Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
1,11 MB
Nội dung
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN I LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Bài 1: Đơn giản biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa ) a D = x +2x y + xy + y 3 x + xy + y ( x + y) + 4a − 9a −1 a − + 3a −1 B= + b 1 − − a2 − a 2a − 3a 3y ( x − y ) x −1 ( x − y ) 2 − : ( x + y) −1 ( đáp số : D=1 ) Giải a/ x + x3 y + xy + y y ( x2 − y ) D= ( x + y) + 2 x ( x − y) x + xy + y = ( x + y ) − :( x + y) −1 − ( x3 + y3 ) ( x + y ) ( x + y) ( x − y) −1 : ( x + y) = + xy ( x − y) ( x + y) − =1 4a − 9a −1 a − + 3a −1 + b/ B = 1 − − a2 − a 2a − 3a 2 2 2a + ) + ( a − ) a − 4a + ( 4a − = 9a = + = ( 2a − 3) a ( a − 1) a a2 1 2 a a Bài Đơn giản biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa ) a − n + b− n a − n − b− n − ( ab ≠ 0; a ≠ ±b ) a−n − b−n a−n + b−n −1 − x −1 a −1 + x −1 −1 -1 a b B = ( xa − ax ) −1 −1 + −1 −1 ÷ a −x a +x a A = Giải a − n + b− n a − n − b− n A = −n − = a a − b−n a−n + b−n a n + bn bn − a n a nb n n n ab ( a n + b n ) − ( b n − a n ) = 4a n b n bn − an − = n n ( a n + bn ) ( bn − a n ) b2 n − a n n n a +b ab n n ÷ ÷ ab a −1 − x −1 a −1 + x −1 b/ B = ( xa −1 − ax -1 ) −1 −1 + −1 −1 ÷ = a −x a +x 2 2 x2 − a2 x − a x + a ( x + a ) x + a + = ÷ ÷= ax x + a x − a ax ax LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài Cho a,b số dương Rút gọn biểu thức sau a b a − + ÷: a − b ÷ b a÷ b a4 − a4 a −a − b − − b2 b2 + b − Giải Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang 1 = ( x + y) HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 2 a b a a − + ÷: a − b ÷ = 1 − ÷ : b a÷ b÷ 4 a −a b/ a −a − b − −b b +b − = a ( − a2 ) a ( 1− a) − b b − − ( a− b ) ( = b− a ) b ( a− b ) = b ( 1− b ) = 1+ a +1 = a + ( b − 1) 2 Bài Cho a,b số dương Rút gọn biểu thức sau : a ( a + b a + b − ab ÷ ) 1 a 3b + ÷ b a÷ b a + b ÷: + Giải a/ ( a + b a + b − ab ÷ = ) 3 ( ) ( a) a+3b −3 a3b+ ( b) = ( a) +( b) 3 3 = a+b 1 1 1 1 a + b ÷a b a + b ÷a b a 3b a 3b 3 = = b/ a + b ÷: + b + a ÷ = 1 2 ÷ 2a b + a + b 3 a3 + b3 a +b ÷ Bài 3.Đơn giản biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa ) 2 a b 2 a A = ÷ + : a4 + b4 ÷ a ÷ b a ÷ a b ÷ b B= a2 + a2 − a ÷ +4 2a Giải a/ 2 1 a b + a : a + b = a b A= ÷ ÷ ÷ b a ÷ a b ÷ b a B= a2 + a2 − a ÷ +4 2a = a 1 1 a 2b + ÷+ a : a + b = a + : a + b = ÷ ÷ ÷ 1 ÷ a 2b ÷ b ab ab3 a + b ÷ 2 a 2 : ↔ a ≥ a +4 = = a −2 : ↔ a < a2 + ( ) 4a Bài Tính giá trị biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa ) −1 + x + x2 − x + x2 +2− a A = ÷ 2x − x2 2x + x ( − x ) Với x = 3,92 + 27 y + 310 32 y − ÷.3−2 b B = ÷ Với y = 1,2 + 35 y ÷ Giải Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT −4 x + 10 ( − x2 ) ( − x2 ) = − x2 2 ( − x ) = x − x2 ( − x ) = ( ) ( − 2x2 ) 2 Với x= 3,92 ⇒ x = 3,92 ⇔ − x = 0, 08 ⇔ ( − x ) = 0,16 −1 −1 + x + x2 − x + x2 +2− a/ A = ÷ 2x − x2 2x + x 2 + 27 y ÷.3−2 10 B= + 32 y − + 35 y ÷ ÷ 3 3 2 ÷ + y ÷ ÷ 1 + 3.2 y − ÷3−2 = = 1 ÷ ÷ 22 + 3y ÷ 5 1 2 = − 2.3 y + 32 y + 3.2 y − ÷3−2 = y ÷ = y Với y=1,2 suy y = 1, 44 Bài Rút gọn biểu thức sau : 3 3 −1 b 1 − a A = ÷ − a ĐS: A=0 a÷ a + ab + 4b 1 1 3 8b − a a b a − 2b ÷ + b B = 1 −1 − − − − ÷ 3 4a + 2a b + b ÷ 2a − b a − 8a b Giải −1 2 a ( a − 8b ) b a3 1 − ÷ − a = − a3 a/ A = 2 1 a÷ a + ab + 4b a + 2a b + 4b a − 2b a − 8a b = a 3 3 ( a − 8b ) 3 3 −a = a + 2a b + 4a b − 2a b − 4a b − 8b 8b − a a b a − 2b + b/ B = 1 1 −3 2a − b − 4a − + 2a b − + b − 3 3 a ( a − 8b ) − a = a − 8b 3 2 a − 2b ÷a b ÷ 8b − a a b ÷= ÷= + 1 ÷ ÷ ÷ 2b − a 4b + 2a b + a ÷÷ ÷ 1 2 3 3 4b + 2a b + a − a − 2b ÷ ÷ 2 8b − a ÷a b = 8b − a 6ab = ab = ÷ 3 ÷ 8b − a 1 1 ÷ 3 2b ÷ − a ÷ ÷ Bài Rút gọn biểu thức sau − 1 a A= ÷: : 16 : 3.2 4.3 ÷ ( đáp số : A= 15/2 ) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT b B = ( 0,5 ) −4 −1 1 − 6250,25 − ÷ 4 + 19 ( −3) −3 Giải 1 a/ A= ÷: : 16 : 4.3 ÷ B = ( 0,5 ) − 625 − 1 4.5 4 = 24 1 2 3252 15 ÷ = = ÷ 22 ÷ ÷ b/ −4 −1 0,25 1 −2 ÷ 4 + 19 ( −3) −3 −4 − 1 = ÷ − ( 54 ) 2 −2 3 − ÷ 2 + 19 ( −3) = 16 − − 19 − = 10 27 27 Bài Rút gọn biểu thức sau : 1 −1 a − b − a − b : a4 − b4 a A = ÷ 1 1 4 4 a +b a + a b 2 3 4 a − b ÷ a + b ÷ ÷ − ab ÷ b B = 1 ÷ a − b2 ÷ ÷ Giải a/ 1 1 1 1 a − b − a + a 2b a −b a2 − b2 a −b a2 − b2 A= − : a − b ÷= 1 − : a − b ÷= 1 1 1 a2 a4 + b4 a + a2b4 a + b4 a4 + b4 a a + b4 ÷ ÷ 1 b2 a2 − b2 ÷ b = = 1 ÷ a a2 a2 − b2 ÷ 3 1 1 a − b ÷ a + b ÷ ÷ a − b − a b a − b ÷÷ a − b ÷( a − b ) − ab ÷ = ÷= = ( a − b) b/ B = 1 1 1 ÷ ÷ 2 2 a −b a −b ÷ ÷ a −b ÷ ÷ ÷ x2 − a2 x2 − a2 Bài a Rút gọn biểu thức sau : C = 1 + ( ax ) (đáp số C=1) x−a x2 − a2 b Chứng minh : a + a 4b2 + b + b a = ( a2 + b2 Giải Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 ) 1 a −b ÷ = HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT x2 − a2 x2 − a2 2 + ( ax ) a/ C = 1 x−a 2 x −a 1 1 x − a ÷ x + x a + a ÷ 1 x2 − a2 + x2a2 = 1 1 x2 − a2 x − a ÷ x + a ÷ 2 2 x +a ÷ =1 = 1 x +a ÷ ) ( ( ( a + a 4b + b + b a = b Chứng minh : ) a2 + b2 ) ⇔ a + a 4b + b + a 2b + 2a 2b + a a 2b + b a 4b = a + 3 a 4b + 3 a b + b ⇔ a b + a a b + b a b = a b + a b ⇔ a b + a b + a b = a 8b + a b + a b Bài a Không dùng bảng số máy tính tính : b Chứng minh : = 3+ ( 3−8 )( 847 847 ( đáp số : =3 ) + 6− 27 27 6+ 3+ )( 3+ ) Giải a/ Đặt y= 12 + y 125 = 12 + y ⇔ y − y − 12 = ⇔ ( y − ) ( y + y + ) = ⇒ y = 27 b/ ⇔ = ⇔ ( 847 847 + 847 ÷ + 847 ÷÷ = 12 + y 36 − 847 = 6+ + 6− ⇒ y = 12 + y ÷ 27 27 27 ÷ 27 ÷ 27 ( 3+8 3− )( )( 3−8 ) )( 3+ )( ) + ; VP ⇔ ( 3− )( 3+ )( 3+ ) + = − = = VT Bài 10 Viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ biểu thức sau : 11 a A = 2 c C = x x b B = a a a a : a 16 ( x > 0) d D = b3a a b ( a > 0) ( ab > ) Giải a A = 2 = 2.2 ÷ 1 31 = 2.2 = 2 = 210 = ÷ ÷ Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 1 2 15 2 11 11 11 11 2 +1 16 a 16 +1 b/ B = a a a a : a 16 = a ÷ a a : a 16 = a ÷ a : a = a ÷ : a = 11 = a a 16 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài Đơn giản biểu thức : a a ÷ a −1 a a ÷ a −1 ( ) b aπ a : a 4π 3 c a d a .a1,3 : a3 Giải =a ( ) 3 c/ a =a 3 (a ) −1 −1 = a b/ aπ a : a 4π = aπ a = a = a aπ a a1,3 = a1,3 d/ a .a1,3 : a = a 1− =a a = a3 Bài Đơn giản biểu thức : a ( a2 −b a c a a/ a − b2 2 a2 ( (a b/ a d/ − b2 −b )( ) a a +b −b 3 +a b −a 3 +b (đáp số : a (a +1 = 2 −b )( −1 a2 + a a −b (a +b +b +a −b ) d 2 3 ) +1 = a +b 3 a = (đáp số : a + ) π π π π − π ab ÷ (đáp số : a − b Giải )(a −b ) π ) 3 −a + a3 3 2a = a ( a −b ) ( ) + a ) ( a − 1) ( a + 1) a ( a + + a ) = =(a a ( a − 1) ( a + + a ) a −b a π π (a 7 3 b − a2 + a (a −b +a b c/ a ) +1 3 2 3 3 ÷ a + a b ÷ 3 +a b +b +b + bπ ) − π ab ÷ = a 2π + b 2π + 2a π bπ − 4aπ bπ = −b 3 ÷ ÷ =a (a π 3 ) +1 −b − b π ) = a π − bπ DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ • Nếu hai số hai không số , ta phải đưa chúng dạng có số , sau dó so sánh hai biểu thức dấu với nha • Nếu hai số hai lũy thừa , ta phải ý đến số , sau sử dụng tính chất lũy thừa dạng bất đẳng thức Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài Hãy so sánh cặp số sau : ∨ 20 a 30 b ∨ c 17 ∨ 28 1 e ∨ ÷ ÷ 3 3 d 13 ∨ 23 f ∨ Giải a/ b/ c/ d/ 30 = 15 305 = 15 243.105 ⇒ 30 > 20 ∨ 20 Ta có 15 15 20 = 20 = 8.10 = 12 53 = 12 125 ⇒37>45 ∨ Ta có : = 12 = 12 2401 17 = 173 = 4913 ⇒ 17 > 28 17 ∨ 28 Ta có : 6 28 = 28 = 784 13 = 20 135 = 20 371.293 ⇒ 13 > 23 13 ∨ 23 Ta có : 23 = 20 234 = 20 279.841 30 1 e/ ∨ Vì ÷ ÷ 3 3 f/ ∨ ; 1 1 > ⇒ ÷ 5⇒4 0,8 ⇒ > 1,7 1,2 0,8 1 1 b ÷ ∨ ÷ 2 2 0,8 1,7 0,8 f 0, ∨ 0, Giải b/ 1, > 0,8 1,7 0,8 1,7 0,8 1 1 1 1 ⇒ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0< 2,5 − e/ 12 12 = > = 2 ÷ ÷ 36 36 ÷ ÷ ∨ 0, ; : ⇒ 0, < 0, < < ( 2) − ( 2,5) = ( 2) − 6,25 f/ 0, < 0, Bài Chứng minh : 20 + 30 > Giải > =1 20 20 Ta có : 30 30 > =1 ⇒ 20 + 30 > Bài Tìm GTLN hàm số sau a y = 3− x + x b y = ( 0,5 ) sin x Giải − x+ x a/ y = Đặt t = x ≥ ⇒ y = − x + x = −t + t ( t ≥ ) ↔ y ' = −2t + = → t = Do : y = 3− x + b/ y = ( 0,5 ) sin x 1 ⇔ maxy=y ÷ = 2 x ≤ = ↔ GTLNy = 2 sin x ≤ 0,51 ⇒ y = 0,5sin x ≤ Vì : ≤ sin x ≤ ⇒ ≤ 0,5 1 ↔ GTLNy = 2 Bài Tìm GTNN hàm số sau “ b y = x −1 + 23− x a y = x + x 2 c y = 5sin x + 5cos x Giải GTNNy = x −x → x = −x ↔ x = a/ y = + ≥ ⇔ x −x ⇔ = 2 x −1 = 23− x y = x −1 + 23− x ≥ 2 x −1+3− x = 22 = ⇔ y = ⇔ ⇔ x=2 b/ ↔ x − = − x 2 5sin x = 5cos x π π sin x cos x sin x + cos x ≥2 = ⇔ y = ⇔ ↔ cos2x=0 → x= + k c/ y = + 2 sin x = cos x x x e/ y = e1+ x ≥ e x = e = e ⇔ { x = VẼ ĐỒ THỊ Bài Hãy vẽ đồ thị cặp hàm số sau hệ trục a y = x ∨ y = x ( Học sinh tự vẽ đồ thị ) Trang b y = x ∨ y = x −5 c y = x ∨ y = x Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 x e y = e1+ x HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài Chứng minh hàm số sau đơn điệu : y= x − 2− x Sau khảo sát vẽ đồ thị ? Giải 2 > ( 1) 2 x1 > x2 ( 1) 2 x1 > x2 ( 1) x1 x2 ⇔ ⇔ Giả sử : x1 > x2 ⇒ − x1 − x2 − x1 − x2 ÷ < ÷ ( ) < ( ) − ( ) > − ( ) ( ) 2 x1 > x2 x1 − 2− x1 x2 − 2− x2 ⇒ > ⇔ Vậy hàm số đồng biến R 2 y ( x1 ) > y ( x2 ) x1 x2 Bài Trong hàm số sau , hàm số đồng biến , hàm số nghịch biến ? x x x x π 2 −x a y = ÷ b y = ÷ c y = d y = ÷ ÷ 3 3+ 2 e 3− 2 Giải x x π π π a/ y = ÷ Do > ⇒ y = ÷ Là hàm số đồng biến 3 3 x x 2 2 b/ y = ÷ Do < < ⇒ y = ÷ Là hàm số nghịch biến e e e x c/ y = ÷ Do 3+ 2 ( =3 3+ −x d/ y = ÷ = 3− 3 x ) − 3 ) BÀI TẬP VỀ LƠ-GA-RÍT I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài Tìm tập xác định hàm số sau : a y = log d y = log x −1 x+5 x2 + b y = log log5 ÷ x+3 x −1 − log x − x − x +1 c y = log 2 e y = lg ( − x + 3x + ) + x−3 x +1 x − x−6 x2 + f y = log 0,3 log ÷ x+5 g y = log x −1 2x − Giải x −1 x −1 ≤1 x −1 −2 log x + ≥ −1 ≤ ≤ → x ≥ −1 x −1 x +1 ⇔ ⇔ x +1 ⇔ x +1 a/ y = log Điều kiện : x+5 x −1 > x −1 > x < −1 ∨ x > x < −1 ∨ x > x +1 x +1 Vậy D= ( 1; +∞ ) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT x2 + x2 − x − log log ÷≥ x+3 ≥ x+3 x2 + 3 ≥1 x2 + x − x − 14 x2 + x+3 ⇔ ⇔ ≤0 b/ y = log log ÷ Điều kiện : 0 ≤ log x + ≤ x+3 x+3 x +1 0 < ≤5 x > −3 x2 + x+3 ≤5 0 < x+3 −3 < x < − ∨ x > ⇔ ⇒ x ∈ ( −3; −2 ) ∪ ( 2;7 ) −∞ < x < −3 ∨ −2 < x < Phần lại học sinh tự giải Bài Tính giá trị biểu thức sau : − log9 + 25log125 ÷.49log7 a 814 b 161+ log4 + log 3+ 3log5 log7 9−log7 − log +5 c 72 49 ÷ d 36log6 + 101− lg2 − 3log9 36 Giải a/ 81 1 − log9 4 1− log3 =3 +5 + 25 log125 3log5 log7 4 − log9 ÷ 2log53 23 2log7 = ( 3) + ÷.49 7 log7 = + ÷4 = 19 ÷7 4 b/ 161+ log4 + log2 3+ 3log5 = 42( 1+ log 5) + 2log2 3+ 6log5 = 16.25 + 3.26 = 592 log7 −log7 − log 1 72 49 + 5 ÷ = 72 log7 −2log7 + 5−2log5 = 72 + ÷ = 18 + 4,5=22,5 c/ 36 16 ( d/ 36log6 + 101− lg − 3log9 36 ) = 6log6 25 + 10log5 = 25 + = 30 II SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài Tính giá trị biểu thức sau : a A = log 15 + log 18 − log 