u(x, t)
3.5.2 Phương trình Fisher–KPP phi tuyến
Trong mục này, chúng tôi quan tâm đến bài toán ngược đối với phương trình parabolic phi tuyến dạng Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov u t − ∇ a(x, t)∇u
Theo tác giả Skellam [19], phương trình (3.5.4) có nhiều ứng dụng trong động lực dân số và môi trường định kỳ Trong những tài liệu tham khảo, đại lượng u(x, t) thường là viết tắt của mật độ dõn số và cỏc hệ sốa(x, t), γ(x), à(x)lần lượt là hệ số khuếch tán, hệ số tốc độ tăng trưởng nội tại và hệ số đo lường ảnh hưởng của cạnh tranh đến tỷ lệ sinh và tử Phương pháp của chúng tôi có thể được áp dụng cho mô hình này tương tự như ví dụ 7.1 Tuy nhiên, vì các ý tưởng của ví dụ 7.1 và 7.2 là như nhau, chúng tôi chỉ nêu mô hình mà không đưa ra các sai số.
Lấy F (u) = u 1 3 thì dễ thấy F thỏa mãn (3.4.2), (3.4.3) và (3.4.4) Hơn nữa, có thể chỉ ra rằng F không phải là hàm Lipschitz địa phương Vì vậy, chúng tôi không thể giải quyết bài toán trong trường hợp này với bài toán (3.3.6).
Chúng tôi xét bài toán
Chọn β N δ và N δ như ở mục 6.1 Áp dụng định lý 3.3.3, sai số giữa nghiệm của (3.5.6) và u là E u δ N(δ) (x, t) −u(x, t)
Nhận xét 3.5.1 Sau đây, chúng tôi đưa ra một so sánh về phương pháp và kết quả trong nghên cứu này với kết quả trong [30, 32] Tất cả các phương pháp là phương pháp cắt, nhưng vấn đề của chúng tôi rất phức tạp do dữ liệu bị nhiễu bởi dữ liệu ngẫu nhiên Chúng tôi cần Bổ đề 3.2.1 để xác định thiết lập chính xác theo dữ liệu đo được Các hệ số N (δ) nên được chọn một cách thích hợp để sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác hội tụ Có hai điểm mạnh trong nghiên cứu này được cải tiến hơn so với [30, 32]
• Trong Định lý 3.2.8, chúng tôi đưa ra kết quả chỉnh hóa trong trường hợp giả định yếu hơn chou, cụ thể,u ∈ C([0, T ]; L 2 (Ω)) Đây là một trong những kết quả đầu tiên thu được trong trường hợp này và không được xem xét trong [30, 32] Trong các bài báo đó, để điều tra lỗi, nghiệm chính xác được giả định trong không gian Gevrey, điều này giới hạn số lượng hàm thỏa so với không gian hàm C([0, T ]; L 2 (Ω))
• Trong [30, 32], các hàm nguồn phải đáp ứng điều kiện Lipschitz toàn cục Tuy nhiên, trong nghiên cứu này, chúng tôi xét một lớp hàm khá rộng, bao gồm lớp hàm Lipschitz địa phương và một số hàm phi địa phương.