10 c C = log 36 − log 3 b B = log − log 400 + 3log 45 d D = log ( log 4.log 3) Giải 15.18 = log 33 = log 33 = a/ A = log 15 + log 18 − log 10 = log 10 2 36.45 b/ B = log − log 400 + 3log 45 = log ÷ = log = − log 3 = −4 3 3 20 1 1 c/ C = log 36 − log = log + log = log 2.3 = 2 2 Trang 10 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT d/ D = log ( log3 4.log 3) = − log ( log 3.log ) = − log ( log ) = − log 2 = − Bài Hãy tính a A = log 2sin π π ÷+ log cos 12 12 b B = log ( ) − 3 + log ( 49 + 21 + ) c log10 tan + log10 cot d D = log x = log 216 − log 10 + log Giải π π π π π ÷+ log cos = log 2sin cos ÷ = log sin = log = −1 12 12 12 12 6 3 b/ B = log − 3 + log 49 + 21 + = log − 3 49 + 21 + = log ( − ) = c/ C= log10 tan + log10 cot = log ( tan 4.cot ) = log1 = a/ A = log 2sin ( ) ( ) ( )( ) d/ log x = log 216 − log 10 + log = log 63 − log 102 + log 34 = log 6.34 35 ⇒x= 102 50 Bài Hãy tính : a A = 1 1 + + + + log x log x log x log 2011 x b Chứng minh : ( x = 2011!) log a b + log a x + log a x • log ax ( bx ) = • k ( k + 1) 1 + + + = log a x log a x log ak x log a x Giải a/ A = 1 1 + + + + = log x + log x + + log x 2011 = log x 1.2.3 2011 log x log x log x log 2011 x = log x 2011! Nếu x=2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = log a b + log a x + log a x log a bx log a b + log a x = = VP ⇒ ( dpcm ) Vế trái : log ax bx = log a ax + log a x k ( k + 1) 1 + + + = Chứng minh : log a x log a x log ak x log a x b/ Chứng minh : log ax ( bx ) = k VT= log x a + log x a + log x a = ( + + + + k ) log x a = k ( 1+ k ) = VP log a x Bài Tính : a A = log a a a a b B = log a a a 25 a a a a3 a c log a4 a a d log tan10 + log tan 20 + log tan 30 + + log tan 890 e A = log 2.log 3.log log15 14.log16 15 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang 11 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Giải 1 37 ÷= + + = 10 1 1+ + + ÷ 27 3 25 ÷ = 1+ ÷ = 1+ b/ B = log a a a a a = log a a ÷ 10 10 ÷ 1+ + a a3 a a ÷ 34 91 = − log a 1 = − − ÷ = − c/ log + ÷ 15 60 a a a a2 ÷ a/ A = log a a a a = log a a 1 3+ + 0 0 0 0 d/ log tan1 + log tan + log tan + + log tan 89 = log tan1 tan 89 tan tan 87 tan 45 = 0 0 0 ( : tan 89 = cot1 ⇒ tan1 tan 89 = tan1 cot1 = ; Tương tự suy kết e/ A = log 2.log 3.log5 log15 14.log16 15 = log16 15.log15 14 log5 4.log 3.log = log16 = − Bài Chứng minh : a.Nếu : a + b = c ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ , : log c +b a + log c −b a = log c +b a.log c −b a b Nếu 0 3b > 0; a + 9b = 10ab b Cho a,b,c đôi khác khác 1, ta có : log a • b c = log a c b log a b.log b c.log c a = ; c a b 2 Trong ba số : log a b ;log b c ;log c a ln có số lớn b c a Giải 2 a/ Từ giả thiết : a > 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a − 6ab + 9b = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab • Ta lấy log vế : log ( a − 3b ) = log + log a + log b ⇔ log ( a − 3b ) − log = b c = log a c b −1 b c c b * Thật : log a = log a ÷ = − log a ⇒ log a = − log a c b c b * log a b.logb c.log c a = ⇔ log a b.log b a = log a a = 1 ( log a + log b ) b/ Chứng minh : log a c c ÷ = log a b b * Từ kết ta có : c a b b c a log log log = log a log b log c ÷ = Chứng tỏ số ln có số lớn b c b c c a a c a a b bc a b IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH Trang 14 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT • Nếu so sánh hai loga rít có số ta ý đến số hai trường hợp (0;1) lớn để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với • Trong trường hợp hai lo ga rít khác sơ , khác biểu thức bị lo ga rít hóa ta chọn số b Sau ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ suy kết Ta có : 1 log > log 3 = 1;log < log 4 = ⇒ log > log 3 log 1,1 log 0,99 ∨7 Ví dụ So sánh : Ta có : log6 1,1 log log 0,99 log >3 = 1; 7log 0,99 • Ví dụ 1: so sánh hai số : log ∨ log • Bài Khơng dùng bảng số máy tính Hãy so sánh : a log 0,4 ∨ log 0,2 0,34 e log ∨ log 11 h log + log 9 ∨ ∨ log 4 b log f 2log 5+ log log6 − log g 4log ∨ k ÷ c 2log ∨ 3log d log ∨ log 3 + log 11 ∨ 18 ∨ 18 Giải > → log 0,4 < log 0,4 = ⇒ log 0,2 0,3 > log 0,4 0,3 < → log 0,2 0,3 > log 0,2 = a/ log 0,4 ∨ log 0,2 0,34 Ta có : 3 5 > → < < ↔ log < log = 2 3 ⇒ log > log b/ log ∨ log Ta có : 4 5 0 < < 1, < < ↔ log > log = 3 log5 log5 log > log ⇒ >2 = =1 1 ⇒ log > log c/ 2log5 ∨ 3log5 Ta có : log log5 = =1 log < log ⇒ < log < log < log 3 ⇒ < log < ⇒ log > log3 d/ log ∨ log Ta có : log 2 < log < log → < log < 1 < log < ⇒ log 11 > log e/ log ∨ log 11 Ta có : log 11 > log = 25 2log + log log 2log 5+ log 25 25 =2 = f/ ∨ Ta có : log + log = log 25 − log = log ⇒ Nhưng : g/ 4log 2log + log 25 252 625 648 = = < = 8⇒2 < 9 81 81 + log Nhưng : 11 ∨ 18 Ta có : log 3+ log 11 =2 2log 3− log 2 11 =2 log 9− log 11 =2 log 11 = 11 81.11 = 5 log 3+ log 81.11 891 90 11 = > = 18 ⇒ > 18 5 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang 15 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT h/ 9 + log log ∨ Ta có : log + log 9 2log3 − log =3 log − log k/ ÷ 6 2.3 log ÷ 8 log3 2− log3 =3 =3 = 36 40 = < = 8 ∨ 18 log6 − log Ta có : ÷ 6 = 6− log6 −log6 = 6− log6 10 = log 10 = = < 18 10 1000 Bài Hãy so sánh : a log 10 ∨ log 30 b log ∨ log c ln e3 ∨ − ln e Giải log 10 > log = ⇒ log 10 > log 30 log 30 < log 36 = a/ log 10 ∨ log 30 Ta có : log > log 3 = ⇒ log > log log < log 7 = b/ log ∨ log Ta có : ln e3 = 2.3 = 1 ⇒ − ln > ln e3 c/ ln e ∨ − ln Ta có : e e 8 − ln = + = e Bài Hãy chứng minh : a log + log < −2 d 3log = 5log b 4log = 7log e 23 c log + log > 54 + log ∨ log19 − log 2 f log 5+ ∨ log + log Giải 1 1 log = ⇒ log + ≥2 1 a/ log + log < −2 Ta có : log log 2 2 1 1 log < ⇒ − log3 − > ⇔ log + < −2 Nhưng : 2 log log 3 2 b/ 4log = 7log Ta có : 4log = ( 7log 5 ) log = log5 7.log7 = 7log5 Vậy số c/ log + log > Ta có : log > ⇒ log + log = log + d/ 3log = 5log Ta có : 3log = ( 5log Trang 16 2 53 ) log ( *) >2 log = 5log 5.log5 = 5log2 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 1 + log = log 10 + log = log 10 = log 900 e/ + log ∨ log19 − log Ta có : log19 − log = log 19 = log 361 361 ⇔ + log > log19 − log log + log 5+ 5+ log + log Ta có : ∨ ≥ ⇒ log ≥ log = 2 2 ⇒ log 900 > log f/ log 5+ Bài Hãy so sánh : 5 ∨ log 2 a log ∨ log log c log e ∨ log π b log ∨ log 17 3 2 d Giải 6 log > log = 6 > ⇒ log > log Hoặc : ⇒ log > log a/Ta có : 6 log < log = 3 > 3 6 0 < < log ∨ log 17 b/ Ta có : ⇒ log > log 17 3 3 9 < 17 c/ log e ∨ log π 2 0 < < Ta có : ⇒ log e > log π 2 e < π HÀM SỐ LO-GA-RÍT I ĐẠO HÀM : Bài Tính đạo hàm hàm số sau : x a y = ( x − x + ) e 2x b y = ( s inx-cosx ) e d y = ln ( x + 1) e y = ln x x e x − e− x c y = x − x e +e f y = ( + ln x ) ln x Giải x x a/ y = ( x − x + ) e ⇒ y ' = ( x − ) e + ( x − x + ) e = ( x ) e x x 2x 2x 2x 2x b/ y = ( s inx-cosx ) e ⇒ y ' = ( cosx+sinx ) e + ( s inx-cosx ) e = ( 3sin x − cosx ) e ( e x + e− x ) ( e x + e− x ) − ( e x − e− x ) ( e x − e− x ) = e x − e− x c/ y = e x + e − x ⇒ y ' = 2 ( e x + e− x ) ( e x + e− x ) ln x 1 2x − ln x ⇒ y ' = x − ln x ÷ = e/ y = x x x x2 x +1 ln x + ln x + ln x + = f/ y = ( + ln x ) ln x ⇒ y ' = x x x d/ y = ln ( x + 1) ⇒ y ' = Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang 17 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài Tính đạo hàm hàm số sau : a y = x ln ( x2 + ) b log ( x − x + 1) a/ y = x ln ( e y = log ) x + ⇒ y ' = x.ln 1− x ÷ ÷ x x2 − ÷ x+5 x−4 ÷ x+4 d y = log c y = ln x ( ) f y = log Giải x2 x x +1 + = x.ln ( x + 1) ( ) x3 x +1 + ( x + 1) 2x −1 b/ y = log ( x − x + 1) ⇒ y ' = x − x + ln ( ) 2 − y = ln x ⇒ y ' = ( ln x ) ' = ( ln x ) = c/ x x ln x 16 x−4 16 x−4 ⇒ y' = : ÷= d/ y = log ÷ ln ( x + ) x + ÷ ( x − ) ln x+4 2 x −9 x ( x + 5) − x + x − x + 10 x + y = log ⇒ y'= : = e/ ÷ ln x + ( x + ) ( x − ) ln ( x + 5) x+5 x +1 1− x x +1 1− x : = f/ y = log ÷⇒ y ' = x ÷ ln10 16 x x x x ln10 − x ( ) ( ( ) ) II GIỚI HẠN Bài Tìm giới hạn sau : ln ( 3x + 1) − ln ( x + 1) x→0 x x+3 e −e d lim x→0 2x a lim ln ( 3x + 1) x→0 sin x ex −1 e lim x→0 x +1 −1 b lim ln ( x + 1) x→0 x ln ( + x ) f lim x→0 2x c lim Giải ln ( 3x + 1) − ln ( x + 1) ln ( x + 1) ln ( x + 1) = lim − lim = 3− =1 x→0 x →0 a/ x→0 x x x ln ( 3x + 1) 3x ln ( 3x + 1) ln ( x + 1) ln ( x + 1) 3x = lim = , = lim =4 b/ lim c/ lim x→0 x →0 x→0 x →0 sin x sin x x 4x 2x 2x 5x ( e − 1) = 5e3 , ex −1 ex −1 e5 x + − e3 = lim x + + = 1.2 = = lim e3 d/ lim e/ lim x→0 x→0 x →0 2x ( x ) x + − x →0 x lim ( Bài Tìm giới hạn sau ln ( x + 1) x→0 tan x a lim Trang 18 e x − e3 x x→0 5x b lim e3 x − x→0 x c lim Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 ) HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT d xlim xe x − x ÷ →+∞ e lim x→0 sin x x f lim x→0 − cos5x x2 Giải ln ( x + 1) ln ( x + 1) 2x = lim =2 a/ lim b/ x→0 x →0 tan x tan x x x 2x 3x 2x e −e e −1 e3 x − lim = lim − lim = − =− x→0 x →0 x →0 ( x ) 5x 5 x 2x c/ lim x→0 e/ lim x→0 e x −1 ÷ d/ xlim xe x − x ÷ = xlim x e x − 1÷ = xlim ÷ = →+∞ →+∞ →+∞ ÷ x 5x 2sin − cos5x = 25 = lim f/ lim x x→0 x →0 5x ÷ 25 e −1 e −1 = lim =3 x→0 x 3x sin x sin x = lim =3 x→0 x 3x 3x 3x Bài Tìm giới hạn sau : a lim x→0 cosx − cos3x sin x b lim cosx − t anx ÷ π x→ c xlim ( x + ) sin →+∞ x − cos x ÷ ÷ d lim π π÷ x→ sin x − ÷ ÷ Giải −2sin x sin ( − x ) cosx − cos3x cos x.sin x = lim = lim =4 x→0 x→0 x →0 sin x sin x sin x b/ lim cosx − t anx ÷ π x→ a/ lim 1 − cost π − tan − t ÷ = − cot t = sint π Đặt : sin t cos − t ÷ 2 t t 2sin tan t π = tan =∞ = − t anx ÷ = lim Khi x → ; t → ⇒ lim π cosx t →0 t t t t 2 x→ 2sin cos 2 2 x → +∞; t → 3 ⇒ lim ( x + ) sin = lim ( 6t + 3) = 3 1 c/ xlim ( x + ) sin Đặt : t = ⇒ x →+∞ →+∞ x x t →0 x ( x + ) x = + t ÷3t = 6t + t= π π −x⇒x= t ⇔ − t anx= 2 cosx Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang 19 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT π π x = t + ; x → ;t → − cos x ÷ π π ÷ Đặt : x − = t ⇒ − cos + t ÷ d/ lim π − cos x π÷ x→ = ( − cost+sint ) = sin x − ÷ ÷ π sin t sint sin x − ÷ t t t t t 2sin + 2sin cos sin + cos ( − cost+sint ) 2 2= 2 = tan t + = Do : t t t sint 2sin cos cos 2 − cos x ÷ t ÷ = lim tan + = Vậy : lim ÷ π t →o π x→ sin x − ÷ ÷ ÷ 4 Trang 20 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 ... Nếu hai số hai lũy thừa , ta phải ý đến số , sau sử dụng tính chất lũy thừa dạng bất đẳng thức Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài Hãy so sánh... số ln có số lớn b c b c c a a c a a b bc a b IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH Trang 14 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT • Nếu so sánh hai loga rít có số ta ý... 10 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT d/ D = log ( log3 4.log 3) = − log ( log 3.log ) = − log ( log ) = − log 2 = − Bài Hãy tính a A = log 2sin